专题 1：曲线与方程的概念参考答案 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2专题 2：曲线的轨迹方程参考答案 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8专题 3：用方程研究曲线的性质 参考答案 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22专题 4：椭圆的定义与方程参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????35专题 5：椭圆的对称性参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????44专题 6：椭圆的离心率问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????51专题 7：椭圆中的定点问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????60专题 8：椭圆中的定值问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????71专题 9：椭圆中的定直线问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????80专题 10：椭圆中的范围问题参考答案 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????88专题 11：椭圆中的存在探索性问题参考答案 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????97专题 12：椭圆向量结合问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????107专题 13：椭圆的应用问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????118专题 14：双曲线的定义与方程参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????126专题 15：双曲线的对称性问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????135专题 16：双曲线的离心率问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????140专题 17：双曲线的定点问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????154专题 18：双曲线的定值问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????162专题 19：双曲线的定直线问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????174专题 20：双曲线的范围问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????177专题 21：双曲线的存在探索性问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????185专题 22：双曲线的渐近线问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????194专题 23：双曲线向量结合问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????204专题 24：双曲线的应用问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????213专题 25：抛物线的定义与方程参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????220专题 26：抛物线的对称性问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????230专题 27：抛物线的定点问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????238专题 28：抛物线的定值问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????247专题 29：抛物线的定直线问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????260专题 30：抛物线的范围问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????270专题 31：抛物线的存在探索性问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????282专题 32：抛物线向量结合问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????296专题 33：抛物线的应用问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????305专题 34：圆锥曲线中点弦问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????313专题 35：圆锥曲线的弦长问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????323专题 36：圆锥曲线的面积问题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????335专题 37：圆锥曲线的统一定义参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????350专题 38：圆锥曲线的新定义参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????356专题 39：圆锥曲线的综合题参考答案 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????368第 1页 共 377页
专题 1：曲线与方程的概念参考答案1. A【 解析】 (x+y-3) x2+y2-2x=0，故 x+y-3=0且 x2+y2-2x≥0，如图所示 ：画出图像知，表示一条直线；或 x2+y2-2x=0，即 x-1? ? 2+y2=1表示一个圆 .故选： A.2. D【 解析】当 y>0时， y= x2+ 1x2 ，因为定义域为 x|x≠0? ? ，排除 C，该函数为偶函数 ，排除 A,又 y= x2+ 1x2 ≥ 2，当且仅当 x2=1时 ，取等号，排除 B,故选： D.3. C【解析】① 对任意三点 A、 B、 C，若它们共线，设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， C(x3， y3)，如图，结合三角形的相似可得 d(C,A)， d(C,B)， d(A,B)为 AN， CM， AK，或 CN， BM， BK，则 d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；若 B， C或 A， C对调，可得 d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；若 A， B， C不共线，且三角形中 C为锐角或钝角，如图，由矩形 CMNK或矩形 BMNK，d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；则对任意的三点 A， B， C，都有 d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)，故①正确；②设点 Q是直线 y=2x-1上一点，且 Q(x,2x-1)，第 2页 共 377页
可得 d(P,Q)=max{|x-3|， |2-2x|}，由 |x-3|≥|2-2x|，解得 -1≤x≤ 53 ，即有 d(P,Q)=|x-3|，当 x= 53 时， 取得最小值 43 ；由 |x-3|<|2-2x|，解得 x> 53 或 x<-1，即有 d(P,Q)=|2x-2|，d(P,Q)的范围是 (3,+∞)∪ 43 ,+∞? ? ，无最值 ；综上可得， P， Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 43 ；故②正确 ；③假设定点 M(0,0)，到定点 M的距离和到 M的“切比雪夫距离”相等且距离为 1的点为 Q(x,y)，则到定点 M(0,0)的距离为 1的点 Q的轨迹为单位圆；到 M的“切比雪夫距离”的距离为 1的点 Q，所以d M,Q? ? =max x? ?,y? ?? ? =1，即 x? ? ≥ y? ?,x? ? =1,??? 或 x? ? ≤ y? ?,y? ? =1,??? 显然点 Q的轨迹为正方形， 所以只有四个点 (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)符合要求，故③错误；故选： C4. D【解析】因为方程 x-1?ln x2+y2-1? ? =0所以可得 x-1=0或 ln x2+y2-1? ? =0，即 x=1或 x2+y2=2， x≥1且 y≠0所以曲线为直线 x=1(y≠0)与圆 x2+y2=2在直线 x=1(y≠0)的右边部分构成，故选 D.5. D【解析】因为命题“坐标满足方程 f x,y? ? =0的点都在曲线 C上” 不正确，所有命题“坐标满足方程 f x,y? ? =0的点不都在曲线 C上” 正确，即“一定有不在曲线 C上的点，其坐标满足方程 f x,y? ? =0，因此 D正确 .故选 ： D.6. C【解析】因为点 M x0,y0? ? 不在直线 l上， 所以 f x0,y0? ? 是不为 0的常数， 所以方程 f x,y? ? -f x0,y0? ? =0表示过点 M x0,y0? ? 且与直线 l平行的一条直线 .故选 : C.7. C【 解析】依题意得，在方程 3y2-xy=1中，用 -x替换 x，用 -y替换 y得：3 -y? ? 2- -x? ? -y ? =3y2-xy=1， 即方程不变，而点 x,y? ? 与点 -x,-y? ? 关于原点对称，所以方程 3y2-xy=1表示的曲线关于原点对称 .故选： C. 第 3页 共 377页
8. D【 解析】由题意，首先 |x|>1，平方整理得 (|x|-1)2+(y-1)2=1，若 x>1，则是以 (1， 1)为圆心，以 1为半径的右半圆若 x<-1，则是以 (-1， 1)为圆心，以 1为半径的左半圆总之，方程表示的曲线是以 (1， 1)为圆心，以 1为半径的右半圆与以 (-1， 1)为圆心，以 1为半径的左半圆合起来的图形故选 D．9. BCD【解析】设 M(x,y)，A.k1+k2= yx+1 + yx-1 =2，化简得 y=x- 1x，不是椭圆方程 ， A错；B. k1-k2= yx+1 - yx-1 =2，化简得 y=1-x2， 是抛物线方程，轨迹是抛物线 (去掉 x=±1的两点 )，B正确；C.k1?k2= yx+1 ? yx-1 =2，化简得 x2- y22 =1，双曲线方程 ，轨迹是双曲线 (除去两顶点 )， C正确；D. k1k2 = yx+1yx-1 = x-1x+1 =2， yx-1 ≠0， y≠0，化简得 x=-3，轨迹是直线，去除点 (-3,0)， D正确，故选： BCD．10. ①②③④【解析】方程 x|x|+y|y|=1等价于：x2+y2=1 x≥0,y≥0? ?x2-y2=1 x≥0,y≤0? ?-x2+y2=1 x≤0,y≥0? ???????? ，绘制其对应的曲线如图所示：据此考查所给的性质：① 由函数图像可知 f(x)是 R上的单调递减函数；② 注意到两段双曲线的渐近线均为 y=-x，故对于任意 x∈R， f(x)>-x,f(x)+x>0恒成立；③ 很明显函数的值域为 R，故对于任意 a∈R，关于 x的方程 f(x)=a都有解；④ 很明显单调递减函数 f x? ? 的定义域、 值域均为 R，且函数 f x? ? 关于直线 y=x对称，第 4页 共 377页
故 f(x)存在反函数 f-1(x)，且对任意 x∈R， 总有 f(x)=f-1(x)成立 .综上可得，结论正确的是①②③④ .故答案为①②③④．11. ①④【解析】曲线 C:x2-xy+y2=4，对于①，将 -x替换 x， -y替换 y，代入可得 x2-xy+y2=4，所以曲线 C关于原点对称；将 -x替换 x，代入可得 x2+xy+y2=4，所以曲线 C不关于 y轴对称；将 -y替换 y，代入可得 x2+xy+y2=4，所以曲线 C不关于 x轴对称；所以①正确；对于②，当 x=0时，代入可得 y=±2，所以经过 0,2? ? , 0,-2? ? ；当 y=0时， 代入可得 x=±2，所以经过 2,0? ? , -2,0? ? ；当 x=2时， 代入可得 y=2，所以经过 2,2? ? ；当 x=-2时 ，代入可得 y=-2，所以经过 -2,-2? ? ；所以至少有六个整点在曲线 C上， 所以②错误；对于③，由 x2-xy+y2=4可知 x2+y2=4+xy，而 x2+y2≥2xy，所以 4+xy≥2xy，解得 xy≤4，即 4+xy≤8，则 x2+y2≤8，同理 x2+y2≥-2xy，解得 x2+y2≥ 83 ，所以 83 ≤x2+y2≤8，则③错误 ；对于④，由③可知 83 ≤x2+y2≤8，所以 x2+y2 ≤2 2，故④正确 ，综上可知，正确的为①④， 故答案为：①④ .12.y2=2x+1 - 12 ≤x≤ 12? ?【解析 】设 Q u,υ? ? ，则 u=xyυ=x+y???因为点 P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上， 所以 x2+y2=1，则： - 12 ≤u≤ 12 ,- 2≤υ≤ 2，且 υ2-2u=x2+y2=1 - 12 ≤u≤ 12? ?所以点 Q的轨迹方程是 y2-2x=1 - 12 ≤x≤ 12? ? ，即 y2=2x+1 - 12 ≤x≤ 12? ? .故答案为： y2=2x+1 - 12 ≤x≤ 12? ? . 第 5页 共 377页
13. ②④ .【 解析】求解命题 p:∵方程 x2-2y2-2? ? x-1=0∴x2-2y2-2=0或 x-1=0当 x2-2y2-2=0时 ,即 x22 -y2=1,此时表示的是双曲线当 x-1=0时 ,即 x-1=0(x≥0),此时表示的是射线故命题 p是假命题求解命题 q:直线 AB与椭圆 E: y29 +x2=1相交于 A,B两点 ,设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?则 x219 +y21 =1x229 +y22 =1???????两式相减 : y1+y2? ? y1-y2 ?9 + x1+x2? ? x1-x2 ? =0∵P 12 , 12? ? 为 AB的中点 ,∴x1+x2=1,y1+y2=1∴k= y1-y2x1-x2 =-9∴直线 AB的方程为 y- 12 =-9 x- 12? ?整理得 :9x+y-5=0.故命题 q是真命题根据复合命题真假判定可知 :对于① ,p∧q是假命题;对于② ,p∨q是真命题;对于③ ,p∧(?q)是假命题;对于④ ,(?p)∨q是真命题 .故答案为 :②④ .14. ①②④⑤【解析】对于①，将方程中的 x换成 -x， y换成 -y方程不变，故①正确；对于②，将方程中的 x换成 -y， y换成 -x方程不变；或将方程中的 x换成 y， y换成 x方程不变，故②正确；对于③，由方程得 x2>1， y2>1，故曲线 C不是封闭图形，故③错；对于④，联立曲线 C: 1x2 + 1y2 =1圆 x2+y2=2，方程组无解 ，无公共点，故④正确；对于⑤，当 x>0， y>0时，联立曲线 C与 x+y=2 2 只有一解 ( 2, 2)，根据对称性 ，共有有 4个交点，这 4点构成正方形，正确．故答案为：①②④⑤ 第 6页 共 377页
15.(1)(2)(5)【解析】曲线方程 C:x2+y4=1将方程中 x换成 -x,y换成 -y,曲线 C的方程都不变 ,所以 (1)(2)正确;将 x、 y互换 ,方程变为 y2+x4=1,方程发生改变 ,所以 (3)错误;在曲线上任取一点 P x0,y0? ? ,则 x02+y04=1即 x0? ? ≤1,y0? ? ≤1,所以是封闭图形 ,(6)错误;因为 y0? ? ≤1,所以 y04≤y02因而 x02+y04≤x02+y02即 1≤x02+y02,所以 P x0,y0? ? 在圆 x2+y2=1的外面所以封闭图形的面积大于 π,所以 (4)错误 ,(5)正确 .综上可知 , 正确的序号是 (1)(2)(5)故答案为 : (1)(2)(5)16. ①③④【解析】由题意，满足合作曲线，则说明曲线 C过单位圆内，如图，曲线① (黄色圆 )、曲线③ (蓝色双曲线)、曲线④ (绿色椭圆 )过单位圆内，为合作曲线，即答案为①③④． 第 7页 共 377页
专题 2：曲线的轨迹方程参考答案1. ①②④⑤【 解析】 (1)因为 A为圆 ⊙O内的一定点， P为 ⊙O上的一动点，线段 AP的垂直平分线交半径 OP于点 M，可得 MA? ? = MP? ?,MA? ? + MO? ? = MP? ? + MO? ? = OP? ? =r，即动点 M到两定点 O,A的距离之和为定值，①当 O,A不重合时，根据椭圆的定义，可知点 M的轨迹是：以 O,A为焦点的椭圆；②当 O,A重合时，点 M的轨迹是圆；(2)当 A为圆 ⊙O外的一定点， P为 ⊙O上的一动点，线段 AP的垂直平分线交半径 OP于点 M，可得 MA? ? = MP? ?,MA? ? - MO? ? = MP? ? - MO? ? = OP? ? =r，即动点 M到两定点 O,A的距离之差为定值，根据双曲线的定义 ，可得点 M的轨迹是：以 O,A为焦点的双曲线；(3)当 A为圆 ⊙O上的一定点， P为 ⊙O上的一动点，此时点 M的轨迹是圆心 O.综上可得：点 M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线 .故答案为：①②④⑤2. x24 + y216 =1【解析 】如图， 延长 F2Q交 F1P的延长线于 S，连接 OQ.因为 PQ为 ∠SPF2的平分线且 F2S⊥PQ，故 △PSF2为等腰三角形且 PS? ? = PF2? ? ， SQ? ? = QF2? ? ，所以 PF1? ? + PF2? ? = PS? ? + PF1? ? =2×4=8.在 △F1SF2中 ，因为 F1O? ? = F2O? ?,SQ? ? = QF2? ? ，所以 OQ? ? = 12 F1S? ? = 12 F1P? ? + PS? ?? ? =4，故 Q的轨迹方程为： x2+y2=16.令 M x,y? ? ，则 Q 2x,y? ? ，所以 4x2+y2=16即 x24 + y216 =1，故答案为： x24 + y216 =1 第 8页 共 377页
3. x2+y2-4y=0 (x≠0)【解析】解：由题意设 M点坐标 (m， 2)(m≠0)，则以 MO为直径的圆的方程为 x- m2? ? 2+(y-1)2= 14(m2+4)，又圆 O的方程为 x2+y2=4，两式作差得 ： mx+2y=4．联立 mx+2y=4x2+y2=4??? ，解得 x= 8mm2+4y= 8-2m2m2+4????? 或 x=0y=2??? ．则点 Q的横坐标为 8mm2+4．由于 AM垂直于 y轴 ，于是垂线 BQ就垂直于 x轴，因此 B、 Q横坐标相同．又 MA、 MQ是圆的两条切线，于是 MA=MQ，因此可知 MH(H为三角形 MAQ的垂心 )过 AQ中点，而由圆的对称性可知， MO也过 AQ的中点，于是可知 M、 H、 O三点共线．由直线 MO的方程为 y= 2mx，代入 Q点横坐标得 H点的纵坐标为 y= 16m2+4．∴三角形 MAQ的垂心的轨迹方程为 x= 8mm2+4y= 16m2+4????? ．消掉 m得： x2+y2-4y=0 (x≠0)．故答案为： x2+y2-4y=0 (x≠0) 第 9页 共 377页
4. x=a2【 解析】因为 m 2-y? ? + 1-2m? ?x=y+1 m∈R? ? ，所以 m(2-y-2x)+x-y-1=0，由 2-y-2x=0x-y-1=0??? 得 x=1y=0??? ，故直线 l恒过 (1,0)，由题意知，直线 PQ斜率不为 0，设 PQ的方程为 x=ty+1， P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0)， R(x,y)，联立椭圆方程，得 (b2t2+a2)y2+2b2ty+b2-a2b2=0，则 Δ>0， y1y2= b2-a2b2b2t2+a2 ,y1+y2= -2b2tb2t2+a2 ,， y1y2= a2b2-b2? ? y1+y2 ?2b2t ，由 A1,P,R三点共线可得 yx+a = y1x1+a，由 A2,Q,R三点共线可得 yx-a = y2x2-a，两式相除可得 x-ax+a = y1(x2-a)y2(x1+a) = y1(ty2+1-a)y2(ty1+1+a) = ty1y2+ 1-a? ?y1ty2y1+ 1+a? ?y2= t a2b2-b2? ? y1+y2 ?2b2t + 1-a? ?y1t a2b2-b2? ? y1+y2 ?2b2t + 1+a? ?y2 = a-1a+1 ，解得 x=a2，所以点 R在定直线 x=a2上 ，故点 R的轨迹方程为 x=a2.故答案为： x=a2.5. x24 + 5y24 =1(y≠0)【解析 】如图，设 △F1MF2的内心为 I，连接 MI交 x轴于点 N，连接 IF1,IF2在 △MF1I中 IF1是 ∠MF1N的角平分线 .根据内角平分线性质定理得到 MI? ?NI? ? = MF1? ?NF1? ? .同理可得 MI? ?NI? ? = MF2? ?NF2? ? .所以 MI? ?NI? ? = MF1? ?NF1? ? = MF2? ?NF2? ? ，根据等比定理得 ： MI? ?NI? ? = MF1? ? + MF2? ?NF1? ? + NF2? ? = 2a2c = ac在椭圆 x29 + y25 =1中， a=3,b= 5,c=2所以 MI? ?NI? ? = 32设 I x,y? ? ,M x0,y0? ? ,N x1,y1? ? ，则 y0≠0MF1? ? = x0+2? ? 2+y02 = x0+2? ? 2+5× 1- x029? ? =3+ 23x0同理 MF2? ? =3- 23x0又 F1N? ? =x1+2,F2N? ? =2-x1，则 3+ 23x03- 23x0 = x1+22-x1 ，可得 x1= 49x0所有 N 49x0,0? ? 第 10页 共 377页
MI??= x-x0,y-y0? ? ,IN??= 49x0-x,-y? ?由 MI??= 32IM??，得 x0-x= 23x0- 32x， y-y0=- 32y所以 x0=- 32x,y0= 52y，代入椭圆 x29 + y25 =1方程 .得 x24 + 5y24 =1，由 y0≠0， 则 y≠0.所以 △F1MF2的内心轨迹方程为： x24 + 5y24 =1 y≠0? ?故答案为： x24 + 5y24 =1 y≠0? ?6. (1) 52 ； (2)y2= 52x- 254【解析 】 (1)由 OD⊥AB及 D 1， 2? ? ，得直线 AB的斜率 k=- 1kOD =- 12 ，则 AB的方程为 y-2=- 12 x-1? ? ，即 x=-2y+5，设 A xA,yA? ? ， B xB,yB? ? ，联立 y2=2px,x=-2y+5,??? 消去 x得 y2+4py-10p=0， Δ=16p2+40p>0，由韦达定理，得 yAyB=-10p，于是 xAxB= yA22p ? yB22p = 100p24p2 =25，由 OA⊥OB，得 OA?? ?OB?? =0，即 xAxB+yAyB=0，则 25-10p=0，解得 p= 52 .(2)由 (1)得抛物线的焦点 F 54 ， 0? ? ，设 C的准线与 x轴的交点为 G，则 SΔPQF= 12 FG? ? PQ? ? = 12 × 52 y1-y2? ? ， SΔMNF= 12 FT? ? PQ? ? = 12 t- 54? ? y1-y2? ? ，由 SΔPQF=2SΔMNF， 得 t- 54? ? = 54 ，且 t≠0， 得 t= 52 .设 MN的中点 E的坐标为 x， y? ? ，则当 MN与 x轴不垂直时 ，由 KMN=KTE，可得 y2-y1x2-x1 = y-0x- 52 ? y2-y1y225 - y125 = yx- 52 ? 5y2+y1 = yx- 52 ? 52y = yx- 52 ，y2= 52x- 254 x≠ 52? ? ；当 MN与 x轴垂直时 ， T与 E重合，所以 MN的中点的轨迹方程为 y2= 52x- 254 .第 11页 共 377页
7. (1)x2= 4y, y≤3-12 y-4? ? , y>3??? ；作图见解析 ； (2)答案不唯一，具体见解析 .【解析】解： (1)设 M x,y? ? ，由题意 x2+ y-1? ? 2 + y-3? ? =4①： 当 y≤3时，有 x2+ y-1? ? 2 =y+1，化简得： x2=4y②：当 y>3时，有 x2+ y-1? ? 2 =7-y，化简得： x2=-12 y-4? ? (二次函数 )综上所述： 点 M的轨迹方程为 x2= 4y, y≤3-12 y-4? ? , y>3??? (如图 )：(2)当 t≤0或 t≥4显然不存在符合题意的对称点，当 0
化简得 t= y0+63 0≤y0≤3? ?①当 y0∈ 0,3? ? 时， t∈ 2,3? ? ，此时方程组 ()有两解，即增加有两组对称点 .②当 y0=0时， t=2， 此时方程组 ()只有一组解，即增加一组对称点 .(注：对称点为 P 0,0? ? ， Q 0,4? ? )③当 y0=3时， t=3， 此时方程组 ()有两解为 P 2 3,3? ? ， Q -2 3,3? ? ，没有增加新的对称点 .综上所述： 记对称点的对数为 M,M= 0,t≤0,t≥41,t∈ 0,2? ?2,t=23,t∈ 2,3? ?1,t∈ 3,4? ???????? .8. (1)y2=2x； (2)( 2-1,+∞)【 解析】 (1)设点 P x,y? ? ，则 Q -2,y? ? ∴OP?? = x,y? ? ， OQ?? = -2,y? ?∵OP?? ?OQ?? =0 ∴OP?? ?OQ?? =-2x+y2=0，即 y2=2x(2)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， D x3,y3? ? ，直线 BD与 x轴交点为 E， 内切圆与 AB的切点为 T．设直线 AM的方程为： y=k x+ 12? ? ，则联立方程 y=k x+ 12? ?y2=2x??? ，得 ： k2x2+ k2-2? ?x+ k24 =0∴x1x2= 14 且 0
∴S△MBD= 12 2 x2+ 12? ? 2+y22 +2y2? ???? ? ? ? ? ?r= 12 ? x2+ 12? ? ? 2y2? ?∴r= x2+ 12? ? y2? ?y2? ? + x2+ 12? ? 2+y22 = 11x2+ 12 + 1y22 + 1x2+ 12? ? 2 = 112x2 + 1x2+ 12? ? 2 + 1x2+ 12 .方法 (二 )设 H x2-r,0? ? ，直线 BD的方程为 ： x=x2，其中 y22=2x2直线 AM的方程为： y= y2x2+ 12 x+ 12? ? ，即 y2x- x2+ 12? ? y+ 12y2=0，且点 H与点 O在直线 AB的同侧，∴r= x2-r? ?y2+ 12y2? ?x2+ 12? ? 2+y22 = x2-r? ?y2+ 12y2x2+ 12? ? 2+y22 ，解得 ： r= x2y2+ 12y2y2+ x2+ 12? ? 2+y22 =112x2 + 1x2+ 12? ? 2 + 1x2+ 12方法 (三 )∵ΔMTH～ΔMEB ∴ MHMB = HTBE ，即 x2+ 12 -rx2+ 12? ? 2+y22 = ry2? ? ，解得 ：r= x2+ 12? ? y2? ?y2? ? + x2+ 12? ? 2+y22 = x2+ 12x2+ 12? ? 2y22 +1+1 = x2+ 12x2+ 12? ? 22x2 +1+1 =112x2 + 1x2+ 12? ? 2 + 1x2+ 12令 t=x2+ 12 ，则 t>1∴r= 112t-1 + 1t2 + 1t 在 1,+∞? ? 上单调增， 则 r> 12+1 ，即 r的取值范围为 2-1,+∞? ? ．9. (1)y= 33 x- 3,y=- 33 x+ 3； (2)x29 + y28 =1.【 解析】解： (1)设所求直线 L的方程为 y=kx+b，∵直线 L与 ⊙C1相切， ∴ k+b? ?1+k2 =1， (i)又直线 L截 ⊙C2的弦长等于 2 21，∴ -k+b? ?1+k2 =2， (ii)2 21=2 r2-d2，解得 d2=r2-21=4，∴|k-b|=2 1+k2， ∴|k-b|=2|k+b|，∴k+3b=0， (iii)或 3k+b=0， (iiii)(iii)代入 (i)，得： 2k3? ? = 1+k2， 59k2+1=0，无解 ，(iiii)代入 (i)，得： |-2k|= 1+k2，解得 k=± 33 ，当 k= 33 时， b=- 3，直线方程为 y= 33 x- 3，第 14页 共 377页
当 k=- 33 时， b= 3，直线方程为 y=- 33 x+ 3．经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．故直线 L的方程为 y= 33 x- 3，或 y=- 33 x+ 3．(2)由题意得： |MC1|+|MC2|=6，设动点 M(x， y)，则 (x-1)2+y2 + (x+1)2+y2 =6，解得 x29 + y28 =1，∴动圆 M的圆心 M轨迹方程为 x29 + y28 =1．10.M 的轨迹是以 2p,0? ? 为圆心， 以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解析】如图，点 A,B 在抛物线 y2=4px 上，设 A y2A4p,yA? ? ,B y2B4p,yB? ? ， OA,OB 的斜率分别为 kOA,kOB．所以kOA= yAy2A4p = 4pyA ,kOB= 4pyB .由 OA⊥OB，得kOA?kOB= 16p2yAyB =-1??①依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程yA+yB? ? y-yA ? =4p x- y2A4p? ? ??②由 OM⊥AB，得直线 OM 方程y= yA+yB-4p x??③设点 M x,y? ? ，则 x,y 满足②、 ③两式，将②式两边同时乘 - x4p，并利用③式整理得x4py2A+yyA- x2+y2? ? =0??④由③、 ④两式得- x4pyAyB- x2+y2? ? =0.由①式知， yAyB=-16p2, ∴ x2+y2-4px=0.因为 A,B 是原点以外的两点，所以 x≠0．所以 M 的轨迹是以 2p,0? ? 为圆心， 以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．第 15页 共 377页
11. (Ⅰ )x24 + y22 =1； (Ⅱ )x=4.【解析 】 (Ⅰ )由 e2= c2a2 = a2-b2a2 =1- b2a2 = 12 ，得 a= 2b，由点 A a,0? ? 、 B 0,-b? ? 可知直线 AB的方程为 xa - yb =1，即 x- 2y- 2b=0.由于原点到直线 AB的距离为 2 33 ，即 0+0- 2b? ?12+ - 2? ? 2 = 2b3 = 2 33 ，得 b= 2，∴a= 2b=2，因此 ，椭圆 E的方程为 x24 + y22 =1；(Ⅱ )设点 C x1,y1? ? 、 D x2,y2? ? 、 N x0,y0? ? ，设直线 CD的方程为 x=my+1，联立直线 CD的方程与椭圆 E的方程 x=my+1x24 + y22 =1??? ，消去 x并整理得 m2+2? ?y2+2my-3=0， Δ=16 m2+3? ? >0，由韦达定理得 y1+y2=- 2mm2+2 ， y1y2=- 3m2+2.kNC+kND= y1-y0x1-x0 + y2-y0x2-x0 = y1-y0ky1+ 1-x0? ? + y2-y0ky2+ 1-x0? ?= 2ky1y2-ky0 y1+y2? ? + 1-x0? ? y1+y2 ? -2 1-x0? ?y0k2y1y2+k 1-x0? ? y1+y2 ? + 1-x0? ? 2= -6k+2k2y0-2k 1-x0? ? -2 k2+2? ? 1-x0 ?y0-3k2-2k2 1-x0? ? + k2+2? ? 1-x0 ? 2= k2 2y0-2y0 1-x0? ?? ? -k 6+2 1-x0? ?? ? -4 1-x0? ?y0k2 1-x0? ? 2-2 1-x0? ? -3? ? +2 1-x0? ? 2 ①，而 2kNM= 2y0x0-1 ②，由题意得 k2 2y0-2y0 1-x0? ?? ? -k 6+2 1-x0? ?? ? -4 1-x0? ?y0k2 1-x0? ? 2-2 1-x0? ? -3? ? +2 1-x0? ? 2 = 2y0x0-1 ，故得 6+2 1-x0? ? =0，解得 x0=4，再代回①式得 k2×8y0+12y012k2+18 = 2y03 ，回代②式可得 2y03 ，由此说明点 N的轨迹为直线 x=4.12.(1)x-y-1=0； (2)1， y=x.【解析】 (1)设 A x1,x212? ? ， B x2,x222? ? ， y= 12x2， y?=x则以 A为切点的切线为 y- x212 =x1(x-x1)，整理得 ： y=x1?x- x122 ，同理： 以 B为切点的切线为： y=x2x- x222 ，联立方程组： y=x1x- x212y=x2x- x222??????? ，解得 P x1+x22 ， x1x22? ? ，设直线 AB的方程为 ： y-1=k(x-1)，联立方程组 y-1=k(x-1)y= 12x2??? ，整理得 ： x2-2kx+2k-2=0，Δ=4k2-4(2k-2)=4(k-1)2+4>0恒成立， 第 16页 共 377页
由韦达定理得： x1+x2=2k， x1x2=2k-2，故 P(k,k-1)，所以点 P的轨迹方程为 x-y-1=0；(2)由 (1)知： AB? ? = 1+k2 ? (x1+x2)2-4x1x2 =2 1+k2 ? k2-2k+2，P(k,k-1)到直线 AB的距离为 ： d= k2-2k+2? ?1+k2 ，∴S= 12 AB? ? ?d= (k2-2k+2)3 = [(k-1)2+1]3，∴k=1时， S取得最小值 1， 此时直线 AB的方程为 y=x.13.(1)x24 + y23 =1 x≠±2? ? ，曲 线 C为中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆，不含 A， B两点； (2)①证明见解析；②证明见解析 .【解析】 (1)解：由题意，得 yx+2 ? yx-2 =- 34 x≠±2? ? ，化简， 得 x24 + y23 =1 x≠±2? ? ，所以曲线 C为中心在坐标原点， 焦点在 x轴上的椭圆，不含 A， B两点 .(2)证明：①由题设知，直线 MA， NB的斜率存在且均不为 0.设直线 AM的方程为 x=ty-2 t≠0? ? ，由 AM⊥AN，可知直线 NA的斜率为 kNA=-t，方程为 x=- 1ty-2.由 {x=- 1ty-2,3x2+4y2=12, 得 4t2+3? ?y2+12ty=0，解得 yN=- 12t4t2+3 ，则 xN=- 1t ? - 12t4t2+3? ? -2= 6-8t24t2+3 ，即 N 6-8t24t2+3 ,- 12t4t2+3? ? .直线 NB的斜率为 kNB= - 12t4t2+3 -06-8t24t2+3 -2 = 34t，则直线 BN的方程为 y= 34t x-2? ? ，将 y= 34t x-2? ? 代入 x=ty-2， 解得 x=-14，故点 P在直线 x=-14上 .②由 (1)，得 kNA?kNB=- 34 ， kMA?kMB=- 34 ，所以 kNA?kNB?kMA?kMB= - 34? ? × - 34? ? = 916.结合 kNA?kMA=-1，得 kMB?kNB=- 916 为定值 .即直线 NB与直线 MB的斜率之积为定值 .14.(1)y2=4x x≠0? ? ； (2)证明见解析， 定点为 2,0? ? .【分析 】 (1)设点 P x,y? ? ， E -1,a? ? ， F -1,b? ? ，由 AE?? ⊥AF?? 可得出 ab=-4，由 EP?? ?OA?? ， FO?? ?OP?? 可得出 y=a， y=-bx，代入 ab=-4化间可得出动点 P的轨迹 C的方程；(2)设直线 l的方程为 x=ty+n n≠0? ? ，设点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，联立直线 l与曲线 C的方程 ，列出韦达定理，由 OM??? ?ON?? =-4可求得 n的值，可得出直线 l的方程，进而可得出直线 l所过定点的坐标 .【解析】 (1)设 P x,y? ? 、 E -1,a? ? 、 F -1,b? ? ，则 AE?? = -2,a? ? ， AF?? = -2,b? ? ， EP?? = x+1,y-a? ? ， OA?? = 1,0? ? ， FO?? = 1,-b? ? ， OP?? = x,y? ? .由 AE?? ⊥AF?? ，得 AE?? ?AF?? =4+ab=0，且点 E、 F均不在 x轴上，第 17页 共 377页
故 ab=-4，且 a≠0， b≠0.由 EP?? ?OA?? ，得 y-a=0，即 y=a.由 FO?? ?OP?? ，得 bx+y=0，即 y=-bx.所以 y2=-abx=4x，所以动点 P的轨迹 C的方程为： y2=4x x≠0? ? ；(2)若直线 l的斜率为零时， 则直线 l与曲线 C至多只有一个公共点，不合乎题意 .可设直线 l的方程为 x=ty+n n≠0? ? .由 y=ty+ny2=4x??? ，得 y2-4ty-4n=0.设 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，则 y1+y2=4t， y1y2=-4n.∴OM??? ?ON?? =x1x2+y1y2= y1y2? ? 216 +y1y2=n2-4n=-4，∵n≠0， 解得 n=2，所以，直线 l的方程为 x=ty+2，即直线 l恒过定点 2,0? ? .15.(1)2x2+y2-2ax-by=0； (2)答案见解析 .【解析】 (1)设点 A?B的坐标分别为 (x1， y1)?(x2， y2)，点 Q的坐标为 Q(x， y)，当 x1≠x2时，设直线斜率为 k，则 l的方程为 y=k(x-a)+b，由已知 x21+ y212 =1 ①， x22+ y222 =1，②y1=k(x1-a)+b ③ ， y2=k(x2-a)+b， ④①②得 (x1+x2)(x1-x2)+ 12 (y1+y2)(y1-y2)=0.⑤③ +④得 y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b， ⑥由⑤? ⑥及 x= x1+x22 ,k= y1-y2x1-x2 ，得点 Q的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0，⑦当 x1=x2时， k不存在，此时 l平行于 y轴，因此 AB的中点 Q一定落在 x轴，即 Q的坐标为 (a， 0)，显然点 Q的坐标满足方程 ⑦综上所述，点 Q的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0，设方程⑦所表示的曲线为 l.则由 2x2+y2-2ax-by=0x2+ y22 =1??? 得 (2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0，因为 Δ=8b2 a2+ b22 -1? ? ，由已知 a2+ b22 ≤1，所以当 a2+ b22 =1时， Δ=0， 曲线 l与椭圆 C有且只有一个交点 P(a， b)；当 a2+ b22 <1时， Δ<0， 曲线 l与椭圆 C没有交点，因为 (0， 0)在椭圆 C内，又在曲线 l上，所以曲线 l在椭圆 C内，故点 Q的轨迹方程为 2x2+y2-2ax-by=0；(2)由 x=02x2+y2-2ax-by=0??? ，得曲线 l与 y轴交于点 (0， 0)、 (0， b)；由 x=02x2+y2-2ax-by=0??? ，得曲线 l与 x轴交于点 (0， 0)、 (a， 0)；当 a=0， b=0，即点 P(a， b)为原点时， (a， 0)、 (0， b)与 (0， 0)重合，曲线 l与 x轴只有一个交点 (0， 0)；第 18页 共 377页
当 a=0且 0<|b|≤ 2 时， 即点 P(a， b)不在椭圆 C外且在除去原点的 y轴上时，点 (a， 0)与 (0， 0)重合，曲线 l与坐标轴有两个交点 (0， b)与 (0， 0)；同理，当 b=0且 0<|a|≤1时，即点 P(a， b)不在椭圆 C外且在除去原点的 x轴上时，曲线 l与坐标轴有两个交点 (a， 0)与 (0， 0)；当 0<|a|<1且 0<|b|< 2(1-a2) 时， 即点 P(a， b)在椭圆 C内且不在坐标轴上时，曲线 l与坐标轴有三个交点 (a， 0)、 (0， b)与 (0， 0).16.(1)x24 +y2= 1 x≠±2? ? ，曲 线 C是焦点在 x轴上，长轴长为 4，短轴长为 2 的椭圆，去掉两点 -2,0? ? ，2,0? ? ； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)解：因为 AM与 BM的斜率之积为 - 14 ，所以有 yx+2 × yx-2 =- 14 x≠±2? ? ，化简得 x24 +y2=1 x≠±2? ? ，所以曲线 C是焦点在 x轴上， 长轴长为 4，短轴长为 2的椭圆，去掉两点 -2,0? ? ， 2,0? ? ．(2)证明： 直线 l不经过点 P 0,1? ? ，则点 D， E不与点 P重合 ，①直线 l斜率不存在时，设直线 l的方程为 x=a，由 x=ax24 +y2=1??? ，解得 D a, 4-a22? ? ， E a,- 4-a22? ? ，所以 kFD= 4-a22 -1a ， kPE= - 4-a22 -1a ，因为 kPD+kPE=2得 a=-1， 即直线 l的方程为 x=-1；②直线 l斜率存在时，设 l的方程为 y=kx+b b≠1? ? ，设 D x1,y1? ? ， E x2,y2? ? ，由 y=kx+bx24 +y2=1??? 得 x1+x2=- 8kb4k2+1 ， x1x2= 4b2-44k2+1 ，由 kPD+kPE=2得 k=b+1，则 l:y= b+1? ?x+b，则 y+1= b+1? ? x+1 ? ，恒过定点 -1,-1? ? ．综上所述， l过定点 -1,-1? ? ．17.(1)x24 +y2=1 y≠0? ? ； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)设点 P(x,y)， kPA= yx+2 ， kPB= yx-2则 yx+2 ? yx-2 =- 14 ，得 4y2=4-x2，即 x24 +y2=1 y≠0? ? .故轨迹 C的方程为： x24 +y2=1 y≠0? ? .(2)根据题意， 可设直线 MN的方程为： x=my+1，由 x=my+1x24 +y2=1??? ，消去 x并整理得 m2+4? ?y2+2my-3=0.其中， Δ=4m2+12 m2+4? ? =16m2+48>0.设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，则 y1+y2=- 2mm2+4 ， y1y2=- 3m2+4.第 19页 共 377页
因直线 l的倾斜角不为 0，故 x1， x2不等于 ±2(y1， y2不为 0)，从而可设直线 AM的方程为： y= y1x1+2 x+2? ? ——①，直线 BN的方程为 ： y= y2x2-2 x-2? ? ——②，所以 ，直线 AM， BN的交点 Q x0,y0? ? 的坐标满足：x0+2= y2 x1+2? ?y1 x2-2? ? ? x0-2? ? .而 y2 x1+2? ?y1 x2-2? ? = y2 my1+3? ?y1 my2-1? ? = my1y2+3y2my1y2-y1= -3mm2+4 +3 - 2mm2+4 -y1? ?-3mm2+4 -y1 = -9m-3 m2+4? ?y1-3m- m2+4? ?y1 =3，因此， x0=4， 即点 Q在直线 x=4上 .18.(1)x2+y2=9.(2)S= 25-x02? ? 25-x0245-x02 -3≤x0≤3? ? .(3) 169 ,259??? ? ? ?【解析 】解： (1)当切线 l1， l2的斜率都存在时，设切线方程为 y=k x-x0? ? +y0，由 y=k x-x0? ? +y04x2+5y2=20??? ， ∴ 4+5k2? ?x2+10k y0-kx0? ?x+5 y0-kx0? ? 2-20=0Δ=102k2 y0-kx0? ? 2-4 4+5k2? ? 5 y0-kx0? ? 2-20? ? =0，∴ y0-kx0? ? 2-5k2-4=0，∴ x20-5? ?k2-2x0y0x+y20 -4=0∵l1⊥l2.∴k1k2= y02-4x02-5 =-1，∴x02+y02=9.当切线 l1， l2的斜率有一条不存在时 ， P(± 5,±2)， P在 x2+y2=9上 .故 P的轨迹方程 x2+y2=9.(2)设点 M(x0， y0)在椭圆 x2a2 + y2b2 =1上， 则过点 M(x0， y0)的切线方程为 x0a2x+ y0b2y=1，以下来证明此结论 ：因为点 M(x0， y0)在椭圆 x2a2 + y2b2 =1上， 得 x20a2 + y20b2 =1．把 (x0， y0)代入方程 x0a2x+ y0b2y=1，得 x20a2 + y20b2 =1，所以点 M(x0， y0)在直线 x0a2x+ y0b2y=1上，联列方程组 x2a2 + y2b2 =1x0a2x+ y0b2y=1??????? ，消去 y可得 a2x2-2a2x0x+a2x20=0，解得 x=x0，即方程组只有唯一解．所以，直线 x0a2x+ y0b2y=1为椭圆在点 M处的切线方程；设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， 第 20页 共 377页
可知， 过 A的切线方程为 x1x5 + y1y4 =1，过 B的切线方程为 x2x5 + y2y4 =1.又两切线均过 P x0,y0? ? ，∴ x0x15 + y0y14 =1x0x25 + y0y24 =1????? .说明 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? 均在直线 x0x5 + y0y4 =1上 .∵过两点的直线唯一，∴切点弦 AB所在的直线方程为： x0x5 + y0y4 =1.由 4x0x+5y0y=204x2+5y2=20??? ， ∴ 4x20+5y20? ? -40x0x+100-25y20 =0可得 x1+x2= 40x04x20+5y02 ， x1x2= 100-25y024x02+5y02 ，即有 x1-x2? ? = x1+x2? ? 2-4x1x2 = 10y0? ? 4x02+5y02-204x02+5y02 ，可得 |AB|= 1+ 16x0225y02 g10y0? ? 4x02+5y02-204x02+5y02 ，又 P到直线 AB的距离为 d= 4x02+5y02-20? ?16x02+25y02 ，可得 △ABP的面积为 S= 12 |AB|d= 4x02+5y02-20? ? 4x02+5y02-204x02+5y02 ，由 x02+y02=9.可得 y02=9-x02，即有 S= 25-x02? ? 25-x0245-x02 -3≤x0≤3? ? ；(3)设 t= 25-x02 ∈[4,5]，则 S= t3t2+20 ，S?= t4+60t2t2+20? ? 2 >0，可得 S在 [4,5]递增，可得 S∈ 169 ,259??? ? ? ? .则 P运动时， 求 △ABP面积的取值范围为 169 ,259??? ? ? ? .第 21页 共 377页
专题 3：用方程研究曲线的性质 参考答案1. B【解析】由题意，方程 2x2-4x+y4=2，对于①中，用 -y代替 y，可得方程 2x2-4x+y4=2，所以方程表示的曲线关于 x轴对称；对于②中，用 -x代替 x，用 -y代替 y，可得方程 2x2+4x+y4=2，所以方程表示的曲线不关于原点对称；对于③中，用 -x代替 x，可得方程 2x2+4x+y4=2，所以方程表示的曲线不关于 x轴对称；对于④中，方程 2x2-4x+y4=2，可化为 2x2-4x-2=-y4，可得 x2-2x-1≤0，解得 1- 2≤x≤1+ 2，又由 y4=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4，即 y4≤4，解得 - 2≤y≤ 2.综上可得①④是正确的 .故选： B.2. D【解析】由题可知 a>b>c，所以 a2=b2+c2>2c2， a> 2c； a2=b2+c2<2b2， a< 2b，故①正确；由 A1A2? ? = B1B2? ? 得， a+c=2b，又 a2=b2+c2，得 a= 54b， c= 34b， a:b:c=5:4:3，②正确 .以 A1A2为直径的圆 E: x+c? ? x-a ? +y2=0，与 “果园”右侧有异于 A2公共点的公共点，由方程组 x+c? ? x-a ? +y2=0x2a2 + y2b2 =1(x≥0)??? ，得 c2a2x2+ c-a? ?x+a2-ac-c2=0显然方程已有一根 a， 另一根为 x，则 ax= a2-ac-c2c2a2 = a2 a2-ac-c2? ?c2 ，x= a a2-ac-c2? ?c2 ， 01，点 2， 32? ? 在椭圆 x24 +y2=1的外部， 故③错误；过曲线 C上任一点作 y轴的垂线，垂线段中点的轨迹为 2x? ? 416 +y2=1，即 x4+y2=1，在 x4+y2=1上任取一点 M(x0,y0),x40+y20 =1，第 22页 共 377页
∵|x0|≤1，∴x40≤x20， ∴x20+y20 ≥x40+y20 =1，即 M在 x2+y2=1外，x4+y2=1围成图形的面积大于 π，故④错误 .故选： C4. D【解析】在曲线 C上任取一点 P x,y? ? ，则 x4+y4+mx2y2=1，将点 P1 -x,-y? ? 代入曲线 C的方程可得 -x? ? 4+ -y? ? 4+m -x? ? 2 -y? ? 2=1，同理可知， 点 P2 x,-y? ? 、 P3 -x,y? ? 都在曲线 C上，则曲线 C关于原点和坐标轴对称 ，①②正确； QQ群 333528558当 m=-1时， 1=x4+y4-x2y2= x2- 12y2? ? 2+ 34y2，反设 x? ? <1且 y? ? <1，则 0≤x2<1， 0≤y2<1，∴- 12 0,y>0? ?x- 12? ? 2+ y+ 12? ? 2= 12 , x>0,y<0? ?x+ 12? ? 2+ y- 12? ? 2= 12 , x 0,y? ? 0? ?x+ 12? ? 2+ y+ 12? ? 2= 12 , x<0,y<0? ?x=0且 y=0???????????如图， 图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线 C中， x∈ -1+ 22 ,1+ 22??? ? ? ? ? ,y∈ -1+ 22 ,1+ 22??? ? ? ? ? ，第 23页 共 377页
经过的整点有： 0,0? ? ， 1,1? ? ， 1,0? ? ， 1,-1? ? ， -1,1? ? ， -1,0? ? ， -1,-1? ? ， 0,1? ? ， 0,-1? ? 共 9个， 命题①正确；②如图，曲线上任意两点距离范围为 0,4R? ? ，即两点距离范围为 0,2 2? ? ，命题②错误 ；③曲线 C所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为 S，S=4× 12 πR2+ 2R? ? 2=4π+2>5，命题③正确 .故选 ： A.6. B【解析】 设动点 C(x,y)，由已知得到动点 C的轨迹方程 [(x-a)2+y2] [(x+a)2+y2]=a2化简得 (x2+y2)2=2a2(x2-y2)，原点 O(0,0)代入入轨迹方程，①显然成立；把 (x,y)关于原点对称的点(-x,-y)代入轨迹方程，②显然成立；因为双纽线最高 (低 )点是轨迹方程与圆 x2+y2=a2相交位置两方程联解得 y0=±a2 成立， ∴-a2 ≤y0≤ a2 ，③成立 ；由图知双纽线 C上满足 PF1? ? = PF2? ? 的点 P有一个， ④不成立 .故选： B7. C【解析】设点 P的坐标为 x,y? ? ，由题意可得 x+2? ? 2+y2 ? x-2? ? 2+y2 =16.对于命题 (1)，将原点坐标代入方程得 2×2=4≠16，所以，命题 (1)错误；对于命题 (2)，点 P关于 x轴、 y轴的对称点分别为 P1 x,-y? ? 、 P2 -x,y? ? ，∵ x+2? ? 2+ -y? ? 2 ? x-2? ? 2+ -y? ? 2 = x+2? ? 2+y2 ? x-2? ? 2+y2 =16，∵ -x+2? ? 2+y2 ? -x-2? ? 2+y2 = x-2? ? 2+y2 ? x+2? ? 2+y2 =16，则点 P1、 P2都在曲线 C上 ，所以，曲线 C关于 x轴、 y轴对称，命题 (2)正确；对于命题 (3)，设 PM? ? =a， PN? ? =b， ∠MPN=θ，则 ab=16，由余弦定理得 cosθ= a2+b2-162ab = a2+b2-1632 ≥ 2ab-1632 = 12 ，当且仅当 a=b=4时等号成立， 则 θ为锐角，所以， sinθ= 1-cos2θ≤ 32 ，则 ΔMPN的面积为 SΔMPN= 12absinθ≤ 12 ×16× 32 =4 3<8，命题 (3)正确；对于命题 (4)， 16= x+2? ? 2+y2 ? x-2? ? 2+y2 ≥ x+2? ? 2 ? x-2? ? 2 = x2-4? ? ，第 24页 共 377页
可得 -16≤x2-4≤16，得 x2≤20，解得 -2 5≤x≤2 5，由 (3)知， SΔMPN= 12 MN? ? ? y? ? = 12 ×4× y? ? ≤4 3，得 y? ? ≤2 3，曲线 C在一个面积为 4 5×4 3=16 15 <64的矩形内， 命题 (4)正确 .因此，正确的命题序号为 (2)(3)(4).故选 C.8. C9. A【解析】解：对①，将方程中的 y换成 -y，则原方程不变，故曲线 C关于 x轴对称，故①正确；对②，将方程中的 x换成 y， y换成 x，所得方程为 y4+x2=1，与原方程不同，故②错误；对③， k? ? 4+ k-2? ? 2=1,，即 2k2-4k+3=0，Δ= -4? ? 2-4×2×3=-8<0，故 k? ? 4+ k-2? ? 2=1无解，即点 P( k,k-2)(k≥0)不可能在曲线 C上，故③错误；对④，在曲线 C上任取一点 M x0,y0? ? ，∵ x0? ? ≤1，∴x04≤x02，故 x02+y02≥x04+y02=1，即点 M在圆 x2+y2=1外，又 ∵圆 x2+y2=1的面积为 ： S=π，故曲线 C围成的面积大于 π，故④错误；综上所述：①正确 .故选： A.10.AC【解析】以 -x代 x，得到 (x+1)(x+2)(x+3)=xy，方程改变，不关于 y轴对称，正确；以 -x代 x， -y代 y，得到 (x+1)(x+2)(x+3)=-xy，方程改变，不关于原点对称，错误；当 x<0,y<0时， (x-1)(x-2)(x-3)<0， xy>0 显然方程不成立，所以该曲线不经过第三象限，正确；令 x=-1,易得 y=12，即 (-1,12)适合题意，同理可得 (1,0),(2,0),(3,0)适合题意，所以该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，错误， 故选： AC 第 25页 共 377页
11.ABD【 解析】对 A，设动点 C x,y? ? ，由题意可得 C的轨迹方程为 x-a? ? 2+y2 x+a? ? 2+y2 =a2把 x,y? ? 关于 x轴对称的点 x,-y? ? 代入轨迹方程， 显然成立，故 A正确；对 B，因为 P x0,y0? ? ，故 S△PF1F2= 12 PF1? ? ? PF2? ? ?sin∠F1PF2= 12 F1F2? ? ? y0? ? ．又 PF1? ? ? PF2? ? =a2，所以 a2sin∠F1PF2=2a? y0? ? ，即 y0? ? = a2 sin∠F1PF2≤ a2 ，故 -a2 ≤y0≤ a2 ．故 B正确；对 C， 若 PF1? ? = PF2? ? ，则 P x0,y0? ? 在 F1F2的中垂线即 y轴上．故此时 x0=0，代入 x-a? ? 2+y2 x+a? ? 2+y2 =a2，可得 y0=0，即 P 0,0? ? ，仅有一个 ，故 C错误；对 D，因为 ∠POF1+∠POF2=π，故 cos∠POF1+cos∠POF2=0，OP? ? 2+ OF1? ? 2- PF1? ? 22OP? ? ? OF1? ? + OP? ? 2+ OF2? ? 2- PF2? ? 22OP? ? ? OF2? ? =0，因为 OF1? ? = OF2? ? =a， PF1? ? ? PF2? ? =a2，故 2OP? ? 2+2a2= PF1? ? 2+ PF2? ? 2．即 2OP? ? 2+2a2= PF1? ? - PF2? ?? ? 2+2PF1? ? ? PF2? ? ，所以 2OP? ? 2= PF1? ? - PF2? ?? ? 2．又 PF1? ? - PF2? ? ≤ F1F2? ? =2a，当且仅当 P， F1， F2共线时取等号．故 2OP? ? 2= PF1? ? - PF2? ?? ? 2≤(2a)2，即 OP? ? 2≤2a2，解得 OP? ? ≤ 2a，故 D正确．故选 ： ABD.12.ACD【解析】当 x>0， y>0时，曲线 C:x2+4y2=2+2x+4y即 x-1? ? 24 + y- 12? ? 2=1，将 x24 +y2=1中心平移到 1, 12? ? 位于第一象限的部分；因为点 -x,y? ? ， x,-y? ? ， -x,-y? ? 都在曲线 C上， 所以曲线 C图象关于 x轴， y轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项 A：由图知曲线 C关于原点对称 ，故选项 A正确；第 26页 共 377页
对于选项 B：令 x24 +y2=1中 y=0可得 x=2，向右平移一个单位可得横坐标为 3， 根据对称性可知-3≤x≤3，故选项 B不正确；对于选项 C：令 x24 +y2=1中 x=0可得 y=1，向上平移 12 个可得纵坐标最大值为 32 ，曲线 C第一象限的部分被包围在矩形内， 矩形面积为 3× 32 = 92 ，所以曲线 C围成的区域面积小于 92 ×4=18， 故选项 C正确；对于选项 D：令 x-1? ? 24 + y- 12? ? 2=1中 x=0，可得 y= 12 ± 32 ，所以到点 0, 12? ? 的最近距离为32 ，故选项 D正确 ，故选： ACD13.BD【解析】解：把 x= 2， y= 2 代入曲线 C，可知等号两边成立，所以曲线 C在第一象限过点 ( 2, 2)，由曲线的对称性可知， 该点的位置是图中的点 M，对于 A选项， 只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把 (1,1)， (1,2)和 (2,1)代入曲线 C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线 C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线 C只经过整点 (0,0)，即 A错误；对于 B选项，因为 x2+y2≥2xy(x>0,y>0)，所以 xy≤ x2+y22 ，所以 x2+y2? ? 3=16x2y2≤16× x2+y2? ? 24 =4 x2+y2? ? 2，所以 x2+y2≤4，即 B正确 ；对于 C选项，以 O为圆点， 2为半径的圆 O的面积为 4π，显然曲线 C围成的区域的面积小于圆 O的面积，即 C错误；对于 D选项，因为 xy>0， 第 27页 共 377页
所以 x与 y同号， 仅限与第一和三象限，即 D正确 .故选 :BD.14.AC【解析】设 P(x,y)，由题意有 (x+a)2+y2 × (x-a)2+y2 =a2，化简得 (x2+y2)2-2a2x2+2a2y2=0，用 -x替换 x， -y替换 y，方程不变 ，所以曲线关于原点成中心对称， A正确；令 x= 2a,y=0代入方程成立， 即 ( 2a,0)是曲线的一点， 2a>a， B错；满足 |PA|=|PB|的点在线段 AB的垂直平分上，由 x=0(x2+y2)2-2a2x2+2a2y2=0??? ，得 x=0y=0??? ，所以曲线C上只有一点 (0,0)满足 |PA|=|PB|， C正确；令 x=ρcosθ,y=ρsinθ，代入方程得 ρ4-2a2ρ2(cos2θ-sin2θ)=0，即 ρ2=2a2cos2θ，这是曲线 C的极坐标方程，显然 ρ2的最大值为 2a2，所以 PO2-a2的最大值为 2a2-a2=a2， D错，故选： AC．15.AD【解析】由题意，当 x≥0时，曲线方程可以化为 y24 +x2=1，即为焦点在 y轴 ，对称轴是坐标轴的椭圆的右半部分和 y轴正半轴上的两个点，当 x<0时，曲线方程可以化为 y24 -x2=1，即为焦点在 y轴 ，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，如图 该曲线的范围为： y∈R， x≤1， 所以 A正确；由图可知，该曲线关于 x轴对称，不关于 y轴对称，所以 B错误；曲线 y24 -x2=1的渐近线方程是 2x±y=0，所以 2x+y=0是双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点，与椭圆有一个交点，所以 C错误；由图可知，曲线上到原点距离最小的点在椭圆部分，设 (x0,y0)是椭圆部分上的点，则 y204 +x20=1，即求 y20 +x20 的最小值， 所以 y20 +1- y204 = 1+ 3y204 ，所以当 y0=0时 ， y20 +x20 最小， 此时 x0=1，即点 (1,0)到原点的距离最小，最小值为 1 ，所以 D正确 .故选： AD . 第 28页 共 377页
16.BCD【解析】解：当 x>0， y>0时，方程 x-1? ? 2+ y-1? ? 2=2，当 x>0， y<0时， 方程 x-1? ? 2+ y+1? ? 2=2，当 x<0， y>0时， 方程 x+1? ? 2+ y-1? ? 2=2，当 x<0， y<0时， 方程 x+1? ? 2+ y+1? ? 2=2，作出图象：由于 x≠0， y≠0，所以 A错误 .曲线 C既是中心对称 ，又是轴对称图形，对称中心为 0,0? ? ，对称轴为 x,y轴， B正确 .点 P， Q在曲线 C上，当且仅当 P， Q与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，|PQ|的最大值为圆心距加两个半径 4 2， C正确 .在当 x>0， y>0时， x-1? ? 2+ y-1? ? 2=2与坐标轴的交点 M 2,0? ? 和 N 0,2? ? 平分圆，故第一象限的面积为 π+2， 故总的面积为 8+4π.17. 甲、乙、丙 【解析】对于甲的回答，在曲线 C1上任取一点 a,b? ? ，则 a+ b=1，点 a,b? ? 关于直线 y=x的对称点为 b,a? ? ，且 b+ a=1，所以， 曲线 C1关于 y=x对称，甲的回答正确；对于乙的回答，在曲线 C2上任取一点 a,b? ? ，则 a4+b4=1，点 a,b? ? 关于原点的对称点为 -a,-b? ? ，则 -a? ? 4+ -b? ? 4=a4+b4=1，所以， 曲线 C2关于原点对称，乙的回答正确；对于丙的回答，对于等式 x+ y=1， 0≤ y≤1，可得 0≤y≤1， 同理可得 0≤x≤1，当 0a+b，即点 a,b? ? 在直线 x+y=1的下方， 如下图所示： 第 29页 共 377页
直线 x+y=1交 x轴于点 A 1,0? ? ，交 y轴于点 B 0,1? ? ，所以 ， S1a4， b2>b4，则 1=a4+b4 π4 ，丁的回答错误 .故答案为 ：甲、乙、丙 .18. ①②④ .【解析】由题意，曲线 C是平面内与两个定点 F1(0,1),F2(0,-1)的距离的积等于 32 ，可得 x2+(y+1)2 ? x2+(y-1)2 = 32 ，即 [x2+(y+1)2]?[x2+(y-1)2]= 94 ，用 -x代换 x，或 -y代换 y方程不变，所以曲线 C关于坐标轴对称，所以①正确；设 a= x2+(y+1)2,b= x2+(y-1)2，可得 ab= 32 ，则 a+b≥2 ab=2 32 = 6，当且仅当 a=b时 ，等号成立，所以 △F1PF2周长的最小值为 l△F1PF2=a+b+2=2+ 6，所以②正确 ；过点 P作 PE⊥F1F2，则 cos∠F1PF2= a2+b2-42ab = a2+b23 - 43 ≥ 13 ×2ab- 43 =- 13 ，当且仅当 a=b时， 等号成立，当 ∠F1PF2= π2 时， sin∠F1PF2取得最大值，所以 △F1PF2的最大面积为 S△F1PF2= 12absin∠F1PF2= 34 ，又由 S△F1PF2= 12 F1F2? ? PE? ? = 34 ，解得 PE? ? = 34 ，即点 P到 y轴的最大距离为 34 ，所以③不正确； 第 30页 共 377页
由 a+b? ? 2=a2+b2+2ab=[x2+(y+1)2]+[x2+(y-1)2]+2ab=2x2+2y2+2+2ab=2[ (x2+y2)]2+2+2ab=2( x2+y2)2+5，又由 a+b≥2 ab=2 32 = 6，当且仅当 a=b时 ，等号成立，所以 2[ (x2+y2)]2+5≥6，所以 2( x2+y2)2+5≥6，可得 x2+y2 ≥ 22 ，所以④是正确的 .故答案为： ①②④ .19. ①③④【 解析】对于①：当 m=1时，曲线 W1:x2+y2=1， W2:x4+y2=m2，令 x2+y2=x4+y2可得 x2 x2-1? ? =0，当 x=0时 ， y=±1，当 x=±1时， y=0，所以 W1与 W2有 4个公共点分别为 0,1? ? ， 0,-1? ? ， 1,0? ? ，-1,0? ? ，共 4个 ，故①正确；对于②：当 0x4，所以 y121时， x,y∈ 0,m? ? ，当 W1与 W2的方程中 x取同一个大于 1的数 ，可得 y12>y22，所以 ?m>1，曲线 W1围成的区域面积等于 W2围成的区域面积；故③正确；对于④：当 01时， x取同一个大于 1的数，可得 y12>y22，此时曲线 W1围成的区域内整点个数较多，所以曲线 W1围成的区域内整点个数不少于曲线 W2围成的区域内整点个数，故④正确；故答案为：①③④20.②③【解析】①因为 y2=x3-2x+1中 x3-2x+1≥0，所以 x2+x-1? ? x-1 ? ≥0，解得 ： x∈- 5+12 , 5-12??? ? ? ? ? ∪ 1,+∞? ? ，所以 x? ? ≤a不恒成立， 故错误；②假设曲线是中心对称图形，因为 x∈ - 5+12 , 5-12??? ? ? ? ? ∪ 1,+∞? ? ，所以取一点 P x0,y0? ? ，当 x0→+∞， 此时点 P x0,y0? ? 的对称点的横坐标 x→-∞，不符合 x∈ - 5+12 , 5-12??? ? ? ? ? ∪ 1,+∞? ? ，所以假设错误 ，故正确；③将方程 y2=x3-2x+1中的 y变为 -y时，方程变为 -y? ? 2=x3-2x+1与原方程相同， 所以曲线关于x轴对称，故正确； 第 31页 共 377页
④因为 x∈ - 5+12 , 5-12??? ? ? ? ? ∪ 1,+∞? ? ，所以当 m∈ 5-12 ,1? ? 时， 直线 x=m m>0? ? 与该曲线无交点， 故错误，故答案为：②③ .21. ②④【解析】作出圆 x2+y2=4和四叶玫瑰线 x2+y2? ? 3=16x2y2的图示如下图所示 ：x2+y2? ? 3=16x2y2≤16 x2+y22? ? 2，解得 x2+y2≤4(当且仅当 x=y=2时取等号 )，则②正确；将 x2+y2=4和 x2+y2? ? 3=16x2y2联立 ，解得 x2=y2=2，即 x2+y2=4与曲线 C相切于点 2, 2? ? ，- 2, 2? ? ， - 2,- 2? ? ， 2,- 2? ? ，则①和③都错误 ；由 xy<0，得④正确 .综上，正确命题为：②④ .故答案为：②④22.②③【解析】将 x换成 -x方程不变，所以图形关于 y轴对称，当 x=0时，代入可得 y2=1，解得 y=±1，即曲线经过点 (0,1),(0,-1)，当 x>0时，方程变换为 y2-xy+x2-1=0，由 Δ=x2-4(x2-1)≥0，解得 x∈ 0,2 33? ? ? ? ? ，所以 x只能去整数 1，当 x=1时 ， y2-y=0，解得 y=0或 y=1，即曲线经过 (1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过 (-1,0),(-1,1)，所以曲线一共经过 6个整点，所以①是正确的；当 x>0时，由 x2+y2=1+xy，可得 x2+y2-1=xy≤ x2+y22 ，当且仅当 x=y时取等号 ，所以 x2+y2≤2，所以 x2+y2 ≤ 2，即曲线 C上 y轴右边的点到原点的距离不超过 2，根据对称性可得： 曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 2，所以②不正确 ；如图所示，在 x轴上图形的面积大于矩形 ABCD的面积： S1=1×2=2， x轴下方的面积大于等腰三角形 ABE的面积： S2= 12 ×2×1=1，所以曲线 C所围成的 “心形”区域的面积大于 2+1=3，所以③不正确的 .故选：②③ . 第 32页 共 377页
23.②【解析】① x2+y2=1+|xy|≥2|xy|∴|xy|≤1，要使得 x,y均为整数，只能取 -1,0,1三个数，则可得整数点有 8个： (±1,±1),((±1,0),(0,±1)，故①不正确；②由于 |xy|≤1，故 x2+y2=1+|xy|≤2，故曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 2，正确 ；③令 x∈(0， 1),y>0∴y2-xy+x2-1=0记函数 f(y)=y2-xy+x2-1,Δ=4-3x2>0，所以函数有两个零点，又因为 f(0)<0,f(1)=x2-x<0，故两个零点一个小于 0，一个大于 1，即曲线上 x∈(0， 1),y>0，同理有 y∈(0， 1),x>0即第一象限部分图像应在 y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，根据图像对称性可得面积大于 4，故不正确 .故答案为：②24.②④【解析】①根据题意，方程 x225 + y29 =1，即 x? ?5 + y? ?3 =1，表示四条线段 ，其图形如图所示，故①错误；②由图可知， 曲线 C关于 x轴， y轴，坐标原点 O对称，故②正确；③若点 P(x,y)在曲线 C上，则 x? ? ≤5， y? ? ≤3，故③错误 ；④曲线 C围成的面积 S=4× 12 ×5×3=30，故④正确．综上所述 ，正确结论的序号是②④．填②④25.②③④【解析】对于①，将原点 0,0? ? 代入可判断①错误；对于② ，令 y=0得， 2x4=4，解得 x=±214，则曲线 C与 x轴有两个交点 ，故②正确；第 33页 共 377页
对于③， 当 y≥0时， y=4-2x4 ，当 y<0时， y=- 4-2x4? ? ，因为曲线 y=4-2x4与 y=- 4-2x4? ? 曲线的图象都关于 y轴对称， 则曲线 C的图象关于 y轴对称；而当 y>0与 y<0时，解析式互为相反数，故其图象关于 x轴对称，所以③正确；对于④，由 2x4+ y? ? =4得 y? ? =4-2x4，因为 0≤2x4≤4，则 y? ? =4-2x4≤4，故④正确 .故答案为 ：②③④ . 第 34页 共 377页
专题 4：椭圆的定义与方程参考答案1. A【 解析】根据椭圆的定义和比例，有 PN? ? + QN? ? = 52 ? DF1 +? ?DF2? ?? ? = 52 ?4=10.2. A【解析】在椭圆上任取一点 P，连接 VP交球 O1于点 Q，交球 O2于点 R，连接 O1Q， O1F1， PO1， PF1，O2R，在 △O1PF1与 △O1PQ中有： O1Q=O1F1=r1， (r1为球 O1的半径 )，∠O1QP=∠O1F1P=90°， O1P为公共边，所以 △O1PF1?△O1PQ， QQ群 333528558所以 PF1=PQ，设点 P沿圆锥表面到达 M的路线长为 dPM，则 PF1+dPM=PQ+dPM≥PQ+PR=QR，当且仅当 P为直线 VM与椭圆交点时取等号，QR=VR-VQ= r1-r2sin30° = 4-112 =6，所以最小值为 3 3，故选： A3. C【解析】如图，椭圆 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ， F1， F2分别为椭圆的左、 右焦点， P为椭圆上一点，作一圆与线段 F1P， F1F2的延长线都相切，并且与线段 PF2也相切，切点分别为 D， A， B，第 35页 共 377页
|F1D|=|F1A|?|PF1|+|PD|=|F1F2|+|F2A|?|PF1|+|PB|=|F1F2|+|F2A|，?|PF1|+|PB|+|F2B|=|F1F2|+|F2A|+|F2B|?|PF1|+|PF2|=|F1F2|+2|F2A|，所以 |F2A|=a-c(c为椭圆半焦距 )，从而点 A为椭圆长轴端点，即圆心 M的轨迹是直线 x=a(除点 A外 ).因点 M(2,1)在 ∠PF1F2的平分线上，且椭圆右端点 A(2,0)，所以点 M是上述圆心轨迹上的点，即点 M到直线 F1P， PF2， F1F2的距离都相等，且均为 1，△MPF1与 △MPF2的面积之和为 12 ?|PF1|?1+ 12 ?|PF2|?1= 12 (|PF1|+|PF2|)=2.故选： C4. D【解析】如图所示，点 P在 y轴右边，因为 PM为 F1N的垂直平分线 ，所以 F1M? ? = MN? ? ．由中位线定理可得 OM? ? = 12 F2N? ? ．设点 P x0,y0? ? x0>0,y0>0 ? ．由两点间的距离公式， 得 PF1? ? = x0+c? ? 2+y20 = x0+c? ? 2+ 1- x20a2? ? b2= c2x20a2 +2cx0+a2 =a+ex0，同理可得 PF2? ? =a-ex0，所以 F2N? ? = PF1? ? - PF2? ? =2ex0，故 OM? ? =ex0，因为 a=8， c=4 2，所以 e= 22 ，故 OM? ? = 22 x0，所以 OM? ?OF2? ? = 22 x04 2 = x08 ．因为 x0∈ 0,8? ? ，所以 18x0∈ 0,1? ? ．故 OM? ?OF2? ? 的取值范围为 0,1? ? ．故选： D．5. B【解析】由椭圆 C的两个焦点 F1， F2与短轴的两个端点 B1， B2都在圆 x2+y2=1上，得 b=c=1，则 a2=b2+c2=2，所以椭圆 C的方程为 x22 +y2=1，故 B1 0,1? ? ， B2 0,-1? ? ，由 ∠F1PF2的平分线交 C长轴于点 M， 显然， S△PF
1MS△PF2M = F1M? ?F2M? ? ，第 36页 共 377页
又 S△PF1MS△PF2M = 12 PF1? ? PM? ?sin∠F1PM12 PF2? ? PM? ?sin∠F2PM = PF1? ?PF2? ? ，所以， PF1? ?PF2? ? = F1M? ?F2M? ? ，即 PF1? ? + PF2? ?PF2? ? = F1M? ? + F2M? ?F2M? ? ，由 PF1? ? + PF2? ? =2a=2 2， MF1? ? + MF2? ? =2c=2，得 PF2? ? = 2F2M? ? ，设 M λ,0? ? -1<λ<1 ? ，则 F2M? ? =1-λ，而 a-c< PF2? ?
