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命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
第
１
页（共
６
页）命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
第
２
页（共
６
页）
姓名
座位号
（在此卷上答题无效）
绝密
★
启用前
安徽省示范高中培优联盟
２０２３
年春季联赛（高二）
数学
本试卷分第
Ⅰ
卷（选择题）和第
Ⅱ
卷（非选择题）两部分，第
Ⅰ
卷第
１
至第
３
页，第
Ⅱ
卷第
４
至
第
６
页。全卷满分
１５０
分，考试时间
１２０
分钟。
考生注意事项：
１．
答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．
答第
Ⅰ
卷时，每小题选出答案后，用
２Ｂ
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
３．
答第
Ⅱ
卷时，必须使用
０．５
毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上
獉獉獉獉
书写，要求字体工整、笔迹
清晰。作图题可先用铅笔在答题卡
獉獉獉
规定的位置绘出，确认后再用
０．５
毫米的黑色墨水签
字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效
獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉
，在试
獉獉
题卷
獉獉
、草稿纸上答题无效
獉獉獉獉獉獉獉獉
。
４．
考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第
Ⅰ
卷（选择题
共
６０
分）
一、选择题（本大题共
８
小题，每小题
５
分，共
４０
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
１．
已知集合
犘＝
｛（
狓
，
狔
）
狘狔＝狓
２
｝，
犙＝
｛（
狓
，
狔
）
狘狔＝槡狓
｝，则
犘
∩
犙＝
Ａ．
｛
０
｝
Ｂ．
｛
０
，
１
｝
Ｃ．
｛（
０
，
０
）｝
Ｄ．
｛（
０
，
０
），（
１
，
１
）｝
２．
若
１＋槡３ｉ
是关于
狓
的实系数方程
犪狓
２
＋犫狓＋１＝０
的一个复数根，则
Ａ．犪＝
１
４
，
犫＝
１
２
Ｂ．犪＝
１
４
，
犫＝－
１
２
Ｃ．犪＝－
１
４
，
犫＝
１
２
Ｄ．犪＝－
１
４
，
犫＝－
１
２
３．
已知
α
，
β
是空间两个不同的平面，
犿
，
狀
是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是
Ａ．
若
犿
∥α
，
狀
∥α
，则
犿
∥
狀Ｂ．
若
犿
∥α
，
犿
∥
狀
，则
狀
∥α
Ｃ．
若
犿
⊥α
，
狀
∥
β
，且
犿
⊥
狀
，则
α⊥
β
Ｄ．
若
犿
⊥α
，
狀
⊥
β
，且
α∥
β
，则
犿
∥
狀
４．
某公司将包括
２
名女员工在内的
５
名员工派往
３
个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每
个地方至少去一人，则
２
名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有
Ａ．２４Ｂ．３２Ｃ．３６Ｄ．４８
５．
著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对
数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程
．
在一次趣味表演中，主持人出题：一个
３５
位整数的
３１
次方根仍是一个整数，下面我报出这个
３５
位数，请说出它的
３１
次方根
．
还未等
主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的
３１
次方根是
１３．
他的秘诀就是：
他心中记住了下面的表（表中常用对数为近似值）
．
请你也试一试，一个
２０
位整数的
３２
次方根
仍是一个整数，这个
３２
次方根是多少？
真数 常用对数 真数 常用对数
２０．３０９０．９５
３０．４８１０１．００
４０．６０１１１．０４
５０．７０１２１．０８
６０．７８１３１．１１
７０．８５１４１．１５
８０．９０１５１．１８
Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６
６．
已知函数
犳
（
狓
）
＝狓
３
＋犪狓
２
＋犫狓
有两个极值点
狓１
，
狓２
，且
犳
（
狓１
）
＝狓２
，
犳
（
狓２