7. A【 解析】如图设 F1， F分别为椭圆的左、右焦点，设直线 y=kx与椭圆相交于 A,B，连接 AF1,AF,BF1,BF.根据椭圆的对称性可得：四边形 AF1BF为平行四边形 .由椭圆的定义有： AF1? ? + AF? ? =2a,FF1? ? =2c,∠F1AF=120°由余弦定理有： FF1? ? 2= AF1? ? 2+ AF? ? 2-2AF1? ? ? AF? ?cos120°即 4c2= AF1? ? + AF? ?? ? 2- AF1? ? ? AF? ? ≥ AF1? ? + AF? ?? ? 2- AF1? ? + AF? ?2? ? 2所以 4c2≥ AF1? ? + AF? ?? ? 2- AF1? ? + AF? ?2? ? 2=4a2-a2=3a2当且仅当 AF1? ? = AF? ? 时取等号， 又 y=kx的斜率存在，故 A， B不可能在 y轴上 .所以等号不能成立 ,即即 c2a2 > 34 ，所以 1>e> 32故选： A8. B【 解析】由题意知 AB? ? = BF1? ? ，又 AB?? =3F2B?? ，所以线段 AB过点 F2且 AF2? ? =2F2B? ? ，不妨设 F2B? ? =m，故 F1B? ? = AB? ? = AF2? ? + F2B? ? =3F2B? ? =3m，由椭圆定义可得 F1B? ? + F2B? ? =2a=4m，故 F2B? ? = 12a， BF1? ? = 32a， AF2? ? =a， AF1? ? =2a- AF2? ? =a，故点 A为椭圆短轴的一个端点，不妨设 A 0,b? ? ，过点 B作 BM⊥x轴于 M，由 ΔAOF2和 ΔBMF2相似，又 AF2? ? =2F2B? ? ，可得 MB? ? = 12 AO? ? = b2 ，所以点 F2M? ? = 12 F2O? ? = c2 ，所以点 B 3c2 ,-b2? ? ，代入椭圆的方程可得 9c24a2 + b24b2 =1，解得 c2a2 = 13 ，即 e= 33 .故选： B． 第 38页 共 377页
9. B【 解析】如图所示， 设 F''为椭圆的左焦点，连接 AF'',BF''，则四边形 AFBF''是平行四边形，可得 AF? ? + BF? ? =AF? ? + AF''? ? =2a=4，解得 a=2， 取 M 0,b? ? ，可得点 M到直线 l的距离 45 ，即有 4b32+42 = 45 ，解得 b=1， c= a2-b2 = 3，则焦距为 2c=2 3，故选 B.10.C【解析】解：看左视图，左视图为高为 6的等腰三角形，如图所示，图中 OP=4 ,∠OPM=30°,∴∠CPD=60° ，又 PC=PD ，故 △PCD为等边三角形， ∴CD=4 3 ，即椭圆的短轴长为 4 3 .本题选择 C选项 . 第 39页 共 377页
11.A12. ①②④⑤【 解析】 (1)因为 A为圆 ⊙O内的一定点， P为 ⊙O上的一动点，线段 AP的垂直平分线交半径 OP于点 M，可得 MA? ? = MP? ?,MA? ? + MO? ? = MP? ? + MO? ? = OP? ? =r，即动点 M到两定点 O,A的距离之和为定值，①当 O,A不重合时，根据椭圆的定义，可知点 M的轨迹是：以 O,A为焦点的椭圆；②当 O,A重合时，点 M的轨迹是圆；(2)当 A为圆 ⊙O外的一定点， P为 ⊙O上的一动点，线段 AP的垂直平分线交半径 OP于点 M，可得 MA? ? = MP? ?,MA? ? - MO? ? = MP? ? - MO? ? = OP? ? =r，即动点 M到两定点 O,A的距离之差为定值，根据双曲线的定义 ，可得点 M的轨迹是：以 O,A为焦点的双曲线；(3)当 A为圆 ⊙O上的一定点， P为 ⊙O上的一动点，此时点 M的轨迹是圆心 O.综上可得：点 M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线 .故答案为：①②④⑤13. x24 + y216 =1【解析 】如图， 延长 F2Q交 F1P的延长线于 S，连接 OQ.因为 PQ为 ∠SPF2的平分线且 F2S⊥PQ，故 △PSF2为等腰三角形且 PS? ? = PF2? ? ， SQ? ? = QF2? ? ，所以 PF1? ? + PF2? ? = PS? ? + PF1? ? =2×4=8.在 △F1SF2中 ，因为 F1O? ? = F2O? ?,SQ? ? = QF2? ? ，所以 OQ? ? = 12 F1S? ? = 12 F1P? ? + PS? ?? ? =4，故 Q的轨迹方程为： x2+y2=16.令 M x,y? ? ，则 Q 2x,y? ? ，所以 4x2+y2=16即 x24 + y216 =1，故答案为： x24 + y216 =1 第 40页 共 377页
14.8+2 2【解析 】由椭圆 x29 + y28 =1的焦点在 x轴上知 a=3,b=2 2,c=1，右焦点 F(1,0)，左焦点为 F1(-1,0)，连接 MF1， CΔMPF= FP? ? + MP? ? + MF? ? =2+ MP? ? + MF? ?由椭圆定义可知： MF1? ? +|MF|=2a，|MP|+|MF|=|MP|+2a- MF1? ? =6+|MP|-MF1? ? ，即 |MP|-MF1? ? 最大时， |MP|+|MF|最大，在 △PMF1中，两边之差总小于第三边， |MP|-MF1? ? ≤ PF1? ? = (1+1)2+(2-0)2 =2 2，当且仅当 P、 M、 F1共线时， |MP|-MF1? ? 取最大值 2 2，此时 |MP|+|MF|取最大值 6+2 2，则周长 CΔMPF=2+ MP? ? + MF? ? 的最大值为 8+2 2.故答案为： 8+2 215.28【 解析】设椭圆的另一个焦点为 F'' 由椭圆的几何性质可知： P7F =? ?P1F''|，? ，|P1F +P7F =? ?P1F|+? ?P1F''? ? =2a 同理可得 P1F +? ?P7F =? ?P2F +? ?P6F =? ?P3F +? ?P5F =2? ?P4F? ? =2a，且 a=4，故 P1F +? ?P2F +? ?P3F +?+? ?P7F? ? =7a=28,故答案为 28.16.1217.1【解析】由已知得 a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1， F2(1,0)，因为 PF2? ? + PF1? ? =2a=4，所以 PF1? ? =4- PF2? ? ，所以 PM? ? - PF1? ? = PM? ? - 4- PF2? ?? ? = PM? ? + PF2? ? -4，所以当三点 M、 P、 F2共线时， PM? ? + PF2? ? -4最小，即 PM? ? + PF2? ? -4= MF2? ? -4= 32+42 -4=1.故答案为 ： 1. 第 41页 共 377页
18. 12【解析 】设椭圆的右焦点为 F?， AF?? ? + BF?? ? ≥ AB? ? ，当直线 AB过右焦点 F?时，等号成立，∴△ABF的周长 l= AF? ? + BF? ? + AB? ? ≤ AF? ? + BF? ? + AF?? ? + BF?? ? =4a，此时直线 AB过右焦点 ， AB? ? = 2b2a ，S△ABF= 12 × 2b2a ×2c=b2，得 e= ca = 12 .故答案为： 1219. x29 + y28 =1【解析 】由题意，圆 C1： x+1? ? 2+y2=25的圆心为 -1,0? ? ，半径为 5，圆 C2： x-1? ? 2+y2=1的圆心为 1,0? ? ，半径为 1，设动圆的圆心 M(x,y)，半径为 R，动圆与圆 C1： x+1? ? 2+y2=25内切， 与圆 C2： x-1? ? 2+y2=1外切，所以 MC1? ? =5-R， MC2? ? =1+R，所以 MC1? ? + MC2? ? =5-R+1+R=6> C1C2? ? ，所以 M的轨迹是以原点为中心， 焦点在 x轴上的椭圆，且 2a=6， c=1，所以 b2=a2-c2=8，∴椭圆的方程为 x29 + y28 =1.故答案为 ： x29 + y28 =1．20. y24 + x23 =1【解析 】设复数 z对应的点为 Z，则 z-i? ? 表示点 Z到点 A(0， 1)的距离， z+i? ? 表示点 Z到点 B(0,-1)的距离，又 |AB|=2，由 z+i? ? + z-i? ? =4知点 Z到点 A、 B的距离和大于 |AB|，z在复平面内对应点的轨迹为椭圆 ，所以 a=4， c=1，则 b= 3，椭圆的焦点就是 A， B，所以 z在复平面内对应的点的轨迹方程是： y24 + x23 =1，故答案为： y24 + x23 =1 第 42页 共 377页
21. x23 + y22 =1．【解析 】设椭圆半焦距为 c，由已知可得 PF2⊥F1F2,△PF1F2为直角三角形 .易知 PF2? ? = b2a.∴S△PF1F2= 12 ×2c× b2a = 2 33 ,∴2a= 3b2c①，设点 P在第一象限由 PF1?? =3F1Q?? ，可得 Q -5c3 ,- b23a? ? ，代入椭圆 C的方程可得 25c29a2 + b29a2 =1②．又 a2=b2+c2③，由①②③可得 a= 3,b= 2，所以椭圆 C的标准方程为 x23 + y22 =1．故答案为： x23 + y22 =1.22. x216 + y29 =1 .【解析 】设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)，则过点 A(x1,y1)的切线方程为 y-y1=k(x-x1)，即 y=kx+y1-kx1代入 3x2+4y2-12=0，整理化简可得 (3+4k2)x2+8k(y1-kx1)x+4(y1-kx1)2-12=0，由题设可得 64k2(y1-kx1)2-4×4[(y1-kx1)2-3](3+4k2)=0，即 3+4k2=(y1-kx1)2，结合 3x21+4y21 -12=0可得 k=-3x214y21 ，则切线方程为 3x1x+4y1y-12=0；同理可得经过点 B(x2,y2)的切线方程为 3x2x+4y2y-12=0．设交点 P(x0,y0)，故由题设可得 3x1x0+4y1y0-12=0且 3x2x0+4y2y0-12=0，观察这两个等式可以看出经过两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线是 3x0x+4y0y-12=0，又该直线与 x2+y2=1相切，则12(3x0)2+(4y0)2 =1，即 9x20+16y20 =144，即交点 P在曲线 x216 + y29 =1运动， 应填答案 x216 + y29 =1．第 43页 共 377页
专题 5：椭圆的对称性参考答案1. C【 解析】因为 F1关于 P的对称点为 M，关于 F2的对称点为 N,所以 PF2为 △F1MN的中位线 ,所以 MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4 9-8=4,所以 ΔMF1N的周长为 12+4=16.故选 :C.2. B【解析】如图，延长射线 PF1、 QF2分别与椭圆 C相交于 M、 N两点，由椭圆的对称性可知 PF1? ? = NF2? ? ， MF1? ? = QF2? ? ，设点 P的坐标为 x1,y1? ? ，点 M的坐标为 x2,y2? ? ，则点 Q的坐标为 -x2,-y2? ? .①若直线 PF1的斜率不存在 ，则点 P、 Q的坐标分别为 -1, 32? ? 、 1, 32? ? ，有 PF1? ? + QF2? ? =3②若直线 PF1的斜率存在 ，设直线 PF1的方程为 y=k x+1? ? k≠0 ? ，联立方程 x24 + y23 =1y=k x+1? ???? ，消去 y后整理为 4k2+3? ?x2+8k2x+4k2-12=0，有 x1+x2=- 8k24k2+3 ， x1x2= 4k2-124k2+3 ，PF1? ? = x1+1? ? 2+y21 = x1+1? ? 2+3- 34x21 = 14x21+2x1+4= 12x1+2? ? =2+ 12x1，MF1? ? =2+ 12x2，PF1? ? + QF2? ? =4+ 12 x1+x2? ? =4- 4k24k2+3 = 12 k2+1? ?4k2+3 = 3 4k2+3? ? +34k2+3 ，=3+ 34k2+3 ∈ 3,4? ? ，则 PF1? ? + QF2? ? 的取值范围为 3,4? ? .故选： B 第 44页 共 377页
3. C【 解析】由椭圆对称性得 PF2=QF1 ,因为 PF2⊥x轴，所以 PF2= yP? ? = 3 1- 14? ? = 32 ,OP= 1+ 94= 132 ，因此 △F1PQ的周长为 PF1+QF1+PQ=PF1+PF2+2OP=2a+2OP=4+ 13，选 C.4. B【解析】 ∵A,B分别是椭圆 C: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左? 右顶点， ∴A -a,0? ? ,B a,0? ?又 M,N是椭圆上关于 x轴对称的两点， 设 M x0,y0? ? ,则 N x0,-y0? ? ,且 x20a2 + y20b2 =1，即 y20 = b2a2 a2-x20? ? .故 AM,BN的斜率之积为 k1k2= y0x0+a ? -y0x0-a = y20a2-x20 = b2a2 a2-x20? ?a2-x20 = b2a2 = 49 ,所以椭圆 C离心率是 e= ca = 1- b2a2 = 53 .故选： B5. B【解析】 ∵① f x? ? =x为奇函数， 作出其图象，由图可知 f x? ? =x能等分该椭圆面积；同理， ② f x? ? =sinx为奇函数， 能等分该椭圆面积；③ f x? ? =cosx为偶函数 ，其图象关于 y轴对称，在 y轴右侧 x∈ 0, π2? ? 时， f x? ? >0，x∈ π2 ,4? ? 时 f x? ? <0，故不能等分该椭圆面积 .故选 ： B 第 45页 共 377页
6. A【 解析】因为 P3 -1, 32? ? ， P4 1, 32? ? 关于 y轴对称，所以椭圆经过 P3， P4，所以 1a2 + 34b2 =1，当 P2在椭圆上时， 1b2 =1，解得 b2=1,a2=4，椭圆方程为： x24 +y2=1成立 .因为 1a2 + 1b2 > 1a2 + 34b2 =1，所以椭圆不经过 P1，故选： A7. A【解析】设点 P x1,y1? ? 、 Q x2,y2? ? ，则 x2i4 +y2i =1，可得 x2i =4-4y2i， y2i =1- x2i4 i=1,2? ? .对于命题甲： AP? ? = x1-2? ? 2+y21 = x21-4x1+4+1- x214 = 3x214 -4x1+5，同理可得 AQ? ? = 3x224 -4x2+5，∵ AP? ? = AQ? ? ，则 3x214 -4x1+5= 3x224 -4x2+5，整理得 x1-x2? ? 3 x1+x2? ? -16? ? =0，∵-2≤x1≤2， -2≤x2≤2，所以， -4≤x1+x2≤4，则 3 x1+x2? ? -16≠0， 必有 x1=x2，所以，则 P与 Q关于 x轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确 .故选： A.8. D【解析】 O是坐标原点，由对称性得 SΔABF=2SΔOFA，当 A是短轴端点时， A到 OF的距离最大，即 ΔOFA面积最大，又由题意 a=2,b=1，则 c= 3，∴SΔABF的最大值为 2× 12cb= 3．故选： D．9. D【解析】解：根据题意，椭圆 C： x24 + y23 =1中， a=2， b= 3，则 c= a2-b2 =1，则 F1 -1,0? ? ， F2 1,0? ? ，设 M为椭圆的上顶点， 其坐标为 0, 3? ? ，在 ΔMF1F2中 ， MF1? ? = MF2? ? =a=2， F1F2? ? =2c=2，则 ∠F1MF2=60°，P为椭圆上任意一点 ，则 ∠F1PF2≤∠F1MF2=60°，则满足 ∠F1PF2为 45°的点 P有 4个，点 P可以在四个象限 .第 46页 共 377页
故选 D．10.C【 解析】由题意知 ca = 22 ，得 a2=2b2=2c2，不妨设椭圆的方程为 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，椭圆上任取点P x0,y0? ? ，取焦点 F -c,0? ? ，则 PF中点 M x0-c2 ,y02? ? ，根据条件可得 y02 = x0-c2 +4， kPF= y0x0+c =-1，联立两式解得 x0=-4,y0=4-c，代入椭圆方程解得 a=3 2， b=3，由此可得椭圆的方程为 x218 +y29 =1或 y218 + x29 =1.故选 C．11. 0或 12 (答案不唯一在 - 33 0，得 - 3
13.2【 解析】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线 l的方程为 y=kx+1，代入椭圆方程整理得 (1+4k2)x2+8kx=0，所以 x= -8k1+4k2 ，所以 y= 1-4k21+4k2 所以 A -8k1+4k2 ， 1-4k21+4k2? ? ，由题意得 B 8k1+4k2 ， 4k2-11+4k2? ? ，所以三角形 PAB的面积 S= 12 |OP|?|xA-xB|= 12 16k1+4k2? ? 因为 k≠0，所以 S△PAB=8? 14k+ 1k? ?≤8? 12 4 =2.故答案为： 2.14. 3， 2? ?【解析 】延长 CF2交椭圆于 D,有对称性可知 AF1+CF2? ? = CD? ?，当 CD垂直于 x轴时， CD? ?OB? ? 最小， 此时CD? ?OB? ? = 33 = 3，当倾斜角为 0时比值最大 ，此时 CD? ?OB? ? = 42 =2，但取不到．故答案为 3， 2? ? .15.2 2+2【解析 】设 F1 -c,0? ? ,F2 c,0? ? c>0 ? ，F1关于直线 y=-x的对称点 P坐标为 (0， c)，点 P在椭圆上，则： 0a2 +c2=1，则 c=b=1,a2=b2+c2=2，则 a= 2，故 △PF1F2的周长为 ： PF1? ? + PF2? ? + F1F2? ? =2a+2c=2 2+2.16. 2217.10 2 5.【解析 】连接 AF1,BF1，则由椭圆的中心对称性可得CΔABF2=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10SΔABF2=SΔAF1F2≤ 12 ?2 5?2=2 5． 第 48页 共 377页
18.m取值范围为 -2 1313 ,2 1313? ?【解析 】设椭圆上关于直线 y=4x+m对称的点 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则根据对称性可知线段 AB被直线 y=4x+m垂直平分，故直线 AB的斜率 k=- 14 ，直线 AB与椭圆有两个交点 ，且 AB的中点 M x0,y0? ? 在直线 y=4x+m，故可设直线 AB 的方程为 y=- 14x+n，联立方程组 3x2+4y2=12y=- 14x+n??? ，整理可得 13x2-8nx+16(n2-3)=0∴x1+x2= 8n13 ， y1+y2=- 14 (x1+x2)+2n= 24n13 ，Δ=64n2-4×13×16(n2-3)>0，解得： - 132 0，即 b2<1+ 2m2 ，①由韦达定理得 x1+x2= 4bmm2+2 ， x1x2= 2 b2-1? ?m2m2+2 ，∵ y1+y22 =- 1m ? 2bmm2+2 +b= bm2m2+2 ，所以 ，线段 AB的中点 M 2mbm2+2, bm2m2+2? ? .将 AB中点 M 2mbm2+2, m2bm2+2? ? 代入直线方程 y=mx+ 12 ，解得 b=-m2+22m2 ②，将②代入①得 -m2+22m2? ? 2< m2+2m2 ，化简得 m2> 23 .解得 m<- 63 或 m> 63 ，因此 ，实数 m的取值范围是 -∞,- 63? ? ∪ 63 ,+∞? ? ；第 49页 共 377页
(3)令 t=- 1m ∈ - 62 ,0? ? ∪ 0, 62? ? ，即 t2= 0, 32? ? ，且 b=-2t2+12 .则 x1+x2=- 4tb2t2+1 ， x1x2= 2b2-22t2+1 ，则 AB? ? = 1+t2 ? x1-x2? ? = 1+t2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+t2 ? - 4tb2t2+1? ? 2- 8 b2-1? ?2t2+1 =2 2? 2t2+1-b2 ? 1+t22t2+1 = 2 2? 2t2+1- -2t2+12? ? 2 ? 1+t22t2+1 =2? 2t2+1? ? 3-2t2 ? ? 1+t22t2+1 ，且 O到直线 AB的距离为 d= 2t2+12 t2+1 ，设 ΔAOB的面积为 S t? ? ，所以 S t? ? = 12 AB? ? ?d= 24 ? 2t2+1? ? 3-2t2 ? ≤ 24 ?2t2+1? ? + 3-2t2? ?2 = 22 ，当且仅当 t2= 12 时， 等号成立，故 ΔAOB面积的最大值为 22 ．20.(1)x24 + y23 =1(2)见解析【解析 】 (1)解：由题意知 ca = 12a2=b2+c21a2 + 94b2 =1??????? 可得 a=2， b= 3，所以椭圆 C的标准方程为 x24 + y23 =1.(2)证明：若 x0=0，则 P 0,± 3? ? ，此时直线 PF2与直线 PF1关于直线 l对称 .设 F1关于直线 l的对称点为 Q m,n? ? ，若 x0≠0，则 x0? m-124 + y0n23 =1nm+1 -3x04y0? ? =-1???????则 m= 9x20-16y20 +72x09x20+16y20 ， n= 4y0 m+1? ?3x0 ，要证直线 PF2与直线 PF1关于直线 l对称，只需证 Q， P， F2三点共线，即证 kOF2=kPF2，即证 nm-1 = y0x0-1 ，因为 nm-1 = 4y0 m+1? ?3x0 m-1? ? = 4y03x0 ? 9x20-16y20 +72x09x20+16y20 +19x20-16y20 +72x09x20+16y20 -1=y0? 6x0+24-8y20 +18x0 =y0? 6x0+24-8 3- 3x204? ? +18x0 =y0? x0+4x20+3x0-4=y0? x0+4x0+4? ? x0-1 ? = y0x0-1 ，综上， 直线 PF2与直线 PF1关于直线 l对称 .第 50页 共 377页
专题 6：椭圆的离心率问题参考答案1. A【 解析】如图，令 P点在第一象限 (由椭圆对称性，其他位置同理 )，连接 PO，显然 G点在 PO上，连接 PI并延长交 x轴于点 M，连接 GI并延长交 x轴于点 N， GI⊥x轴，过点 P作 PE垂直于 x轴于点 E，设点 P(x0,y0)， F1(-c,0),F2(c,0)，则 OE? ? =x0,PE? ? =y0，因为 G为 ΔPF1F2的重心 ，所以 G x03 ,y03? ? ，因为 IG⊥x轴 ，所以 I点横坐标也为 x03 ， ON? ? = x03 ，因为 PM为 ∠F1PF2的角平分线，则有 PF1? ? - PF2? ? = F1N? ? - NF2? ? = F1O? ? + ON? ?? ? - OF2? ? - ON? ?? ? =2ON? ? = 2x03 ，又因为 PF1? ? + PF2? ? =2a，所以可得 PF1? ? =a+ x03 ,PF2? ? =a- x03 ，又由角平分线的性质可得， F1M? ?F2M? ? = PF1? ?PF2? ? = a+ x03a- x03 ，而 F1M? ?F2M? ? = c+ OM? ?c- OM? ?所以得 OM? ? = cx03a ，所以 MN? ? = ON? ? - OM? ? = (a-c)x03a ， ME? ? = OE? ? - OM? ? = (3a-c)x03a ，所以 IN? ?PE? ? = MN? ?ME? ? = a-c3a-c，即 IN? ? = (a-c)y03a-c ，因为 SΔPF1F2= 12 PF1? ? + PF2? ? + F1F2? ?? ? IN? ? = 12 F1F2? ? PE? ?即 12 (2a+2c)(a-c)y03a-c = 12 (2c)y0，解得 ca = 13 ，所以答案为 A.2. B【解析】若内层椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，由离心率相同 ，可设外层椭圆方程为 x2(ma)2 + y2(mb)2=1(m>1)，∴A(-ma,0),B(0,mb)，设切线 AC为 y=k1(x+ma)，切线 BD为 y=k2x+mb，∴ y=k1(x+ma)x2a2 + y2b2 =1??? ，整理得 (a2k21+b2)x2+2ma3k21x+m2a4k21-a2b2=0，由 Δ=0知：(2ma3k21)2-4(a2k21+b2)(m2a4k21-a2b2)=0，整理得 k21= b2a2 ? 11-m2 ，同理， y=k2x+mbx2a2 + y2b2 =1??? ，可得 k22= b2a2 ?(m2-1)，∴(k1k2)2= b4a4 = - 916? ? 2，即 b2a2 = 916 ，故 e= ca = a2-b2a2 = 74 .故选： B.第 51页 共 377页
3. C【 解析】由题设 F c,0? ? ,A 0,b? ? ,P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ，则线段 PQ的中点为 B x0,y0? ? ，由三角形重心的性质知 AF?? =2FB??，即 (c,-b)=2 x0-c,y0? ? ，解得 ： x0= 3c2 ,y0=-b2即 B 3c2 ,-b2? ? 代入直线 l:6x-5y-28=0，得 9c+ 5b2 -28=0① .又 B为线段 PQ的中点 ，则 x1+x2=3c,y1+y2=-b，又 P,Q为椭圆上两点， ∴ x12a2 + y12b2 =1,x22a2 + y22b2 =1，以上两式相减得 x1+x2? ? x1-x2 ?a2 + y1+y2? ? y1-y2 ?b2 =0，所以 kPQ= y1-y2x1-x2 =-b2a2 ? x1+x2y1+y2 =-b2a2 × 3c-b = 65 ，化简得 2a2=5bc②由①②及 a2=b2+c2，解得： a=2 5b=4c=2??? ，即离心率 e= 55 .故选： C.4. B【解析】椭圆的焦点为 F1 -c,0? ? ， F2 c,0? ? ， F1F2? ? =2c根据正弦定理可得 2R= F1F2? ?sin∠F1PF2 = 2csin π3 = 4 3c3∴R= 2 3c3 ， r= 14R= 3c6 .设 PF1? ? =m， PF2? ? =n，则 m+n=2a，由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mncos π3 = m+n? ? 2-3mn=4a2-3mn，∴mn= 4 a2-c2? ?3 ， ∴SΔF1PF2= 12mnsin π3 = 3 a2-c2? ?3 ，又 SΔF1PF2= 12 m+n+2c? ? ?r= 3c a+c? ?6 ，∴ 3 a2-c2? ?3 = 3 a+c? ?6 即 2a2-3c2-ac=0，故 3e2+e-2=0， 解得： e= 23 或 e=-1(舍 ).故选： B.5. A【解析】设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，双曲线方程为 x2m2 - y2n2 =1(m>0,n>0)，左右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0)c2=a2-b2=m2+n2不妨设 P在第一象限，PF1 +? ?PF2? ? =2aPF1 -? ?PF2? ? =2m??? ，得 PF1? ? =a+mPF2? ? =a-m??? ，在 ΔPF1F2中 ， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|?cos∠F1PF2，第 52页 共 377页
即 4c2=a2+3m2,a2c2 + 3m2c2 =4，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2, 1e21 + 3e22 =4，设 1e1 =2cosθ>1,cosθ> 12 , 3e2 =2sinθ< 3,00且 c2<2a2-3c2∴ e< 22 .由②③可知 PF1? ? 2+ PF2? ? 2=6c2 ⑤由①⑤可得 PF1? ? PF2? ? =2a2-3c2 ，PF1? ? ? PF2? ? ≤ PF1? ? + PF2? ?2? ? 2=a2， ∴2a2-3c2≤a2，即 a2≤3c2， ∴e≥ 33 .则椭圆离心率的取值范围是 33 , 22??? ? .故选： A.7. A【解析】椭圆 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? 的左右焦点分别为 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，设 Q(x0， y0)，∵G为 △F1QF2的重心， ∴G点坐标为 G x03 ， y03? ? ，∵GI??=λF1F2?? ，则 GI??∥F1F2?? ， ∴I的纵坐标为 y03 ，又 ∵|QF1|+|QF2|=2a， |F1F2|=2c，∴S△F
1QF2= 12 ?|F1F2|?|y0|，又 ∵I为 △F1QF2的内心， ∴ y03? ? 即为内切圆的半径，内心 I把 △F1QF2分为三个底分别为 △F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴S△F1QF2= 12 (|QF1|+|F1F2|+|QF2|) y03? ?， 第 53页 共 377页
即 12 ×2c?|y0|= 12 (2a+2c) y03? ?， ∴2c=a， ∴椭圆 C的离心率为 e= 12 ，∴该椭圆的离心率 12 ，故选： A．8. 13【解析 】当直线 IG的倾斜角不随着点 P的运动而变化时，取 P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在 y轴上，重心也在 y轴上，由此可得不论 P在何处， GI始终垂直于 x轴，设内切圆与边的切点分别为 Q， N， A，如图所示：设 P在第一象限， 坐标为： (x0， y0)连接 PO，则重心 G在 PO上，连接 PI并延长交 x轴于 M点，连接 GI并延长交 x轴于 N，则 GN⊥x轴，作 PE垂直于 x轴交于 E，可得重心 G x03 ， y03? ? 所以 I的横坐标也为 x03 ， |ON|= x03 ，由内切圆的性质可得， PG=PA， F1Q=F1N， NF2=AF2，所以 PF1-PF2=(PG+QF1)-(PA+AF2)=F1N-NF2=(F1O+ON)-(OF2-ON)=2ON= 2x03 ，而 PF1+PF2=2a，所以 PF1=a+ x03 ， PF2=a- x03 ，由角平分线的性质可得 PF1PF2 = F1MMF2 = a+ x03a- x03 = c+OMc-OM ，所以可得 OM= cx03a ，所以可得 MN=ON-OM= x03 - cx03a = a-c? ?x03a ，所以 ME=OE-OM=x0- cx03a = 3a-c? ?x03a ，所以 INPE = MNOE = a-c3a-c，即 IN= a-c3a-c ?PE= a-c3a-c ?y0，S△PF
1F2= 12 (PF1+F1F2+PF2)?IN= 12F1F2?PE， 即 12 (2a+2c)? a-c3a-c ?y0= 12 ?2c?y0，所以整理为： ca = 13 ，故答案为： 13 . 第 54页 共 377页
9. 2 55【解析 】如图，圆锥面与其内切球 O1， O2分别相切与 A,B，连接 O1A,O2B,则 O1A⊥AB， O2B⊥AB，过O2作 O2D⊥O1A垂直于 D，连接 O1E,O2F， EF 交 O1O2于点 C设圆锥母线与轴的夹角为 α ，截面与轴的夹角为 β.在 RtΔO2DO1中 ， DO1=3-1=2 ， O2D= 82-22 =2 15∴cosα= O1DO1O2 = 2 158 = 154 ∵O1O2=8∴CO1=8-O2C ∵ΔEO1C～ΔFO2C∴ 8-O2CO1E = O2CO2F 解得 O2C=2∴CF= O2C2-FO22 = 22-12 = 3即 cosβ= CFO2C = 32则椭圆的离心率 e= cosβcosα = 32154 = 2 5510. 32【解析 】解： A -a,0? ? ， B a,0? ? ，设 P(x0， y0)，则 y02= b2 a2-x02? ?a2 ，则 m= y0x0+a， n= y0x0-a， ∴mn= y02x02-a2 =-b2a2 ，∴ ab 3- 23mn? ? + 2mn +3 lnm? ? +lnn? ?? ?= ab 3- 2-3b2a2???? ? ? ? ? + 2-b2a2 +6lnba = 23 ab? ? 3-2 ab? ? 2+3 ab? ? +6lnba，令 ab =t>1，则 f t? ? = 23t3-2t2+3t-6lnt． f? t? ? = 2t3-4t2+3t-6t = t-2? ? 2t2+3 ?t ，∴当 t=2时， 函数 f t? ? 取得最小值 f 2? ? ． ∴ ab =2． ∴e= 1- ba? ? 2 = 32 ，故答案为： 32 ． 第 55页 共 377页
11. 22 ， 1? ?【解析 】设直线 AB的方程为 y=kx，联立方程组 y=kxx2a2 + y2b2 =1??? ，消元得 (a2k2+b2)x2=a2b2，∴A aba2k2+b2 ， abka2k2+b2? ? ， B -aba2k2+b2 ， -abka2k2+b2? ? ，又 C(c,0)， M， N是 AF， BF的中点 ，∴M ab2 a2k2+b2 + c2 ， abk2 a2k2+b2? ? ， N -ab2 a2k2+b2 + c2 ， -abk2 a2k2+b2? ? ，∵以 MN为直径的圆恰经过坐标原点 O，∴OM⊥ON，∴ ab2 a2k2+b2 + c2? ? -ab2 a2k2+b2 + c2 ? + abk2 a2k2+b2 ? -abk2 a2k2+b2 =0，即 c24 - a2b24(a2k2+b2) - a2b2k24(a2k2+b2) =0，∴c2(a2k2+b2)-a2b2-a2b2k2=0，∴(a2c2-a2b2)k2=a2b2-b2c2=b4，即 a2(c2-b2)k2=b4，∵存在符合条件的直线 AB，使得 OM⊥ON，∴关于 k的方程 a2(c2-b2)k2=b4有解，∴c2>b2，即 c2>a2-c2， ∴2c2>a2，∴ c2a2 > 12 ， ∴e= ca > 22 ，又 e<1， ∴ 22
将②③代入①得 e2= c2a2 = 25 ，从而 e= 105 .故答案为： 10513. 5511 ,1? ?【解析 】由题意，设椭圆 C: x23 + y2λ =1 λ>0,λ≠3? ? ， M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ， M， N的中点为 P x0,y0? ? ，则x123 + y12λ =1， x223 + y22λ =1，两式相减得 ， x1+x2? ? x1-x2 ?3 + y1+y2? ? y1-y2 ?λ =0，而 x0= x1+x22 ， y0= y1+y22 .所以， MN所在直线的斜率 kMN= y2-y1x2-x1 =-λ3 x1+x2y1+y2 =-λx03y0 ，由 M， N关于 l对称， 直线 MN⊥l，故 -λx03y0 =- 12 ①， 又 P x0,y0? ? 在 l上， 所以 y0=2x0+1②，联立①与②的方程，解得， x0= 32λ-6 ， y0= λλ-3.由题意， P x0,y0? ? 在 C内， 可得 x023 + y02λ <1，化简 4λ2-28λ+33>0，即 2λ-3? ? 2λ-11 ? >0，解得 0<λ< 32 或 λ> 112 .令椭圆 C的离心率为 e，当 0<λ< 32 时， C的焦点在 x上 ， e2= 3-λ3 ，即 λ=3-3e2，故 0<3-3e2< 32 ，所以 22 112 时， C的焦点在 y上 ， e2= λ-3λ ，即 λ= 31-e2 ，故 31-e2 > 112 ，所以 5511
15. 22 ,1??? ?【解析 】设 P x0,y0? ? ，直线 AB的参数方程为 x=x0+tcosαy=y0+tsinα??? ， (t为参数 )代入圆 x2+y2=a2+b2，化简得： t2+2 x0cosα+y0sinα? ?t+x20+y20 -a2-b2=0，∴|PA||PB|= t1t2? ? = x20+y20 -a2-b2? ? =a2+b2- x20+y20? ? ，∵x20+y20 ∈ b2,a2? ? ，∴|PA||PB|∈ b2,a2? ? ，∵存在点 P，使得 |PA|?|PB|=a2-b2， ∴a2-b2≥b2，即 a2≥2b2，∴a2≤2c2， ∴e2≥ 12 ， ∴ 22 ≤e<1，故答案为 ： 22 ,1??? ?16. 22 ,1? ?【解析 】椭圆上存在点 M使 OM⊥MA，即 M的轨迹方程为： x+ a2? ? 2+y2= a24 , y≠0? ? .联立方程 x2a2 + y2b2 =1x+ a2? ? 2+y2= a24??????? ，化简得到 a2-b2a2 x2+ax+b2=0.易知 ： x=-a是方程的解，且 x=0时， a2-b2a2 x2+ax+b2>0.方程在 -a,0? ? 上有解， 只需满足： 0>x=- a2a2-b2a2 >-a ， 解得 ca =e> 22 .故答案为： 22 ,1? ? .17. 22【解析 】解：如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1， |PF1|-|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2， |PF2|=a1-a2，设 |F1F2|=2c， ∠F1PF2= π4 ，则 ：在 △PF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos π4 ，化简得： (2- 2)a21+(2+ 2)a22=4c2，即 2- 2e12 + 2+ 2e22 =4，又 ∵ 2- 2e12 + 2+ 2e22 ≥2 2? 1e1e2 ，∴ 1e1e2 ≤ 2，即 e1?e2≥ 22 ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 22 ．第 58页 共 377页
故答案为： 22 ．18. 92【解析 】由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2，令 P在双曲线的右支上，由双曲线的定义 PF1 -? ?PF2? ? =2a2，①由椭圆定义 PF1 +? ?PF2? ? =2a1，②又 ∵PF1⊥PF2，∴ PF1|2+? ?PF2|2=4c2，③① 2+② 2,得 PF1|2+? ?PF2|2=2a12+2a22，④将④代入③ ,得 a12+a22=2c2，∴ 90,110? ? .故答案为： 92 . 第 59页 共 377页
专题 7：椭圆中的定点问题参考答案1. (1)x24 + y22 =1； (2)定点坐标 (1,0).【解析 】 (1)由题意可得：左焦点 F(-c,0)关于直线 y=x对称点 N(0,c)；2a2 + 1b2 =1a2=b2+c2b=c??????? 解得 a2=4b2=2c2=2??? 所以椭圆的方程： x24 + y22 =1；(2)由题意可知 A(-2,0)， B(2,0)同时直线 TA,TB斜率存在且不为零，lAT:y= m6 (x+2)与椭圆 x24 + y22 =1交于 A，设 P(x1,y1)，可得 1+ m218? ? x2+ 2m29 x+ 2m29 -4=0∴-2?x1= 4m2-7218+m2 ，∴x1= 36-2m218+m2 ， y1= 12m18+m2 ，lBT:y= m2 (x-2)与椭圆 x24 + y22 =1交于 B，设 Q(x2,y2)，可得 1+ m22? ? x2+2m2x+2m2-4=0， ∴2?x2= 4m2-82+m2 ，∴x2= 2m2-42+m2 ， y2= -4m2+m2 ，当 x1≠x2时， 直线 PQ:y-y2= y1-y2x1-x2 (x-x1)， y+ 4mm2+2 = 4m6-m2 x- 2m2-4m2+2? ? ，令 y=0时， x=1，当 x1=x2时 ， 36-2m2m2+18 = 2m2-4m2+2 ， m2=6， x1=x2=1，∴直线 PQ恒过点 1,0? ? .2. (1)x24 + y23 =1； (2)存在， n∈ 0, 14? ? ； (3)证明见解析．【解析 】 (1)∵椭圆 C1: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)右焦点与抛物线 C2:y2=4x的焦点 F(1,0)重合，且经过点 M 1, 32? ? ，∴ 1a2 + 94b2 =1a2-b2=1????? ，解得 a2=4b2=3??? ，∴椭圆的方程为： x24 + y23 =1．(2)设直线 PQ的方程为 ： y=k(x-1)， k≠0，代入 x24 + y23 =1，得 ： (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，Δ=(-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)>0恒成立．设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ的中点为 R(x3， y3)，则 x3= x1+x22 = 4k23+4k2 ， y3=k(x3-1)=- 3k3+4k2 ，由 QP?? ?NP?? =PQ?? ?NQ?? ，得： PQ?? ?(NQ?? +NP?? )=PQ?? ?(2NR?? )=0，∴直线 NR为直线 PQ的垂直平分线，直线 NR的方程为： y+ 3k3+4k2 =- 1k x- 4k23+4k2? ? ，第 60页 共 377页
令 y=0得： N点的横坐标 n= k23+4k2 = 13k2 +4 ，∵k2∈(0,+∞)， ∴ 3k2 +4∈(4,+∞)， ∴n∈ 0, 14? ? ．线段 OF上存在点 N(n,0)，使得 QP?? ?NP?? =PQ?? ?NQ?? ，其中 n∈ 0, 14? ? ．(3)证明： 设直线 AB的方程为： y=k(x-4)， k≠0，代入 x24 + y23 =1，得 ： (3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0，∵过点 P0(4,0)且不垂直于 x轴的直线与椭圆交于 A， B两点，∴由 Δ= -32k2? ? 2-4 3+4k2? ? 64k2-12 ? >0，得 ： k∈ - 12 , 12? ? ，设 A(x3， y3)， B(x4， y4)， E(x4， -y4)，则 x3+x4= 32k23+4k2 ， x3x4= 64k2-123+4k2 ，则直线 AE的方程为 y-y3= y3+y4x3-x4 (x-x3)，令 y=0得： x=-y3? x3-x4y3+y4 +x3= x3y4+x4y3y3+y4= x3?k(x4-4)+x4?k(x4-4)k(x3+x4-8)= 2x3x4-4(x3+x4)x3+x4-8= 2? 64k2-123+4k2 -4? 32k23+4k232k23+4k2 -8 =1．∴直线 AE过定点 (1,0)．3. (1)8； (2) 0, 22? ? ? ? ? ； (3)证明见解析， - 52 , 32? ? .【解析 】 (1)由题意 a=2， b=1． ∴c= 4-1= 3，AF1? ? + AF2? ? =2a=4， BF1? ? + BF2? ? =2a=4，∴△ABF2的周长为 AF2? ? + BF2? ? + AB? ? = AF2? ? + BF2? ? + AF1? ? + BF1? ? =4+4=8；(2)设直线 AB方程为 y=x+m，由 x24 +y2=1y=x+m??? 得 54x2+2mx+m2-1=0， ∴Δ=4m2-5(m2-1)>0， - 5
(3)由 (2)直线 PA方程为 y= y1x1+4(x+4)，由 y= y1x1+4(x+4)x24 +y2=1????? 得 x24 + y21(x1+4)2 (x+4)2=1，又 4y21 =4-x21，代入整理得：(2x1+5)x2+2(4-x21)x-x1(5x1+8)=0， x1,xC是此方程的两根，∴xC=-5x1+82x1+5 ， ∴yC= y1x1+4(xC+4)= 3y12x1+5 ，即 C -5x1+82x1+5, 3y12x1+5? ? ，同理可得 D -5x2+82x2+5, 3y22x2+5? ? ，∴kCD= 3y12x1+5 - 3y22x2+5-5x1+82x1+5 + 5x2+82x2+5 = 3(x1+m)2x1+5 - 3(x2+m)2x2+5-5x1+82x1+5 + 5x2+82x2+5 = 2m-53 ，∴直线 CD方程为 y= 2m-53 x+ 5x1+82x1+5? ? + 3y12x1+5 ，注意 y1=x1+m， 令 x=- 52 ，y= 2m-53 - 52 + 5x1+82x1+5? ? + 3y12x1+5 = 3y12x1+5 - 3(2m-5)2(2x1+5) = 3y12x1+5 - 3(2y1-2x1-5)2(2x1+5) = 32∴直线 CD过定点 - 52 , 32? ? ．4. (1)x22 +y2=1； (2)证明见解析； (3)直线 AB过定点 (1,0).【解析】 (1)∵M是椭圆上的动点 ∴yM≤b，∴S△MF1F2= 12 |F1F2|? yM? ? ≤ 12 ?2c?b=bc， 即 yM? ? =b时， S△MF1F2? ? max=bc=1∵e= ca = 22 ，即 a2=2c2，又 a2=b2+c2， ∴b=c=1， ∴a= 2，∴椭圆 Γ的方程为 x22 +y2=1(2)证明： 联立 x2a2 + y2b2 =1x?x0a2 + y?y0b2 =1??????? ，得 (a2y02+b2x02)x2-2a2b2x0x+b2a4-a4y02=0()∵点 T x0,y0? ? 在椭圆上， ∴ x02a2 + y02b2 =1(a>b>0)?b2x02+a2y02=a2b2∴a2b2x2-2a2b2xx0+a2b2x02=0，即 a2b2(x2-2xx0+x02)=0∴a2b2(x-x0)2=0，得 x=x0，故直线和椭圆仅有一个公共点，∴l为椭圆的公切线(3)设 P(2,t)，切点 A(x1,y1)， B(x2,y2)，由 (2)的结论可知，切线 PA,PB的方程分别为 x?x12 +y?y1=1， x?x22 +y?y2=1∵P在切线上， ∴x1+ty1=1， x2+ty2=1∴(x1,y1),(x2,y2)都满足 x+ty=1，即直线 AB的方程为： x+ty=1∴直线 AB过定点 (1,0). 第 62页 共 377页
5. (1) 0, 2? ? ； (2)证明见解析， 定点 E 32 ,0? ? ．【解析 】 (1)由题设知 F(1， 0)，设直线 AB的方程为 x=my+1(m∈R)， A(x1， y1)， B(x2， y2)由 x=my+1,x22 +y2=1,??? 消去 x并整理， 得 (m2+2)y2+2my-1=0.Δ=4m2+4 m2+2? ? >0，则 y1+y2=- 2mm2+2 ， y1y2=- 1m2+2 ，所以 |y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 2 2× m2+1m2+2所以四边形 OAHB的面积 S= 12 ×|OH|×|y1-y2|= 12 ×2× 2 2× m2+1m2+2 = 2 2× m2+1m2+2令 m2+1=t，则 t≥1， 所以 S= 2 2tt2+1 = 2 2t+ 1t ，因为 t+ 1t ≥2(当且仅当 t=1，即 m=0时取等号 )， 所以 0
7. (1) 32 ； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)将点 A的坐标代入椭圆 M的方程可得 4a2 =1， ∵a>0， ∴a=2，同理 b=1，∴c= a2-b2 = 3，因此， 椭圆 M的离心率为 e= ca = 32 ；(2)如下图所示：直线 AB的方程为 x-2 +y=1，即 y= 12x+1，易知直线 PC的斜率存在 ，设直线 PC的方程为 y=k x-2? ? ，联立 y=k x-2? ?x24 +y2=1??? ，消去 y可得 4k2+1? ?x2-16k2x+16k2-4=0，由韦达定理可得 2xP= 16k2-44k2+1 ， ∴xP= 8k2-24k2+1 ，则 yP=k xP-2? ? =- 4k4k2+1 ，所以， 点 P的坐标为 8k2-24k2+1,- 4k4k2+1? ? ，联立 y=k x-2? ?y= 12x+1??? ，解得 x= 4k+22k-1y= 4k2k-1??? ，即点 Q 4k+22k-1, 4k2k-1? ? ，所以， 直线 BP的斜率为 kPB= 1+ 4k4k2+1-8k2-24k2+1 =-2k+14k-2 ，所以， 直线 BP的方程为 y=-2k+14k-2x+1，在直线 BP的方程中， 令 y=0，可得 x= 4k-22k+1 ，即点 S 4k-22k+1,0? ? ，所以， 直线 SQ的斜率为 kSQ= 4k2k-14k+22k-1 - 4k-22k+1 = 2k+14 ，所以， 直线 SQ的方程为 y= 2k+14 x- 4k-22k+1? ? ，即 y= 2k+14 x- 2k-12 ，整理可得 2k x-2? ? +x-4y+2=0，由 x-2=0x-4y+2=0??? ，解得 x=2y=1??? ，因此 ，直线 SQ过定点 2,1? ? .第 64页 共 377页
8. (1)x26 + y22 =1； (2)过定点， - 32 ,0? ? .【解析 】 (1)由题意可得 2c=43a2 + 1b2 =1a2=b2+c2??????? ，解得 ： a2=6或 2(舍 )， b2=2故椭圆 C的方程为 x26 + y22 =1.(2)由题意知，当 l1,l2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 0，此时直线 MN为 x轴；当 l1,l2的斜率都存在且不为 0时，设 l1:x=my-2(m≠0)，设 A(x1,y1),B x2,y2? ? ，联立 x=my-2x26 + y22 =1??? ，整理得 m2+3? ?y2-4my-2=0Δ=16m2+8 m2+3? ? >0， y1+y2= 4mm2+3,y1y2= -2m2+3则 x1+x2=m y1+y2? ? -4= -12m2+3所以 AB的中点 M -6m2+3, 2mm2+3? ?同理由 x=- 1my-2x26 + y22 =1????? ，可得 DE的中点 N -6m23m2+1, -2m3m2+1? ?则 kMN= 2mm2+3 + 2m3m2+1- 6m2+3 + 6m23m2+1 = 4m3 m2-1? ?所以直线 MN的方程为 y- 2mm2+3 = 4m3 m2-1? ? x+ 6m2+3? ?化简得 y= 4m3 m2-1? ? x+ 2mm2-1 = 4m3 m2-1? ? x+ 32? ?故直线 MN恒过定点 - 32 ,0? ? .综上， 直线 MN过定点 - 32 ,0? ?9. (1) 3； (2)过定点， 定点为 - 65 2,0? ? .【解析 】 (1)设 A x0,y0? ? ，则 B -x0,-y0? ? ，由题意得焦点为 F - a2-1,0? ?所以， FA?? ?FB??= x0+ a2-1,y0? ? ? -x0+ a2-1,-y0? ? =-x20-y20 +a2-1.当 FA?? ?FB??=0时， 有 x20+y20 =a2-1.联立 y=kx,x2a2 +y2=1,??? 得 x20= a2k2a2+1 ， y20 = k2a2k2a2+1 ，从而 a2k2a2+1 + k2a2k2a2+1 =a2-1.将 k= 33 代入， 得 4a2a2+3 =a2-1，即 a4-2a2-3=0，所以 a2=3或 a2=-1(舍 )，故 a= 3.(2)由 (1)知， F - 2,0? ? ，椭圆 C： x23 +y2=1.设 AD： x= x0+ 2y0 y- 2，代入椭圆 C： x2+3y2=3，消去 x并整理得 3+ x0+ 2? ? 2y20???? ? ? ? ? y2- 2 2 x0+ 2? ?y0 y-1=0，第 65页 共 377页
所以 (3y20 +x20+2 2x0+2)y2-2 2(x0+ 2)y0y-y20 =0，而 x20+3y20 =3，所以 5+2 2x0? ?y2-2 2 x0+ 2? ?y0y-y20 =0，由韦达定理得 yDy0=- y205+2 2x0 ，所以 yD= -y05+2 2x0 .同理 BE： x= -x0+ 2-y0 y- 2，即 x= x0- 2y0 - 2， yE= y05-2 2x0 ，所以 yE+yD= y05-2 2x0 + -y05+2 2x0 = 4 2x0y025-8x20 ，yE-yD= y05-2 2x0 - -y05+2 2x0 = 10y025-8x20所以 yE+yDyE-yD = 4 2x0y025-8x2010y025-8x20 = 2 2x05 ，于是 kDE= yE-yDxE-xD = yE-yDx0- 2y0 yE- x0+ 2y0 yD = 1x0y0 - 2y0 ? yE+yDyE-yD = 1x0y0 - 2y0 ? 2 2x05 =5? y0x0 =5k.所以直线 DE： y-yD= 5y0x0 x-xD? ? .令 y=0，得 x=xD- x05y0yD= x0+ 2y0 yD- x05y0yD- 2= 4x0+5 25y0 yD- 2，将 yD= -y05+2 2x0 代入得 x=- 65 2，所以 DE经过定点 - 65 2,0? ? .10.(1)x24 + y23 =1； (2)过定点， 1, 34? ? .【解析 】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养 .(1)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 x1+x2=-2,y1+y2=2，且 x12a2 + x12b2 =1,x22a2 + x22b2 =1两式相减得 x12-x22a2 =-y12-y22b2即 y1+y2x1+x2 ? y1-y2x1-x2 =-b2a2 ，即 -22 ? 34 =-b2a2 ，所以 b2a2 = 34又直线 l的方程为 y-1= 34 x+1? ? ，令 x=0，得 y= 74所以 2a× 716 = 74 ,a=2,b= 3，所以椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1.(2)由题意得 F 1,0? ? ，直线 PQ,MN的方程分别为 y=k1(x-1),y=k2 x-1? ? ，第 66页 共 377页
设 P x3,y3? ? ,Q x4,y4? ? ，联立 y=k1(x-1)x24 + y23 =1??? ，得 3+4k12? ?x2-8k12x+4k12-12=0，所以 x3+x4= 8k123+4k12 ，则 G 4k123+4k12 , -3k123+4k12? ?同理 H 4k223+4k22 , -3k223+4k22? ?所以 kGH= -3k13+4k12 - -3k23+4k224k123+4k12 - 4k223+4k22 = k1k2- 34k1+k2由 k1+k2=-1得 kGH= 34 +k1 k1+1? ? ，所以直线 GH的方程为 y+ 3k13+4k12 = k12+k1+ 34? ? x- 4k123+4k12? ?整理得 y= k12+k1+ 34? ? x-1 ? + 34 ，所以直线 GH过定点 1, 34? ? .11. (1)2； (2)证明见解析 .【解析 】解： (1)由题意，得 A - 3,0? ? ，设 P x0,y0? ? ，则根据 P、 O、 Q三点共线可知 Q -x0,-y0? ? ，故直线 AP方程为 y= y0x0+ 3 x+ 3? ? ， M 0, 3y0x0+ 3? ? ， AM??? = 3, 3y0x0+ 3? ? ，直线 AQ方程为 y= -y0-x0+ 3 x+ 3? ? ， N 0, - 3y0-x0+ 3? ? ， AN?? = 3, - 3y0-x0+ 3? ? ，AM??? ?AN?? =3+ 3y20x20-3 ，又点 P在 C上， 即 x203 +y20 =1，由此得 AM??? ?AN?? =3+ 3y20x20-3 =2．(2)由题意知直线 AP、 AQ的斜率存在，设直线 AP的方程为 y=k1 x+ 3? ? ，直线 AQ的方程为 y=k2 x+ 3? ? ， P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ? ，由 y=k1 x+ 3? ?x23 +y2=1??? ，得 1+3k21? ?x2+6 3k21x+9k21-3=0，因为 x=- 3 和 x=x1是此方程的两个根，所以 - 3+x1= -6 3k211+3k21 ， x1= 3-3 3k211+3k21 ， y1= 2 3k11+3k21 ，所以 P 3-3 3k211+3k21 , 2 3k11+3k21? ? ，同理得 Q 3-3 3k221+3k22 , 2 3k21+3k22? ?因为 k1k2=-1， 所以 Q 3k21-3 3k21+3 ,-2 3k1k21+3? ? ，当 k21=1时， 3-3 3k211+3k21 =- 32 ， 第 67页 共 377页
此时 P与 Q的横坐标相同， 所以直线 PQ的方程为 x=- 32 ．所以 R的横坐标为 - 32 ．当 k21≠1时， kPQ= 4k13 1-k21? ? ， PQ的方程为 y= 4k13 1-k21? ? x- 3-3 3k211+3k21? ? + 2 3k11+3k21 ，令 x=- 32 ，得 y= 4k13 1-k21? ? - 32 - 3-3 3k211+3k21? ? + 2 3k11+3k21 =0．所以直线 PQ恒过定点 R - 32 ,0? ? ．12.(1)x22 +y2=1； (2)证明见解析， 定点 (2,0).【解析】解： (1)把 x=c代入 x2a2 + y2b2 =1得 y=±b2a ，则 |MN|= 2b2a = 2.即 b2= 22 a.又 △F1MN的周长为 4 2，由椭圆概念得 4a=4 2， a= 2，从而 b=1故 C的方程为 x22 +y2=1.(2)证明：由题意可知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y=kx+m，联立 x22 +y2=1y=kx+m??? ，得 1+2k2? ?x2+4kmx+2m2-2=0.设 A， B的坐标分别为 x1,y1? ? ， x2,y2? ? ，则 Δ=16k2m-4 1+2k2? ? 2m2-2 ? =16k2-8m2+8>0，且 x1+x2=- 4km1+2k2 ， x1x2= 2m2-21+2k2 .设直线 F2A， F2B的倾斜角分别为 α， β， ∵∠AF2M=∠BF2M，且 F2M垂直 x轴，∴tanα+tanβ=0，即 kF2A+kF2B=0，∴ y1x1-1 + y2x2-1 =0， ∴则 y1 x2-1? ? +y2 x1-1? ? =0，即 kx1+m? ? x2-1 ? + kx2+m? ? x1-1 ? =0，∴2kx1x2-(k-m) x1+x2? ? -2m=0，∴2k? 2m2-21+2k2 +(k-m)? 4km1+2k2 -2m=0，化简可得 m=-2k，则直线 AB的方程为 y=kx-2k=k(x-2)，故直线 AB过定点 (2,0).13.(1)x24 + y23 =1.； (2)证明见解析，定点坐标为 27 ,0? ? .【解析 】 (1)由于直线 y=x+ 6 与圆 x2+y2=b2相切， 则 b= 62 = 3，由已知条件可得 ca = 12a2=c2+3a>0??????? ，解得 a=2c=1??? ，因此， 椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1；(2)设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，设椭圆 C的右顶点为 M 2,0? ? ，由题意可知， 直线 l不过椭圆的左、右顶点，则 m≠±2k，第 68页 共 377页
联立 y=kx+mx24 + y23 =1??? ，消去 y并整理得 4k2+3? ?x2+8kmx+4m2-12=0，Δ=64k2m2-4 4k2+3? ? 4m2-12 ? =48 4k2+3-m2? ? >0，由韦达定理可得 x1+x2=- 8km4k2+3 ， x1x2= 4m2-124k2+3 ，由于以 AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点 ，则 MA?? ?MB?? =0，MA?? = x1-2,y1? ? ， MB?? = x2-2,y2? ? ，所以， MA?? ?MB?? = x1-2? ? x2-2 ? +y1y2= x1-2? ? x2-2 ? + kx1+m? ? kx2+m ? = k2+1? ?x1x2+km-2? ? x1+x2 ? +m2+4= 4m2-12? ? k2+1 ? -8km km-2? ?4k2+3 +m2+4=0，整理可得 7m2+16km+4k2=0，解得 m=- 27k或 m=-2k(舍去 ).所以，直线 l的方程为 y=kx- 27k，所以 ，直线 l恒过定点 27 ,0? ? .14.(1)x22 +y2=1； (2)过定点， -4,-3? ? ．【解析 】 (1)由题意知， b=1， c=1，且 a2=b2+c2，所以 a= 2，所以， 椭圆标准方程为 x22 +y2=1．(2)①当直线 AB斜率不存在时 ，设为 x=x0 -20， x1+x2= -4km2k2+1 ， x1x2= 2 m2-1? ?2k2+1 ，∵tanα= yA-yPxA-xP = y1-1x1 = kx1+m-1x1 ， tanβ= yB-yPxB-xP = y2-1x2 = kx2+m-1x2 ，tan π4 =tan α+β? ? = tanα+tanβ1-tanαtanβ =1，∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ，∴ kx1+m-1x1 + kx2+m-1x2 =1- kx1+m-1x1 ? kx2+m-1x2 ，∴ k2+2k-1? ?x1x2+ 1+k? ? m-1 ? x1+x2 ? + m-1? ? 2=0，∴ k2+2k-1? ? 2 m2-1? ?2k2+1 + 1+k? ? m-1 ? -4km2k2+1 + m-1? ? 2=0．显然， 直线 y=kx+m，不经过点 0,1? ? ，即 m≠1， m-1≠0，故有 ， k2+2k-1? ? 2 m+1? ?2k2+1 + 1+k? ? -4km2k2+1 + m-1? ? =0，第 69页 共 377页
化简得 m=4k-3，∴直线 AB为 y=kx+4k-3， ∴k x+4? ? - 3+y? ? =0，显然当 x=-4y=-3??? 时， 上式成立，直线 AB过定点 -4,-3? ? ，综上， 直线 AB过定点 -4,-3? ? ．15.(Ⅰ )x24 +y2=1； (Ⅱ )证明见解析 .【解析 】 (Ⅰ )由椭圆离心率为 32 ，且经过点 A(2,0) ，可知 e= ca = 32 ,a=2所以 c= 3.所以 b2=a2-c2=4-3=1.所以椭圆 C的方程为 x24 +y2=1.(Ⅱ )当直线 l的斜率存在时 ，设直线 l的方程为 y=kx+m，由 x24 +y2=1y=kx+m??? ，得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，则 x1+x2=- 8km1+4k2 ,x1x2= 4m2-41+4k2 .因为以线段 PQ为直径的圆经过点 A ，所以 AP⊥AQ . 所以 AP?? ?AQ?? =0.AP?? =(x1-2,y1)?AQ?? =(x2-2,y2)AP?? ?AQ?? =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)4m2-41+4k2 +(km-2) -8km1+4k2 +m2+4由 AP?? ?AQ?? =0，整理得 5m2+16km+12k2=0.解得 m=- 65k 或 m=-2k(都满足 Δ>0).所以 y=k x- 65? ? 或 y=k(x-2).因为直线 l不过点 A(2,0)，所以直线 l过定点 65 ， 0? ?当直线 l的斜率不存在时， 设直线 l的方程为 x=x0(-2
专题 8：椭圆中的定值问题参考答案1. (1)x24 + y23 =1 ； (2)存在； k= 32 ．【解析 】解： (1)由题意知 2a+2c=6； ca = 12 ，解得 a=2,c=1，∵a2=b2+c2， ∴b2=3，所以椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1．(2)假设存在 k，则 k≠0， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线 AB:x=my+n， T(n,0)x=my+nx24 + y23 =1??? ，化简得 (3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0，∴y1+y2=- 6mn3m2+4 ， y1?y2= 3n2-123m2+4 ，Δ=36m2n2-4(3n2-12)(3m2+4)=48(3m2+4-n2)>0AT? ? 2+ BT? ? 2=(x1-n)2+y12+(x2-n)2+y22=(m2+1)(y12+y22)=(m2+1)[(y1+y2)2-2y1?y2]=(m2+1) - 6mn3m2+4? ? 2-2? 3n2-123m2+4??? ? ? ? ?= 6(m2+1)(3m2+4)2 (3m2-4)n2+4(3m2+4)? ? ，要使 AT? ? 2+ BT? ? 2为定值，则有 3m2-4=0，所以 m=± 23 ，所以 k= 1m =± 32 ．2. (1)x24 + y23 =1； (2) PF2? ?|AB| 为定值， 证明见解析【解析】 (1)由题意，当点 M在椭圆的左顶点时， M到 F1的距离最短，则 a-c=1，当点 M在椭圆的上顶点 (或下顶点 )时， △MF1F2的面积最大，此时 △MF1F2为等边三角形，则 a=2c，联立 a-c=1a=2ca2=b2+c2??? ，解得 a=2,c=1,b= 3，故椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1.(2) PF2? ?|AB| 为定值 .证明： 由题意可知，动直线 l的斜率存在，设其方程为 y=k(x-1)，联立 x24 + y23 =1y=k(x-1)??? ，得 3+4k2? ?x2-8k2x+4 k2-3? ? =0.设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 x1+x2= 8k23+4k2 ， x1x2= 4 k2-3? ?3+4k2 ，设 AB的中点为 Q x0,y0? ? ，则 x0= x1+x22 = 4k23+4k2 ， y0=k x0-1? ? = -3k3+4k2 .当 k≠0时， 线段 AB的垂直平分线的方程为 y- -3k3+4k2 =- 1k x- 4k23+4k2? ? ，令 y=0，得 x= k23+4k2 ，即 P k23+4k2 ,0? ? ，所以 PF2? ? = k23+4k2 -1? ? = 3 1+k2? ?3+4k2 .AB? ? = 1+k2? ? x1+x2? ? 2-4x1x2? ? = 1+k2 8k23+4k2? ? 2- 16 k2-3? ?3+4k2 = 12 k2+1? ?3+4k2 .第 71页 共 377页
所以 PF2? ?|AB| = 3 1+k2? ?3+4k212 1+k2? ?3+4k2 = 14 .当 k=0时， l的方程为 y=0，此时 ， AB? ? =2a=4， PF2? ? =c=1， PF2? ?|AB| = 14 .综上， PF2? ?|AB| 为定值 .3. (1)x24 +y2=1； (2)是定值 3 32 ，理由见解析 .【 解析】 (1)直线 x-4 3y+ 3=0过左焦点 F，则有 F(- 3,0)，所以 c= 3 且右焦点 F?( 3,0)，又 S△OMF= 12 × 3×yM= 34 ，得 yM= 12 ，代入直线方程有 xM= 3，所以 M 3, 12? ? .∴△FMF?为直角三角形且 ∠MF?F=90°，由椭圆定义，知： 2a=|MF?|+|MF|= 12 + 12+ 14 =4，即 a=2，∴椭圆的方程为 x24 +y2=1.(2)当直线 BC的斜率不存在时，设直线 BC的方程为 x=x1，若 B x1,y1? ? ，则 C x1,-y1? ? ，∵O为 △ABC的重心 ，可知 A -2x1,0? ? ，代入椭圆方程 ，得 x21=1,y21 = 34 ，即有 |BC|=2|y1|= 3， A到BC的距离为 d=3，∴S△ABC= 12 |BC|?d= 12 × 3×3= 3 32 ，当直线 BC的斜率存在时， 设直线 BC的方程为 y=kx+m，设 B x1,y1? ? ， C x2,y2? ? ，由 x24 +y2=1y=kx+m??? ，得 1+4k2? ?x2+8kmx+4m2-4=0，显然 Δ>0，∴x1+x2= -8km4k2+1 ， x1x2= 4m2-44k2+1 ，则 y1+y2=k x1+x2? ? +2m= 2m4k2+1 ，∵O为 △ABC的重心 ，可知 A 8km4k2+1, -2m4k2+1? ? ，由 A在椭圆上 ，得 14 8km4k2+1? ? 2+ -2m4k2+1? ? 2=1，化简得 4m2=4k2+1，∴|BC|= 1+k2 ?|x1-x2|=4 1+k2 ? 4k2-m2+14k2+1 =4 1+k2 ? 3m24m2 = 3 1+k2? ?|m| ，由重心的性质知： A到直线 BC的距离 d等于 O到直线 BC距离的 3倍 ，即 d= 3|m|1+k2 ，∴S△ABC= 12 |BC|?d= 3 32 ，综上得， △ABC的面积为定值 3 32 ．4. (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析．【解析 】 (1)由已知 3b2 =1ca = 12????? 解得 a=2b= 3??? 所以椭圆 C： x24 + y23 =1．(2)证明： 由已知斜率存在以下给出证明： 第 72页 共 377页
由题意， 设直线 PB的方程为 y=kx+ 3(k≠0)， P 0, 3? ? ， B x1,y1? ? ，则 B? x1,-y1? ? ，由 3x2+4y2=12,y=kx+ 3,???得 3+4k2? ?x2+8k 3x=0，所以 Δ= 8k 3? ? 2>0，x1+0=- 8k 33+4k2 ， x1=- 8k 33+4k2 ， y1=- 8k 33+4k2 + 3，所以 B - 8k 33+4k2 ,- 8k 33+4k2 + 3? ? ，即 B - 8k 33+4k2 ,-4 3k2+3 33+4k2? ? ，直线 PB?的方程为 y- 4 3k2-3 33+4k2 = 34k x- -8k 33+4k2? ? ，令 y=0得 x= -4 3k2-3 3? ? 4k3 3+4k2? ? 所以 M -4 3k2-3 3? ? 4k3 3+4k2? ? ， 0? ? ，令 y=0由 y=kx+ 3 得 x=- 3k 所以 N - 3k ， 0? ? ，所以 OM? ? ? ON? ? = -4 3k2-3 3? ? 4k3 3+4k2? ?? ? ? - 3k? ? =4.5. (1)x22 +y2=1； (2)是， 定值为 π2 .【解析 】 (1)当 PQ⊥x轴时，点 P的横坐标 xP=c代入椭圆 C的方程，可得点 P的纵坐标 yP= b2a ，由题意知 c=1， A(-a,0)， D(0,b)，又当 OP⊥x轴时， OP?AD，∴ ba = b2a ，得 b=1， 且 a2-b2=c2，∴a= 2，∴椭圆 C的标准方程为 x22 +y2=1.(2)∠MFN为定值，且定值为 π2 ，理由如下 ：由 (1)得 A - 2,0? ? ， D(0,1)， B 2,0? ? ，设 P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ? ， M t,y3? ? ，直线 PQ的方程为 x=my+1，联立方程可得 x=my+1,x2+2y2-2=0,??? 整理得 m2+2? ?y2+2my-1=0，则 y1+y2= -2mm2+2 ， y1y2= -1m2+2 ，由 A， P， M三点共线可得 y3t+ 2 = y1x1+ 2 ，①∵ x212 +y21 =1， ∴2y21 =2-x21= 2-x1? ? 2+x1 ? ， ∴ y1x1+ 2 = 2-x12y1 ，②由①②得 y3t+ 2 = 2-x12y1 ③由 B， Q， M三点共线可得 y3t- 2 = y2x2- 2 ④由③④可得 t- 2t+ 2 = 2-x1? ? x2- 2 ?2y1y2 ，分别将 x1=my1+1， x2=my2+1代入， 得t- 2t+ 2 = -m2y1y2+m 2-1? ? y1+y2 ? -3+2 22y1y2 ，第 73页 共 377页
将 y1+y2= -2mm2+2 ， y1y2= -1m2+2 代入并整理， 可得 t- 2t+ 2 =3-2 2，∴t=2，设 N t?,y4? ? ，同理可得 t?=2，由 B， P， N三点共线可得 y4t?- 2 = y1x1- 2 ，⑤由③⑤得 y3y4=-1，∴FM?? ?FN?? = 2-1,y3? ? ? 2-1,y4? ? =1+y3y4=0，∴∠MFN= π2 为定值 .6. (1)x22 +y2=1； (2)- 13 .【解析 】 (1)因为椭圆的离心率为 22 ，所以 e= ca = 22 ，设 A x0,y0? ? ，则 S△AF1F2= 12 ×2cy0? ? ，当 y0? ? =b时， △AF1F2面积取得最大值，所以 bc=1，又 a2=b2+c2，解得 a2=2,b2=1，所以椭圆的方程是 x22 +y2=1.(2)设直线 PM： y=kx+m与 x22 +y2=1联立得： 1+2k2? ?x2+4kmx+2m2-2=0，因为 PM是椭圆的切线 ，所以 Δ= 4km? ? 2-4× 1+2k2? ? × 2m2-2? ? =0，即 2k2-m2+1=0，由 x22 +y2=1，得 y2=1- x22 ，所以 2yy?=-x，则 y?=- x2y，设 P x0,y0? ? ，则 k=- x02y0 ①，因为 x022 +y02=1，所以 x02=2 1-y02? ? ②，将①②代入 2k2-m2+1=0，得 m2= 1y02 ，因为 m,y0同号，所以 m= 1y0 ，因为 M在直线 x=-2上 ，所以 M -2,-2k+m? ? ,F1 -1,0? ? ,F2 1,0? ? ，所以 k1= y0x0+1,k2= -2k+m-3 ，所以 k1?k2= y0 2k-m? ?3 x0+1? ? = y0 -x0y0 -m? ?3 x0+1? ? ,第 74页 共 377页
= -x0-my03 x0+1? ? =- x0+13 x0+1? ? =- 13 .7. (1)x212 + y23 =1； (2)是定值， 3 3.【解析 】 (1)抛物线 y2=12x的焦点坐标为 3,0? ? .由题意： 椭圆的一个焦点坐标为 3,0? ? ，所以另一个焦点是 -3,0? ? ， c=3.根据椭圆的定义有 2a= 3+2? ? 2+ 0- 2? ? 2 + -3+2? ? 2+ 0- 2? ? 2 =4 3 所以 a=2 3，所以 b2=a2-c2=3所以椭圆 C: x212 + y23 =1.(2)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， C x0,y0? ? ，x212 + y23 =1?????①y=kx+m??????② ???? ，②代入①整理得， 1+4k2? ?x2+8kmx+4m2-12=0，Δ=64k2m2-16 1+4k2? ? m2-3 ? =16 3-m2+12k2? ? >0，x1+x2= -8km1+4k2 ， x1x2= 4m2-121+4k2 ，因为 OACB是平行四边形所以 OC?? =OA?? +OB?? ，，所以 x0=x1+x2= -8km1+4k2 ，y0=y1+y2=k x1+x2? ? +2m= 2m1+4k2 ，因为 x0,y0? ? 在椭圆上， 代入得 -8km1+4k2? ? 2+4 2m1+4k2? ? 2=12，整理得 ： m2= 34 1+4k2? ? ，O到 AB距离为 d= m? ?1+k2 ，所以 S?OACB=2S△OAB= AB? ? ?d= m? ?1+k ? 1+k2 x1-x2? ? ，= m? ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = m? ? ? 4? 3+12k2-m21+4k2 =4? m? ? ? 3m21+4k2 = 4 3m21+4k2 =3 3，所以平行四边形 OACB的面积为定值 3 3.8. (1)x24 + y22 =1， x2+y2=6； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)由题意 a= 2b，2a2 + 1b2 =1，??? 解得 a=2， b= 2所以椭圆的标准方程为 x24 + y22 =1椭圆 C的“ 准圆”方程为 x2+y2=6(2)证明：①当弦 AB⊥x轴时，交点 M、 N关于 x轴对称，又 OM??? ?ON?? =0，则 OM⊥ON，可设 M(t,t)、 N(t,-t)， t24 + t22 =1得 |t|= 2 33此时原点 O到弦 AB的距离 d=|t|= 2 33 ，则 ，第 75页 共 377页
因此 |AB|=2 6- 43 = 23 42②当弦 AB不垂直于 x轴时 ，设直线 AB的方程为 y=kx+m，且与椭圆 C的交点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，联列方程组 y=kx+mx24 + y22 =1??? ，代入消元得： 2+4k2? ?x2+8kmx+4m2-8=0，由 x1+x2= -8km2+4k2 ,x1x2= 4m2-82+4k2可得 y1y2= kx1+m? ? kx2+m ? =k2× 4m2-82+4k2 +km× -8km2+4k2 +m2= 2m2-8k22+4k2 ，由 OM??? ?ON?? =0得 x1x2+y1y2=0，即 4m2-82+4k2 + 2m2-8k22+4k2 = 6m2-8k2-82+4k2 =0，所以 m2= 43 k2+1? ?此时 △=32 4k2-m2+2? ? =32 83k2+ 23? ? >0成立，则原点 O到弦 AB的距离 d= |m|k2+1 = m2k2+1 = 43 = 2 33 ，则 |AB|=2 6- 43 = 23 42，综上得 |AB|= 23 42，因此弦 AB的长为定值 .9. (1)x24 + y23 =1； (2) 53 .【解析 】 (1)因为椭圆的离心率为 12 ，且过点 P 1, 32? ? ，所以 ca = 12 , 1a2 + 94b2 =1，又 a2=b2+c2，解得 a2=4,b2=3，所以椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1；(2)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,N x3,y3? ? ，因为点 M为线段 OA的中点 ，所以 M x12 ,y12? ? ，因为 B， M， N三点共线，所以 BN?? =λBM?? ，所以 x3= λ2x1+ 1-λ? ?x2,y3= λ2y1+ 1-λ? ?y2，又因为 A， B点在椭圆上，所以 x124 + y123 =1x224 + y223 =1??????? ，又因为直线 OA， OB的斜率之积为 - 34 ，所以 3x1x2+4y1y2=0，因为点 N在椭圆上， 第 76页 共 377页
所以 x324 + y323 =1，即 λ24 3x12+4y12? ? + 1-λ? ? 2 3x22+4y22? ? + λ2 1-λ? ? 6x1x2+8y1y2 ? =12，所以 λ24 + 1-λ? ? 2=1，解得 λ= 85 ，所以 BN?? = 85BM?? ,则 BM??? ? = 53 MN??? ? ，所以 S△OMBS△AMN = 12 ?OM?dB12 ?AM?dN = dBdN = BM? ?MN? ? = 53 为定值 .10.(Ⅰ )x22 +y2=1； (Ⅱ )证明见解析， 1|OA|2 + 1|OB|2 = 32 .【解析 】 (Ⅰ )依题意 F1F2? ? =2c=2，所以 c=1.由 MF1? ? =3MF2? ? ， MF1? ? + MF2? ? =2a，得 MF1? ? = 32a， MF2? ? = 12a，于是 F1F2? ? = MF1? ? 2- MF2? ? 2 = 3a2? ? 2- a2? ? 2 = 2a=2，所以 a= 2，所以 b2=a2-c2=1，因此椭圆 C的方程为 x22 +y2=1.(Ⅱ )当直线 l的斜率存在时 ，设直线 AB:y=kx+m， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，由 x2+2y2=2,y=kx+m??? 消去 y得 1+2k2? ?x2+4kmx+2m2-2=0，由题意， Δ>0， 则 x1+x2= -4km1+2k2 ,x1x2= 2m2-21+2k2 ,?????因为 OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，即 x1x2+ kx1+m? ? kx2+m ? =0，整理得 3m2=2 1+k2? ? .而 1|OA|2 + 1|OB|2 = |OA|2+|OB|2|OA|2|OB|2 = |AB|2|OA|2|OB|2 ，设 h为原点到直线 l的距离， 则 OA? ? OB? ? = AB? ? ?h，所以 1|OA|2 + 1|OB|2 = 1h2 ，而 h= |m|1+k2 ，所以 1|OA|2 + 1|OB|2 = 1+k2m2 = 32 .当直线 l的斜率不存在时， 设 A x1,y1? ? ，则有 kOA=±1，不妨设 kOA=1，则 x1=y1，代入椭圆方程得 x21= 23 ，所以 |OA|2=|OB|2= 43 ，所以 1|OA|2 + 1|OB|2 = 32 .综上 1|OA|2 + 1|OB|2 = 32 .11. (1)x24 +y2=1； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)因为椭圆 C的焦距为 2 3，所以 c= 3，又 ∵椭圆 C过点 A 3, 12? ? ， ∴ 3a2 + 14b2 =1，且满足 a2=b2+c2，第 77页 共 377页
可得 a2=4， b2=1，椭圆 C的标准方程为 ： x24 +y2=1；(2)设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ， F 3,0? ? ，由题意可知， 直线 l的斜率存在，可设直线 l的方程为 y=k x- 3? ? ，联立 y=k x- 3? ?x24 +y2=1??? ，可得 4k2+1? ?x2-8 3k2x+12k2-4=0，由于点 F在椭圆 C的内部 ，直线 l与椭圆 C必有两个交点，由韦达定理可得 x1+x2= 8 3k24k2+1 ， x1?x2= 12k2-44k2+1 ，∵MA?? =λ1AF?? ， MB?? =λ2BF?? ， M 0,y0? ? ，得 x1,y1-y0? ? =λ1 3-x1,-y1? ? ， x2,y2-y0? ? =λ2 3-x2,-y2? ? ，∴λ1= x13-x1 ， λ2= x23-x2 ，∴λ1+λ2= x13-x1 + x23-x2 = 3 x1+x2? ? -2x1x23- 3 x1+x2? ? +x1x2 = 24k2-2 12k2-4? ?4k2+13+ 12k2-4? ? -24k24k2+1 =-8.12.(1)离心率为 e= 63 ； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ， F c,0? ? ，则直线 AB的方程为 y=x-c，联立 y=x-cx2a2 + y2b2 =1??? ，消去 y并整理得 a2+b2? ?x2-2a2cx+a2 c2-b2? ? =0，设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，由韦达定理可得 x1+x2= 2a2ca2+b2 ， x1x2= a2 c2-b2? ?a2+b2 ，由 OA?? +OB?? = x1+x2,y1+y2? ? ， a?= 3,-1? ? ，由 OA?? +OB?? 与 a?共线，得 3 y1+y2? ? + x1+x2? ? =0，又 y1=x1-c， y2=x2-c， 3 x1+x2-2c? ? + x1+x2? ? =0，∴x1+x2= 32c，即 2a2ca2+b2 = 3c2 ，可得 a2=3b2=3 a2-c2? ? ，所以 ， c2a2 = 23 ，所以， 椭圆的离心率为 e= ca = 23 = 63 ；(2)证明： 由 (1)知 a2=3b2，所以椭圆方程 x2a2 + y2b2 =1可化为 x2+3y2=3b2．设 OM??? = x,y? ? ，由 OM??? =λOA?? +μOB?? 得 x,y? ? =λ x1,y1? ? +μ x2,y2? ? ， ∴ x=λx1+μx2y=λy1+μy2??? .∵M x,y? ? 在椭圆上， ∴ λx1+μx2? ? 2+3 λy1+μy2? ? 2=3b2，∴λ2 x21+3y21? ? +μ2 x22+3y22? ? +2λμ x1x2+3y1y2? ? =3b2． (※)由 (1)，知 x1+x2= 3c2 ， a2= 32c2， b2= 12c2， x1x2= a2c2-a2b2a2+b2 = 38c2．x1x2+3y1y2=x1x2+3 x1-c? ? x2-c ? =4x1x2-3c x1+x2? ? +3c2= 32c2- 92c2+3c2=0．又 x21+3y21 =3b2， x22+3y22 =3b2，代入 (※) 式，得 λ2+μ2=1．故 λ2+μ2为定值，定值为 1． 第 78页 共 377页
13.(1)x23 + y22 =1； (2)存在， 实数 λ= 3.【解析 】解： (1)根据椭圆的定义，可得 AF1? ? + AF2? ? =2a， BF1? ? + BF2? ? =2a，∴△AF1B的周长为 AF1? ? + BF1? ? +|AB|= AF1? ? + BF1? ? + AF2? ? + BF2? ? =4a， ∴4a=4 3， a= 3，∴椭圆 E的方程为 x23 + y2b2 =1，将 P 1,2 33? ? 代入得 b2=2，所以椭圆的方程为 x23 + y22 =1.(2)由 (1)可知 4c2=a2-b2=1，得 F2(1,0)，依题意可知直线 l的斜率不为 0，故可设直线 l的方程为 x=my+1，由 x23 + y22 =1x=my+1??? 消去 x，整理得 2m2+3? ?y2+4my-4=0，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 y1+y2= -4m2m2+3 ， y1y2= -42m2+3 ，不妨设 y1>0， y2<0， AF2? ? = x1-1? ? 2+y21 = my1+1-1? ? 2+y21 = m2+1? y1? ? = m2+1?y1，同理 BF2? ? = m2+1? y2? ? =- m2+1?y2，所以 1AF2? ? + 1BF2? ? = 1m2+1?y1 + 1- m2+1?y2 = 1m2+1 1y1 - 1y2? ?= 1m2+1 y2-y1y1y2 = 1m2+1 -y2-y1? ?y1y2 = 1m2+1 ? - 16n2+16 2m2+3? ?2m2+3-42m2+3= 1m2+1 ? 4 3 m2+1? ?4 = 3即 AF2? ? + BF2? ? = 3AF2? ? ? BF2? ? ，所以存在实数 λ= 3，使得 AF2? ? + BF2? ? =λAF2? ? ? BF2? ? 成立14.(1)x24 + y23 =1； (2)是， 43 .【解析 】 (1)由已知 1a2 + 94b2 =1e= ca = 12c2=a2-b2??????? ,解得 a=2b= 3c=1??? 所以椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1(2)由 (1)可知 F 1,0? ?依题意可知直线 l的斜率不为 0，故可设直线 l的方程为 x=my+1由 x24 + y23 =1x=my+1??? ，消去 x整理得 3m2+4? ?y2+6my-9=0;设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?则 y1+y2= -6m3m2+4 ， y1y2= -93m2+4不妨设 y1>0， y2<0， AF? ? = x1-1? ? 2+y21 = my1+1-1? ? 2+y21 = m2+1? y1? ? = m2+1?y1，同理 BF? ? = m2+1? y2? ? =- m2+1?y2所以 1AF? ? + 1BF? ? = 1m2+1?y1 + 1- m2+1?y2 = 1m2+1 1y1 - 1y2? ?= 1m2+1 ? y2-y1y1y2 = 1m2+1 ? - y2+y1? ? 2-4y1y2y1y2= 1m2+1 ? - -6m3m2+4? ? 2-4× -93m2+4-93m2+4 = 43 ;即 1AF? ? + 1BF? ? = 43 .第 79页 共 377页
专题 9：椭圆中的定直线问题参考答案1. (1)x28 + y24 =1； (2)证明见解析， 直线 x=4.【解析】 (1)由题意， 6a2 + 1b2 =1且 ca = 22 ，又 a2=b2+c2， 解得 a2=8， b2=4.∴椭圆的方程为 x28 + y24 =1.(2)设直线 MN的方程为 x=my+2， M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，联立方程 x=my+2,x28 + y24 =1,???整理得 m2+2? ?y2+4my-4=0， Δ=16m2+16(m2+2)=32(m2+1)>0，由 y1+y2= -4mm2+2 ， y1y2= -4m2+2 ，即 y1+y2=my1y2.直线 DN的方程为 y= y2x2-3 x-3? ? .①过 M且与 y轴垂直的直线的方程为 y=y1.②联立①②可得 xP=3+ y1 x2-3? ?y2 =3+ y1 my2-1? ?y2 =3+ y1+y2-y1y2 =4.∴点 P在定直线 x=4上 .2. (Ⅰ )x24 + y23 =1； (Ⅱ )证明见解析， 直线 y=3.【解析】 (Ⅰ )设 P x,y? ? ， PM?x轴 ， PN?y轴， ∴M 0,y? ? ， N x,0? ? ， Q -aby,y? ? ， R x,-bax? ? ，∴S1= 12y? aby= 12 ? ay2b ， S2= 12x? bax= 12 ? bx2a ，∴S1+S2= 12 ay2b + bx2a? ? = ab2 x2a2 + y2b2? ? = ab2 ，∴ ab2 = 3，又 ca = 12 ， a2=b2+c2，解得： a=2， b= 3，故椭圆的方程为 x24 + y23 =1．(Ⅱ )①当直线 EF斜率存在时 ，设其方程为： y=kx+1，设 E x1,y1? ? ， F x2,y2? ? ，联立 x24 + y23 =1y=kx+1??? ，得 3+4k2? ?x2+8kx-8=0， Δ=64k2+32 3+4k2? ? >0，由韦达定理得 x1+x2= -8k3+4k2 ， x1x2= -83+4k2 ， ∴kx1x2=x1+x2．因为 B1 0, 3? ? ， B2 0,- 3? ? ，所以直线 EB2的方程为 y+ 3y1+ 3 = xx1 ，直线 FB1的方程为 y- 3y2- 3 = xx2 ．联立消去 x得 y+ 3y1+ 3? ?x2 = y- 3y2- 3? ?x1 ，整理得y= - 3 x2y1+x1y2? ? +3 x1-x2? ?x1y2-x2y1- 3 x1+x2? ? = - 3 x2 kx1+1? ? +x1 kx2+1? ?? ? +3 x1-x2? ?x1 kx2+1? ? -x2 kx1+1? ? - 3 x1+x2? ?= - 3 2kx2x1+x1+x2? ? +3 x1-x2? ?x1-x2- 3 x1+x2? ? = 3 x1-x2? ? -3 3 x1+x2? ?x1-x2- 3 x1+x2? ? =3，所以直线 EB2， FB1的交点 G一定在直线 y=3上；②当直线 EF的斜率不存在时，直线 EB2， FB1与 y轴重合，过点 0,3? ? ，由①②知直线 EB2， FB1的交点 G在直线 y=3上．第 80页 共 377页
3. (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析， x=4.【 解析】 (1)抛物线 y2=4x的焦点坐标为 1,0? ? ∴c=1，直线 AB的方程为 ： xa - yb =1?bx-ay-ab=0，设原点到直线 AB的距离为 d，∴d= -ab? ?a2+b2 = aba2+b2 = 27 21，∴ aba2+b2 = 27 21a2-b2=c2=1??? ? a2=4b2=3???∴椭圆方程为 x24 + y23 =1；(2)因为直线 l与椭圆相切，∴联立直线与椭圆方程 ： y=kx+mx24 + y23 =1??? ? 4k2+3? ?x2+8kmx+4m2-12=0∴Δ=64k2m2-4 4m2-12? ? 4k2+3 ? =0∴64k2m2- 64k2m2-192k2+48m2-144? ? =0即 4k2-m2+3=0?m2=4k2+3切点坐标 xP=- 4km4k2+3 =-4kmm2 =-4km yp=kxp+m=-4k2m +m= 3m即 P -4km, 3m? ? ， ∴kPF1= 3m-4km -1 =- 34k+m∴kQF1= 4k+m3 ，点 F1的坐标为 ： 1,0? ? ，∴F1Q的方程为 y= 4k+m3 x-1? ?联立直线 F1Q,l方程： y= 4k+m3 x-1? ?y=kx+m???∴ 4k+m? ? x-1 ? =3 kx+m? ? ?4kx+mx-4k-m=3kx+3m? k+m? ?x=4 k+m? ? 解得 x=4∴Q在 x=4这条定直线上 .4. (1)x23 +y2=1； (2)证明见解析．【解析 】 (1)已知椭圆 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? 的离心率为 63 ，且过点 0,1? ? ，所以 b=1，又 c= a2-b2，则 e= ca = a2-b2a = 63 ，所以 a= 3，故椭圆 C的标准方程为 x23 +y2=1．(2)设直线 l的方程为 y=k x+1? ? k>0 ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立 y=k x+1? ?x23 +y2=1??? 得 3k2+1? ?x2+6k2x+3k2-3=0，由题意知 Δ>0恒成立， 第 81页 共 377页
由韦达定理得 x1+x2=- 6k23k2+1 ，所以 y1+y2= 2k3k2+1 ，由于 E为线段 AB的中点 ，因此 xE=- 3k23k2+1 ， yE= k3k2+1 ，此时 kOE= yExE =- 13k．所以 OE所在直线方程为 y=- 13kx，将其代入椭圆 C的方程， 并由 k>0，解得 G - 3k3k2+1 , 13k2+1? ? ，又 E - 3k23k2+1, k3k2+1? ? ，由 OG? ? 2= OE? ? ? OF? ? 得 x2G=xE?xF?xF= x2GxE = - 3k3k2+1? ? 2- 3k23k2+1 =-3，因此 ，点 F在定直线 x=-3上．5. (1) - 116, 112??? ? ? ? ； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)设 M x0,y0? ? ， N -x0,-y0? ? ，则 kPM?kPN= 1-y04-x0 ? 1+y04+x0 = 1-y2016-x20 = 1-y2016- 4-2y20? ? = 1-y202y20 +12 ，所以 kPM?kPN= - 12 2y20 +12? ? +72y20 +12 =- 12 + 72y20 +12 ，因为 y20 ∈ 0,2? ? ，所以 2y20 +12∈ 12,16? ? ，所以 72y20 +12 ∈ 716, 712??? ? ? ? ，所以 kPM?kPN∈ - 116, 112??? ? ? ? ；(2)若直线 l的斜率不存在， 则直线 l的方程为 x=4，此时直线 l与椭圆 C无公共点，不合乎题意 .所以，直线 l的斜率存在，设 l:y-1=k x-4? ? ，即 y=kx+ 1-4k? ? ，联立 x24 + y22 =1y=kx+ 1-4k? ???? ，得 1+2k2? ?x2+4k 1-4k? ?x+2 1-4k? ? 2-4=0，由 Δ>0得 12k2-8k-1<0，设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，则 x1+x2=-4k 1-4k? ?1+2k2 ， x1x2= 2 1-4k? ? 2-41+2k2 ，设 Q x3,y3? ? ，由 AP??? ? ? QB??? ? = AQ??? ? ? PB??? ? ，得 4-x1? ? x3-x2 ? = x1-x3? ? 4-x2 ? (考虑线段在 x轴的射影 )，所以 8x3= 4+x3? ? x1+x2 ? -2x1x2，于是 8x3= 4+x3? ? × -4k 1-4k? ?1+2k2 -2× 2 1-4k? ? 2-41+2k2 ，整理得 2x3-1= 4-x3? ?k，又 k= y3-1x3-4 ，代入上式 ，得 2x3+y3-2=0，所以点 Q总在定直线 2x+y-2=0上．6. (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)由题意知 ca = 12 ，所以 a=2c，又 a2=b2+c2，所以 b= 3c 第 82页 共 377页
当 PQ⊥x轴时 ， △APQ的面积为 92 ，所以 12 a+c? ? ? 2b2a = 92解得 c2=1,所以 a2=4,b2=3，所以椭圆 C的标准方程为 x24 + y23 =1.(2)由 (1)知 F 1,0? ? ，设直线 PQ的方程为 x=my+1，与椭圆 x24 + y23 =1联立， 得 3m2+4? ?y2+6my-9=0.显然 Δ>0恒成立 .设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，所以有 y1+y2=- 6m3m2+4,y1y2=- 93m2+4 ? ?直线 AP的方程为 y= y1x1+2 x+2? ? ，直线 BQ的方程为 y= y2x2-2 x-2? ? ，联立两方程可得， 所以 y1x1+2 x+2? ? = y2x2-2 x-2? ?x+2x-2 = x1+2y1 ? y2x2-2 = my1+3? ?y2y1 my2-1? ? = my1y2+3y2my1y2-y1由 ? ? 式可得 y1y2= 32m y1+y2? ? ，代入上式可得 x+2x-2 = 32 y1+y2? ? +3y232 y1+y2? ? -y1 = 32y1+ 92y2y12 + 3y22 =3，解得 x=4,故点 M在定直线 x=4上 .7. (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)因为 AB? ? =4，椭圆 C离心率为 12 ，所以 2a=4ca = 12a2=b2+c2??????? ，解得 a2=4， b2=3.所以椭圆 C的方程是 x24 + y23 =1.(2)①若直线 l的斜率不存在时，如图， 第 83页 共 377页
因为椭圆 C的右焦点为 1,0? ? ，所以直线 l的方程是 x=1.所以点 M的坐标是 1, 32? ? ，点 N的坐标是 1,- 32? ? .所以直线 AM的方程是 y= 12 x+2? ? ，直线 BN的方程是 y= 32 x-2? ? .所以直线 AM， BN的交点 Q的坐标是 4,3? ? .所以点 Q在直线 x=4上 .②若直线 l的斜率存在时， 如图 .设斜率为 k.所以直线 l的方程为 y=k x-1? ? .联立方程组 y=k x-1? ?x24 + y23 =1???消去 y，整理得 3+4k2? ?x-8k2x+4k2-12=0.显然 Δ>0.不妨设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，所以 x1+x2= 8k23+4k2 ， x1?x2= 4k2-123+4k2 .所以直线 AM的方程是 y= y1x1+2 x+2? ? .令 x=4，得 y= 6y1x1+2.直线 BN的方程是 y= y2x2-2 x-2? ? .令 x=4，得 y= 2y2x2-2.所以 6y1x1+2 - 2y2x2-2 = 6k x1-1? ?x1+2 - 2k x2-1? ?x2-2= 6k x1-1? ? x2-2 ? -2k x1+2? ? x2-1 ?x1+2? ? x2-2 ?分子 =6k x1-1? ? x2-2 ? -2k x1+2? ? x2-1 ?=2k 3 x1x2-x2-2x1+2? ? - x1x2-x1+2x2-2? ?? ? .=2k 2x1x2-5 x1+x2? ? +8? ?=2k 2 4k2-12? ?3+4k2 - 5×8k23+4k2 +8???? ? ? ? ? 第 84页 共 377页
=2k 8k2-24-40k2+24+32k23+4k2? ? =0.所以点 Q在直线 x=4上 .8. (1)x24 + y23 =1； (2)是， 该定直线方程为 x=4.【解析】 (1)由题意得： e= ca = 12 ， a+c=3，则 a=2， c=1， b= a2-c2 = 3，∴椭圆的标准方程为 x24 + y23 =1.(2)由题知， A -2,0? ? ， B 2,0? ? ， F(1,0)，设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，设直线 MN的方程为 x=my+1， 将其与 x24 + y23 =1联立，消去 x并整理得 3m2+4? ?y2+6my-9=0，由韦达定理得 y1+y2= -6m3m2+4 ①， y1y2= -93m2+4 ②，联立①②得 my1y2= 32 y1+y2? ? ，设直线 AM方程为 y= y1x1+2 x+2? ? ③，直线 BN方程为 y= y2x2-2 x-2? ? ④，联立③④得 x-2x+2 = y1 x2-2? ?y2 x1+2? ? = y1 my2+1-2? ?y2 my1+1+2? ? = my1y2-y1my1y2+3y2= 32 y1+y2? ? -y132 y1+y2? ? +3y2 = 12y1+ 32y232y1+ 92y2 = 13 ，则 x-2x+2 = 13 ，解得 x=4， 即 T点在定直线 x=4上 .9. (1)a=2， b= 3； (2)直线 Q恒在定直线 x= 23 上 .【解析 】 (1)以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，∴ a2=b2+c2e= ca = 1212 ×2a×b=ab=2 3??????? ，解得 ： a=2， b= 3.(2)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， Q x0,y0? ? ，AP?? ?BQ?? =-AP? ? ? BQ? ? ， AQ?? ?BP?? = AQ? ? ? BP? ? ，∴-AP? ? ? BQ? ? + AQ? ? ? BP? ? =0，即 AP? ?AQ? ? = BP? ?BQ? ? ，即 y1-0y1-y0 = y2y0-y2 ，整理可得 ： y0= 2y1y2y1+y2 ，设直线 AB： x=ty+6，联立直线 AB与椭圆： x24 + y23 =1x=ty+6??? ，整理得 ： 3t2+4? ?y2+36ty+96=0，∴ y1+y2=- 36t3t2+4y1y2= 963t2+4????? ， ∴y0= 2y1y2y1+y2 = 1923t2+4- 36t3t2+4 =-163t，第 85页 共 377页
∵Q在线段 AB上 ，则 x0=ty0+6=t? -163t? ? +6= 23 ，∴点 Q恒在定直线 x= 23 上 .10.(1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析， x=1.【解析】 (1)设椭圆 C的半焦距为 c c>0? ? ，由 F1为线段 F2Q中点 ， AQ⊥AF2，所以 A， Q， F2三点圆的圆心为 F1(-c,0)，半径为 2c=a，又因为该圆与直线 l相切，所以 -c-3? ?2 =2c， ∴c=1，所以 a2=4， b2=3，故所求椭圆方程 x24 + y23 =1．(2)由对称性可知， 若存在，则必为垂直于 x轴的直线．依题意，直线 l斜率必存在且不为 0，设其方程为 x=my+4，设 H x1,y1? ? ， G x2,y2? ? ，联立 x=my+4x24 + y23 =1??? ，得 3m2+4? ?y2+24my+36=0，所以 Δ>0y1+y2=- 24m3m2+4y1y2= 363m2+4??????? ，故 y1y2=- 32m y1+y2? ? ，不妨设 M -2,0? ? ， N 2,0? ? ，所以直线 MH的方程为 y= y1x1+2(x+2)，直线 GN的方程为 y= y2x2-2(x-2)消去 y，得 x= 2y1 x2-2? ? +2y2 x1+2? ?y2 x1+2? ? -y1 x2-2? ? =2× y1 my2+2? ? +y2 my1+6? ?y2 my1+6? ? -y1 my2+2? ?=2× my1y2+y1+3y23y2-y1 =2× m - 32m? ? y1+y2 ? +y1+3y23y2-y1=2× 32y2- 12y13y2-y1 =2× 12 =1故四边形 MNHG的对角线交点在定直线 x=1上．11. (1)x22 +y2=1； (2)直线 AM与直线 BN的交点 P落在定直线 x=2上 .【 解析】 (1)∵AB=2 2， ∴2a=2 2，则 a= 2，设焦距为 2c， ∵离心率 e= 22 ， ∴ ca = 22 ， ∴c=1，∴b2=a2-c2=1因此所求的椭圆方程为 x22 +y2=1 第 86页 共 377页
(2)设直线 MN方程为 x=my+1， 设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，由 x22 +y2=1x=my+1??? 得 m2+2? ?y2+2my-1=0，∴y1+y2=- 2mm2+2 ， y1y2=- 1m2+2 ，直线 AM方程是 y= y1x1+ 2 x+ 2? ? ，直线 BN方程是 y= y2x2- 2 x- 2? ? ，由 y= y1x1+ 2 x+ 2? ?y= y2x2- 2 x- 2? ???????? ，可得 x+ 2x- 2 = y2 x1+ 2? ?y1 x2- 2? ? = y2 my1+1+ 2? ?y1 my2+1- 2? ? = my1y2+ 1+ 2? ?y2my1y2+ 1- 2? ?y1= m - 1m2+2? ? +(1+ 2) - 2mm2+2 -y1? ?m - 1m2+2? ? +(1- 2)y1 = -m+ 1+ 2? ? -2m- m2+2? ?y1? ?-m+ 1- 2? ? m2+2 ?y1= -m 3+2 2? ? - 1+ 2? ? m2+2 ?y1-m+ 1- 2? ? m2+2 ?y1 = -m 3+2 2? ? - 1+ 2? ? m2+2 ?y1? ? 1+ 2? ?-m+ 1- 2? ? m2+2 ?y1? ? 1+ 2? ?= -m 3+2 2? ? - 1+ 2? ? m2+2 ?y1? ? 1+ 2? ?- 1+ 2? ?m- m2+2? ?y1 = - 1+ 2? ?m- m2+2? ?y1? ? 1+ 2? ? 2- 1+ 2? ?m- m2+2? ?y1= 1+ 2? ? 2=3+2 2∴ x+ 2x- 2 =3+2 2，解得 ： x=2此直线 AM与直线 BN的交点 P落在定直线 x=2上 .12.(1)x22 +y2=1， (2)不存在， 理由见解析 .【解析】 (1)依题意 ca = 22 ， |AB|= 2b2a ，所以 12 × 2b2a ×2c= 2，即 b2=1，所以 a2-c2=b2=1， 所以 a2- 12a2=1，所以 a2=2，所以椭圆 E的方程为 x22 +y2=1.(2)假设存在与 x轴不垂直的直线 l满足题意，设 l:y=kx+m(k≠0)，将其代入 x22 +y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以 Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0，所以 1+2k2>m2，设 C(x1,y1)， D(x2,y2)，则 x1+x2=- 4km1+2k2 ，则 y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=- 4k2m1+2k2 +2m= 2m1+2k2 ，所以 CD的中点为 M - 2km1+2k2 , m1+2k2? ? ，所以弦 CD的垂直平分线方程为 y- m1+2k2 =- 1k x+ 2km1+2k2? ? ，因为弦 CD的垂直平分线过 E的右焦点 F2(1,0)，所以 0- m1+2k2 =- 1k 1- 2km1+2k2? ? ，所以 m=-1+2k2k ，将其代入 1+2k2>m2，得 1+2k2> (1+2k2)2k2 ，化简得 k2+1<0，此不等式不成立 ，所以不存在符合题意的直线 l. 第 87页 共 377页
专题 10：椭圆中的范围问题参考答案1. (1)证明见解析； (2)4825．【解析 】 (1)由题意知：点 A,A1关于原点对称， ∴A1 -x1,-y1? ? ．∵A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? 都在 C上，则 x214 +y21 =1x224 +y22 =1??????? ，两式作差得 ： x22-x214 + y22 -y21? ? =0．即 y2-y1x2-x1 ? y2- -y1? ?x2- -x1? ? =- 14 ．又 kAB= y2-y1x2-x1 ， kA1B= y2- -y1? ?x2- -x1? ? ， ∴kAB?kA1B=- 14 ，则 kA1B=- 14kAB．又 AB⊥AA1， ∴kAB=- 1kAA1 =-x1y1 ， ∴kA1B=- 14 -x1y1? ? = y14x1 ，又 kA1D= -y12 - -y1? ?x1- -x1? ? = y14x1 ，故 kA1D=kA1B， ∴A1,D,B三点共线．(2)由 (1)得：直线 AB的方程为 y=-x1y1 x-x1? ? +y1=-x1xy1 + x21+y21y1 ，将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程 ，消去 y整理得： 4x21+y21? ?x2-8x1 x21+y21? ?x+4 x21+y21? ? 2-4y21 =0，∴x1+x2= 8x1 x21+y21? ?4x21+y21 ．∴S△AA1B= 12 × AD? ? × x2- -x1? ?? ? = 12 × 3y12 × x1+x2? ? = 6x1y1 x21+y21? ?4x21+y21 ，∵ x214 +y21 =1， ∴S△AA1B= 24x1y1 x21+y21? ?4x21+y21? ? x21+4y21 ? = 24 x1y1 + y1x1? ?4x21y21 +4y21x21 +17．令 y1x1 + x1y1 =t，则 t≥2， (当且仅当 x1=y1时等号成立 )．∴S△AA1B= 24t4t2+9 = 244t+ 9t ．∵函数 y=4t+ 9t 在 2,+∞? ? 上单调递增， ∴当 t=2时 ， y=4t+ 9t 取得最小值 252 ，故 △AA1B面积的最大值为 24× 225 = 4825．2. (1)|AB|= 2 2 k2+1? ?2k2+1 ； (2) 2, 32 2? ? ? ? .【解析 】 (1)由 x22 +y2=1可得： a2=2， b2=1， 所以 c=1，所以 F1 -1,0? ? ， F2 1,0? ?设 A x1,y1? ? ， B x1,y1? ? ．由已知得： 直线 AB的方程为 y=k(x+1)，由 y=k(x+1)x22 +y2=1??? 得 x2+2k2(x+1)2-2=0，即 1+2k2? ?x2+4k2x+2k2-2=0，所以 x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2 ．故 |AB|= 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 x1+x2? ? 2-4x1x2 = 2 2 k2+1? ?2k2+1 ．第 88页 共 377页
(2)设 C x3,y3? ? ， D x3,y3? ? ．由已知得， kCD=- 12k，故直线 CD的方程为 y=- 12k(x-1)，即 x=-2ky+1．设 d1,d2分别为点 C,D到直线 AB的距离，则 SACBD=S△CAB+S△DAB= 12 AB? ? d1+d2? ? ．又 C,D到直线 AB在异侧 ，则d1+d2= k x3+1? ? -y3? ?1+k2 + k x4+1? ? -y4? ?1+k2 = k x3-x4? ? - y3-y4? ?? ?1+k2 = 1+2k2? ? y3-y4? ?1+k2由 x=-2ky+1x22 +y2=1??? 得， (1-2ky)2+2y2-2=0，即 4k2+2? ?y2-4ky-1=0，故 y3+y4= 4k4k2+2,y3y4=- 14k2+2．所以 d1+d2= 1+2k2? ? y3+y4? ? 2-4y3y41+k2 = 2 4k2+11+k2 ，从而 SACBD= 12 ? 2 2 k2+1? ?2k2+1 ? 2 4k2+11+k2 = 2 k2+1 4k2+12k2+1 ，因为 kAB?kCD=- 12 ，不妨令 k>0， 令 2k2+1=t>1，可得 k2= 12 t-1? ? ，SACBD=2 4k4+5k2+12k2+1? ? 2 =2 4× 14 t-1? ? 2+5× 12 t-1? ? +1t2 =2 t2+ 12t- 12t2 =2 - 12t2 + 12t +1 令 m= 12t，因为 t∈ 1,+∞? ? ，所以 m∈ 0, 12? ? ，所以 SACBD=2 - 12t2 + 12t +1=2 -2m2+m+1，二次函数 y=-2m2+m+1对称轴为 m=- 12× -2? ? = 14 ，开口向下 ，当 m∈ 0, 14? ? 时， y=-2m2+m+1单调递增， m∈ 14 , 12? ? 时， y=-2m2+m+1单调递减，所以 m=0时， y=1；当 m= 14 时， y=-2 14? ? 2+ 14 +1= 98 ；当 m= 12 时， y=-2 12? ? 2+ 12 +1=1，所以 y=-2m2+m+1∈ 1, 98? ? ? ? ，所以 -2m2+m+1∈ 1,3 24? ? ? ? ? ， 2 -2m2+m+1∈ 2,3 22? ? ? ? ? ，因此， SACBD∈ 2, 32 2? ? ? ? ．3. (1)x24 + y23 =1； (2)2.【解析 】 (1)由椭圆 C的离心率 ca = 12 ，可得 ： c2a2 = 14 ，即有 a2=4c2.再结合 a、 b、 c三者的关系可得 b2=3c2.椭圆 C的方程可化为 x24c2 + y23c2 =1，将点 A 2, 62? ? 代入上述椭圆方程可得 12c2 + 12c2 =1.求解得 c2=1， 所以 c=1， a=2， b= 3.椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1； 第 89页 共 377页
(2)设直线 l:y=kx+m，联立直线 l与椭圆 C的方程可得 4k2+3? ?x2+8kmx+4m2-12=0.若直线 l与椭圆 C相切 ，可得上述方程只有一个解，即有 Δ= 8km? ? 2-4 4k2+3? ? 4m2-12 ? =0，化简可得 m2=4k2+3， ().设点 Q的坐标为 x,y? ? ，过点 F1作 l的垂线为 l1:y=- 1k x+1? ? ，联立 l1与 l求得 x= -km-11+k2 ， y= -k+m1+k2 .由上式可得 x2+y2= km+1? ? 2+ m-k? ? 21+k2? ? 2 = k2m2+k2+m2+11+k2? ? 2 ，将 ()代入上式可得 x2+y2=4， 故可知点 Q的轨迹为以原点为圆心，以 2为半径的圆 .∵P是椭圆 C上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点 ±2,0? ? .△QF1F2的面积为 S△QF1F2= 12 ? F1F2? ? ? yQ? ? = yQ? ? ≤2，即 △QF1F2面积的最大值为 2.4. (1)x24 +y2=1； (2)1.【 解析】 (1)因为 △ABF2的周长为 8，所以 AF1? ? + AF2? ? + BF1? ? + BF2? ? =8，由椭圆的定义可得 4a=8，即a=2，又椭圆的离心率为 ca = 32 ，所以 c= 3，所以 b= a2-c2 = 4-3=1，所以椭圆 E的标准方程为 x24 +y2=1；(2)设 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，若直线 l与 x轴重合， 则直线 l与圆 O相交，设直线 l的方程为 x=ty+m，因为直线 l与圆 x2+y2=1相切，所以 |m|1+t2 =1，即 m2=t2+1，联立直线 l与椭圆的方程 x=ty+mx24 +y2=1??? ，整理得 4+t2? ?y2+2tmy+m2-4=0，Δ=4t2m2-4 4+t2? ? m2-4 ? =16t2+64-16m2=16t2+64-16 t2+1? ? =48>0，由韦达定理可得 y1+y2=- 2tm4+t2 ， y1y2= m2-4t2+4 ，所以 MN? ? = 1+t2 y1-y2? ? = 1+t2 ? y1+y2? ? 2-4y2y2 = 1+t2 ? 4 34+t2 ，第 90页 共 377页
又点 O到直线 l的距离为 1，所以 S△MNO= 12 MN? ? ?d= 12 × 1+t2 ? 4 34+t2 ×1=2 3× 1+t24+t2 =2 3mm2+3 = 2 3m+ 3m ≤ 2 32 m? 3m =1，当且仅当 m= 3m，即 m= 3>1时， 取等号，所以 △MNO的面积的最大值为 1．5. (1)x24 + y23 =1； (2)- 15 ≤d≤ 15 且 d≠0； (3)487 ．【解析 】 (1)由题意 ca = 121a2 + 94b2 =1a2=b2+c2??????? ，由 a>b>0， 故解得 a=2b= 3c=1??? ，∴椭圆标准方程是 x24 + y23 =1；(2)设 P是椭圆上的点， 则 FP? ? min=a-c=2-1=1， FP? ? max=2+1=3，∵等差数列 FP1? ? ， FP2? ? ， FP3? ? ， ?至少有 11项 ，若 d>0，则 1+10d≤3，解得 0
6. (1)x24 + y23 =1； (2) 949.【解析 】解： (1)由题意可得 a2-b2=11a2 + 94b2 =1???解得： a2=4， b2=3， 故椭圆 M的方程 x24 + y23 =1(2)由题意可得直线 AB， CD斜率均存在设 AB的斜率为 k， CD斜率为 - 1k，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?直线 AB的方程为 y=k(x+1)，由 y=k(x+1)x24 + y23 =1???得： 3+4k2? ?x2+8k2x+4k2-12=0， 则 x1+x2= -8k23+4k2 ，可得点 P的横坐标为 -4k23+4k2 ，代入 y=k(x+1)，得点 P的纵坐标为 3k3+4k2 ，故点 P坐标为 -4k23+4k2 , 3k3+4k2? ? ，则 PF= -4k23+4k2 +1? ? 2+ 3k3+4k2 -0? ? 2 = 3 1+k23+4k2将 k换为 - 1k，得 QF== 3 1+ 1k23+4 1k2 ，故 △FPQ面积 S= 12 × 3 1+k23+4k2 × 3 1+ 1k23+4 1k2 = 92 ? 2+k2+ 1k225+12k2+12 1k2令 u= 2+k2+ 1k2 ， u≥2，故 S= 92 × u12u2+1 ，S?= 92 × u12u2+1? ? 2 = 92 × 1-24u212u2+1? ? 2 ，当 u≥2时 ， S?<0，故 S(u)在 [2,+∞)单调递减，故 u=2时，Smax= 949 ，所以 △FPQ面积的最大值 9497. (1)x24 +y2=1； (2)S2S1 的最小值为 3+2 2，此时 k的值为 12 .【解析 】 (1)因为椭圆 C: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)过点 1,e? ? ，且 e= 32 ，其中 e为椭圆 C的离心率 ，所以 1a2 + e2b2 =1e= ca = 32a2=b2+c2??????? ，即 1a2 + c2a2b2 =1ca = 32a2=b2+c2??????? ，解得 b2=1a2=4c2=3??? ，所以椭圆 C的方程为 x24 +y2=1；(2)由 (1)可得， A 0,1? ? ， B 2,0? ? ，所以直线 AB的方程为 x2 + y1 =1，即 x+2y-2=0，由题意，设 E x0,y0? ? x0>0 ? ，因为直线 y=kx k>0? ? 与椭圆 C交于 E， F两点， 所以 F -x0,-y0? ? ；由 y0=kx0x024 +y02=1??? 可得 x024 +k2x02=1，则 x0= 21+4k2 ，所以 y0= 2k1+4k2分别记点 E， F到直线 AB的距离为 d1， d2，第 92页 共 377页
则 d1= x0+2y0-2? ?5 = 21+4k2 + 4k1+4k2 -2? ?5 = 2 1+2k- 1+4k2? ?5× 1+4k2 ，因为 k>0，所以 1+2k? ? 2- 1+4k2? ? =4k>0，则 1+2k- 1+4k2 >0，因此 d1= 2 1+2k- 1+4k2? ?5× 1+4k2 ，同理 d2= -x0-2y0-2? ?5 = 2 1+2k+ 1+4k2? ?5× 1+4k2 ，又 △AEB， △AFB的面积分别为 S1， S2，所以 S2S1 = 12 AB? ?d212 AB? ?d1 = d2d1 = 1+2k+ 1+4k21+2k- 1+4k2 =1+ 2 1+4k21+2k- 1+4k2 =1+ 21+2k1+4k2 -1=1+ 21+2k1+4k2 -1 =1+ 21+4k2+4k1+4k2 -1 =1+ 21+ 4k1+4k2 -1 ≥1+ 21+ 4k2 4k2 -1 =1+22-1 =3+2 2，当且仅当 1=4k2，即 k= 12 (负值舍去 )时， 等号成立 .故 S2S1 的最小值为 3+2 2，此时 k的值为 12 .8. (1)x29 + y24 =1； (2) 4 55 ,4 63??? ? ? ? ? ．【解析 】 (1)设 AF2? ? =2F2B? ? =2k k>0? ? ，则 AF1? ? =2a-2k， F1B? ? =2a-k，在 △AF1B中 ，由余弦定理得 3k? ? 2= 2a-2k? ? 2+ 2a-k? ? 2-2 2a-2k? ? 2a-k ? ? 45 ，整理得 2a2-3ak-9k2=0，解得 a=3k(负值舍 )，所以 AF1? ? =4k， F1B? ? =5k， AB? ? =3k，所以 ∠F1AF2=90°，在 Rt△AF1F2中， AF1? ? 2+ AF2? ? 2= F1F2? ? 2，即 4k? ? 2+ 2k? ? 2= 2c? ? 2，解得 c= 5k．又因为 S△AF1F2S△BF1F2 = AF2? ?F2B? ? =2，故 S△AF1F2=2S△BF1F2， S△AF1F2= 12 AF1? ? ? AF2? ? = 12 ?4k?2k=4k2，故 4=4k2，即 k=1， c= 5， a=3， b=2，所以椭圆 C的方程是 x29 + y24 =1．(2)由 y=k x-1? ?x29 + y24 =1??? 得 4+9k? ?x2-18k2x+9k2-36=0．设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，则有 x1+x2= 18k24+9k2 ， x1x2= 9k2-364+9k2 ， y1+y2=k x1+x2-2? ? = -8k4+9k2 ，所以线段 MN的中点坐标为 9k24+9k2 , -4k4+9k2? ? ，第 93页 共 377页
则线段 MN的垂直平分线方程为 y- -4k4+9k2 =- 1k x- 9k24+9k2? ? ，令 x=0，则 y= 5k4+9k2 ，于是线段 MN的垂直平分线与 y轴的交点 Q 0, 5k4+9k2? ? ，又点 P 0,-k? ? ，所以 PQ? ? = k+ 5k4+9k2? ? = 9k 1+k2? ?4+9k2? ? ．又 MN? ? = 1+k2 ? x1-x2? ? = 24 1+k2? ? 1+2k2 ?4+9k2 ，于是 MN? ?PQ? ? = 8 1+2k2? ?3k 1+k2? ? = 83 1+2k2k2+k4? ? = 83 1+k2? ? +k2k2 k2+1? ? = 83 1k2 + 1k2+1 ，因为 k∈ 1,2? ? ，所以 1k2 + 11+k2 ∈ 920, 32??? ? ? ? ，所以 MN? ?PQ? ? 的取值范围为 4 55 ,4 63??? ? ? ? ? ．9. (1)x24 +y2=1； (2) - 4411 ,0? ? ∪ 0, 4411? ? .【解析 】 (1)由题意有 1a2 + 34b2 =1,b2a = 12 ，解得 a=2,b=1所以由题得椭圆方程为 x24 +y2=1(2)∵c= 3,∴F1(- 3,0)，当直线斜率 k=0时， 显然 ∠AOB=180°不合题意当 k≠0时，设直线 l： y=k x- 3? ?联立直线 l与椭圆 x24 +y2=1y=k(x- 3)???有 1+4k2? ?x2-8 3k2x+12k2-4=0设 A(x1,y1)， B(x2,y2)， ∴x1+x2= 8 3k21+4k2 ,x1x2= 12k2-41+4k2 ，y1y2=k(x1- 3)×k(x2- 3)=k2 x1x2- 3x1- 3x2+3? ? = -k21+4k2因为 ∠AOB为钝角，所以 OA?? ?OB?? <0,∴x1x2+y1y2<0.∴x1x2+y1y2= -k21+4k2 + 12k2-41+4k2 = 11k2-41+4k2 <0∴11k2-4<0,- 4411
又点 P是椭圆 C2上的点， 故 x202 +y20 = 12 ，则 y20 = 1-x202 ，所以 k1?k2= y20x20-1 = 1-x202x20-1 =- 12 (定值 )；(2)直线 PF1的方程可表示为 y=k x+1? ? k≠0 ? ，联立方程组 y=k x+1? ?x22 +y2=1??? ，得 1+2k2? ?x2+4k2x+2k2-2=0，Δ=16k4-4 1+2k2? ? 2k2-2 ? =8 k2+1? ? >0恒成立，设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，则 x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1?x2= 2k2-21+2k2 ，∴ AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 2 2 1+k2? ?1+2k2 ，同理可求得 CD? ? = 2 1+4k2? ?1+2k2 ，∴ AB? ? ? CD? ? = 4 4k4+5k2+1? ?1+2k2? ? 2 = 4 4k4+5k2+1? ?4k4+4k2+1 =4 1+ k24k4+4k2+1? ? =4 1+ 11k2 +4k2+4??? ? ? ? ? ≤4 1+ 12 1k2 ?4k2 +4???? ? ? ? ? = 92 ，当且仅当 k=± 22 时等号成立， 故 AB? ? ? CD? ? 的最大值等于 92 .11. (1)x24 + y23 =1； (2)4 3-1.【 解析】解： (1)依题意可知 b2=3,ca = 12 ,a2=b2+c2,??????? 解得 a=2.所以椭圆 C的标准方程为 x24 + y23 =1；(2)显然直线 l斜率存在， 设过点 (0,1)点的直线 l方程为 y=kx+1， (k≠0，否则直线 OD与直线 x=4无交点 .)直线 l与椭圆 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).由 y=kx+1,3x2+4y2-12=0??? 得 (3+4k2)x2+8kx-8=0， 则 Δ=64k2+32(3+4k2)>0，x1+x2= -8k3+4k2 ， y1+y2=k(x1+x2)+2= 63+4k2 .所以 D -4k3+4k2 , 33+4k2? ? .令 x=4， yM=4k+1.直线 OD方程为 y=- 34kx，令 x=4， yN=- 3k.所以 |MN|=|yM-yN|= 4k+1+ 3k? ?.① 当 k>0时， |MN|=4k+1+ 3k ≥1+4 3.当且仅当 4k= 3k 时 ,即 k= 32 时等号成立；② 当 k<0时， 4k+ 3k =- (-4k)+ - 3k? ???? ? ? ? ≤-4 3.第 95页 共 377页
当且仅当 k=- 32 时取等号成立 .此时 |MN|= 4k+1+ 3k? ? ≥4 3-1.综上 ，线段 |MN|的取值范围为 4 3-1,+∞? ? .故线段 |MN|的最小值为 4 3-1.12.(1)x22 +y2=1； (2)OA?? ?OB?? ∈ 14 ,3- 6??? ? ? ? .【解析 】解： (1)由题意 a2-b2=11a2 + 12b2 =1??? ， ∴ a2=2b2=1??? ， ∴ x22 +y2=1(2)①当直线 AB斜率不存在时 OA?? ?OB?? =1- 12 = 12②当直线 AB斜率存在时 ，设 AB:y=kx+my=kx+mx2+2y2=1??? ， ∴ 1+2k2? ?x2+4kmx+2m2-2=0∴x1+x2= -4km1+2k2 x1?x2= 2m2-21+2k2∵ AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 ?2 2(2k2+1-m2)1+2k2 = 2，得 m2= (2k2+1)?(2k2+3)4(k2+1)∴OA?? ?OB?? =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= 12 + 2k2-14(k2+1)(2k2+1)令 t=2k2-1≥-1 得 OA?? ?OB?? = 12 + t2t2+10t+12 = 12 + 12 ? 1t+ 6t +5 ，∵t≥-1， ∴OA?? ?OB?? ∈ 14 ,3- 6??? ? ? ? .13.(Ⅰ )x24 + y23 =1； (Ⅱ )x-y-1=0或 x+y-1=0．【解析 】 (Ⅰ )由题意知 e= ca = 12 ， 2a=4，又 a2=b2+c2， 解得 a=2， b= 3，所以椭圆方程为 x24 + y23=1；(Ⅱ )①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0时， 另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知 AB? ? +CD? ? =7，不满足条件 ；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0时，设直线 AB的方程为 y=k(x-1)，则直线 CD的方程为 y=- 1k(x-1)，设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，将直线 AB的方程代入椭圆方程中并整理得 3+4k2? ?x2-8k2x+4k2-12=0 ，则 x1+x2= 8k23+4k2 ， x1x2= 4k2-123+4k2 ，所以 AB? ? = k2+1x1-x2? ? = k2+1? (x1+x2)2-4x1x2 = 12(k2+1)3+4k2 ，同理， CD? ? = 12 1k2 +1? ?3+ 4k2 = 12(k2+1)3k2+4 ，所以 AB? ? + CD? ? = 12(k2+1)3+4k2 + 12(k2+1)3k2+4 = 84(k2+1)2(3+4k2)(3k2+4) ≥ 84(k2+1)23+4k2+3k2+42? ? 2 = 487 ，当且仅当 3+4k2=3k2+4即 k=±1时 ，上式取等号，所以直线 AB的方程为 x-y-1=0或 x+y-1=0． 第 96页 共 377页
专题 11：椭圆中的存在探索性问题参考答案1. (1)x24 +y2=1； (2)存在， 点 D 0,± 97? ? .【解析 】解： (1)由题意可知， 2a=4， a=2.设点 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， A， B在椭圆上， 所以 x21a2 + y21b2 =1， x22a2 + y22b2 =1，所以 x1+x2? ? x1-x2 ?a2 + y1+y2? ? y1-y2 ?b2 =0，所以 y1+y2? ? y1-y2 ?x1+x2? ? x1-x2 ? =- a2?b2 ，因为 kAB?kOM=- 14 ，所以 y2-y1x2-x1 ? y1+y2x1+x2 =- 14 ，所以 -b2a2 =- 14 ，所以 b2=3，所以椭圆 C方程为 x24 +y2=1.(2)F2 3,0? ? ，设直线 l： y=k x- 3? ? ，联立方程得 1+4k2? ?x2-8 3k2x+12k2-4=0，所以 x1+x2= 8 3k21+4k2 ， x1x2= 12k2-41+4k2 ，所以 M 4 3k21+4k2 ,- 3k1+4k2? ? ，假设存在点 D，则 MD的直线方程为 y+ 3k1+4k2 =- 1k x- 4 3k21+4k2? ? ，所以 D 0, 3 3k1+4k2? ? .AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? = 4 1+k2? ?1+4k2 ， MD? ? = 1+ 1k2 4 3k21+4k2 -0? ? = 4 3k? ? k2+11+4k2 ，若 △ABD为等边三角形 ，则 MD? ? = 32 AB? ? ，即 32 × 4 1+k2? ?1+4k2 = 4 3k? ? k2+11+4k2 ，解得 k2= 13 ，此时 3 3k1+4k2 =± 97 ，所以存在点 D 0,± 97? ? ，使得 △ABD为等边三角形 .2. (1)x24 + y23 =1； (2)以 MN为直径的圆恒过两定点 -7,0? ? ， -1,0? ? ．【解析 】解： (1)由题意及三角形内切圆的性质可得12 ?2c?b= 12 (2a+2c)? b3 ，化简得 ca = 12 ①又 |AB|=2a=4，所以 a=2， c=1， b= a2-c2 = 3，所以椭圆 E的标准方程为 x24 + y23 =1．(2)由 (1)知 F1(-1,0)， B(2,0)，由题意，直线 CD的斜率不为 0，设直线 CD的方程为 x=my-1，代入椭圆 E的方程 x24 + y23 =1，整理得 (3m2+4)y2-6my-9=0．设 C(x1,y1)， D x2,y2? ? ，则 y1+y2= 6m3m2+4 ， y1y2=- 93m2+4 ，②直线 BC:y= y1my1-3(x-2)．令 x=-4， 得 N -4, -6y1my1-3? ? ，同理可得 M -4, -6y2my2-3? ? ， 第 97页 共 377页
所以以 MN为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+ y+ 6y1my1-3? ? y+ 6y2my2-3 ? =0，即 x2+8x+16+y2+ 6y1my1-3 + 6y2my2-3? ? y+ 36y1y2(my1-3)(my2-3) =0，③由②得 ： 6y1my1-3 + 6y2my2-3 = 12my1y2-18 y1+y2? ?my1-3? ? my2-3 ? =-6m36y1y2(my1-3)(my2-3) = 36y1y2m2y1y2-3m y1+y2? ? +9 =-9代入③得圆的方程为 x2+8x+7+y2-6my=0．若圆过定点，则 y=0x2+8x+7=0???解得 x=-1y=0??? 或 x=-7y=0???所以以 MN为直径的圆恒过两定点 -7,0? ? ， -1,0? ? ．3. (1)x24 + y22 =1； (2)存在， Q(1， 0).【解析】 (1)由条件可知，椭圆的焦点在 x轴上，且 a=2，又 e= ca = 22 ，得 c= 2.由 a2-b2=c2得 b2=a2-c2=2.∴所求椭圆的方程为 x24 + y22 =1；(2)若存在点 Q(m， 0)，使得 ∠PQM+∠PQN=180°，则直线 QM和 QN的斜率存在，分别设为 k1， k2．等价于 k1+k2=0.依题意，直线 l的斜率存在，故设直线 l的方程为 y=k(x-4)．由 y=k(x-4)x24 + y22 =1??? ，得 (2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0.因为直线 l与椭圆 C有两个交点 ，所以 Δ>0.即 (16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0，解得 k2< 16 .设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1+x2= 16k22k2+1 ， x1x2= 32k2-42k2+1 ，y1=k(x1-4)， y2=k(x2-4)，令 k1+k2= y1x1-m + y2x2-m =0，(x1-m)y2+(x2-m)y1=0，当 k≠0时， 2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0，2× 32k2-42k2+1 -(m+4)× 16k22k2+1 +8m=0，化简得， 8(m-1)2k2+1 =0，所以 m=1.当 k=0时 ，也成立．所以存在点 Q(1， 0)，使得 ∠PQM+∠PQN=180°.第 98页 共 377页
4. (1)x24 +y2=1； (2)存在； P 3, 32? ? ．【解析 】 (1)由题设得 A(-a,0)， B(0,-1)．设 P(3,t)，则 AP?? =(a+3,t)， BP?? =(3,1+t)．所以 AP?? ?BP?? =9+3a+t2+t= t+ 12? ? 2+3a+ 354 ，于是当 t=- 12 时， AP?? ?BP?? 取得最小值 3a+ 354 ，所以 3a+ 354 = 594 ，解得 a=2．所以 E的方程为 x24 +y2=1．(2)假设存在点 P(3,t)满足题设， 设 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? ．所以直线 PA的方程为 y= t5 (x+2)，直线 PB的方程为 y= t+13 x-1．将 y= t5 (x+2)代入 E得 4t2+25? ?x2+16t2x+16t2-100=0，可得 x2×(-2)= 16t2-1004t2+25 ，所以 x2= 50-8t24t2+25 ．将 y= t+13 x-1代入 E得 4t2+8t+13? ?x2-24(t+1)x=0，可得 x1= 24(t+1)4t2+8t+13．若四边形 ABCD为梯形，则 AB?CD，所以 |AD||AP| = |BC||BP| ，因为 |AD||AP| = x2-(-2)3-(-2) = x2+25 ， |BC||BP| = x1-03-0 = x13 ，所以 x2+25 = x13 ，所以 3 50-8t24t2+25 +2? ? =5× 24(t+1)4t2+8t+13 ，所以 204t2+25 = 8(t+1)4t2+8t+13 ，整理可得 8t3-12t2+10t-15=0，即 (2t-3) 4t2+5? ? =0，解得 t= 32 ．故当 P 3, 32? ? 时， 四边形 ABCD为梯形．5. (1)x28 + y24 =1； (2)N 0,4? ? ，证明详见解析 .【 解析】 (1)由条件可知 ca = 224a2 + 2b2 =1a2=b2+c2??????? ，解得 ： a2=8， b2=c2=4，所以椭圆 G的方程是 x28 + y24 =1；(2)设直线 l:y=kx+1, k≠0? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， N 0,y0? ? ，联立 y=kx+1x28 + y24 =1??? ，得 1+2k2? ?x2+4kx-6=0，x1+x2=- 4kx1+2k2 ， x1x2= -61+2k2 ，∵∠ANM=∠BNM， ∴kAN+kBN=0，即 y1-y0x1 + y2-y0x2 = x2y1-x2y0+x1y2-x1y0x1x2= x2 kx1+1? ? +x1 kx2+1? ? -y0 x1+x2? ?x1x2 =0，第 99页 共 377页
即 2kx1x2+ 1-y0? ? x1+x2 ? =0，-12k1+2k2 - 4k 1-y0? ?1+2k2 =0，得 y0=4，即存在定点 N 0,4? ? .6. (1) 12 ， △DEF的面积 94 ； (2)存在； t=3．【解析】解： (1)依题意， 1a2 + 34 =1，解得 a=2．因为 c2=a2-b2=4-3=1，即 c=1，所以 D(-2,0)， F(1,0)，所以离心率 e= ca = 12 ，△DEF的面积 S= 12 ×3× 32 = 94 ．(2)由已知， 直线 DE的方程为 y= 12x+1，当 A(-2,0),B 1, 32? ? ,G(1,t)时，直线 AG的方程为 y= t3 (x+2)，交 y轴于点 0, 23t? ? ；当 A 1, 32? ? ,B(-2,0),G(-2,t)时，直线 AG的方程为 y- 32 = t- 32-3 (x-1)，交 y轴于点 0,t+33? ? ．若直线 AG经过 y轴上定点 ，则 23t= t+33 ，即 t=3，直线 AG交 y轴于点 (0,2)．下面证明存在实数 t=3，使得直线 AG经过 y轴上定点 (0,2)．联立 y=kx+1,x24 + y23 =1??? 消 y整理， 得 4k2+3? ?x2+8kx-8=0，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ．则 x1+x2= -8k4k2+3 ， x1x2= -84k2+3．设点 G x2,3? ? ，所以直线 AG的方程： y-3= y1-3x1-x2 x-x2? ? ．令 x=0，得 y= -x2y1+3x2x1-x2 +3= 3x1-x2y1x1-x2= 3x1-x2 kx1+1? ?x1-x2 = 3x1-x2-kx1x2x1-x2 ．因为 kx1x2=x1+x2，所以 y= 3x1-x2- x1+x2? ?x1-x2 = 2x1-2x2x1-x2 =2．所以直线 AG过定点 (0,2)．综上，存在实数 t=3，使得直线 AG经过 y轴上定点 (0,2)．7. (1)x24 + y23 =1； (2)是， 定点为 3,0? ? 和 - 3,0? ? .【解析 】 (1)设右焦点为 F1，则 F1M? ? = 12+22 = 5= FM? ?∴(|MN|+|NF|)max=4+2 5- 5=4+ 5第 100页 共 377页
x∵|NF|=2a- NF1? ?∴ MN? ? +|NF|=|MN|-|NF1|+2a< MF1? ? +2a即 N点为 MF1与椭圆的交点时 ，周长最大∵ MF1? ? = 5, 所以 2a+ 5=4+ 5?a=2,c=1∴b= a2-c2 = 3所以椭圆 E的标准方程为 x24 + y23 =1(2)由 (1)知 A -2,0? ? ，设 B x0,y0? ? ，则 C -x0,-y0? ?当直线 BC斜率存在时， 设其方程为 y=kx联立 y=kxx24 + y23 =1??? 得 x2= 123+4k2∴x0= 2 33+4k2 ,y0= 2 3k3+4k2 ,AB:y= k1+ 1+ 45k2 (x+2)令 x=0，得 y= 2k1+ 1+ 43k2 ,∴P 0, 2k1+ 1+ 43k2??? ? ? ? ?同理得 Q 0, 2k1- 1+ k3k2???? ? ? ? ?∴|PQ|= 2k1+ 1+ 43k2 - 2k1- 1+ 43k2? ? = 3 1+ 43k2|k|设 PQ中点为 S， 则 S 0,- 32k? ?所以以 PQ为直径的圆得方程为x2+ y+ 32k? ? 2= 3 1+ 43k22|k|???? ? ? ? ? 2即 x2+y2+ 6ky+ 94k2 = 94k2 +3即 x2+y2+ 6ky-3=0令 y=0，得 x=± 3所以过点 3,0? ? 和 - 3,0? ? ，且为定点 .当直线 BC斜率不存在时 ，容易知道 B(0, 3),C(0,- 3)此时 P(0, 3),Q(0,- 3)所以以 PQ为直径的圆是以原点为圆心 ， 3 为半径的圆， 显然也过定点 3,0? ? 和 - 3,0? ?综上， 此圆过定点 3,0? ? 和 - 3,0? ?8. (1)x23 +y2=1； (2) 0,9? ? , 0,-3? ? .【解析 】 (1)设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1,(a>b>0)，因为椭圆短轴的两个端点为 A(0,1),B(0,-1)，所以 b=1，且椭圆的离心率为 63 ，所以 ca = 63 ，并且 a2-b2=c2， 得出 a2=3，所以椭圆方程为 x23 +y2=1.第 101页 共 377页
(2)设点 M(x0,y0),则 kMA= y0-1x0 ,所以过原点与 MA平行的直线方程为 ： y= y0-1x0 x,令 y=3,得 x= 3x0y0-1,P 3x0y0-1,3? ? ;kMB= y0+1x0 , 所以直线 MB方程为 ： y= y0+1x0 x-1,令 y=3,得 x= 4x0y0+1,Q 4x0y0+1,3? ? ;设过点 P,Q的圆的方程为 x- 4x0y0+1? ? y- 3x0y0-1 ? + y-3? ? y-3 ? =0展开后得： x2- 3x0y0+3x0+4x0y0-4x0y20 -1 x+y2-6y+9=0即： x2- 7x0y0-x0y20 -1 x+ 12x02y20 -1 +y2-6y+9=0;x2+y2-6y-27+ 21y0-3x0 x=0令 x=0,y=9或 y=-3，故定点为 0,9? ? , 0,-3? ? .9. (1)x218 + y29 =1； (2)存在点 M 154 ,0? ? ，满足 MP?? ?MQ?? 为定值． .【解析】 (1)由 e= 22 ，及 a2=b2+c2， 得 a= 2c= 2b，设椭圆方程为 x22b2 + y2b2 =1，联立方程组x2+2y2=2b2y=x-b??? 得 3x2-4bx=0．则 xA= 4b3 ，所以 AF? ? = 2xA-xF? ? = 2? b3 = 2．所以 b=3．所以椭圆 C的方程为 x218 + y29 =1．(2)当直线 l不与 x轴重合时， 设 l:x=ny+3，联立方程组x2+2y2=18x=ny+3??? 得 n2+2? ?y2+6ny-9=0．设 P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ? ， M t,0? ? ，则有 y1+y2=- 6nn2+2 ， y1?y2=- 9n2+2．于是 MP?? ?MQ?? = x1-t? ? x2-t ? +y1y2= ny1+3-t? ? ny2+3-t ? +y1y2= n2+1? ?y1y2+n 3-t? ? y1+y2 ? + 3-t? ? 2= 1n2+2 -9 n2+1? ? -6n2 3-t? ? + 3-t? ? 2 n2+2? ?? ? =6t-27+ 3-t? ? 2? ?n2+2 3-t? ? 2-9n2+2 = t2-18? ?n2+2t2-12t+9n2+2 ，若 MP?? ?MQ?? 为定值，则有 2t2-12t+9=2 t2-18? ? ，得 12t=45， t= 154 ．此时 MP?? ?MQ?? =t2-18：当直线 l与 x轴重合时， P -3 2,0? ? ， Q 3 2,0? ? ，也有 MP?? ?MQ?? = x1-t? ? x2-t ? = -3 2-t? ? 3 2-t ? =t2-18．综上 ，存在点 M 154 ,0? ? ，满足 MP?? ?MQ?? 为定值．10.(1)x24 + y23 =1； (2)存在； GM? ? + HM? ? =2 2．【解析 】 (1)由 e= 12 ，可设 a=2t,c=t，则 b= 3t,方程化为 x24t2 + y23t2 =1又点 P 1, 32? ? 在椭圆上， 则 14t2 + 943t2 =1，解得 t=1因此椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1． 第 102页 共 377页
2? ? 当直线 AB的斜率存在时 ，设 AB直线的方程为 y=kx+m联立直线 AB和椭圆 C的方程消去 y得， 3x2+4 x+m? ? 2-12=0化简得 ： 3+4k2? ?x2+8kmx+4m2-12=0S△AOB= 12 m? ? ? x2-x1? ? = 12 m? ? ? x2+x1? ? 2-4x1x2 = 12 m? ? ? -8km3+4k2? ? 2-4? 4m2-123+4k2= 2m? ?3+4k2 ? 4k2m2- m2-3? ? 3+4k2 ? = 2m? ?3+4k2 ? 9-3m2+12k2= 2 3m? ?3+4k2 ? 3+4k2-m2 =2 3? m23+4k2 - m43+4k2? ? 2当 m23+4k2 = 12 时， S取得最大值 3，即此时 2m2=3+4k2又 x1+x2= -8km3+4k2 ,y1+y2=k x1+x2? ? +2m= 6m3+4k2 ，则 M x1+x22 ,y1+y22? ?即 M -4km3+4k2 , 3m3+4k2? ?令 x= -4km3+4k2y= 3km3+4k2????? ，则 x22 + y232 =1因此平面内存在两点 G,H使得 GM? ? + HM? ? =2 2．当直线 AB的斜率不存在时 ，设 A 2cosθ, 3sinθ? ? ，则 B 2cosθ,- 3sinθ? ?S△AOB=2 3sinθcosθ= 3sin2θ， 即当 θ= π4 取得最大值 3．此时 AB中点 M的坐标为 ( 2,0)，满足方程 x22 + y232 =1即 GM? ? + HM? ? =2 2．11. (1)x26 + y22 =1； (2)存在， x2+y2= 32 .【解析 】解： 1? ? 由题意知， b= 2又 e= ca = a2-2a = 63∴a2=6∴ 椭圆 C的方程为 x26 + y22 =12? ? 设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?当直线 AB的斜率存在时 ，设直线 AB的方程为 y=kx+m，由 y=kx+mx26 + y22 =1???得 3k2+1? ?x2+6kmx+3m2-6=0∴x1+x2= -6km3k2+1 ， x1x2= 3m2-63k2+1y1y2= kx1+m? ? kx2+m ?=k2x1x2+km x1+x2? ? +m2∵以线段 AB为直径的圆过坐标原点 O 第 103页 共 377页
∴OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2= 1+k2? ?x1x2+km x1+x2? ? +m2= 1+k2? ? 3m2-63k2+1 - 6k2m23k2+1 +m2= 4m2-6-6k23k2+1 =0∴2m2=3 1+k2? ? ，且 Δ=6 12h2-2m2+4? ? =6 9k2+1? ? >0∴坐标原点 O到直线 AB的距离d= |m|k2+1 = |m|23m2 = 62当直线 AB的斜率不存在时 ，由题知， x1? ? = y1? ?∴ x216 + x212 =1∴x21= 32∴坐标原点 O到直线 AB的距离 d=|x1|= 62综上所述， 存在以 O为圆心的定圆恒与直线 AB相切，定圆的方程为 x2+y2= 32 .12.(1)x25 +y2=1； (2) 0, 85? ? ； (3)存在， N(2,0).【解析】 (1)由椭圆的焦点在 x轴上，它的一个顶点为 (0,1)，知： b=1，而 e= ca = 25 ，∴由 a2-b2=c2，可得 ： a= 5,c=2，即椭圆的标准方程为 x25 +y2=1；(2)由 (1)知： F(1,0)，则可设直线 l为 y=k(x-2)且 k≠0，令 A(x1,y1),B(x2,y2)，∴联立直线与椭圆方程，有 y=k(x-2)x25 +y2=1??? ，整理得 (1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0， Δ=k2+1>0，则x1+x2= 20k21+5k2 ,x1x2= 20k2-51+5k2 ，∵MA?? =(x1-m,y1),MB?? =(x2-m,y2),AB?? =(x2-x1,y2-y1)，且 (MA?? +MB?? )⊥AB?? ，∴(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0，而 y1+y2=k(x1+x2-4)， y2-y1=k(x2-x1)，∴整理可得： [(1+k2)(x1+x2)-4k2-2m](x2-x1)=0，又 x2≠x1，∴m= (1+k2)(x1+x2)-4k22 = 8k21+5k2 = 85+ 1k2 ，即 m∈ 0, 85? ? ；(3)由 (2)，有 C(x1,-y1)，若存在 N(t,0)使 C、 B、 N三点共线，∴NB?? =(x2-t,y2),NC?? =(x1-t,-y1)，由 NB?? ?NC?? 知： (x2-t)(-y1)+(x1-t)y2=0，∴x1y2-x2y1+t(y1-y2)=0，由 (2)可知： kx1(x2-2)-kx2(x1-2)+t(x1-x2)=0，整理可得： k(2-t)(x2-x1)=0，而 x2≠x1且 k≠0，故仅当 t=2时，有 C、 B、 N三点共线∴N(2,0)13.(1)x25 +y2=1； (2) 0, 85??? ? ； (3)存在， N 52 ,0? ? .【解析 】 (1)设椭圆方程 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ，抛物线 x2=4y的焦点为 0,1? ? ，所以 b=1第 104页 共 377页
又 e= 1- b2a2 = 1- 1a2 = 25 解得 a2=5所以椭圆标准方程为 x25 +y2=1(2)由题意， 点 F 2,0? ? ，因为点 M在线段 OF上 ，所以 0≤m≤2，设过点 F的直线方程为 y=k x-2? ? ，代入椭圆方程并整理得， 5k2+1? ?x2-20k2x+20k2-5=0，设点 A x1,y1? ? ，点 B x2,y2? ? ，则 x1+x2= 20k25k2+1 ， x1x2= 20k2-55k2+1 ，y1+y2=k x1-2? ? +k x2-2? ? =- 4k5k2+1 ，设 AB中点 P x1+x22 ,y1+y22? ? ，由 MA?? +MB??? ? ⊥AB?? ，可得 MP⊥AB，所以 kMP?kAB=-1，即 kMP=- 1k，kMP= y1+y22 -0x1+x22 -m = - 2k5k2+110k25k2+1 -m =- 1k，整理得， m= 8k25k2+1 = 85+ 1k2 < 85 ，所以 m的取值范围为 0, 85??? ? .(3)由 (2)知 A x1,y1? ? ，点 C和点 A关于 x轴对称 ，所以 C x1,-y1? ? ，设点 N x0,0? ? ，则 NC?? = x1-x0,-y1? ? ， CB?? = x2-x1,y2+y1? ? ，当 C、 B、 N三点共线时， 即 NC?? ?CB?? ，所以 x1-x0? ? y2+y1 ? +y1 x2-x1? ? =0，整理得， x0= x1y2+x2y1y1+y2 = 2kx1x2-2k x1+x2? ?y1+y2 ，由 (2)知， x1+x2= 20k25k2+1 ， x1x2= 20k2-55k2+1 ， y1+y2=- 4k5k2+1 ，所以 x0= 2k20k2-55k2+1 -2k 20k25k2+1- 4k5k2+1 = 40k3-10k-40k3-4k = 52 ，所以定点 N 52 ,0? ? .14.(1)x28 + y22 =1； (2)存在， 点 G(-4,0).【解析】 (1)设点 P(x,y)，则 (x+ 6)2+y2x+ 4 63? ? = 32 ，化简得 x28 + y22 =1故动点 P的轨迹 C的标准方程为 x28 + y22 =1(2)设直线 l的方程为 x=ty-4 第 105页 共 377页
联立方程组 x=ty-4x28 + y22 =1??? ，得 (t2+4)y2-8ty+8=0，Δ=64t2-32 t2+4? ? =32t2-128=32 t2-4? ? >0, 得 : t>2或 t<-2y1+y2= 8tt2+4 ， y1y2= 8t2+4.设 E x3,0? ? ,F x4,0? ? ，定点 G存在 ，其坐标为 x0,0? ?∵B(-2,-1)∴kBM= y1+1ty1-2,kBN= y2+1ty2-2.则 BM:y= y1+1ty1-2(x+2)-1,BN:y= y2+1ty2-1(x+2)-1令 y=0， 求出与 x轴的交点 E,Fy1+1ty1-2 x3+2? ? -1=0, x3+2= ty1-2y1+1y2+1ty2-2 x4+2? ? -1=0, x4+2= ty2-2y2+1BE?? = x3+2,1? ? ,BF?? = x4+2,1? ? ,GF?? = x4-x0,0? ? ,GE?? = x3-x0,0? ?BE?? ?GF?? +GE?? ?BF?? =0 即有 : x3+2? ? x4-x0 ? + x4+2? ? x3-x0 ? =0,即 2x3x4+2 x3+x4? ? - x3+x4+4? ?x0=0x0= 2x3x4+2 x3+x4? ?x3+x4+4∴x0= 2x3x4+2 x3+x4+4? ? -8x3+x4+4 = 2x3x4-8x3+x4+4 +2= 2 x3x4+2x3+2x4+4? ? -4x3-4x4-16x3+x4+4 +2= 2 x3+2? ? x4+2 ? -4 x3+x4+4? ?x3+x4+4 +2= 2 x3+2? ? x4+2 ?x3+2? ? + x4+2? ? -2= 2? ty1-2y1+1 ? ty2-2y2+1ty1-2y1+1 + ty2-2y2+1 -2= 2 ty1-2? ? ty2-2 ?ty1-2? ? y2+1 ? + ty2-2? ? y1+1 ? -2= 2 t2y1y2-2t y1+y2? ? +4? ?2ty1y2+(t-2) y1+y2? ? -4 -2= 2t2? 8t2+4 --4t? 8tt2+4 +82t? 8t2+4 + 8t(t-2)t2+4 -4 -2= -16t2t2+4 +88+2t2+4 -4= -16t2+8 t2+4? ?8t2-4 t2+4? ? -2= -8t2+324t2-16 -2=-4即 x0=-4当直线 l与 x轴重合时， BE?? ?GF?? +GE?? ?BF?? =(-2 2+2) 2 2-x0? ? + -2 2-x0? ? (2 2+2)=0,解得 x0=-4.所以存在定点 G， G的坐标为 (-4,0). 第 106页 共 377页
专题 12：椭圆向量结合问题参考答案1. (1)x28 + y24 =1； (2)4 2.【解析 】 (1)依题意有 GO2? ? + GO1? ? = GO1? ? +|GP|= O1P? ? =4 2．即 G点轨迹是以 O1， O2为焦点的椭圆．故点 G的轨迹方程为 x28 + y24 =1．(2)设 l方程为 x=my+2， D x1,y1? ? ， E x2,y2? ? ， O1D??? = x1+2,y1? ? ， O1E??? = x2+2,y2? ? ，x=my+2x28 + y24 =1??? 得 m2+2? ?y2+4my-4=0， y1+y2= -4mm2+2 ， y1y2= -4m2+2．O1D??? ?O1E??? = x1+2? ? x2+2 ? +y1y2= m2+1? ?y1y2+4m y1+y2? ? +16= -4 m2+1? ?m2+2 - 16m2m2+2 +16=-4+ 36m2+2 ，当 m=0时 O1D??? ?O1E??? 取最大值 14．此时 2y2-4=0， ∴D 2, 2? ? ， E 2,- 2? ? ，S△O1DE= 12 O1O2? ? ? DE? ? = 12 ?4?2 2=4 2．2. (1) AB? ? = 2 63 (2) 存在点 P - 53 ,0? ? ，使得 PA?? ?PB?? =- 29【解析 】 (1) 当直线 l与 x轴垂直时 ,直线 l:x=-1将 x=-1代入 x23 +y2=1，得 13 +y2=1，解得 y=± 63即 A -1, 63? ? ,B -1,- 63? ? ,所以 AB? ? = 2 63(2) 设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ， P t,0? ?当直线 l与 x轴不重合时， 设 l:x=my-1由 x=my-1x23 +y2=1??? ，可得 m2+3? ?y2-2my-2=0则 y1+y2= 2mm2+3,y1y2= -2m2+3所以 x1+x2= my1-1? ? + my2-1? ? = -6m2+3 ， x1x2= my1-1? ? my2-1 ? = -4m2m2+3 +1PA?? ?PB?? = x1-t,y1? ? ? x2-t,y2? ? =x1x2-t x1+x2? ? +t2+y1y2= -4m2m2+3 +1-t× -6m2+3 +t2+ -2m2+3= -4m2+6t-2m2+3 +t2+1= -4 m2- 32t+ 12? ?m2+3 +t2+1当 - 32t+ 12 =3，即 t=- 53 时， PA?? ?PB?? 的值为定值 - 29 与 m无关 .当直线 l与 x轴重合时， 且 t=- 53 时， A - 3,0? ? ,B 3,0? ?PA?? ?PB?? = - 3+ 53 ,0? ? ? 3+ 53 ,0? ? =- 29所以存在点 P - 53 ,0? ? ，使得 PA?? ?PB?? =- 29 为定值 .3. (1)2 3； (2)y= 12x±1； (3) - 45 ,+∞??? ? .【解析 】解： (1)由椭圆 C1： x24 +y2=1， 第 107页 共 377页
可得 a=2， b=1， c= a2-b2 = 3，则椭圆 C1的焦距为 2c=2 3；(2)由 kOQ= 12 ，设 l:y= 12x+m，代入 x2+4y2=4得 x2+2mx+2m2-2=0，由 Δ=4m2-8(m2-1)=8-4m2>0，得 m? ? < 2，xA+xB=-2m， xAxB=2m2-2，所以 AB? ? = 1+ 14 ? (-2m)2-4(2m2-2)= 5? 2-m2，又 Q到直线 l的距离为 d= m? ?5 ，由 S△QAB= 12 ?d? AB? ? = m? ? ? 2-m2 =1,m=±1，所以 l:y= 12x±1；(3)由 x2+4y2=4x2-y2=1??? ，解得 xM= 2 105yM= 155????? ，设 N(x,y)是曲线 C上一点，则 F1(- 3,0),F2( 3,0)， NF1?? =(- 3-x,-y)， NF2?? =( 3-x,-y)，所以 NF1?? ?NF2?? =x2+y2-3；当点 N在曲线 x2+4y2=4 x? ? ≥ xM? ?? ? 上时， NF1?? ?NF2?? =1-3y2，当 y= 155 时， (NF1??? ?NF2?? )min=- 45 ，当 y=0时， (NF1??? ?NF2?? )max=1，所以 NF1?? ?NF2?? ∈ - 45 ,1??? ? ? ? ；当点 N在曲线 x2-y2=1 x? ? ≥ xM? ?? ? 上时， NF1?? ?NF2?? =2y2-2；当 y= 155 时， (NF1??? ?NF2?? )min=- 45 ， NF1?? ?NF2?? ∈ - 45 ,+∞??? ? ；综上， NF1?? ?NF2?? ∈ - 45 ,+∞??? ? .4. (1)x2+y2= 165 ； (2) -245 ,565??? ? ? ? .【解析 】 (1)设 M x1,y1? ? ,N x2,y2? ? ，直线 MN的方程为 x=my+t，与椭圆方程联立 x=my+tx216 + y24 =1??? 得m2+4? ?y2+2mty+t2-16=0，所以 y1+y2= -2mtm2+4,y1y2= t2-16m2+4 ，因为 ∠MON=90°，所以 MO⊥ON，即 OM??? ?ON?? =0，所以 x1x2+y1y2= my1+t? ? my2+t ? +y1y2= m2+1? ?y1y2+mt y2+y1? ? +t2=0，整理得 5t216 =1+m2，O点到直线 MN的距离为 OH? ? = t? ?1+m2 = 45 ，所以 H点的轨迹方程为 x2+y2= 165 . 第 108页 共 377页
(2)由椭圆 C: x216 + y24 =1，得 a=4,b=2，右顶点 A 4,0? ? ，上顶点 B 0,2? ? ，设 H x0,y0? ? ，则 HA?? ?HB?? = 4-x0,-y0? ? -x0,2-y0 ? =-4x0+x20-2y0+y20= x0-2? ? 2+ y0-1? ? 2-5，表示 H x0,y0? ? 与 2,1? ? 的距离的平方减去 5的差，转化为求圆 x2+y2= 165 上的点到 2,1? ? 的距离的平方减去 5的取值范围，再转化为圆心 0,0? ? 到点 2,1? ? 距离 4+1= 5 加减半径的长的平方减去 5的取值范围，即为最大值为 5+ 45? ? 2-5= 565 ，最小值为 5- 45? ? 2-5=-245所以 HA?? ?HB?? 的取值范围 -245 ,565??? ? ? ? .5. (1)x29 + y24 =1； (2)- 12【解析 】 (1)设椭圆右顶点为 A a,0? ? ，上顶点 B 0,b? ? ，由题意知， |AB|= a2+b2 = 13，即 a2+b2=13又椭圆离心率 ca = 53 ，即 c2a2 = 59 ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b，从而 a=3,b=2．所以，椭圆的方程为 x29 + y24 =1．(2)设点 P的坐标为 (x1,y1)，点 M的坐标为 (x2,y2)，由题意， x2>x1>0，则点 Q的坐标为 (-x1,-y1)， PM?? =(x2-x1,y2-y1)， QP?? =(2x1,2y1)由 PM?? =2QP?? ，可知 (x2-x1,y2-y1)=2(2x1,2y1)=(4x1,4y1)，即 x2=5x1．由点 A 3,0? ? ，点 B 0,2? ? ，易知直线 AB的方程为 2x+3y=6，由方程组 2x+3y=6y=kx??? 消去 y， QQ群 333528558可得 x2= 63k+2 ，由方程组 x29 + y24 =1y=kx??? 消去 y，可得 x1= 69k2+4 ．由 x2=5x1，可得 9k2+4=5(3k+2)，整理得 18k2+25k+8=0，解得 k=- 89 或 k=- 12 ．当 k=- 89 时， x2=-9<0，不合题意，舍去；当 k=- 12 时， x2=12， x1= 125 ，符合题意．所以 ， k的值为 - 12 ． 第 109页 共 377页
6. (1)x29 + y28 =1； (2)是定值， 定值为 79 .【解析 】 (1)由于线段 PN的垂直平分线交直线 PM于 Q，由中垂线的性质可得 PQ? ? = QN? ? ，∴ QM? ? + QN? ? = PQ? ? + QM? ? = PM? ? =6> MN? ? =2，所以动点 Q在以 M、 N为焦点的椭圆上，设该椭圆的标准方程为 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ，设 c= a2-b2，则 a=3， c=1，所以 ， b= a2-c2 =2 2，因此 ，曲线 C的方程为 x29 + y28 =1；(2)依题意可知直线 AS、 BS的斜率均存在且不为 0，设直线 AS的方程为 x=t1y-3， 设直线 BS的方程为 x=t2y+3，则 D 4, 7t1? ? ， E 4, 1t2? ? .可得 AD?? = 7, 7t1? ? ， BE?? = 1, 1t2? ? ， AD?? ?BE?? =7+ 7t1t2 ，设点 S x0,y0? ? ，则有 x209 + y208 =1，可得 x20-9=-9y208 ，则 1t1 =kAS= y0x0+3 ， 1t2 =kBS= y0x0-3 ， ∴ 1t1t2 = y20x0+3? ? x0-3 ? = y20x20-9 =- 89 ，因此， AD?? ?BE?? =7+ 7t1t2 =7+7× - 89? ? = 79 (定值 ).7. (1)x24 +y2=1； (2) 0,± 32? ? ， 0,± 312? ? .【解析 】 (1)由题意可得： 三角形 ABN为等腰直角三角形，所以 2a=4，即 a=2.又由 N 0,-2? ? ， B 2,0? ? ， NQ? ? : QB? ? =3:2所以 Q 65 , 45? ? ，第 110页 共 377页
代入 x2a2 + y2b2 =1得： 65? ? 2a2 + 45? ? 2b2 =1，解得 ： b=1.所以椭圆的方程为 x24 +y2=1(2)由 (1)可知 A -2,0? ? .设 M点的坐标为 x1,y1? ? ，直线 l的斜率显然存在， 设为 k，则直线 l的方程为 y=k x+2? ?于是 A， B两点的坐标满足方程组 y=k x+2? ?x24 +y2=1??? ，由方程组消去 y并整理 ，得 1+4k2? ?x2+16k2x+ 16k2-4? ? =0由 -2x1= 16k2-41+4k2 ，得 x1= 2-8k21+4k2 ，从而 y1= 4k1+4k2 ，设线段 AB是中点为 M， 则 M的坐标为 - 8k21+4k2 , 2k1+4k2? ?以下分两种情况：①当 k=0时 ，点 M的坐标为 2,0? ? .线段 AM的垂直平分线为 y轴 ，于是 PA?? = -2,y0? ? ， PM?? = 2,-y0? ?由 PA?? ?PM?? = 154 得 y0=± 312②当 k≠0时， 线段 AM的垂直平分线方程为 y- 2k1+4k2 = -1k x+ 8k21+4k2? ?令 x=0，解得 y0= -6k1+4k2PA?? = -2,-y0? ? ， PM?? = x1?y1-y0? ?PA?? ?PM?? =-2x1-y0 y1-y0? ? = -2 2-8k2? ?1+4k2 + 6k1+4k2 4k1+4k2 + 6k1+4k2? ?= 4 16k4+15k2-1? ?1+4k2? ? 2 = 154整理得 k=± 12 ， y0=± 32综上 y0=± 32 或 y0=± 312 .点 P的坐标是 0,± 32? ? ， 0,± 312? ? .8. (1)x29 + y25 =1； (2) 552 -6 2,552 +6 2??? ? ? ? .【解析 】 (1)由题意，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，直线 x-y-2=0与 x轴交于 2,0? ? 点，所以 c=2， 又 x21a2 + y21b2 =1x22a2 + y22b2 =1??????? ，两式相减得 x21-x22a2 + y21 -y22b2 =0，即 y1-y2x1-x2 =-b2a2 y1+y2x1+x2 =-b2a2 x1+x22y1+y22 =-b2a2 × - 95? ? =1，所以 5a2=9b2，又 a2-b2=4，所以 a2=9,b2=5，椭圆 C的方程为 x29 + y25 =1.(2)由已知得 F(2,0)， G -3,0? ? ，设直线 l1的方程为 x=ty+2， P xP,yP? ? ,Q xQ,yQ? ? ，第 111页 共 377页
由 l1的方程与椭圆的方程联立 x29 + y25 =1x=ty+2??? ，整理得 5t2+9? ?y2+20ty-25=0，所以 yP+yQ= -20t5t2+9,yPyQ= -255t2+9 ，直线 PG的斜率为 yPxP+3 ，xPxQ= tyP+2? ? tyQ+2 ? =t2yPyQ+2t yP+yQ? ? +4=t2 -255t2+9 +2t -20t5t2+9 +4= -45t2+365t2+9 ，xP+xQ=tyP+2+tyQ+2=t yP+yQ? ? +4= -20t25t2+9 +4= 365t2+9直线 PG的斜率为 y= yPxP+3 x+3? ? ，则 M 6, 9yPxP+3? ? ，直线 QG的斜率为 yQxQ+3 ，直线 QG的方程为 y= yQxQ+3 x+3? ? ，则 N 6, 9yQxQ+3? ? ，RM??? = 6-m, 9yPxP+3? ? ， RN?? = 6-n, 9yQxQ+3? ? ，所以 RM??? ?RN?? = 6-m? ? 6-n ? + 81yPyQxP+3? ? xQ+3 ? =6-m? ? 6-n ? + 81yPyQxPxQ+3 xP+xQ? ? +9= 6-m? ? 6-n ? + -81×25-45t2+36+3×36+9 5t2+9? ? = 6-m? ? 6-n ? -9=27-6 m+n? ? +mn，因为 m2+n2=1， 设 m=sinθ,n=cosθ，则RM??? ?RN?? =sinθcosθ-6 sinθ+cosθ? ? +27= 12 sin2θ-6 2sin θ+ π4? ? +27=- 12 cos π2 +2θ? ? -6 2sin θ+ π4? ? +27=- 12 cos2 π4 +θ? ? -6 2sin θ+ π4? ? +27=- 12 1-2sin2 π4 +θ? ?? ? -6 2sin θ+ π4? ? +27=sin2 π4 +θ? ? -6 2sin θ+ π4? ? + 532= sin θ+ π4? ? -3 2??? ? ? ? 2+ 172 ，因为 sin θ+ π4? ? ∈ -1,1? ? ，所以 RM??? ?RN?? ∈ 552 -6 2,552 +6 2??? ? ? ? ，所以 RM??? ?SN?? 的取值范围 552 -6 2,552 +6 2??? ? ? ? .9. (1)x24 +y2=1； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)因为椭圆 C的焦距为 2 3，所以 c= 3，又 ∵椭圆 C过点 A 3, 12? ? ， ∴ 3a2 + 14b2 =1，且满足 a2=b2+c2，可得 a2=4， b2=1， 椭圆 C的标准方程为： x24 +y2=1；(2)设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ， F 3,0? ? ，由题意可知， 直线 l的斜率存在，可设直线 l的方程为 y=k x- 3? ? ，第 112页 共 377页
联立 y=k x- 3? ?x24 +y2=1??? ，可得 4k2+1? ?x2-8 3k2x+12k2-4=0，由于点 F在椭圆 C的内部 ，直线 l与椭圆 C必有两个交点，由韦达定理可得 x1+x2= 8 3k24k2+1 ， x1?x2= 12k2-44k2+1 ，∵MA?? =λ1AF?? ， MB?? =λ2BF?? ， M 0,y0? ? ，得 x1,y1-y0? ? =λ1 3-x1,-y1? ? ， x2,y2-y0? ? =λ2 3-x2,-y2? ? ，∴λ1= x13-x1 ， λ2= x23-x2 ，∴λ1+λ2= x13-x1 + x23-x2 = 3 x1+x2? ? -2x1x23- 3 x1+x2? ? +x1x2 = 24k2-2 12k2-4? ?4k2+13+ 12k2-4? ? -24k24k2+1 =-8.10.(1)x22 +y2=1； (2) -1, 53??? ? .【解析 】 (1)2c=2?c=1，焦点坐标 F1 -1,0? ? ,F2 1,0? ? ,根据椭圆定义可知2a= 1-1? ? 2+ 22 -0? ? 2 + 1+1? ? 2+ 22 -0? ? 2 =2 2，所以 a= 2， b2=a2-c2=1所以椭圆方程是： x22 +y2=1(2)当 l1的斜率为 0时， OA?? ?OB?? =-1，当 l2的斜率不为 0时，设 l1:y=kx+m，代入椭圆 C的方程可得2k2+1? ?x2+4kmx+2 m2-1? ? =0由 Δ=0得 m2=2k2+1又 l2:y=- 1kx+m代入椭圆 C的方程可得 k2+2? ?x2-4kmx+2k2 m2-1? ? =0设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则Δ>0得 k2∈(0,1)x1+x2= 4kmk2+2x1x2= 2k2 m2-1? ?k2+2???????∴OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=x1x2+ - 1kx1+m? ? - 1kx2+m ?= 1k2 +1? ? x1x2- mk x1+x2? ? +m2= 6k4+k2-2k2+2令 k2+2=t， t∈(2,3)∴OA?? ?OB?? = 6t2-23t+20t =6t+ 20t -23∈ -1, 53? ?综上 ∴OA?? ?OB?? ∈ -1, 53??? ? .11. (1) 22 ； (2)x25 + y24 =1．【解析 】 (1)∵∠F1AB=90°， A为上顶点， 第 113页 共 377页