）
＝狓１
，那么关于
狓
的方程
３
［
犳
（
狓
）］
２
＋２犪犳
（
狓
）
＋犫＝０
的不同实根的个数是
Ａ．６
个
Ｂ．４
个
Ｃ．２
个
Ｄ．１
个
７．
我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点
之间线段最短确定最短路线
．
请根据此方法求函数
犳
（
狓
，
狔
）
＝狓
２
－槡３狓＋槡１＋狔
２
－槡３狔＋槡１＋狓
２
－槡３狓狔＋狔槡
２
（
狓
＞
０
，
狔＞０
）的最小值
槡槡Ａ．２Ｂ．３
槡槡Ｃ．６Ｄ．２３
８．
已知矩形
犃犅犆犇
中，
犃犅＝２
，
犃犇＝１
，沿着对角线
犃犆
将
Δ犃犆犇
折起，使得点
犇
不在平面
犃犅犆
内，当
犃犇
⊥
犅犆
时，求该四面体
犃犅犆犇
的内切球和外接球的表面积比值为
Ａ．
１８－槡９３
５
Ｂ．
１９－槡９３
５
Ｃ．
２１－槡１２３
５
Ｄ．
２４－槡１２３
５
二、选择题（本大题共
４
小题，每小题
５
分，共
２０
分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得
５
分，部分选对的得
２
分，有选错的得
０
分。）
９．
我们可以用统计图表表示数据，对获得数据进行统计分析。据《中国统计年鉴（
２０２２
）》可知，
２０１６
～
２０２１
年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示。
（已知少儿抚养比（
％
）
＝
０
～
１４
岁人数
１５
～
６４
岁人数
×１００％
，老年抚养比（
％
）
＝
６５
岁及以上人数
１５
～
６４
岁人数
×
１００％
，总抚养比（
％
）
＝
少儿抚养比（
％
）
＋
老年抚养比（
％
））根据图表，下列说法正确的有
命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
第
３
页（共
６
页）命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
第
４
页（共
６
页）
Ａ．
从
２０１６
年到
２０２１
年期间，
０
～
１４
岁人口比重在逐年上升
Ｂ．
从
２０１６
年到
２０２１
年期间，
１５
～
６４
岁人口比重在逐年下降
Ｃ．２０２１
赡养老人的压力比
２０２０
年更重
Ｄ．２０２１
年总抚养比大于
２０２０
年总抚养比
１０．
已知函数
犳
（
狓
）
＝槡３ｃｏｓω
狓＋
π
（）
４
＋ｃｏｓω
狓－
π
（）
４
（
ω＞０
），当
狓
∈
０
，
π
［］
２
时函数恰有
３
个零
点，则正整数
ω
的取值可以是
Ａ．５Ｂ．６Ｃ．７Ｄ．８
１１．
如图所示，已知
犗
（
０
，
０
），
犃
（
２
，
０
），
犅１
（
１
，
１
），作以
犅１
为直角顶点的等腰直角
△犗犃犅１
，作点
犃
和点
犅１
的中点
犆１
，继续作以
犆１
为直角顶点的等腰直角
△犅１犅２犆１
，……，如此继续作中点，作
等腰直角三角形
．
这样会得到一组分别以
犅１
，
犆１
，
犅２
，
犆２
，……为直角顶点的等腰直角三角形
．
下列说法正确的是
Ａ．
所作的等腰直角三角形的边长构成公比为
１
２
的等比数列
Ｂ．
第
４
个等腰直角三角形的不在第
３
个等腰直角三角形边上的顶点坐标为
犅３
９
４
，
（）
１
Ｃ．
点
Ｃ４
的纵坐标为
５１１
５１２
Ｄ．
若记第
狀
个等腰直角三角形的面积为
犛狀
，则
ｌｉｍ
狀→∞
∑
狀
ｉ＝１
犛ｉ＝
４
３
１２．
已知正方形
犃犅犆犇
的边长为
２
，点
犕
，
犖
分别是线段
犆犇
，
犅犆
上的动点，若满足
→
犃犆＝
→
狓犃犕＋
狔
→
犃犖
，则下列说法正确的是
Ａ．
当
狓＝１
时，则
狔＝１
Ｂ．
当
狓＝狔＝
２
３
时，点
犕
，
犖
分别是线段
犆犇
，
犅犆
的中点
Ｃ．
当
狓＝狔＝
２
３
时，
→
犃犆
·
→
犕犖＝０
Ｄ．
当
１
犆犕
２
＋
１
犆犖
２
＝１
时，
狓＋狔
的最小值为
８＋槡２２
７
（在此卷上答题无效）
第
Ⅱ
卷（非选择题
共
９０
分）
考生注意事项：
请用
０．５
毫米黑色墨水签字笔在答题卡上
獉獉獉獉獉
作答，在试题卷上答题无效
獉獉獉獉獉獉獉獉獉
。
三、填空题（本大题共
４
小题，每小题
５
分，共
２０
分。）
１３．
已知
狓
２
＋狔
２
－８狓－６狔＋１６＝０
，则
狔
狓
的最小值为
．
１４．
若（
１０狓＋６狔
）
３
＝犪狓
３
＋犫狓
２
狔＋犮狓狔
２
＋犱狔
３
，则
－犪＋２犫－４犮＋８犱＝ ．
１５．
已知函数
狔＝犳
（
狓
）定义域为
犚
且满足
①狔＝犳
（
狓＋２
）为偶函数；
②
任意
狓
≥
２
，
狔≥２
都有
犳
（
狓＋狔
）
－１＝犳
（
狓
）
＋犳
（
狔
）成立
③狓１
，
狓２
∈
［
２
，
＋∞
），
狓１
≠
狓２