∴F1A⊥F2A， F1A? ? = F2A? ? ， ∴ OF1? ? =|OA|， ∴c=b．又 a2=b2+c2=2c2， ∴e= ca = 22 ．(2)∵椭圆的焦距为 2c， ∴c=1， ∴F2=(1,0)．设 A(0,b)， B x0,y0? ? ∴AF2?? =(1,-b)， F2B?? = x0-1,y0? ? ．又 AF2?? = 32F2B?? ，∴ 1= 32 x0-1? ?-b= 32y0??? ， ∴ x0= 53y0=- 23b??? ，又点 B在椭圆上， ∴ 1a2 ? 259 + 1b2 ? 49b2=1， ∴a2=5，又 c2=1， ∴b2=4，∴椭圆的标准方程为 x25 + y24 =1．12.(1)x212 + y24 =1； (2)是， PE?? ?PF?? 为定值 -3.【解析】 (1)由题可得 ca = 636a2 + 2b2 =1a2=b2+c2??????? ，解得 a=2 3b=2??? ，所以椭圆的方程为 x212 + y24 =1．(2)①当过点 P且与圆 x2+y2=3相切的切线斜率不存在时，由对称性 ，不妨设切线方程为 x= 3，则 P( 3,0)， E( 3, 3)， F( 3,- 3)，所以 PE?? ?PF?? =-3．②当过点 P且与圆 x2+y2=3相切的切线斜率存在时，不妨设切线的方程为 y=kx+m，设点 E x1,y1? ? ， F x2,y2? ? ， P x0,y0? ? ，将直线方程与圆的方程联立并整理，得 1+k2? ?x2+2kmx+m2-3=0，由直线与圆相切易得圆心到直线的距离 d= m? ?k2+1 = 3 即 m2=3 1+k2? ? ，因为 x0+x0=- 2kmk2+1 ，所以 x0=- kmk2+1 ，联立直线和椭圆的方程并整理，得 1+3k2? ?x2+6kmx+3m2-12=0，则 Δ=36k2m2-4 1+3k2? ? 3m2-12 ? >0，所以 x1+x2=- 6km1+3k2 ， x1x2= 3m2-121+3k2 ．所以 PE?? ?PF?? = x1-x0,y1-y0? ? ? x2-x0,y2-y0? ?= x1-x0? ? x2-x0 ? + y1-y0? ? y2-y0 ?= x1-x0? ? x2-x0 ? +k2 x1-x0? ? x2-x0 ?= k2+1? ? x1-x0 ? x2-x0 ? 第 114页 共 377页
= k2+1? ? x1x2-x0 x1+x2? ? +x20? ?= k2+1? ? 3m2-121+3k2 + 6km? - kmk2+1? ?1+3k2 + kmk2+1? ? 2???? ? ? ? ?= -12k4-24k2+ k2+3? ?m2-121+3k2? ? 1+k2 ? = -12k4-24k2+ k2+3? ? 3+3k2 ? -121+3k2? ? 1+k2 ?= -9k4-12k2-31+3k2? ? 1+k2 ? = -3 1+3k2? ? 1+k2 ?1+3k2? ? 1+k2 ? =-3．综上可知， PE?? ?PF?? 为定值 -3． 第 115页 共 377页
13.(1)x2+y2= 43 ； (2)OA?? ?OB?? =0； (3)证明见解析，定圆的方程为 x2+y2= 43 .【解析 】 (1)由椭圆 C: x24 + y22 =1，知 a2=4,b2=2.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 O:x2+y2= 43 .(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2.直线 l为圆 O的切线，分直线 l的斜率存在和不存在两种情况讨论：①当直线 l的斜率不存在时，直线 l:x=± 23 .若 l:x= 23 ，由 x24 + y22 =1x= 23????? ，解得 x= 23y=± 23????? ，此时 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2= 43 - 43 =0.若 l:x=- 23 ，同理得 ： OA?? ?OB?? =0.②当直线 l的斜率存在时，设 l:y=kx+t.由 x24 + y22 =1y=kx+t??? ，得 (1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0，有 Δ=16k2t2-8(1+2k2)(t2-2)=8(4k2-t2+2)，又直线 l是圆 O的切线，故 |t|1+k2 = 23 ，可得 3t2=4k2+4.∴Δ>0，则 x1+x2=- 4kt1+2k2x1x2= 2t2-41+2k2????? ，而 y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2= t2-4k21+2k2 .∴x1x2+y1y2= 2t2-41+2k2 + t2-4k21+2k2 = 3t2-4k2-41+2k2 =0，即 OA?? ?OB?? =0.综上，恒有 OA?? ?OB?? =0.(3)∵M,N是椭圆 C上的两个动点且 OM⊥ON，设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0.∴直线 OM,ON：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论 .若直线 ON的斜率不存在，即点 N在 y轴上，则点 M在 x轴上，有 x21=4,y22 =2.∴|OM|=2， |ON|= 2，且 |MN|= x21+y22 = 6，由 S△OMN= 12 |OM|?|ON|= 12 |OH|?|MN|，解得 |OH|= 23 .若直线 OM,ON的斜率都存在，设 OM:y=k1x，则 ON:y=- 1k1x.由 x24 + y22 =1y=k1x??? ，得 x21= 41+2k2y21 = 4k211+2k2??????? ，有 |OM|=2 1+k211+2k21 ；同理 ，得 |ON|=2 1+k212+k21 .于是， |MN|= |OM|2+|ON|2 =2 3(1+k21)2(1+2k21)(2+k21) .由 S△OMN= 12 |OM|?|ON|= 12 |OH|?|MN|，可得 |OH|= 23 .因此， 总有 |OH|= 23 ，即点 H在圆心为坐标原点 ，半径为 23 的圆上 .∴该定圆的方程为圆 x2+y2= 43 .14. 存在 ，且直线 l的方程为 x+y+4=0或 x-y-4=0.【解析】假设存在满足题意的直线 l. 第 116页 共 377页
①当直线 l的斜率不存在时， 直线 l的方程为 x=0，可得 R 0,2 3? ? 、 T 0,-2 3? ? ，此时， OR?? ?OT?? =-12，不合乎题意；②当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=kx-4，设点 R x1,y1? ? 、 T x2,y2? ? ，联立 y=kx-4x216 + y212 =1??? ，消去 y并整理得 4k2+3? ?x2-32kx+16=0，Δ= 32k? ? 2-4×16× 4k2+3? ? =192 4k2-1? ? >0，解得 k<- 12 或 k> 12 .由韦达定理可得 x1+x2= 32k4k2+3 ， x1x2= 164k2+3 ，OR?? ?OT?? =x1x2+y1y2=x1x2+ kx1-4? ? kx2-4 ? = k2+1? ?x1x2-4k x1+x2? ? +16=16 k2+1? ? -128k2+16 4k2+3? ?4k2+3 = 167 ，可得 k2=1，解得 k=±1，所以，直线 l的方程为 y=±x-4，因此，存在直线 l:x+y+4=0或 x-y-4=0，使得 OR?? ?OT?? = 167 .第 117页 共 377页
专题 13：椭圆的应用问题参考答案1. C【 解析】由 a1-c1= PF? ? ， ?a2-c2= PF? ??，得 a1-c1=a2-c2， 故①符合题意；由图可知 a1>a2， c1>c2， a1+c1>a2+c2，故②不符合题意；∵a1-c1=a2-c2， ∴a1 1- c1a1? ? =a2 1- c2a2? ? ，∵a1>a2， ∴1- c1a1 <1- c2a2 ，∴ c1a1 > c2a2 ，故④不符合题意 ，③符合题意 .故选 :C．2. C【解析】当 x≥0,y≥0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 x24 + y22 =1(x≥0,y≥0)表示椭圆的一部分；当 x>0,y<0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 x24 - y22 =1(x>0,y<0)表示双曲线的一部分；当 x<0,y>0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 y22 - x24 =1(x<0,y>0)表示双曲线的一部分；所以函数 y=f x? ? 的图象如图所示：P1： ?x1,x2∈R， x1≠x2，恒有 f x1? ? -f x2? ?x1-x2 <0成立， 等价于函数 f(x)在 R上为单调递减函数，由图可知，命题 P1正确；P2： y=f x? ? 的图象上存在一点 P，使得 P到原点的距离小于 2.根据椭圆性质可知， 椭圆 x24 + y22 =1短轴端点 (0, 2)到原点的距离最小为 2，根据双曲线的性质可知 ，双曲线的顶点 (2,0)到原点的距离的最小为 2，故函数 y=f x? ? 的图象上不存在一点 P，使得 P到原点的距离小 2，命题 P2不正确 ；P3：对于 ?x∈R， 2f x? ? +x>0恒成立等价于对于 ?x∈R， f(x)>- 12x.从图象可知， 直线 y=- 12x的斜率大于双曲线 x24 - y22 =1的渐近线 y=- 22 x的斜率， 所以直线 y=- 12x与曲线 x24 - y22 =1(x>0,y<0)有交点， 故命题 P3不正确 .所以 P1∧P2、 P1∧P3、 ?P1∨P3不正确， ?P2∨P3正确 .故选： C3. A 第 118页 共 377页
【解析 】设 F1F2? ? =2c，设椭圆 Γ的长轴长为 2a1，双曲线 Ω的实轴长为 2a2，在图②中， △CDF1的周长为 CF1? ? + DF1? ? + CD? ? = CF1? ? + CF2? ? + DF1? ? + DF2? ? =4a1=vt2，所以 ， 4a1=8vt1，可得 a1=2vt1，在图①中，由双曲线的定义可得 AF2? ? - AF1? ? =2a2，由椭圆的定义可得 BF1? ? + BF2? ? =2a1，AF2? ? = BF2? ? - AB? ? ，则 AF2? ? - AF1? ? = BF2? ? - AB? ? - AF1? ? =2a1- BF1? ? - AB? ? - AF1? ? =2a2，即 2a1- AB? ? + AF1? ? + BF1? ?? ? =2a2，由题意可知， △ABF1的周长为 AB? ? + AF1? ? + BF1? ? =vt1， 即 2a2=2a1-vt1=2a1- a12 = 3a12 ，所以， a1a2 = 43 .因此， Γ与 Ω的离心率之比为 e1:e2= ca1 : ca2 =a2:a1=3:4.故选： A.4. C【解析】由题意得 a-c=200+1740a+c=8600+1740??? ，解得 a=6140c=4200??? ，所以离心率 e= ca = 42006140 ≈0.68，故选 ： C5. A【解析】由题意，椭圆的离心率 e= ca ∈(0,1)， (c为半焦距； a为长半轴 )地球半径为 R，卫星近地点离地面的距离为 r，可得 a-c=R+r联立方程组 a= r+R1-e ， c= r+R1-e e，如图所示， 设卫星近地点的距离为 m，远地点的距离为 n，所以远地点离地面的距离为 n=a+c-R= r+R1-e + r+R1-e e-R= 1+e1-er+ 2e1-e故选： A．6. B【 解析】解 : 由题意可得 a2=4,b2=3, c2=a2-b2=1,所以 a=2,c=1.①若光线从椭圆一个焦点沿 x轴方向出发到长轴端点 (较近的 )再反射 ,第 119页 共 377页
则所经过的路程为 2 a-c? ? =2,②若光线从椭圆一个焦点沿 x轴方向出发到长轴端点 (较远的 )再反射 ,则所经过的路程为 2 a+c? ? =6.③若光线从椭圆一个焦点沿非 x轴方向出发 ,则所经过的路程为 4a=8故选 :B7. B【 解析】在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图 ∠0?AB+∠O?BA= 12 ∠A?AB+∠B?BA? ? = 12 ×180°=90°∴∠AO?B=90°，由 O是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是 H，在构成的直角三角形中， OO?2=OH2+O?H2，∴OH= a2-b2 = 4-2= 2，故选： B． 第 120页 共 377页
8. B【 解析】如图所示，对于①，卫星向径的最小值为 |A1F1|=a-c，最大值为 |A2F1|=a+c， ∴①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为 a-ca+c =1- 2ca+c =1- 2ac +1 ，ac 越小， 2ae +1 就越大， 1- 2ac +1 就越小， 椭圆轨道越扁， ∴②错误；对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运 行时间， ∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小， ∴④错误；综上，正确结论的序号是①③，共 2个．故选 B．9. C【 解析】由椭圆的光学性质得到直线 l''平分角 F1PF2，因为 S△PMF1S△PMF2 = F1M? ?F2M? ? = 12 F1P? ? PM? ?sin∠F1PM12 F2P? ? PM? ?sin∠F2PM =PF1? ?PF2? ?由 PF1? ? =1， PF1? ? + PF2? ? =4得到 PF2? ? =3，故 F1M :? ?F2M? ? = 1:3.故答案为 C. 第 121页 共 377页
10.D【 解析】画出图形的轴截面如图所示 :则 CD为椭圆的长轴 ，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意 AB=4， CG=2， AE=BF=1，则 AO= 12AB=2∴sin∠AOE= AEAO = 12∴∠AOE=30°∴∠GCO=60°在 RtΔCDG中有 cos∠GCO= CGCD = 12∴CD=4即椭圆中 ， 2a=4， 2b=2∴a=2， b=1∵c2=a2-b2∴c= 3∴e= ca = 32故选： D11.ABC【解析】由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则 a1=2a2，且 PF? ? =a1-c1=a2-c2.对于 A选项， 2a2-c1=a2-c2， ∴c1=a2+c2， A选项正确；对于 B选项， ∵a1=2a2， c1=a2+c2>2c2， ∴a1+c1>2a2+2c2=2 a2+c2? ? ， B选项正确；对于 C选项 ， ∵c1=a2+c2， ∴e1= c1a1 = c2+a2a1 = c2+a22a2 = 12 e2+ 12 ，即 2e1=e2+1， 所以， e2=2e1-1，C选项正确；对于 D选项， ∵e2=2e1-1= e1-1? ? +e1
12.BC【 解析】由题，以 vkm/s的速度进入距离月球表面 nkm的环月圆形轨道，环绕周期为 ts，则可得环绕的圆形轨道周长为 vtkm，半径为 vt2πkm，故 A错误 ；则月球半径为 vt2π -n? ? km，故 B正确 ；则近月点与远月点的距离为 m+ νtπ -n? ? km，故 C正确 ；设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1，则 m+R=a+c,n+R=a-c(R为月球的半径 )，∴2a=m+n+2R,2c=m-n，故离心率为 m-nm+n+2R，故 D错误 .故选 ： BC.13.ACD【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在 x轴上，以下分为三种情况：(1)球从 F1沿 x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到 F1路程是 2 a-c? ? ；(2)球从 F1沿 x轴向右直线运动， 碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到 F1路程是 2 a+c? ? ；(3)球从 F1不沿 x轴， 斜向上 (或向下 )运动，碰到椭圆上的点 C，反弹后经过椭圆的另一个焦点 F2，再弹到椭圆上一点 D，经 D反弹后经过点 F1．此时小球经过的路程是 CF1? ? + CF2? ? + DF2? ? + DF1? ? =4a．综上所述， 从点 F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点 F1时，小球经过的路程是 4a或 2 a+c? ? 或2 a-c? ? ．故选： ACD.14.ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 m=a-c-Rn=a+c-R??? ， ()∴a-c=m+R ， 故 A正确；a+c=n+R，故 B正确；()两式相加 m+n=2a-2R，可得 2a=m+n+2R，故 C不正确；由 ()可得 m+R=a-cn+R=a+c??? ，两式相乘可得 m+R? ? n+R ? =a2-c2∵a2-c2=b2 ，∴b2= m+R? ? n+R ? ?b= m+R? ? n+R ? ，故 D正确 .故选 ABD15. - 12 , 12? ?【解析 】由题意，椭圆 C在点 P x0,y0? ? 处的切线 xx0a2 + yy0b2 =1，且 x0∈(-2,2)，第 123页 共 377页
所以切线的斜率为 -3x04y0 ，而角 ∠F1PF2的角平分线的斜率为 y0x0-t，又由切线垂直角 ∠F1PF2的角平分线 ，所以 -3x04y0 ? y0x0-t =-1，即 t= 14x0∈ - 12 , 12? ? .故答案为： - 12 , 12? ? .16. 13【解析 】取焦点在 x轴建立平面直角坐标系，由 BC⊥F1F2及椭圆性质可得， BC为椭圆通径，所以 F1B? ? = b2a = 163 ， F1F2? ? =2c=4又 a2=b2+c2，解得 a=6,c=2,b=4 2所以截口 BAC所在椭圆的离心率为 13故答案为： 1317. 2 55【解析 】如图，圆锥面与其内切球 O1， O2分别相切与 A,B，连接 O1A,O2B,则 O1A⊥AB， O2B⊥AB，过O2作 O2D⊥O1A垂直于 D，连接 O1E,O2F， EF 交 O1O2于点 C设圆锥母线与轴的夹角为 α ，截面与轴的夹角为 β.在 RtΔO2DO1中 ， DO1=3-1=2 ， O2D= 82-22 =2 15∴cosα= O1DO1O2 = 2 158 = 154 ∵O1O2=8∴CO1=8-O2C∵ΔEO1C～ΔFO2C ∴ 8-O2CO1E = O2CO2F 解得 O2C=2∴CF= O2C2-FO22 = 22-12 = 3 即 cosβ= CFO2C = 32则椭圆的离心率 e= cosβcosα = 32154 = 2 55第 124页 共 377页
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专题 14：双曲线的定义与方程参考答案1. A【 解析】如图所示，设 ΔPF1F2的内切圆圆心为 I，内切圆与三边分别相切于点 A,B,C，根据圆的切线可知：PB? ? = PC? ? ， F1A? ? = F1C? ? ， F2A? ? = F2B? ? ，又根据双曲线定义 PF1? ? - PF2? ? =2a ，即 PC? ? + F1C? ?? ? -PB? ? + F2B? ?? ? =2a，所以 F1C? ? - F2B? ? =2a，即 F1A? ? - F2A? ? =2a，又因为 F1A? ? + F2A? ? =2c，所以 F1A? ?=a+c， F2A? ? =c-a，所以 A点为右顶点 ，即圆心 I a,r? ? ，考虑 P点在无穷远时， 直线 PF1的斜率趋近于 ba，此时 PF1方程为 y= ba x+c? ? ，此时圆心到直线的距离为 ab-ar+bc? ?b2+a2 =r，解得 r=b， 因此 ΔPF1F2内切圆半径 r∈ 0,b? ? ，所以选择 A.2. C【 解析】设 △F1PF2的内心为 I，连接 IP、 IF2、 IF2，双曲线 E： x216 - y29 =1中的 a=4， b=3， c=5，不妨设 P m， n? ? ， m>0， n>0，由 △PF1F2的面积为 20， 可得 12 F1F2? ?n=cn=5n=20，即 n=4，由 m216 - 169 =1，可得 m= 203 ，故①符合题意 ；由 P 203 ， 4? ? ，且 F1 -5， 0? ? ， F2 5， 0? ? ，则 PF1? ? + PF2? ? = 16+ 3529 + 16+ 259 = 373 + 133 = 503 ，则 △PF1F2的周长为 503 +10= 803 ，故②符合题意 ；第 126页 共 377页
可得 kPF1= 1235 ， kPF2= 125 ，则 tanF1PF2= 125 - 12351+ 12×125×35 = 360319 ∈ 0， 3? ? ，则 ∠F1PF2< π3 ，故③不符合题意 ；设 △PF1F2的内切圆半径为 r，可得 12r PF1? ? + PF2? ? + F1F2? ?? ? = 12 ? F1F2? ? ?4，可得 803 r=40，解得 r= 32 ，故④符合题意．故选 ： C.3. D【解析】解：由题可知， F1A?? =-F2F1?? +F2A?? ，若 F2F1?? +F2A??? ? ?F1A?? =0，即为 F2F1?? +F2A??? ? ? -F2F1?? +F2A??? ? =0，可得 AF2?? 2=F2F1?? 2，即有 |AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可知 AF1? ? - AF2? ? =2a，可得 |AF1|=2a+2c，由于过 F2的直线斜率为 247 ，所以在等腰三角形 AF1F2中 ， tan∠AF2F1=-247 ，则 cos∠AF2F1=- 725 ，由余弦定理得： cos∠AF2F1=- 725 = 4c2+4c2-(2a+2c)22?2c?2c ，化简得： 3c=5a，即 a= 35c， b= 45c，可得 a:b=3:4， a2:b2=9:16，所以此双曲线的标准方程可能为 ： x29 - y216 =1.故选 ： D．4. A【解析】双曲线 x24 - y23 =1中 a=2， b= 3， c= 4+3= 7， F1 - 7,0? ? ，圆 E半径为 r=1， E 0,-3? ? ， ∴ AF2? ? = AF1? ? +2a= AF1? ? +4， AB? ? ≥ AE? ? - BE? ? = AE? ? -1(当且仅当 A， E， B共线且 B在 A， E之间时取等号 .)∴ AB? ? + AF2? ? ≥ AF1? ? +4+ AE? ? -1= AF1? ? + AE? ? +3≥ EF1? ? +3= - 7? ? 2+32 +3=7当且仅当 A是线段 EF1与双曲线的交点时取等号． ∴ AB? ? + AF2? ? 的最小值是 7.故选： A. 第 127页 共 377页
5. C【 解析】设以实轴 F1F2? ? 为直径的圆的圆心为 O1，其半径 r1=a，线段 PF2为直径的圆的圆心为 O2，其半径为 r2= PF2? ?2 ，当 P在双曲线左支上时， O1O2? ? = PF1? ?2 ，∵r2- O1O2? ? = PF2? ?2 - PF1? ?2 =a=r1，∴两圆内切 .当 P在双曲线右支上时， O1O2? ? = PF1? ?2 ，∵ O1O2? ? -r2= PF1? ?2 - PF2? ?2 =a=r1，∴r1+r2= O1O2? ?∴两圆外切 .故选： C.6. A【解析】不妨设点 P的坐标为 2,m? ? m>0 ? ，由于 AB? ? 为定值， 由正弦定理可知当 sin∠APB取得最大值时， ΔAPB的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB取得最大值，因为 tan∠APF= a+2m ， tan∠BPF= 2-am ，所以 tan∠APB=tan ∠APF-∠BPF? ? = 2+am - 2-am1+ 2+am ? 2-am = 2am+ b2m ≤ 2a2 m? b2m = ab ，当且仅当 m= b2m m>0? ? ，即当 m=b时 ，等号成立，此时 ∠APB最大，此时 APB的外接圆面积取最小值， 第 128页 共 377页
点 P的坐标为 2,b? ? ，代入 x2a2 - y2b2 =1可得 a= 2， b= c2-a2 = 2．所以双曲线的方程为 x22 - y22 =1．故选： A7. D【解析】由题意，双曲线 E： x2a2 - y2b2 =1的渐近线方程为 y=±bax，由过 E的右顶点作 x轴的垂线与 E的渐近线相交于 A， B两点， 且四边形 OAFB为菱形，则对角线互相平分，所以 c=2a， ba = 3，所以结合选项可知 ，只有 D满足，由 x2a2 - y2b2 =1x2+y2=c2=4a2??? ，解得 xA= 72 a， yA= 32a，因为 PF? ? = 7-1，所以 72 a-2a? ? 2+ 32a? ? 2=( 7-1)2，解得 a=1， 则 b= 3，故双曲线方程为 x2- y23 =1，故选 D．8. D【 解析】分析：根据圆的半径得出 a，根据中位线定理和勾股定理计算 c，从而得出 b，即可得出双曲线的方程．详解： ∵E为圆 x2+y2=a2上的点， ∴OE=a= 3， ∵OE?? =12 OP?? +OF1??? ? ，∴E是 PF1 的中点 ，又 O是 F1F2的中点， ∴PF2=2OE=2a=2 3，且 PF2∥OE ，又 PF1-PF2=2a=2 3， ∴PF1=4a=4 3，∵PF1是圆的切线 ， ∴OE⊥PF1， ∴PF2⊥PF1，又 F1F2=2c， ∴4c2=PF12+PF22=60， ∴c2=15， ∴b2=第 129页 共 377页
c2-a2=12．∴双曲线方程为 x23 - y212 =1．故选 D．9. B10.A【解析】 如图， 设圆 I与 △PF1F2的三边 F1F2、 PF1、 PF2分别相切于点 E,F,G，连接 IE,IF,IG，则 IE⊥F1F2， IF⊥PF1， IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2， △IPF1， △IPF2的高，∴S△IPF1= 12 PF1 ? IF? ? = r2? ?PF1? ? ，S△IPF2= 12 PF2 ? IG? ? = r2? ?PF2? ? ，S△IF1F2= 12 F1F2 ? IE? ? = r2? ?F1F2? ? ，其中 r是 △PF1F2的内切圆的半径．∵S△IPF1=S△IPF2+ 13S△IF1F2，∴ r2 PF1 = r2? ?PF2 +r6? ?F1F2? ? ，两边约去 r2 得： PF1 =? ?PF2 + 13? ?F1F2? ? ，∴ PF1 -? ?PF2 = 13? ?F1F2? ? ，根据双曲线定义， 得 PF1 -? ?PF2? ? =2a， F1F2? ? =2c，∴3a=c， b= c2-a2 =2 2a， ba =2 2，可得双曲线的渐近线方程为 y=±2 2x ,即为 2 2x±y=0，故选 A． 第 130页 共 377页
11.C【解析 】如图所示，线段 MN的中点 E在双曲线的左支上，ΔMNA中， EF1是中位线， NA? ? =2EF1? ? ，同理， ΔMNB中， EF2是中位线， NB? ? =2EF2? ? ，结合双曲线的 NA? ? - NB? ? =2 EF1? ? - EF2? ?? ? =-4a=-8.同理线段 MN中点 E在双曲线的右支上， NA? ? - NB? ? =8，则所求 =±8， 故选 C.12.B【 解析】由题意，易得，直线 MN的方程为： x= 165 ，设 P x， y? ? ，则 d= x- 165? ?PF? ? = x-5? ? 2+y2 = x-5? ? 2+9 x216 -1? ? = 5x4 -4? ? 2 = 5x4 -4? ?∴ dPF? ? = x- 165? ?5x4 -4? ? = 45故选 B13.B【 解析】由题可知， PM|2-? ?PN|2= PC1|2-4)-(? ?PC2|2-1)，?因此 PM|2-? ?PN 2= PC1|2-? ?PC2? ?2-3= PC1 -? ?PC2 )(? ?PC1 +? ?PC2? ?? ? -3=2(PC1 +? ?PC2 )-3≥2? ?C1C2? ? -3=13， 故选 B．14.A【解析】由题意 MO是 ΔPF1F2中位线，所以 MO? ? = 12 PF2? ?,MT? ? = 12 PF1? ? - F1T? ?,又知 OF1? ? =9+16 =5， PF1是圆 x2+y2=9的切线 ，所以 OT? ? =3， F1T? ? = 25-9=4，MO? ? - MT? ? = 12 PF2? ? - 12 PF1? ? - F1T? ?? ? = F1T? ? - 12 PF1? ? - PF2? ?? ? =4-a=1，故选 A.第 131页 共 377页
15.C【 解析】如下图所示， QF1=MF1=2+PF2.又 PF1-PF2=2+QF1-PF2=2a,∴2+2=2a,a=2，所以离心率 e= ca = 42 =2，选 C.16.A【 解析】 ∵点 M(-5,0)N(5,0)点 P使 PM? ? - PN? ? =6,∴点 P的轨迹是以 M、 N为焦点 ,2a=6的双曲线可得 b2=c2-a2=52-32=16,双曲线的方程为 x29 - y216 =1，∵双曲线的渐近线方程为 y=± 43x，∴直线 y= 43x与双曲线没有公共点 ,直线 y=2x+1经过点 0,1? ? 斜率 k> 43 ,与双曲线也没有公共点而直线 y=x+1与直线 y=2都与双曲线 x29 - y216 =1有交点，因此 ,在 y=x+1与 y=2上存在点 P使 PM? ? - PN? ? =6,满足 B型直线的条件只有①②正确，故选 A.17.5【解析】 如图， 双曲线的两个焦点为： F1(-4,0),F2(4,0)为两个圆的圆心，半径分别为 r1=2,r2=1|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1故 |PM|-|PN|的最大值为： (|PF1|+2-|PF2|+1)=|PF1|-|PF2|+3=5故答案为： 5. 第 132页 共 377页
18.4 3.【解析 】设点 B(m,n)，则 A1B:y= nm+ 3 (x+ 3)， A2B1:y= -nm- 3 (x- 3)，则 y2= n23-m2 (x2-3)，又 m23 +n2=1，则 n23-m2 = 13 ，∴点 P的轨迹方程为 y2= 13 (x2-3)，即 x23 -y2=1(y>0)，同理可得点 Q也在轨迹 x23 -y2=1(y>0)上，注意到点 M(-2,0)恰为双曲线 x23 -y2=1的左焦点，如图 ：设双曲线 x23 -y2=1的右焦点为 N(2,0)，则由双曲线的定义可得 |PM?? |+|QM??? |-|PQ?? |=2 3+|PN|+2 3+|QN|-|PQ|≥4 3，∴|PM?? |+|QM??? |-|PQ?? |的最小值为 4 3．故答案为： 4 3．19. ②④【 解析】设点 P的坐标为： P(x， y)，依题意，有： yx+3 × yx-3 =a，整理， 得： x29 - y29a =1，对于①， 点的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆，且 c=4， a<0，椭圆在 x轴上两顶点的距离为： 2 9=6，焦点为 ： 2×4=8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在 y轴上的椭圆，且 c=4，椭圆方程为： y2-9a + x29 =1，则 -9a-9=16，解得： a=-259 ，符合 ；对于③，当 a= 79 时， x29 - y27 =1，所以 ，存在满足题意的实数 a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在 y轴上的双曲线，即 y2-9a + x29 =1，不可能成为焦点在 y轴上的双曲线，所以 ，不存在满足题意的实数 a，正确 .所以，正确命题的序号是②④ . 第 133页 共 377页
20.x2- y23 =1【解析 】由题设可知 |QP|=|QA|，又因为 QP? ? = QB? ? + BP? ? = QB? ? +2，故 QA? ? - QB? ? =2，由双曲线定义可知点 Q在以 B(-2,0),A(2,0)为焦点的双曲线上，由于 2a=2?a=1,c=2，所以 b2=c2-a2=4-1=3，故点 Q的轨迹方程是 x2- y23 =1，应填答案 x2- y23 =1．第 134页 共 377页
专题 15：双曲线的对称性问题参考答案1. D【 解析】设 F1 -c,0? ? ，渐近线方程为 y= bax，其对称点 P m,n? ? ，所以有 nm+c =-ab ， PF1的中点 Q的坐标为 Q 12m- 12c, 12n? ? ，因为根据题意得 Q 12m- 12c, 12n? ? 在渐近线上，所以 12n= ba × 12 m-c? ? ，所以解得 m= b2-a2c = c2-2a2c ,n=-2abc ，即 P c2-2a2c ,-2abc? ? ，代入双曲线方程得 ： c2-2a2? ? 2c2a2 - 4a2b2c2b2 =1，化简可得： c2a2 -4=1，即有 e2=5， 所以 e= 5.故选： D.2. A【解析】根据双曲线的对称性可知点 A,B关于原点对称，设 A x1,y1? ? ， B -x1,-y1? ? ， P x,y? ? ，所以 x21a2 - y21b2 =1,?x2a2 - y2b2 =1,两式相减得 x21-x2a2 = y21 -y2b2 ，即 b2a2 = y21 -y2x21-x2 ，因为直线 PA， PB的斜率之积为 13 ，所以 kPA·kPB= y1-yx1-x· -y1-y-x1-x = y21 -y2x21-x2 = b2a2 = 13 ，所以双曲线的离心率为 e= 1+ b2a2 = 1+ 13 = 2 33 ,故选 :A．3. C【 解析】①若 A,B都在右支 ,若 AB垂直 x轴 , a2=4,b2=8,c2=12,所以 F(2 3,0)则 AB:x=2 3,代入双曲线 x24 - y28 =1,求得 y=±4,所以 AB= y1-y2? ? =8所以 |AB|=8的直线有一条 ,即垂直于 x轴;②若 A,B分别在两支 ,a=2,所以顶点距离为 2+2=4<8，所以 |AB|=8有两条 ,关于 x轴对称 .综上 ,满足这样的直线 l的条数为 3条 .故选 :C. 第 135页 共 377页
4. B【 解析】由题意，可得 MF1? ? - MF2? ? =2a,MF1? ? + MF2? ? = p2 ，联立解得 MF1? ? =a+ p4 ,MF2? ? = p4 -a，又 F1F2为直径， 所以四边形 F1NF2M为矩形，所以 S= MF1? ? MF2? ? = p4? ? 2-a2，即 p232 = p216 -a2，即 p2=32a2，由 MF1? ? 2+ MF2? ? 2= F1F2? ? 2，得 2a2+ p28 =4c2，即 3a2=2c2，即 3a2=2b2，所以 ba = 22 ，所以双曲线的渐近线的方程为 y=± 22 x，故选 B．5. D【 解析】双曲线的实轴长为 2a，要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需 AB? ? =4 2a,a? ? 2，此时直线若和左支相交 ，必有两条直线符合题意 .当 4>2a时，直线与两支都相交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相交时，最短的弦长大于 4，即 2b2a >4， 0
解法二： 由点 A(a， 0)， B(0， b)关于直线 l对称，可知 AF? ? = BF? ?,即 a+c= b2+c2,两边平方， 并结合 b2=c2-a2，整理可得 c2-2ac-2a2=0，下同解法一 .9. D【解析】设 P(x0,y0)， F1(-c,0),F2(c,0)，则 PF1?? ?PF2?? =(-c-x0,-y0)?(c-x0,-y0)=(-c-x0)(c-x0)+y20 =x20+y20 -c2，x20+y20 表示 P到原点距离的平方，当 P为双曲线顶点时取得最小值，所以 PF1?? ?PF2??? ? min=a2-c2， 即 a2-c2=-3， b2=3， b= 3，双曲线的一条渐近线为 y= 32 x，则 ba = 32 ，所以 a=2， c= 4+3= 7，焦距为 2 7．故选： D．10.B【解析】采用特例法即可求得结果不妨设焦点 F为右焦点，则 F(5,0)，令 x=5代入双曲线方程得 2516 - y29 =1，解得 y=± 94 ，当 AB⊥x轴时 ，不妨设 A在第一象限，则 A 5, 94? ? ， B 5,- 94? ? ，所以 |AF|=|BF|= 94 ，故 1|AF| + 1|BF| = 89 .故选： B11.AC【解析】双曲线 C关于原点对称，又直线 y=kx过原点，所以 A,B关于原点对称，由 OA? ? = OB? ?,OF1? ? = OF2? ? 得四边形 AF1BF2为平行四边形 ， A正确；当 k→0， P点趋近于右顶点，此时 ∠F1PF2趋近于平角，因此不可能有 ∠F1PF2<90°， B错．设 A(x0,y0)，则 B(-x0,-y0)，由 AE⊥x轴知 E(x0,0)， k= y0x0 ，而 kBE= 0-(-y0)x0-(-x0) = y02x0 = 12k， C正确；△APB中， ∠APB>∠AEB>∠AEO=90°，因此 ∠PAB<90°， D错；故选： AC． 第 137页 共 377页
12.AD【解析】当 m>0， n<0时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为： π6 ，所以斜率为 ： 33 ，可得： m-n = 13 ，所以双曲线的离心率为 ： e= m-nm =2．当 m<0， n>0时， 由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为： π6 ，所以斜率为 ： 33 ，可得： -mn = 33 ， n=-3m，所以双曲线的离心率为： e= n-mn = 2 33 ．故选： AD．13. -∞,-2? ?【解析 】解 :设点 P x0,y0? ? ,x0? ? ≥ 3，则点 Q -x0,-y0? ? ,所以 MP?? = x0,y0-1? ? ， MQ?? = -x0,-y0-1? ? ，MP?? ?MQ?? =-x20-y20 +1，因为 P是双曲线 x23 -y2=1上的点， 故 x203 -y20 =1，所以 MP?? ?MQ?? =-x20-y20 +1=2- 4x203 ≤-2，故 MP?? ?MQ?? 的取值范围是 -∞,-2? ? .故答案为： -∞,-2? ?14.y=± 22 x【解析 】因为三个点 -2,1? ? ， -2,3? ? ， 2,-1? ? 中恰有两个点在双曲线 C: x2a2 -y2=1(a>0)上，又双曲线的图象关于原点对称 ,所以点 -2,1? ? ， 2,-1? ? 在双曲线 C: x2a2 -y2=1(a>0)上，所以 4a2 -1=1，解得 a= 2，所以其渐近线方程为： y=± 22 x.故答案为： y=± 22 x15.y=± 62 x【解析 】双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F，双曲线 C的右支上一点 A， 它关于原点 O的对称点为 B，满足 ∠AFB=90°，且 |BF|=3|AF|，设左焦点为 F1，连接 AF1、 BF1，由对称性可得 AF1=BF、 BF1=AF，可得 |BF|-|AF|=2a，所以 |AF|=a， |BF|=3a，∠F1BF=90°，所以 F1F2=BF12+BF2，可得 4c2=a2+9a2，2c2=5a2，又 c2=a2+b2，所以 b2a2 = 32 ，所以 ba = 62 ，故渐近线为 y=± 62 x故答案为： y=± 62 x． 第 138页 共 377页
16.3【 解析】设点 A x1,y1? ? ， B -x1,-y1? ? ， C x2,y2? ? ，则 kAC?kBC= y21 -y22x21-x22 ，又 x21a2 - y21b2 =1 a>0,b>0? ? ①， x22a2 - y22b2 =1 a>0,b>0? ? ②，① -② ，得 kAC?kBC= y21 -y22x21-x22 = b2a2 =e2-1=3.所以 kAC?kBC=3.故答案为 ： 3 第 139页 共 377页
专题 16：双曲线的离心率问题参考答案1. B【 解析】过 P作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义可得 |PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴ 1m = |PN||PA| ，设 PA的倾斜角为 α， 则 sinα= 1m，当 m取得最大值时， sinα最小 ，此时直线 PA与抛物线相切，设直线 PA的方程为 y=kx-1，代入 x2=4y，可得 x2=4(kx-1)，即 x2-4kx+4=0，∴△=16k2-16=0， ∴k=±1， ∴P(2， 1)，∴双曲线的实轴长为 PA-PB=2( 2-1)， ∴双曲线的离心率为 22( 2-1) = 2+1．故选 B．2. B【 解析】因为直线 l为双曲线 C的一条渐近线，则直线 l:y= bax因为 F1,F2是双曲线 C的左、 右焦点所以 F1(-c， 0)， F2(c， 0)因为 F1关于直线 l的对称点为 F1?，设 F1?为 (x， y)则 y-0x+c ? ba =-1,y+02 = ba ? x-c2解得 x= b2-a2c ,y=-2abc所以 F1?为 b2-a2c ,-2abc? ?因为 F1?是以 F2为圆心， 以半虚轴长 b为半径的圆，则圆的方程为 x-c? ? 2+y2=b2将以 F1?的 b2-a2c ,-2abc? ? 代入圆的方程得 b2-a2c -c? ? 2+ -2abc? ? 2=b2化简整理得 5a2=c2 ，所以 e= c2a2 = 5所以选 B3. C【 解析】不妨设 M在第二象限，则在等腰 ΔABM中， AB? ? = AM? ? =2a，第 140页 共 377页
设 ∠ABM=∠AMB=θ，则 ∠F1AM=2θ， θ为锐角．ΔABM外接圆面积为 3πa2，则其半径为 3a， ∴2 3a= 2asinθ，∴sinθ= 33 ， cosθ= 63 ，∴sin2θ=2× 33 × 63 = 2 23 ， cos2θ=2× 63? ? 2-1= 13 ，设 M点坐标为 (x,y)，则 x=-a- AM? ?cos2θ=-5a3 ， y= AM? ?sin2θ= 4 23 a，即 M点坐标为 -5a3 ,4 2a3? ? ，由 M点在双曲线上， 得 -5a3? ? 2a2 - 4 2a3? ? 2b2 =1，整理得 b2a2 =2，∴e= ca = 1+ b2a2 = 3．故选 C．4. B【 解析】 ∵AB?? =5F1A?? ， ∴F1,A,B共线，且 AB??? ? =5F1A??? ? ，AF2?? 2=AB?? ?AF2?? =(AF2?? +F2B?? )?AF2?? =AF2?? 2+F2B?? ?AF2?? ，∴F2B?? ?AF2?? =0，则 F2B?? ⊥AF2?? ，故有 AF2??? ? 2+ BF2??? ? 2= AB??? ? 2，设 F1A??? ? =m，则 AB??? ? =5m， BF1??? ? =6m， QQ群 333528558由双曲线的定义可得AF2??? ? -m=2a6m- BF2??? ? =2aAF2??? ? 2+ BF2??? ? 2=25m2???????∴(m+2a)2+(6m-2a)2=25m2，整理得 (m-a)(3m-2a)=0，解得： m=a或 m= 23a，若 m= 23a，则 AF2??? ? = 83a， BF2??? ? =2a，不满足 AF2??? ? < BF2??? ? ，舍去 ；若 m=a， AF2??? ? =3a< BF2??? ? =4a，符合题意 ，则 BF1??? ? =6a， AB??? ? =5a，此时 cos∠ABF2= BF2??? ?|AB?? | = 4a5a = 45 ，在 △F1BF2中， F1F2??? ? 2= BF1??? ? 2+ BF2??? ? 2-2BF1??? ? ? BF2??? ?cos∠ABF2，即 4c2=36a2+16a2-2×6a×4a× 45 ，得到 e2= c2a2 = 175 ，即 c2= 175 a2，∴e= ca = 855 ．故选： B．5. C 第 141页 共 377页
【解析 】由已知得 A a,0? ? ，设 F c,0? ? ，由 AQ?? ?AB?? =AQ?? ?FB??，得 AQ?? ?(AB?? +BF?? )=AQ?? ?AF?? =0，所以 l⊥x轴，即 l:x=a，不妨设点 Q在第一象限，则 Q a,b? ? .设 B x0,y0? ? ，由 BQ?? =3FQ?? ，得 BF?? =2FQ?? ，∴ c-x0,-y0? ? =2 a-c,b? ? ，∴ x0=3c-2ay0=-2b??? ，即 B 3c-2a,-2b? ? ，∵点 B x0,y0? ? 在双曲线上，∴ 3c-2a? ? 2a2 - -2b? ? 2b2 =1，整理得 9c2-12ac-a2=0， ∴9e2-12e-1=0，解得 e= 2+ 53 ，或 e= 2- 53 (负值舍去 ).故选 C.故选： C6. A【解析】设 AF1? ? =t，则 AF2? ? =t+2a= BF2? ? ，从而 BF1? ? =t+4a，进而 BA? ? =4a.过 F2作 F2H⊥AB=H， 则 AH? ? =2a.如图：在 Rt△F1F2H中， F2H? ? =2csin30°=c， F1H? ? =2ccosθ= 3c= AF2? ? ；在 Rt△AF2H中 ， 3c? ? 2-c2= 2a? ? 2，即 2c2=4a2，所以 e= 2.故选： A 第 142页 共 377页
7. B【 解析】由点 A、 B关于原点对称，设 B x,y? ? ，则 A -x,-y? ?∵F c,0? ? ，设 C m,n? ? ， ∴BF?? = c-x,-y? ? ， FC?? = m-c,n? ?∵3BF?? =FC?? ， ∴ 3 c-x? ? =m-c-3y=n??? ? m=4c-3xn=-3y??? ，即 C 4c-3x,-3y? ?∵AF?? ?FB??=0， AF?? = c+x,y? ? ,BF?? = c-x,-y? ?利用向量数量积公式得： c+x,y? ? ? c-x,-y? ? =0，即 c2=x2+y2①又点 C、 B均在双曲线上 ，∴ x2a2 - y2b2 =1②， 4c-3x? ? 2a2 - -3y? ? 2b2 =1③由①②③可得： a2+2c2=3a 2c2-a2两边同时除以 a2可得： 1+2e2=3 2e2-1两边同时平方得； 1+2e2? ? 2=9 2e2-1? ? ，即 2e4-7e2+5=0? 2e2-5? ? e2-1 ? =0又双曲线的离心率 e>1，则 e2= 52 ，即 e= 52 = 102故选： B.8. B【解析】由题意，设点焦点 F2且垂直渐近线的直线方程为： y-0=-ab x-c? ? ，由 y-0=-ab x-c? ?y= bax??? ，解得 ： x= a2c ， y= abc ，所以， 对称中心的点坐标为 a2c ,abc? ? ，又 F2 c,0? ? ，设点 P x0,y0? ? ，则 c+x02 = a2c0+y02 = abc????? ，解得 x0= 2a2c -cy0= 2abc????? ，即点 P 2a2c -c,2abc? ? ，将点 P 2a2c -c,2abc? ? 代入双曲线的方程可得 2a2-c2? ? 2a2c2 - 4a2b2b2c2 =1，又 a2+b2=c2，化简可得 c2=5a2，故 e= ca = 5.故选： B. 第 143页 共 377页
9. D【 解析】不妨设直线 AB的斜率大于 0．如图 :连接 HG． HF2， GF2， 设 △AF1F2的内切圆与三边分别切于点 D， E， F，则AF1-AF2=AD+DF1-(AE+EF2)=DF1-EF2=F1F-FF2，所以 2a=c+xH-(c-xH)，即 xH=a，同理可得 xG=a，所以 HG⊥F1F2，设直线 AB的倾斜角为 θ，在 Rt△F2FG中， FG=FF2tanθ2 =(c-a)tanθ2 ，在 Rt△F2FH中 ， FH=FF2tanπ-θ2 =(c-a)?tan π2 - θ2? ? ，又 yH? ? =3yG? ? ，所以 FH=3FG，即 (c-a)tan π2 - θ2? ? =3(c-a)tanθ2 ，解得 tanθ2 = 33 ，所以 tanθ= 2tanθ21-tan2θ2 = 3，即直线 AB的斜率为 3，由题意， 直线 AB与双曲线右支交于两点，故 ba < 3，所以 ca = 1+ ba? ? 2 ∈(1,2).故选 :D10.A【解析】设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，直线 AB:y=kx+m因为 OA⊥OB，即 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=0联立 y=kx+mx2a2 - y2b2 =1??? ，整理得 b2-a2k2? ?x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0x1+x2= 2kma2b2-a2k2 ， x1x2= -a2 m2+b2? ?b2-a2k2y1y2= kx1+m? ? kx2+m ? =k2x1x1+km x1+x2? ? +m2代入得 y1y2= m2b2-a2b2k2b2-a2k2所以 x1x2+y1y2= -a2 m2+b2? ?b2-a2k2 + m2b2-a2b2k2b2-a2k2 =0第 144页 共 377页
整理得 m2k2+1 = a2b2b2-a2即由 O 0,0? ? 到直线 AB:y=kx+m的距离 d= |m|1+k2所以距离为一个定值又 1|OA?? |2 + 1|OB?? |2 = |OA?? |2+|OB?? |2|OA?? |?|OB?? |? ? 2 = |AB?? |2|OA?? |?|OB?? |? ? 2又 S△ABC= 12 |OA?? |?|OB?? |= 12 |AB?? |?d即 |OA?? |?|OB?? |? ? 2=|AB?? |2d2所以 1|OA?? |2 + 1|OB?? |2 = |AB?? |2|OA?? |?|OB?? |? ? 2 = 1d2 = 1+k2m2 = b2-a2a2b2又 1|OA?? |2 + 1|OB?? |2 ≤ 1|OF?? |2所以 b2-a2a2b2 ≤ 1c2 ?1a? 2
1F2= 12 ?2c?3a= 12 ? AF1? ? + AF2? ? +2c? ? ?a，又 AF1? ? - AF2? ? =2a，解得 AF1? ? =2c+a,AF2? ? =2c-a，设 A xA,yA? ? ， F1 -c,0? ? ，所以 AF1? ? = xA+c? ? 2+yA2 = xA+c? ? 2+b2 x2Aa2 -1? ? ，= e2xA2+2cxA+a2 = exA+a? ? 2 =exA+a.第 145页 共 377页
所以 AF1? ? =a+exA，解得 xA=2a，所以 A 2a,3a? ? ，代入双曲线方程得 ： 2a? ? 2a2 - 3a? ? 2b2 =1，解得 b= 3a,c= a2+b2 =2a，所以 e= ca =2.故选： C12.D【解析】如图，因为 AF2? ? = BF2? ? ，则取 AB中点 M，连结 F2M，可得 F2M⊥AB，设 AF2? ? = BF2? ? =x，因为AF2? ? - AF1? ? =2a，则 AF1? ? =x-2a，又因为 BF1? ? - BF2? ? =2a，则 BF1? ? =x+2a， AB? ? = BF1? ? - AF1? ?=4a，则 AM? ? = BM? ? =2a，则 F1M? ? =x，在 RtΔF1F2M中有 F2M? ? = 4c2-x2，在 RtΔAF2M中有 F2M? ? = x2-4a2，所以 4c2-x2 = x2-4a2，解得 x2=2a2+2c2，因为直线 l的斜率为 22 ，所以 tan∠MF1F2= F2M? ?F1M? ? = 2b22a2+2c2 = 22 ，所以 c2-a2a2+c2 = 12 ， c2=3a2，所以离心率 e= 3.故选： D 第 146页 共 377页
13.A【 解析】由 x2a2 - y2b2 =1y= b2a??????? ，得 x=±c，所以 P -c,b2a? ? ， Q c,b2a? ? .因为 A a,0? ? ，所以 AP?? = -c-a,b2a? ? ，AQ?? = c-a,b2a? ? .又 ∠PAF1+∠QAF2< π2 ，所以 π2 <∠PAQ<π，则 AP?? ?AQ?? <0，即 -c-a? ? c-a ?+ b2a × b2a <0，整理 ，得 a2-c2+ b4a2 <0.因为 c2-a2=b2，所以 -b2+ b4a2 <0，所以 b2a2 <1，所以双曲线C的离心率 e= ca = 1+ ba? ? 2 < 2，又 e>1， 所以 10? ? ，则 A -x0,-2 2x0? ? ， F c,0? ? ，如图∵M、 N分别为 AF2、 BF2的中点 ，∴M -x0+c2 ,- 2x0? ? ， N x0+c2 , 2x0? ? ，∵原点 O在以线段 MN为直径的圆上 ，∴OM⊥ON即 OM??? ?ON?? = c2-x024 -2x02=0，解得： x0= c3故 B c3 ,2 2c3? ? ，把 B c3 ,2 2c3? ? 代入双曲线方程 x2a2 - y2b2 =1可得： c29a2 - 8c29b2 =1，化简得： 9a4-18a2c2+c4=0即 e4-18e2+9=0，解得： e2=9+6 2 即 e= 6+ 3故选： A 第 147页 共 377页
15.C【 解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为 60°，又双曲线的焦点既可在 x轴，又可在 y轴上，所以 ba = 3 或 33 ， ∴e= 1+ ba? ? 2 =2或 2 33 .故选： C16.A【解析】 AF⊥BF， △ABF是直角三角形，AO=OB=OF=cA点在渐近线 bx-ay=0上，设 A x0,bx0a? ? (x0>0) ， F(c,0)∴AO2=x02+ b2x02a2 =c2 解得： x0=aA(a,b)， M c+a2 ,b2? ?中点 M在双曲线 C上 ,代入方程： (c+a)24a2 - b24b2 =1化简得 (c+a)2=5a2， e2+2e-4=0则 e= 5-1故选： A.17.A【解析】设 P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ，直线 PQ的方程为 x= bay-c.联立 x= bay-c,x2a2 - y2b2 =1,??????? 整理得 b4-a4? ?y2-2ab3cy+a2b4=0，则 y1+y2= 2ab3b2-a2? ?c,y1y2= a2b4b2-a2? ?c2 .因为 OP?? = 12OF1?? + 12OQ?? ，所以 P为线段 QF1的中点，所以 y2=2y1， y1+y2? ? 2y1?y2 = 92 = 4a2b6 b2-a2? ?c2b2-a2? ? 2c2a2b4= 4b2b2-a2? ? ，整理得 b2=9a2，故该双曲线的离心率 e= 10.故选： A. 第 148页 共 377页
18.B【 解析】 PF2 ?? = F1F2 ?? =2c，故 PF1? ? = PF2? ? -2a=2c-2a，3 PF1 ?? =2 QF1 ?? ，故 QF1? ? =3 c-a? ? ，故 QF2? ? =2a+ QF1? ? =3c-a.根据余弦定理 cos∠PF1F2= PF1? ? 2+ F1F2? ? 2- PF2? ? 22PF1? ? ? F1F2? ? ，cos∠QF1F2= QF1? ? 2+ F1F2? ? 2- QF2? ? 22QF1? ? ? F1F2? ? ， cos∠PF1F2=-cos∠QF1F2，化简整理得到： 5c2-12ac+7a2=0，即 5e2-12e+7=0，解得 e= 75 或 e=1(舍去 ).故选： B.19.A【解析】 tanC=-tan(A+B)=- tanA+tanB1-tanAtanB， tanA+tanB- 2(tanA+tanB)1-tanAtanB =0，∵(tanA+tanB) 1- 21-tanAtanB? ? =0， tanA+tanB≠0，∴1-tanAtanB=2，即 tanAtanB=-1，设点 C(xc,yc)在第一象限，则 tanA= ycxc+a， tanB=- ycxc-a， tanAtanB=- yc2x2c-a2 ， x2ca2 - y2cb2 =1，∴y2c= x2ca2 -1? ? b2， tanAtanB=-b2a2 =-1，∴ b2a2 =1， e= 1+ b2a2 = 2.故选： A.20.C【解析】渐近线为： y=±abx，取 y=c， 解得 x=±bca ，则 A -bca ,c? ? ,B bca ,c? ? .OP?? =λOA?? +μOB?? ，且 A,B,P三点共线，故 λ+μ=1， λ2+μ2= 59 ，则 λ= 13μ= 23??? 或 λ= 23μ= 13??? ，不妨取 λ= 13μ= 23??? ，则 P bc3a,c? ? ，代入双曲线方程得到： c2a2 - c29a2 =1，即 89 e2=1,e= 3 24 .故选： C.21.D【解析】依题意得 1+a+b+c=0，故 c=-1-a-b，所以 f x? ? = x-1? ? x2+ 1+a? ?x+a+b+1? ? .另外两根分别是一椭圆、 一双曲线的离心率，故 g x? ? =x2+ 1+a? ?x+a+b+1有两个分别属于 0,1? ? 和 1,+∞? ? 的零点 .故有 g 0? ? >0且 g 1? ? <0，即 a+b+1>0且 2a+b+3<0.运用线性规划知识，以横轴为 a，以纵轴为 b，作出不等式组 a+b+1>02a+b+3<0??? 所表达平面区域 ,为阴影部分第 149页 共 377页
可求得 a2+b2∈ 5,+∞? ? .故选 D.22. 2【解析 】如下图所示，将 x=c代入双曲线的方程得 c2a2 - y2b2 =1，得 y=±b2a ，所以点 M c,b2a? ? ，设点 P的坐标为 c,t? ? t>0 ? ，由 ΔAPB的外接圆面积取最小值时，则 ∠APB取到最大值，则 tan∠APB取到最大值， tan∠APF= a+ct ， tan∠BPF= c-at ，tan∠APB=tan ∠APF-∠BPF? ? = tan∠APF-tan∠BPF1+tan∠APF?tan∠BPF= c+at - c-at1+ c+at ? c-at = 2at1+ b2t2 = 2at+ b2t ≤ 2a2 t? b2t = ab ，当且仅当 t= b2t t>0? ? ，即当 t=b时 ，等号成立，所以，当 t=b时， ∠APB最大，此时 ΔAPB的外接圆面积取最小值，由题意可得 b= b2a ，则 ba =1，此时 ，双曲线的离心率为 e= ba? ? 2+1= 2，故答案为 2．23.6【解析】设椭圆对应的参数为 a1,b1,c，双曲线对应的参数为 a2,b2,c，由于线段 PF1的垂直平分线过 F2，所以第 150页 共 377页
有 F1F2? ? = PF2? ? =2c.根据双曲线和椭圆的定义有 PF1? ? +2c=2a1PF1? ? -2c=2a2??? ，两式相减得到 4c=2 a1-a2? ? ，即a1-a2=2c.所以 2e1 + e22 = 2a1c + c2a2 =4+ 2a2c + c2a2 ≥4+2 2a2c ? c2a2 =6，即最小值为 6.24. 27 21．【解析 】双曲线的焦点为 F1 -c,0? ? ,F2 c,0? ? ,F1F2? ? =2c，在 △F1PF2中 ，由正弦定理得： 2R= F1F2? ?sin∠F1PF2 = 2csin π3 = 4 33 c，解得 R= 2 33 c， r= 14R= 36 c，设 PF1? ? =m,PF2? ? =n，在 △F1PF2中 ，由余弦定理得： 4c2=m2+n2-2mncos π3 = m-n? ? 2+mn，解得 mn=4 c2-a2? ? ，所以 S△F1PF2= 12mnsin π3 = 3 c2-a2? ? ，因为 m+n? ? 2= m-n? ? 2+4mn=4a2+16 c2-a2? ? =16c2-12a2又 S△F1PF2= 12 m+n+2c? ?r= 3c m+n+2c? ?12 ，所以 3 c2-a2? ? = 3c m+n+2c? ?12 ，则 m+n= 10c2-12a2c所以 m+n? ? 2= 10c2-12a2c? ? 2=16c2-12a2整理得 21c4+36a4-57a2c2=0，则 c2-a2? ? 21c2-36a2 ? =0解得 e= ca = 2 217 或 e=1(舍去 )故答案为： 2 217 ． 第 151页 共 377页
25. 224【解析 】解：如图所示：设 △AMF1的内切圆在 AF1,AM上的切点分别为 E,G，由双曲线的定义知： MF1? ? - MF2? ? =2a，即 NF1? ? +4- MF2? ? =2a，又 ∵ NF1? ? = EF1? ? = GF2? ? ，即 GF2? ? +4- MF2? ? =2a，即 GM? ? +4=2a，又 ∵ GM? ? = MN? ? =4，∴2a=8，即 a=4，则 a2=16，a+2=4+2=6，∴c2=a2+a+2=16+6=22，即 c= 22，∴e= 224 ,故答案为： 224 . 第 152页 共 377页
26.2【解析】设 P x,y? ? ， A x1,y1? ? ， B -x1,-y1? ? ，显然 x≠x1， x≠-x1．∵点 A， P在双曲线上， ∴ x12a2 - y12b2 =1x2a2 - y2b2 =1??????? ，两式相减得 y2-y12x2-x12 = b2a2 ，∴k1k2=kAPkBP= y-y1x-x1 ? y+y1x+x1 = y2-y12x2-x12 = b2a2 >0，∵y= 6k1 ? 1k2 +lnk12+lnk22= 6k1?k2 +2ln k1?k2? ? ，设 t=k1k2，则 y= 6t +2lnt t>0? ? ，∴求导得 y?=- 6t2 + 2t = 2t-6t2 ，∴y= 6t +2lnt在 0,3? ? 单调递减， 在 3,+∞? ? 单调递增，∴当 t=3时 ， y= 6t +2lnt取最小值 ，此时 e= 1+ b2a2 = 1+t=2．故答案为： 227. 65【解析 】因为直线 AB过点 F(c,0)，且斜率为 3所以直线 AB的方程为 ： y= 3 x-c? ?与双曲线 x2a2 - y2b2 =1联立消去 x，得13b2-a2? ? y2+ 2 33 b2cy+b4=0设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?所以 y1+y2= 2 3b2c3a2-b2 ,y1y2= -3b43a2-b2因为 AF?? =4FB??，可得 y1=-4y2代入上式得 -3y2= 2 3b2c3a2-b2 ,-4y22 = -3b43a2-b2消去 y2并化简整理得： 43c2= 34 (3a2-b2)将 b2=c2-a2代入化简得： c2= 3625a2解之得 c= 65a因此， 该双曲线的离心率 e= ca = 65故答案为： 65 第 153页 共 377页
专题 17：双曲线的定点问题参考答案1. (1)x23 -y2=1(2)证明见解析； 定点 3,0? ?【分析 】 (1)由题意可得 c的值，再由点 F到直线 x= a2c 的距离为 12 ，可得 a的值 ，再由 a， b， c之间的关系求出双曲线的方程；(2)设弦 AB所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得 AB的中点 M的坐标，再由椭圆可得弦 CD的中点 N的坐标，分别讨论当 MN的斜率存在和不存在两种情况可得直线 MN恒过定点 .【解析】 (1)由题设可得 c- a2c = 12 ， c=2，所以 a2=3， b2=c2-a2=1.所以双曲线的标准方程为 x23 -y2=1.(2)证明：点 F 2,0? ? ，设过点 F的弦 AB所在的直线方程为 x=ky+2， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则有 M k y1+y2? ?2 +2,y1+y22? ? .联立 x23 -y2=1x=ky+2??? ，可得 k2-3? ?y2+4ky+1=0.因为弦 AB与双曲线 C有两个交点，所以 k2-3≠0，所以 y1+y2= 4k3-k2 ，所以 M 63-k2 , 2k3-k2? ? .(1)当 k=0时， M点即是 F点 ，此时，直线 MN为 x轴 .(2)当 k≠0时，将上式 M点坐标中的 k换成 - 1k，同理可得 N 6k23k2-1,- 2k3k2-1? ? .①当直线 MN不垂直于 x轴时 ，直线 MN的斜率 kMN= 2k3-k2 + 2k3k2-163-k2 - 6k23k2-1 = 2k3 k2-1? ? ，其方程 y- 2k3-k2 = 2k3 k2-1? ? x- 63-k2? ? ，化简得 y= 2k3 k2-1? ? x-3? ? ，所以直线 MN过定点 3,0? ? ；②当直线 MN垂直于 x轴时 ， 63-k2 = 6k23k2-1 ，此时 ， k=±1，直线 MN也过定点 3,0? ? .综上所述， 直线 MN过定点 3,0? ? .【点评 】本题主要考查双曲线的标准方程及性质、定点问题等知识以及逻辑思维与运算求解能力，考查了学生的计算能力，属于难题 .2. (1)x2- y23 =1(x>0)； (2)4； (3)证明见解析， 定点的坐标为 (1,0).【分析】 (1)利用动圆经过的点及外切关系可求；(2)设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到 OA?? ?OB?? ，进而可求 OA? ? ? OB? ? ；(3)设出直线方程， 联立方程组，结合韦达定理，证明直线 FM经过定点 .【解析】 (1)设动圆的圆心 P(x,y)，半径为 r，则由题意可得 PF2? ? =rPF1? ? =r+2??? ，即 PF1? ? - PF2? ? =2，因为 F1F2? ? =4>2，所以点 P的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的右支，且 a=1,c=2，第 154页 共 377页
所以曲线 C的方程为 x2- y23 =1(x>0).(2)当直线的斜率不存在时， P(1,0),A(1, 3),B(1,- 3)，此时 OA? ? ? OB? ? =4；当直线的斜率存在时， 设直线的方程为 y=kx+m， A(x1,y1),B(x2,y2)，联立 y=kx+m3x2-y2=0??? 得 (3-k2)x2-2kmx-m2=0，3-k2≠0， x1+x2= 2km3-k2 ,x1x2=- m23-k2 ，y1+y2=k x1+x2? ? +2m= 6m3-k2 ,y1y2=k2x1x2+km x1+x2? ? +m2= 3m23-k2 .因为 P为 AB的中点 ，所以 P km3-k2 , 3m3-k2? ? ，代入曲线方程得 k2m23-k2? ? 2 - 3m23-k2? ? 2 =1；整理可得 m2=k2-3；OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2= -m23-k2 + 3m23-k2 = 2m23-k2 =-2，因为 3x2-y2=0恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线 y= 3x的倾斜角为 60°，所以 OA?? ?OB?? = OA??? ? OB??? ?cos120°=- 12 OA??? ? OB??? ? =-2， 所以 OA??? ? OB??? ? =4.综上可得 OA??? ? OB??? ? =4.(3)证明： 当直线 l1的斜率不存在时， E(2,3),F(2,-3),M 12 , 32? ? ，直线 FM:3x+y-3=0经过点 (1,0).当直线 l1的斜率存在时，设直线 l1:y=k(x-2)， E(x1,y1),F(x2,y2)，直线 ED:y= y1x1+1(x+1)，当 x= 12 时， yM= 3y12 x1+1? ? ，M 12 , 3y12 x1+1? ?? ? ，联立 y=k x-2? ?3x2-y2=3??? 得 (3-k2)x2+4k2x-(3+4k2)=0，3-k2≠0， x1+x2=- 4k23-k2 ,x1x2=-3+4k23-k2 ，下面证明直线 FM经过点 Q 1,0? ? ，即证 kFQ=kMQ， -3y1x1+1 = y2x2-1 ，把 y1=k x1-2? ? ， y2=k x2-2? ? 代入整理得 4x1x2-5 x1+x2? ? +4=0，即 4× -3+4k23-k2? ? -5× - 4k23-k2? ? +4= 12+16k2-20k2k2-3 +4=-4+4=0，所以直线 FM经过点 1,0? ? .【点评 】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养 .3. (1)x2- y23 =1； (2)详见解析 .【分析 】 (1)根据离心率求得 a,b,c的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得 a,b,c的值，进而求得双曲线方程 .(2)设出 P点的坐标，根据点斜式求得 A1P和 A2P的方程，进而求得 M,N两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆 D的方程 .令 y=0求得两个定点的坐标 .【解析】 (1)设 C： x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)，因为离心率为 2，所以 c=2a， b= 3a．所以 C的渐近线为 3x±y=0， 第 155页 共 377页
由 3= | 3c-0|3? ? 2+ ±1? ? 2 ，得 c=2．于是 a=1， b= 3，故 C的方程为 x2- y23 =1．(2)设 P x0,y0? ? (x0≠±1)，因为 A1 -1,0? ? ， A2 1,0? ? ，可得直线 A1P与 A2P方程为 y= y0x0+1 x+1? ? ， y= y0x0-1 x-1? ? ．由题设， 所以 M 0, y0x0+1? ? ， N 0, -y0x0-1? ? ， MN? ? = 2x0y0x20-1? ? ， MN中点坐标 0, y01-x20? ? ，于是圆 D的方程为 x2+ y- y01-x20? ? 2= x20y20x20-1? ? 2 ．因为 x20- y203 =1，所以圆 D的方程可化为 x2+y2+ 6y0y-3=0．当 y=0时， x=± 3，因此 D经过两个定点 - 3,0? ? 和 3,0? ? ．【点评 】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题 .4. (1)x2- y23 =1(x>0)； (2)证明见解析 .【解析 】 (1)由已知得 PF1 ? =? ?PF2 ? +2，即 PF1 ? -? ?PF2 ? =2，所以 P的轨迹 C为双曲线的右支， 且 2a=2， a=1， F1F2 ? =2c=4， c=2，?∴b= c2-a2 = 3，∴曲线 C的标准方程为 x2- y23 =1(x>0).(2)当直线 l1的斜率不存在时， A 2,3? ? ， B 2,-3? ? ， M 12 , 32? ? ，则直线 BM经过点 E 1,0? ? ；当直线 l1的斜率存在时， 不妨设直线 l1:y=k x-2? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则直线 AD： y= y1x1+1 x+1? ? ，当 x= 12 时， yM= 3y12 x1+1? ? ， M 12 , 3y12 x1+1? ?? ? ，由 y=k x-2? ?3x2-y2=3??? 得 3-k2? ?x2+4k2x- 4k2+3? ? =0，所以 x1+x2= -4k23-k2 ， x1x2= 4k2+3k2-3 ，下面证明直线 BM经过点 E 1,0? ? ，即证 kEM=kEB，即 -3y1x1+1 = y2x2-1 ，即 -3y1x2+3y1=x1y2+y2，由 y1=kx1-2k， y2=kx2-2k，整理得， 4x1x2- 5 x1+x2? ? +4=0，即 4? 4k2+3k2-3 -5? 4k2k2-3 + 4 k2-3? ?k2-3 =0恒成立 .即 kEM=kEB，即 BM经过点 E 1,0? ? ，故直线 BM过定点 1,0? ? .5. (1) x24 -y2=1 (2) 证明见解析， 定点坐标为 -103 ,0? ?【解析 】 (1)设双曲线的标准方程为 x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? , 由已知得 ca = 52 ,2b=2,又 a2+b2=c2第 156页 共 377页
,解得 a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为 x24 -y2=1.(2)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,联立 {y=kx+mx24 -y2=1,得 1-4k2? ?x2-8mkx-4 m2+1? ? =0,有{Δ=64m2k2+16 1-4k2? ? m2+1 ? >0x1+x2= 8mk1-4k2 <0x1x2= -4 m2+1? ?1-4k2 >0 ,y1y2= kx1+m? ? kx2+m ? =k2x1x2+mk x1+x2? ? +m2=m2-4k21-4k2 ,以 AB为直径的圆过双曲线 C的左顶点 D -2,0? ? ,∴kAD·kBD=-1,即 y1x1+2· y2x2+2 =-1,∴y1y2+x1x2+2 x1+x2? ? +4=0,∴ m2-4k21-4k2 + -4 m2+1? ?1-4k2 + 16mk1-4k2 +4=0,∴3m2-16mk+20k2=0,解得 m=2k或 m= 10k3 .当 m=2k时 ,l 的方程为 y=k x+2? ? ,直线过定点 -2,0? ? ,与已知矛盾； 当 m= 10k3 时 ,l的方程为 ,直线过定点 -103 ,0? ? ,经检验符合已知条件 , 所以直线 l过定点 ,定点坐标为 -103 ,0? ? .考点： 双曲线标准方程，直线过定点6. (1)方程为 x28 - y24 =1(2) 6 (3)证明见解析； PQ过定点 (6 2,0)【分析 】 (1)根据离心率得双曲线中 a、 b的关系，代入点的坐标，解方程组即可求得双曲线方程．(2)设点 P x0y0? ? ，根据焦半径公式表示出 PF1? ? ， PF2? ? 代入表达式， 转化为关于横坐标的表达式，根据横坐标的取值范围即可求得最大值．(3)设出点 P、 Q的坐标和直线 PQ的方程为，联立双曲线方程可得 P、 Q两点纵坐标的关系；根据以 PQ为直径的圆过点 A，化为 AP?? ?AQ?? =0，代入坐标化简即可求得过定点的坐标．【解析】 (1)离心率为 e= ca = 62 所以 c2= 32a2即 a2+b2= 32a2b2= 12a2因为点 A(2 2,0)在双曲线上 ,所以2 2? ? 2a2 - 02b2 =1b2= 12a2??????? 解得 a2=8b2=4???所以双曲线方程为 x28 - y24 =1(2)由双曲线的对称性知， 不妨设 P在左支上，设 P x0y0? ?由焦半径得： PF1? ? =-ex0-a， PF2? ? =-ex0+a x0≤-2 2? ?所以 PF1? ? + PF2? ?|OP| = -2ex0x20+y20= - 6x032x20-4 = 632 - 4x20 x20≥8? ? 第 157页 共 377页
所以 PF1? ? + PF2? ?|OP| ≤ 632 - 48 = 6，当 x20=8时取等号．PF1? ? + PF2? ?|OP| 的最大值是 6 ．(3)设 PQ:x=my+n,P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ，联立直线 PQ和双曲线方程，化简得m2-2? ?y2+2mny+n2-8=0所以由 Δ>0 得 4m2n2-4 m2-2? ? n2-8 ? >0y1+y2= 2mn2-m2 ,y1y2= n2-8m2-2 且 m≠± 2由题知 AP?? ?AQ?? =0所以 x1-2 2? ? x2-2 2 ? +y1y2=0my1+n-2 2? ? my2+n-2 2 ? +y1y2=01+m2? ?y1y2+m(n-2 2) y1+y2? ? +(n-2 2)2=0代入得 1+m2? ? n2-8m2-2 +m(n-2 2) 2mn2-m2 +(n-2 2)2=0解得 n=6 2 或 n=2 2(舍去 )，所以 PQ方程为 x=my+6 2即得 PQ过定点 (6 2,0)【点评 】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线焦半径公式的应用，直线过定点的求法，综合性强，属于难题．7. (1) 23 ； (2)证明见解析；【 分析】 (1)确定两条渐近线方程，求出点 Q到两条渐近线的距离，再计算 QP1?? 与 QP2?? 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论 .(2)设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式 SM?? =λMT?? ， SN?? =μNT?? ，将 λ,μ表示出来，代入 λ+μ=1化简即可证得 T为定点 .【解析】解： (1)由曲线 C: x23 - y26 =1，得渐近线方程为 ± 2x-y=0，作示意图如图所示 ：设 ∠P1Ox=θ， tanθ= 2，则 cos2θ= cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ = 1-tan2θ1+tan2θ =- 13则 cos∠P1QP2=-cos2θ= 13 ，又 QP1= |3 2-2 3|3 = 3 2-2 33 ， QP2= |-3 2-2 3|3 = 3 2+2 33QP1?? ?QP2?? =QP1?QP2?cos∠P1QP2= 18-123 ? 13 = 23 .(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2)， T(m,0),S(0,n)， m>0，设直线 l的斜率为 k，则 l:y=k(x-m)，又 x23 - y26 =1，得 (2-k2)x2+2k2mx-k2m2-6=0第 158页 共 377页
得 x1+x2=- 2k2m2-k2 ， x1x2=-k2m2+62-k2由 SM?? =λMT?? ，则 (x1,y1-n)=λ(m-x1,-y1)，即 x1=λ(m-x1)y1-n=λ(-y1)??? ，得 λ= x1m-x1 ，同理 ，由 SN?? =μNT?μ= x2m-x2?????????? ，则 λ+μ= x1m-x1 + x2m-x2 = m(x1+x2)-2x1x2m2-(x1+x2)m+x1x2 =1得 2m(x1+x2)-3x1x2=m2，则 -2m?2k2m2-k2 + 3?(k2m2+6)2-k2 =m2，得 m2=9，又 m>0， 得 m=3，即 T为定点 (3,0).【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计 算能力 ,是一道综合应用能力较强的题目 .8. (1)x2- y23 =1(2)证明见解析(3)存在， M(-1,0).【分析】 (1)根据双曲线所过的点和渐近线的夹角可得关于 a,b的方程组，解该方程组后可得双曲线的标准方程 .(2)设 A x1,y1? ? ， B -x1,-y1? ? ， P x0,y0? ? ，用三点的坐标表示 kPAkPB， 再利用点满足的方程化简前者可得所求的定值 .(3)设直线 l为 y=k x-2? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，根据 MA?? ?MB?? =0可得恒等式 1+k2? ?x1x2-m+2k2? ? x1+x2 ? +m2+4k2=0，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得 m=-1，从而得到所求的定点 .【解析】 (1)双曲线的渐近线方程为 y=±bax，因为两条渐近线的夹角为 π3 ，故渐近线 y= bax的倾斜角为 π6 或 π3 ，所以 ba = 3 或 ba = 33 .又 4a2 - 9b2 =1，故 b= 3a4a2 - 9b2 =1??? 或 a= 3b4a2 - 9b2 =1??? (无解 )，故 a=1b= 3??? ，所以双曲线 x2- y23 =1.(2)设 A x1,y1? ? ， B -x1,-y1? ? ， P x0,y0? ? ，故 kPA= y0-y1x0-x1 ， kPB= y0+y1x0+x1 ，所以 kPAkPB= y0-y1x0-x1 × y0+y1x0+x1 = y20 -y21x20-x21 ，因为 x20- y203 =1,x21- y213 =1，所以 x20-x21= y203 - y213 即 y20 -y21x20-x21 = 13 ，所以 kPAkPB为定值 13 .(3)双曲线的右焦点为 F2 2,0? ? ，当直线 l的斜率存在时， 设直线 l的方程为： y=k x-2? ? ，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，因为 MA?? ?MB?? =0，所以 x1-m? ? x2-m ? +y1y2=0，第 159页 共 377页
整理得到 1+k2? ?x1x2- m+2k2? ? x1+x2 ? +m2+4k2=0①，由 y=k x-2? ?3x2-y2=3??? 可以得到 3-k2? ?x2+4k2x-4k2-3=0，因为直线 l与双曲线有两个不同的交点，故 Δ=16k4+4 3-k2? ? 4k2+3 ? =36+45k2>0且 3-k2≠0，所以 k≠± 3.由题设有①对任意的 k≠± 3 总成立，因 x1+x2=- 4k23-k2 ,x1x2=-4k2+33-k2 ，所以①可转化为 - 1+k2? ? 4k2+33-k2 + m+2k2? ? 4k23-k2 +m2+4k2=0，整理得到 3 m2-1? ? + 5+4m-m2? ?k2=0对任意的 k≠± 3 总成立，故 m2-1=05+4m-m2=0??? ，故 m=-1即所求的定点 M的坐标为 -1,0? ? .当直线 l的斜率不存在时， 则 l:x=2，此时 A 2,3? ? ,B 2,-3? ? 或 B 2,3? ? ,A 2,-3? ? ，此时 MA?? ?MB?? =-3+3=0.综上，定点 M的坐标为 -1,0? ? .【点评 】求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等 . 直线与双曲线的位置关系中的定点、定值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 x或 y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有 x1x2,x1+x2或 y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程 (或函数 )，从而可求定点、定值、最值问题 .9. -103 ,0? ?【分析 】联立直线与双曲线求出韦达定理，由题知 kAD?kBD=-1，结合斜率公式和韦达定理即可求解【解析】设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立 y=kx+mx24 -y2=1??? 得 (1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0，所以 1-4k2≠0， Δ=64m2k2+16 1-4k2? ? m2+1 ? >0， x1+x2= 8mk1-4k2 >0， x1x2= -4(m2+1)1-4k2 <0，所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= m2-4k21-4k2 .因为以线段 AB为直径的圆过双曲线 C的左顶点 D(-2， 0)，所以 kAD·kBD=-1，即 y1x1+2 ? y2x2+2 =-1，所以 y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0，即 m2-4k21-4k2 + -4(m2+1)1-4k2 + 16mk1-4k2 +4=0，所以 3m2-16mk+20k2=0， 解得 m=2k或 m= 10k3 .当 m=2k时， l的方程为 y=k(x+2)，直线过定点 (-2， 0)，与已知矛盾；当 m= 10k3 时， l的方程为 y=k x+ 103? ? ，直线过定点 -103 ,0? ? ，经检验符合已知条件．故直线 l过定点 -103 ,0? ? . 第 160页 共 377页
故答案为： -103 ,0? ?10. 3,0? ?【分析 】设 PQ的方程为 x=my+b,联立双曲线利用代数式恒成立即可求解直线 PQ恒过定点时 x=my+b中 b的值 ,进而求得定点 .【解析】设 PQ的方程为 x=my+b,则由 x2- y22 =1x=my+b??? ? m2- 12? ? y2+2bmy+b2-1=0.设 P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ,则 y1,y2是该方程的两根 ,∴y1+y2=- 2bmm2- 12 ,y1?y2= b2-1m2- 12 .又 A -1,0? ? ,AP⊥AQ,故 AP?? ?AQ?? =0∴ x1+1? ? x2+1 ? +y1?y2=0,又 x1=my1+b,x2=my2+b,∴ 1+m2? ?y1?y2+ b+1? ?m y1+y2? ? + b+1? ? 2=0,代入 y1+y2=- 2bmm2- 12 ,y1?y2= b2-1m2- 12 得：1+m2? ? 2 b2-1? ?2m2-1 + b+1? ?m? - 4bm2m2-1? ? + b+1? ? 2=0整理得： 2 b2-1? ? 1+m2 ? -4bm b+1? ?m+ 2m2-1? ? b+1 ? 2=0,∴b2-2b-3=0,∴b=3或 b=-1.当 b=-1时 ,PQ过 A -1,0? ? 与题意不符 ,故舍去。当 b=3时 ,PQ过定点 3,0? ? .故答案为： 3,0? ?【点评 】本题主要考查了根据直线与双曲线的联立方程 ,利用韦达定理求解参数定值与直线过定点的问题 .属于难题 . 第 161页 共 377页
专题 18：双曲线的定值问题参考答案1. (1)x24 -y2=1； (2)是定值， 2.【 分析】 (1)由 BF? ? = 5-22 AF? ? 可得 b2a = 5-22 (a+c)，求出 a即可得出方程 ；(2)设出点 M， N的坐标，可得点 P的坐标，代入双曲线 C的方程，可得 mn=1，设 ∠MON=2θ，利用渐近线方程的斜率得角 θ的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得 sin2θ，由 M， N的坐标得 OM? ? ， ON? ? ，结合 sin2θ及三角形面积公式即可求出 S△MON.【解析】 (1)由题意，易得 F(c,0)， B c,±b2a? ? ，则由 BF? ? = 5-22 AF? ? ，可得 b2a = 5-22 (a+c)，∴2c2- 5-2? ?ac- 5a2=0，即 2e2- 5-2? ? e- 5=0.又 e= ca >1，解得 e= 52 (负值舍去 )， ∴c2= 54a2=a2+b2，解得 a2=4b2=4，∴双曲线 C的方程为 x24 -y2=1.(2)由 (1)可知双曲线 C的渐近线方程为 y=± 12x，设 M(2m,m)， N(2n,-n)，其中 m>0， n>0.∵P为线段 MN的中点， ∴P m+n,m-n2? ? ，将点 P的坐标代入双曲线 C的方程得 (m+n)24 - (m-n)24 =1，解得 mn=1.设 ∠MON=2θ，则 tanθ= 12 .又 tanθ= sinθcosθ = 12 ， sin2θ+cos2θ=1， 0<θ< π2 ，∴sinθ= 55 ， cosθ= 2 55 ，∴sin2θ=2sinθcosθ= 45 .又 OM? ? = 5m， ON? ? = 5n，∴S△MON= 12 OM? ? ? ON? ? ?sin2θ= 12 × 5m? 5n? 45 =2mn=2，∴△MON的面积为定值 2.【点评】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点 M， N的坐标，设∠MON=2θ，得出 mn=1和 sin2θ.2. (1)x24 -y2=1； (2)存在； QM??? ?QN?? = 27364 ；定点 Q 238 ,0? ? ．【分析 】 (1)由已知得到 a、 b、 c的方程组，解出 a、 b、 c，即可求出双曲线 C的方程；(2)设直线 l的方程为 x=my+1，设定点 Q t,0? ? ，联立方程组 ，用“设而不求法”表示出 QM??? ?QN?? 为常数，求出 t，即可求出定点 Q.【解析】 (1)由题意， 16a2 - 3b2 =1ca = 52 ,a2+b2=c2??????? ，解得 a2=4， b2=1．第 162页 共 377页
∴双曲线方程为 x24 -y2=1；(2)设直线 l的方程为 x=my+1，设定点 Q t,0? ? ，联立 x24 -y2=1x=my+1,??? ，得 m2-4? ?y2+2my-3=0．∴m2-4≠0，且 △=4m2+12 m2-4? ? >0，解得 m2>3且 m2≠4．设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，∴y1+y2=- 2mm2-4 ， y1y2=- 3m2-4 ，∴x1+x2=m y1+y2? ? +2=- 2m2m2-4 +2= -8m2-4 ，x1x2= my1+1? ? my2+1 ? =m2y1y2+m y1+y2? ? +1=- 3m2m2-4 - 2m2m2-4 +1=-4m2+4m2-4 =-4- 20m2-4．∴QM??? ?QN?? = x1-t,y1? ? ? x2-t,y2? ? = x1-t? ? x2-t ? +y1y2=x1x2-t x1+x2? ? +t2+y1y2=-4- 20m2-4 +t 8m2-4 - 3m2-4 +t2=-4+t2+ 8t-23m2-4为常数， 与 m无关，∴8t-23=0，即 t= 238 ，此时 QM??? ?QN?? = 27364 ．∴在 x轴上存在定点 Q 238 ,0? ? ，使得 QM??? ?QN?? 为常数．【点评】 (1)待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；(2)“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题 .3. (1)x2-y2=1； (2)① k=0；② A 2,1? ? ,λ= 2 或者 A - 2,1? ? ,λ=- 2.【分析 】 (1)由题意 a=b，代入已知点建立方程，解之可得双曲线 C的标准方程 .(2)①由对称性可设 E x,y? ? ,F -x,-y? ? ，且 x≥1， 运用向量数量积的坐标运算表示 BE?? ?BF?? =-x2-y2+1，又由 y2=x2-1可得 BE?? ?BF?? =2 1-x2? ? ≤0，由此可得 ∠EBF最小时， k的值 .②设 A m,n? ? ,过点 B的动直线为： y=tx+1.设 P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ,与双曲线的方程联立得 1-t2? ?x2-2tx-2=0， 根据根的判别式和根与系数的关系可求得 t2<2且 t2≠1，由直线的斜率公式得 tx1+1-nx1-m+ tx2+1-nx2-m =λ，再由恒等式的思想可求得点 A的坐标及实数 λ的值 .【 解析】 (1)由题意 a=b，且 54a2 - 14b2 =1解得 a=b=1，所以双曲线 C的标准方程为 x2-y2=1.(2)①由对称性可设 E x,y? ? ,F -x,-y? ? ，且 x≥1， 则 BE?? ?BF?? = x,y-1? ? ? -x,-y-1? ? =-x2-y2+1，因为 E点在双曲线 C上 ，所以 x2-y2=1，所以 y2=x2-1，所以 BE?? ?BF?? =2 1-x2? ? ≤0，当 x? ? =1时， BE?? ?BF?? =0,∠EBF为直角，当 x? ? >1吋， BE?? ?BF?? <0,∠EBF为钝角 .因此， ∠EBF最小时， x? ? =1,k=0.②设 A m,n? ? ,过点 B的动直线为： y=tx+1.第 163页 共 377页
设 P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ,联立 x2-y2=1y=tx+1??? 得 1-t2? ?x2-2tx-2=0，所以 1-t2≠0Δ=4t2+8 1-t2? ? >0x1+x2=- -2t1-t2 ?x1x2=- 21-t2????????? ，由 1-t2≠0且 Δ>0， 解得 t2<2且 t2≠1，kAP+kAQ=λ，即 y1-nx1-m + y2-nx2-m =λ,即 tx1+1-nx1-m + tx2+1-nx2-m =λ，化简得 2t-λ? ?x1x2+ -mt+1-n+λm? ? x1+x2 ? -2m+2mn-λm2=0，所以 2t-λ? ? -21-t2 + -mt+1-n+λm? ? 2t1-t2 -2m+2mn-λm2=0，化简得 λm2-2mn? ?t2+2 λm-n-1? ?t+2λ-2m+2mn-λm2=0，由于上式对无穷多个不同的实数 t都成立 ，所以 λm2-2mn=0λm-n-1=02λ-2m+2mn-λm2=0???如果 m=0,那么 n=-1,此时 A 0,-1? ? 不在双曲线 C上， 舍去 .因此 m≠0,从而 m2=2n,代入 m2=n+1解得 n=1,m=± 2.此时 A ± 2,1? ? 在双曲线 C上 .综上， A 2,1? ? ,λ= 2,或者 A - 2,1? ? ,λ=- 2.【点评 】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去 .4. (1)x24 - y25 =1； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)当 BF2⊥l时，由勾股定理和三角形面积公式可得 BF1? ? ? BF2? ? =10， 再由双曲线定义，即可得出结果 .(2)当直线 l与 y轴垂直时，点 M与原点 O重合 ,求出定值；当直线 l与 y轴不垂直时，设直线 l的方程为 x=ty-3，由渐近线可得 - 52 < 1t < 52 ，联立直线与双曲线方程 ，由韦达定理结合向量知识，即可得出定值 .【解析】 (1)当 BF2⊥l时， BF1? ? 2+ BF2? ? 2=4c2， S△BF1F2= 12 BF1? ? ? BF2? ? =5，可得 BF1? ? ? BF2? ? =10．由双曲线的定义可知 ， BF1? ? - BF2? ? =2a，两边同时平方可得， BF1? ? 2+ BF2? ? 2-2BF1? ? ? BF2? ? =4a2，所以 4c2-2×10=4a2．①又双曲线的离心率为 32 ，所以 ca = 32 ．②由①②可得， a2=4， c2=9， 所以 b2=9-4=5，所以双曲线的标准方程为 x24 - y25 =1．(2)当直线 l与 y轴垂直时， 点 M与原点 O重合，第 164页 共 377页
此时 MA? ? = MB? ? =2， AF1? ? =1， BF1? ? =5，所以 λ=2， μ=- 25 ， λ+μ= 85 ．当直线 l与 y轴不垂直时， 设直线 l的方程为 x=ty-3， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，由题意知 t≠0且 - 52 < 1t < 52 ，将直线 l的方程与双曲线方程联立， 消去 x得， 5t2-4? ?y2-30ty+25=0，则 Δ=900t2-4× 5t2-4? ? ×25>0， y1+y2= 30t5t2-4 ， y1y2= 255t2-4．易知点 M的坐标为 0, 3t? ? ，则由 MA?? =λAF1?? ，可得 x1,y1- 3t? ? =λ -3-x1,-y1? ? ，所以 λ= 3ty1 -1，同理可得 μ= 3y2t -1．所以 λ+μ= 3ty1 -1+ 3y2t -1= 3t ? y1+y2y1y2 -2= 85 ．综上， λ+μ为定值 85 ．【点评 】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略 .本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目 .5. (1)2 2x-y-6 2=0； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)设直线 PQ方程为 x=my+3， P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ? ，根据条件得出 00255m2-4 <0Δ= 30m? ? 2-4×25× 5m2-4? ? >0????????? ， ?0
∴直线 l方程为 x= 24 y+3?2 2x-y-6 2=0(2)由方程可得 A -2,0? ? ,B 2,0? ? ，设 P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ?则 kPA?kPB= y1x1+2 × y1x1-2 = y12x12-4 = 54 x12-4? ?x12-4 = 54 ，所以 k1=kAP= 54kPB ,所以 k1k2 = 54kPB?k2 = 54kPB?kPQ要证 k1k2 为定值， 只需证 54kPB?kBQ 为定值由 (1)可知 y1+y2= -30m5m2-4 ， y1y2= 255m2-4kBP?kBQ= y1x1-2 ? y2x2-2 = y1y2my1+1? ? my2+1 ?= 255m2-4m2y1y2+m y1+y2? ? +1 = 255m2-4m2? 255m2-4 +m? -30m5m2-4 +1= 2525m2-30m2+5m2-4 =-254∴ k1k2 = 54 ? - 425? ? =- 15 为定值．【点评 】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出 kPA?kPB= y1x1+2 × y1x1-2 = y12x12-4 = 54 x12-4? ?x12-4 = 54 ，所以 k1=kAP= 54kPB ,所以 k1k2 = 54kPB?k2= 54kPB?kPQ ，要证 k1k2 为定值， 只需证 54kPB?kBQ 为定值， 属于中档题 .6. 证明见解析 .【分析】过圆上一点作切线，找到切线方程是关键，分切线的斜率不存在时切线方程为 x=± 2，切线的斜率存在时 ，设切线方程为 y=kx+b，则 |b|1+k2 = 2 分析， 联立化简，求出 x1x2+y1y2=0即可 .【解析】当切线的斜率不存在时，切线方程为 x=± 2.当 x= 2 时， 代入双曲线方程，得 y=± 2，即 A 2, 2? ? ， B 2， - 2? ? ，此时 ∠AOB=90°，同理，当 x=- 2 时， ∠AOB=90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为 y=kx+b，则 |b|1+k2 = 2，即 b2=2 1+k2? ? .由直线方程和双曲线方程消掉 y，得 2-k2? ?x2-2kbx- b2+2? ? =0，由直线 l与双曲线交于 A， B两点 .故 2-k2≠0.设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? .则 x1+x2= 2kb2-k2 ,x1x2= -b2+22-k2 ，y1y2= kx1+b? ? kx2+b ? =k2x1x2+kb x1+x2? ? +b2= -k2b2-2k22-k2 + 2k2b22-k2 + 2b2-k2b22-k2 = 2b2-2k22-k2 ，第 166页 共 377页
故 x1x2+y1y2= -b2-22-k2 + 2b2-2k22-k2 = b2-2-2k22-k2 ，由于 b2=2 1+k2? ? ，故 x1x2+y1y2=0，即 OA?? ?OB?? =0， ∠AOB=90°.综上可知，若 l交双曲线于 A， B两点，则 ∠AOB的大小为定值 90°.【点评】本题考查双曲线的标准方程，圆的切线方程，直线与双曲线的位置关系，此类问题可以先取特殊 值探索，比如此题中，可以先分析切线斜率不存在的情况，然后有针对性的验证 x1x2+y1y2=0即可 .7. (1)x2- y22 =1； (2)证明见解析； (3)证明见解析．【分析】 (1)设 F2， M的坐标，利用点 M在双曲线 C上， ∠MF1F2=30°，可得 |MF1|-|MF2|=b2=2，利用双曲线的定义，可得双曲线 C的方程；(3)确定两条渐近线方程，设双曲线 C上的点 P(x0， y0)，求出点 P到两条渐近线的距离，利用 P(x0， y0)在双曲线 C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．(3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，切线 l的方程为： x0x+y0y=2代入双曲线 C中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．【解析】 (1)设 F2， M的坐标分别为 ( 1+b2,0),( 1+b2,y0)因为点 M在双曲线 C上， 所以 1+b2- y02b2 =1，即 y0=±b2，所以 |MF2|=b2在 Rt△MF2F1中， ∠MF1F2=30°， |MF2|=b2，所以 |MF1|=2b2由双曲线的定义可知： |MF1|-|MF2|=b2=2故双曲线 C的方程为： x2- y22 =1(3) 由条件可知： 两条渐近线分别为 l1: 2x-y=0， l2: 2x+y=0设双曲线 C上的点 P(x0， y0)，则点 P到两条渐近线的距离分别为 |PP1??|= | 2x0-y0|3 ， |PP2??|=| 2x0+y0|3所以 |PP1??||PP2??|= |2x02-y02|3因为 P(x0， y0)在双曲线 C上， 所以 2x02-y02=2故 |PP1??||PP2??|= 23设 PP1?? 和 PP2?? 的夹角为 θ，则由 tanπ-θ2 = 2，可得 cosθ= 13所以 PP1?? ?PP2?? =|PP1??||PP2??|cosθ= 29(3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，切线 l的方程为 ： x0x+y0y=2①当 y0≠0时，切线 l的方程代入双曲线 C中，化简得： (2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0所以： x1+x2=- 4x0(2y02-x02),x1x2=- (2y02+4)(2y02-x02)又 y1y2= (2-x0x1)y0 ? (2-x0x2)y0 = 1y02 [4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]= 8-2x022y02-x02所以 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=- (2y02+4)(2y02-x02) + 8-2x022y02-x02 = 4-2(x02+y02)2y02-x02 =0②当 y0=0时， 易知上述结论也成立． 第 167页 共 377页
所以 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=0所以 OA⊥OB【点评】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8. (1)x2- y23 =1； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)利用双曲线过点 2,3? ? ，两条渐近线的夹角为 60°， 列出方程组解出即可；(2)设 A x0,y0? ? ，由双曲线的对称性 ，可得 B的坐标，设 P x,y? ? ，结合题意 ，又由 A、 B在双曲线上，可得 y20=3x20-3，将其坐标代入 kPA?kPB中，计算可得答案 .【解析】 (1)由题意，双曲线 C： x2a2 - y2b2 =1过点 2,3? ? ，两条渐近线的夹角为 60°，可得 4a2 - 9b2 =1ba = 3????? ，解得 a=1， b= 3，或 4a2 - 9b2 =1ba = 33????? ，无解．所以双曲线的方程为 x2- y23 =1．(2)设 A x0,y0? ? ，由双曲线的对称性 ，可得 B -x0,-y0? ? ，设 P x,y? ? ，则 kPA?kPB= y-y20x2-x20 ，因为 y20 =3x20-3， y2=3x2-3，所以 kPA?kPB= y-y20x2-x20 =3，即 kPA?kPB为定值 3．【点评 】关键点点睛： (1)根据渐近线的夹角得到 ba = 3 或者 ba = 33 两种情形；(2)双曲线上点的坐标满足双曲线的方程，利用整体代换 .9. (1)x24 - y212 =1； (2)|PB||BQ| =1【分析 】 (1)将点 A(-4,6)， b= 3a代入 x2a2 - y2b2 =1，求出 a2， 进一步得出 b2，即求 .(2)设直线 MN所在的直线方程，与双曲线方程联立，设出 M,N的坐标，写出 MA,NA所在的直线方程，求出 P,Q的纵坐标，结合根与系数的关系可得 yP? ? = yQ? ? ，从让他可得 |PB||BQ| = yP? ?yQ? ? =1.【 解析】 (1)将点 A(-4,6)， b= 3a代入 x2a2 - y2b2 =1，可得 16a2 - 363a2 =1，解得 a2=4， 则 b2=3a2=12，∴双曲线的方程为 x24 - y212 =1.(2)由题意可知，直线 MN的斜率存在，设直线 MN的方程为 y=k x+1? ? ， 第 168页 共 377页
联立 y=k x+1? ?x24 - y212 =1??? ，可得 3-k2? ?x2-2k2x-k2-12=0，由 Δ=4k4+4 3-k2? ? k2+12 ? >0，解得 -2
10.(1) 306 ； (2)(i)t2=1+k2； (ii)∠AOB为定值 90°．【分析】 (1)设 Q(a,b)为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；(2)设直线 l的方程为 y=kx+t，由直线和圆相切可得 t2=1+k2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立双曲线的方程，消去 y可得 x的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得 ∠AOB为定值．【解析】 (1)设 Q x0,y0? ? 为双曲线上的点， 则 2x20-y20 =1，则 |PQ|= x20+ y0-1? ? 2 = 32y20 -2y0+ 32 = 32 y0- 23? ? 2+ 56 ，当 y0= 23 时 |PQ|最小 ，且为 306 ，所以点 P(0,1)到从曲线 C上点的距离的最小值为 306 ；(2)①设直线线 l的方程为 y=kx+t，由直线 l与圆相切 ，可得 d= |t|1+k2 =1，即 t2=1+k2，②设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，联立得 y=kx+t2x2-y2=1? 2-k2? ?x2-2ktx-t2-1=0??? ，则 2-k2≠0,x1+x2= 2kt2-k2 ,x1x2=- t2+12-k2 =-2+k22-k2 ，所以 y1y2= kx1+t? ? kx2+t ? =k2x1x2+kt x1+x2? ? +t2= -k2t2-k2+2k2t2+2t2-k2t22-k2 = 2t2-k22-k2 = 2+k22-k2 ，所以 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=-2+k22-k2 + 2+k22-k2 =0，所以 ∠AOB为定值 90°．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方 程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．11. (1)[ 3+ 2,+∞)， 理由见解析； (2)证明见解析 .【分析】 (1)由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；(2)由点到直线的距离求出 |PQ|， |PR|，求积后由双曲线方程化简即可 .【解析】 (1)双曲线渐近线方程为 y=± 33 x，又 b=1， 所以 a2=3，双曲线的标准方程为 x23 -y2=1，则 F(- 2,0)，设 P(x0,y0)， x0∈[ 3,+∞)则 |PF|2=(x0+ 2)2+y20 =(x0+ 2)2+ x203 -1= 43x20+2 2x0+1所以 |PF|2≥5+2 6?所以 |PF|的取值范围是 [ 3+ 2,+∞)(2)因为 |PQ|?|PR|= |x0- 3y0|2 ? |x0+ 3y0|2 = |x20-3y20|4又 x203 -y20 =1，所以 |PQ|?|PR|= 34 为定值 .【点评 】关键点点睛： P(x0,y0)，利用点到直线的距离求出 |PQ|?|PR|= |x0- 3y0|2 ? |x0+ 3y0|2 =第 170页 共 377页
|x20-3y20|4 后， 根据点 P(x0,y0)在双曲线上，化简求值是解题关键 .12.(1)x24 -y2=1； (2)证明见解析， △MON面积为 2.【分析】 (1)根据题意可得关于 a、 b、 c的方程组，求出 a2、 b2的值，由此可得出双曲线 C的标准方程；(2)设直线 l的方程 y=kx+m，将直线 l的方程与双曲线 C的方程联立，由 Δ=0可得出 k、 m所满足的等式，求出点 M、 N的坐标，利用三角形的面积公式可计算出 △MON的面积 .【解析】 (1)设双曲线 C的焦距为 2c c>0? ? ，由题意可得： 2c=2 5c2=a2+b28a2 - 1b2 =1? a2=4b2=1?????????? ，则双曲线 C的方程为 x24 -y2=1；(2)由于直线 l与双曲线 C右支相切 (切点不为右顶点 )，则直线 l的斜率存在 ，设直线 l的方程为 y=kx+m，则 y=kx+mx24 -y2=1??? 消 y得 4k2-1? ?x2+8kmx+4m2+4=0，Δ=64k2m2-4 4k2-1? ? 4m2+4 ? =0?4k2=m2+1，①设 l与 x轴交于一点 D， OD? ? =-mk ，S△OMN=S△MOD+S△NOD= 12OD× yM-yN? ? = -m2k k? ? ? xM-xN? ? ，双曲线两条渐近线方程为： y=± 12x，联立 y= 12xy=kx+m?M 2m1-2k, m1-2k? ???? ，联立 y=- 12xy=kx+m?N -2m2k+1, m2k+1? ???? ，则 S△MON= -m2k ? k? ? ? 2m1-2k + 2m1+2k? ? = -m2k ? k? ? ? 4m1-4k2? ? = 12 ? mk? ? ? k? ? ? 4m-m2? ? =2(定值 ).【点评 】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出 4k2=m2+1，并求出点 M、 N的坐标，再结合三角形的面积计算出 S△OMN为定值 .13.(1)x28 + y24 =1； (2)存在， 定值为： 6 2.【分析 】 (1)根据椭圆定义即可求出结果； (2)设 N x0,y0? ? 得直线 NR,NQ的斜率乘积 k1k2= 12 ，利用点斜式方程设出直线 NR， NQ的方程，与 (1)的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出 |AB|，|CD|的长度，然后求和，通过计算可得出结果．【解析】 (1)依题意： |MP|=|MR|，且 |MR|+|MQ|=|MQ|+|MP|=|PQ|=4 2>4=|RQ|，由椭圆定义知点 M的轨迹为以 R， Q为焦点 ，长轴长为 4 2，焦距为 4的椭圆 ，即： a=2 2,c=2,b=2，故 Γ: x28 + y24 =1.(2)设 N x0,y0? ? ，则 x204 - y202 =1,x0≠±2，∴直线 NR,NQ的斜率都存在，分别设为 k1,k2，第 171页 共 377页
则 k1k2= y0x0+2 ? y0x0-2 = y20x20-4 = x202 -2x20-4 = 12 ，将直线 NR的方程 y=k1(x-2)代入 x28 + y24 =1得 2k21+1? ?x2-8k21x+8k21-8=0，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 x1+x2= 8k212k21+1,x1x2= 8k21-82k21+1 ，∴|AB|= 1+k21 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 =4 2? k21+12k21+1 ，同理可得 |CD|=4 2? k22+12k22+1 ，∴|AB|+|CD|=4 2 k21+12k21+1 + k22+12k22+1? ? =4 2 k21+12k21+1 + 14k21 +112k21 +1????? ? ? ? ? ?=4 2? 32 2k21+1? ?2k21+1 =6 2【点评 】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．14.(1)k的取值范围为 (-1,1)； x2-x1取最小值 2 2； (2)是定值； 证明见解析 .【分析】 (1)根据直线与圆相切，可得 m2+1+k2，联立直线与双曲线，根据 x1x2<0可得 k的范围，根据韦达定理以及 x2-x1= x1+x2? ? 2-4x1x2 可得最小值；(2)根据斜率公式以及韦达定理，将 k1?k2变形化简可得结果 .【解析】 (1)∵l与圆相切， ∴1= m? ?1+k2 ， ∴m2=1+k2，由 y=kx+mx2-y2=1??? ，得 (1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0，∴ 1-k2≠0Δ=4m2k2+4 1-k2? ? m2+1 ? =4 m2+1-k2? ? =8>0x1?x2= m2+1k2-1 <0??????? ，∴k2<1,∴-1
又因为 m2=1+k2，所以 m2-k2=1，∴k1?k2= -13-2 2 =-(3+2 2)为定值 .【点评 】本题考查了直线与圆相切，考查了直线与双曲线相交，考查了斜率公式、韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题 . 第 173页 共 377页
专题 19：双曲线的定直线问题参考答案1. (1)x2- y23 =1； (2)存在， x= 12 .【分析 】 (1)由离心率可得 c=2a， b= 3a，设直线 l的方程为 y=x+a， 将直线与双曲线方程联立求出点B(2a,3a)，根据三角形的面积即可求解 .(2)设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，设直线 MN的方程为 x=my+2，则直线 A1M的方程为 y= y1x1+1(x+1)，直线 A2N的方程为 y= y2x2-1(x-1)，求出两直线的交点 Q的横坐标 ，将直线 MN与双曲线联立，利用韦达定理代入 Q的横坐标表达式，化简即可求解 .【解析】 (1)设双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2c，因为离心率为 2，所以 c=2a， b= 3a，联立 y=x+ax2a2 - y23a2 =1??? ，得 ： x2-ax-2a2=0，所以点 B的坐标为 (2a,3a)，因为 F(2a,0)，所以 △A1BF的面积为 12 ×3a×3a= 92 ，所以 a2=1，双曲线的方程为 x2- y23 =1.(2)设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，直线 MN的方程为 x=my+2，直线 A1M的方程为 y= y1x1+1(x+1)，直线 A2N的方程为 y= y2x2-1(x-1)，联立 y= y1x1+1(x+1)y= y2x2-1(x-1)??????? ，所以点 Q的横坐标为 xQ= x1y2+x2y1-y1+y2x1y2-x2y1+y1+y2 ，，联立 x=my+2x2- y23 =1??? ，得 ： 3m2-1? ?y2+12my+9=0，y1+y2=- 12m3m2-1 ， y1y2= 93m2-1 ，所以 xQ= x1y2+x2y1-y1+y2x1y2-x2y1+y1+y2 = my1+2? ?y2+ my2+2? ?y1-y1+y2my1+2? ?y2- my2+2? ?y1+y1+y2= 2my1y2+3y2+y13y2-y1 = 2m× 93m2-1 +3y2+ -12m3m2-1 -y23y2- -12m3m2-1 -y2? ? = 2y2+ 6m3m2-14y2+ 12m3m2-1 = 12 ，直线 A1M与直线 A2N的交点 Q在直线 x= 12 上 .【点评 】本题解题的关键是求出直线 MN与直线 A2N的交点 Q的横坐标 xQ= x1y2+x2y1-y1+y2x1y2-x2y1+y1+y2 ，， 考查了运算求解能力 .2. (1)2 5x-y-4 5=0或 2 5x+y-4 5=0； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)设直线 l的方程为 x=my+2并联立双曲线根据韦达定理可得 y1与 y2关系，结合 CN?? =3ND??可得 y1=-3y2，从而求得 m值得直线方程；(2)列出直线 AC与 BD方程，并求点 P坐标得 xP= 12 ，故得证 .第 174页 共 377页
【解析 】设直线 l的方程为 x=my+2，设 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? ，把直线 l与双曲线 E联立方程组 ， x=my+2x2- y24 =1??? ，可得 4m2-1? ?y2+16my+12=0，则 y1+y2=- 16m4m2-1,y1y2= 124m2-1 ，(1)CN?? = 2-x1,-y1? ? ， ND?? = x2-2,y2? ? ，由 CN?? =3ND?? ，可得 y1=-3y2，即 y2= 8m4m2-1 ①， -3y22 = 124m2-1 ②，把①式代入②式 ，可得 -3 8m4m2-1? ? 2= 124m2-1 ，解得 m2= 120 ， m=± 510 ，即直线 l的方程为 2 5x-y-4 5=0或 2 5x+y-4 5=0．(2)直线 AC的方程为 y= y1x1+1 x+1? ? ，直线 BD的方程为 y= y2x2-1 x-1? ? ，直线 AC与 BD的交点为 P， 故 y1x1+1 x+1? ? = y2x2-1 x-1? ? ，即 y1my1+3 x+1? ? = y2my2+1 x-1? ? ，进而得到 x+1x-1 = my1y2+3y2my1y2+y1 ，又 y1y2=- 34m y1+y2? ? ，故 x+1x-1 = - 34 y1+y2? ? +3y2- 34 y1+y2? ? +y1 = -3y1+9y2y1-3y2 =-3， 解得 x= 12故点 P在定直线 x= 12 上．【点评 】直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解 .3. (1) 5； (2)详见解析； (3)详见解析 .【解析】 (1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为 e= a2+4a = 3 55 ，由于 a>0， 解得 a= 5，故双曲线 E的方程为 x25 - y24 =1；(2)设点 P的坐标为 53 ,y? ? ，点 Q的坐标为 x0,y0? ? ，易知点 F2 3,0? ? ，则 PF2?? = 3,0? ? - 53 ,y? ? = 43 ,-y? ? ， QF2?? = 3,0? ? - x0,y0? ? = 3-x0,-y0? ? ，∴PF2?? ?QF2?? = 43 3-x0? ? + -y? ? ? -y0? ? =0?y= 4 x0-3? ?3y0 ，因此点 P的坐标为 53 ,4 x0-3? ?3? ? ，故直线 PQ的斜率 kPQ= y0-yx0- 53 = y0- 4 x0-3? ?3y0x0- 53 = 3y20 -4x0+123x0-5? ?y0 ，直线 OQ的斜率为 kOQ= y0x0 ，因此直线 PQ与直线 OQ的斜率之积为 kPQ?kOQ= 3y20 -4x0+123x0-5? ?y0 ? y0x0 = 3y20 -4x0+123x20-5x0 ，由于点 Q x0,y0? ? 在双曲线 E上， 所以 x205 - y204 =1，所以 y20 = 4 x20-5? ?5 ，于是有 kPQ?kOQ= 3y20 -4x0+123x20-5x0 = 3× 4 x20-5? ?5 -4x0+123x20-5x0 = 12 x20-5? ? -20x0+6015x20-25x0= 12x20-20x015x20-25x0 = 4x0 3x0-5? ?5x0 3x0-5? ? = 45 (定值 )；(3)证法一： 设点 H x,y? ? 且过点 P 53 ,1? ? 的直线 l与双曲线 E的右支交于不同的两点 M x1,y1? ? 、N x2,y2? ? ，由 (2)知， y21 = 45 x21-5? ? ， y22 = 45 x22-5? ? ，第 175页 共 377页
设 PM? ?PN? ? = MH? ?HN? ? =λ，则 {PM?? =λPN??MH?? =λHN?? ，即 x1- 53 ,y1-1? ? =λ x2- 53 ,y2-1? ?x-x1,y-y1? ? =λ x2-x,y2-y? ? ，???整理得 x1-λx2= 53 1-λ? ? ,①y1-y2=1-λ,②x1+λx2=x 1+λ? ? ,③y1+λy2=y 1+λ? ? ,④ ，?????????由① ×③， ② ×④得， x21-λ2x22= 53 1-λ2? ?x,⑤y21 -λ2y22 = 1-λ2? ?y,⑥ ，???将 y21 = 45 x21-5? ? ， y22 = 45 x22-5? ? ，代入⑥得 y= 45 × x21-λx221-λ2 =-4， ⑦，将⑦代入⑤得 y= 43x-4，即点 H恒在定直线 4x-3y-12=0上；证法二：依题意，直线 l的斜率 k存在，设直线 l的方程为 y-1=k x- 53? ? ，由 y-1=k x- 53? ?x25 - y24 =1 ，???????消去 y得 9 4-5k2? ?x2+30 5k2-3k? ?x-25 5k2-6k+9? ? =0，因为直线 l与双曲线 E的右支交于不同的两点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，则有 Δ=900 5k2-3k? ? 2+900 4-5k2? ? 5k2-6k+9 ? >0,①x1+x2= 30 5k2-3k? ?9 5k2-4? ? ,②x1x2= 25 5k2-6k+9? ?9 5k2-4? ? ,③ ，?????????设点 H x,y? ? ，由 PM? ?PN? ? = MH? ?HN? ? ，得 x1- 53x2- 53 = x-x2x-x1 ，整理得 6x1x2- 3x+5? ? x1+x2 ? +10x=0，将②③代入上式得 150 5k2-6k+9? ?9 5k2-4? ? - 30 3x+5? ? 5k2-3k ?9 5k2-4? ? +10x=0，整理得 3x-5? ?k-4x+15=0， ④因为点 H在直线 l上，所以 y-1=k x- 53? ? ，⑤联立④⑤消去 k得 4x-3y-12=0，所以点 H恒在定直线 4x-3y-12=0.考点： 1.双曲线的离心率； 2.向量的坐标运算； 3.斜率公式； 4.韦达定理4. 9 第 176页 共 377页
专题 20：双曲线的范围问题参考答案1. (1)x23 -y2=1； (2) -1,- 33? ? ∪ 33 ,1? ?【解析 】 (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? ，则 a2=3， c2=4，再由 a2+b2=c2， 得 b2=1.故 C2的方程为 x23 -y2=1(2)将 y=kx+ 2 代入 x23 -y2=1，得 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0由直线 l与双曲线 C2交于不同的两点 ，得1-3k2≠0△= -6 2k? ? 2+36 1-3k2? ? =36 1-k2? ? >0???∴k2≠ 13 且 k2<1①设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1+x2= 6 2k1-3k2 ,x1x2=- 91-3k2∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2) kx2+ 2? ?=(k2+1)x1x2+ 2k x1+x2? ? +2= 3k2+73k2-1又 ∵OA?? ?OB?? >2，得 x1x2+y1y2>2，∴ 3k2+73k2-1 >2，即 -3k2+93k2-1 >0，解得 13
∴ a= 3c=2??? ,所以双曲线的方程为 x23 -y2=1.(II)由 (I)知 A -2,0? ? ,设 D x0,y0? ? ,E x1,y1? ? ,∴AE?? = x1+2,y1? ? ,ED?? = x0-x1,y0-y1? ? ,则由 AE?? =λED?? ,可得 x1= λx0-21+λ ,y1= λy01+λ,∵E在双曲线上∴ x213 -y21 =1,∴ -2+λx0? ? 2-3 λy0? ? 2=3(1+λ)2,∵D在双曲线∴3y20 =x20-3代入上式可得 ,x0= 1-6λ4λ∵x0≥ 3=a∴ 1-6λ4λ ≥ 3∴λ≤ 16+4 3 = 33 - 12∵D在双曲线的左支 ,点 D在右支∴0<λ≤ 33 - 12 .【点评 】本题主要考查了利用双曲线的性质、求解双曲线的方程以及双曲线的性质的应用 ,属于综合试题. 求解双曲线方程的题型一般步骤： (1)判断焦点位置； (2)设方程； (3)列方程组求参数； (4)得结论 .3. (1) 62 , 2??? ? ； (2)x0x+y0y=b2； (3)b3 a2-b2a2 ．【解析 】 (1)因为 a>b>0，所以 ba <1，所以 e= ca = a2+b2a = 1+ ba? ? 2 < 2．由 ∠APB=90°及圆的性质，可知四边形 PAOB是正方形，所以 OP? ? = 2b．因为 OP? ? = 2b≥a，所以 ba ≥ 22 ，所以 e= ca = a2+b2a = 1+ ba? ? 2 ≥ 62 ．故双曲线离心率 e的取值范围为 62 , 2??? ? ．(2)因为 PA2=OP2-OA2=x02+y02-b2，所以以点 P为圆心， PA? ? 为半径的圆 P的方程为 x-x0? ? 2+ y-y0? ? 2=x02+y02-b2．因为圆 O与圆 P两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB，所以联立方程组 x2+y2=b2x-x0? ? 2+ y-y0? ? 2=x02+y02-b2??? ，消去 x2， y2，即得直线 AB的方程为 x0x+y0y=b2．(3)由 (2)知，直线 AB的方程为 x0x+y0y=b2，所以点 O到直线 AB的距离为 d= b2x02+y02 ．因为 AB? ? =2 OA? ? 2-d2 =2 b2- b4x02+y02 = 2b x02+y02-b2x02+y02 ，第 178页 共 377页
所以三角形 OAB的面积 S= 12 × AB? ? ×d= b3 x02+y02-b2x02+y02 ．以下给出求三角形 OAB的面积 S的三种方法：因为点 P x0,y0? ? 在双曲线 x2a2 - y2b2 =1上，所以 x02a2 - y02b2 =1，即 y20 = b2x20-a2b2a2 x02≥a2? ? ．设 t= x02+y02-b2 = 1+ b2a2? ? x02-2b2 ≥ a2-b2，所以 x2a2 - y2b2 =1．因为 S?= -b3 t+b? ? t-b ?t2+b2? ? 2 ，所以当 00， 当 t>b时， S?>0．所以 x2a2 - y2b2 =1在 0,b? ? 上单调递增， 在 b,+∞? ? 上单调递减．当 a2-b2 ≤b，即 b 2b时， S最大值 = b3× a2-b2a2-b2? ? 2+b2 = b3 a2-b2a2 ．综上可知， 当 b 2b时， S最大值 = b3 a2-b2a2 ．4. (Ⅰ )b2=2 k2+1? ? k≠1 ? ； (Ⅱ )y=± 2x± 6； (Ⅲ ) 3 10,3 34? ? .【解析 】 (Ⅰ )∵圆 O:x2+y2=2， ∴d= b? ?k2+1 = 2?b2=2 k2+1? ? k≠1 ? ；(Ⅱ )设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，由 y=kx+bx2-y2=1??? ，得 1-k2? ?x-2kb- b2+1? ? =0，∴x1+x2= 2kb1-k2 ， x1x2=-b2+11-k2 ，∴OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=x1x2+ kx1+b? ? kx2+b ? = k2+1? ?x1x2+kb x1+x2? ? +b2= 1+k2? ? -b2+11-k2? ? +kb? 2kb1-k2 +b2=k2+1，∴k2=2， k=± 2， b=± 6，因此 ，直线 l的方程为 y=± 2x± 6；(Ⅲ )由 (Ⅱ )知： - 11-k2 =m， ∴k2=1+ 1m 于是 b2-k2=k2+2，∴ AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 ? 2 b2-k2+11-k2? ? ，又 O到 AB的距离 d= 2，∴SΔAOB= 12 AB? ? ?d= 2 4m+1? ? 2m+1 ? = 2 8 m+ 32? ? 2-17??? ? ? ? ∈ 3 10,3 34? ? .5. (1)3x2-y2=12； (2)24.【解析】 1? ? 因为 e= ca =2，所以 c=2a， b2=c2-a2=3a2．所以双曲线的方程为 x2a2 - y23a2 =1，即 3x2-y2=3a2．因为点 M 5， 3? ? 在双曲线上， 所以 15-3=3a2，所以 a2=4．所以所求双曲线的方程为 3x2-y2=12．2? ? 设直线 OP的方程为 y=kx k≠0? ? ，则直线 OQ的方程为 y=- 1kx，第 179页 共 377页
由 3x2-y2=12y=kx??? ，得 x2= 123-k2y2= 12k23-k2????? ，所以 |OP|2=x2+y2= 12 k2+1? ?3-k2 ．同理可得， |OQ|2= 12 1+ 1k2? ?3- 1k2 = 12 k2+1? ?3k2-1 ，所以 1|OP|2 + 1|OQ|2 = 3-k2+ 3k2-1? ?12 k2+1? ? = 2+2k212 k2+1? ? = 16 ．设 OP|2+? ?OQ|2=t，则 t? 1|OP|2 + 1|OQ|2? ? =2+ OQ? ?OP? ?? ? 2+ OP? ?OQ? ?? ? 2≥2+2=4，所以 t≥ 416 =24，即 OP|2+? ?OQ|2≥24(当且仅当 OP? ? = OQ? ? =2 3 时取等号 )．所以当 OP? ? = OQ? ? =2 3 时， OP|2+? ?OQ|2取得最小值 24．6. (1)x2- y24 =1； (2)b=3； (3)b> 3 且 b≠2.【分析 】 (1)求出双曲线 Γ的渐近线，与已知的渐近线比较后可得 b的值，从而得到双曲线的标准方程 .(2)在焦点三角形中利用勾股定理和双曲线的定义结合已知的面积可求 b的值 .(3)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，由题设可得 x1x2+y1y2<0， 联立直线方程和双曲线方程，消元利用韦达定理化简前者，可求 b的取值范围 .【解析】 (1)由双曲线 Γ： x2- y2b2 =1(b>0)可得其渐近线方程为 y=±bx，而 Γ的一条渐近线方程为 y=2x，故 b=2即 Γ的方程为： x2- y24 =1.(2)不妨设 P在第一象限， F1、 F2分别为左右焦点，则 PF1? ? - PF2? ? =2， F1 - 1+b2,0? ? ， F2 1+b2,0? ?而 PF1? ? 2+ PF2? ? 2= F1F2? ? 2=4+4b2，所以 2PF1? ? PF2? ? =4b2，所以 PF1? ? PF2? ? =2b2，故 △PF1F2的面积为 b2，所以 b2=9，因为 b>0，故 b=3.(3)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，因为坐标原点 O始终在以 AB为直径的圆内，故 ∠AOB为钝角，所以 OA?? ?OB?? <0即 x1x2+y1y2<0，故 x1x2+ 2x1+1? ? 2x2+1 ? <0即 5x1x2+2 x1+x2? ? +1<0.由 y=2x+1b2x2-y2=b2??? 可得 b2-4? ?x2-4x-1-b2=0，所以 x1+x2= 4b2-4,x1x2=-1+b2b2-4 ，又 Δ>0b2-4≠0??? ，故 16+4 b2-4? ? 1+b2 ? >0b≠±2??? ，故 b> 3 且 b≠2.又 5? -1+b2b2-4? ? +2? 4b2-4 +1<0可化简为 -5-5b2+8+b2-4<0，该不等式对任意的 b> 3 且 b≠2恒成立 .第 180页 共 377页
故 b> 3 且 b≠2.【点评 】方法点睛：(1)求双曲线的渐近线，可令等式右边的常数为零即可；(2)与焦点三角形有关的计算问题，可利用解三角形的方法来处理；(3)直线与双曲线的位置关系中的范围问题，可联立直线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到所求的范围，注意判别式和二次项式系数的要求 .7. (1)x2-y2=1； (2) MN? ?PQ? ? ∈ 1, 2? ? ．【分析 】 (1)依题意可得 a=b，所以得到 c= 2a，根据 △ABC的面积 12 × BC? ? × AF? ? = 2+1，计算可得 ；(2)联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到 1-k2≠0,Δ>0,xMxN<0,??? ，从而求出参数 k的取值范围 ，利用弦长公式表示出 MN? ? ， PQ? ? ，即可得到 MN? ?PQ? ? 的取值范围；【 解析】解： (1)因为双曲线 E: x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? 为等轴双曲线，所以 a=b， 设双曲线的焦距为 2c， c>0，故 c2=a2+b=2a2，即 c= 2a．因为 BC过右焦点 F，且垂直于 x轴 ，将 xB=c= 2a代入 x2a2 - y2b2 =1，可得 yB? ? =a，故 BC? ? =2a．将 △ABC的面积为 2+1，所以 12 × BC? ? × AF? ? = 2+1，即 12 ×2a× a+c? ? = 2+1，所以 a2=1， a=1，故双曲线 E的方程为 x2-y2=1．(2)依题意，直线 l:y=kx-1与双曲线 E的左，右两支分别交于 M， N两点，联立方程组 x2-y2=1,y=kx-1,??? 消去 y可得， 1-k2? ?x2+2kx-2=0，所以 1-k2≠0,Δ= 2k? ? 2-4 1-k2? ? × -2? ? >0,xMxN= -21-k2 <0,??????? 解得 -1
所以 MN? ?PQ? ? = 2 1+k2 ? 2-k21-k22 1+k21-k2 = 2-k2，其中 -10， 解得 3k2<2，又 63k2-1 <0，解得 3k2<1，综上可得， 0<3k2<1，即有 41-3k2 的范围是 (4,+∞)，可得直线 m与 y轴上的截距的取值范围为 (4,+∞).【点评】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用 ,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是 复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决 问题的能力等．9. (1)x24 - y25 =1； (2)-4.【 分析】 (1)依题意得到方程组，解得即可； 第 182页 共 377页
(2)设 P(x,y)(x≥2)，于是 PA1?? =(-2-x,-y),PF2?? =(3-x,-y)，根据平面向量数量积的坐标表示及 y2= 5x24 -5转化为二次函数， 根据二次函数的性质计算可得；【解析】解： (1)依题意有 ca = 32 ,8a2 - 5b2 =1.????? 又 c2=a2+b2， 所以 a2=4,b2=5，故双曲线的方程为 x24 - y25 =1.(2)由已知得 A1(-2,0),F2(3,0)，设 P(x,y)(x≥2)，于是 PA1?? =(-2-x,-y),PF2?? =(3-x,-y)，因此 PA1?? ?PF2?? =x2-x-6+y2=x2-x-6+ 54x2-5= 94x2-x-11= 94 x- 29? ? 2- 1009 ，由于 x≥2，所以当 x=2时 ， PA1?? ?PF2?? 取得最小值， PA1?? ?PF2??? ? min=-4.【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题 .10.(1)?x23 - y29 =1； (2)最小值为 55【分析 】 (1)根据题意可得 c=2a， b= 3a，根据周长可得 AF1+AF2=8 3，结合 AF1-AF2=2a，求解可得 a= 3， b=3，所以曲线 C的方程为 ： x23 - y29 =1；(2)求出与 l平行且与 C相切的直线， 利用平行直线间距离公式可得最小值．【解析】 (1)由题得 e= ca =2，所以 c=2a， b= 3a，又 F2 c,0? ? ，所以 A c, 3b? ? ， B c,- 3b? ? ， AF2= 3b，因为 △ABF1的周长为 16 3，所以 AF1+AF2=8 3 ①，又因为 AF1-AF2=2a②，① -②，得 2AF2=8 3-2a，即 2 3b=8 3-2a，解得 a= 3， b=3，所以曲线 C的方程为： x23 - y29 =1；(2)设与直线 l:3x-y+ 2=0平行且与 C相切的直线方程为 3x-y+m=0，由 3x-y+m=0x23 - y29 =1??? ?得 6x2+6mx+m2+9=0，则 Δ=36m2-24 m2+9? ? =0，解得 m=±3 2．设点 P到直线 l的距离为 d，则根据平行线间的距离公式可得 ， d= m-2 2? ?10 ，所以当 m=3 2 时， d取最小值为 55 .【点评 】本题考查双曲线标准方程的求法，曲线上的点到直线距离的最值问题等，求椭圆上的点到一条直线的距离的最值一般转化为求平行直线间的距离，属中档题．11. (1)k∈ -1,- 32? ? ∪ - 32 , 32? ? ∪ 32 ,1? ?(2) 32 第 183页 共 377页
【分析 】 (1)联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出 k的范围．(2)设出 P的坐标，利用 PA? ? 的表达式， 求出最小值即可 .【解析】解： (1)由 y=kx-13x2-4y2=12??? ，整理得 4k2-3? ?x2-8kx+16=0所以 4k2-3≠0Δ= -8k? ? 2-4 4k2-3? ? ×16>0??? ，解得 k≠± 32 且 -1
专题 21：双曲线的存在探索性问题参考答案1. (1)x24 -y2=1； (2)证明见解析； (3)存在， Q 238 ,0? ? ， 27364 .【解析 】 (1)由双曲线 C的渐近线方程 y=± 12x，可设双曲线的方程为 y2- 14x2=λ(λ≠0)，又双曲线 C过点 (4, 3)，可得 3- 14 ×16=λ， 即 λ=-1，则双曲线的方程为 x24 -y2=1；(2)证明： 设点 M的坐标为 (m,n)，则点 N的坐标为 (-m,-n)，其中 x24 -y2=1，又设点 P的坐标为 (x,y)，由 kPM= y-nx-m， kPN= y+nx+m，得 kPM?kPN= y-nx-m ? y+nx+m = y2-n2x2-m2 ，将 y2= x24 -1， n2= m24 -1，代入得 kPM?kPN= x24 -1- m24 +1x2-m2 = 14 ．故 kPM?kPN为定值 14 ；(3)设直线 l的方程为 x=my+1，设定点 Q(t,0)，联立方程组 x=my+1x2-4y2=4??? ，消 x可得 (m2-4)y2+2my-3=0，则 m2-4≠0，且 △=4m2+12(m2-4)>0，解得 m2>3且 m2≠4，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，可得 y1+y2=- 2mm2-4 ， y1y2=- 3m2-4 ，所以 x1+x2=m(y1+y2)+2=- 2m2m2-4 +2=- 8m2-4 ，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=- 3m2m2-4 - 2m2m2-4 +1=-4m2+4m2-4 =-4-20m2-4 ，所以 QM??? ?QN?? =(x1-t， y1)(x2-t， y2)=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=-4- 20m2-4 +t? 8m2-4 - 3m2-4 +t2=-4+t2+ 8t-23m2-4 为常数， 与m无关．所以 8t-23=0，解得 t= 238 ，此时 QM??? ?QN?? = 27364 ．故存在 Q 238 ,0? ? ，使得 QM??? ?QN?? = 27364 ．第 185页 共 377页
2. (1)8(2)2x2-y2-4x+y=0(3)不存在，理由见解析【解析】 (1)由双曲线 x2- y22 =1知，右焦点为 ( 3,0)，由直线倾斜角 45°可知直线斜率为 1，所以直线方程为： y=x- 3，联立 y=x- 3x2- y22 =1??? 可得 x2+2 3x-5=0，设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则 Δ>0且 x1+x2=-2 3， x1?x2=-5，所以 |MN|= 1+12 ?|x1-x2|= 2? (-2 3)2-4×(-5)=8(2)设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P(x,y)，则 x1+x2=2x， y1+y2=2y，∵2x21-y21 =2， 2x22-y22 =2，∴4x(x1-x2)-2y(y1-y2)=0，∴直线 P1P2的斜率 k= y1-y2x1-x2 = 2xy ，∵kAP= y-1x-2 ， A， P， P1， P2共线，∴ y-1x-2 = 2xy ，∴2x2-y2-4x+y=0，即线段 P1P2的中点 P的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0．(3)假设直线 m存在．设 B(1,1)是弦 Q1Q2的中点，且 Q1(x1， y1)， Q2(x2， y2)，则 x1+x2=2， y1+y2=2．∵Q1， Q2在双曲线上，∴ 2x12-y12=22x22-y22=2??? ，∴2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0，∴4(x1-x2)=2(y1-y2)，∴k= y1-y2x1-x2 =2，∴直线 m的方程为 y-1=2(x-1)，即 2x-y-1=0，联立方程组 2x2-y2=22x-y-1=0??? ，得 2x2-4x+3=0∵△Δ=16-4×3×2=-8<0，∴直线 m与双曲线无交点，∴直线 m不存在．【点评】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”， 第 186页 共 377页
可以简化运算， 降低运算难度 .3. (1)x2- y23 =1； (2)证明见解析； (3)存在， M(-1,0).【分析】 (1)利用双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1经过点 (2,3)，两条渐近线的夹角为 60°， 建立方程即可求解；(2)设 A点坐标为 A x0,y0? ? ，则由对称性知 B点坐标 B -x0,-y0? ? ，设 P(x,y)，由点 A,P在双曲线上可得x20- y203 =1， x2- y23 =1，代入 kPA?kPB中化简即可 ；(3)先假设存在定点 M，使 MA ⊥MB恒成立，设出 M点坐标，根据数量积为 0，求得结论 .【解析】 (1)由题意得： 4a2 - 9b2 =1ba = 3?????解得： a2=1b2=3???∴双曲线 C的方程为 x2- y23 =1(2)证明： 设 A点坐标为 A x0,y0? ? ，则由对称性知 B点坐标为 B -x0,-y0? ?设 P(x,y)，则 kPA?kPB= y-y0x-x0 ? y+y0x+x0 = y2-y20x2-x20x20- y203 =1x2- y23 =1??????? ，得 y2-y20 =3 x2-x20? ?∴kPA?kPB= y2-y20x2-x20 =3(3)当直线 l的斜率存在时， 设直线 l方程为 y=k(x-2)，与双曲线方程联立消 y得： k2-3? ?x2-4k2x+4k2+3=0，∴ k2-3≠0Δ>0??? 得 k2≠3且 x1+x2= 4k2k2-3x1?x2= 4k2+3k2-3???????设 A x1,y1? ??B x2,y2? ?∵MA?? ?MB?? = x1-m? ? x2-m ? +y1y2= x1-m? ? x2-m ? +k2 x1-2? ? (x-2)= k2+1? ?x1x2- 2k2+m? ? (x+x)2+m2+4k= k2+1? ? 4k2+3 ?k2-3 - 4k(2k+m)k2-3 +m2+4k2= 3-(4m+5)k2k2-3 +m2假设存在实数 m，使得 MA?? ?MB?? =0，∴3 1-m2? ? +k2 m2-4m-5? ? =0对任意的 k2≠3恒成立，∴ 1-m2=0m2-4m-5=0??? ，解得 m=-1.∴当 m=-1时， MA?? ?MB?? =0.当直线 l的斜率不存在时，由 A(2,3),B(2,-3)及 M(-1,0)知结论也成立综上：存在 m=-1，使得 MA?? ?MB?? =0. 第 187页 共 377页
【点评 】本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题 .4. (1)x2- y24 =1 (2)4x-y-6=0 (3)存在， T ± nm2-1 ,0? ?【分析 】 (1)根据渐近线求解 a,b关系，再根据双曲线上一点 A求解双曲线标准方程；(2)由 RD?? +SD?? =0? 知 D为 RS中点，利用点差法求解直线 l斜率，进而求解直线方程；(3)根据直线斜率及点斜式方程，分别列出直线 AM和直线 AN方程，求 P,Q坐标，满足 TQ??? ? 2+ TP??? ? 2=PQ??? ? 2,即可求解点 T坐标 .【解析 】 (1)由直线 y=2x是双曲线渐近线，则 b=2a，则双曲线方程 x2a2 - y24a2 =1，代入 A(1,0)，解得 a=1，故双曲线 C的方程为 x2- y24 =1(2)由题意， 可知 D为 RS中点，设 RS两点坐标为 R(x1,y1),S(x2,y2)，代入原式4x12-y12=44x22-y22=4，两式作差得 4(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0整理得， 4(x1+x2)-(y1+y2)?kl=0再由中点坐标公式 x1+x2=2xD=4,y1+y2=2yD=4解得 kl=4故直线 l的方程为 4x-y-6=0(3)存在，根据题意，由 M(m,n),A(1,0)，则斜率 kAM= nm-1 ，直线 lAM:y= nm-1(x-1)，当 x=0时， y=- nm-1 ，即 P 0,- nm-1? ?同理， 由 N(-m,n)， A(1,0)则斜率 kAN=- nm+1 ，直线 lAM:y=- nm+1(x-1)，当 x=0时， y= nm+1 ，即 Q 0， nm+1? ?设： T(x,0)，则TQ??? ? 2=x2+ nm+1? ? 2， TP??? ? 2=x2+ nm-1? ? 2， PQ??? ? 2= nm-1 + nm+1? ? 2又 TQ??? ? 2+ TP??? ? 2= PQ??? ? 2，得到 2x2+ nm+1? ? 2+ nm-1? ? 2= nm+1 + nm-1? ? 2解得 x2= n2m2-1 ，又双曲线 C中 ， m>1或 m<-1x=± nm2-1故 T坐标为 ± nm2-1 ,0? ?【点评 】 (1)双曲线中由渐近线方程可确定 a与 b的倍数关系，不能直接得具体值，需要再有一点坐标才能确定 a,b值 .(2)点差法步骤：设点 →代入 →作差 →变形 →求解 .(3)顺应题意列出方程，注意自变量的取值范围，本题着重考查运算能立，属较难题 .第 188页 共 377页
5. (1)x29 - y216 =1； (2)存在， G 94 ,0? ? .【分析 】 (1)连接 PC，则 PC? ? = PM? ? ，即 PC? ? - PC1? ?? ? = MC1? ? =6，则点 P的轨迹是以 C1， C为左右焦点 ， 2a=6的双曲线，求解轨迹方程即可 .(2)由题意可知 kAC=-kBG时直线 AG和 BG的倾斜角互补 .分类讨论：当直线 l斜率不存在时， A， B关于 x轴对称， x轴上的任意点 G都有 kAC=-kBG.当直线 l斜率存在时，设直线 l的方程为： y=k x-4? ?, k≠0? ? ，与双曲线方程联立 ，整理得 16-9k2? ?x2+72k2x-144 k2+1? ? =0，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 x1+x2=- 72k216-9k2 = 72k29k2-16 ， x1x2= -144 k2+1? ?16-9k2 = 144 k2+1? ?9k2-16 .根据 kAG=-kBG，可知 y1-0x1-x0 =k x1-4? ?x1-x0 =- y2x2-x0 =-k x2-4? ?x2-x0 ，整理得 2x1x2-4 x1+x2? ? -x0 x1+x2? ? +8x0=0，将 x1x2， x1+x2代入求解 x0， 即可 .【解析】 (1)连接 PC，则 PC? ? = PM? ? ，即 PC? ? - PC1? ?? ? = MC1? ? =6∵ C1C? ? =10>6>0∴点 P的轨迹是以 C1， C为左右焦点 ， 2a=6， 2c=10的双曲线 .即 a=3， c=5， b= c2-a2 =4∴点 P的轨迹方程 C2为： x29 - y216 =1(2)当直线 l斜率不存在时， 直线 l的方程为： x=4，则 A， B关于 x轴对称 .因为点 G在 x轴上所以直线 AG和 BG关于 x轴对称 .则 x轴上的任意点 G都有 kAC=-kBG，即直线 AG和 BG的倾斜角互补当直线 l斜率存在时，设直线 l的方程为： y=k x-4? ? , k≠0? ?则 y=k x-4? ?x29 - y216 =1??? 即 16-9k2? ?x2+72k2x-144 k2+1? ? =0∵直线 l交曲线 C2于 A,B两点∴ 16-9k2≠0Δ= 72k2? ? 2+4× 16-9k2? ? ×144 k2+1? ? =576 7k2+16? ? >0??? 即 k≠± 43设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?则 x1， x2是方程 16-9k2? ?x2+72k2x-144 k2+1? ? =0的两根 .即 x1+x2=- 72k216-9k2 = 72k29k2-16 ， x1x2= -144 k2+1? ?16-9k2 = 144 k2+1? ?9k2-16第 189页 共 377页
假设存在点 G x0,0? ? ，使得直线 AG和 BG的倾斜角互补 .则 kAG=-kBG即 y1-0x1-x0 = k x1-4? ?x1-x0 =- y2x2-x0 =-k x2-4? ?x2-x0∴ x1-4x1-x0 =- x2-4x2-x0 即 2x1x2-4 x1+x2? ? -x0 x1+x2? ? +8x0=0∴2× 144 k2+1? ?9k2-16 -4× 72k29k2-16 -x0× 72k29k2-16 +8x0= 288 k2+1? ? -4×72k29k2-16 +x0 8- 72k29k2-16? ?= 2889k2-16 - 128x09k2-16 =0，即 x0= 94综上所述， 存在点 G 94 ,0? ? ，使得直线 AG和 BG的倾斜角互补【点评】本题考查求双曲线方程，以及直线与双曲线的位置关系 .属于较难的题 .6. (1)x2- y23 =1(x>0)； (2)(-∞,- 3)∪( 3,+∞)； (3)存在， M -1,0? ? .【分析 】 (1)根据双曲线的定义即可求得方程；(2)联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；(3)假设存在点 M，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据 MA?? ?MB?? =0结合韦达定理求解 .【解析】 (1)因为 F1(-2,0),F2(2,0)，点 P满足 PF1? ? - PF2? ? =2< F1F2? ? ，所以点 P的轨迹为以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点，实轴长为 2的双曲线的右支，设其方程 x2a2 - y2b2 =1,(x>0)，则 c=2,a=1,b= 3，所以轨迹 Γ的方程： x2- y23 =1,(x>0)；(2)斜率为 k的直线 l过点 F2，直线方程为 y=k x-2? ? ，代入 x2- y23 =1，3x2-k2 x2-4x+4? ? -3=0，即 3-k2? ?x2+4k2x-4k2-3=0有两个不等正根 x1,x2，3-k2≠0Δ=16k4-4 3-k2? ? -4k2-3 ? >0x1+x2=- 4k23-k2 >0x1x2= -4k2-33-k2 >0????????? ，由 - 4k23-k2 >0得 k2>3，当 k2>3时 ， -4k2-33-k2 >0且 Δ=16k4-4 3-k2? ? -4k2-3 ? >0即不等式组的 k2>3所以 k∈ -∞,- 3? ? ∪ 3,+∞? ? ；(3)假设存在， 设点 M m,0? ? ,A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，使 MA⊥MB，由 (2)：斜率为 k的直线 l过点 F2，直线方程为 y=k x-2? ? ，代入 x2- y23 =1，3x2-k2 x2-4x+4? ? -3=0，即 3-k2? ?x2+4k2x-4k2-3=0有两个不等正根 x1,x2，k2>3Δ=16k4-4 3-k2? ? -4k2-3 ? >0x1+x2=- 4k23-k2x1x2= -4k2-33-k2????????? ， 第 190页 共 377页
MA⊥MB，所以 MA?? ?MB?? =0, x1-m,y1? ? ? x2-m,y2? ? =0，x1-m? ? x2-m ? +y1y2=0x1-m? ? x2-m ? +k x1-2? ?k x2-2? ? =0k2+1? ?x1x2- 2k2+m? ? x1+x2 ? +m2+4k2=0k2+1? ? ? -4k2-33-k2 - 2k2+m? ? - 4k23-k2? ? +m2+4k2=0-4k4-7k2-3+8k4+4k2m+3m2-k2m2+12k2-4k4=0k2 -m2+4m+5? ? +3m2-3=0，对 k2>3恒成立 ，所以 -m2+4m+5=03m2-3=0??? ，解得 m=-1，即 M -1,0? ? ，当直线 l斜率不存在时， 直线方程 x=2，此时 A 2,3? ? ,B 2,-3? ? ，MA?? ?MB?? = 3,3? ? ? 3,-3? ? =0，仍然满足 MA⊥MB，所以这样的点存在， M -1,0? ? .【点评 】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题 .7. (1) 0, 3? ? ； (2)1+ 136 ； (3)存在， 坐标为 - 12 ,0? ? 或 52 ,0? ?【分析 】 (1)设点 P坐标，分别求出 PO? ? 和 PF? ? 的长度， 比较大小，得到 ba 的取值范围；(2)要使 ΔOMN为等边三角形，则 OM? ? = ON? ?,即 xM=xN,直线 l斜率不存在， 再通过 c= 3yM求出b2a2 的值；设直线 l： x=c， ；(3)设点 Q的坐标，再计算出点 S和 T的坐标，由 Q点在双曲线上关于 x轴的对称性得，若存在点 E，使得 ES⊥ET恒成立，点 E只能在 x轴上，再设 E t,0? ? ，根据 ES???ET?? =0算出 t的值。【解析】 (1)设点 P x0,y0? ? ， PO? ? 2=x20+y20， PF? ? 2= x0-c? ? 2+y20要使 PO? ? > PF? ? ，则 PO? ? 2> PF? ? 2，代入化简得 x0> c2 ，∵x0≥a， ∴ c2 0,b>0所以 ba 的取值范围是 0, 3? ? 。(2)要使 ΔOMN为等边三角形，则 OM? ? = ON? ?,即 xM=xN,直线 l斜率不存在，设直线 l： x=c， 则 xM=xN=c， yM= b2a ，要使 ΔOMN为等边三角形， c= 3yM? b2a2 = 1± 136又 ∵ b2a2 >0，∴ b2a2 = 1+ 136(3)设点 Q x1,y1? ? ，则 x124 - y123 =1直线 QA1： y= y1x1+2 x+2? ? ，则 S 1, 3y1x1+2? ? ，第 191页 共 377页
直线 QA2： y= y1x1-a x-a? ? ，则 T 1, -y1x1-2? ?由 Q点在双曲线上关于 x轴的对称性得， 若存在点 E，使得 ES⊥ET恒成立，则点 E只能在 x轴上，设E t,0? ? ，若 ES⊥ET，则 ES???ET?? =0，1-t? ? 2+ -3y21x21-4 = 1-t? ? 2- 94 =0?t=- 12 或 52 ，即存在定点 E，坐标为 - 12 ,0? ? 或 52 ,0? ?【点评 】本题考查了双曲线中 a,b,c的关系及转换，解析几何类型题目多与几何关系有关，多画图，找到变量间的几何关系，再根据圆锥曲线的对称性，猜测出定点可能存在的位置 (比如 x轴、 y轴等 )。注意利用向量的关系来解方程会简单一些。本题属于难题。8. (1)x2- y24 =1； (2) 0,1? ? ； (3)存在直线 x= 12 满足题意， 详见解析【分析】 (1)根据题意，得到 a=1,c= 5,b=2，即可求得双曲线 Γ的方程 ；(2)由 yM= 4k4+k2 = 4k+ 4k 在 (0,2)上单调递增， 即可求得点 M的纵坐标 yM的取值范围；(3)求出 kOM+kBP=0，可得直线 BP与 OM关于直线 x= 12 对称， 即可求解．【解析】 (1)由题意，椭圆 x2+ y24 =1的左、 右顶点分别为 A(-1,0),B(1,0)，双曲线 Γ以 A、 B为顶点，焦距为 2 5，可得 a=1,c= 5，所以 b= c2-a2 =2，所以双曲线 Γ的方程 x2- y24 =1．(2)由题意， 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线 AP的方程为 y=k(x+1)(0
立直线与曲线方程， 得到韦达定理，由判别式大于 0，且 x1x2>0，解出 k的范围； (3)假设存在点 M，则MA?? ?MB?? =0，结合韦达定理得到方程，解出 k即可 .【解析】 (1)由 3a?+b?? ? ⊥ 3a?-b?? ? ，得 3a?+b?? ? 3a?-b? ? =0，即 3a?2-b?2=0又 a?= x,0? ? ， b?= 1,y? ? ，所以 3x2-(y2+1)=0，即 3x2-y2=1故所求的轨迹方程是 3x2-y2=1(2)设 、 ，把 y=kx-1代入 3x2-y2=1，得 3-k2? ?x2+2kx-2=0得 x1+x2= -2k3-k2x1x2= -23-k2?????由 3-k2≠0且 Δ>0，解得 - 60， 即 x1x2= -23-k2 >0，得到 k<- 3 或 k> 3综上， 得 k∈ - 6,- 3? ? ∪ 3, 6? ? .(3)由 (2)得 ?① ?②??③∵曲线 C与 x轴交点 、 ，若存在实数 k，符合题意 ，则 MA?? ⊥MB??不妨取点 M1， M1A??? ?M1B??? =0,得 x1- 33? ? x2- 33 ? +y1y2=0将①②③式代入上式 ,整理得到 ,解得 舍去 )根据曲线的对称性知存在实数 k=± 32 ，使得以 AB为直径的圆恰好过 M点【点评】本题考查了双曲线的轨迹方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题 .10． (1) ； (2)存在 第 193页 共 377页
专题 22：双曲线的渐近线问题参考答案1． A【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据 sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2得出 PF1? ? =3PF2? ? ，根据双曲线的定义得出 PF2? ? =a，再然后根据 PF2? ? 2+ PO? ? 2= OF2? ? 2得出 ∠OPF2=90°以及 HP? ? = abc ，根据 HO? ? 2+ HP? ? 2= OP? ? 2得出 HO? ? = b2c ，最后将 P点坐标代入双曲线 y2a2 - x2b2 =1中， 通过化简即可得出结果 .【解析】设 F1为双曲线的下焦点， F2为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图， 过点 P作 PH⊥F1F2于点 H,因为 sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，所以 PH? ?PF2? ? =3× PH? ?PF1? ? ， PF1? ? =3PF2? ? ，因为 PF1? ? - PF2? ? =2a，所以 PF2? ? =a，因为双曲线上的点 P到原点的距离为 b，即 PO? ? =b，且 OF2? ? =c，所以 PF2? ? 2+ PO? ? 2=a2+b2=c2= OF2? ? 2， ∠OPF2=90°，故 12 × OP? ? × PF2? ? = 12 × OF2? ? × HP? ? ， HP? ? = abc ，因为 HO? ? 2+ HP? ? 2= OP? ? 2，所以 HO? ? = b2c ， P -abc ,b2c? ? ，将 P -abc ,b2c? ? 代入双曲线 y2a2 - x2b2 =1中，即 b2c? ? 2a2 - -abc? ? 2b2 =1，化简得 b4-a4=a2c2， b4-a4=a2 a2+b2? ? ，b4-a2b2-2a4=0， b4a4 - b2a2 -2=0， b2a2 -2? ? b2a2 +1 ? =0，解得 b2a2 =2或 -1(舍去 )， ba = 2， ab = 22 ，则该双曲线的渐近线方程为 y=±abx=± 22 x，故选： A.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的灵活应用，考查计算能力，考 查化归与转化思想，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题 .2． B【分析】作出图形，可知 NM与抛物线相切时， NF? ?NM? ? 取得最小值， 求出点 N的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合 c=1，可求得 ca，再利用 b2a2 = ca? ? 2-1求得结果 .第 194页 共 377页
【解析 】由抛物线的对称性，设 N为抛物线第一象限内点，如图所示：故点 N作 NB垂直于抛物线的准线于点 B， 由抛物线的定义知 |NF|=|NB|，易知 NB?x轴，可得 ∠NMF=∠BNM∴ NF? ?NM? ? = NB? ?NM? ? =cos∠BNM=cos∠NMF当 ∠NMF取得最大值时， NF? ?NM? ? 取得最小值， 此时 NM与抛物线 y2=4x相切，设直线 NM方程为： y=k x+1? ? ，联立 y2=4xy=k x+1? ???? ，整理得 k2x2+ 2k2-4? ?x+k2=0，其中 Δ=-16k2+16=0，解得： k=±1，由 N为抛物线第一象限内点，则 k=1则 x2+ 2-4? ?x+1=0，解得 ： x=1，此时 y2=4，即 y=2或 y=-2所以点 N的坐标且 N(1,2)由题意知，双曲线的左焦点为 M -1,0? ? ，右焦点为 F 1,0? ?设双曲线的实轴长为 2a，则 2a= |NM|-|NF|? ? =2 2-2， ∴a= 2-1，又 c=1，则 ca = 12-1 = 2+1故渐近线斜率的平方为 b2a2 = c2-a2a2 = ca? ? 2-1= 2+1? ? 2-1=2+2 2故选： B【 点评】本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下： ①直接求出 a,b，从而求出 ba；②构造 a,b的齐次式，求出 ba；③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解 ；④根据圆锥曲线的统一定义求解．3． B【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取 F2P的中点 E，由已知可知 F1E⊥F2P，由三线合一知三角形 PF1F2为等腰三角形，再由余弦的定义表示 ∠F1F2E的余弦值，又由双曲线的定义表示 QF1? ? ，最后在 △F1QF2中， 由余弦定理构建方程，求得 b2a2 ，将其代入渐近线方程 ，得答案 .【解析】取线段 F2P的中点 E，连接 F1E，因为 (F2F?? +F1F2?? )?F2F?? =0，所以 F1E⊥F2P，故三角形 PF1F2为等腰三角形，且 F1P? ? = F1F2? ? =2c．在 Rt△FlEF2中 ， cos∠F1F2E= F2E? ?F1F2? ? = a22c = a4c，第 195页 共 377页
连接 F1Q，又 F2Q? ? = a5 ，点 Q在双曲线 C上 ，所以由双曲线的定义可得， QF1? ? - QF2? ? =2a，故 QF1? ? =2a+ a5 = 11a5 ．在 △F1QF2中， 由余弦定理得，cos∠F1F2Q= F1F2? ? 2+ F2Q? ? 2- F1Q? ? 22F1F2? ? ? F2Q? ? = (2c)2+ a5? ? 2- 11a5? ? 22×2c× a5 = a4c．整理可得 4c2=5a2，所以 b2a2 = c2-a2a2 = 54 -1= 14 ，故双曲线 C的渐近线方程为 y=± 12x．故选： B【 点评】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四边 形法则和垂直关系，属于难题 .4． D【分析】由 M是三角形外心可得 ∠F1MF2= 2π3 ，根据圆周角与圆心角关系得 ∠F1PF2= π3 ，根据余弦定理 、双曲线的定义得 |PF1||PF2|= 2b21-cos∠F1PF2 ，由三角形面积公式 S△PF1F2= 12 |PF1||PF2|sin∠F1PF2，即可确定 a,b的数量关系，写出渐近线方程即可 .【解析】由 △PF1F2的外心 M 0, 33 c? ? ，知 ： tan∠MF1F2=tan∠MF2F1= OMOF1 = 33 ，∴在 △MF1F2中 ， ∠MF1F2=∠MF2F1= π6 ，即 ∠F1MF2= 2π3 ，故 ∠F1PF2= π3 ，在 △F1PF2中 ， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，而 |PF1-PF2|=2a，∴|PF1|2+|PF2|2=4a2+2|PF1||PF2|，即 4c2=4a2+2PF1? ? PF2? ? 1-cos∠F1PF2? ? ，∴ PF1? ? PF2? ? = 2 c2-a2? ?1-cos∠F1PF2 = 2b21-cos∠F1PF2 ，而 S△PF1F2= 12 |PF1||PF2|sin∠F1PF2= b2sin∠F1PF21-cos∠F1PF2 =b2tan∠F1PF22 = 3b2，∴由题意知： b2=2a2，故双曲线的渐近线方程为： y=± 2x．故选： D．【 点评】关键点点睛：利用外接圆的性质求 ∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系 .5． C【分析】设点 P的坐标为 c,y0? ? y0>0 ? ，由于 AB? ? 为定值， 由正弦定理可知当 sin∠APB取得最大值时，△APB的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB取得最大值，利用两角的正切公式知 tan∠APB=tan ∠APF-∠BPF? ? = 2ay0+ b2y0 ，再利用均值不等式得到最值 ，将点代入双曲线计算得到答案 .【解析】根据双曲线的对称性不妨设点 P的坐标为 c,y0? ? y0>0 ? ，由于 AB? ? 为定值， 由正弦定理可知当sin∠APB取得最大值时， △APB的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB取得最大值，∵tan∠APF= a+cy0 ， tan∠BPF= c-ay0 ， 第 196页 共 377页
∴tan∠APB=tan ∠APF-∠BPF? ? = a+cy0 - c-ay01+ a+cy0 ? c-ay0 = 2ay0+ b2y0 ≤ 2a2 y0? b2y0 = ab ，当且仅当 y0= b2y0 y0>0? ? ，即当 y0=b时 ，等号成立，此时 ∠APB最大，此时 △APB的外接圆面积取最小值，点 P的坐标为 c,b? ? ，代入 x2a2 - y2b2 =1，可得 c2a2 =2，即 a2+b2a2 =2，即 b2a2 =1．所以双曲线的渐近线方程为： y=±x．故选： C【点评】本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式， 然后再根据 a， b， c及渐近线之间的关系，求出 ba 的值即可， 考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题6． C【分析】如图所示：切点为 M，连接 OM，作 PN⊥x轴于 N，计算 PF1? ? =2a， PF2? ? =4a， PN? ? = 2a2c ， F1N? ?= 2abc ，根据勾股定理计算得到答案 .【 解析】如图所示：切点为 M，连接 OM，作 PN⊥x轴于 N，QF1? ? - QF2? ? = QP? ? + PF1? ? - QF2? ? = PF1? ? =2a，故 PF2? ? =4a，在 RtΔMOF1中， sin∠MF1O= ac，故 cos∠MF1O= bc，故 PN? ? = 2a2c ， F1N? ? = 2abc ，根据勾股定理： 16a2= 4a4c2 + 2c- 2abc? ? 2，解得 ba = 3+1.故选 ： C.【点评 】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 .7． A【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出 渐进线方程 .【解析】如图所示：设 G,B,N分别为 △MAF2三边与其内切圆的切点，圆心为 I.已知 △MGI≌△MNI， △F2BI≌△F2NI,△AGI≌△ABI.第 197页 共 377页
即 NM? ? = MG? ?,AG? ? = AB? ?,F2B? ? = F2N? ?由双曲线的定义有： MF1? ? - MF2? ? =2a.则 MF1? ? - MF2? ? = MF1? ? - MN? ? - NF2? ? = MF1? ? - MG? ? - BF2? ?= AF2? ? - BF2? ? + AG? ? = AB? ? + AG? ? =2AB? ?.所以 2AB? ? =2a,即 AB? ? =a.又 F1F2? ? =4AB? ?.所以 2c=4a，又 a2+b2=c2， 解得 ba = 3.双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为： y=±bax=± 3x.故选： A【点评 】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题 .8． A【分析】设 P(m,n)，得到 m2-3n2=3，联立方程组，求得 A,B的坐标，结合向量的数量积的运算，即可求解．【解析】设点 P(m,n)，则 m23 -n2=1，即 m2-3n2=3，由双曲线 x23 -y2=1的渐近线方程为 y=± 33 x，则由 y= 33 xy-n=- 3(x-m)??? ，解得 A 3m+ 3n4 , 3m+n4? ? ，由 y=- 33 xy-n= 3(x-m)??? ，解得 B 3m- 3n4 ,n- 3m4? ? ，所以 PA?? = 3n-m4 , 3m-3n4? ? ,PB?? = -m- 3n4 ,-3n- 3m4? ? ，所以 PA?? ?PB?? = 3n-m4 × -m- 3n4 + 3m-3n4 × -3n- 3m4 =-2m2-6n216 =- 616 =- 38 ．故选： A．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程及性质，以及向量的数量积的运算，其中解答中根据题意，联立方 程组，求得 A、 B的坐标，结合向量的数量积的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9． B【分析】设直线 l1的方程为 y= bax，则直线 l2的方程为 y=-bax，设点 A x1,bax1? ? 、 M x2,-bax2? ? ，则点B -x1,-bax1? ? ，利用 kAM?kBM=e，可得出 e2-1=e，解出即可 .第 198页 共 377页
【解析 】设直线 l1的方程为 y= bax，则直线 l2的方程为 y=-bax，设点 A x1,bax1? ? 、 M x2,-bax2? ? ，则点 B -x1,-bax1? ? ，kAM= ba x1+x2? ?x1-x2 ， kMB= -bax1+ bax2-x1-x2 = ba x1-x2? ?x1+x2 ， ∴kAM?kBM= b2a2 =e，即 e2-1=e，即 e2-e-1=0， ∵e>1， 解得 e= 5+12 ，故选 B.【 点评】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式 e2= c2a2 =b2a2 +1可简化计算， 考查运算求解能力，属于中等题 .10． A【分析】设圆 I与 △PF1F2的三边 F1F2、 PF1、 PF2分别相切于点 E,F,G，连接 IE,IF,IG ,IF1F2， △IPF1， △IPF2可看作三个高均为圆 I半径 r的三角形 .利用三角形面积公式，代入已知式 S△IPF1=S△IPF2+ 13S△IF1F2，化简可得 PF1 -? ?PF2 = 13? ?F1F2? ? ，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【 解析】如图， 设圆 I与 △PF1F2的三边 F1F2、 PF1、 PF2分别相切于点 E,F,G，连接 IE,IF,IG，则 IE⊥F1F2， IF⊥PF1， IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2， △IPF1， △IPF2的高，∴S△IPF1= 12 PF1 ? IF? ? = r2? ?PF1? ? ，S△IPF2= 12 PF2 ? IG? ? = r2? ?PF2? ? ，S△IF1F2= 12 F1F2 ? IE? ? = r2? ?F1F2? ? ，其中 r是 △PF1F2的内切圆的半径．∵S△IPF
1=S△IPF2+ 13S△IF1F2，∴ r2 PF1 = r2? ?PF2 +r6? ?F1F2? ? ，两边约去 r2 得： PF1 =? ?PF2 + 13? ?F1F2? ? ，∴ PF1 -? ?PF2 = 13? ?F1F2? ? ，根据双曲线定义， 得 PF1 -? ?PF2? ? =2a， F1F2? ? =2c，∴3a=c， b= c2-a2 =2 2a， ba =2 2， 第 199页 共 377页
可得双曲线的渐近线方程为 y=±2 2x ,即为 2 2x±y=0，故选 A．【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的 性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想 到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之 间的内在联系 .11． D【解析】分析：先根据三角形切的关系化简条件 tanA+tanB+3tanC=0得 tanAtanB=-2,再通过坐标关系表示 tanAtanB，最后根据点 C在双曲线上化简得 a,b关系，即得双曲线的渐近线的方程 .详解：因为 △ABC中 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，所以 tanAtanB=-2设 C(x,y),所以 yx+a ? yx-a =-2 ∴ y2x2-a2 =-2,∵ x2a2 - y2b2 =1∴ y2x2-a2 =-b2a2 ∴-b2a2 =-2∴ ba = 2因此双曲线的渐近线的方程为 y=±bax,y=± 2x选 D.点睛： 熟记一些常用结论或方法：1.已知双曲线方程 x2a2 - y2b2 =1求渐近线： x2a2 - y2b2 =0?y=±bax2.?△ABC中 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC12． B【解析】 A a,0? ? ,B c,b2a? ? ,C c,-b2a? ? ，由双曲线的对称性知 D在 x轴上 ，设 D x,0? ? ，由 BD⊥AB，得 b2ac-x ?b2ac-a =-1， 则 c-x= b4a2 a-c? ? ，又 D到直线 BC的距离小于 a+c， 则 c-x= b4a2 a-c? ?? ?