，都有
犳
（
狓１
）
－犳
（
狓２
）
狓１－狓２
＞
０
，请
给出满足上述三个性质的一个函数为
．
１６．
已知双曲线
犆
：
狓
２
犪
２
－
狔
２
犫
２
＝１
（
犪
＞
０
，
犫
＞
０
）的右焦点为
犉
，在双曲线左支上取一点
犕
，若直线
犕犉
与以双曲线实轴为直径的圆相切于
犖
，若向量
→
犕犖＝２
→
犖犉
，则双曲线
犆
的离心率
为
．
四、解答题（本大题共
６
小题，共
７０
分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
１７．
（
１０
分）
已知
△犃犅犆
的三个内角
犃
，
犅
，
犆
所对的边分别为
犪
，
犫
，
犮
，且
犃＝
π
３
，
犫ｃｏｓ
２犆
２
＋犮ｃｏｓ
２犅
２
＝
犫＋犮
２
＋槡３
，
设
犅＝狓
，
△犃犅犆
的周长为
狔．
（
１
）当
狓＝
π
４
时，求
狔
的值；
（
２
）求函数
狔＝犳
（
狓
）的解析式及最大值
．
命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
第
５
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页）命题：马鞍山二中
高莹
石军
审题：霍邱一中
罗花
和县一中
杨来
制卷：等高教育
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６
页）
１８．
（
１２
分）
如下表，已知有
狀
２
（
狀
≥
４
）个正数排成
狀
行
狀
列：其中每一行都成等差数列，每一列都成等比数
列，且所有的公比相等，已知
犪１２＝１
，
犪１４＝２
，
犪４２＝８．
犪１１ 犪１２ 犪１３
…
犪１狀
犪２１ 犪２２ 犪２３
…
犪２狀
犪３１ 犪３２ 犪３３
…
犪３狀
犪狀１ 犪狀２ 犪狀３
…
犪狀狀
（
１
）求
犪３４
和
犪４４
的值；
（
２
）求
犛＝犪１１＋犪２２＋
…
＋犪狀狀
（用含
狀
的式子表达）
．
１９．
（
１２
分）
“十三五”时期，在党中央、国务院坚强领导下，全民健身国家战略深入实施，全民健身公共服
务水平显著提升，全民健身场地设施逐步增多，人民群众通过健身促进健康的热情日益高涨，
经常参加体育锻炼人数和参加锻炼的时间都在明显增加
．
某城市为了调查该市市民积极参加
体育锻炼的情况，从市民中随机抽取了
５０
人，结果是他们参加锻炼的时间都在区间［
５０
，
１００
］
内，锻炼时间的频率分布直方图如下：
第
１９
题图
（
１
）如果锻炼时间的中位数的估计值大于或者等于平均数
的估计值，则说明该城市市民积极参加锻炼的意识很强，否
则说明该城市市民积极参加锻炼的意识不强，请你根据直
方图对他们积极参加锻炼的意识强与不强做出判断；
（
２
）假如根据调查统计结果规定：锻炼时间在［
８０
，
１００
］的
市民为优秀层次，时间在［
５０
，
８０
）的为非优秀层次，
①
从被调查的
５０
人中按分层抽样的方法抽取
１０
人，再从这
１０
人中随机抽取
５
人，求这
５
人
中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；
②
用频率作为概率，现从该城市所有市民中随机抽取
３
人，这
３
人中锻炼时间为优秀层次的
人数为
犡
，求随机变量
犡
的分布列和数学期望
．
２０．
（
１２
分）
如图所示，在四棱锥
犛犃犅犆犇
中，侧面
犛犃犅
为边长为
２
的等边三角形，底面
犃犅犆犇
为等腰梯
形，
犃犅
∥
犆犇
，
犆犇＝１
，底面梯形的两条对角线
犃犆
和
犅犇
互相垂直，垂足为
犗
，
犛犗＝槡２
，点
犕
为棱
犛犅
上的任意一点
．
（
１
）求证：
犃犆
⊥
犇犕
；
（
２
）是否存在点
犕
使得二面角
犕犃犇犆
的余弦值为
槡７６
１８
，若存在求出点
犕
的位置；若不存
第
２０
题图
在请说明理由
．
２１．
（
１２
分）
已知双曲线的标准方程为
狓
２
犪
２
－
狔
２
犫
２
＝１
（
犪
＞
０
，
犫
＞
０
），其中点
犉
为右焦点，过点
犉
作垂直于
狓
轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点
犃
，过点
犉
作双曲线渐近线的垂线，垂足为
犕
，若
犃犉
＝６
，
犕犉＝槡２３
，
（
１
）求双曲线的标准方程；
（
２
）过点
犕
作
犃犉
的平行线
犾
，在直线
犾
上任取一点
犘
，连接
犘犃
与双曲线相交于点
犅
，求证点
犘
到直线
犅犉
的距离是定值
．
２２．
（
１２
分）
已知
犳
（
狓
）
＝ｌｎ
（
狓－１
）
＋犪狓
（
犪
∈
犚
）
（
１
）讨论函数
犳
（
狓
）的单调性；
（
２
）当
犪＝１
时，
犫ｅ
狓
＋ｌｎ犫＋狓＋１≥犳
（
狓
）恒成立，求
犫
的取值范围
．
|
|