【解析 】 ∵ON?? +PF1?? =2OM??? ，故 ON?? -OM??? =OM??? -PF1?? ，即 MN?? =F1M??? ，故点 M为线段 F1N的中点，连接OM，则 OM为 ΔNF1F2的中位线，且 OM? ? = a2 ,OM⊥F1N， 故 NF2? ? =2OM? ? =a，且 F2N⊥F1N,∵ NF1? ? -NF2? ? =2a，故点 N在双曲线 C的右支上 ， ∴ NF1? ? =3a，则在 RtΔNF1F2中，由勾股定理可得， NF1? ? 2+ NF2? ? 2= F1F2? ? 2，即 3a? ? 2+a2= 2c? ? 2，解得 ca = 102 = 1+ b2a2 ，故 ba = 62 ，故双曲线 C的渐近线方程为 y=± 62 x，故选 C.【 方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题 .求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐 近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 . 本题中，利用双曲线的定义与几何性质，以及 c2=a2+b2构造 a,b的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近线方程的 .15． B【解析】设抛物线 x2=8y与双曲线 y2a2 -x2=1(a>0)的一个交点为 M(x0,y0)，因为抛物线 x2=8y的焦点为F(0,2)，且 MF? ? =5，所以 y0+2=5,x20=8y0,y20a2 -x20=1，解得 y0=3,x20=24,a= 35 ，则该双曲线的渐近线方程为 x=± 53y，即 3x±5y=0；故选 B.点睛：在处理抛物线上的点到焦点的距离时，要注意利用抛物线的定义将抛物线上点到焦点的距离和到准 线的距离进行互化；已知双曲线方程求渐近线方程，学生往往记不清渐近线方程的形式，记住以下结论即 可，双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 x2a2 - y2b2 =0.16． C【 解析】试题分析：因为过 F1作圆 x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左右两支于点 B,C，且 BC? ? = CF2? ? ，所以 BF1? ? =2a，设切点为 T,B(x,y)，则利用三角形的相似可得 ya = c+xa = 2ac ，所以 x= 2ab-c2c ,y= 2a2c ，所以 B 2ab-c2c ,2a2c? ? ，代入双曲线的方程 ，整理可得 b=( 3+1)a，所以双曲线的渐近线方程为 y=±( 3+1)x，故选 C.考点 ：双曲线的几何性质 .【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质 的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，列出比例关系式，得到点 B的坐标是解答的关键，试题运算较大，属于中档试题 .17． y=± 3x【分析 】取特殊位置 BF⊥x轴，此时 ∠BFA=90°， ∠BAF= 90e? ? °， AF=a+c， 将 x=c代入抛物线得 y=±b2a ，所以 B c,b2a? ? ， tan∠BAF= BFAF = b2aa+c =e-1，可得tan 90e? ? °=e-1，分别讨论 e>2， e=2， 1
【解析 】如图： 因为 ∠BFA∠BAF =e恒成立， 取特殊位置 BF⊥x轴时，此时 ∠BFA=90°，所以 ∠BAF= 90e? ? °，在 Rt△ABF中 ， tan∠BAF= BFAF ，双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? 中， AF=a+c，将 x=c代入双曲线方程得 c2a2 - y2b2 =1，整理可得 ： y=±b2a ，取点 B c,b2a? ? 位于第一象限， 所以 BF= b2a ，则 tan∠BAF= BFAF = b2aa+c = b2a a+c? ? = c2-a2a a+c? ? = c-aa =e-1，所以 tan∠BAF=tan 90e? ? °=e-1，当 e>2时， e-1>1， tan 90e? ? °tan45°=1，此时不符合题意，故不成立，当 e=2时， tan 90e? ? °=tan45°=1=e-1，所以 e=2，即 ca =2，可得 c2a2 = a2+b2a2 =4，所以 b2=3a2，所以 b2a2 =3， ba =± 3，所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x，故答案为： y=± 3x【点评 】关键点点睛：本题解题的关键点是去特殊位置 BF⊥x轴时，可得 ∠BAF= 90e? ? °计算其正切值可得tan 90e? ? °=e-1，经过讨论求出离心率 e.18． a2+b24【分析 】设 P x0,y0? ? ,求出直线 PR,PQ的方程 ,分别与 l1,l2联立 ,进而求出 R,Q 的坐标 ,根据两点间的距离公式 ,求出 PR? ?,PQ? ?,则可求 PR? ? ? PQ? ? 的值 .【解析 】解 :设 P x0,y0? ? 则 x20a2 - y20b2 =1，即 b2x20-a2y20 =a2b2.由题意知直线 PR,PQ 分别与 l2,l1 平行则 kPR=-ba,kPQ= ba.所以 lPR:y-y0=-ba x-x0? ? ,lPQ:y-y0= ba x-x0? ?将直线 PR与 l1 联立得 y= baxy-y0=-ba x-x0? ???? ,解得 x= ay0+bx02by= ay0+bx02a?????将直线 PQ与 l2 联立得 y=-baxy-y0= ba x-x0? ???? ,解得 x= bx0-ay02by= ay0-bx02a?????第 202页 共 377页
即 R ay0+bx02b ,ay0+bx02a? ? ,Q bx0-ay02b ,ay0-bx02a? ? .所以 PR? ? = x0- ay0+bx02b? ? 2+ y0- ay0+bx02a? ? 2 = 14a2 + 14b2 ? bx0-ay0? ? 2,PQ? ? = x0- bx0-ay02b? ? 2+ y0- ay0-bx02a? ? 2 = 14a2 + 14b2 ? bx0+ay0? ? 2所以 PR? ? ? PQ? ? = 14a2 + 14b2? ? b2x20-a2y20? ? = 14a2 + 14b2? ? a2b2= a2+b24 .故答案为 : a2+b24 .【点评 】本题考查了两点间的距离求解 ,考查了圆锥曲线的综合计算 .本题的难点及易错点在于计算 .对于此类填空题 ,有一个技巧可能会减少运算量 ,即已知点是曲线上的任意一点 ,不妨设该点是特殊点 ,如顶点,可减少运算量 .19． y=±x【分析】根据 OP?? +OF2??? ? ?F2P?? =0，可知 OP? ? = OF2? ? = OF1? ? ，即 ΔPF1F2为直角三角形 .利用双曲线的定义，题意所给已知条件 PF1??? ? ? PF2??? ? =2a2，和勾股定理列方程组 ，化简求得 a=b，即为等轴双曲线，渐近线为y=±x.【解析】根据 OP?? +OF2??? ? ?F2P?? =0，可知 OP? ? = OF2? ? = OF1? ? ，即 ΔPF1F2为直角三角形 .设 PF1? ? =m,PF2? ?=n，依题意有 mn=2a2m-n=2a??? ，解得 m= 3+1? ?a,n= 3-1? ?a，根据勾股定理得 m2+n2=4c2，解得 c=2a= 2b,a=b，故双曲线为等轴双曲线 ，渐近线为 y=±x.【点评】本小题主要考查双曲线的定义和准线方程的求解 .考查直角三角形的几何性质以及运算求解能力，属于中档题 .20． y=± 5+12 x【解析 】过 F1的直线 l与双曲线 C的一条渐近线垂直，设垂足为 A，易得 F1A? ? =b， cos∠QF1O= bc,又 PQ? ? - PF2? ? =a，所以 PF1? ? - QF1? ? - PF2? ? =a，而 PF1? ? - PF2? ? =2a，故 QF1? ? =a， QF2? ? =3a，在?QF1O中，利用余弦定理可得： 9a2=a2+4c2-2a×2c× bc，即 2a2=c2-ab， a2+ab-b2=0，得： ba = 5+12 ，故渐近线方程为 ： y=± 5+12 x第 203页 共 377页
专题 23：双曲线向量结合问题参考答案1． A【分析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出 PF1? ?,PF2? ? 的长度， 再根据焦点坐标求解出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出 A,B的纵坐标，通过 AB?? =λAF2?? 用 yA,yB表示出 λ，则 λ的值可求 .【解析】不妨设 P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ， F1 - 2,0? ?,F2 2,0? ? ，由双曲线定义可知： PF1? ? - PF2? ? =2，又因为 PF1?? ?PF2?? =0，所以 PF1⊥PF2， F1F2? ? =2c=2 2，所以 PF1? ? 2+ PF1? ? -2? ? 2= F1F2? ? 2=8，所以 PF1? ? = 3+1,PF2? ? = 3-1，所以 2a= PF1? ? + PF2? ? =2 3，所以 a= 3，所以 b= a2-c2 =1，所以椭圆方程为 x23 +y2=1，又因为 lAB:y=x- 2，所以 y=x- 2x2+3y2=3??? ，所以 4y2+2 2y-1=0，所以 y= -2 2±2 68 = - 2± 64 ，所以 yA= 6- 24 ,yB=- 6+ 24 ，又因为 AB?? =λAF2?? ，所以 yB-yA=-λyA，所以 1-λ= yByA =- 6+ 26- 2 ，解得 λ=3+ 3，故选： A.【点评】解答本题的关键是通过已知的条件求解出椭圆的方程，后续求解 λ的过程中，除了联立思想的运用，还要注意利用点的纵坐标去分析求解问题 .2． B【分析】由题意设 B x0,y0? ? ， F(c,0)， P(m,n)，则 A -x0,-y0? ? ，求出 BP?? ， AF?? ， BF?? 的坐标，根据 BP?? =4BF?? 得到 m,n，由点 F在圆上得到 c2=x20+y20，把点 P， B坐标代入双曲线方程联立，可得答案 .【解析】由题意设 B x0,y0? ? ， F(c,0)， P(m,n)，则 A -x0,-y0? ? ，BP?? = m-x0,n-y0? ? ， AF?? = c+x0,y0? ? ， BF?? = c-x0,-y0? ? ．∵BP?? =4BF?? ， ∴ 4 c-x0? ? =m-x0-4y0=n-y0,??? ， m=4c-3x0n=-3y0??? ．∵以 AB为直径的圆过点 F， ∴AF?? ?BF?? = c+x0,y? ? ? c-x0,-y? ? =0，即 c2=x20+y20 ①，∵点 P， B均在双曲线上 ， ∴ x20a2 - y20b2 =1②， 4c-3x0? ? 2a2 - -3y0? ? 2b2 =1③．② -③整理得 2c-x0? ? x0-c ?a2 =-y20b2 ，将 y20 =c2-x20代入 ，整理得 x20= 2c2-3a2? ? 2c2 ，于是 y20 =c2-x20= 3b2 3a2-c2? ?c2 ，最后将 x20， y20 代入双曲线方程 ，整理得 4c2=10a2，所以 e= 52 = 102 ．故选： B.【 点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用 BP?? =4BF?? 和AF?? ?BF?? 得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力 .3． B【分析】先依题意写出直线 l的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即 第 204页 共 377页
得结果 .【解析 】由双曲线的方程 x2- y23 =1可知， 右焦点坐标为 (2,0)，∴l的直线方程可设为 y=x-2，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2，联立 x2- y23 =1y=x-2??? 可得 2x2+4x-7=0，∴x1x2=- 72 ， x1+x2=-2，∴y1y2= x1-2? ? x2-2 ? =x1x2-2 x1+x2? ? +4=- 72 +4+4= 92 ，∴OA?? ?OB?? =- 72 + 92 =1．故选： B．4． B【分析】设点 P x,y? ? ，转化条件得 OP?? ?FP??= 32 x+ 33? ? 2- 32 ，由 x∈ -∞,- 2? ? ∪ 2,+∞? ? 即可得解 .【解析 】由题意，点 O 0,0? ? ，点 F - 3,0? ? ，设点 P x,y? ? ，则 x22 -y2=1， y2= x22 -1， x∈ -∞,- 2? ? ∪ 2,+∞? ? ，所以 OP?? = x,y? ? ,FP??= x+ 3,y? ? ，所以 OP?? ?FP??=x x+ 3? ? +y2=x2+ 3x+ x22 -1= 32 x+ 33? ? 2- 32 ，所以当 x=- 2 时， OP?? ?FP??取最小值 32 - 2+ 33? ? 2- 32 =2- 6.故选： B.5． C【解析】试题分析：设 ,则 所以求 的最大值 ,只要求出 的最大值 , 的最小值 ,因为点 M为圆 上的动点 ,所以的最大值为 ,因为点 Α,Β在双曲线 上 ,所以 的最小值为 16,所以 的最大值为 ,故选 C.考点： 双曲线的简单几何性质、圆的有关性质 .【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单几何性质和定点到圆上点的距离 .由 A,B， M是不相关的两个点可知本题是分别考查了两个知识点，即将数量积的最值转化成原点到双曲线上的最近距离的平方和圆上的 点原点的最大距离的平方，由此实现了几何与代数转化，体现了解析几何的特点 .本题综合性强，难度大 .6． (1) - 15,- 3? ? ∪ - 3, 3? ? ∪ 3, 15? ? ； (2)- 7； (3)存在实数 a=-2满足题意 ，理由见详解 .【分析】 (1)先由题意，得到直线 l的方程为 y=ax+2，联立直线与双曲线方程，根据交点个数，列出不等式求解，即可得出结果； (2)先设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，根据两点都在双曲线的右支上 ，列出不等式求解，得出 - 15
OA?? ?OB?? =0，利用韦达定理，列出等式求解，即可得出结果；(3)先假设存在实数 a满足题意，根据对称性，得到两直线垂直，求出 a，再求出中点坐标验证，即可得出结果.【解析】 (1)因为直线 l经过点 P 0,2? ? 且以 d?= 1,a? ? 为一个方向向量，所以直线 l的方程为 y=ax+2，由 y=ax+23x2-y2=1??? 得 3x2- ax+2? ? 2=1，整理得 3-a2? ?x2-4ax-5=0，因此 3-a2≠0Δ= -4a? ? 2+20 3-a2? ? >0??? ，解得 a≠± 3- 15 0x1x2= -53-a2 >0Δ= -4a? ? 2+20 3-a2? ? >0??????? ，解得 - 15
PP1??? ? 、 PP2??? ? ，利用平面向量数量积的定义可求得 PP1?? ?PP2?? 的值 .【解析 】 (1)设 F2 c,0? ? 、 M c,y0? ? y0>0 ? ，则 c2=a2+b2，将点 M的坐标代入双曲线的方程得 c2a2 - y20b2 =1，可得 y20 = b4a2 ， ∵y0>0， ∴y0= b2a ，∴ MF2? ? = b2a ，∵∠MF1F2=30°， MF2⊥x轴，所以， MF1? ? =2MF2? ? = 2b2a ，由双曲线的定义可得 MF1? ? - MF2? ? =2a= b2a ， ∴b= 2a，则 c= a2+b2 = 3a，S△MF1F2= 12 ×2c× b2a = b2ca =2 3a2=4 3， ∴a= 2， b=2，因此， 双曲线的方程为 x22 - y24 =1；(2)双曲线的两条渐近线为 l1: 2x-y=0， l2: 2x+y=0，易知 P 2,0? ? ，渐近线 l1的倾斜角为 θ， 则 tanθ= 2，∴cos2θ=cos2θ-sin2θ= cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ = 1-tan2θ1+tan2θ =- 13 ，PP2??? ? = PP1??? ? = 22+1 = 23 ，由平面向量数量积的定义可得 PP1?? ?PP2?? = PP1??? ? ? PP2??? ?cos π-2θ? ? = 43 × 13 = 49 .【点评 】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8． (1)x24 -y2=1； (2)PM?? ?PN?? ∈ -∞,-1? ? ； (3)S∈ 13 5-195 ， +∞??? ? .【分析 】 (1)先由题意，得到双曲线的渐近线方程，根据夹角公式，由题中条件，得到 a2=4b2，再由点到直线距离公式，求出 a,b，进而可得出结果；(2)先由题意，设 M 2m,m? ? ， N 2n,-n? ? ， m>0， n>0，当 λ=1， 得到 P m+n,m-n2? ? ，代入双曲线方程 ，得到 mn=1，再计算向量数量积，即可得出结果；(3)同 (2)，设 M 2m,m? ? ， N 2n,-n? ? ， m>0， n>0，第 207页 共 377页
由 MP?? =λPN?? 得 P 2m+2λn1+λ ,m-λn1+λ? ? ，代入双曲线方程 ，得到 mn= 1+λ? ? 24λ ，再由点到直线距离公式 ，两点间距离公式，求出 S= 1+λ? ? 22λ =1+ 12 λ+ 1λ? ? ，由题中条件 ，求出 λ∈ 5 5-10， +∞? ? ，进而可求出结果.【 解析】 (1)由题意双曲线渐近线为 bx±ay=0.根据夹角公式 b2-a2? ?a2+b2 = a2-b2a2+b2 = 35 ?a2=4b2.又 bc? ?b2+a2 =1?b=1?a2=4.所以 x24 -y2=1.(2)由题意，设 M 2m,m? ? ， N 2n,-n? ? ， m>0， n>0，当 λ=1时， MP?? =PN?? ，则 P m+n,m-n2? ? ，所以 (m+n)24 - m-n? ? 24 =1，整理得 mn=1；又 PM?? = m-n,m+n2? ? ， PN?? = n-m,-n-m2? ? ，所以 PM?? ·PN?? =- m-n? ? 2- m+n? ? 24 =- 54 m+n? ? 2+4mn=- 54 m2+n2+2mn? ? +4≤- 54 ?4mn+4=-1， 当且仅当 m=n=1时，等号成立；所以 PM?? ·PN?? ∈ -∞,-1? ? .(3)同 (2)，设 M 2m,m? ? ， N 2n,-n? ? ， m>0， n>0，由 MP?? =λPN?? 得 OP?? -OM??? =λ ON?? -OP??? ? ，即 1+λ? ?OP?? =OM??? +λON?? ，则 OP?? = 11+λOM??? + λ1+λON?? = 2m+2λn1+λ ,m-λn1+λ? ?所以 P 2m+2λn1+λ ,m-λn1+λ? ? .把点 P的坐标代入双曲线的方程得 2m+2λn1+λ? ? 24 - m-λn1+λ? ? 2=1.(m+λn)2-(m-λn)2=(1+λ)2 所以 mn= 1+λ? ? 24λ ，因为直线 MN的斜率为 kMN= m+n2m-2n，则直线 MN的方程为 y-m= m+n2m-2n x-2m? ? ，即 m+n? ?x- 2m-2n? ?y-4mn=0，所以点 O到直线 m+n? ?x- 2m-2n? ?y-4mn=0的距离为 d=-4mn? ?m+n? ? 2+4 m-n? ? 2 4mn? ?m+n? ? 2+4 m-n? ? 2 ，又 MN? ? = 2m-2n? ? 2+ m+n? ? 2 = 4 m-n? ? 2+ m+n? ? 2，所以 S= 12 ? MN? ? ?d=2mn? ? = 1+λ? ? 22λ? ? ，由题意知， λ>0， 所以 S= 1+λ? ? 22λ =1+ 12 λ+ 1λ? ? ，S= 12 ? λ2+2λ+1λ = 12 λ+ 1λ? ? +1.设 P x,y? ? 是双曲线右支上一点， 记双曲线左右焦点分别为 F1 - 5,0? ? ， F2 5,0? ? ，由双曲线的性质可得， PF1? ? > PF2? ? ， 第 208页 共 377页
又 PF2? ? = x- 5? ? 2+y2 = x2-2 5x+5+ 14x2-1= 54x2-2 5x+4= 52 x-2? ? = 52 x-2， x∈ 2,+∞? ? ，所以 PF2? ? ∈ 5-2,+∞? ? ，即双曲线上的点到其焦点的距离的范围是 5-2,+∞? ? ，由题意可得， λ∈ 5 5-10， +∞? ? ，令 f x? ? = 12 x+ 1x? ? +1， x∈ 5 5-10， +∞? ? ，任取 1<5 5-10
∴4-4m=0，即 m=1， 此时 CA?? ?CB?? =-1；当 AB与 x轴垂直时，点 A,B的坐标可分别设为 (2, 2),(2,- 2)，此时 CA?? ?CB?? =(1, 2)?(1,- 2)=1×1+ 2× - 2? ? =-1；故在 x轴上存在定点 C(1,0)，使 CA?? ?CB?? 为常数．【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题． 10． (Ⅰ )4x2-y2=1(Ⅱ )k=± 2【分析 】 (Ⅰ )由题意结合双曲线过点 (1, 3)即可得 1a2 - 3b2 =1，由抛物线的焦点可得 c2=a2+b2= 54 ，即可得解 ；(Ⅱ )设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立方程可得 x1+x2= 2k4-k2 ， x1x2= -24-k2 ，由 OA?? ⊥OB?? 可得 x1x2+y1y2=x1x2+ kx1+1? ? kx2+1 ? =0，代入即可得解 .【 解析】 (Ⅰ )由题意设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1，双曲线的半焦距为 c，把 (1, 3)代入得 1a2 - 3b2 =1① ,又 y2=2 5x的焦点是 52 ,0? ? ，∴c2=a2+b2= 54 ，与①联立， 消去 b2可得 4a4-21a2+5=0，解得 a2= 14 或 a2=5(不合题意舍去 )，于是 b2=c2-a2=1，∴双曲线方程为 4x2-y2=1；(Ⅱ )由 (Ⅰ )得双曲线方程为 4x2-y2=1， ∴该双曲线的渐近线为 y=±2x，由直线 l:y=kx+1与双曲线 C交于 A， B两点可得 k≠±2，联立方程可得 y=kx+14x2-y2=1??? ，消去 y得 4-k2? ?x2-2kx-2=0，当 Δ=32-4k2>0即 -2 2
代入双曲线方程求解化简 ,再代入面积公式求解即可 .【解析 】 (1)由题 ,一条渐近线方程 y= bax?bx-ay=0, 可知 ca = 52ab-0? ?a2+b2 = 2 55??????? ? ca = 52abc = 2 55????? ,两式相乘有 b=1,又 c2=a2+b2.故 ca = 52 ? a2+1a2 = 54 ?a2=4,c2=5.故双曲线 C的方程： y24 -x2=1(2)由题 ,渐近线方程为 y=±2x,故设 P(x0,y0),A(x1,2x1),B(x2,-2x2)因为 AP?? =λPB?? ,故 x0-x1=λ(x2-x0)y0-2x1=λ(-2x2-y0)??? ? x0= x1+λx21+λy0=2x1-λx21+λ????? ,将点 P(x0,y0)代入双曲线方程有x1-λx21+λ? ? 2- x1+λx21+λ? ? 2=1.化简得 x1x2=- 1+λ? ? 24λ .故 S△AOB= 12 x1y2-x2y1? ? = 12 x1(-2x2)-x2×2x1? ? =2x1x2? ? = 1+λ? ? 22λ = 12 λ+ 1λ +2? ? .因为 λ∈ 13 ,2??? ? ? ? ,由对勾函数性质得 λ+ 1λ ∈ 2,103??? ? ? ? ,故 S△AOB= 12 λ+ 1λ +2? ? ∈ 2, 83??? ? ? ?【点评 】本题主要考查了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等 .主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式 ,属于难题 .12． (1)2m2-3k2=3(k≠± 3)； (2)证明见解析， AB? ? min= 6【分析 】 (1)设点 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? 联立直线方程 y=kx+m和双曲线方程 x2- y23 =1消元化简 :3-k2? ?x2-2kmx-m2-3=0,然后利用韦达定理结合向量垂直即 x1x2+y1y2=0,可求得 k和 m满足的关系;(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用 (1)的结论即可证明距离是定值; 利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式 AB? ? = 1+k2? ? 54+6k2 ?k2-3? ? 2 ,然后利用换元配方求解最小值 .【解析 】 (1)设点 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,联立 y=kx+mx2- y23 =1??? 消 y得 3-k2? ?x2-2kmx-m2-3=0,∴ 3-k2≠0x1+x2= 2km3-k2x1x2= -m2-33-k2??????? ,由 OA?? ⊥OB?? 得 OA?? ·OB?? =x1x2+y1y2= 1+k2? ?x1x2+km x1+x2? ? +m2=0代入化简可得 k和 m满足的关系为 :2m2-3k2=3(k≠± 3);(2)由点到直线的距离公式可得 :d= 0-0+m? ?k2+1 = m? ?k2+1 ,由 (1)得 k2= 2m2-33代入可解得 d= 62 为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得 :?AB? ? = 1+k2 x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+k2? ? 54+6k2 ?k2-3? ? 2 ,令 3-k2=t(t≤3)化简可得 AB? ? = 288t2 - 96t +6= 288 1t - 16? ? 2-2,第 211页 共 377页
由 t≤3可得当 1t = 13 ,t=3时 AB? ? min= 6.【点评 】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题 ,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组 ,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求 ,整体代入等解法 ,是高考常考题型 . 第 212页 共 377页
专题 24：双曲线的应用问题参考答案1． C【分析】连接 F1A,F1B，已知条件为 ∠F1AB=90°， tan∠ABF1= 34 ，设 AF1? ? =m，由双曲线定义表示出 AF2? ? ，用已知正切值求出 BF2? ? ，再由双曲线定义得 BF1? ? ，这样可由勾股定理求出 m(用 a表示 )， 然后在 △AF1F2中，应用勾股定理得出 a,c的关系，求得离心率．【解析】易知 F1,A,D共线， F1,B,C共线，如图，设 AF1? ? =m， AF2? ? =n，则 m-n=2a，由 tan∠ABC=- 34 得， tan∠ABF1= 34 ，又 ∠F1AB=∠F2AD=90°，所以 tan∠ABF1= mAB? ? = 34 ， AB? ? = 43m，则 BF2? ? = AB? ? - AF2? ? = 43m-n，所以 BF1? ? =2a+ BF2? ? =2a+ 43m-n=4a+ 13m，由 AF1? ? 2+ AB? ? 2= BF1? ? 2得 m2+ 43m? ? 2= 4a+ 13m? ? 2，因为 m>0， 故解得 m=3a，则 n=3a-2a=a，在 △AF1F2中， m2+n2=(2c)2，即 9a2+a2=4c2，所以 e= ca = 102 ．故选： C．【点评 】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出 a,c的关系，解题方法是利用双曲线的性质及已知条件得出 △ABF1的性质，从而在这个三角形中把 AF1? ?,AF2? ? 结合双曲线定义用 a表示， 然后再用勾股定理求得出 a,c的关系式．2． C【分析】分类讨论去绝对值可得函数 f(x)的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案 .【解析】当 x≥0,y≥0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 x24 + y22 =1(x≥0,y≥0)表示椭圆的一部分；当 x>0,y<0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 x24 - y22 =1(x>0,y<0)表示双曲线的一部分；当 x<0,y>0时，方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1化为 y22 - x24 =1(x<0,y>0)表示双曲线的一部分；所以函数 y=f x? ? 的图象如图所示： 第 213页 共 377页
P1： ?x1,x2∈R， x1≠x2，恒有 f x1? ? -f x2? ?x1-x2 <0成立， 等价于函数 f(x)在 R上为单调递减函数，由图可知，命题 P1正确；P2： y=f x? ? 的图象上存在一点 P，使得 P到原点的距离小于 2.根据椭圆性质可知， 椭圆 x24 + y22 =1短轴端点 (0, 2)到原点的距离最小为 2，根据双曲线的性质可知 ，双曲线的顶点 (2,0)到原点的距离的最小为 2，故函数 y=f x? ? 的图象上不存在一点 P，使得 P到原点的距离小 2，命题 P2不正确 ；P3：对于 ?x∈R， 2f x? ? +x>0恒成立等价于对于 ?x∈R， f(x)>- 12x.从图象可知， 直线 y=- 12x的斜率大于双曲线 x24 - y22 =1的渐近线 y=- 22 x的斜率， 所以直线 y=- 12x与曲线 x24 - y22 =1(x>0,y<0)有交点， 故命题 P3不正确 .所以 P1∧P2、 P1∧P3、 ?P1∨P3不正确， ?P2∨P3正确 .故选： C【点评】分类讨论去绝对值，作出方程 xx? ?4 + yy? ?2 =1所确定的图象， 利用图象求解是解题关键 .3． B【分析】设出双曲线方程 y2a2 - x2a2 =1 a>0? ? ，写出点 B 15,-a-5? ? ，代入双曲线方程即可求解 .【 解析】如图：建系， 因为拱桥是等轴双曲线， 第 214页 共 377页
则设双曲线方程 y2a2 - x2a2 =1 a>0? ? ， C 0.-a? ? ，又因为 AB? ? =30， CD? ? =5，则 B 15,-a-5? ? ，将 B代入双曲线方程， 可得 -a-5? ? 2a2 - 152a2 =1，解得 a=20，即 y2202 - x2202 =1，当水面下降 5m，纵坐标 yN=-a-10，代入双曲线方程可得 xN=10 5，∴ MN? ? =2xN=20 5≈44.8.故选 ： B4． D【分析】由已知求出 2a、焦距 2c，利用 cosαsinα = ba 可得 sinα= 11+ b2a2 可得答案 .【解析 】设两耳所在双曲线的实轴长为 2a，焦距为 2c，虚轴长为 2b，则 2a=3×10-5×334=0.01002 m? ? ， 2c=0.2 m? ? ，由题意 tan π2 -α? ? = ba，所以 cosαsinα = ba，所以 sinα= 11+ b2a2 = ac = 2a2c = 0.010020.2 =0.0501≈0.05．故选： D．5． B【分析】根据双曲线的定义求出点 P所在的双曲线的标准方程 x2225 - y264 =1 x>15? ? ，将方程与 x-27? ? 236- y264 =1联立， 求解即可 .【解析】设由船 P到 B台和到 A台的距离差确定的双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1 x≥a? ? ，因为船 P上接到 A台发射的电磁波比 B台电磁波早 185.2μs，则船 P到 B台和到 A台的距离差为 PB? ? - PA? ? =2a= 185.2×0.31.852 =30海里，故 a=15，又 c=17，故 b=8，故由船 P到 B台和到 A台的距离差所确定的双曲线为 x2225 - y264 =1 x>15? ? ，联立 x-27? ? 236 - y264 =1 x<21? ?x2225 - y264 =1 x>15? ???????? ，解得 P 1357 ,±32 27? ? ，故选： B.【 点评】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题 .6． C【分析】根据双曲线的性质，可以直接结论 .【解析】 ∵ A， B两点在双曲线 y= 3x 上 第 215页 共 377页
∴ 面积 S1+S2等于 3+3-2×1=4.故选： C.【 点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题型 .7． A【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程， 得到关于 y的一元二次方程，要满足方程的根不能大于 1，即可求解 .【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示， 圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交， 设半径为 r，圆心为 (0,r+1)，圆方程为： x2+(y-r-1)2=r2代入双曲线方程 y2-x2=1，得 y2-(r+1)y+r=0,∴y=1,y=r，要使清洁球到达底部， r≤1.故选 :A【点评 】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题 .8． A【分析】根据对称性将几何体分为上下两部分，由已知中过 0,y? ? 0≤y≤1 ? 作几何体的水平截面， 计算截面面积，利用祖暅原理得出几何体的体积即可．【解析】双曲线 x2-y2=1的渐近线方程为 y=±x，记 D绕 y轴旋转一周所得的几何体为 Ω，根据对称性分为上下两部分，过 0,y? ? 0≤y≤1 ? 作几何体上半部分的水平截面，则截面面积 S=π x2-y2? ? =π，利用祖暅原理得 Ω的体积相当于底面面积为 π高为 2的圆柱的体积，∴Ω的体积 V=π×2=2π，故选 A.【点评】本题考查了几何体的体积计算问题，也考查了双曲线的简单几何性质应用问题，正确理解题意是解 题的关键，是中档题． 9． B 第 216页 共 377页
【分析 】作出曲线 y22 - xx? ?2 =1的图像， 利用 y=x+2是 y2+x2=2的切线，渐近线方程为 y=±x,即可得出结论 .【解析】当 x≥0时，曲线方程为 y22 - x22 =1,图形为双曲线在 y轴的右半部分； 当 x<0时，曲线方程为 y2+x2=2，图形为圆在 y轴的左半部分；如图所示，因为 y=x+2是 y2+x2=2的切线，渐近线方程为 y=±x,所以直线 y=x+2与曲线 y22 - xx? ?2 =1的交点个数为 1.【点评 】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型 .10． A【解析】 如图， 以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x轴、 y轴正向，建立直角坐标系．设 A、 B、 C分别是西、东、北观测点，则 A(-1020， 0)， B(1020， 0)， C(0， 1020).设 P(x， y)为巨响为生点，由 A、 C 同时听到巨响声，得 PA? ? = PC? ? ，故 P在 AC的垂直平分线 PO上， PO的方程为 y=-x，因 B点比 A点晚 4s听到爆炸声，故， PB? ? - PA? ? =340×4=1360由双曲线定义知 P点在以 A、 B为焦点的双曲线 ?x2a2 - y2b2 =1上， 依题意得 a=680， c=1020， ∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, 故双曲线方程为 ? x26802 - y25×3402 =1?， 将 y=-x 代入上式，得 x=±680 5， ∵ PB? ? > PA? ? ， ∴x=-680 5， y=680 5 ，即 P(-680 5， 680 5)，故 PO=680 10 .故巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m处．故选 A【点评 】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，利用数形结合思想是解题的关键 .．11． A【解析】由题得：设周长为 l 第 217页 共 377页
BM? ? + BN? ? =2aAM? ? - AN? ? =2m?l= AB? ? + BN? ? + AN? ? = AB? ? +2a- BM? ? + AM? ? -2m∵ AB? ? + AM? ? ≥ BM? ? ?l≥2a-2m 当且仅当 M、 A、 B共线时， 周长的最小【点评 】考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得 AB、 BN、 AM、 AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案12． 36π.【分析】由已知中过 (0， y)(0≤y≤4)作 Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出 Ω的体积．【解析】在 xOy平面上，将双曲线的一支 x29 - y216 =1 (x>0)及其渐近线 y= 43x和直线 y=0， y=4围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．则直线 y=a与渐近线 y= 43x交于一点 A 34a， a? ? 点， 与双曲线的一支 x29 - y216 =1 (x>0)交于B 34 16+a2， a? ? 点，记 D绕 y轴旋转一周所得的几何体为 Ω．过 (0， y)(0≤y≤4)作 Ω的水平截面，则截面面积 S= 34 a2+16? ? 2- 34? ? 2??? ? ? ? π=9π，利用祖暅原理得 Ω的体积相当于底面面积为 9π高为 4的圆柱的体积，∴Ω的体积 V=9π×4=36π，故答案为 36π【 点评】本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为 9π高为 4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积 .13．②【解析】依题意知函数 y=f(x)的图象是双曲线 x2-y2=1的一部分 .第 218页 共 377页
由函数的定义， 函数的图象可能是以下情况：从以上情况可以看出： ①④表示偶函数，②③表示奇函数，①错②对；由图②④可知函数 y=f(x)在 (1,+∞)单调递减，故③错；由图④可知函数是偶函数时，其值域也为 (0,+∞)，故④错 .故答案为：② .14． 12 , 32? ? 4π3【解析 】 (1)OM? ? = 12+( 3)2 =2， ON? ? =1，所以 ON?? = 12OM??? ，则 N点坐标为 12 , 32? ? ．(2)双曲线 x2- y23 =1的渐近线为 y=± 3x，由 “中心投影点”的定义，知中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为 π3 ，因此弧长为 2× 23 π×1= 4π3 ．第 219页 共 377页
专题 25：抛物线的定义与方程参考答案1． B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可 .【解析】抛物线 y2=4x的焦点 F(1,0)，准线 l的方程为 x=-1，过 P做 PQ⊥l，垂足为 Q，设 △APF周长为 c，c=PA+PF+AF=PA+PF+ (3-1)2+12 =PA+PF+ 5，由抛物线的定义可知 ：PF=PQ，因此 c=PQ+AP+ 5，当 P,A,Q在同一条直线上时， c有最小值，即PA⊥l时， cmin=3-(-1)+ 5=4+ 5，故选： B2． D【分析】根据 AF? ? + AB? ? 取到最小值时， 点 A与 P重合，利用抛物线的定义得到 PC2⊥l，从而得到点 P的坐标，连接 FC2，由抛物线的定义得到 Q为 FC2与抛物线 C1的交点求解 .【解析】如图所示： C2:x2+y2-4 2y+7=0，即 x2+ y-2 2? ? 2=1，圆心为 C2 0,2 2? ? ，抛物线 C1:y2=4x的焦点为 F 1,0? ? ，记 C1的准线为 l， 过点 A作 AD1⊥l，第 220页 共 377页
过 C2作 C2D2⊥l，AF? ? + AB? ? = AD1? ? + AB? ? ≥ AD1? ? + AC2? ? -1，当 A,C2,D1共线时，点 B在 AC2上，此时 P 2,2 2? ? ，连接 FC2，AF? ? - AB? ? ≤ AF? ? - AC2? ? -1? ? = AF? ? - AC2? ? +1≤ FC2? ? +1，此时 Q为 FC2与抛物线 C1的交点，FC2:y=-2 2 x-1? ? ，由 y=-2 2 x-1? ?y2=4x??? ，解得 x=2y=-2 2??? 或 x= 12y= 2??? ，因为 Q在第一象限，所以 Q 12 , 2? ? ，所以 kPQ= 2 2- 22- 12 = 2 23 ，故选： D【 点评】本题关键是抛物线定义的灵活应用 .3． B【分析】设直线 PA的倾斜角为 θ，设 PP?垂直于准线于 P?，由抛物线的性质可得 PP?? ? = PF? ? ，则 PA? ?PF? ? =PA? ?PP?? ? = 1cosθ，当直线 PA与抛物线相切时， cosθ最小， PA? ?PF? ? 取得最大值， 设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点 P的坐标，然后进行计算得到结果 .【解析】设直线 PA的倾斜角为 θ，设 PP?垂直于准线于 P?，由抛物线的性质可得 PP?? ? = PF? ? ，所以则 PA? ?PF? ? = PA? ?PP?? ? = 1cosθ，当 cosθ最小时 ，则 PA? ?PF? ? 值最大，所以当直线 PA与抛物线相切时， θ最大，即 cosθ最小，由题意可得 A -1,0? ? ，设切线 PA的方程为 ： x=my-1，x=my-1y2=4x??? ，整理可得 y2-4my+4=0，Δ=16m2-16=0，可得 m=±1，将 m=±1代入 y2-4my+4=0，可得 y=±2，所以 x=1，即 P的横坐标为 1，即 P的坐标 1,±2? ? ，所以 PA? ? = 22+22 =2 2， PP?? ? =1- -1? ? =2，所以 PA? ?PF? ? 的最大值为： 2 22 = 2，故选： B． 第 221页 共 377页
【点评 】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦 半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 4． A【分析】设 |AF|=a,|BF|=b，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得 2|MN|=a+b，再根据余弦定理得 AB? ? 2=a2+b2-ab， 结合基本不等式求得 AB? ? 的范围， 从而得到 MN? ?AB? ? 的最大值 .【解析 】设 |AF|=a,|BF|=b，连接 AF,BF，过 A作准线 l的垂线，垂足为 Q，过 B作准线 l的垂线，垂足为 P，由抛物线的定义得： |AF|=|AQ|,|BF|=|BP|，则 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.则在 ΔABF中，由余弦定理可得： AB? ? 2=|AF|2+|BF|2-2|AF|?|BF|cos∠AFB=a2+b2-ab，而 AB? ? 2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3? (a+b)24 = (a+b)24 ，因此 AB? ? ≥ a+b2 = MN? ? ，即 MN? ?AB? ? ≤1(当且仅当 a=b时取等号 ).故选： A【 点评】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难题 .5． D【分析】先将所求问题转化为求 y=ex上任意一点到抛物线焦点 F的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案 .【解析】如图，设抛物线的焦点为 F，则 F(1,0)，由抛物线的定义知 |PH|+1=|PF|，所以 PH? ? + PQ? ? =|PF|-1+|PQ|≥|QF|-1，当且仅当 Q,P,F三点共线时，等号成立，第 222页 共 377页
设 Q(x,ex)，则 |QF|2=(x-1)2+e2x，令 f(x)=(x-1)2+e2x，则 f?(x)=2(x-1)+2e2x，由复合函数单调性知， f?(x)在 R上单调递增，且 f?(0)=0，所以当 x>0时， f?(x)>f?(0)=0，当 x<0时， f?(x)0，由韦达定理得 yP+yQ=4k， yPyQ=-4m，所以， xP+xQ= kyP+m? ? + kyQ+m? ? =k yP+yQ? ? +2m=4k2+2m，故 xR=3- xP+xQ? ? =3-4k2-2m， yR=- yP+yQ? ? =-4k，将点 R的坐标代入抛物线 C的方程得 16k2=4× 3-4k2-2m? ? ，得 2m=3-8k2，则 Δ=8 2k2+2m? ? =8 3-6k2? ? >0，得 0≤k2< 12 ，则 PF? ? + QF? ? =xP+xQ+2=4k2+2m+2=5-4k2∈ 3,5? ? .∵F 1,0? ? 不在直线 PQ上 ，则 m≠1，此时， k2≠ 18 ，则 PF? ? + QF? ? ≠ 92 .因此， PF? ? + QF? ? 的取值范围是 3, 92? ? ∪ 92 ,5? ? ? ? .故选： A. 第 223页 共 377页
【点评 】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．7． B【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立， 根据韦达定理可得 x1x2=4，则 PN? ? +9QM? ? =PC2+9QC2+10，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果 .【解析】设抛物线方程为 y2=2px由抛物线过定点 2,4? ? 得 2p=8，抛物线方程 y2=8x，焦点为 C2 2,0? ? ，圆的标准方程为 x-2? ? 2+y2=1,∴圆心为 2,0? ? ，半径 r=1，由于直线过焦点 ，可设直线方程为 y=k x-2? ? ，设 P x1,y1? ? ,Q x2,y2? ? ,y=k x-2? ?y2=8x??? ?kx2- 4k+8? ?x+4k=0， ∴x1x2=4又 PN? ? +9QM? ? = PC2+1? ? + 9QC2+9? ? =PC2+9QC2+10= x1+2? ? +9 x2+2? ? +10=x1+9x2+30≥2 x1?9x2 +30=12+30=42，x1=x2时等号成立 ，∴ PN? ? +9QM? ? 的最小值为 42，故选 B.【 点评】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中 档题 . 利用基本不等式 a+b≥2 ab求最值， 要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等” .8． BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点 P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【解析】由题意可得，点 P到点 M的距离比到直线 l的距离小 1，即等价于“点 P到点 M的距离等于到直线 l''： x=-1的距离”故 P点轨迹是以 M 1， 0? ? 为焦点， 直线 l''： x=-1为准线的抛物线，其方程是 y2=4x，故 A错误;点 P的轨迹方程是抛物线 y2=4x，它与直线 l''没交点，即两者是没有交会的轨迹，故 B正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线 y2=4x有交点，把 y=2x+6代入抛物线 y2=4x，消去 y并整理得 x2+5x+9=0因为 Δ=52-4×1×9=-11<0，无解，所以 y=2x+6不是“最远距离直线”，故 C正确；把 y= 12x+1代入抛物线 y2=4x，消去 y并整理得 x2-12x+4=0，因为 Δ= -12? ? 2-4×1×4=128>0， 有解，所以 y= 12x+1是“ 最远距离直线”，故 D正确．故选： BCD．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析 第 224页 共 377页
问题与解决问题的能力， 属于较难题．9． 53【分析 】根据题意得到 p的值，过点 A作 AD垂直于准线 l于点 D，过点 B作 BE垂直于 l于点 E，延长 AB交 l于点 C，再利用三角形相似得到 BC和 AC的关系，从而得到 BF， AF， CF的关系，求出 AD=4，即可得到答案．【解析】焦点 F到准线的距离为 p=2，过点 A作 AD垂直于准线 l于点 D，过点 B作 BE垂直于 l于点 E，延长 AB交 l于点 C，则 ΔBCE∽ΔACD，所以 BCAC = BEAD = BFAF = 13 ，记 BC=x，则 AC=3x，因为 |AF|=3|FB|，所以 BF= 14AB= 12x， AF=3BF= 32x，因为 CF=BC+BF= 32x， F为 AC的中点 ，所以 AD=2FG=4，所以 AF= 32x=4，即 x= 83 ,BE? ? = 43即线段 AB的中点到 y轴的距离为 AD? ? -1+ BE? ? -12 = 53 ．故答案为： 53 ．【点评 】方法点睛： .凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 P的坐标．2．若 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点，由定义易得 |PF|=x0+ p2 ；若过焦点的弦 AB的端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长为 AB? ? =x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出； 若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 10． 1【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 AB? ? ? CD? ? = AF? ? -1? ? DF? ? -1 ? =(x1+1-1)(x2+1-1)=x1x2 ,由 y=k x-1? ? 与 y2=4x联立方程消 y得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1x2=1 ,因此 AB? ? ? CD? ? =1.第 225页 共 377页
11． 2【 解析】设 P 到抛物线准线的距离为 d ，根据抛物线的定义知 PQ? ? + PF? ? = PQ? ? +d ，由圆的几何性质及平面几何体知识可得 ， PQ? ? +d 的最小值是圆心到准线的距离与半径的差， 即 PQ? ? + PF? ? = PQ? ? +d≥3-1=2，故答案为 2 .12． 2【分析 】要求直线 OQ的斜率的最大值 ,由直线的斜率公式可知应求点 Q的横、纵坐标的关系 ,由题可设点P y022p,y0? ? ,点 F p2 ,0? ? ,进而根据 OQ?? = 23OP?? + 13OF?? 求得 OQ?? ,再由均值不等式求得最值 .【解析】由题可得 F p2 ,0? ? ,设 P y022p,y0? ? ,显然 ,当 y0<0时 ,kOQ<0；当 y0>0时 ,kOQ>0,要求 kOQ的最大值 ,设 y0>0,因为 2PQ??? ? = QF??? ?,所以 2PQ?? =QF?? ,即 2 OQ?? -OP??? ? =OF?? -OQ?? ,所以 OQ?? = 23OP?? + 13OF?? = y023p + p6 ,2y03? ? ,所以 kOQ= 2y03y023p + p6 = 2y0p + p2y0 ≤ 22 y0p ? p2y0 = 2,当且仅当 2y02=p2时等号成立 ,即 kOQ的最大值为 2,故答案为 : 2【点评 】本题考查与抛物线有关的最值问题 ,考查利用均值不等式求最值 ,考查运算能力与转化思想 .13． 1【分析】设过抛物线的焦点 F的直线 y=kx+1，与 y= 14x2联立， 结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出 AB?CD的乘积【解析】抛物线的焦点为 F 0,1? ? ，准线为 y=-1，可设直线方程为 y=kx+1，直线 y=kx+1，与 y= 14x2联立得： y2- 4k2-2? ?y+1=0，可得 yAyD=1,∵AB=AF-1=yA+1-1=yA,CD=DF-1=yD+1-1=yD,∴AB?CD=1答案为 1.【点评】抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离 ,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题14． 6【解析】【分析】直线 AB:x=my+ p2 代入抛物线方程， 利用韦达定理，计算 SΔAA
1F,SΔBB1F，相乘化简可得求p44 m2+1? ? =9，由三角形面积公式可得 SΔA1B1F=p2 m2+1=6.【解析 】设直线 AB:x=my+ p2 ，代入抛物线方程， 消元可得 y2-2pmy-p2=0，设 A x1y1? ? ,B x2y2? ? ，则 y1y2=-p2,y1+y2=2pm，第 226页 共 377页
SΔAA1F= 12 AA1? ? × y1? ? = 12 x1+ p2? ? y1? ? = 12 y212p + p2? ? y1? ? =9，SΔBB1F= 12 BB1? ? × y2? ? = 12 x2+ p2? ? y2? ? = 12 y222p + p2? ? y2? ? =1，∴SΔAA1F?SΔBB1F= y1y2? ? 24p2 + p24 + 14 y12+y22? ????? ? ? ? ? y1y2? ?= p44p2 + p24 + 14 4p2×m2+2p2? ????? ? ? ? ? ×p2= p44 m2+1? ? =9，∴SΔA1B1F= p2 y1-y2? ? = p2 y1+y2? ? 2-4y1y2 =p2 m2+1=6，故答案为 6.【 点评】解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化 简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更 简单 .15． 4【解析】 设点 A 、 B 的横坐标分别为 xA 、 xB，由焦半径公式得 AF? ? = 43 =xA+1?xA= 13 ,yA=±2 33 ， yA= 2 33时， kAB=kAF= 2 331- 13 =- 3 ， AB 的方程为 y=- 3 x-1? ? ，与 y2=4x联立可得， 3x2-10x+3=0 ，解得 xB=3，所以 BF? ? =3+1=4 ，同理 ， yA=-2 33 时， BF? ? =4，故答案为 4 .16． 2x-y-1=0【解析】 试题分析 :由题设可得 ，设 ，则，由 FA?? +FB??+FC?? =0可得，即 ，又，故由 FA??? ?,FB??? ?,FC??? ? 成等差数列可得，由此可得 ．而，且 ，即 的中点坐标为由此可得 .故由点斜式方程可得 ，应填答案 .考点： 抛物线的几何性质及向量等差数列等知识的综合运用．【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历届高考必考 的考点之一 .本题以抛物线的焦点弦满足的向量等式 FA??? ?,FB??? ?,FC??? ? 成等差数列， 且点 B在 x轴下方，若FA?? +FB??+FC?? =0为背景，考查是抛物线的定义和平面向量的坐标运算及分析问题解决问题的综合能力 .解答时先设三点的坐标，再借助向量等式建立坐标之间的关系，从而使得问题获解 .第 227页 共 377页
17． x24 + y23 =1 ①②③【解析 】由圆 C: x+1? ? 2+y2=16,则圆心 C -1,0? ? ，半径 r=4;因为线段 AP的垂直平分线与直线 CP相交于点 Q，如图 (1)示：所以 QA? ? = QP? ? = PC? ? - QC? ? =4- QC? ? ，所以 QA? ? + QC? ? =4> AC? ? =2，符合椭圆的定义 ，所以点 Q的轨迹是以 A 1,0? ? 、 C -1,0? ? 为焦点， 长轴为 4 的椭圆，故 a=2,c=1,b2=3,所以点 Q的轨迹方程是 x24 + y23 =1；(1)若点 A在圆 C内不同于点 C处， 如图 (1)所示，则有 QA? ? + QC? ? =4> AC? ? =2，符合椭圆的定义 ，故点Q的轨迹是以 A 1,0? ? 、 C -1,0? ? 为焦点， 长轴为 4 的椭圆，所以③正确；(2)若点 A与 C重合，如图 (2)所示，则有 QP? ? = QA? ? = 12 PC? ? =2，符合圆的定义 ，故点 Q的轨迹是以C -1,0? ? 为圆心， 2为半径 的圆，所以②正确；(3)若点 A在圆 C上，如图 (3)所示，则由垂径定理，线段 AP的垂直平分线必过点 C,故 Q与 C重合故点 Q的轨迹一个点，所以①正确； (4)若点 A在圆 C外， 如图 (4)所示，则 QA? ? = QP? ? = PC? ? + QC? ? =4+ QC? ? ，所以 QA? ? - QC? ? =4
【点评 】求动点轨迹方程的方法：(1)定义法； (2)参数法； (3)轨交法 .18． x+2? ? 2+y2=4 10【分析 】 (1)利用直译法直接求出 P点的轨迹．(2)先利用阿氏圆的定义将 12 PB? ? 转化为 P点到另一个定点的距离， 然后结合抛物线的定义容易求得12 PB? ? + PQ? ? + QH? ? 的最小值．【解析 】设 P(x， y)，由阿氏圆的定义可得|PA||PB| = 12 ，即 (x+2)2+(y-1)2(x+2)2+(y-4)2 = 14 ,化简得 x+2? ? 2+y2=4∵ |PA||PB| = 12 ，则 |PA|= 12 |PB|设 F(1,0),则由抛物线的定义可得 |QH|=|QF|∴ 12 PB? ? + PQ? ? + QH? ? = PA? ? + PQ? ? + QF? ? ≥ AF? ? = 10,当且仅当 A,P,Q,F四点共线时取等号，∴ 12 PB? ? + PQ? ? + QH? ? 的最小值为 10故答案为： x+2? ? 2+y2=4 10【点评 】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大． 第 229页 共 377页
专题 26：抛物线的对称性问题参考答案1． A【分析】由题意设出直线 AB的方程，与抛物线方程联立消元后得到关于 x的二次方程，然后结合根与系数的关系求出线段 AB的中点坐标，代入对称轴方程 y=x+m后可得 m的值．【解析】 ∵A,B两点关于直线 y=x+m对称，∴可设直线 AB的方程为 y=-x+b，由 y=-x+by=2x2??? 消去 y整理得 2x2+x-b=0，∵直线 AB与抛物线交于两点 ，∴Δ=1+8b>0，解得 b>- 18 ．又由题意得 x1+x2=- 12 ,x1x2=-b2 ，∵x1x2=- 12 ，∴b=1，满足题意．设 A， B的中点为 P(x0， y0)，则 x0= x1+x22 =- 14 ，∴y0=-x0+1= 14 +1= 54 ，又点 - 14 , 54? ? 在直线 y=x+m上，∴ 54 =- 14 +m，解得 m= 32 ．故选 A．【点评 】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面： (1)根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解； (2)根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求． 2． B【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得到对称两个顶点的坐标，将坐标代 入抛物线方程可求得边长 .【解析】设等边三角形的边长为 a，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得等边三角形一个顶点的坐标为32 a,a2? ? ，代入抛物线方程得 a2? ? 2=2p? 32 a，解得 a=4 3p.【点评 】本小题主要考查等边三角形和抛物线图像的对称性，考查利用抛物线上点的坐标求参数等知识，属于基础题 .3． D【解析】由题意得，当等边三角形关于 x轴对称时，两个边的斜率 k=±tan300=± 33 ，其方程为 y=± 33 (x-4)，每条直线与抛物线均有两个交点， 焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有 2个，如图所示 (黑色两个 )，第 230页 共 377页
两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色， 或同时在下方各一个，如图中绿色部分，故选 D.4． D【解析 】设抛物线 y=x2上两动点的坐标分别为 P a,a2? ? ,Q x,x2? ? ， AP?? = a+1,a2-1? ? ,QP?? = x+1,x2-1? ? ， ∵PA⊥PQ， ∵AP?? ?QP?? =0，即a+1? ? x-a ? + a2-1? ? x2-a2 ? =0，整理可得 ： a+1? ? x-a ? 1+ a-1? ? x+a ?? ? =0,而 P、 Q和 A三点不重合即 x≠-1,x≠a，所以式子可化成 1+ a-1? ? x+a ? =0，整理可得 a2+ x-1? ?a+1-x=0，根据题意可知 ，关于 a的方程有实数解，即判别式 △= x-1? ? 2-4 1-x? ? ≥0，得 x≤-3或 x≥1，点 Q的横坐标取值范围是 -∞,-3 ∪? ?1,+∞? ? ，故选 D.5． A【分析】设圆心为 P(0,a)， (a>0)，半径为 r， Q(x,y)是抛物线上任一点，求出 PQ? ? 2，当 PQ? ? 2的最小值在原点处取得时， 圆 P过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【解析】设圆心为 P(0,a)， (a>0)，半径为 r， Q(x,y)是抛物线上任一点，PQ? ? 2=x2+(y-a)2=4y+(y-a)2=(y-a+2)2+4a-4，若 PQ? ? 2的最小值不在 O(0,0)处取得， 则圆 P不过原点，所以 a-2>0，即 a>2，此时圆半径为 r= 4a-4=2 a-1>2．因此当 r>2时， 圆无法触及抛物线的顶点 O．故选： A．【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在 原点处取得，由此得到解法，即设圆心为 P(0,a)，抛物线上点的坐标为 Q(x,y)，求出 PQ? ? ，然后确定其最小值 ，由最小值点不是原点可得结论．6． D【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，点 M到 x轴距离为 x1+x22 ，利用抛物线的定义可求 AF? ? + BF? ? =y1+ 14 +y2+ 14 ，利用 AF? ? + BF? ? ≥ AB? ? =4即可求解 .第 231页 共 377页
【解析 】由题意可得 F 0, 14? ? ，准线为 y=- 14 ，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，因为 M是 AB的中点，所以 M x1+x22 ,y1+y22? ?由抛物线的定义可得 AF? ? = AA1? ? =y1+ 14 ， BF? ? = BB1? ? =y2+ 14 ，所以 AF? ? + BF? ? =y1+ 14 +y2+ 14 =y1+y2+ 12 ≥ AB? ? =4，所以 y1+y2≥ 72 ，当且仅当 A,B,F三点共线时等号成立，所以线段 AB的中点 M到 x轴距离的最小值为 y1+y22 = 74 ，故选： D【 点评】本题解题的关键点是利用抛物线的定义求出 AF? ? + BF? ? ，结合 AF? ? + BF? ? ≥ AB? ? =4可求 .7． B【分析 】根据 A 1,2? ? ， B -1,2? ? ， M,N是曲线 C上关于 y轴对称的两点， 结合抛物线的对称性建立四边形ABNM周长模型 l= AB? ? +2AM? ? +2xM，再由抛物线的定义得到 2xM=2MF? ? -1，然后由直线段最短求解 .【 解析】设抛物线 y2=2x的焦点为 F，则四边形 ABNM的周长 :l= AB? ? +2AM? ? +2xM=2+2AM? ? +2MF? ? -1≥1+2AF? ? =1+ 17，当 A,M,F共线时取等号，故选 ： B.【点评】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题 .8． C【分析】两个曲线都关于 x轴对称，可知 A， B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可设出两点坐标，分别代入抛物线和圆的方程，从而可求出答案 .【解析】由题意，抛物线与圆交于 A， B两点，且 AB? ? =4，因为两个曲线都关于 x轴对称， 所以 A， B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故可设 A m,2? ? m>0 ? ， B m,-2? ? ，代入圆的方程得 m2+22=5， 解得 m=1，故 A 1,2? ? ， B 1,-2? ? ，代入抛物线方程可得 4=2p， 即 p=2.故选： C.【点评】本题考查抛物线和圆的方程的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题 .第 232页 共 377页
9． B【分析 】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过 P作准线的垂线，垂足为 H，根据抛物线的定义，可得 MN=NH，故 ΔPMN的周长为 PH+4，联立圆与抛物线可得 B点坐标，可得 PH的取值范围，可得答案 .【解析】如图， 可得圆心 M(0,1)也是抛物线的焦点，过 P作准线的垂线 ，垂足为 H，根据抛物线的定义，可得 MN=NH故 ΔPMN的周长 l=NH+NP+MP=PH+4，由 x2=4yx2+(y-1)2=16??? 可得 B(2 3， 3).PH的取值范围为 (4,6)∴ΔPMN的周长 PH+4的取值范围为 (8,10)故选： B.【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题 .10． BCD【分析】利用导数的几何意义得到直线 AB的方程，从而得到定点坐标，得 A错误；将直线 AB的方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系得到 M点横坐标，从而得到 PM⊥x轴，得 B正确；设 N(0， b)，直线NA、 NB的斜率分别为 k1、 k2，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当 b=-1时， k1+k2=0，得 C正确；根据抛物线的几何性质得到 A,B两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得 D正确 .【解析】设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， ∵y= 14x2， ∴y?= 12x，∴过点 A的切线方程为 y-y1= 12x1(x-x1)，即 y- 14x21= 12x1x- 12x21， ∴y= 12x1x- 14x21，同理过点 B的切线方程为 y= 12x2x- 14x22，将 (a， -1)分别代入上式， 得 -1= a2x1-y1， -1= a2x2-y2，∴直线 AB的方程为 a2x-y+1=0， ∴直线 AB过定点 (0， 1)， A选项错误，联立方程 x2=4ya2x-y+1=0??? 得： x2-2ax-4=0， Δ=4a2+16>0，则 x1+x2=2a， x1?x2=-4，∴点 M的横坐标为 x1+x22 =a， ∴PM⊥x轴 ， B选项正确，设 N(0， b)，由题意得 x1≠0、 x2≠0，设直线 NA、 NB的斜率分别为 k1、 k2，则 k1+k2= y1-bx1 + y2-bx2 = 14x1?x2-b? ? (x1+x2)x1?x2 = 2a(-b-1)-4 ，当 b=-1时 ， k1+k2=0，即直线 NA与直线 NB关于 y轴对称， C选项正确，∵点 A到准线的距离为 y1+1，点 B到准线的距离为 y2+1，第 233页 共 377页
∴ 1y1+1 + 1y2+1 = y1+y2+2(y1+1)(y2+1) = y1+y2+2y1?y2+y1+y2+1 = y1+y2+2(x1?x2)216 +y1+y2+1 =1， D选项正确，故选 ： BCD.【点评】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切 为出发点，利用根与系数的关系考查定值问题 .11． (Ⅰ )r∈ 32 ,1? ? ； (Ⅱ ) 49 6.【分析 】 (Ⅰ )联立抛物线与圆的方程，由题意可得 x2-x+1-r2=0在 0,+∞? ? 上有两个不同的解， 即Δ=1-4 1-r2? ? >01-r2>0??? ，解不等式组可得答案 .(Ⅱ )用半径 r表示出四边形 ABCD的面积为 SABCD= 1+2 1-r2? ? 4r2-3 ? ，令 t= 1-r2，此时 SABCD= (1+2t) 1-4t2? ? ，构造函数 f(t)=(1+2t) 1-4t2? ? ，求导判单调性 ，由单调性即可得到最值 .【解析】 (Ⅰ )联立 y2=x(x-1)2+y2=r2??? 得 x2-x+1-r2=0.由题可知，x2-x+1-r2=0在 0,+∞? ? 上有两个不同的解， 所以 Δ=1-4 1-r2? ? >01-r2>0??? ，得 34 0时， t∈ 0, 16? ? ，当 f'' t? ? <0时， t∈ 16 , 12? ? .所以 y=f t? ? 在 0, 16? ? 上单调递增， 在 16 , 12? ? 单调递减 .所以 f(t)max=f 16? ? = 3227 ，得四边形 ABCD的最大值为 49 6.【点评 】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题 .12． (1)y2=16x(2)抛物线 C上不存在两点 D， E关于过焦点的直线 l?对称；详见解析【分析】 (1)联立直线与抛物线方程，消去 x得 y2-py+2p=0，因为直线 l与抛物 C相切，所以 Δ=0即可求出参数 p的值 .(2)设直线 l?的方程为 y=k x-4? ? k≠0 ? .假设抛物线 C上存在两点 D， E关于直线 l?对称， 可设直线 DE的方程为 y=- 1kx+m，联立直线与抛物线方程 ，消元，设 D x1,y1? ? ， E x2,y2? ? ， DE中点为 G x0,y0? ? .列出韦达定理表示出 G点坐标， 其代入方程 y=k x-4? ? ，即可判断 .第 234页 共 377页
【解析 】 (1)由题联立方程组 y2=2px2x-y+2=0??? 消去 x得 y2-py+2p=0因为直线 l与抛物 C相切 ，所以 Δ=p2-8p=0解得 p=8或 0(舍 )所以抛物线 C的方程为 y2=16x.(2)由 (1)可知 F 4,0? ? ，所以可设直线 l?的方程为 y=k x-4? ? k≠0 ? .假设抛物线 C上存在两点 D， E关于直线 l?对称，可设直线 DE的方程为 y=- 1kx+m，联立方程组 y2=16xy=- 1kx+m??? 消去 y得 x2- 2mk+16k2? ?x+m2k2=0由 Δ= 2mk+16k2? ? 2-4m2k2>0，得 4k2+mk>0，设 D x1,y1? ? ， E x2,y2? ? ， DE中点为 G x0,y0? ? .则 x0= x1+x22 =km+8k2>0， y0=- 1kx0+m=-8k，因为 G x0,y0? ? 在直线上 l?，所以将其代入方程 y=k x-4? ? ，得 8k2+km+4=0，即 m=- 4k -8k，代入 4k2+mk>0，得 k2<-1，所以 k无解，故不存在 .即抛物线 C上不存在两点 D， E关于过焦点的直线 l?对称 .【点评】本题考查直线与抛物线相切求抛物线的方程，直线与抛物线的综合应用，属于中档题 .13．①②③④⑤【分析】根据题意，结合抛物线定义和性质，即可对选项进行逐一分析判断 .【解析】根据题意，作图如下： 因为 A， B在抛物线 y2=2px上 ，由抛物线的定义，得 AA?=AF,BB?=BF，又 A''， B''分别为 A， B在 l上的射影，所以 A''F⊥B''F，即①正确；取 AB的中点 N，则 MN= 12 (AF+BF)= 12AB，所以 AM⊥BM，即②正确；由②得 AM平分 ∠A?AF，所以 A?F⊥AM，又因为 BM⊥AM，第 235页 共 377页
所以 A''F?BM，即③正确 ；取 AB⊥x轴，则四边形 AFMA?为矩形，则 A''F与 AM的交点在 y轴上，且 AB''与 A''B交于原点，即④⑤正确；故答案为：①②③④⑤ .【点评】要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法 (取 AB⊥x轴 ).14．②③【分析】先求出曲线 C的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案 .【解析】设动点 M x,y? ? 是曲线 C上任意一点， 则 MF? ? + x+ 32? ? =5，即 x- 32? ? 2+y2 + x+ 32? ? =5，当 x≥- 32 时， x- 32? ? 2+y2 =5-x- 32 ，整理得 x=- 14y2+ 52 ，当 x<- 32 时， x- 32? ? 2+y2 =5+x+ 32 ，整理得 x= 116y2- 52 ，作出曲线 C的图形， 如下图，显然①不正确，曲线 C不关于 y轴对称；当 x=- 32 时， 可得 y=±4，所以当点 P(x,y)在曲线 C上时， y满足 |y|≤4成立，即②正确；令 y=0，可得 x=± 52 ，所以当点 P(x,y)在曲线 C上时， x满足 |x|≤ 52 ，且 0≤ x+ 32? ? ≤4，又 PF? ? +x+ 32? ? =5，所以 PF? ? =5- x+ 32? ? ， 1≤|PF|≤5，即③正确 .故答案为：②③ .【点评 】本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题 .15． 2.【分析 】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得 p的值 .【解析】如图： |AB|=2 6， |AM|= 6，|DE|=2 10， |DN|= 10， |ON|= p2 ，∴xA= ( 6)22p = 3p，∵|OD|=|OA|， 第 236页 共 377页
∴ |ON|2+|DN|2 = |OM|2+|AM|2∴ p24 +10= 9p2 +6，解得 ： p= 2，故答案为 2．【点评 】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．16． 2【解析】设 B(x1,y1)， A(x2,y2)，∵|OA|=|OB|，∴x21+y21 =x22+y22．又 y21 =2px1， y22 =2px2，∴x22-x21+2p(x2-x1)=0，即 (x2-x1)(x1+x2+2p)=0．又 x1、 x2与 p同号，∴x1+x2=2p≠0．∴x2-x1=0，即 x1=x2．根据抛物线对称性可知点 B， A关于 x轴对称，由 △OAB为等边三角形，不妨设直线 OB的方程为 y= 33 x，由 y= 33 xy2=2px??? ，解得 B(6p,2 3p)，∴ OB? ? = (6p)2+(2 3p)2 =4 3p．∵△OAB的面积为 48 3，∴ 34 (4 3p)2=48 3，解得 p2=4， ∴p=2．答案： 2 第 237页 共 377页
专题 27：抛物线的定点问题参考答案1． (1)y2=4x； (2)证明见解析 .【分析】 (1)根据焦点 F p2 ,0? ? ，求得点 A， B的坐标 ，然后由 S△AOB= 12 ? AB? ? ? p2 =2求解；(2)易知直线 l的斜率存在，记为 k，设直线 l:y=kx+m，与 y2=4x联立，由 kOP=tanα， kOQ=tanβ，结合 α+β= π4 ，由 tan α+β? ? = tanα+tanB1-tanα?tanβ = kOP+kOQ1-kOP?kOQ =tan π4 =1 求解 .【解析 】 (1)因为焦点 F p2 ,0? ? ，所以点 A， B的坐标分别为 p2 ,p? ? ， p2 ,-p? ? .所以 S△AOB= 12 ?2p? p2 =2，故 p=2.故抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)由题设 P x1,y1? ? ， Q x2,y2? ? ，易知直线 l的斜率存在， 记为 k，则设直线 l:y=kx+m，与 y2=4x联立得 ky2-4y+4m=0，得 y1+y2= 4k， y1?y2= 4mk ，则 x1+x2= y214 + y224 = 14 × y1+y2? ? 2-2y1y2? ? = 4k2 - 2mk ，x1?x2= y214 ? y224 = m2k2 ，kOP?kOQ= y1x1 ? y2x2 = 16y1?y2 = 4km ，kOP+kOQ= y1x1 + y2x1 = x2 kx1+m? ? +x1 kx2+m? ?x1x2= 2k1x2+m x1+x2? ?x1x2 = 4m.又知 kOP=tanα， kOQ=tanβ，tan α+β? ? = tanα+tanB1-tanα?tanβ = kOP+kOQ1-kOP?kOQ ，= 4m1- 4km =tan π4 =1，解得 m=4k+4，所以直线 l:y=kx+4k+4=k x+4? ? +4，恒过定点 -4,4? ? .【点评 】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位 置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 2． (1)x2=4y； (2)证明见解析 .【分析】 (1)把已知条件用坐标表示，并化简即得 C的方程；(2)设 D t,-2? ? ， E x1,y1? ? ， F x2,y2? ? ，利用导数得出切线 DE,DF的方程，由 D在切线上，从而可得直线 EF的方程，由直线方程可得定点坐标．【解析】 (1)设 P x,y? ? ，则 PA?? = -x,-1-y? ? ， PB?? = -x,1-y? ? ，第 238页 共 377页
AB?? = 0,2? ? ， BA?? = 0,-2? ? ，所以， PB??? ? AB??? ? =PA?? ?BA?? 可以化为 -x? ? 2+ 1-y? ? 2 =1+yAB?? = 0,2? ? ，化简得 x2=4y．所以， C的方程为 x2=4y．(2)由题设可设 D t,-2? ? ， E x1,y1? ? ， F x2,y2? ? ，由题意知切线 DE， DF的斜率都存在，由 x2=4y，得 y= x24 ，则 y?= 2x，所以 kDE= x12 ，直线 DE的方程为 y-y1= x12 x-x1? ? ，即 y-y1= x12 x- x122 ，①因为 E x1,y1? ? 在 x2=4y上， 所以 x12=4y1，即 x122 =2y1，②将②代入①得 x1x-2y1-2y=0，所以直线 DE的方程为 x1x-2y1-2y=0同理可得直线 DF的方程为 x2x-2y2-2y=0．因为 D t,-2? ? 在直线 DE上 ，所以 tx1-2y1+4=0，又 D t,-2? ? 在直线 DF上 ，所以 tx2-2y2+4=0，所以直线 EF的方程为 tx-2y+4=0，故直线 EF过定点 0,2? ? ．【点评 】本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由 D在切线上，根据直线方程的意义得出直线 EF方程，然后得定点坐标．3． (1)x-2y-2=0； (2)证明见解析 .【分析】 (1)先判断直线 l1： mx-y-2m=0过定点 T 2,0? ? ，由垂径定理表示出 PQ? ? =2 32-d2，当 PQ⊥ET时，当 d最大时， PQ? ? 最小， 求出 PQ斜率 m，得到直线方程；(2)联立方程组表示出点 M、 N，进而表示出直线 MN的方程，利用点斜式方程说明直线过定点 .【解析】 (1)由题意得直线 l1： mx-y-2m=0过定点 T 2,0? ? ，由 x2+y2-2x-4y-4=0得 x-1? ? 2+ y-2? ? 2=9.因为 2-1? ? 2+ 0-2? ? 2<9，所以点 T 2,0? ? 在圆 E内 .设圆心 1,2? ? 到直线 l1的距离为 d， PQ? ? =2 32-d2，当 d最大时 ， PQ? ? 最小，此时 PQ⊥ET，所以 m=kPQ=- 1kET = 12 ，此时直线 l1的方程为 x-2y-2=0.(2)证明： 因为抛物线过圆 E的圆心 1,2? ? ，所以 22=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x. 第 239页 共 377页
由直线 l1的方程为 mx-y-2m=0，可得直线 l1： x= 1my+2，且过定点 T 2,0? ? ，由 l1⊥l2可得直线 l2： x=-my+2，联立 y2=4x,x=-my+2,??? ，消 x整理得 y2+4my-8=0.设点 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? ，则 y1+y2=-4m，所以 yN=-2m，则 xN=2+2m2，即点 N 2+2m2,-2m? ? ，同理得点 M 2+ 2m2 , 2m? ? ，当 m≠1时，直线 MN的斜率 kMN= 2m +2m2m2 -2m2 = 11m -m = m1-m2 ，则直线 MN的方程为 y- 2m = m1-m2 x- 2m2 -2? ? ，即 y= m1-m2x- 2m2 -2+ 2m ? 1-m2m ，所以直线 MN的方程为 y= m1-m2 x-4? ? ，即直线 MN恒过定点 4,0? ? ；当 m=1时， N 4,-2? ? ， M 4,2? ? ，直线 MN的方程为 x=4，也过定点 4,0? ? .综上， 直线 MN恒过定点 4,0? ? .【点评 】证明直线过定点，通常有两类：(1)直线方程整理为斜截式 y=kx+b，过定点 (0,b)；(2)直线方程整理为点斜式 y - yo=k(x- x0)，过定点 (x0,y0) ．4． (1)y2=4x； (2)过定点 5,-2? ? .【分析 】 (1)根据已知条件求出 p的值，可得出抛物线 C1的方程；(2)设直线 MN的方程 x=my+n，设点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，将直线 MN的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由 PM⊥PN得出 PM?? ?PN?? =0，代入韦达定理可得出 m、 n所满足的关系式，由此可得出直线MN所过定点的坐标 .【解析】 (1)把椭圆 C2的方程化为标准方程是 x21 + y212 =1，椭圆的左、 右顶点分别为 -1,0? ? 、 1,0? ? ，依题意 p2 =1，解得 p=2， 所以抛物线 C1的方程为 y2=4x；(2)若直线 MN与 y轴垂直，则直线 MN与抛物线 C1只有一个交点，不合乎题意 .设直线 MN的方程为 x=my+n，与抛物线方程联立并化简得 y2-4my-4n=0.则 Δ=16m2+16n>0，可得 m2+n>0，设 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，则 y1+y2=4m， y1y2=-4n.因为 PM⊥PN， PM?? = x1-1,y1-2? ? = y214 -1,y1-2? ? = y1-2? ? y1+2 ?4 ,y1-2? ? ，第 240页 共 377页
同理可得 PN?? = y2-2? ? y2+2 ?4 ,y2-2? ? ，所以， PM?? ?PN?? = y1-2? ? y2-2 ? y1+2 ? y2+2 ?16 + y1-2? ? y2-2 ? =0，所以， y1-2? ? y2-2 ? y1+2? ? y2+2 ? +16? ? =0，显然 y1≠2且 y2≠2，所以 ， y1+2? ? y2+2 ? +16=y1y2+2 y1+y2? ? +20=-4n+8m+20=0，所以， n=2m+5，所以，直线 MN的方程为 x=my+2m+5，即 x-m y+2? ? -5=0，因此， 直线 MN过定点 5,-2? ? .【点评 】求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根 据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点 x0,y0? ? ，常利用直线的点斜式方程 y-y0=k x-x0? ? 或截距式 y=kx+b来证明 .5． (1)y2=4x； (2)直线 l过定点，定点坐标为 0,-1? ? ，证明见解析 .【 分析】 (1)联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求 p的值，从而可求抛物线的方程 .(2)设直线 l的方程为 x=my+b，联立直线方程和抛物线方程，消去 x后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得 b=m，故可求定点坐标 .我们也可以设 M y214 ,y1? ? ， N y224 ,y2? ? ，用坐标表示斜率之和 ，再用该两点的坐标表示直线 l，化简后可得直线过定点 .【解析】 (1)由 y=x,y2=2px,??? 解得 x1=0， x2=2p，因为直线 y=x被抛物线 C:y2=2px p>0? ? 截得的弦长为 4 2，所以 2 2p-0? ? =4 2， p>0，解得 p=2，所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)法一：设直线 l的方程为 x=my+b， M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，由 x=my+b,y2=4x,??? 得 y2-4my-4b=0，所以 y1+y2=4m， y1y2=-4b，因为点 A 1,2? ? ，且直线 AM， AN的斜率之和为 4，所以 y1-2x1-1 + y2-2x2-1 =4，而 x1= y214 ， x2= y224 ，化简得 y1+y2+y1y2=0，所以 4m-4b=0，即 b=m，所以直线 l的方程为 x=m y+1? ? ，所以直线 l过定点， 定点坐标为 0,-1? ? .法二： 设 M y214 ,y1? ? ， N y224 ,y2? ? ，因为点 A 1,2? ? ，且直线 AM， AN的斜率之和为 4，第 241页 共 377页
所以 y1-2y214 -1 + y2-2y224 -1 =4，即 y1+y2+y1y2=0，①当 y2+y1≠0时 ，直线 l的方程为 y-y1= y2-y1y224 - y214 x- y214? ?即 y=- 4y2y1x-1，所以直线 l过定点， 定点坐标为 0,-1? ? ；②当 y2+y1=0时， y1y2=0， 所以 y1=y2=0，不满足题意 .所以直线 l过定点，定点坐标为 0,-1? ? .【点评 】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 x或 y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有 x1x2,x1+x2或 y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程 (或函数 )，从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题 .6． (1)x2=4y； (2)证明见解析，定点为 2,3? ? .【分析 】 (1)根据抛物线的性质即可得到 4=2py0， y0+ p2 =2，解得即可 ；(2)设 B(x1， y1)， M(x2， y2)．由题意，可设直线 BM的方程为 y=kx+b，由根与系数的关系．得 x1+x2=4k， x1x2=-4b，再根据 A， P， B三点共线，化简整理可得 y=k(x-2)+3．即可求出直线 BM过定点．【解析】 (1) 根据题意知， 4=2py0，①因为 |AF|=2，所以 y0+ p2 =2．②．联立①②解的 y0=1， p=2．所以 E的方程为 x2=4y．(2)证明： 设 B(x1， y1)， M(x2， y2)．由题意，可设直线 BM的方程为 y=kx+b，代入 x2=4y，得 x2-4kx-4b=0．由根与系数的关系．得 x1+x2=4k， x1x2=-4b．③由 MP⊥x轴及点 P在直线 y=x-3上，得 P(x2， x2-3)，则由 A， P， B三点共线，得 x2-4x2-2 = kx1+b-1x1-2 ，整理， 得 (k-1)x1x2-(2k-4)x1+(b+1)x2-2b-6=0．将③代入上式并整理，得 (2-x1)(2k+b-3)=0．由点 B的任意性，得 2k+b-3=0，所以 y=kx+3-2k=k(x-2)+3．即直线 BM恒过定点 (2,3)．【点评】证明直线过定点，一般有两种方法 .特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线 或该曲线上 (定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立 ).(2)分离参数法：一般可以根据需要选定参数 λ∈R，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式 f1(x,y)λ2+f2(x,y)λ+f3(x,y)=0， (一般地， fi(x,y)(i=1,2,3)为关于 x,y的二元一次关系式 )由上述原理第 242页 共 377页
可得方程组 f1(x, y)=0f2(x, y)=0f3(x, y)=0??????? ，从而求得该定点 .7． (1)证明见解析； (2)直线 AB恒过定点 (1,3)．【分析】 (1)设切点 A x1,x212? ? ， B x2,x222? ? ，求出导数 y?=x， 由此可得切线斜率，得切线 MA方程 y- x212 =x1 x-x1? ? ，同时设 M(t,t-3)，代入切线方程并整理，同理得 MB方程，从而可得 x1,x2是方程 x2-2tx+3t-6=0的两根，利用韦达定理得 x1+x2,x1x2，求出 N点横坐标可证得结论；(2)利用 (1)再求得 N点纵坐标，由 A,B两点坐标求得直线 AB的斜率，然后得出直线 AB方程后可得定点坐标．【解析】 (1)设切点 A x1,x212? ? ， B x2,x222? ? ， y?=x，∴切线 MA的斜率为 x1， 切线 MA:y- x212 =x1 x-x1? ? ，设 M(t,t-3)，则有 t-3- x212 =x1 t-x1? ? ，化简得 x21-2tx1+3t-6=0，同理可的 x22-2tx2+2t-6=0∴x1， x2是方程 x2-2tx+3t-6=0的两根， ∴x1+x2=2t， x1x2=2t-6，xN= x1+x22 =t=xM， ∴MN⊥x轴 .(2)∵yN= 14 x21+x22? ? = 14 x1+x2? ? 2- 12x1x2=t2-t+3， ∴N t,t2-t+3? ? ..kAB= 12 ? x21-x22x1-x2 = 12 x1+x2? ? =t，∴直线 AB:y- t2-t+3? ? =t(x-t)，即 y-3=t(x-1)，∴直线 AB过定点 (1,3).【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点 A x1,x212? ? ， B x2,x222? ? ，设动点坐标 M(t,t-3)，把 M点坐标代入两切线方程得出 x1,x2是一元二次方程的根，利用韦达定理得出 x1+x2,x1x2，这样可得中点 N坐标，由中点 N坐标写出直线 AB方程可得定点坐标．是设而不求思想的运用．8． (1)y2=4x x≠0? ? ； (2)证明见解析， 定点为 2,0? ? .【分析 】 (1)设点 P x,y? ? ， E -1,a? ? ， F -1,b? ? ，由 AE?? ⊥AF?? 可得出 ab=-4，由 EP?? ?OA?? ， FO?? ?OP?? 可得出y=a， y=-bx，代入 ab=-4化间可得出动点 P的轨迹 C的方程；(2)设直线 l的方程为 x=ty+n n≠0? ? ，设点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，联立直线 l与曲线 C的方程 ，列出韦达定理，由 OM??? ?ON?? =-4可求得 n的值，可得出直线 l的方程，进而可得出直线 l所过定点的坐标 .【解析】 (1)设 P x,y? ? 、 E -1,a? ? 、 F -1,b? ? ，则 AE?? = -2,a? ? ， AF?? = -2,b? ? ， EP?? = x+1,y-a? ? ， OA?? = 1,0? ? ， FO?? = 1,-b? ? ， OP?? = x,y? ? .由 AE?? ⊥AF?? ，得 AE?? ?AF?? =4+ab=0，且点 E、 F均不在 x轴上，故 ab=-4，且 a≠0， b≠0.由 EP?? ?OA?? ，得 y-a=0，即 y=a.由 FO?? ?OP?? ，得 bx+y=0，即 y=-bx.所以 y2=-abx=4x，所以动点 P的轨迹 C的方程为： y2=4x x≠0? ? ；第 243页 共 377页
(2)若直线 l的斜率为零时， 则直线 l与曲线 C至多只有一个公共点，不合乎题意 .可设直线 l的方程为 x=ty+n n≠0? ? .由 y=ty+ny2=4x??? ，得 y2-4ty-4n=0.设 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，则 y1+y2=4t， y1y2=-4n.∴OM??? ?ON?? =x1x2+y1y2= y1y2? ? 216 +y1y2=n2-4n=-4，∵n≠0， 解得 n=2，所以，直线 l的方程为 x=ty+2，即直线 l恒过定点 2,0? ? .【点评 】直线过定点：根据题中条件确定直线方程 y=kx+m中的 k与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标 9． (1)y2=4x； (2)直线 AB经过定点 4,0? ? ，证明见解析 .【 分析】 (1)利用抛物线的定义可得动点 M满足的轨迹方程 C﹔(2)设直线 OA的方程为： y=kx，则直线 OB的方程为： y=- 1kx，联立直线与抛物线方程解出交点坐标 ，进而可得直线 AB的方程，可得直线 AB经过的定点坐标．【解析】 (1)由题意易得：点 M到定点 F 1,0? ? 的距离等于点 M到直线 x=-1的距离由抛物线定义可得 ：动点 M满足的轨迹方程 C为 y2=4x．(2)设直线 OA的方程为： y=kx，则直线 OB的方程为： y=- 1kx．联立方程 y=kxy2=4x??? 可得 A 4k2 , 4k? ? ，同理可得 ： B(4k2,-4k)．∴k= 4k +4k4k2 -4k2 = k1-k2 k=±1? ?直线 AB的方程为 y+4k= k1-k2 (x-4k2)即 y= k1-k2 (x-4)．特别的， 当 k=1或 -1时，点 A与点 B的横坐标都是 4．综上可知，直线 AB经过定点 4,0? ? ．【点评 】本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线 OA和 OB的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线 AB的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题． 10． (1)y2=4x； (2)证明见解析 .【分析】 (1)由条件可得 PF? ? =5=4+ p2 ，解出即可 ；(2)当直线 l的斜率存在时，设 l:y=kx+m， A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，联立直线与抛物线的方程联立消元 ，然后韦达定理可得 x1+x2= 4-2kmk2 ，由 AF? ? + BF? ? =6可得 x1+x2= 4-2kmk2 =4?m= 2k -2k，然后表示出线段 AB的垂直平分线方程可得答案 .【解析】 (1)由抛物线的焦半径公式可得 PF? ? =5=4+ p2 ，解得 p=2即抛物线 C的方程为 y2=4x(2)当直线 l的斜率存在时，设 l:y=kx+m， A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?由 y2=4xy=kx+m??? 可得 k2x2+ 2km-4? ?x+m2=0第 244页 共 377页
所以 k≠0， Δ= 2km-4? ? 2-4k2m2>0，即 km<1x1+x2= 4-2kmk2因为 AF? ? + BF? ? =6，所以 x1+x2+2=6， 所以 x1+x2= 4-2kmk2 =4?m= 2k -2k所以线段 AB的中点坐标为 2,2k+m? ?所以线段 AB的垂直平分线方程为 y-2k-m=- 1k x-2? ? ，即 y=- 1kx+ 2k +2k+m=- 1kx+ 4k =- 1k x-4? ? ，所以过定点 4,0? ?当直线 l的斜率不存在时也满足综上： 线段 AB的垂直平分线过定点 4,0? ?【点评 】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位 置入手，找出定点，再证明该点适合题意 .11． (1)y2=2x； (2)过定点，定点为 - 12 ,0? ? .【分析 】 (1)根据抛物线的定义可知 MF? ? =1+ p2 = 32 ,求出 p后可得抛物线方程 .(2) 设直线 l的方程为 y=kx+m， 设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，由条件可得 kAF+kBF=0，化简即得 2kx1x2+m x1+x2? ? - 12 y1+y2? ? =0，联立直线与抛物线方程 ，利用韦达定理代入可得 k=2m，从而得出答案 .【解析】 (1)根据抛物线的定义， MF? ? =1+ p2 = 32 ?p=1，抛物线的方程为 y2=2x，(2)设直线 l的方程为 y=kx+m， 设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，直线 l与抛物线的方程联立得 y=kx+my2=2x??? ?k2x2+ 2km-2? ?x+m2=0，x1+x2= 2-2kmk2 ， x1x2= m2k2 ,则 y1+y2= 2k， y1y2= 2mk ，又 kAF+kBF=0， 即 -y112 -x1 + -y212 -x2 =0，x1y2+x2y1- 12 y1+y2? ? =0，2kx1x2+m x1+x2? ? - 12 y1+y2? ? =0，即 2k? m2k2 +m? 2-2kmk2 - 1k =0，整理得 ： k=2m，所以直线的方程为 y=m 2x+1? ? ，即直线经过定点 - 12 ,0? ? .【点评 】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由 kAF+kBF=0，得到 2kx1x2+m x1+x2? ? - 12 y1+y2? ? =0，然后由方程联立韦达定理代入 ，属于中档题 .12． (1)y2=6x； (2)证明见解析， 92 ,0? ? .【分析 】 (1)设圆心 C x,y? ? ，然后根据条件建立方程求解即可 ；第 245页 共 377页
(2)设直线 l1的方程为 y=k x- 32? ? ，然后算出 M 3k2+62k2 , 3k? ? ， N 3+6k22 ,-3k? ? ，然后表示出直线 MN的方程即可 .【解析】 (1)设圆心 C x,y? ? ，由题意得 x2+9=(x-3)2+y2，即 y2=6x所以曲线 C的方程为 y2=6x(2)由题意可知，直线 l1,l2的斜率均存在，设直线 l1的方程为 y=k x- 32? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?联立方程组 y2=6xy=k x- 32? ???? 得 4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0，所以 x1+x2= 3k2+6k2 ， y1+y2=k(x1+x2-3)= 6k因为点 M是线段 AB的中点 ，所以 M 3k2+62k2 , 3k? ?同理， 将 k换成 - 1k 得 N 3+6k22 ,-3k? ? ，当 3k2+62k2 ≠ 3+6k22 ，即 k≠±1时kMN= 3k +3k3k2+62k2 - 3+6k22 = -kk2-1所以直线 MN的方程为 y+3k= -kk2-1 x- 3+6k22? ?即 y= -kk2-1 x- 92? ? ，所以直线 MN恒过定点 92 ,0? ?当 k=±1时 ，直线 MN的方程为 x= 92 ，也过点 92 ,0? ?所以直线 MN恒过定点 92 ,0? ?【点评 】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关 于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意 .第 246页 共 377页
专题 28：抛物线的定值问题参考答案1． D【分析】设出 A,B,M,N的坐标，求得直线 AF,BF的方程，由此求得 M,N两点的坐标，由此求得 k1k2 .【解析 】依题意 F 1,0? ? ，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,M x3,y3? ? ,N x4,y4? ? ，所以 AM的方程是 y= y1x1-1 x-1? ? ，设 k0= y1x1-1 ，则 AM:y=k0 x-1? ? ，与抛物线方程联立可得 k20x2- 2k20+4? ?x+k20=0，所以 x1x3=1， x3= 1x1 ，所以 y3=k0 x3-1? ? =-y1x1 ，即 M 1x1 ,-y1x1? ? ，同理可得 N 1x2 ,-y2x2? ? ，由于 k2= y1x1-4 = y2x2-4 ，所以 k1=-y1x1 + y2x21x1 - 1x2 = x1y2-x2y1x2-x1 = x1?k2 x2-4? ? -x2?k2 x1-4? ?x2-x1 = 4k2 x2-x1? ?x2-x1 =4k2，所以 k1k2 =4.故选： D【 点评】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属 于中档题 .2． (1)y2=20x； (2)证明见解析 .【分析】 (1)分析可知，曲线 C1是以 5,0? ? 为焦点， 直线 x=-5为准线的抛物线，进而可求得曲线 C1的方程；(2)设 P的坐标为 -4,y0? ? ，设过 P且与圆 C2相切的直线的斜率 k存在且不为 0， 分析可知切线 PA、 PC的斜率 k1、 k2为关于 k的二次方程 72k2+18y0k+y20 -9=0的两根，可得出 k1+k2=-y04 ，设四点 A、 B、 C、 D的纵坐标分别为 y1、 y2、 y3、 y4， 联立直线 PA与抛物线的方程，可得出 y1y2的表达式，进一步可得出 y3y4的表达式，由此可计算得出结果 .【解析】 (1)由题设知，曲线 C1上任意一点 M到圆心 C2 5,0? ? 的距离等于它到直线 x=-5的距离 ，因此，曲线C1是以 5,0? ? 为焦点， 直线 x=-5为准线的抛物线，故曲线 C1的方程为 y2=20x；(2)当点 P在直线 x=-4上运动时， P的坐标为 -4,y0? ? ，又 y0≠±3，则过 P且与圆 C2相切的直线的斜率 k存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 y-y0=k x+4? ? ，即 kx-y+y0+4k=0，于是 5k+y0+4k? ?k2+1 =3，整理得 72k2+18y0k+y20 -9=0，①设过 P所作的两条切线 PA、 PC的斜率分别为 k1、 k2，则 k1、 k2是关于 k的方程 72k2+18y0k+y20 -9=0的两个实根，故 k1+k2=-18y072 =-y04 ②，由 k1x-y+y0+4k1=0y2=20x??? ，得 k1y2-20y+20 y0+4k1? ? =0③，设四点 A、 B、 C、 D的纵坐标分别为 y1、 y2、 y3、 y4，则 y1、 y2是方程③的两个实根 ，所以 y1?y2= 20 y0+4k1? ?k1 ④， 同理可得 y3?y4= 20 y0+4k2? ?k2 ⑤，于是由②④⑤三式得 y1y2y3y4= 400 y0+4k1? ? y0+4k2 ?k1k2 = 400 y20 +4 k1+k2? ?y0+16k1k2? ?k1k2= 400 y20 -y20 +16k1k2? ?k1k2 =6400． 第 247页 共 377页
所以当 P在直线 x=-4上运动时 ，四点 A、 B、 C、 D的纵坐标之积为定值 6400．【点评】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3． (1) ； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，求得弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线方程；(2)直线 AB的斜率不为 0，故可设直线 AB的方程为 x=ty+s， A(x1,y1)， B(x2,y2).将直线方程与抛物线方程联立，根据垂直，得到坐标之间的关系，求得参数的值，进而求得结果，利用直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，得到定值，证得结果 .【解析】 (1)显然直线 PQ的斜率不为 0，故可设置 PQ的方程为 x=my+ p2 ，y2=2pxx=my+ p2??? ?y2-2mpy-p2=0 ， 所以 yP+yQ=2mp， yPyQ=-p2.所以 xP+xQ=m(yP+yQ)+p=2m2p+p.|PQ|=xP+xQ+p=2m2p+2p，所以当 m=0时， |PQ|最小，所以 2p=4， p=2故所求抛物线的方程为 y2=4x.(2)直线 AB的斜率不为 0，故可设直线 AB的方程为 x=ty+s， A(x1,y1)， B(x2,y2).y2=4xx=ty+s??? ?y2-4ty-4s=0，所以 y1+y2=4t， y1y2=-4s.x1x2=(ty1+s)(ty2+s)=t2y1y2+ts(y1+y2)+s2=s2.因为 OA⊥OB，所以 OA?? ?OB?? =0，所以 x1x2+y1y2=0，即 s2-4s=0解得 s=0或 s=4.若 s=0，则直线 AB过点 O，不符合题意 .则有 s=4，此时直线 AB的方程为 x=ty+4，所以直线 AB过定点 T(4,0).又 OM⊥AB，所以 OM⊥MT，所以点 M在以 OT为直径的圆上，所以 N(2,0).此时 |MN|= 12 |OT|=2.【点评】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下： (1)根据题意，设出直线方程，与抛物线的方程联立，求弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线的方程； 也可以利用抛物线的焦点弦长最短是通径，得到结果； (2)根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，根据垂直关系，得到坐标之间的关系，从而求得参数的值， 第 248页 共 377页
再根据直角三角形的外心为斜边中点， 得到结果 .4． (1)4x-3y-4=0； (2)是定值，定值为 14 .【分析 】 (1)设直线 AB的方程为 x=my+1， A y214 ,y1? ? ,B y224 ,y2? ? ，联立直线与抛物线 ，结合韦达定理，再由AF?? =4FB??， y1=-4y2可得 m的值；(2)设过 A点的切线 lA的方程为： y=k x-x1? ? +y1，代入 y2=4x,由 Δ=0得 k= 2y1 ,所以 lA的方程为： y1y=2x+2x1，进而确定点 Q， AQ?? ， AM??? ， AP?? ，再由 AF? ? ? AB? ? =AF?? ?AB?? ，可得 |AP|2|AB|?|AF|.【解析 】解： (1)设 lAB:x=my+1,A y214 ,y1? ? ,B y224 ,y2? ?由 x=my+1y2=4x??? 得 y2-4my-4=0,则 y1+y2=4m,y1y2=-4因为 AF?? =4FB??,所以 y1=-4y2,从而 y1=4,y2=-1,m= 34 ,所以直线 AB的方程为 4x-3y-4=0；(2)设过 A点的切线 lA的方程为： y=k x-x1? ? +y1，代入 y2=4x,由 Δ=0得 k= 2y1 ,所以 lA的方程为： y1y=2x+2x1.设直线 lA与 y轴交点为 Q,令 x=0,得 yQ= 2x1y1 = y12 ，∴AQ?? = -y214 ,-y12? ? ,∵AM??? = 12AB?? = 12 y224 - y214 ,y2-y1? ?∴ AP??? ? = AM???? ? ?cos AM??? ,AQ??? ? = AM??? ?AQ??? ?AQ??? ? = 12 -y21y2216 + y4116 - y1y22 + y212? ?y4116 + y214 = y21 +4? ? 328y1 ,∴|AP?? |2= y21 +4? ? 364y21 = y61 +12y41 +48y21 +6464y21 ,∵ AF? ? ? AB? ? =AF?? ?AB?? = 1- y214 ,-y1? ? ? y224 - y214 ,y2-y1? ? = y61 +12y41 +48y21 +6416y21 ,∴ |AP|2|AB|?|AF| = 14 .【点评 】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5． (1)y2=2px p>0? ? ； (2) 12 ,0? ? ； (3)kMN=- 2py0+y?0 ，证明见解析．【 分析】 (1)利用抛物线的定义可知轨迹 Γ为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹 Γ的方程；(2)设直线 l的方程为 x=my+t，将直线 l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出 t的值，即可得出直线 l所过定点的坐标； 第 249页 共 377页
(3)设点 M x3,y3? ? 、 N x4,y4? ? ，根据 kP0M=-kQ0N可得出 y3+y4=- y0+y?0? ? ，再利用直线的斜率公式可证得结论成立 .【 解析】 (1)由题意可知，圆心 C到点 F的距离等于圆心 C到直线 x=-p2 的距离，所以 ，点 C的轨迹 Γ是以点 F为焦点，以直线 x=-p2 为准线的抛物线，因此 ，轨迹 Γ的方程为 y2=2px p>0? ? ；(2)若直线 l垂直于 y轴， 则直线 l与抛物线只有一个交点，不合乎题意 .设直线 l的方程为 x=my+t，联立 y2=2pxx=my+t??? ，消去 x可得 y2-2pmy-2pt=0，由韦达定理可得 y1y2=-2pt=-p， ∵p>0，解得 t= 12 ，所以， 直线 l的方程为 x=my+ 12 ，因此 ，直线 l过定点 12 ,0? ? ；(3)设点 M x3,y3? ? 、 N x4,y4? ? ，则 kP0M= y3-y0x3-x0 = y3-y0y23 -y202p = 2py3+y0 ，同理可得 kQ0N= 2py4+y?0 ， kMN= 2py3+y4 ，由于直线 P0M、 Q0N的倾斜角互补， 则 kP0M=-kQ0N，可得 y3+y0+y4+y?0=0，所以， y3+y4=- y0+y?0? ? ，因此， 直线 MN的斜率为 kMN= 2py3+y4 =- 2py0+y?0 (定值 ).【点评 】求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根 据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点 x0,y0? ? ，常利用直线的点斜式方程 y-y0=k x-x0? ? 或截距式 y=kx+b来证明 .6． (1)y2=4x； (2)证明见解析； (3)4.【分析】 (1)由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；(2)可设 M的坐标，设过点 M(-1,t)的直线方程为 y=k(x+1)+t，与抛物线方程 y2=4x联立，消去 x得：ky2-4y+4k+4t=0，利用判别式等于零可得结论；(3)设 A， B的坐标，由 (2)可得参数 t， k的关系，代入过 M的切线方程与抛物线的方程中，可得 A， B用参数 k1， k2表示的坐标，代入弦长公式中求 |AB|的表达式，由参数的范围求出 |AB|的最小值．【解析】 (1)由椭圆方程得，椭圆的右焦点为 (1,0)∴抛物线的焦点为 F(1,0)， ∴p=2，所以抛物线的标准方程： y2=4x．(2)抛物线 C的准线方程为 x=-1．设 M(-1,t)，设过点 M(-1,t)的直线方程为 y=k(x+1)+t，与抛物线方程 y2=4x联立，消去 x得： ky2-4y+4k+4t=0．第 250页 共 377页
其判别式 △=16-16k(k+t)，令 △=0，得： k2+kt-1=0．由韦达定理知 k1+k2=-t， k1k2=-1，故 k1k2=-1(定值 )．(3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 k2+kt-1=0，得 t= 1-k2k ，故 ky2-4y+4k+4t=ky2-4y+4k+4× 1-k2k =ky2-4y+ 4k =k y- 2k? ? 2=0，所以 y= 2k，代入抛物线方程得 x= 1k2 ，所以 A 1k12 ， 2k1? ? ， B 1k22 ， 2k2? ? ，|AB|= 1k12 - 1k22? ? 2+ 2k2 - 2k1? ? 2= k22-k12k22k12? ? 2+4 k1-k2k1k2? ? 2因为 k1k2=-1， k1+k2=-t，所以 |AB|= (k12-k22)2+4(k1-k2)2 = 4+t2|k1-k2|= 4+t2 (k1+k2)2-4k1k2= 4+t2 t2+4=4+t2≥4，当且仅当 t=0时取等号．当且仅时取等号．故 |AB|的最小值为 4．【点评 】求曲线弦长的方法： (1)利用弦长公式 l= 1+k2 x1-x2? ? ； (2)利用 l= 1+ 1k2 y1-y2? ? ； (3)如果交点坐标可以求出， 利用两点间距离公式求解即可 .7． (1)证明见解析， (2)12 3【分析 】 (1)先把点 M 94 ,3? ? 的坐标代入抛物线 C:y2=2px p>0? ? 中求出 p的值， 设直线 MA的方程为 y-3=k x- 94? ? ，联立 y-3=k x- 94? ?y2=4x??? ，得 y2- 4ky+ 12k -9=0，结合已知可得 yA= 4k -3， yB= 4-k -3，然后利用斜公式化简可得结果；(2)设直线 AB的方程为 y=- 23x+b，和抛物线方程联立方程组 ，消元后利用根与系数的关系，再利用弦长公式求出 AB? ? = 39(3+2b)，再利用点到直线的距离公式求出点 M 94 ,3? ? 到直线 AB的距离 ，则 S=第 251页 共 377页
12 AB? ? ?d= 3 34 3+2b?(9-2b)，然后令 t= 3+2b(t>0)，构造函数可求出面积的最大值【 解析】 (1)证明：因为 M 94 ,3? ? 是抛物线 C:y2=2px p>0? ? 上一点，所以 9=2p? 94 ，得 p=2， 所以抛物线方程为 y2=4x，设直线 MA的方程为 y-3=k x- 94? ? ，由 y-3=k x- 94? ?y2=4x??? ，得 y2- 4ky+ 12k -9=0，所以 yA+3= 4k，所以 yA= 4k -3，因为直线 AM， BM的斜率互为相反数 ，所以直线 BM的方程为 y-3=-k x- 94? ? ，同理可得 yB= 4-k -3，所以 kAB= yB-yAxB-xA = yB-yAyB24 - yA24 = 4yB+yA = 44-k -3+ 4k -3 =- 23 ，所以直线 AB的斜率为定值 - 23 ，(2)解： 由 (1)设直线 AB的方程为 y=- 23x+b， A(x1,y1),B(x2,y2)由 y=- 23x+by2=4x??? ，得 y2+6y-6b=0，因为直线与抛物线有两个交点，所以 36-4?(-6b)>0，得 b>- 32 ，y1+y2=-6,y1y2=-6b，所以 AB? ? = 1+ 1k2 ? (y1+y2)2-4y1y2= 1+ 94 ? 36+24b= 39(3+2b)，点 M到直线 AB的距离为 d= 2× 94 +9-3b? ?13 = 27-6b? ?2 13 ，所以 △MAB的面积为 S= 12 AB? ? ?d= 12 39(3+2b)? 27-6b2 13 = 3 34 3+2b?(9-2b)，令 t= 3+2b(t>0)，则 2b=t2-3，所以 S= 3 34 t(12-t2)(t>0)，令 f(t)=t(12-t2)(t>0)，则 f?(t)=12-3t2，令 f?(t)=0，得 t=2或 t=-2(舍去 )，当 00，当 t>2时， f?(t)<0，所以 f(t)在 (0,2)递增，在 (2,+∞)上递减，所以当 t=2时， f(t)取最大值，即 f(t)max=f(2)=2×(12-4)=16，所以 △MAB的面积的最大值为 Smax= 3 34 ×16=12 3，此时直线 AB为 y=- 23x+ 12【点评 】此题考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，弦长公式，考查计算能力，考查转化思想，属于较难题 .8． (1)y=-1； (2)m=2． 第 252页 共 377页
【分析 】 (1)设直线 l的方程为 y=kx+1，联立方程组，根据根与系数的关系，求得 x1+x2,x1x2，结合抛物线的方程，求得分别以点 A,B为切点的切线方程，联立方程组，求得交点坐标，即可求解；(2)设直线 l的方程为 y=kx+m与抛物线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，分别求得 AM? ? 2,BM? ? 2，得到 1AM? ? 2 + 1BM? ? 2 = 11+k2 ? 16k2+8m16m2 ，根据 1AM? ? 2 + 1BM? ? 2 为定值， 列出方程组，即可求解 .【解析】 (1)设点 A x1,y1? ? ， ?B x2,y2? ? ，直线 l的方程为 y=kx+1，联立方程组 y=kx+1x2=4y??? ，整理得 x2-4kx-4=0，则 x1+x2=4k， x1x2=-4，由抛物线方程 x2=4y，可得 y= x24 ，则 y?= x2 ，所以以点 A为切点的切线方程是 y-y1= x12 x-x1? ? ，即 y= x12 x- x214 ，同理， 以点 B为切点的切线方程是 y= x22 x- x224 ．联立方程组 y= x12 x- x214y= x22 x- x224??????? ，解得 x= x1+x22y= x1x24????? ，∴点 P的坐标为 x1+x22 ,x1x24? ? ，即 2k,-1? ? ，∴点 P的轨迹方程是 y=-1．(2)设直线 l的方程为 y=kx+m代入 x2=4y，化简得 x2-4kx-4m=0，又设 A x3,y3? ? ， B x4,y4? ? ，则 x3+x4=4k， x3x4=-4m，所以 AM? ? 2=x23+ y3-m? ? 2= 1+k2? ?x23，同理可得： BM? ? 2=x24+ y4-m? ? 2= 1+k2? ?x24，所以 1AM? ? 2 + 1BM? ? 2 = 11+k2? ?x23 + 11+k2? ?x24 = 11+k2 ? 16k2+8m16m2 ，因为 1AM? ? 2 + 1BM? ? 2 为定值， 令 11+k2 ? 16k2+8m16m2 =C(C为常数 )，则 16k2+8m=16Cm2k2+16Cm2，可得 Cm2=18m=16Cm2??? ，解得 m=2．【点评】本题主要考查抛物线方程、及直线与抛物线的位置关系的综合应用 ,解答此类题目，通常联立直线与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导 致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 9． (1)3 6； (2)1.【 分析】 (1)设 AB所在直线方程为 y=k(x-1)， A x1,2 x1? ? ,B x2,-2 x2? ? ，由 y=k(x-1)y2=4x??? ，得 k2x2-2k2+4? ?x+k2=0，然后根据 AB? ? =6，利用 AB? ? =x1+x2+p=6，求得斜率 k， 得到直线 AB的中垂线方程，进而得到点 P坐标，求得点 P到直线 AB的距离 d，由 S△PAB= 12 ? AB? ? ?d求解 .(2)由 (1)方法： 得到 S△PAB= 12 ? AB? ? ?d1，由 y2=4x，得 y=±2 x，求导 y?=± 1x，得到直线 AQ的方程 y= xx1 + x1；直线 BQ的方程 y=- xx2 - x2，联立求得 Q -1, 2k? ? ，进而得到点 Q到直线 AB的距离为：d2，得到 S△QAB= 12 ? AB? ? ?d2，再代入 S△PABS△QAB 求解 .第 253页 共 377页
【解析 】 (1)设 AB所在直线方程为 y=k(x-1)， A x1,2 x1? ? ,B x2,-2 x2? ? ，由 y=k(x-1)y2=4x??? ，得 k2x2- 2k2+4? ?x+k2=0，由韦达定理得： x1+x2= 2k2+4k2 ,x1?x2=1，因为 AB? ? =6，所以 AB? ? =x1+x2+p= 2k2+4k2 +2=6，解得 k2=2，因为 k>0，所以 k= 2，则 x1+x2=4,y1+y2=2 2，所以 M 2, 2? ? ，则直线 AB的中垂线方程为： y=- 22 x+2 2，令 y=0得 x=4，所以点 P 4,0? ? ，所以点 P到直线 AB的距离为 ： d= 3 21+ 2? ? 2 = 6，所以 S△PAB= 12 ? AB? ? ?d= 12 ?6? 6=3 6.(2)由 (1)知： M k2+2k2 , 2k? ? ，则直线 AB的中垂线方程为 ： y- 2k =- 1k x- k2+2k2? ? ，令 y=0得 x=3+ 2k2 ，所以点 P 3+ 2k2 ,0? ? ，所以点 P到直线 AB的距离为 ： d1= 2k2+2k 1+k2 ，所以 S△PAB= 12 ? AB? ? ?d1= 12 ? 2k2+4k2 +2? ? ? 2k2+2k 1+k2 .由 y2=4x，得 y=±2 x，所以 y?=± 1x，则直线 AQ的方程为 ： y-2 x1 = 1x1 x-x1? ? ，即 y= xx1 + x1；直线 BQ的方程为 y+2 x2 =- 1x2 x-x2? ? ，即 y=- xx2 - x2；由 y= xx1 + x1y=- xx2 - x2??????? ，解得 x=- x1?x2 =-1， y=- 1x1 + x1由 x1+x2= 2k2+4k2 ,x1?x2=1，得 ： k2x12- 2k2+4? ?x1+k2=0，解得 x1= 2k2+4? ? + 2k2+4? ? 2-4k42k2 ，= k2+2+2 1+k2k2 = 1+ 1+k2k? ? 2， 第 254页 共 377页
所以 x1 = 1+ 1+k2k ，所以 y=- 1x1 + x1 = 2k，所以 Q -1, 2k? ? ，所以点 Q到直线 AB的距离为 ： d2= 2k+ 2k? ?1+k2 = 2k2+2? ?k 1+k2 ，所以 S△QAB= 12 ? AB? ? ?d2= 12 ? 2k2+4k2 +2? ? ?d2= 12 2k2+4k2 +2? ? × 2k2+2? ?k 1+k2 .S△PABS△QAB =1为定值，【 点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离以及定值问题，还考查了运算求 解的能力，属于难题 .10． (1)y2=4x； (2)存在， T 1,-2? ? .【分析 】 (1)本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点 F到准线 l的距离为 2即可求出 p=2，最后根据 p=2即可求出抛物线方程；(2)本题首先可设出 T a,b? ? 、 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，然后联立方程 y2=4xx-y+m=0??? 并通过韦达定理得出Δ=16-16m>0y1+y2=4y1?y2=4m??? ，再然后对 kAT+kBT进行化简并根据 kAT+kBT为与 m无关的常数得出b+2=0ab-2a-2b=0??? ，最后通过计算即可得出结果 .【 解析】 (1)由题意得 F p2 ,0? ? ，准线方程 ： x=-p2 ，所以 p=2， 抛物线方程为 y2=4x.(2)假设存在定点 T满足题意，设 T a,b? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立方程 y2=4xx-y+m=0??? ，消去 x得 y2-4y+4m=0，由韦达定理得 Δ=16-16m>0y1+y2=4y1?y2=4m??? ，因为直线 AT、 BT的斜率为 kAT= y1-bx1-a、 kBT= y2-bx2-a，所以 kAT+kBT= y1-bx1-a + y2-bx2-a = y1-b? ? x2-a ? + y2-b? ? x1-a ?x1-a? ? x2-a ?= y1-b? ? y224 -a? ? + y2-b? ? y214 -a? ?y214 -a? ? y224 -a ? = 4 y1-b? ? y22 -4a ? +4 y2-b? ? y21 -4a ?y21 -4a? ? y22 -4a ?= 4y1y2 y1+y2? ? -16a y1+y2? ? -4b y21 +y22? ? +32aby1y2? ? 2-4a y21 +y22? ? +16a2= 4y1y2 y1+y2? ? -16a y1+y2? ? -4b y1+y2? ? 2-2y1y2? ? +32aby1y2? ? 2-4a y1+y2? ? 2-2y1y2? ? +16a2= 2 (b+2)m+ab-2a-2b? ?m2+2am+a2-4a .要使 kAT+kBT为与 m无关的常数 ，只能 b+2=0ab-2a-2b=0??? ，解得 a=1， b=-2，此时 kAT+kBT=0为常数，综上所述，存在定点 T 1,-2? ? ，使得直线 AT、 BT的斜率之和恒为定值 0.第 255页 共 377页
【点评 】本题考查抛物线的方程的求法以及抛物线中的定值问题，考查直线与抛物线相交的相关问题，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题 .11． (1)证明见解析 (2)8 2【分析 】 (1) 设直线 AB:x=my+2,联立直线 AB与抛物线 :y2=4x,根据韦达定理求得 y1y2=-8,再根据直线 PA,PB的方程求出 M.N的纵坐标 ,然后相乘可证;(2)利用面积公式求得面积的表达式 ,再用基本不等式求得最值即可 .【解析】 (1)证明 :设直线 AB:x=my+2，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,P x0,y0? ? ，由 x=my+2y2=4x??? 消去 x并整理得： y2-4my-8=0∴y1y2=-8，∵直线 PA,PB分别与直线 x=-2分别交于 M,N两点，∴x0≠x1,x0≠x2， ∴kPA= y0-y1x0-x1 = y0-y1y204 - y214 = 4y0+y1 ，直线 PA:y-y1= 4y0+y1 x- y214? ? ，令 x=-2,yM=y1- 8y0+y1 - y12y0+y1 = y0y1+y21 -8-y21y0+y1 = y0y1-8y0+y1 ，同理： yN= y0y2-8y0+y2 ，∴yMyN= y0y1-8y0+y1 × y0y2-8y0+y2 = y20y1y2-8y0 y1+y2? ? +64y20 +y0 y1+y2? ? +y1y2-8y20 -8y0 y1+y2? ? +64y20 +y0 y1+y2? ? -8 =-8,所以 M,N两点的纵坐标之积为定值 -8.(2)设直线 x=-2与 x轴交于点 E，SΔMNQ= 12 EQ? ? ? yM-yN? ?? ? = 12 ×4× yM? ? + yN? ?? ?∵ yM? ? >0,yN? ? >0， ∴SΔMNQ=2× yM? ? + yN? ?? ? ≥2×2 yM? ? ? yN? ? =8 2，当且仅当 yM? ? = yN? ? =2 2 时取等号，∴ΔMNQ的面积的最小值为 8 2.【点评 】本题考查了直线与抛物线的位置关系 ,直线方程 ,斜率公式 ,面积公式 ,基本不等式 ,字母运算求解能力 ,本题属于中档题 .12． (1)y2=2x(2)是，定值 1【分析】 (1)t= 12p，得 M为焦点 ，所以 AB= x1+ 12p? ? + x2+ 12p? ? ，再由直线与抛物线联立 ，利用根与系数的关系代入求解；(2)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， C x3,y3? ? ， D x4,y4? ? ，直线 l1:x=my+t， l2:x=ny+t， 分别联立抛物线方程可得y1+y2=2m， y1y2=-2t， y3+y4=2n， y3y4=-2t.设 P t,λ? ? ， Q t,μ? ? ，由 A， P， D三点共线 ，通过计算可得 λ+μ=0，即 P， Q关于 x轴对称，从而使问题得到解决 .【解析】 (1)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，将直线 l1:y=x- 12p与抛物线 y2=2px联立 ，第 256页 共 377页
得 x2-3px+ 14p2=0，所以 x1+x2=3p.由 t= 12p，得 M即为焦点 ，所以 AB= x1+ 12p? ? + x2+ 12p? ? =4p=4，即 p=1，所以抛物线的方程为 y2=2x.(2)由题意可知， l1， l2斜率存在且不为 0.设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， C x3,y3? ? ， D x4,y4? ?设直线 l1:x=my+t， l2:x=ny+t，与抛物线 y2=2x联立得， y2-2my-2t=0， y2-2ny-2t=0，所以 y1+y2=2m， y1y2=-2t， y3+y4=2n， y3y4=-2t.设 P t,λ? ? ， Q t,μ? ? ，由 A， P， D三点共线 ，又 y21 =2x， y24 =2x4，得 λ-y1t-x1 = y1-y4x1-x4 ?λ= y1-y4x1-x4 ? t-x1? ? +y1= 2 y1-y4? ?y21 -y24 ? t-x1? ? +y1= 2t-2x1+y21 +y1y4y1+y4= y1y4+2ty1+y4 .同理， μ= y3-y2x3-x2 ? t-x3? ? +y3= 2y3+y2 ? t-x3? ? +y3= 2t-2x3+y23 +y2y3y3+y2= y2y3+2ty2+y3 .所以 λ+μ= y1y4+2ty1+y4 + y2y3+2ty2+y3= y1y2y4+y1y3y4+y1y2y3+y2y3y4? ? +2t y1+y2+y3+y4? ?y1+y4? ? y2+y3 ?= y1y2 y3+y4? ? +y3y4 y1+y2? ? +2t y1+y2+y3+y4? ?y1+y4? ? y2+y3 ?= -2t?2n-2t?2m+2t 2m+2n? ?y1+y4? ? y2+y3 ? =0.即 P， Q关于 x轴对称 .所以， MPMQ =1为定值 .【点评 】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，做此类题时，一般要由直线与抛物线方程联 第 257页 共 377页
立并利用根与系数的关系解题 .考查学生的数学运算求解能力， 是一道有一定难度的题 .13． (1)-3(2)证明见解析【分析】 (1)设 A x1,x214? ? ， B x2,x224? ? ，将向量 OA?? ,OB?? 分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案；(2)求出两切线交点 M的坐标为 x1+x22 ,-1? ? ，再代入 FM?? ?AB?? 进行坐标运算，即可得到定值【解析】 (1)设 A x1,x214? ? ， B x2,x224? ? ，∵焦点 F 0,1? ? ， ∴AF?? = -x1,1- x214? ? ， FB??= x2,x224 -1? ? ，∵AF?? =λFB??， ∴ -x1=λx21- x214 =λ x224 -1? ???? 消 λ得 x1 x224 -1? ? +x2 1- x214? ? =0，化简整理得 x1-x2? ? x1x24 +1? ? =0，∵x1≠x2， ∴x1x2=-4， ∴y1y2= x214 ? x224 =1.∴OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=-3(定值 ).(2)抛物线方程为 y= 14x2， ∴y''= 12x，∴过抛物线 A、 B两点的切线方程分别为 y= 12x1 x-x1? ? + x214 和 y= 12x2 x-x2? ? + x224 ，即 y= 12x1x- x214 和 y= 12x2x- x224 ，联立解出两切线交点 M的坐标为 x1+x22 ,-1? ? ，∴FM?? ?AB?? = x1+x22 -2? ? x2-x1,x22-x214 ? = x22-x212 - x22-x212 =0(定值 ).【点评 】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用 .14． (1) -∞,- 13? ? ∪ - 13 ,0? ? ∪(1,+∞)(2)求证见解析【分析】 (1)先求出抛物线方程，设出直线 l的方程，由直线与抛物线有两个交点得斜率 k的范围，还要考虑直线 PA,PB与 x轴相交可得 k≠- 13 ，最终可得所求范围 ；(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得 x1+x2,x1x2，写出直线 PA方程，求出 M点横坐标，表示出 1λ ，同理得 1μ，然后计算 1λ + 1μ 可得．【解析 】 (1)由已知 22=2p， p=2， ∴抛物线的方程为 x2=4y，设直线 l的方程为 y=kx-k，代入抛物线方程得 x2=4(kx-k)，即 x2-4kx+4k=0.由于有两个交点，则 Δ=(-4k)2-4×4k>0，即 k>1或 k<0；又由于直线 PA,PB与 x轴有交点，所以直线 l不过点 P(2,1)和点 P?(-2,1)，所以 k≠- 13 .综上， 斜率 k的取值范围为 -∞,- 13? ? ∪ - 13 ,0? ? ∪(1,+∞).(2)设点 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，根据韦达定理知 ， x1+x2=4k,x1x2=4k，直线 PA的方程为 y-1= y1-1x1-2(x-2)，令 y=0， 知 xM=2- x1-2y1-1 ， 第 258页 共 377页
则 1λ = 0-1xM-1 = kx1-k-1(1-k)x1+k-1 = k1-k - 11-k ? 1x1-1 ，同理 : 1μ = k1-k - 11-k ? 1x2-1.那么 1λ + 1μ = 2k1-k - 11-k 1x1-1 + 1x2-1? ? = 2k1-k - 11-k ? x1+x2-2x1x2- x1+x2? ? +1 = 2k1-k - 4k-21-k =2.【点评 】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题，解析几何中求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．15． (1)证明见解析 (2) 证明见解析【分析】 (1) 由两直线平行的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，结合点在抛物线上，化简可得结论 (2) 因为直线 PM过点 F，所以 y1y0=-4，求得直线 OM， PQ的方程，设点 N坐标为 (m,n)，又因为直线 QP， MO交于点 N，化简整理可得 m， n的方程，分解因式即可得到定值．【解析】证明： (1) 因为 MQ∥OP，所以 kMQ=kOP，所以 y1y124 = y2-y0y224 - y024 ，所以 y0=y1-y2；(2) 因为直线 PM过点 F，可得 y1-y0y124 - y024 = y0y024 -1 ，所以 y1y0=-4，由 (1)得 y0=y1-y2，所以 y1=- 4y0 ， y2=- 4y0 -y0，因为 OM： y= 4y0x，PQ： y-y1= 4y1+y2 x- y124? ? ，即 4x-(y1+y2)y+y1y2=0，设点 N坐标为 (m， n)，又因为直线 QP， MO交于点 N，所以 n= 4y0m， 4m-(y1+y2)n+y1y2=0，可得 y0= 4mn ， 4m- - 4y0 - 4y0 -y0? ? n+ - 4y0? ? - 4y0 -y0 ? =0，消去 y0得 2mn2+n2+8m3+4m2=0，所以 (2m+1)n2+4m2(2m+1)=0，所以 (2m+1)(n2+4m2)=0，因为 n2+4m2≠0，所以 2m+1=0，即 m=- 12 ，所以点 N的横坐标为定值 - 12 ． 第 259页 共 377页
专题 29：抛物线的定直线问题参考答案1． (1)x2=4y； (2)证明见解析 .【分析】 (1)易得点 A的坐标为 A 2 2,2? ? ，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程 ；(2)抛物线 C:y= x24 ，则 y?= x2 ，设 M x1,y1? ? ,N x2,y2? ? ，可分别求得切线 PM的方程和切线 PN的方程，联立解得点 P x1+x22 ,x1x24? ? ，设直线 MN的方程为 y=kx+1，代入抛物线的方程得 x2-4kx-4=0，所以x1x2=-4，进而可得点 P的纵坐标为 -1，命题得证 .【解析】 (1)点 A的横坐标为 2 2，所以点 A的坐标为 A 2 2,2? ? ，代入解得 p=2，所以抛物线的方程为 x2=4y；(2)抛物线 C:y= x24 ，则 y?= x2 ，设 M x1,y1? ? ,N x2,y2? ? ，所以切线 PM的方程为 y-y1= x12 x-x1? ? ，即 y= x12 ?x- x212 ,同理切线 PN的方程为 y= x22 ?x- x222 ，联立解得点 P x1+x22 ,x1x24? ? ，设直线 MN的方程为 y=kx+1，代入 x2=4y，得 x2-4kx-4=0，所以 x1x2=-4，所以点 P在 y=-1上，结论得证 .【点评】方法点睛：直线过定点的解题策略一般有以下几种： (1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明； (2)直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和 消元的思想的运用可有效地简化运算 .2． (1)①③， y2=4x； (2)点 P在定直线上；证明见解析；定直线 x=-2．【分析】 (1)根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件；(2)设 AB:x=my+2， CD:x=ny+2， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， C x3,y3? ? ， D x4,y4? ? ，直线 AB方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，同理得 y3+y4,y3y4，然后由抛物线上两点坐标写出直线 AC和BD方程，两方程消去 y后并代入韦达定理的结论可得 x=-2为定值．这样得定直线．【解析】 (1)若有①，则 42=2p×4， p=2，此时②不能满足， MF? ? =2，③能满足 ，若有②，则 p=3，①③都不能满足．故能同时满足①③，抛物线方程为 y2=4x；(2)AB:x=my+2， CD:x=ny+2，A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， C x3,y3? ? ， D x4,y4? ? ； 第 260页 共 377页
x=my+2y2=4x ?y2-4my-8=0??? ，由韦达定理得 y1+y2=4my1y2=-8??? ，同理， y3+y4=4ny3y4=-8??? ；因为 AC:y-y1= 4y1+y3 x- y214? ?即 AC:y= 4x+y1y3y1+y3 ，同理， BD:y= 4x+y2y4y2+y4 ；消去 y得 4x+y1y3y1+y3 = 4x+y2y4y2+y4 ，4x y2+y4? ? +y1y3 y2+y4? ? =4x y1+y3? ? +y2y4 y1+y3? ? ，4x y2+y4-y1-y3? ? =-y1y2y3-y1y3y4+y1y2y4+y2y3y4，4x y2+y4-y1-y3? ? =-8 y2+y4-y1-y3? ? ， x=-2．所以点 P在定直线 x=-2上．【点评】关键点点睛：本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线相交中的定直线问题．解题方法是设而 不求的思想方法：设直线方程，设交点坐标，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交 点的纵坐标 (或横坐标 )的和与积．对定直线问题，需求出动点的坐标，代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质，从而确定定直线， 3． (1)证明见解析； (2)2+ 2.【分析 】 (1)因为 ∠BAF=∠AFO+45°，得到 ∠BAM=45°得到直线 AB的斜率，设直线 AB的方程为 y=x+b，将直线 AB的方程与抛物线方程联立，可求得中点坐标得到答案；(2)由正弦定理和面积公式得到外接圆半径，根据三角形面积得到内切圆的半径，作比值结合导数法求最值可得答案 .【解析】 (1)由题意可知，过 A点作 x轴的平行线，如图所示，作为 ∠MAF=∠AFO，因为 ∠BAF=∠AFO+45°，所以 ∠BAM=45°，则直线 AB的斜率为 tan45°=1，设直线 AB的方程为 y=x+b，设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，联立 y=x+by2=4x??? ，整理得 x2+ 2b-4? ?x+b2=0，所以 x1+x2=4-2b， x1x2=b2， y1+y2=x1+x2+2b=4，AB的中点 C x1+x22 ,y1+y22? ? ，即 C 2-b,2? ? ，则 C在直线 y=2上 ；第 261页 共 377页
(2)设 A t21,2t1? ? 、 B t22,2t2? ? ，则直线 AB的斜率为 kAB= 2t1-2t2t21-t22 = 2t1+t2 =1，所以 t1+t2=2，由抛物线的定义可得 AF? ? =t21+1， BF? ? =t22+1，AB? ? = 2 x2-x1? ? =2 2 t2-t1? ? ，sin∠AFO= 2t1t21+1 ， cos∠AFO= 1-t211+t21 ，sin∠FAB=sin ∠AFO+ π4? ? = 22 2t1t21+1 + 1-t21t21+1? ? = 2t1+1-t212 t21+1? ? ，由正弦定理得 2R= BF? ?sin∠FAB，可得 R= t22+12? 2t1+1-t21t21+1 = t21+1? ? t22+1 ?2 2t1+1-t21? ? ，又由 S△ABF= 12r AB? ? + AF? ? + BF? ?? ? = 12 AF? ? ? AB? ? ?sin∠FAB，所以 △ABF内切圆半径为 r= AF? ? ? AB? ?sin∠FABAF? ? + BF? ? + AB? ? = t21+1? ? ?2 2 t2-t1? ? ? 2t1+1-t21? ?2 t21+1? ?t21+t22+2 2 t2-t1? ? +2 =2 t2-t1? ? 2t1+1-t21 ?t21+t22+2 2 t2-t1? ? +2 ，所以 Rr = t21+t22+2 2 t2-t1? ? +2? ? t21+1? ? t22+1 ?2 2 t2-t1? ? t21-2t1-1 ? 2 ，将 t2=2-t1代入 Rr 可得可得 Rr = 2t21-4 1+ 2? ?t1+2 1+ 2? ? 2? ? t21+1? ? 2-t1? ? 2+1? ?2 2 2-2t1? ? t21-2t1-1 ? 2 =2 t1- 2+1? ?? ? 2 t21+1? ? t21-4t1+5 ?4 2 1-t1? ? t1- 2+1? ?? ? 2? t1+ 2-1? ?? ? 2 = t21+1? ? t21-4t1+5 ?2 2 1-t1? ? t1+ 2-1? ?? ? 2 ，令 1-t1=x，由图形可得 00，二次函数 g x? ? =x2-2 2+1? ?x+2的图象开口向上， 对称轴为直线 x= 2+1，所以， 函数 g x? ? 在区间 0,1? ? 上单调递减， 第 262页 共 377页
∵g 0? ? =2>0， g 1? ? =1-2 2<0，所以 ，存在 x0∈ 0,1? ? ，使得 g x0? ? =0，即 x20-2 2+1? ?x0+2=0，则 x0- 2? ? 2=2x0且 x20+2=2 2+1? ?x0，当 00， f? x? ? <0，此时函数 f x? ? 单调递减；当 x00，此时函数 f x? ? 单调递增 .所以， f x? ? min=f x0? ? = x40+42 2?x0 x0- 2? ? 2 = x40+44 2x20 = x20+2? ? 2-4x204 2x20 = 2 2+1? ?x0? ? 2-4x204 2x20 = 8+8 24 2= 2+2.因此， Rr 的最小值为 2+ 2.【点评 】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利 用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 4． (1)1； (2)证明见解析 .【分析】 (1)当直线 l过点 M且垂直于 x轴时，由 AB=4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得 p的值；(2)设直线 l的方程，与抛物线方程联立，消去 x化简得关于 y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线 l1的方程，再根据垂直关系求出直线 l2的方程，由此求得两直线的交点坐标 P，并判断点 P在定直线x=1上．【解析】 (1)因为 l过 M 2,0? ? ，且当 l垂直于 x轴时 ， AB=4，所以抛物线经过点 2,2? ? ，代入抛物线方程， 得 4=2p×2，解得 p=1.(2)由题意，直线 l的斜率存在且不为 0，设直线 l方程为： y=k x-2? ? k≠0 ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? .联立 y2=2xy=k x-2? ???? 消去 x，得 ky2-2y-4k=0，则 y1+y2= 2k， y1y2=-4.因为 C为 AB中点，所以 yC= y1+y22 = 1k，则直线 l1方程为： y= 1k.因为直线 l2过点 M且与 l垂直， 则直线 l2方程为： y=- 1k x-2? ? ，联立 y= 1ky=- 1k x-2? ???? ，解得 x=1y= 1k??? 即 P 1, 1k? ? ，所以 ，点 P在定直线 x=1上 .【点评】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中 档题．5． (1)p=6； (2)证明见解析 .【分析】 (1)依题意设直线 l1的方程为 y=x+ p2 ，解方程 -1+ p2? ?12+ -1? ? 2 = 2 即得 p的值；(2)依题意设 M m,-3? ? ， A x1,y1? ? ，根据四边形 BMAN为平行四边形，求出 ON?? = x1-m,3? ? ，即得解 .第 263页 共 377页
【解析 】 (1)依题意设直线 l1的方程为 y=x+ p2 ，由已知得， 圆 E: x+1? ? 2+y2=2的圆心 C2 -1,0? ? ，半径 r= 2 因为直线 l1与圆 E相切，所以圆心到直线 l1:y=x+ p2 的距离 d= -1+ p2? ?12+ -1? ? 2 = 2.即 -1+ p2? ?2 = 2，解得 p=6或 p=-2(舍去 )，所以 p=6.(2)依题意设 M m,-3? ? ，由 (1)知抛物线 F方程为 x2=12y，所以 y= x212 ，所以 y?= x6 ，设 A x1,y1? ? ，则以 A为切点的切线 l2的斜率为 k= x16 ，所以切线 l2的方程为 y= 16x1 x-x1? ? +y1.令 x=0， y=- 16x12+y1=- 16 ×12y1=-y1，即 l2交 y轴于 B点坐标为 0,-y1? ? .四边形 BMAN为平行四边形，所以 MN?? =MA?? +MB?? ，所以 MA?? = x1-m,y1+3? ? ， MB?? = -m,-y1+3? ? ，∴MN?? =MA?? +MB?? = x1-2m,6? ? ，∴ON?? =OM??? +MN?? = x1-m,3? ? .设 N点坐标为 x,y? ? ，则 y=3，所以点 N在直线 y=3上 .【 点评】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查抛物线中的定直线问题 ，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 .6． (1)x2=4y； (2)证明见解析 .【分析】 (1)根据抛物线的定义，得到圆心 M表示以 F 0,1? ? 为焦点， 以 y=-1为准线的抛物线，即可求得圆心 M的轨迹方程；(2)设 A 4t1,4t21? ? ,B 4t2,4t22? ? ，由 A,B,N三点共线，求得 t1t2的值，再求得过点 A与直线 OB垂直和点 B与直线 OA垂直的直线方程，联立方程组，求得 y=-2，即可得到结论 .【解析】 (1)圆 M经过点 F 0,1? ? 与直线 y=-1相切 ，则圆心 M满足到点 F 0,1? ? 与到直线 y=-1的距离相等 ，根据抛物线的定义，可得圆心 M表示以 F 0,1? ? 为焦点， 以 y=-1为准线的抛物线，其中 p=2，所以圆心 M的轨迹方程为 x2=4y.(2)设 A 4t1,4t21? ? ， B 4t2,4t22? ? ，由 A,B,N三点共线， 则 4t21-24t1 = 4t22-24t2 ，整理得 t1t2=- 12 ，过点 A与直线 OB垂直的直线为 y-4t22=- 1t1 x-4t2? ? ，同理过点 B与直线 OA垂直的直线为 y-4t21=- 1t2 x-4t1? ? ，第 264页 共 377页
两条垂线联立方程组 y-4t22=- 1t1 x-4t2? ?y-4t21=- 1t2 x-4t1? ?????? ，解得 y=-4t1t2-4=2，所以垂心在直线 y=-2.【点评】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力， 属于中档试题 .7． (1)y2=4x； (2)存在， P 0,0? ? ， x=-5.【 分析】 (1)显然当 AF⊥x轴时， |AC|取得最小值，可得 2p=4，即可得到所求抛物线方程；(2)假设 x轴上存在一点 P(x0， 0)，使得直线 PB与直线 m的交点恒在一条定直线上．设 A(x1， y1)， B(x2，y2)，直线 AB的方程为 x=ty+5，联立抛物线方程，运用韦达定理，由 PB的方程和直线 m的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．【解析】 (1)设直线 AC的倾斜角为 α，所以由抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦公式得 |AC|= 2psin2α，所以当 α= π2 ，即当 AF⊥x轴时， |AC|取得最小值 .把 x= p2 代入 y2=2px可得 y=±p，故 2p=4， p=2，可得抛物线的方程为： y2=4x．(2)假设 x轴上存在一点 P(x0， 0)，使得直线 PB与直线 m的交点恒在一条定直线上．设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB的方程为 x=ty+5，联立抛物线方程 y2=4x，可得 y2-4ty-20=0，y1+y2=4t， y1y2=-20，直线 PB的方程为 y= y2x2-x0 (x-x0)即 y= y2ty2+5-x0 (x-x0)，联立直线 m:y=y1，可得 x=x0+ ty1y2+(5-x0)y1y2 =x0+ -20t+(5-x0)y1y2 ，由 y1y2=-20， y1=y， 可得 y2=-20y ， t= 14 y- 20y? ? ，即有 x=x0-5+ 14 - 5-x020? ? y2，由假设可得 14 - 5-x020 =0，即 x0=0，此时 x=-5，可得存在定点 P(0,0)，定直线为 x=-5．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运 算能力，属于中档题． 8． (1)p=1(2)证明见解析【分析】 (1)根据 AB=4，知抛物线 y2=2px(p>0)过点 (2， 2)，代入计算得到答案 .(2)由题意设直线 l的方程为： y=k(x-2)，且 k≠0，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立方程得到 y1+y2= 2k， y1y2第 265页 共 377页
=-4， 根据直线方程得到 P 1， 1k? ? ，得到答案 .【 解析】 (1)当直线 l过点 M(2， 0)，且垂直于 x轴时，由 AB=4，知抛物线 y2=2px(p>0)过点 (2， 2)，代入抛物线方程，得 4=2p×2，解得 p=1；(2)证明：由题意设直线 l的方程为： y=k(x-2)，且 k≠0，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立 y2=2xy=k x-2? ???? ，消去 x， 化简得 ky2-2y-4k=0，由根与系数的关系得 y1+y2= 2k， y1y2=-4；又点 C在直线 AB上，则 yC= y1+y22 = 1k，所以直线 l1的方程为 y= 1k；又直线 l2过点 M且与直线 l垂直， 则直线 l2的方程为 y=- 1k(x-2)；联立 y= 1ky=- 1k x-2? ???? ，解得 x=1y= 1k??? ，所以点 P 1， 1k? ? ，所以点 P在定直线 x=1上 .【点评 】本题考查了抛物线的 p值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 .9． (Ⅰ )x22 +y2=1； (Ⅱ )详见解析 .【分析 】 (Ⅰ )由题意可知 ca = 2224a2 + 34b2 =1,a2=b2+c2??????? 解得 a2=2， b2=1，即可求出椭圆方程 ，(Ⅱ )设点 Q， A， B的坐标分别为 x,y? ? ， x1,y1? ? ， x2,y2? ? ，根据题意设 PA?? =λAQ?? ， (λ>0)， PB?? =-λBQ?? ，分别求出点 A， B的坐标，即可证明点 Q总在定直线上．【解析】 (Ⅰ )由题意可知 ca = 2224a2 + 34b2 =1,a2=b2+c2??????? 解得 a2=2， b2=1，故椭圆的方程为 x22 +y2=1．证明 (Ⅱ )由已知可得抛物线 C2的标准方程为 y2=4x，设点 Q， A， B的坐标分别为 x,y? ? ， x1,y1? ? ， x2,y2? ? ，由题意知 PA??? ?AQ??? ? = PB??? ?BQ??? ? ，不妨设 A在 P， Q之间 ，设 PA?? =λAQ?? ， (λ>0)，第 266页 共 377页
又点 Q在 P， B之间， 故 PB?? =-λBQ?? ，∵ PB??? ? > BQ??? ? ，∴λ>1，由 PA?? =λAQ?? 可得 x1,y1+2? ? =λ x-x1,y-y1? ? 解得 x1= λx1+λ， y1= -2+λy1+λ ，∵点 A在抛物线上，∴ -2+λy1+λ? ? 2=4× λx1+λ，即 (λy-2)2=4λ λ+1? ?x， λ≠-1? ? ，①由 PB?? =-λBQ?? 可得 x2,y2+2? ? =-λ x-x2,y-y2? ? 解得 x2= λxλ-1 ， y2= λy+2λ-1 ，∵点 B在抛物线上，∴ λy+2λ-1? ? 2=4× λxλ-1 ，即 (λy+2)2=4λ λ-1? ?x， λ≠1? ? ，②．由② -①可得 8λy=4λ -2x? ? ，∵λ≠0，∴x+y=0，∴点 Q总在定直线 x+y=0上【点评 】本题考查椭圆方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查推理论证与运算求解能力，考查化归与转化思想，属中档题． 10． (1)y=2x2； (2)所求的定点为 ，定直线方程为 y= ．．【 分析】 (1)曲线 C上任一点到定点 (0， )的距离等于它到定直线 的距离 .所以， 由抛物线的定义，其方程为 x2=2py，而 p2 = 18 ，所以 ， y=2x2；(2)利用“参数法”得到 y=4x2+4x+ ，根据图象的平移变换得到结论 ：定点为 ，定直线方程为 y= .【解析 】 (1)利用抛物线的定义，确定得到 y=2x2；(2)设 ： y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=由 得 2x2-kx+k-2=0同理得 B点坐标为 第 267页 共 377页
∴消去 k得： y=4x2+4x+ ???9分M轨迹是抛物线， 故存在一定点和一定直线，使得 M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程化为 ，此抛物线可看成是由抛物线 左移 个单位， 上移个单位得到的， 而抛物线 的焦点为 (0， )，准线为 y=- .∴所求的定点为 ，定直线方程为 y= .考点： 抛物线方程，直线与抛物线的位置关系．【点评】难题，利用“直接法”可确定得到抛物线方程．利用“参数法”求得抛物线方程，通过研究焦点、准线 等，达到确定“存在性”的目的． 11． (1)证明见解析； (2)证明见解析 .【分析】 (1)设 A x1, 12x21? ? ， B x2, 12x22? ? ，联立直线与抛物线方程 ，消元、列出韦达定理，即可得到 OA?? ?OB?? =0，从而得证；(2)对函数求导，利用导数的几何意义求出过点 A、 B的切线 l1、 l1的方程，即可得到 y= 12x1x2=-2， 即可得证；【解析】 (1)设 A x1, 12x21? ? ， B x2, 12x22? ? ，把 y=kx+2代入 y= 12x2，得 x2-2kx-4=0.由韦达定理得 x1+x2=2k， x1x2=-4.∴OA?? ?OB?? = x1, 12x21? ? ? x2, 12x22? ? =x1x2+ 14 x1x2? ? 2=0.所以 OA⊥OB(2)∵y= 12x2， ∴y?=x，故经过点 A x1, 12x21? ? 的切线 l1的方程为： y- 12x21=x1 x-x1? ? ，即 y=x1x- 12x21，①同理 ，经过点 B x2, 12x22? ? 的切线 l2的方程为： y=x2x- 12x22，②① ×x2-② ×x1， 得 y= 12x1x2=-2.即点 M在直线 l:y=-2上 .【点评】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12． (1)p=2， b=1； (2)证明见解析 . 第 268页 共 377页
【分析 】 (1)根据圆心到直线的距离等于半径可得 b=1，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得 p=2；(2)联立直线 l1与抛物线，解得点 P的坐标为 1,2? ? ，点 Q的坐标为 4,4? ? ，设直线 l2的方程为 y=k x+2? ? k≠0 ? ，点 M的坐标为 x2,y2? ? ，点 N的坐标为 x1,y1? ? ，联立直线 l2与抛物线方程 ，根据韦达定理可得 y1y2=8，利用直线 PM和直线 QN的方程联立，消去 y可得 x=2，所以点 T在定直线 x=2上【解析】 (1)圆 B的标准方程为 x-3? ? 2+y2=8，可知圆 B的圆心为 3,0? ? ，半径为 2 2，由直线 x-y+b=0与圆 B相切， 可得 b+3? ?2 =2 2，解得 b=1或 b=-7(舍去 )，联立方程 y2=2pxx-y+1=0??? ，消去 x后整理为 y2-2py+2p=0，因为直线与抛物线相切，所以 Δ=4p2-8p=0，得 p=2，故 p=2， b=1.(2)证明：直线 l1的方程为 y= 23 x+2? ? ，联立方程 y2=4xy= 23 x+2? ???? ，解得 x=1y=2??? 或 x=4y=4??? ，则点 P的坐标为 1,2? ? ，点 Q的坐标为 4,4? ? ，设直线 l2的方程为 y=k x+2? ? k≠0 ? ，点 M的坐标为 x2,y2? ? ，点 N的坐标为 x1,y1? ?联立方程 y2=4xy=k x+2? ???? ，消去 y整理为 k2x2+ 4k2-4? ?x+4k2=0，有 x1+x2= 4-4k2k2 ， x1x2=4，y1y2=k2 x1+2? ? x2+2 ? =k2 x1x2+2 x1+x2? ? +4? ? =k2 8-8k2k2 +8? ? =8，由 Δ= 4k2-4? ? 2-16k4>0得 - 22
专题 30：抛物线的范围问题参考答案1． A【分析】设 |AF|=a、 |BF|=b，根据抛物线的定义，有 MN? ? = 12 (a+b)，结合余弦定理与基本不等式即可求解．【 解析】设 |AF|=a、 |BF|=b，如图所示，根据抛物线的定义，可知 |AF|=|AQ|、 |BF|=|BP|，在梯形 ABPQ中，有 MN? ? = 12 (a+b)，在 △ABF中 ， |AB|2=a2+b2-2ab?cos π3 =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，又 ∵ab≤ a+b2? ? 2， ∴|AB|2≥ (a+b)24 ? AB? ? ≥ a+b2 ，∴ MN? ?AB? ? ≤ 12 (a+b)a+b2 =1，故 |MN||AB| 的最大值是 1，故选： A．【点评 】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化： (1)将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离； (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 2． (1)x2=6y； (2)9.【分析】 (1)由直线 l:mx+y- 32 =0经过抛物线 C的焦点， 解得 p=3；(2)联立方程，利用弦长公式表示 AB? ? ，分别表示两条切线的方程 ，得到 P点坐标，利用点到直线距离公式，表示三角形的高，从而得到三角形的面积表达式，求最值即可 .【解析】解： (1)设抛物线 C的方程为 x2=2py(p>0).∵直线 l:mx+y- 32 =0经过抛物线 C的焦点， ∴m×0+ p2 - 32 =0，解得 p=3.∴抛物线 C的方程为 x2=6y.(2)设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，由 x2=6ymx+y- 32 =0??? ，得 x2+6mx-9=0.∵Δ=36m2+36>0， x1+x2=-6m， x1x2=-9，∴ AB? ? = 1+m2 ? 36m2+36=6 1+m2? ? .由 x2=6y得 y= x26 .∴y?= x3 . 第 270页 共 377页
∴抛物线 C经过点 A的切线方程是 y-y1= x13 x-x1? ? ，将 y1= x216 代入上式整理得 y= x13 x- x216 .同理可得抛物线 C经过点 B的切线方程为 y= x23 x- x226 .解方程组 y= x13 x- x216y= x23 x- x226??????? 得 x= x1+x22y= x1x26????? ， ∴ x=-3my=- 32??? .∴P -3m,- 32? ? 到直线 mx+y- 32 =0的距离 d= m×(-3m)- 32 - 32? ?m2+1 =3 m2+1，△ABP的面积 S= 12 AB? ?d= 12 ×6× 1+m2? ? ×3 m2+1=9 m2+1? ? 32.∵m2+1≥1， ∴S≥9.当 m=0时， S=9.∴△ABP面积的最小值为 9.3． (1)x+2y+1=0； (2) 510 , 12??? ? ? ? ? .【分析 】 (1)设直线 l1： y+1=k(x-1)，与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得直线的方程．(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，求得直线 l1:y1y= x+x12 ，直线 l2:y2y= x+x22 ，得到点 M 0,y12? ? ， N 0,y22? ? ．表示出直线 AB方程 ，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示 |MN||AB| ，可求得范围．【 解析】 (1)由题意知直线 l1， l2的斜率一定存在，设直线 l1： y+1=k(x-1)，与抛物线方程联立，得 ky2-y-k-1=0．由 △=1+4k(k+1)=0，得 k=- 12 ，则 l1的方程为 y= 12x- 12 ．(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，设直线 l1： y-y1=k x-x1? ? ，与抛物线方程 y2=x联立 ，得 ky2-y+y1-y12k=0．由 Δ=1-4k y1-y12k? ? =0 ，解得 k= 12y1 ，所以直线 l1:y1y= x+x12 ，同理得直线 l2:y2y= x+x22 ，则M 0,y12? ? ， N 0,y22? ? ．设点 P(x0， y0)，代入可得 y1y0= x0+x12y2y0= x0+x22????? ，则直线 AB方程为 y0y= x0+x2 ．与抛物线方程联立， 得 y2-2y0y+x0=0，则有 y1+y2=2y0， y1y2=x0．则 |MN|= 12 |y1-y2|， |AB|= 4y20 +1|y1-y2|，所以 |MN||AB| = 12 4y20 +1 ．又点 P在圆 (x+2)2+y2=1上， 所以 -1≤y0≤1，即 0≤y02≤1，所以 |MN||AB| = 12 4y20 +1 ∈ 510 , 12??? ? ? ? ? .所以 |MN||AB| 的取值范围为 510 , 12??? ? ? ? ? .【点评 】方法点睛： (1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x (或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．有时若直线过 x轴上的一点，可将直线第 271页 共 377页
设成横截式 .4． (1)x2=8y； (2) -∞,- 2+12? ? ? ? ? ∪ 2516,+∞? ? ．【分析 】 (1)设出直线 AB的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由弦长公式可得答案 .(2)由直线直线 l的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由判别式求出参数 t的范围，设出 C， D两点坐标，表示出 k1k2，将韦达定理代入，根据参数 t的范围可求出答案 .【解析】 (1)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ．依题意， 知直线 AB的方程为 y=xtan45°+1，即 y=x+1，将它代入抛物线 H的方程中，并整理得 x2-2px-2p=0．由韦达定理得 x1+x2=2p， x1x2=-2p，其 Δ=4p2+8p>0对 p>0恒成立；由弦长公式得 |AB|= 2 x1+x2? ? 2-4x1x2? ? =8 3，化简得 p2+2p-24=0且 p>0，解得 p=4．故抛物线 H的方程为 x2=8y．(2)设 C x3,y3? ? ， D x4,y4? ? ，由 (1)易得 F(0,2)，则依题意知 E(0,-2)．而 k1k2=kCEkDE= y3+2x3 ? y4+2x4 = y3+2? ? y4+2 ?x3x4 ①；又因 C， D两点在直线 l:y= 12x+t(t≠0)上，于是 x3x4= 2y3-2t? ? 2y4-2t ? ，代入①式整理得 k1k2= y3y4+2 y3+y4? ? +44y3y4-4t y3+y4? ? +4t2 ②．将 l的方程 x=2y-2t代入 H的方程 x2=8y中， 化简得 y2-(2t+2)y+t2=0，由韦达定理得 y3+y4=2t+2， y3y4=t2③，其 Δ=(2t+2)2-4t2>0且 t≠0，解得 t>- 12 且 t≠0；将③式代入②式化简得 k1k2= t2+4t+8-8t (t>- 12 且 t≠0) ．分情况讨论如下： 当 t>0时，由均值不等式得 k1k2=- t8 + 1t? ? - 12 ≤-2 t8 ? 1t - 12 =- 2+12 ，当且仅当 t8 = 1t ，且 t>0， 即 t=2 2 时取等号；当 - 12 0对 t∈ - 12 ,0? ? 恒成立，从而知 f(t)在区间 - 12 ,0? ? 上单调递增， 所以 k1k2=f(t)>f - 12? ? = 2516 ．综上得 k1k2的取值范围为 -∞,- 2+12? ? ? ? ? ∪ 2516,+∞? ? ．【点评 】关键点睛：本题考查根据弦长求抛物线的方程和考查直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键是由 C， D两点坐标，表示出 k1k2= y3y4+2 y3+y4? ? +44y3y4-4t y3+y4? ? +4t2 ，将韦达定理代入可得 k1k2= t2+4t+8-8t ，从而由参数 t的范围求解 ，属于中档题 .5． (1)y2=4x； (2)AD?? ?AE?? ∈ 1447 ,48+ 96 77? ? ．【分析 】 (1)根据题意可得 a=2， c=1，再根据 p2 =1即可求解 .(2)将直线 l:x-y+m=0与椭圆方程联立， 设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，利用韦达定理可得 AD?? =4- 8m7 ,6m7? ? ，再将直线 l:x-y+m=0与抛物线方程联立设 P x3,y3? ? ， Q x4,y4? ? ，利用韦达定理可得 AE??= 8-2m,4? ? ，再由从而可得 AD?? ?AE?? = 167 m2- 967 m+32，配方即可求解 .第 272页 共 377页
【解析 】 (1)因为椭圆 C的离心率为 12 ，长轴长为 4， 2a=4，ca = 12 ，??? ，所以 a=2， c=1，因为椭圆 C和抛物线 F有相同的焦点 ，所以 p2 =1，即 p=2，所以抛物线 F的方程为 y2=4x．(2)由 (1)知椭圆 C: x24 + y23 =1，由 x24 + y23 =1，x-y+m=0，??? 得 7x2+8mx+4m2-12=0，Δ1=64m2-4×7× 4m2-12? ? >0，得 m2<7， - 70，得 m<1．设 P x3,y3? ? ， Q x4,y4? ? ，则 x3+x4=4-2m，所以 y3+y4= x3+x4? ? +2m=4，所以 AE?? =AP?? +AQ?? = x3+x4+4,y3+y4? ? = 8-2m,4? ? ．所以 AD?? ?AE?? = 4- 8m7 ,6m7? ? ? 8-2m,4? ?= 4- 8m7? ? ? 8-2m? ? + 6m7 ×4= 167 m2- 967 m+32， - 7
由 y= 12x2，求导 y?=x，则直线 PA的斜率 k=x1，直线 PA的方程： y-y1=x1 x-x1? ? ，则 y-y1=x1x-x12， 即 y+y1=x1x，同理直线 PB的方程： y+y2=x2x，∴由直线 PA,PB过切点 P，则 y0+y1=x1x0,y0+y2=x2x0，则 A和 B的坐标满足 y0+y=xx0，∴直线 AB的方程为 y=xx0-y0，则直线 PO的斜率为 y0x0 ，直线 AB的斜率为 x0，由 PN⊥AB，即 OP⊥AB， ∴ y0x0 ×x0=-1， 则 y0=-1，则直线 AB的方程 y=xx0+1，∴AB与 y轴的交点 M是定点 (0,1)；(2)由 (1)P x0,-1? ? ，则 |PN|为 P到直线 AB:xx0-y+1=0的距离，|PN|= x20+2? ?x20+1 ,|PM|= x0-0? ? 2+(-1-1)2 = x20+4，由 |MN|= |PM|2-|PN|2,∴ |PN||MN| = |PN||PM|2-|PN|2 = 1PM? ? 2PN? ? 2 -1 ，由 |PM|2|PN|2 = x20+4? ? 2 x20+1? ?x20+2? ? 2 = x40+5x20+4x40+4x20+4 =1+ x20x40+4x20+4 ，=1+ 1x0+ 4x20 +4 ≤1+ 14+4 = 98 ，当且仅当 x20= 4x20 ，即 x0=± 2 时， 取等号，则 |PN||MN∣ = 1PM? ? 2PN? ? 2 -1 ≥ 198 -1 =2 2,∴ |PN||MN| 的最小值 2 2．【点评 】关键点睛：本题考查抛物线中直线过定点问题，考查最值的求解，解题的关键是利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线 PA和 PB方程，得出直线 AB的方程为 y=xx0+1，得出 |PN||MN| = 1PM? ? 2PN? ? 2 -1 ，用基本不等式的性质即可求得 PM? ? 2PN? ? 2 的最大值 .7． (Ⅰ )y2=4x； (Ⅱ ) 94 ,+∞? ? .【分析 】 (Ⅰ )由抛物线 C的焦点为 F:(1,0)，得 p2 =1，求得 p， 则抛物线方程可求；(Ⅱ )设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意可知， MA,MB不与 y轴垂直，设 MA:x-x0=m1(y-y0)， MB:x-x0=m2(y-y0)，分别与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得 A,B的纵坐标，得到 AB的斜率，再由直线MA与圆相切，可得 (y02-1)m2+2y0(a-x0)+(a-x0)2-1=0，得到 m1+m2= 2y0(x0-a)y02-1 ，写出 MQ的斜率，再由 MQ⊥AB，结合点 M在抛物线上，求得 x0= 4a2-a-24a-9 > 14 ，由此求解实数 a的取值范围 .【 解析】 (Ⅰ )因为抛物线 C： y2=2px的焦点为 F:(1,0)，所以 p2 =1，则 p=2，所以抛物线方程为 ： y2=4x；(Ⅱ )设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意可知， MA,MB不与 y轴垂直， 第 274页 共 377页
设 MA:x-x0=m1(y-y0)， MB:x-x0=m2(y-y0)，由 y2=4xx-x0=m1(y-y0)??? ，得 y2-4m1y+4y0-4x0=0，则 y1+y0=4m1，得 y1=4m1-y0，同理可得 y2=4m2-y0，所以 kAB= y1-y2x1-x2 = y1-y2y124 - y224 = 4y1+y2 = 22(m1+m2)-y0 ，若过 M的直线与圆相切， 可得 a+my0-x0? ?1+m2 =1，化简得 (y02-1)m2+2y0(a-x0)+(a-x0)2-1=0，则 m1+m2= 2y0(x0-a)y02-1 ，又 kMQ= y0x0-a， MQ⊥AB，所以 kAB?kMQ= 22(m1+m2)-y0 ? y0x0-a =-1，所以 y0-2(m1+m2)2 = y0x0-a，即 y02 - 2y0(x0-a)x02-1 = y0x0-a，将 y02=4x0代入， 化简得 (4a-9)x0=4a2-a-2，即 x0= 4a2-a-24a-9 ，因为 y0>1，所以 x0= 4a2-a-24a-9 > 14 ，即 (4a-1)24(4a-9) >0，得 a> 94 ，所以实数 a的取值范围是 94 ,+∞? ? .【点评 】方法点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：(1)结合抛物线的焦点坐标求得 p的值，得到抛物线的方程；(2)根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得点的纵坐标，利用斜率坐标公式求得其 斜率；(3)根据直线与圆相切，得到等量关系式；(4)根据两直线垂直得到其斜率乘积等于 -1；(5)根据坐标的范围得到不等关系，求得参数的取值范围 .8． -1
又 ∵y0=kx0+3，∴x0= y0-3k =-2- 3k∵点 p在抛物线内部 ,∴ -2k? ? 2<4 -2- 3k? ? ，即 k2+ 3k +2<0，1)当 k>0，则 k3+2k+3<0，∴ k+1? ? k2-k+3 ? <0，即 k<-1,无解；2)当 k<0,则 k3+2k+3>0∴ k+1? ? k2-k+3 ? >0，即 k>-1故 -10， t2≠1然后求解即可．【 解析】解： (Ⅰ )由题意可得抛物线上点 A到焦点 F的距离等于点 A到直线 x=-1的距离．由抛物线的定义得 p2 =1，即 p=2．(Ⅱ )由 (Ⅰ )得抛物线的方程为 y2=4x， F(1,0)，可设 A(t2， 2t)， t≠0， t≠±1．由题知 AF不垂直于 y轴，可设直线 AF:x=sy+1(s≠0)， (s≠0)，由 y2=4xx=sy+1??? 消去 x得 y2-4sy-4=0，故 y1y2=-4， 所以 B 1t2 ,- 2t? ? ．又直线 AB的斜率为 2tt2-1 ，故直线 FN的斜率为 -t2-12t ，从而的直线 FN:y=-t2-12t (x-1)，直线 BN:y=- 2t ，由 y=-t2-12t (x-1)y=- 2t????? 解得 N的横坐标是 xN=1+ 4t2-1 ，其中 t2>0， t2≠1∴xN>1或 xN<-3．综上，点 N的横坐标的取值范围是 (-∞， -3)∪(1， +∞)．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 10． (I) x24 +y2=1， x2=4y； (II) 2,+∞? ? ．【解析 】试题分析： (Ⅰ )由题意得得 M -c, 74 -b? ? ，根据点 M在抛物线上得 c2=4b 74 -b? ? ，又由 ca =32 ，得 c2=3b2，可得 7b2=7b，解得 b=1，从而得 c= 3， a=2，可得曲线方程． (Ⅱ )设 kON=m， kOM=m''， 分析可得 m''=- 14m，先设出直线 ON的方程为 y=mx (m>0)，由 y=mxx2=4y??? ，解得 xN=4m，从而可求第 276页 共 377页
得 ON? ? =4m 1+m2，同理可得 OM? ?,OA? ?,OB? ?,故可将 λ= SΔOMNSΔOAB = ON? ? ? OM? ?OA? ? ? OB? ? 化为 m的代数式， 用基本不等式求解可得结果．试题解析：(Ⅰ )由抛物线定义可得 M -c, 74 -b? ? ，∵点 M在抛物线 x2=4by上 ，∴c2=4b 74 -b? ? ，即 c2=7b-4b2 ①又由 ca = 32 ，得 c2=3b2将上式代入①，得 7b2=7b解得 b=1,∴c= 3,∴a=2，所以曲线 C1的方程为 x24 +y2=1，曲线 C2的方程为 x2=4y．(Ⅱ )设直线 MN的方程为 y=kx+1，由 y=kx+1x2=4y??? 消去 y整理得 x2-4kx-4=0，设 M(x1,y1)， N x2,y2? ? .则 x1x2=-4，设 kON=m， kOM=m''，则 mm''= y2x2 ? y1x1 = 116x1x2=- 14 ，所以 m''=- 14m，②设直线 ON的方程为 y=mx (m>0)，由 y=mxx2=4y??? ，解得 xN=4m，所以 ON? ? = 1+m2 xN? ? =4m 1+m2，由②可知， 用 - 14m 代替 m，可得 OM? ? = 1m 1+ - 14m? ? 2 xM? ? = 1+ 116m2 ，由 y=mxx24 +y2=1??? ，解得 xA= 24m2+1 ，所以 OA? ? = 1+m2 xA? ? = 2 1+m24m2+1 ，用 - 14m 代替 m，可得 OB? ? = 1+ 116m2 xB? ? = 2 1+ 116m214m2 +1所以 λ= SΔOMNSΔOAB = ON? ? ? OM? ?OA? ? ? OB? ? = 4m 1+m2 ? 1m 1+ 116m22 1+m24m2+1 ? 2 1+ 116m214m2 +1第 277页 共 377页
= 4m2+1? 14m2 +1= 4m2+2+ 14m2=2m+ 12m ≥2，当且仅当 m=1时等号成立．所以 λ的取值范围为 2,+∞? ? .点睛： 解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 11． (Ⅰ )r∈ 32 ,1? ? ； (Ⅱ ) 49 6.【分析 】 (Ⅰ )联立抛物线与圆的方程，由题意可得 x2-x+1-r2=0在 0,+∞? ? 上有两个不同的解， 即Δ=1-4 1-r2? ? >01-r2>0??? ，解不等式组可得答案 .(Ⅱ )用半径 r表示出四边形 ABCD的面积为 SABCD= 1+2 1-r2? ? 4r2-3 ? ，令 t= 1-r2，此时 SABCD= (1+2t) 1-4t2? ? ，构造函数 f(t)=(1+2t) 1-4t2? ? ，求导判单调性 ，由单调性即可得到最值 .【解析】 (Ⅰ )联立 y2=x(x-1)2+y2=r2??? 得 x2-x+1-r2=0.由题可知，x2-x+1-r2=0在 0,+∞? ? 上有两个不同的解， 所以 Δ=1-4 1-r2? ? >01-r2>0??? ，得 34 0时， t∈ 0, 16? ? ，当 f'' t? ? <0时， t∈ 16 , 12? ? .所以 y=f t? ? 在 0, 16? ? 上单调递增， 在 16 , 12? ? 单调递减 .所以 f(t)max=f 16? ? = 3227 ，得四边形 ABCD的最大值为 49 6.【点评 】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题 .12． (1)y2=4x； (2)258 π.【 分析】 (1)根据抛物线定义求解方程； 第 278页 共 377页
(2)设 P x0,y0? ? ，抛物线在 P处的切线 MN:y0y=2 x+x0? ? ，设 Q x1,y1? ? ， M x2,y2? ? ， N x3,y3? ? ，可得 QA， QB的方程 ，将直线方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理及三角形的面积公式及 △QMN中正弦定理，即可得答案；【解析】设抛物线焦点为 F，作 PT⊥y轴延长交抛物线准线于点 K，作 PS⊥l于点 S，作 FH⊥l于点 H，PS? ? + PT? ? = PS? ? + PK? ? - p2 = PS? ? + PF? ? - p2 ≥ FH? ? - p2焦点 F到直线 l的距离 PH? ? = p2 -0+4? ?12+ -1? ? 2 = p2 +42 ， PH? ? - p2 = p2 +42 - p2 = 5 22 -1，解得 p=2因此抛物线 E的方程为 y2=4x.(2)设 P x0,y0? ?抛物线在 P处的切线 MN:y0y=2 x+x0? ?设 Q x1,y1? ? ， M x2,y2? ? ， N x3,y3? ? ， QA:y-y1=k1 x-x1? ? ， QB:y-y1=k2 x-x1? ?联立 QA与抛物线： y-y1=k1 x-x1? ?y2=4x??? ，整理得 k14 y2-y+y1-k1x1=0相切： Δ= -1? ? 2-4k14 y1-k1x1? ? =0，即 x1k21-y1k1+1=0同理可得 ： x1k22-y1k2+1=0，因此 k1， k2是方程 x1k2-y1k2+1=0的两根，判别式： Δ=y21 -4x1>0，即 x1+4? ? 2-4x1>0， x21+4x1+16>0成立韦达定理 ； k1k2= 1x1 ， k1+k2= y1x1 = x1+4x1 ，到角公式； tan∠MQN= k1-k21+k1k2 ，则 sin∠MQN= tan2∠MQN1+tan2∠MQN = k1-k21+k1k2? ? 21+ k1-k21+k1k2? ? 2第 279页 共 377页
= k1-k2? ? 21+k1k2? ? 2+ k1-k2? ? 2 = k1-k2? ?1+k1k2? ? 2+ k1-k2? ? 2-4k1k2联立 QA与 MN: y-y1=k1 x-x1? ?y0y=2 x+x0? ???? ，解得 x2= k1x1+ 2x0y0 -y1k1- 2y0 ，同理可得： x3= k2x1+ 2x0y0 -y1k2- 2y0弦长公式： MN? ? = 1+ 2y0? ? 2 x2-x3? ? = 1+ 4y20 k1x1+ 2x0y0 -y1k1- 2y0 - k2x1+ 2x0y0 -y1k2- 2y0? ?= 1+ 4y20 k1x1+ 2x0y0 -y1? ? k2- 2y0 ? - k2x1+ 2x0y0 -y1? ? k1- 2y0 ?k1- 2y0? ? k2- 2y0 ?? ?= 1+ 4y20 2x0y0 y1+ 2x1y0? ? k1-k2? ?k1k2- 2y0 k1+k2? ? + 4y20? ?在 △QMN中使用正弦定理 ：2R= MN? ?sin∠MQN = 1+ 4y20 2x0y0 -y1+ 2x1y0? ? 1+k1k2? ? 2+ k1+k2? ? 2-4k1k2k1k2- 2y0 k1+k2? ? + 4y20? ? =1+ 4y20 2x0y0 - x1+4? ? + 2x1y0? ? 1+ 1x1? ? 2+ x1+4x1? ? 2- 4x11x1 - 2y0 x1+4x1 + 4y20? ? .= 1+ 4y20 12y20 -2 x1+4? ? +4x1??? ? ? ?y0? ? 2x21+6x1+17x21y20 -2 x1+4? ?y0+4x1x1y20? ?= 12 y20 +4 2x21+6x1+17 = 12 y20 +4 2 x1+ 32? ? 2+ 252 ≥ 252S=πR2≥π 12 252? ? 2= 25π8 ，面积最小值为 258 π.【 点评】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算 求解能力，求解时注意运算的准确性，属于难题 .13． (Ⅰ )y= 4+2 6? ? x-2 ? 和 y= 4-2 6? ? x-2 ? ； (Ⅱ ) 2,97 9732??? ? ? ? ? .【分析 】 (Ⅰ )设过点 P的切线方程为 y=k x-2? ? ，与抛物线 C1的方程联立 ，由 Δ=0可求得 k的值，由此可求得所求切线的方程；(Ⅱ )设点 P m,n? ? 、 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，利用导数求得直线 PA、 PB的方程，将点 P的坐标代入直线 PA、PB的方程，可得出两个等式，可求得直线 AB的方程，并将直线 AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求得 AB? ? 以及点 P到直线 AB的距离 ，可求得 △PAB的面积，然后利用椭圆方程可将 △PAB的面积表示为有关 n的函数，由此可求得 △PAB面积的取值范围 .【解析】 (Ⅰ )设过点 P的切线方程为 y=k x-2? ? ，将其代入 y=x2+2， 可得 x2-kx+2k+2=0，第 280页 共 377页
因为直线 l与抛物线 C1相切， ∴Δ=k2-8k-8=0，解得 k=4±2 6.因此， 所求的两条切线的方程为 y= 4+2 6? ? x-2 ? 和 y= 4-2 6? ? x-2 ? ；(Ⅱ )设 P m,n? ? 、 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，由 y=x2+2， 可得 y?=2x，则切线 PA的方程为 y-y1=2x1 x-x1? ? ，又 y1=x21+2，即 y=2x1x-y1+4.同理，切线 PB的方程为 y=2x2x-y2+4.又 PA和 PB都过点 P m,n? ? ， ∴ n=2x1m-y1+4n=2x2m-y2+4??? .∴直线 AB方程为 n=2mx-y+4，即 y=2mx-n+4.联立 y=2mx-n+4y=x2+2??? ，得 x2-2xm+n-2=0.Δ=4m2-4(n-2)=4(m2-n+2)>0,由韦达定理得 x1+x2=2m， x1x2=n-2.|AB|= 1+4m2 x1-x2? ? =2 1+4m2 m2-n+2.∵点 P到直线 AB的距离为 d= 2m2-n+2? ?1+4m2 ，∴△PAB的面积 S△PAB= 12 AB? ? ?d=2 m2-n+2? ? 32.∵ m24 + n21 =1， ∴m2=4-4n2， -1≤n≤1，∴S△PAB= 12 AB? ? ?d=2 -4n2-n+6? ? 32=2 -4 n+ 18? ? 2+ 9716??? ? ? ? 32 ∈ 2,97 9732??? ? ? ? ? .【点评 】本题考查抛物线的切线方程的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的求解，考查了抛物线切点弦方程的求解，考查计算能力，属于较难题 . 第 281页 共 377页
专题 31：抛物线的存在探索性问题参考答案1． (1)x2=4y； (2)存在，定点 R(0， -2).【分析】 (1)由 |PA|等于点 P到直线 y=-1的距离，结合抛物线的定义得出点 P的轨迹方程；(2)由对称性确定点 R必在 y轴上，再由 ∠MRQ=∠NRQ可得 kMR+kNR=0，联立直线 l与抛物线方程，结合韦达定理求出定点 R(0， -2).【解析】 (1)由题知， |PA|等于点 P到直线 y=-1的距离，故 P点的轨迹是以 A为焦点， y=-1为准线的抛物线，所以其方程为 x2=4y.(2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点 R，则点 R必在 y轴上，可设其坐标为 (0， r)此时由 ∠MRQ=∠NRQ可得 kMR+kNR=0.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y1-rx1 + y2-rx2 =0由题知直线 l的斜率存在， 设其方程为 y=kx+2，与 x2=4y联立得 x2-4kx-8=0，则 x1+x2=4k， x1x2=-8y1-rx1 + y2-rx2 = kx1+2-rx1 + kx2+2-rx2 =2k+ (2-r)(x1+x2)x1x2 =2k- k(2-r)2 =0故 r=-2， 即存在满足条件的定点 R(0， -2).【点评】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得 出点 R必在 y轴上，进而设出其坐标 .2． (1)证明见解析； (2)存在， N ± 22 ,-1? ? .【分析 】 (1)由题意设直线 AB:y=kx+1， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，将直线与抛物线方程联立求出两根之和 、两根之积，求出直线 AN:y= x12 x- x124 以及直线 BN:y= x22 x- x224 ，将两直线联立求出交点即证 .(2)由 (1)知点 N为 CD的中点，取 AB的中点 E，则 EN= AC+BD2 ，利用抛物线的定义可得 AB=2EN，S△ABN=S△AEN+S△BEN， S△ACN= AF?CN2 ， S△BDN= BF?CN2 ，根据 2S△BDN=S△ACN+S△ABN，可得 2BF=AF+AB，即 x2=-2x1，结合韦达定理即可求解 .【解析】解 (1)由题知 p=2所以 M:x2=4y设直线 AB:y=kx+1， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ?联立 y=kx+1x2=4y??? 得 x2-4kx-4=0所以 x1+x2=4kx1x2=-4???对 y= x24 求导得 y?= x2所以直线 AN的斜率为 kAN= x12所以直线 AN:y-y1= x12 x-x1? ? 即 AN:y= x12 x- x124 ①同理直线 BN:y= x22 x- x224 ②联立①和②得 x= x1+x22 =2ky= x1x24 =-1????? 第 282页 共 377页
所以点 N的坐标为 (2k,-1)，即点 N在定直线 y=-1上(2)由 (1)知点 N为 CD的中点取 AB的中点 E，则 EN= AC+BD2由题知 AC+BD=AB所以 AB=2EN所以 S△ABN=S△AEN+S△BEN= EN?CN2 + EN?DN2 =2× EN?CN2 = AB?CN2而 S△ACN= AC?CN2 = AF?CN2 ， S△BDN= BD?DN2 = BF?CN2若存在点 N满足题意则 2S△BDN=S△ACN+S△ABN即 2BF=AF+AB所以 2 x2-0? ? =0-x1+x2-x1即 x2=-2x1③又因为 x1+x2=4kx1x2=-4??? ④将③代入④解得 k=± 24由 (1)知 N(2k,-1)即 N ± 22 ,-1? ?经检验， 存在 N ± 22 ,-1? ? 满足题意 .【点评 】本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，求出点 N的坐标为 (2k,-1)以及 x2=-2x1，考查了计算能力、推理能力 .3． (1)4p； (2)证明见解析； (3)存在满足题意的点 Q，其坐标为 (0， 0)和 -158 p， 0? ? ．【分析 】 (1)设 AB:y=x- p2 ，与抛物线方程联立 ,利用根与系数的关系以及抛物线的定义得出 A、 B两点之间的距离 ；(2)设 AB:x=ty+ p2 ，与抛物线方程联立 ，得出一元二次方程，通过计算得出 kDO=kOB，即可证得 B、 O、 D在同一条直线上；(3)设点 Q的坐标为 (t， 0)，列方程组求出点 Q关于直线 y=2x的对称点为 Q?，将 Q?的坐标代入 y2=2px，可得点 Q的坐标．【解析】 (1)F p2 ,0? ? ，设 AB:y=x- p2 ，联立 y2=2px得：x2-3px+ p24 =0?xA+xB=3p， xAxB= p24 ? AB? ? =xA+xB+p=4p；(2)设 AB:x=ty+ p2 ，联立 y2=2px得： y2-2pty-p2=0，A(x1,y1)， B(x2,y2)D -p2 ,y1? ? ，kDO= y1-p2 =-2y1p ， kOB= y2x2 = 2py2y22 = 2py1y1y2 = 2py1-p2 =-2y1p ，∴kDO=kOB， ∴B、 O、 D在同一条直线上 ；(3)设点 Q的坐标为 (t， 0)，点 Q关于直线 y=2x的对称点为 Q?(x， y)，第 283页 共 377页
则 yx-t =- 12y2 =x+t????? ，解得 ： x=- 35ty= 45t??? ，若 Q?在 C上， 将 Q?的坐标代入 y2=2px，得 t=0或 t=-158 p．∴存在满足题意的点 Q，其坐标为 (0， 0)和 -158 p， 0? ? ．【点评 】本题考查抛物线的定义，考查焦半径公式，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是通过设出直线方程，与抛物线方程联立化简，利用设而不求法以及 kDO=kOB，证得三点共线成立，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 4． (1)y2=4x； (2)存在； T 4,0? ? ．【分析 】 (1)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，利用点差法可得解 ；(2)由题知 TP为 ∠MPN的角平分线，可得 kMP+kNP=0，设直线 MN的方程为 x=my+t，与抛物线方程联立得 y2-4my-4t=0，由韦达定理结合 kMP+kNP=0得 2my3y4+(t+4) y3+y4? ? =0，即 -4m t-4? ? =0对于任意的 m∈R恒成立， 可得答案 .【解析】 (1)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 y12=2px1,y22=2px2因为线段 AB的中点的纵坐标为 2，则 y1+y2=4，两式相减得 kAB=1= y1-y2x1-x2 = 2py1+y2 = 2p4 = p2 ．所以 p=2，即抛物线 C的方程为 y2=4x(2)假设存在这样的点 T满足条件，设为 T t,0? ? ，因为点 T到直线 MP、 NP的距离相等，所以 TP为 ∠MPN的角平分线，则 ∠MPT=∠NPT，可得 kMP+kNP=0，显然直线 MN的斜率不能为零，故设直线 MN的方程为 x=my+t，由 x=my+ty2=4x??? 联立得 y2-4my-4t=0，设 M x3,y3? ? ,N x4,y4? ? ，则有 Δ=16m2+16t>0y3+y4=4my3y4=-4t???得 kMP+kNP= y3x3+4 + y4x4+4 = y3 x4+4? ? +y4 x3+4? ?x3+4? ? x4+4 ? =0即 y3 my4+t+4? ? +y4 my3+t+4? ? =0，整理得 2my3y4+(t+4) y3+y4? ? =0，即 2m -4t? ? +(t+4) 4m? ? =0，得 -4mt+16m=0，即 -4m t-4? ? =0对于任意的 m∈R恒成立， 所以 t=4,且此时满足 Δ>0，所以存在点 T 4,0? ? 到直线 MP,NP的距离相等 .【点评】本题考查求抛物线的方程，直线与抛物线相交问题： (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入 曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解． 5． (1)y2=4x； (2)是，定点为 (1,0)和 (-3,0).【分析】 (1)设 M(x,y),P x0,y0? ? ，用动点转移法求得轨迹 C的方程 ；第 284页 共 377页
(2)设直线 x=my+1与曲线 C的交点坐标为 A y214 ,y1? ? ， B y224 ,y2? ? ，直线方程代入曲线 C方程 ，应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，设 T y204 ,y0? ? ，写出直线 AT,BT方程求得 D,E两点坐标，若存在定点 N(n,0)，利用 ND?? ?NE?? =0(注意代入韦达定理的结论 )求得定点．【解析】 (1)设 M(x,y),P x0,y0? ? ，则点 Q的坐标为 x0,0? ? .因为 PM?? =2MQ?? ，所以 x-x0,y-y0? ? =2 x0-x,-y? ? ，即 x0=x,y0=3y.??? ，因为点 P在抛物线 y2=36x上，所以 y20 =36x0， 即 (3y)2=36x.所以点 M的轨迹 C的方程为 y2=4x.(2)设直线 x=my+1与曲线 C的交点坐标为 A y214 ,y1? ? ， B y224 ,y2? ? ，由 x=my+1,y2=4x,??? 得 y2-4my-4=0.由韦达定理得 y1+y2=4m,y1y2=-4.设点 T y204 ,y0? ? ，则 kAT= y1-y0y214 - y204 = 4y0+y1 .所以直线 AT的方程为 y-y0= 4y0+y1 x- y204? ? .令 x=-1， 得点 D的坐标为 -1,y0y1-4y0+y1? ? .同理可得点 E的坐标为 -1,y0y2-4y0+y2? ? .如果以 DE为直径的圆过 x轴某一定点 N(n,0)，则满足 ND?? ?NE?? =0.因为 ND?? ?NE?? = -1-n,y0y1-4y0+y1? ? ? -1-n,y0y2-4y0+y2? ?=(1+n)2+ y1y2y20 -4y0 y1+y2? ? +16y20 +y0 y1+y2? ? +y1y2 .所以 (1+n)2+ -4y20 -16my0+16y20 +4my0-4 =0.即 (1+n)2-4=0，解得 n=1或 n=-3.故以 DE为直径的圆过 x轴上的定点 (1,0)和 (-3,0).【点评】本题考查求抛物线方程，考查抛物线中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点 坐标为 (x1,y1),(x2,y2)，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标．6． (1)证明见解析； (2)存在点 M 1- 3,2- 3? ? ，使得 A， B， P三点共线 .【 分析】 (1)设 M t,t22? ? ，求出 P,Q坐标，直接计算求解即可；(2)设过 M的圆的切线方程为 y- t22 =k x-t? ? ，利用圆心到直线距离等于半径得到方程 ，其两根 k1， k2为两切线斜率，设直线 AB： x1+x2? ?x=2y+x1x2，转化为求关于 t的方程是否有解 .第 285页 共 377页
【解析 】 (1)证明：设 M t,t22? ? (t<0)，则切线 MP的斜率 k=y?|x=t=x|x=t=t，所以切线方程为 y- t22 =t(x-t)，即 tx=y+ t22 ，所以 P t2 ,0? ? ， Q 0,-t22? ? 则 MQ? ? = 1+t2 t? ? F 0, 12? ?所以 MQ? ? 2QO? ? ? QF? ? = 1+t2? ?t2t22 12 + t22? ? =4(定值 )(2)设过 M的圆的切线斜率为 k，则切线方程为 y- t22 =k x-t? ? ，则 k 2-t? ? + t22? ?1+k2 =1即： t2-4t+3? ?k2+ 2-t? ?t2k+ t24 -1=0 其两根 k1， k2为两切线斜率，k1+k2= t-2? ?t2t2-4t+3 k1k2= t2-44 t2-4t+3? ?设 A x1,x122? ? ,B x2,x222? ? ，则直线 AB： y- x122x222 - x122 = x-x1x2-x1化简得： x1+x2? ?x=2y+x1x2若存在 M，符合题意 ，则 x1+x2? ? t2 =x1x2又斜率公式知 k1= x1+t2 ?x1=2k1-t，同理 x2=2k2-t∴x1+x2=2 k1+k2? ? -2t= 4t2-6tt2-4t+3 x1x2= 2k1-t? ? 2k2-t ? = 3t2-4t2-4t+3代入 x1+x2? ? t2 =x1x2并化简有 t3-3t2+2=0所以： t-1? ? t2-2t-2 ? =0，解得 t=1或 t=1+ 3 或 t=1- 3，由 t<0知 t=1- 3，故存在点 M 1- 3,2- 3? ? ，使得 A， B， P三点共线 .【 点评】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的切线的性质，函数与方程的思想，考查了运算能力，属 于较难题目 .7． (1)证明见解析； (2)① k∈ -∞,0? ? ∪ 0,1? ? ；②存在 ；定点 Q 14 , 98? ? ， QM??? ?QN?? = 8564.【分析 】 (1)将抛物线方程和圆方程联立，消去 y，得到关于 x的方程，然后将交点的横坐标 x0= 5-2代入方程中， 可求出圆的半径，求出过点 P 1,2? ? 的切线方程， 再与圆方程联立求点 A， B的坐标，可得到 OA?? ，OB?? ，然后 OA?? ?OB?? =0，可证得 OA?? ⊥OB?? ；(2)①先判断直线 l的斜是否存在，再设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，消元后使判别式大于零，可求出斜率 k的取值范围；②假设存在点 Q x0,y0? ? ，则 QM??? ?QN?? = x1-x0? ? ? x2-x0? ? + y1-y0? ? ? y2-y0? ? ，然后对上式化简 ，再结合根与系数的关系，可得 QM??? ?QN?? = k 2x0-4y0+4? ? -4x0+1k2 +x20+y0，要使此式为定值 ，只要 -4x0+1=0，第 286页 共 377页
2x0-4y0+4=0，求出点 Q的坐标即可 .【 解析】 (1)联立抛物线 C1与圆 C2的方程： y2=4xx2+y2=r2??? ，得 x2+4x-r2=0，由题意， x0= 5-2满足上述方程， 所以 5-2? ? 2+4 5-2? ? -r2=0解得 r2=1，所以 C2的方程为 x2+y2=1.由于点 P 1,2? ? 在 C1上， 且在第一象限， C1在第一象限的方程为 y=2 x，则 y?=x-12，故过点 P 1,2? ? 的切线斜率为 1，所以在 C1上过点 P 1,2? ? 的切线方程为 y-2=x-1，即 y=x+1.与圆 C2的方程联立 y=x+1x2+y2=1??? ，又 A点在 B点的右侧 ，所以 A 0,1? ? ， B -1,0? ? ，故 OA?? = 0,1? ? ， OB?? = -1,0? ? ， OA?? ?OB?? =0，所以 OA?? ⊥OB??(2)(1)若过点 A的直线 l斜率不存在，则 l的方程为 x=0，与 C1只有一个交点，不合题意 .由题意，设 l的方程为 y=kx+1.由 y=kx+1y2=4x??? 得， k2x2+ 2k-4? ?x+1=0由于直线 l与 C1交于不同的两点 M， N，故 k≠0， Δ=-16k+16>0，所以直线 l的斜率 k的取值范围是 k∈ -∞,0? ? ∪ 0,1? ? .(2)假设存在点 Q x0,y0? ? ，设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，则 QM??? = x1-x0,y1-y0? ? ， QN?? = x2-x0,y2-y0? ? .由 (1)得 x1+x2= 4-2kk2 ， x1x2= 1k2 ，QM??? ?QN?? = x1-x0? ? ? x2-x0? ? + y1-y0? ? ? y2-y0? ?=x1x2-x0 x1+x2? ? +x20+ kx1+1-y0? ? kx2+1-y0 ?= 1+k2? ?x1x2+ k 1-y0? ? -x0? ? x1+x2? ? +x20+ 1-y0? ? 2= 1+k2? ? 1k2 + k 1-y0? ? -x0? ? 4-2kk2 +x20+ 1-y0? ? 2= k 2x0-4y0+4? ? -4x0+1k2 +x20+y0当 -4x0+1=0， 2x0-4y0+4=0时，即当 x0= 14 ， y0= 98 时， OM??? ?QN?? =x20+y20 = 8564.故存在定点 Q 14 , 98? ? ，不论 k为何值 ， QM??? ?QN?? = 8564 为定值 .【点评 】本题主要考查抛物线、圆、直线方程，定值等综合知识以及推理论证能力与运算求解能力，属于较难题 .8． (1)y2=4x； (2)存在定点 Q -2,2? ? 满足题意．【分析 】 (1)联立方程 x-5? ? 2+y2=16y2=2px??? ，得 x2+ 2p-10? ?x+9=0，由 Δ=0可得 p值 ，即可得抛物线 C的方程；(2)由题设 Q m,2? ? ，易得当直线 l的斜率不存在时 ，恒有 2kRQ=kAQ+kBQ；当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=k x-2? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立方程 y=k x-2? ?y2=4x??? ，由韦达定理与斜率公式表示出 kAQ,kBQ,kRQ，由 2kRQ=kAQ+kBQ列方程求解出 m即可 .第 287页 共 377页
【解析 】 (1)联立方程 x-5? ? 2+y2=16y2=2px??? ，得 x2+ 2p-10? ?x+9=0，因为抛物线 C与圆 M有且只有两个公共点，则 Δ= 2p-10? ? 2-36=0，解得 p=2或 p=8，又 00)经过点 P(3,6)，求得 p=6，得到抛物线的方程；(2)设直线 AB的方程为 x=my+t， A(x1,y1)， B(x2,y2)，联立 y2=12xx=my+t??? ，消元得到 y2-12my-12t=0，利用韦达定理，结合向量数量积坐标公式以及条件 PA⊥PB，得到 t=6m+15或 t=-6m+3，确定出直线方程，进而求得结果 .【解析】 (1)根据题意，可设抛物线 C的方程为 y2=2px(p>0)，因为点 P(3,6)在抛物线 C上，所以 62=2p×3，即 p=6，所以抛物线 C的方程为 y2=12x.(2)设直线 AB的方程为 x=my+t， A(x1,y1)， B(x2,y2)，第 288页 共 377页
联立 y2=12xx=my+t??? ，整理得 y2-12my-12t=0，Δ=144m2+48t>0， y1+y2=12m， y1y2=-12t，因为 PA?? =(x1-3,y1-6)， PB?? =(x2-3,y2-6)，所以 PA?? ?PB?? =(x1-3,y1-6)?(x2-3,y2-6)=(x1-3)(x2-3)+(y1-6)(y2-6)==(my1+t-3)(my2+t-3)+(y1-6)(y2-6).因为 PA⊥PB，所以 PA?? ?PB?? =(1+m2)y1y2+[(t-3)m-6](y1+y2)+(t-3)2+36=(1+m2)(-12t)+[(t-3)m-6]×12m+(t-3)2+36=t2-18t-36m2-72m+45=0，即 (t-9)2=36(m+1)2，所以 t-9=±6(m+1)，t=6m+15或 t=-6m+3，则直线 AB的方程为： x=m(y+6)+15或 x=m(y-6)+3(舍去 )，所以直线 AB过定点 H(15,-6)，因为 PQ⊥AB，所以点 Q在以 PH为直径的圆上所以存在定点 M(9， 0)，使得 |MQ|=6 2 为定值 .【点评 】思路点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，解题思路如下：(1)根据题意，设出抛物线方程，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，求得结果； (2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及向量数量积坐标公式，结合向量垂直，得到等量关 系，确定出直线过的定点，结合图形的特征，得到结果 .10． (1)x2=4y； (2)存在， t=-1【分析】 (1)利用坐标写出 MA?? ， MB?? ， OM??? ,OA?? ,OB?? ，即可求出 MA?? +MB?? ， OA?? +OB?? ，再根据 |MA?? +MB?? |=OM??? ?(OA?? +OB?? )+2，化简即可求得曲线 C的方程；(2)先假设存在 P(0,t)，根据题意写出 PA,PB的方程，对 t进行讨论，联立方程解出 xD,xE，即可求得 △QAB与 △PDE的面积之比的表达式，利用其为常数 ,即可求得结论 .【解析】 (1)∵A(-2,1)， B(2,1)，∴MA?? =(-2-x， 1-y) ， MB?? =(2-x， 1-y)， OM??? = x,y? ? ,OA?? = -2,1? ? ,OB?? = 2,1? ? ，即 MA?? +MB?? = -2x,2-2y? ? ， OA?? +OB?? = 0,2? ? ，∴ MA?? +MB??? ? = -2x? ? 2+ 2-2y? ? 2 = 4x2+4y2-8y+4，OM??? ?(OA?? +OB?? )+2= x,y? ? ? 0,2? ? +2=2y+2，∵|MA?? +MB?? |=OM??? ?(OA?? +OB?? )+2，即 4x2+4y2-8y+4=2y+2，化简得曲线 C的方程： x2=4y；(2)假设存在点 P(0， t) t<0? ? 满足条件，则 kPA= t-10- -2? ? = t-12 ， kPB= t-10-2 = 1-t2 ，∴直线 PA的方程是 ： y= t-12 x+t， 第 289页 共 377页
PB的方程是 y= 1-t2 x+t，∵动点 Q(x0,y0)在曲线 C上，∴y0= x024 ，∵曲线 C的方程： x2=4y；即 y= x24 ，则 y?= x2 ，y? x=x0? = x02 ，∴曲线 C在 Q处的切线 l的方程是： y= x02 x- x024 ，与 y轴交点为： F 0,-x024? ? ，∴ PF? ? =-x024 -t，∵-2 x02 ，∴l与 PA,PB一定相交，联立： y=t-12 x+ty=x02 x-x024??? ，即 t-12 x+t- x02 x+ x024 =0，解得： xD= x02+4t2 x0+1-t? ? ，联立： , y=1-t2 x+ty=x
02 x-x024??? ，即 1-t2 x+t- x02 x+ x024 =0，解得： xE= x02+4t2 x0+t-1? ? ，∴xD-xE= x02+4t2 x0+1-t? ? - x02+4t2 x0+t-1? ? = 1-t? ? x02+4tx02- t-1? ? 2 ，又 ∵ PF? ? =-x024 -t，∴S△PDE= 12 PF? ? ? xD-xE? ? = 12 -x024 -t? ? ? 1-t? ? x02+4tx02- t-1? ? 2? ? = t-18 × x02+4t? ? 2x02- t-1? ? 2 ，又 ∵S△QAB= 4-x022 ， 第 290页 共 377页
∴ S△QABS△PDF = 4-x022t-18 × x02+4t? ? 2x02- t-1? ? 2 = 41-t × x04- 4+ t-1? ? 2? ?x02+4 t-1? ? 2x04+8tx02+16t2 ，∵对任意 x0∈ -2,2? ? ，要使 S△QABS△PDF 为常数，则 t要满足 ： -4- t-1? ? 2=8t4 t-1? ? 2=16t2??? ，解得： t=1， 此时 S△QABS△PDF =2，故存在 t=1，使 △QAB与 △PDE的面积之比是常数 2.【点评】求轨迹方程的常见方法有 :①直接法，设出动点的坐标 x,y? ? ，根据题意列出关于 x,y的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将 x0=g x? ?y0=h x? ???? 代入 f x0,y0? ? =0.11． (1)y2=4x；准线 x=-1； (2)存在， T 2,1? ?【分析 】 (1)将点 (2,-2 2)代入抛物线即可求解 y2=4x，再由抛物线的标准方程可得准线 .(2)设出直线 MN： y=k1 x-2? ? ，直线 PQ： y=k2 x-2? ? ，将直线与抛物线联立 ，利用韦达定理以及中点坐标公式求出 A、 B，从而求出直线 AB， DE，将两直线联立求出交点，得到点 D的轨迹是个圆，从而可得定点T为圆心 .【解析】 (1)将点 (2,-2 2)代入抛物线 C:y2=2px(p>0)，可得 8=4p，解得 p=2，所以抛物线方程： y2=4x，准线 x=-1.(2)由题意可得直线 MN： y=k1 x-2? ? ，直线 PQ： y=k2 x-2? ? ，联立 y2=4xy=k1 x-2? ???? ，整理可得 k12x2- 4k12+4? ?x+4k12=0，设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，则 x1+x2= 4k12+4k12 =4+ 4k12 ， y1+y2= 4k1 ，所以 A 2+ 2k12 , 2k1? ? ，同理 B 2+ 2k22 , 2k2? ? ，kAB= 2k2 - 2k12k22 - 2k12 = k1k2k1+k2 =k1k2，设 k1k2=t，AB： y=k1k2 x-2- 2k12? ? + 2k1 =k1k2x-2k1k2- 2k2k1 + 2k1=k1k2x-2k1k2+2=tx-2t+2，DE： y=- 1t x-2? ? ，联立 y=tx-2t+2y=- 1t x-2? ???? ，解得 x0=2- 2tt2+1y0= 2t2+1????? ， 第 291页 共 377页
∴ x0-2=- 2tt2+1y0= 2t2+1????? ，整理可得 x0-2? ? 2+y02= 4t2+4t2+1? ? 2 = 4t2+1 =2y0，即 x0-2? ? 2+y02-2y0=0? x0-2? ? 2+ y0-1? ? =1，所以点 D的轨迹是个圆，故 T的坐标为 2,1? ? ，线段 TD长度为定值 .【 点评】此题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出直线 AB， DE的交点 D，得到点 D的轨迹方程，考查了运算求解能力 .12． (1)y2=4x； (2)存在， 4,4? ? .【分析 】 (1)由抛物线过点 1,-2? ? ，代入即可解得 ；(2)依题意，设点 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，直线 AB的方程为 x=n y+4? ? +8，联立直线与抛物线消去 x， 列出韦达定理由 NA?? ?NB?? =0，即 x1-x0? ? x2-x0 ? + y1-y0? ? y2-y0 ? =0，再结合 y20 =4x0， y21 =4x1， y22 =4x2，整理可得；【解析】 (1)因为抛物线 C： y2=2px p>0? ? 经过点 1,-2? ? ，所以 -2? ? 2=2p×1，解得 p=2.所以抛物线 C的方程是 y2=4x.(2)根据题意 .设点 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，直线 AB的方程为 x=n y+4? ? +8.联立 x=n y+4? ? +8y2=4x??? 消去 x得 y2-4ny-16n-32=0，则 Δ= -4n? ? 2-4 -16n-32? ? =16 n2+4n+8? ? >0.则 y1+y2=4n， y1y2=-16n-32.设点 N x0,y0? ? ，因为 NA?? ?NB?? =0，即 x1-x0? ? x2-x0 ? + y1-y0? ? y2-y0 ? =0，结合 y20 =4x0， y21 =4x1， y22 =4x2，得 y1-y0? ? y2-y0 ? y1+y0? ? y2+y0 ?16 +1???? ? ? ? ? =0，即 y1y2- y1+y2? ?y0+y20? ? y1y2+ y1+y2? ?y0+y2016 +1???? ? ? ? ? =0，化简得 116 y20 -4ny0-16n-32? ? y0+4n+4 ? y0-4 ? =0，解得 y0=4.所以 x0=4，所以抛物线 C上存在定点 N 4,4? ? ，使得 NA?? ?NB?? =0.【点评】本题考查待定系数法求抛物线方程，直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题 .13． 1? ? ∠AMB=90°； 2? ? 能 (理由见解析 ).【分析 】 1? ? 根据抛物线的定义可知 AF? ? = MF? ? ， BF? ? = MF? ? ，进而可知 ∠AMF=45°， ∠BMF=45°，即可得出结果； 2? ? 设过焦点的弦 AB方程为 y=k x-1? ? ，代入 y2=4x，得 y2- 4ky-4=0，结合韦达定理写出 kBM?kAM=t2- 4tk -44+ 4k2 ，并令其为 -1，算出 t= 2k，即可得证 .第 292页 共 377页
【解析 】 1? ? 由抛物线的定义得， AF? ? = MF? ? ，在直角三角形 AMF中，∠AMF=45°，同理，直角三角形 BMF中， BF? ? = MF? ? ， ∠BMF=45°，∴∠AMB=∠AMF+∠BMF=90°.2? ? 根据题意， 可知焦点 F 1,0? ? ，设过焦点的弦 AB方程为 y=k x-1? ? .代入 y2=4x，得 y2- 4ky-4=0.设该方程两根为 y1， y2， ∴y1+y2= 4k， y1y2=-4.设抛物线准线上一点的坐标为 M -1,t? ? ，设 B x1,y1? ? ， A x2,y2? ?则 kBM= y1-tx1+1 ， kAM= y2-tx2+1 ，则 ：kBM?kAM= y1-t? ? y2-t ?x1+1? ? x2+1 ? = y1-t? ? y2-t ?y214 +1? ? y224 +1 ?= 16 y1y2-t y1+y2? ? +t2? ?y21y22 +4 y21 +y22? ? +16 = t2- 4tk -44+ 4k2 .令 kBM?kAM=-1，即 t2- 4tk -44+ 4k2 =-1，则 t2- 4kt+ 4k2 =0，即 t- 2k? ? 2=0.解得 t= 2k.故在抛物线准线上能找到一点 M -1, 2k? ? ，使 ∠AMB=90°.【点评】本题考查抛物线的定义和性质，结合韦达定理，两直线的位置关系的知识点，考查转化与划归的思 想，属于中档题 .14． (1)y2=4x.(2)存在点 Q(2,0)，定值为 14 .【分析 】 (1)设 P(x,y)，由题意知： PA=PG，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得 P的轨迹方程；(2)假设存在 Q(a,0)，设 S x1,y1? ??T x2,y2? ? ，由题意知直线 l?的斜率必不为 0， 设直线 l?的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得 1QS2 + 1QT2 = 2t21+a2a2 t21+1? ? ，当 a=2时 ，上式 1QS2 + 1QT2 = 14 ，与 t1无关 ，为定值 .【解析】 (1)设 P(x,y)，由题意知： PA=PG.当 P点不在 y轴上时，过 P做 PB⊥GH，交 GH于点 B，则 B为 GH的中点，第 293页 共 377页
∴GB= 12GH=2， ∴PG= x2+4.又 ∵PA= (x-2)2+y2，∴ (x-2)2+y2 = x2+4，化简得 y2=4x(x≠0)；当 P点在 y轴上时，易知 P点与 O点重合 .P(0,0)也满足 y2=4x，∴曲线 C的方程为 y2=4x.(2)假设存在 Q(a,0)，满足题意 .设 S x1,y1? ??T x2,y2? ? .由题意知直线 l?的斜率必不为 0，设直线 l?的方程为 x=t1y+a t1≠0? ? .由 x=t1y+ay2=4x??? 得 y2-4t1y-4a=0.∴y1+y2=4t1， y1?y2=-4a.∴x1+x2=t1 y1+y2? ? +2a=4t21+2a， x1?x2= 116y21 ?y22 =a2.∵QS2= x1-a? ? 2+y21 = x1-a? ? 2+4x1=x21+(4-2a)x1+a2，QT2= x2-a? ? 2+y22 = x2-a? ? 2+4x2=x22+(4-2a)x2+a2，∴QS2+QT2=x21+x22+(4-2a) x1+x2? ? +2a2= x1+x2? ? 2+(4-2a) x1+x2? ? -2x1x2+2a2= x1+x2? ? x1+x2+4-2a ? -2x1x2+2a2= 4t21+2a? ? 4t21+4 ? ，QS2?QT2=16a2 t21+1? ? 2.∴ 1QS2 + 1QT2 = QS2+QT2QS2?QT2 = 4t21+2a? ? 4t21+4 ?16a2 t21+1? ? 2 = 2t21+a2a2 t21+1? ? ，当 a=2时， 上式 1QS2 + 1QT2 = 14 ，与 t1无关 ，为定值 .∴存在点 Q(2,0)，使过点 Q的直线 l?与曲线 C的交点 S、 T满足 1QS2 + 1QT2 为定值 14 .【点评 】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型 .15． (1)y2=4x； (2)存在， P 0,0? ? ， x=-5.【 分析】 (1)显然当 AF⊥x轴时， |AC|取得最小值，可得 2p=4，即可得到所求抛物线方程；(2)假设 x轴上存在一点 P(x0， 0)，使得直线 PB与直线 m的交点恒在一条定直线上．设 A(x1， y1)， B(x2，y2)，直线 AB的方程为 x=ty+5，联立抛物线方程，运用韦达定理，由 PB的方程和直线 m的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．【解析】 (1)设直线 AC的倾斜角为 α，所以由抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦公式得 |AC|= 2psin2α，所以当 α= π2 ，即当 AF⊥x轴时， |AC|取得最小值 .把 x= p2 代入 y2=2px可得 y=±p，故 2p=4， p=2，可得抛物线的方程为： y2=4x． 第 294页 共 377页
(2)假设 x轴上存在一点 P(x0， 0)，使得直线 PB与直线 m的交点恒在一条定直线上．设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB的方程为 x=ty+5，联立抛物线方程 y2=4x，可得 y2-4ty-20=0，y1+y2=4t， y1y2=-20，直线 PB的方程为 y= y2x2-x0 (x-x0)即 y= y2ty2+5-x0 (x-x0)，联立直线 m:y=y1，可得 x=x0+ ty1y2+(5-x0)y1y2 =x0+ -20t+(5-x0)y1y2 ，由 y1y2=-20， y1=y， 可得 y2=-20y ， t= 14 y- 20y? ? ，即有 x=x0-5+ 14 - 5-x020? ? y2，由假设可得 14 - 5-x020 =0，即 x0=0，此时 x=-5，可得存在定点 P(0,0)，定直线为 x=-5．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运 算能力，属于中档题． 第 295页 共 377页
专题 32：抛物线向量结合问题参考答案1． A【解析】 设 |BF|=m， |AF|=3m，则 |AB|=4m， p= 32m， ∠BAA1=60°，∵四边形 AA1CF的面积为 12 3，∴ 32m+3m? ? ×3msin60°2 =12 3，∴m= 4 23 ， ∴ p2 = 2，∴准线 l的方程为 x=- 2，故选 A．2． D【解析 】试题分析： c= p2 ， xP= a2c ,PF=b， 因为 OP?? = 12 (OF?? +OQ?? )，所以 P为 FQ中点，即 PQ=2b?xQ=2b-c，，因此 2a2c =c+2b-c?a2=bc?a4=(c2-a2)c2?e4-e2-1=0，又 e>1，所以 e2= 1+ 52 ，选D.考点 ：抛物线定义，双曲线渐近线【方法点睛】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 P的坐标．2．若 P(x0， y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点，由定义易得 |PF|=x0+；若过焦点的弦 AB的端点坐标为A(x1， y1)， B(x2， y2)，则弦长为 |AB|=x1+x2+p， x1+x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 3． A【解析】设 A、 B两点坐标分别为 A(x1,y1)B(x2,y2)∵2BF?? =FA??∴2(1-x2,-y2)=(x1-1,y1) ， x1-1=2(1-x2),y1=-2y2由题意，设直线 AB的方程为 y=k(x-1)，代入抛物线方程得： ky2-4y-4k=0 ，因为直线与抛物线有两个交点，所以 k≠0， Δ=16+16k2>0， y1+y2= 4k,y1y2=-4， 把 y1=-2y2代入即可解得 k=±2 2，故选 A.4． (1) y2=4x； (2) α=arctan 2 或 α=π-arctan 2 ；(3) 见解析【分析 】 (1)设出直线的方程与抛物线方程联立 ,消去 x得到关于 y的一元二次方程 ,利用根与系数的关系即可得出；(2)根据向量和 (1)的结论可用 a表示 E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线的斜率和倾斜角；(3)利用向量计算公式和 (1)中的根与系数的关系即可得出 .【解析】 (1)由题知 F p2 ,0? ? ，直线方程为 x=ky+ p2第 296页 共 377页
∴ y2=2pxx=ky+ p2??? 化简得： y2-2pky-p2=0∴y1+y2=2pk, y1y2=-p2=-4， p=2 ∴y2=4x(2) ∵OE?? =2 OA?? +OB??? ? ，设 E(x0,y0)∴x0=2(x1+x2),y0=2(y1+y2)y0=2(y1+y2)=4pk=8k∵x1+x2=k(y1+y2)+p=2pk2+p=4k2+2∴x0=8k2+4∵ 点 E在抛物线 C上， y02=4x0∴(8k)2=4(8k2+4) k=± 22∴kl= lk =± 2 ， tanα=± 2,∴α=arctan 2 或 α=π-arctan 2(3)M是抛物线 C的准线上的一点， 设 M(-1,yM)k0= -yM2 ， k1= y1-yMx1+1 ,k2= y2-yMx2+1k1+k2= y1-yMx1+1 + y2-yMx2+1 = y1-yMky1+2 + y2-yMky2+2= (y1-yM)(ky2+2)+(y2-yM)(ky1+2)(ky1+2)(ky2+2)= 2ky1y2+2(y1+y2)-yM(k(y1+y2)+2)k2y1y2+2k(y1+y2)+4= -8k+8k-yM(4k2+4)-4k2+8k2+4 =-yM,∴k1+k2=2k0∴ 当 k0为定值时， k1+k2也为定值 .【点评】本题考查抛物线与直线位置关系的应用 . 熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程、根据根与系数的关系、斜率的计算公式是解题的关键 .5． (1)x2=4y； (2)4 2.【分析 】 (1)设点 Q x0,y0? ? ，利用向量的坐标运算公式列出满足 OF?? +2FP??=FQ?? 的关于 x0,y0的式子，解出 x0与 y0，代入抛物线方程解得 p即可得到抛物线的方程；(2)设直线 l的方程为 y=kx+b，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，将直线 l方程与抛物线方程联立 ，利用韦达定理及中点坐标公示表示点 M的纵坐标，得出 k与 b的关系式，再利用含 k与 b的式子表示 △OAB的面积，利用消元思想将面积的表达式转化为关于 k的式子，然后设法求最值 .【解析】解： (1)设 Q x0,y0? ? ， ∵F 0,p2? ? ，∴OF?? +2FP??=FQ?? ?OF?? =FQ?? -2FP??? 0,p2? ? = x0-2,y0+ p2 -1? ? ，∴x0-2=0， y0+ p2 -1= p2 ，∴x0=2， y0=1，即 Q 2,1? ? .又 ∵点 Q在抛物线 C上，∴22=2p?1， ∴p=2， 第 297页 共 377页
∴抛物线 C的方程为 x2=4y.(2)依题意， 可知直线 AB与 x轴不垂直，故可设直线 AB的方程为 y=kx+b，并设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， AB的中点 M xM,2? ? .联立方程组 y=kx+bx2=4y??? 消去 y，得 x2-4kx-4b=0，∴x1+x2=4k， x1x2=-4b.∵线段 AB的中点的纵坐标为 2，∴y1+y2=k x1+x2? ? +2b=4k2+2b=4，即 b=2-2k2.由 Δ=16k2+16b>0，得 k2+b>0，故 k2+b=k2+ 2-2k2? ? >0，则 k2∈ 0,2? ? .由 y=kx+b， 令 x=0，得 y=b=2-2k2.∴S△OAB= 12 b? ? ? x1-x2? ? = 12 2-2k2? ? ? x1+x2? ? 2-4x1x2 =4 1-k2? ? 2 2-k2? ?设 t=1-k2，则 t∈ -1,1? ? ，y= 1-k2? ? 2 2-k2? ? =t2? t+1? ? =t3+t2，令 y?=3t2+2t=3t t+ 23? ? =0，得 t=0或 t=- 23 ，由 y?>0，得 t∈ -1,- 23? ? , 0,1? ? ，由 y?<0，得 t∈ - 23 ,0? ? ，∴y=t3+t2的单调递增区间为 -1,- 23? ? ， 0,1? ? ，单调递减区间为 - 23 ,0? ? ，当 t=- 23 时， y取得极大值 427 ，当 t=1时， y=2， 2> 427 ，∴当 t=1，即 k2=0时 ， S△OAB? ? max=4 2，即 △OAB的面积的最大值是 4 2.【点评 】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查面积最值问题，难度较大 .解答时一定要想办法利用所设未知量表示所求三角形的面积，当未知量较多时，要利用各未知量之间的关系进行转化，然后利用不等式、导 数等方法求最值 .6． (1)kBF=-kAF=-2； (2)t<-2，或 1
则 AF=AA1,BF=BB1∴ AFBF = AA1BB1 = HAHB，∴ AFBF = HAHB， ∴ AFHA = BFHB ?①ΔAHF中 ， AFHA = sin∠AHFsin∠AFH ?②，ΔBHF中， BFHB = sin∠AHFsin∠BFH ?③将②③代入①， 得 sin∠AHFsin∠AFH = sin∠AHFsin∠BFH ， ∴sin∠AFH=sin∠BFH∴∠AFH=180°-∠BFH=∠BFx∴kAF+kBF=0， ∴kBF=-kAF=-2． ?6分(Ⅱ )依题意可知， 抛物线为 y2=4x，直线 l的斜率 k存在且 k≠0， l的方程为 y=k x+1? ? ，设交点 A x1,y1? ? ，B x2,y2? ? ，满足 y=k x+1? ?y2=4x ，???即 x1,x2满足 k2x2+ 2k2-4? ?x+k2=0， ∴Δ= 2k2-4? ? 2-4k4>0， ∴k2<1，且 x1+x2= 4-2k2k2 ,x1x2=1设 M x0,y0? ? ，由 FA?? +FB??=tFM?? ，其中 t≠0，得 x1-1,y1? ? + x2-1,y2? ? =t x0-1,y0? ? ， ∴ x0= x1+x2-2t +1y0= y1+y2t ，???????而 y1+y2=k x1+x2+2? ? = 4k代入 y20 =4x0，得 4kt? ? 2=4 4-2k2k2 -2t +1???? ? ? ? ? ，化为 ： k2t2-4k2t+4t=4得， k2= 4-4tt2-4t，而 k2<1且 k≠0，∴t<-2，或 1
【解析 】解： (1)由抛物线 C的方程为 y=ax2(a<0)可得，焦点 0, 14a? ? ，准线 y=- 14a；(2)由点 P(1,-1)在 y=ax2(a<0)上，可得 a=-1，所以抛物线为 y=-x2，设直线 PA的直线方程 y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的直线方程 y-y0=k2(x-x0),点 P x0,y0? ? 与 A x1,y1? ? 是方程组 y-y0=k1(x-x0)①y=ax2②??? 的解， 将②式代入①式得，ax2-k1x+k1x0-y0=0，可得 x1+x0= k1a ③， 可得 x1= k1a -x0点 P x0,y0? ? 与 B x2,y2? ? 是方程组 y-y0=k2(x-x0)④y=ax2⑤??? 的解， 将⑤式代入⑤式得，ax2-k2x+k2x0-y0=0，可得 x2+x0= k2a ， x2= k2a -x0，由已知得： k2+λk1=0，则 x2=-λk1a -x0 ⑥，由③可得 x1=-k1-1，代入 y=-x2，可得 y1=-(k1+1)2，将 λ=1代入⑥可得 x2=k1-1，代入 y=-x2，可得 y1=-(k2+1)2，可得直线 PA、 PB分别与抛物线 C得交点坐标为 A(-k1-1,-k21-2k1-1)，B(k1-1,-k21+2k1-1),于是 AP?? =(k1+2,k21+2k1),AB?? =(2k1,4k1),AP?? ?AB?? =2k1(k1+2)+4k1?(k21+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1),因为 ∠PAB为钝角且 P、 A、 B三点互不相同，故必有 AP?? ?AB?? <0，可得 k1得取值范围是 k1<-2，或 - 12
所以 x212p +2p= x1p x1-x0? ? ，① x222p +2p= x2p x2-x0? ? ．②由①、 ②得 x1+x22 =x1+x2-x0，因此 x0= x1+x22 ，即 2x0=x1+x2=2x3，也即 x0=x3.所以 MN平行于 y轴．(ⅱ )解：由 (ⅰ )知，当 x0=2时，将其代入①、②并整理得：x21-4x1-4p2=0， x22-4x2-4p2=0，所以 x1， x2是方程 x2-4x-4p2=0的两根，因此 x1+x2=4， x1x2=-4p2，又 kAB= x222p - x212px2-x1 = x1+x22p = x0p ，所以 kAB= 2p．由弦长公式的 AB? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+ 4p2 ? 16+16p2．又 AB? ? =4 10，所以 p=1或 p=2，因此所求抛物线方程为 x2=2y或 x2=4y．(Ⅱ )解：设 D x4,y4? ? ，由题意得 C x1+x2,y1+y2? ? ，则 CD的中点坐标为 Q x1+x2+x42 ,y1+y2+y42? ? ，设直线 AB的方程为 y-y1= x0p x-x1? ? ，由点 Q在直线 AB上 ，并注意到点 x1+x22 ,y1+y22? ? 也在直线 AB上 ，代入得 y4= x0px4．若 D x4,y4? ? 在抛物线上， 则 x24=2py4=2x0x4，因此 x4=0或 x4=2x0．即 D 0,0? ? 或 D 2x0,2x20p? ? ．(1)当 x0=0时， 则 x1+x2=2x0=0，此时，点 M 0,-2p? ? 适合题意．(2)当 x0≠0，对于 D 0,0? ? ，此时 C 2x0,x21+x222p? ? ， kCD= x21+x222p2x0 = x21+x224px0 ，又 kAB= x0p ， AB⊥CD，所以 kAB?kCD= x0p ? x21+x224px0 = x21+x224p2 =-1，即 x21+x22=-4p2，矛盾．对于 D 2x0,2x20p? ? ，因为 C 2x0,x21+x222p? ? ，此时直线 CD平行于 y轴，又 kAB= x0p ≠0，所以直线 AB与直线 CD不垂直，与题设矛盾，所以 x0≠0时，不存在符合题意得 M点．综上所述，仅存在一点 M 0,-2p? ? 适合题意．【点评 】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题 .9． (1) ； (2) .【分析 】 (1)设出切线 l的方程为 y=-x+m，利用圆心到直线 l的距离等于半径得到切线 l的方程 y=-x+第 301页 共 377页
1，再联立抛物线的方程 ，借助弦长公式求得线段 AB的长； (2)分直线 l的斜率不存在和存在两种情况考虑，将直线 l的方程与抛物线 C:y2=x联立，消元，分别计算 MA?? ?MB?? =0是否成立，从而求得直线 l的方程 .【解析】 (1)因为圆 N:(x+1)2+y2=2,所以圆心 N为 (-1,0),半径 r= 2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),当直线 l的斜率为 -1时，设 l的方程为 y=-x+m,则|1+m|2 = 2， ∴m=1或 m=-3(舍 )，由 y=-x+1y2=x??? 消去 x得 y2+y-1=0,所以 y1+y2=-1,y1?y2=-1,(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1?y2=5.弦长 |AB|= 1+ 1k2 |y1-y2|= 10.(2)①当直线 l的斜率不存在时， 因为直线 l是圆 N的切线，所以 l的方程为 x= 2-1,与 y2=x联立， 则得x1x2=3-2 2,y1+y2=0,(y1y2)2=x1x2=3-2 2,即 y1y2=1- 2<0,MA?? ?MB?? =x1x2+y1y2+(y1+y2)+1=5-3 2≠0,不符合题意 .②当直线 l的斜率存在时， 设直线 l的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0(k≠0).由题意知 |-k+m|1+k2 = 2，得 m2-k2-2mk-2=0① ,由 y=kx+my2=x??? ,消去 x得 ky2-y+m=0,Δ=1-4km>0,即 km< 14 且 k≠0，y1+y2= 1k,y1y2= mk ，∵点 M和点 N关于直线 y=x对称， ∴M(0,-1)，∴MA?? =(x1,y1+1),MB?? =(x2,y2+1)，∵MA?? ?MB?? =0， ∴x1x2+(y1+1)(y2+1)=0，A(x1,y1),B(x2,y2)在直线 y=kx+m上代入并化简，得(1+k2)y1y2+(k2-m)(y1+y2)+m2+k2=0，化简，得 m2+k2+mk+k=0，②① +②得 2m2-mk+k-2=0，即 (m-1)(2m-k+2)=0，解得 m=1，或 m= 12k-1．当 m=1时， 代入①，解得 k=-1，满足条件 km< 14 且 k≠0，此时直线 l的方程为 y=-x+1； ．总上所述，存在满足条件其方程为 y=-x+1.考点： 1、直线与圆锥曲线的位置关系； 2、圆的性质； 3、向量的数量积．10． (1)AB=2 10； (2)存在， y=?x+2.【 分析】 (1)圆 N的圆心坐标为 (?2,0)，半径 r=2 2，设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，设 l的方程，利用直线 l是圆 N的切线，求得 m的值，从而可得直线 l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长 |AB|；(2)利用直线 l是圆 N的切线，可得 a， m满足的一个方程，将直线 l的方程与抛物线方程联立，利用 MA?? ⊥MB?? ，可得 a， m满足的另一个方程，联立方程组可求得 a， m的值，从而得到满足题设的直线 l.第 302页 共 377页
【解析 】 ∵圆 N： N:(x+2)2+y2=8， ∴圆心坐标为 (?2,0)，半径 r=2 2， (1)当直线 l的斜率为 1时， 设 l的方程为 y=x+m，即 x?y+m=0， ∵直线 l是圆 N的切线， ∴ |?2+m|2 =2 2，解得 m=?2或 m=6(舍 )，此时直线 l的方程为 y=x?2，由 y=x?2y2=2x??? ，消去 x得 y2?2y?4=0， ∴Δ>0，设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则 y1+y2=2， y1y2=?4，得 (y1?y2)2=(y1+y2)2?4y1y2=20， ∴弦长 |AB|= 1+ 1k2 ?|y1?y2|=2 10；(2)∵直线 l是圆 N的切线 ， ∴ |?2?a|1+m2 =2 2，得 a2+4a?8m2?4=0①，由 x=my+ay2=2x??? ，消去 x得 y2?2my?2a=0， ∴Δ=4m2+8a>0，即 m2+2a>0，且 y1+y2=2m， y1y2=?2a， ∵点 M和点 N关于直线 y=x对称， ∴点 M为 (0,?2)， ∴MA?? =(x1,y1+2)， MB?? =(x2,y2+2)， ∵MA?? ⊥MB?? ， ∴MA?? ?MB?? =x1x2+(y1+2)(y2+2)=0，即 x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4=0，即 a2?2a+4m+4=0②，① +②，得 2a2+2a?8m2+4m=0，解得 a=?2m或 a=2m?1，当 a=?2m时，代入①解得 m=?1， a=2，满足条件 m2+2a>0，当 a=2m?1时，代入①得 4m2?4m+7=0，无解，综上所述，存在满足条件的直线 l，其方程为 y=?x+2.考点： 1.直线与抛物线的位置关系； 2.弦长的计算； 3.韦达定理的运用 .11． (1)x24 +y2=1,(2)9 ,x± 52 y-2=0【分析 】 (1)利用相关点法求轨迹方程，设 M x,y? ? ，则 P x,2y? ? ，代入圆的方程 x2+y2=9， 整理，即可 .(2)法一：分类讨论，当直线 l的斜率不存在时， |AB|=2P=8， |CF|=4， SΔABC= 12 ×4×8=16， 当直线 l的斜率存在时，则 k≠0，设直线 l的方程为 y=k x-2? ? ，与 C2:y2=8x，联立整理 k2x2- 4k2+8? ?x+4k2=0，计算 AB? ? ，设直线 CF的方程为 y=- 1k x-2? ? ，与 x24 +y2=1，联立整理 k2+4? ?x2-16x+16-4k2=0，计算 CF? ? ，根据 SΔABC= 12 |AB|?|CF|=16? k2+1k2+4 ? 1+k2k2 ，令 t= 1+k2k2 ，则 SΔABC=f t? ? = 16t34t2-3 ，f? t? ? = 16 4t4-9t2? ?4t2-3? ? 2 ，判断单调性 ，确定 t= 32 时， ΔABC面积最小，求解即可 . 法二：设直线 l的方程设为 x=my+2，与 C2:y2=8x联立，计算 AB? ? ，设直线 CF的方程为 y=-m x-2? ? 与 x24 +y2=1，联立 ，计算CF? ? ，以下同法一 .【 解析】 (1)设 M x,y? ? ， P x0,y0? ? ，则由于 DM??? = 12DP?? ，依题知： x=x0， y= 12y0.即 x0=x， y0=2y，而点 P x0,y0? ? 在圆 x2+y2=9上， 故 x2+ 2y? ? 2=4，得 x24 +y2=1，故曲线 C的方程为 x24 +y2=1.(2)法一：抛物线 C2:y2=8x的焦点为 F 2,0? ? ，当直线 l的斜率不存在时， |AB|=2P=8， |CF|=4， SΔABC= 12 ×4×8=16，当直线 l的斜率存在时 ，则 k≠0，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，直线 l的方程设为 y=k x-2? ? ，代入 C2:y2=8x，消去 y得 k2 x-2? ? 2=8x，即 k2x2- 4k2+8? ?x+4k2=0，则 x1+x2= 4k2+8k2 ， x1x2=4，∴ AB? ? =x1+x2+p= 8k2+8k2 ，CF的直线方程为 ： y=- 1k x-2? ? ，代入 x24 +y2=1，第 303页 共 377页
消去 y得， k2+4? ?x2-16x+16-4k2=0，Δ=256-4 k2+4? ? 16-4k2 ? =16k4>0，xC+2= 16k2+4 ， xC?2= 16-4k2k2+4 ，CF? ? = 1+ 1k2? ? xC+2? ? 2-4xC?2? ? = 1+k2k2 ? 4k2k2+4 ，ΔABC面积 ： SΔABC= 12 |AB|?|CF|= 12 ? 8k2+8k2 ? 1+k2k2 ? 4k2k2+4 =16? k2+1k2+4 ? 1+k2k2 ，令 t= 1+k2k2 ，则 k2= 1t2-1 ，则 SΔABC=f t? ? = 16t34t2-3 ，f? t? ? = 16 4t4-9t2? ?4t2-3? ? 2 ，令 f? t? ? =0，则 t2= 94 ，即 t= 32 ，当 t∈ 1, 32??? ? ? ? 时， f t? ? 为减函数， 当 t∈ 32 ,+∞? ? 时， f t? ? 为增函数， 所以 t= 32 时， ΔABC面积最小．由 1+m2= 94 得 m=± 52 时， ΔABC面积的最小值为 9<16，此时直线 l的方程为： x=± 52 y+2，即 x± 52 y-2=0．法二： 抛物线 C2:y2=8x的焦点为 F 2,0? ? ，过点 F的直线 l的方程设为： x=my+2， 设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立 x=my+2y2=8x??? 得 y2-8my-16=0.则 y1+y2=8m， y1y2=-16，∴|AB|= 1+m2 y1+y2? ? 2-4y1y2 =8 1+m2? ? ，过 F且与直线 l垂直的直线设为： y=-m x-2? ? ，联立 y=-m x-2? ?x24 +y2=1??? 得， 1+4m2? ?x2-16m2x+16m2-4=0，xC+2= 16m21+4m2 ， ?xC= 2 4m2-1? ?1+4m2 ．∴ CF? ? = 1+m2|xC-xF|= 41+4m2 ? 1+m2，ΔABC面积 SΔABC= 12 |AB|?|CF|= 16 1+m2? ?1+4m2 ? 1+m2．令 t= 1+m2 t≥1? ? ，则 SΔABC=f t? ? = 16t34t2-3 ， f? t? ? = 16 4t4-9t2? ?4t2-3? ? 2 ，令 f? t? ? =0，则 t2= 94 ，即 t= 32 ，当 t∈ 1, 32??? ? ? ? 时， f t? ? 为减函数， 当 t∈ 32 ,+∞? ? 时， f t? ? 为增函数， 所以 t= 32 时， ΔABC面积最小．由 1+m2= 94 得 m=± 52 时， ΔABC面积的最小值为 9，此时直线 l的方程为： x=± 52 y+2，即 x± 52 y-2=0．【点评 】本题考查相关点法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，利用导数求最值，属于难题 .第 304页 共 377页
专题 33：抛物线的应用问题参考答案1． B【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出 A点坐标以及直线 AB的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出 B点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出 △ABM的三边长度，从而周长可求 .【解析】如下图所示：因为 M 3,1? ? ，所以 yA=yM=1， 所以 xA= y2A4 = 14 ，所以 A 14 ,1? ? ，又因为 F 1,0? ? ，所以 lAB:y-0= 1-014 -1 x-1? ? ，即 lAB:y=- 43 x-1? ? ，又 y=- 43 x-1? ?y2=4x??? ，所以 y2+3y-4=0，所以 y=1或 y=-4，所以 yB=-4，所以 xB= y2B4 =4，所以B 4,-4? ? ，又因为 AB? ? = AF? ? + BF? ? =xA+xB+p= 14 +4+2= 254 ， AM? ? =xM-xA=3- 14 = 114 ， BM? ? =4-3? ? 2+ -4-1? ? 2 = 26，所以 △ABM的周长为 ： AB? ? + AM? ? + BM? ? = 254 + 114 + 26=9+ 26，故选： B.【点评 】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下： (p为焦准距 )(1)焦点 F在 x轴正半轴，抛物线上任意一点 P x0,y0? ? ，则 PF? ? =x0+ p2 ；(2)焦点 F在 x轴负半轴， 抛物线上任意一点 P x0,y0? ? ，则 PF? ? =-x0+ p2 ；(3)焦点 F在 y轴正半轴， 抛物线上任意一点 P x0,y0? ? ，则 PF? ? =y0+ p2 ；(4)焦点 F在 y轴负半轴， 抛物线上任意一点 P x0,y0? ? ，则 PF? ? =-y0+ p2 .2． B【分析 】本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线 AB，与抛物线方程联立得出 y1y2=-p2，再然后设出过点 A的切线，与抛物线方程联立得出 pk1=y1，用同样的方式设出过点 B的切线，得出 pk2=y2，最后根据 k1k2=-1即可得出结果 .【解析】如图，结合题意绘出 图像： 第 305页 共 377页
设 A x1,y1? ? ， B x1,y2? ? ，则 y21 =2px1， y22 =2px2，设直线 AB:my=x- p2 ，联立 my=x- p2y2=2px??? ，整理得 y2-2pmy-p2=0，则 y1+y2=2pm， y1y2=-p2，设过点 A的切线为 k1 y-y1? ? =x- y212p，联立 k1 y-y1? ? =x- y212py2=2px??? ，整理得 y2-2pk1y+2pk1y1-y21 =0，则 Δ= -2pk1? ? 2-4 2pk1y1-y21? ? =0，即 pk1=y1，设过点 B的切线为 k2 y-y2? ? =x- y222p，同理可得 pk2=y2，则 p2k1k2=y1y2=-p2，即 k1k2=-1， 1k1k2 =-1，故 △ABQ是直角三角形，故选： B.【点评】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对 “阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为 -1，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题.3． C【分析】由题意可得 F(1,0)，设 P y204 ,y0? ? ，要求 kOM的最大值 ，设 y0>0，运用向量的加减法运算得 OM??? =13OP?? + 23OF?? = y2012 + 23 ,y03? ? ，再由直线的斜率公式 ，结合基本不等式，可求得直线 OM的斜率的最大值 .【解析】解：由题意可得 F(1,0)，设 P y204 ,y0? ? ，显然当 y0<0时， kOM<0； 当 y0>0时， kOM>0；要求 kOM的最大值，设 y0>0，由于 M是线段 PF上的点，且 |PM|=2|MF|，则 FM?? = 13FP??，则 OM??? =OF?? +FM?? =OF?? + 13FP??=OF?? + 13 (OP?? -OF?? )= 13OP?? + 23OF?? ，即： OM??? = y2012 + 23 ,y03? ? ， 第 306页 共 377页
可得 kOM= y03y2012 + 23 = 2y02 + 4y0 ≤ 22 y02 ? 4y0 = 22 ，当且仅当 y20 =8时取得等号，即 ：直线 OM的斜率的最大值为 22 .故选： C.【点评 】本题考查抛物线方程的运用以及直线的斜率最大值，运用了基本不等式和向量的加减法运算，考查运算能力 .4． C【分析】转化： |MM''|= 12 (|AG|+|BH|)= 12 (|AF|+|BF|)，利用余弦定理： |AB|=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos2π3 ，即得解 .【 解析】如图所示， 由题意得 F(1,0)，MM''? ?AB? ? = 12 (|AG|+|BH|)|AB| = 12 (|AF|+|BF|)|AB| = 12 (|AF|+|BF|)|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos2π3 =12 (|AF|+|BF|)|AF|2+|BF|2+|AF||BF| = 12 (|AF|+|BF|)(|AF|+|BF|)2-|AF||BF| ≤ 12 (|AF|+|BF|)(|AF|+|BF|)2- (|AF|+|BF|)24 =12 (|AF|+|BF|)32 (|AF|+|BF|) = 33当且仅当： |AF|=|BF|时， MM''? ?AB? ? 有最大值 33 .故选： C 第 307页 共 377页
【点评 】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题 .5． A【分析】求出 A点坐标，根据光学性质可知直线 AB经过焦点，从而得到结果 .【解析】代 y=1入 y2=4x解，得 x= 14 .即 A 14 ,1? ? .由抛物线的光学性质知， 直线 AB经过焦点 1,0? ? ，所以直线 AB的斜率 k= 1-014 -1 =- 43 .故选 A.【点评 】本题考查抛物线的光学性质，考查抛物线的标准方程，考查直线的斜率的求法，属于基础题 .6． 4.4【分析】建立如图所求的坐标系，得出 A点坐标求得抛物线方程，代入 y=-2.42求得 B点横坐标后可得结论．【解析】解析：如图，建立直角坐标系， 设抛物线方程为 x2=my，将 A(2， -2)代入 x2=my，得 m=-2，所以 x2=-2y，代入 B(x0， -2.42)得 x0=2.2，故水面宽为 4.4米 .故答案为： 4.4 ．7． 2【分析】作出图像，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，题中问题即为求 |y1-y2|的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解 . 第 308页 共 377页
【解析 】根据题意作出图像， 如图所示，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，题中问题即为求 |y1-y2|的最小值 .设 AB:x=ty+ 12 ，由 x=ty+ 12y2=2x??? ，得 y2-2ty-1=0，所以 y1+y2=2t,y1y2=-1.所以 |y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 4t2+4，当 t=0时， |y1-y2|最小为 2.故答案为： 2.8． x-14? ? 2=-365 y 14013【分析 】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为 x2=-2py，溢流孔 ABC所在方程为 C1: x-14? ? 2=-2p?y(p?>0)，运用待定系数法，求得 p， p?，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求 .【解析】设桥拱所在抛物线方程 x2=-2py，由图可知，曲线经过 20,-5? ? ，代入方程 202=-2p× -5? ? ，解得 ： p=40，所以桥拱所在抛物线方程 x2=-80y；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线 C1: x-14? ? 2=-2p?y，由图抛物线 C1经过点 A 20,-5? ? ，则 20-14? ? 2=-2p?× -5? ? ，解得 p?= 185 ，所以 C1: x-14? ? 2=-365 y，点 A即桥拱所在抛物线 x2=-80y与 C1: x-14? ? 2=-365 y的交点坐标，设 A x,y? ? ,7
所以点 A的横坐标为 14013 .故答案为： x-14? ? 2=-365 y； 14013【点评 】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可 .9． y2=2x或 y2=6x【分析】过 F点的直线为 y=- 3 x- p2? ? ，与抛物线联立 ，求得 y，进而根据条件列方程可得 p的值，则抛物线方程可求 .【解析】过 F点的直线为 y=- 3 x- p2? ? ，由 y=- 3 x- p2? ?y2=2px??? ，得 y=- 3p=- 3 或 y= p3 = 3，从而 p=1或 3，故所求抛物线方程为 y2=2x或 y2=6x.故答案为： y2=2x或 y2=6x.【点评】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题 .10． 4【分析】设 P x,y? ? ，由抛物线定义和圆的性质可知 ，要使 PM? ? 2PQ? ? 最小， 则 PQ? ? = PF? ? +1=x+3，从而将PM? ? 2PQ? ? 表示为关于 x的函数， 利用基本不等式可求得最小值 .【解析】 设圆心为 F 2,0? ? ，则 F为抛物线 y2=8x的焦点，该抛物线的准线方程为 :x=-2，设 P x,y? ? ，由抛物线的定义知 ： PF? ? =x+2，要使 PM? ? 2PQ? ? 最小， 则 PQ需最大，此时 PQ? ? = PF? ? +1=x+3，又 PM? ? 2= x-4? ? 2+y2=x2-8x+16+8x=x2+16，∴ PM? ? 2PQ? ? = x2+16x+3 = x+3? ? 2-6 x+3? ? +25x+3 = x+3? ? + 25x+3 -6≥10-6=4(当且仅当 x+3=25x+3 ，即 x=2时取等号 )，∴ PM? ? 2PQ? ? 的最小值为 4.故答案为： 4. 第 310页 共 377页
【点评 】本题考查抛物线中的最值问题的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质以及基本不等式的应用；关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式 求得最值 .11． (1)2， x-1? ? 2+y2=4； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)由题意得 l的方程为 x=-p2 ，根据 AB为抛物线 C过焦点 F的弦，以 AB为直径的圆与 l相切于点 -1,0? ? ..利用抛物线和圆的对称性 ，可得 -p2 =-1， 圆心为 F 1,0? ? ，半径为 2.(2)设 M -1,y0? ? ， MN的方程为 y=k x+1? ? +y0，代入 C的方程 ，得 ky2-4y+4 y0+k? ? =0，根据直线与抛物线相切 ，令 Δ=16-16k y0+k? ? =0，得 y0+k= 1k，代入 ky2-4y+4 y0+k? ? =0，解得 y= 2k.将 y= 2k 代入 C的方程， 得 x= 1k2 ，得到点 N的坐标为 1k2 , 2k? ? ，然后求解 FM?? ?FN?? .【解析】 (1)解：由题意得 l的方程为 x=-p2 ，所以 -p2 =-1， 解得 p=2.又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为 F 1,0? ? ，半径为 2.所以圆的方程为 x-1? ? 2+y2=4.(2)证明： 易知直线 MN的斜率存在且不为 0，设 M -1,y0? ? ， MN的方程为 y=k x+1? ? +y0，代入 C的方程 ，得 ky2-4y+4 y0+k? ? =0.令 Δ=16-16k y0+k? ? =0，得 y0+k= 1k，所以 ky2-4y+4 y0+k? ? = k2y2-4ky+4k =0，解得 y= 2k.将 y= 2k 代入 C的方程， 得 x= 1k2 ，即点 N的坐标为 1k2 , 2k? ? ，所以 FM?? = -2,y0? ? ,FN?? = 1k2 -1, 2k? ? ，FM?? ?FN?? =2- 2k2 +y0? 2k =2- 2k2 + 1k -k? ? ? 2k =0，故 MF⊥NF.【点评】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运 算求解的能力，属于中档题 .12． (1)见解析； (2)8x-16y-25=0【分析】 (1)由抛物线的性质及题意，设 PQ:x=my+ p2 ，代入抛物线方程 ，利用根与系数的关系，即可求解 .(2)由题意，求得 kPQ= 43 ，设 ∠MNA=2θ，则 tan2θ= 43 ，求得 tanθ= 12 ，得到直线 l的斜率为 12 ，即可得到直线的方程 .【 解析】 (1)由抛物线的性质及题意知，则光线 PQ必过抛物线的焦点 F p2 ,0? ? ，设 PQ:x=my+ p2 ，代入抛物线方程得 ： y2-2mpy-p2=0，所以 y1y2=-p2=-1. 第 311页 共 377页
(2)由题意知 P 2,2? ? ， Q 18 ,- 12? ? ， N 178 ,- 12? ? ，所以 kPQ= 2- - 12? ?2- 18 = 43 ，MN关于直线 l对称与直线 QN重合 ，设 ∠MNA=2θ，则 tan2θ= 43 = 2tanθ1-tan2θ，解得 tanθ= 12 ，所以直线 l的斜率为 12 ，所以直线 l的方程为 8x-16y-25=0.【点评 】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程及其简单的几何性质，合理应用直线的斜率和倾斜角的关系，求得直线的斜率是 解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 .13． (1)3.3米； (2)不能【分析】 (1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0)，结合题意得到 p值即可；(2)对于抛物线 x2=-5y，令 x=3.5，得 y=-4920 ，因为 7- 4920 -0.5=4.05<4.2，所以，该车不能安全通过隧道 .【解析】 (1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0)，根据题意， 此抛物线经过点 -5,-5? ? ，代入抛物线方程解得 p= 52 ，所以抛物线的方程为 x2=-5y. 在此方程中令 x=-4，得 y=-165 ，因此， 7- 165 -0.5=3.3，所以车辆通过隧道时的限制高度为 3.3米 .(2) 对于抛物线 x2=-5y，令 x=3.5，得 y=-4920 ，因为 7- 4920 -0.5=4.05<4.2，所以，该车不能安全通过隧道 .【点评】本题主要考查了抛物线方程的应用，在解题时要通过题意画出图形，再根据所给的知识点求出答案 是本题的关键． 第 312页 共 377页
专题 34：圆锥曲线中点弦问题参考答案1． A【分析】设直线交椭圆于 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，把两点坐标代入椭圆方程 ，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程．【解析】设弦所在的直线与椭圆交 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 x1216 + y128 =1x2216 + y228 =1??????? ，两式相减得 ： y1+y2x1+x2 × y1-y2x1-x2 =- 12 ，因为弦中点为 (2,1)，所以 y1+y2=2,x1+x2=4，所以 12 × y1-y2x1-x2 =- 12 ，即 k= y1-y2x1-x2 =-1则直线方程为 ： y-1=(-1)(x-2),化简得 x+y-3=0．故选： A．【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，“点差法”的解题思想方法，直线方程的求法，属于中 档题．2． B【分析】设 A y21,y1? ? ,B y22,y2? ? ,M x0,y0? ? ,N= y20,y0? ? ,根据向量运算可得 y1?y2+3y20 +1=0，联立直线与抛物线方程 ，由根与系数的关系即可求解 k.【解析】设 A y21,y1? ? ,B y22,y2? ? ,M x0,y0? ? ，则 N= y20,y0? ? ，NA?? = y21 -y20,y1-y0? ?NB?? = y22 -y20,y2-y0? ?由 NA?? ?NB?? =0，∴ y21 -y20? ? y22 -y20 ? + y1-y0? ? y2-y0 ? =0，∴ y1+y0? ? y2+y0 ? +1=0，∴y1?y2+y0 y1+y2? ? +y20 +1=0，①即 y1?y2+3y20 +1=0，由 y2=xy=kx-2??? 得 ky2-y-2=0，当 Δ=1+8k>0，即 k>- 18 时y1+y2= 1k,y1?y2=- 2k，代入①得：- 2k + 34k2 +1=0即 4k2-8k+3=0， 第 313页 共 377页
解得 k= 32 或 k= 12 (舍去 )，故选： B【 点评】本题主要考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，向量运算，属于难题 .3． D【分析】设出 A,B两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果 .【解析】设 F(-c,0)，因为直线 x-y+ 3=0过 F(-c,0)，所以 -c-0+ 3=0，得 c= 3，所以 a2-b2=c2=3，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由 x21a2 + y21b2 =1x22a2 + y22b2 =1??????? ，得 x21-x22a2 =-y21 -y22b2 ，得 y1-y2x1-x2 =-b2a2 ? x1+x2y1+y2 ，因为 P为线段 AB的中点 ， O为坐标原点，所以 P x1+x22 ,y1+y22? ? ， kOP= y1+y22 -0x1+x22 -0 = y1+y2x1+x2 =- 12 ，所以 kAB= y1-y2x1-x2 =-b2a2 ?(-2)= 2b2a2 ，又 A,B在直线 x-y+ 3=0上， 所以 kAB=1，所以 2b2a2 =1，即 a2=2b2，将其代入 a2-b2=3，得 b2=3， a2=6，所以椭圆 C的方程为 x26 + y23 =1.故选 ： D【点评】本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下： ①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程；③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解 .4． A【分析】设点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，利用点差法求得 b2a2 =1，进而可得出双曲线的离心率为 e= ca =1+ ba? ? 2，即可得解 .【 解析】设点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，则 P x1+x22 ,y1+y22? ? ，由题意， 得 x21a2 - y21b2 =1， x22a2 - y22b2 =1，两式相减 ，得 x22-x21a2 - y22 -y21b2 =0，整理得 y22 -y21x22-x21 = b2a2 ，所以 kOP?kMN= y1+y22x1+x22 ? y2-y1x2-x1 = y22 -y21x22-x21 = b2a2 =1，因此， 双曲线的离心率为 e= ca = c2a2 = a2+b2a2 = 1+ ba? ? 2 = 2，故选： A.【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： 第 314页 共 377页
(1)定义法： 通过已知条件列出方程组，求得 a、 c的值，根据离心率的定义求解离心率 e的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于 a、 c的齐次方程，然后转化为关于 e的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率 .5． B【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程 .【解析】由直线 l:(a+1)x+(a+2)y-2a-3=0得 a(x+y-2)+(x+2y-3)=0所以 x+y-2=0x+2y-3=0??? 解得 x=1y=1??? 则 P 1,1? ?设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x21=4y1x22=4y2??? ，两式相减得 (x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2)，即 kAB= y1-y2x1-x2 = x1+x24 = 12 ，则直线方程为 y-1= 12 (x-1)，即 x-2y+1=0.故选： B.【点评】点差法是求解中点弦有关问题的常用方法 .6． A【分析】设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ， MN的中点 P x0,y0? ? ，根据点 M， N在双曲线上 ，且 P为中点，利用点差法得到 kMN? y0x0 =2，再由 M， N关于直线 y=-x+b对称，得到 kMN=1，则 y0=2x0，又点 P x0,y0? ? 在直线 y=-x+b上， 得到 y0=-x0+b，联立求得点 P,代入抛物线方程求解 .【解析】设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ， MN的中点 P x0,y0? ? ，因为 x21- y212 =1x22- y222 =1??????? ，所以 y2-y1x2-x1 ? y2+y1x2+x1 =2；又因为 x1+x2=2x0y2+y1=2y0??? ，所以 kMN? y0x0 =2；又因为 M， N关于直线 y=-x+b对称 ，所以 kMN=1，即 y0=2x0；又因为点 P x0,y0? ? 在直线 y=-x+b上 ，所以 y0=-x0+b；由 y0=2x0y0=-x0+b??? ，可得 P b3 ,2b3? ? ，所以 2b3? ? 2=3× b3 ，即 b=0或 b= 94 ，故选： A.【点评】圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法． 7． 103 第 315页 共 377页
【分析 】将直线 AB的方程与抛物线的方程联立，求出线段 AB的中点的横坐标，由此可得出结果 .【解析】抛物线 y2=8x的焦点为 F 2,0? ? ，设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，由题意可知， 直线 AB的方程为 y= 3 x-2? ? ，联立 y2=8xy= 3 x-2? ???? ，消去 y并整理得 3x2-20x+12=0，由韦达定理可得 x1+x2= 203 ，则线段 AB的中点的横坐标为 x1+x22 = 103 .因此， 线段 AB的中点到 y轴的距离是 103 .故答案为： 103 .【点评 】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1? ? 、 x2,y2? ? ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程， 得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算 Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、 x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解 .8． y=± 52 x【分析 】设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，由题中条件设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)，将两点坐标代入双曲线方程 ，两式作差化简整理，得到 kAB= b2a2 ? x1+x2y1+y2 ，求出 b2a2 ，即可得出双曲线的渐近线方程 .【 解析】由题意，可设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，因为过 F的直线 l与 C交于 A， B两点， AB的中点为 E(-12,-15)，所以 x1≠x2， y1<0， y2<0，x1+x2=-24y1+y2=-30??? ，又 x12a2 - y12b2 =1x22a2 - y22b2 =1??????? ，两式作差可得 2，即 x1+x2? ? x1-x2 ?a2 = y1+y2? ? y1-y2 ?b2 ，则 y1-y2x1-x2 = b2a2 ? x1+x2y1+y2 = 4b25a2 ，即 kAB= y1-y2x1-x2 = 4b25a2 ，又 kAB=kEF= 0+153+12 =1，所以 4b25a2 =1，因此 b2a2 = 54 ，则 ba = 52 ，所以此双曲线的渐近线方程为 y=±bax=± 52 x.故答案为： y=± 52 x.【点评 】思路点睛：求解圆锥曲线的中点弦问题时，一般需要先设弦两端点的坐标，将两点代入曲线方程，两式作差整理，得到 直线斜率与弦中点坐标之间关系，进而即可求解 .9． (1)± 24 ； (2)y=± 52 x-1? ? ，理由见解析【 分析】 (1)设出直线的方程联立椭圆方程，再由中点坐标公式即可求解 .(2)假设存在，利用斜率公式，等差中项列出式子求解即可 .第 316页 共 377页
【解析 】解： (1)由题知： F1 -1,0? ? ， F2 1,0? ? ，设直线 l的方程为： y=k x+1? ? ， A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则联立直线与椭圆方程： x22 +y2=1y=k x+1? ???? ，消去 y得： 1+2k2? ?x2+4k2x+2k2-2=0，∴x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2 ，∵M是 AB的中点 ，∴M的横坐标为 x1+x22 =- 2k21+2k2 =- 12 ，解得： k2= 12 ，∴k=± 22 ，∴M的纵坐标为 y1+y22 = k x1+1? ? +k x2+1? ?2 = k x1+x2? ? +2k2 = k2 =± 24 ，(2)假设存在直线 l满足条件，由 (1)知： x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2 ， y1+y2=k x1+x2? ? +2k= 2k1+2k2 ，∵M是 A， B的中点，∴M的坐标为 ： - 2k21+2k2 , k1+2k2? ? ，∵k1， 2k3， k2成等差数列，∴4k3=k1+k2，∵F2 1,0? ? ，∴k1= y1x1-1 ， k2= y2x2-1 ， k3= k1+2k2- 2k21+2k2 -1 =- k4k2+1 ，代入得： - 4k4k2+1 = y1x1-1 + y2x2-1 ，化简得： -4k x1x2- x1+x2? ? +1? ? = 4k2+1? ? y1x2+y2x1- y1+y2? ?? ? ，将 x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2 ， y1+y2= 2k1+2k2 ， y1=k x1+1? ? ， y2=k x2+1? ? 代入并化简解得： k=± 52 ，∴直线 l的方程为： y=± 52 x-1? ? .【点评 】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角 形的面积等问题．10． (1)证明见解析； (2)是， 4.【分析】 (1)设 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? ，由 C,D是椭圆 E上的点可得 x214 + y212 =1x224 + y222 =1??????? ，两式相减进行整理可得 kOM?第 317页 共 377页
k=- 12 ，从而可求出 k=-m2 ，则可得 CD的垂直平分线的斜率，由点斜式可得 CD的垂直平分线的方程为y= 2mx-1，即可得所过定点 .(2)由点斜式得直线 l的方程为 y=kx+1，则点 P - 1k,0? ? 从而可求 OP?? = - 1k,0? ? ；得直线 AC的方程为 y= y1x1+2 x+2? ? ，直线 BD的方程为 y= y1x1-2 x-2? ? ，联立可求出其交点横坐标 xQ= 2y1x2-4y1+2x1y2+4y2x1y2+2y2-y1x2+2y1 ，联立 l与椭圆方程 ，结合韦达定理，对 xQ进行化简，可得 xQ=-4k，即可求出 OP???OQ?? 的值，从而可判断是否为定值 .【解析】解：设 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? .(1)由题意知， 直线 OM的斜率为 kOM= 1m，因为 C,D是椭圆 E上的点，则 x214 + y212 =1x224 + y222 =1??????? ，两式相减， 整理得 kOM?k=- 12 ，所以 k=-m2 ，故线段 CD的垂直平分线的斜率为 2m，从而线段 CD的垂直平分线的方程为 y= 2mx-1，所以， 线段 CD的垂直平分线经过定点 0,-1? ? .(2)直线 l的方程为 y=kx+1， 由条件知： k≠0，则点 P - 1k,0? ? ， OP?? = - 1k,0? ? .联立直线 l与椭圆 E的方程， 消去 y得： 1+2k2? ?x2+4kx-2=0，所以 x1+x2= -4k1+2k2 ， x1x2= -21+2k2 .直线 AC的方程为 y= y1x1+2 x+2? ? ①， 直线 BD的方程为 y= y1x1-2 x-2? ? ② .设点 Q xQ,yQ? ? ，由① ，②得， xQ= 2y1x2-4y1+2x1y2+4y2x1y2+2y2-y1x2+2y1= 4k1x2+2 x1+x2? ? -4k x1-x2? ?x1-x2? ? +2k x1+x2? ? +4 = -16k1+2k2 -4k x1-x2? ?x1-x2? ? + 41+2k2 =-4k.所以， OP?? ?OQ?? =- 1k ? -4k? ? =4.即 OP?? ?OQ?? 为定值 4.【点评】本题考查了中点弦问题，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式 .本题的难点在于计算，特别是第二问中对交点横坐标的化简 .一般中点弦问题的做题思路为，设出弦端点的坐标，代入到圆锥曲线方程，两方程相减，进行化简，即可得弦的中点和弦所在直线斜率的关系 .11． (1)3； (2)2x2+3y2-2x=0 - 3
2，结合 kAB=kMF2，求出关于 x,y的方程为点 M的轨迹方程 .【解析】 (1)已知椭圆方程为 x23 + y22 =1，焦点在 x轴上 ，可得 a2=3,b2=2,c2=a2-b2=1，所以 F1 -1,0? ? ,F2 1,0? ? ， 第 318页 共 377页
由椭圆的定义可知，PF1? ? + PF2? ? =2a=2 3，又因为 PF1? ? ? PF2? ? ≤ PF1? ? + PF2? ?2? ? 2= 2 32? ? 2=3，则当且仅当 PF1? ? = PF2? ? 时， PF1? ? ? PF2? ? 的最大值为 3.(2)设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,M x,y? ? ，其中 2x=x1+x2,2y=y1+y2，当直线 l的斜率 k存在时，则 x123 + y122 =1，①x223 + y222 =1，②???????① -②得 ： x1+x2? ? x1-x2 ?3 + y1+y2? ? y1-y2 ?2 =0，即 kAB= y1-y2x1-x2 =-2x3y，又因为 ： kAB=kMF2= yx-1则有： -2x3y = yx-1 ，解得 ： 2x2+3y2-2x=0 - 3
将 x=1代入椭圆方程， 得 y=± 72 ，所以 y0=- 12k ∈ - 72 , 72? ? ，则 k2> 114 ，故 F2P?? ?F2Q?? ∈ -4,-9958? ? .当直线 AB的斜率为 0时 ，不满足 AB的中点 M的横坐标为 1；当直线 AB的斜率不存在时， P， Q即为椭圆的左右顶点，故 F2P?? ?F2Q?? = -2 2-2? ? ? 2 2-2? ? =-4，综上所述 ， F2P?? ?F2Q?? ∈ -4,-9958??? ? .【点评 】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于难题 .13． (1)y25 + x24 =1； (2)5x2-20x+4y2=0(0≤x≤1)； (3)xQ=1.【 分析】 (1)根据题意可得 2b=42c=2??? ，由此求得椭圆方程。(2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),Q(x,y)，利用点差法求出线段 C,D中点 Q的轨迹方程。(3)设直线 AC的方程为： y= y1x1+2(x+2) ，直线 BD的方程为 ： y= y2x2-2(x-2) ，联立求得 xQ=2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)x1y2-x2y1+2(y2+y1) ，由此证明点 Q1的横坐标为定值。【 解析】 (1)∵椭圆 y2a2 + x2b2 =1(a>b>0)两顶点 A(-b,0),B(b,0)，短轴长为 4，焦距为 2，∴ 2b=42c=2??? ，解得 b=1,c=1,a2=4+1=5∴椭圆方程为： y25 + x24 =1.(2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),Q(x,y)，则 y215 + x214 =1 ①， y225 + x224 =1 ②，则① -②得 (y2-y1)?(y2+y1)(x2-x1)?(x2+x1) =- 54 ，∵ y2-y1x2-x1 = yx-4,y2+y1x2+x1 = yx，∴ yx-4 ? yx =- 54即 5x2-20x+4y2=0(0≤x≤1) .∴线段 C,D中点 Q的轨迹方程为： 5x2-20x+4y2=0(0≤x≤1).(3)证明：设直线 AC的方程为： y= y1x1+2(x+2) ，直线 BD的方程为： y= y2x2-2(x-2) ，两式联立可得： xQ= 2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)x1y2-x2y1+2(y2+y1)由① -②得 5(x22-x21)=4(y21 -y22)∴x22y21 -x21y22 =4(y21 -y22)即 (x2y1+x1y2)(x2y1-xxy2)=4(y1+y2)(y1-y2) ③，又 P,C,D三点共线，则 y1x1-4 = y2x2-4,x2y1-x1y2=4(y1-y2)④，第 320页 共 377页
②代入③得 x2y1+x1y2=y1+y2把③④代入⑤整理得 xQ= 6y2-2y16y2-2y1 =1.【 点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，掌握直线与圆锥曲线的位置关系，合理运用数形结合、整体 代入等思想和方法。14． (Ⅰ )y2=4x； (Ⅱ )y=-x； (Ⅲ )能， k=- 23 .【分析 】 (Ⅰ )根据题意，结合抛物线的性质，即可求出抛物线的方程为 y2=4x。(Ⅱ )设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，设而不求利用点差法求出直线 AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线 l的方程。(Ⅲ )设 A y214 ,y1? ? ， B y224 ,y2? ? ， C y234 ,y3? ? ， D y244 ,y4? ? ，且 l:y=k x-2? ? -2.联立直线与抛物线方程， 得到联立方程，再利用韦达定理以及 M， A， C三点共线得出 y1,y2,y3,y4的数量关系，假设 C， D， Q三点共线，构造关于 y1,y2的等式，转化为 k的等式，进行求解即可得出结论。【解析】 (Ⅰ )由题意有 2pm=4，及 m+ p2 =2，解得 p=2， m=1.故抛物线的方程为 y2=4x.(Ⅱ )设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 y21 =4x1， y22 =4x2 ，两式相减得 y21 -y22 =4 x1-x2? ? ，即 y1-y2x1-x2 y1+y2? ? =4.于是 -4kAB=4， kAB=-1，(注：利用直线与抛物线方程联立，求得 kAB=-1，同样得 4分 )故直线 l的方程为 y=- x-2? ? -2，即 y=-x；(Ⅲ )设 A y214 ,y1? ? ， B y224 ,y2? ? ， C y234 ,y3? ? ， D y244 ,y4? ? ，且 l:y=k x-2? ? -2.由 y=k x-2? ? -2y2=4x??? ，得 ky2-4y-8k-8=0，则 y1+y2= 4k， y1y2= -8k-8k ，由 M， A， C三点共线， 可得 y1y214 +1 = y3-y1y234 - y214 = 4y3+y1 ，化简得 y1y3=4， 即 y3= 4y1 .同理可得， y4= 4y2 ，假设 C， D， Q三点共线， 则有 y3+2y234 -2 = y4-y3y244 - y234 ，化简得 y3y4+2 y3+y4? ? +8=0，进一步可得， 2y1y2 + 1y1 + 1y2 +1=0，即 k-4k-4 + 1-2k-2 +1=0，解得 k=- 23 .因此， 当直线 l的斜率 k=- 23 时， C， D， Q三点共线 .【 点评】本题主要考查抛物线的定义，以及利用点差法设而不求的思想求解与抛物线相交的直线的斜率，以 及利用方程思想解决圆锥曲线的各类问题。15． (1)x+y-4=0； (2)是， x+ 12? ? 2+ y- 32? ? 2=6.【解析 】【分析】 (1)利用点差法列式进行化简，由此求得直线 AB的斜率，进而求得直线 AB的方程 .(2)求得直线CD的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式，求得弦长 CD? ? ，求得 CD中点 M的坐标 .同理第 321页 共 377页
求得弦长 AB? ? ，计算 M到直线 AB的距离，由此计算出 MA? ? = MB? ? = MC? ? = MD? ?【解析 】 (1)设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则有 3x21+y21 =153x21+y22 =15 ? x1-x2? ? x1+x2 ? + y1-y2? ? y1+y2 ? =0??? ,依题意， x1≠x2， ∴kAB=-3 x1+x2? ?y1+y2 ．∵N 1,3? ? 是 AB的中点 ，∴x1+x2=2， y1+y2=6，从而 kAB=-1．∴又 ∵15>3×12+32=12<15， ∴N 1,3? ? 在椭圆内，直线 AB的方程为 y-3=- x-1? ? ，即 x+y-4=0．(2)∵CD垂直平分 AB， ∴直线 CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-15=0①．又设 C x3,y3? ? ， D x4,y4? ? ， CD的中点为 C x0,y0? ? ，则 x3， x4是方程①的两根 ，∴x3+x4=-1，且 x0= 12 x3+x4? ? =- 12 ， y0=x0+2= 32 ，即 CD中点 M - 12 , 32? ? ,于是由弦长公式可得 CD? ? = 1+12 ? x3-x4? ? =2 6将直线 AB的方程 x+y-4=0， 代入椭圆方程得 4x2-8x+1=0,同理可得 AB? ? = 1+12 ? x1-x2? ? = 6．点 M到直线 AB的距离为 d= x0+y0-4? ?2 = - 12 + 32 -4? ?2 = 3 22 ．∴ MA? ? = MB? ? = 62? ? 2+ 3 22? ? 2 = 6= MC? ? ， ∴ABCD四点共圆，且原方程为： x+ 12? ? 2+ y- 32? ? 2=6.【点评 】本小题主要考查利用点差法求解有关弦的中点问题，考查四点共面的证明，属于中档题 .16． (1)x+2y-4=0； (2)2 5.【分析 】 (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程整理后由韦达定理得 x1+x2，再由中点坐标可求得 k，从而得直线方程；(2)由 (1)得 x1+x2,x1x2，然后由弦长公式 AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? 可得弦长．【解析 】 (1)设所求直线方程为 y-1=k(x-2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0，①又设直线与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1， x2是方程的两个根，于是 x1+x2= 8(2k2-k)4k2+1 .又 M为 AB的中点 ， ∴ x1+x22 = 4(2k2-k)4k2+1 =2，解得 k=- 12 ，直线方程为 y-1=- 12 (x-2)，即 x+2y-4=0.(2)由 (1)将 k=- 12 代入①得， x2-4x=0，∴x1=0,x2=4， ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|=4 1+ - 12? ? 2 =2 5．第 322页 共 377页
专题 35：圆锥曲线的弦长问题参考答案1． (1)x26 + y22 =1； (2)2 6.【分析 】 (1)设椭圆的标准方程为 x2a21 + y2b2 =1，将点 3,1? ? 代入方程， 由 ca = 63 ，结合 a2=b2+c2即可求解 .(2)当直线 l1的斜率为 0时，分别求出 AB? ? ， CD? ? ，可得 AB? ? + CD? ? ；当直线 l1的斜率不存在时 ，求出 AB? ? +CD? ? ；当直线 l1的斜率存在且不为 0时 ，直线 l1的方程可设为 x=my+2 m≠0? ? ，可得直线 l2的方程为 x=- 1my+2，分别将直线与椭圆联立 ，利用弦长公式求出 AB? ? ， CD? ? ，可得 AB? ? + CD? ? = 8 6 m2+1? ? 23m4+10m2+3 ，令m2+1=t， 构造函数 g t? ? = t23t2+4t-4 即可求解 .【解析 】 (1)由题意可设椭圆的标准方程为 x2a2 + y2b2 =1由 e= 63 ，即 ca = 63再由 a2=b2+c2可得 a= 3b①将点 3,1? ? 代入椭圆方程， 可得 3a2 + 1b2 =1②由①②可解得 a= 6,b= 2故椭圆的方程为 x26 + y22 =1(2)由 (2)知， 椭圆右焦点为 2,0? ? ，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,C x3,y3? ? ,D x4,y4? ?当直线 l1的斜率为 0时， AB? ? =2a=2 6，直线 l2:x=2， 可得 CD? ? = 2 63所以 AB? ? + CD? ? =2 6+ 2 63 = 8 63当直线 l1的斜率不存在时， 直线 l2的斜率为 0,AB? ? + CD? ? = 8 63当直线 l1的斜率存在且不为 0时， 直线 l1的方程可设为 x=my+2 m≠0? ? ，则直线 l2的方程为 x=- 1my+2∴ x26 + y22 =1x=my+2??? 整理得 m2+3? ?y2+4my-2=0Δ=16m2+8 m2+3? ? >0恒成立，则 y1+y2=- 4mm2+3y1y2=- 2m2+3?????而 AB? ? = 1+m2 y1-y2? ? = 1+m2 y1+y2? ? 2-4y1y2= 1+m2 -4mm2+3? ? 2-4 -2m2+3? ? = 2 6 m2+1? ?m2+3联立直线 l2与椭圆方程可得 CD? ? = 2 6 - 1m? ? 2+1??? ? ? ?- 1m? ? 2+3 = 2 6 m2+1? ?3m2+1第 323页 共 377页
则 AB? ? + CD? ? =2 6 m2+1m2+3 + m2+13m2+1? ? = 8 6 m2+1? ? 23m4+10m2+3令 m2+1=t令 g t? ? = t23t2+4t-4 = 1- 4t2 + 4t +3 = 1- 2t -1? ? 2+4 t>1? ?当 t∈ 1,+∞? ? 时， - 2t -1? ? 2+4∈ 3,4? ?则 g t? ? = 1- 2t -1? ? 2+4 ∈ 14 , 13??? ?所以 AB? ? + CD? ? ∈ 2 6,8 63??? ? ，综上， AB? ? + CD? ? ∈ 2 6,8 63??? ? ? ? ? ，∴当 m2=1时， AB? ? + CD? ? 的最小值为 2 6.【点评 】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，解题的关键是利用弦长公式以及韦达定理得出 AB? ?+ CD? ? = 8 6 m2+1? ? 23m4+10m2+3 ，考查了数学运算以及分类讨论的思想 .2． (1)a=2 2， e= 22 ； (2)x2+y2= 83 ； (3) 4 63 ,2 3??? ? ? ? ? ．【分析 】 (1)由焦距写出 a的值，结合椭圆方程求 c，应用离心率公式直接求离心率即可 .(2)由题设知菱形的棱长为 a2+b2，应用等面积法即可求内切圆的半径 ，进而写出内切圆方程；(3)讨论直线斜率不存在、为 0、不为 0三种情况，分别求 |AB|的范围，取并 .【解析】 (1)∵椭圆上的点到椭圆两焦点的距离之和为 4 2，∴2a=4 2，即 a=2 2，而 b=2， 则 c=2，∴e= ca = 22 .(2)由 (1)知： 菱形内切圆的半径 r= aba2+b2 = 2 2×28+4 = 2 63 ，所以内切圆方程为 x2+y2= 83 .(3)①当直线斜率不存在时， 直线方程为 x=±2 63 ，代入椭圆方程得 y=±2 63 ，此时 |AB|= 4 63 ；②当直线斜率为 0时， 直线方程为 y=±2 63 ，代入椭圆方程得 x=±2 63 ，此时 |AB|= 4 63 ；③当直线的斜率存在且不为 0时， 设直线方程为 y=kx+m，由直线与圆相切得 |m|1+k2 = 2 63 ，即 m2=83 (1+k2)，直线代入椭圆方程， 可得 1+2k2? ?x2+4kmx+2m2-8=0,?=8 8k2-m2+4? ? = 323 4k2+1? ? >0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1+x2=- 4km1+2k2 ,x1x2= 2m2-81+2k2 ，|AB|= 1+k2 ?|x1-x2|= 323 1+ 14k2+ 1k2 +4??? ? ? ? ? ≤2 3，∴|AB|∈ 4 63 ,2 3??? ? ? ? ? .【点评 】 (1)由椭圆方程及焦距求参数，直接求离心率 .(2)根据椭圆各顶点连线所成棱形，结合内切圆性质求半径，写出圆的方程 .(3)讨论直线斜率，结合椭圆方程求相交弦的弦长 .第 324页 共 377页
3． (1)证明见解析； (2)- 29+14 .【分析 】 (1)求出直线 PA、 PB的方程，联立这两条直线的方程，可求得点 P的坐标，并求出点 M的坐标，进一步可求得线段 PM的中点 N的坐标，然后将点 N的坐标代入抛物线 C的方程即可证得结论成立；(2)求出 AB? ?PM? ? 关于 y0的表达式， 换元 t=4y0+1∈ -11,-3? ? ，利用基本不等式可求得当 AB? ?PM? ? 取最大值时对应的 y0的值， 即可得出结果 .【解析】 (1)设直线 PA的方程为 y-x21=k1 x-x1? ? ，联立 y-x21=k1 x-x1? ?y=x2??? ，可得 x2-k1x+k1x1-x21=0，Δ=k21-4 k1x1-x21? ? =4x21-4kx1+k21= 2x1-k1? ? 2=0， ∴k1=2x1，所以， 直线 PA的方程为 y-x21=2x1 x-x1? ? ，即 y=2x1x-x21，同理可知直线 PB的方程为 y=2x2x-x22.联立 y=2x1x-x21y=2x2x-x22??? ，解得 x= x1+x22y=x1x2??? ，即点 P x1+x22 ,x1x2? ? ，线段 AB的中点为 M x1+x22 ,x21+x222? ? ，所以， 线段 PM的中点为 N x1+x22 ,x21+2x1x2+x224? ? ，因此， x21+2x1x2+x224 = x1+x22? ? 2，因此 ，线段 PM的中点 N在抛物线 C上；(2)由 (1)知， AB? ? = x1-x2? ? 2+ x21-x22? ? 2 = x1-x2? ? 2 1+ x1+x2? ? 2? ? ，PM? ? = x21+x222 -x1x2= x1-x2? ? 22 ，∴ AB? ?PM? ? = 2 x1-x2? ? 2 1+ x1+x2? ? 2? ?x1-x2? ? 2 =2 1+ x1+x2? ? 2x1-x2? ? 2 =2 1+ x1+x2? ? 2x1+x2? ? 2-4x1x2=2 1+4x204x20-4y0 = 1+4x20x20-y0 = 4 x20-y0? ? +1+4y0x20-y0 = 4+ 1+4y0x20-y0= 4+ 4y0+11- y0+2? ? 2-y0 = 4- 4y0+1y20 +5y0+3 ，令 t=4y0+1∈ -11,-3? ? ，则 4y0+1y20 +5y0+3 = tt-14? ? 2+ 5 t-1? ?4 +3 = 16tt2+29+18t = 16t+ 29t +18 ，所以， AB? ?PM? ? = 4- 16t+ 29t +18 = 4+ 16-t? ? + 29-t? ? -18 ，所以， 当 -t=-29t t<0? ? 时， 即当 t=- 29∈ -11,-3? ? 时， AB? ?PM? ? 取最大值，此时 4y0+1=- 29，解得 y0=- 29+14 ，因此， 当 AB? ?PM? ? 取最大值时， 点 P的纵坐标为 - 29+14 .【点评 】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数 的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第 325页 共 377页
4． (1)证明见解析； (2) 92 .【分析 】 (1)求得椭圆 C2的方程为 x22 +y2= 12 ，设点 P x0,y0? ? ，可得出 x202 +y20 = 12 ，利用斜率公式可证得 k1?k2为定值 ；(2)设直线 PF1的方程为 y=k x+1? ? k≠0 ? ，设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，联立直线 PF1与椭圆 C1的方程，列出韦达定理，可求得 AB? ? 关于 k的表达式， 进而可得出 CD? ? 关于 k的表达式， 利用基本不等式可求得 AB? ? ?CD? ? 的最大值 .【解析 】 (1)证明： ∵点 F1、 F2是椭圆 C1的两个焦点，故 F1、 F2的坐标是 F1 -1,0? ? 、 F2 1,0? ? ，而点 F1、 F2是椭圆 C2上的点， 将 F1、 F2的坐标代入 C2的方程，得 λ= 12 ，设 P x0,y0? ? ，直线 PF1和 PF2的斜率分别是 k1、 k2 k1≠0,k2≠0? ? ，k1?k2= y0x0+1 ? y0x0-1 = y20x20-1 ，又点 P是椭圆 C2上的点， 故 x202 +y20 = 12 ，则 y20 = 1-x202 ，所以 k1?k2= y20x20-1 = 1-x202x20-1 =- 12 (定值 )；(2)直线 PF1的方程可表示为 y=k x+1? ? k≠0 ? ，联立方程组 y=k x+1? ?x22 +y2=1??? ，得 1+2k2? ?x2+4k2x+2k2-2=0，Δ=16k4-4 1+2k2? ? 2k2-2 ? =8 k2+1? ? >0恒成立，设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，则 x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1?x2= 2k2-21+2k2 ，∴ AB? ? = 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 2 2 1+k2? ?1+2k2 ，同理可求得 CD? ? = 2 1+4k2? ?1+2k2 ，∴ AB? ? ? CD? ? = 4 4k4+5k2+1? ?1+2k2? ? 2 = 4 4k4+5k2+1? ?4k4+4k2+1 =4 1+ k24k4+4k2+1? ? =4 1+ 11k2 +4k2+4??? ? ? ? ? ≤4 1+ 12 1k2 ?4k2 +4???? ? ? ? ? = 92 ，当且仅当 k=± 22 时等号成立， 故 AB? ? ? CD? ? 的最大值等于 92 .【点评 】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1? ? 、 x2,y2? ? ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程， 得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算 Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、 x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解 .5． (1)x24 + y23 =1； (2)4 3-1.【 分析】 (1)根据题意列出关于 a,b,c的等式再求解即可 .第 326页 共 377页
(2)设直线 l方程为 y=kx+1， 再联立直线与椭圆的方程 ,求得中点 D的坐标，利用韦达定理可得 |MN|=|yM-yN|= 4k+1+ 3k? ?，再分析 k>0与 k<0两种情况分别利用基本不等式求解最值即可 .【 解析】 (1)依题意可知 b2=3,ca = 12 ,a2=b2+c2,??????? 解得 a=2.所以椭圆 C的标准方程为 x24 + y23 =1；(2)显然直线 l斜率存在， 设过点 (0,1)点的直线 l方程为 y=kx+1， (k≠0，否则直线 OD与直线 x=4无交点 .)直线 l与椭圆 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).由 y=kx+1,3x2+4y2-12=0??? 得 (3+4k2)x2+8kx-8=0， 则 Δ=64k2+32(3+4k2)>0，x1+x2= -8k3+4k2 ， y1+y2=k(x1+x2)+2= 63+4k2 .所以 D -4k3+4k2 , 33+4k2? ? .令 x=4， yM=4k+1.直线 OD方程为 y=- 34kx，令 x=4， yN=- 3k.所以 |MN|=|yM-yN|= 4k+1+ 3k? ?.① 当 k>0时， |MN|=4k+1+ 3k ≥1+4 3.当且仅当 4k= 3k 时 ,即 k= 32 时等号成立；② 当 k<0时， 4k+ 3k =- (-4k)+ - 3k? ???? ? ? ? ≤-4 3.当且仅当 k=- 32 时取等号成立 .此时 |MN|= 4k+1+ 3k? ? ≥4 3-1.综上 ，线段 |MN|的取值范围为 4 3-1,+∞? ? .故线段 |MN|的最小值为 4 3-1.【 点评】思路点睛：直线与椭圆的综合问题的常见处理方法：(1)对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线 AB的斜率 k= y1-y2x1-x2 ， AB中点的坐标 M为 x1+x22 ,y1+y22? ? ，点代入椭圆方程 x12a2 + y12b2 =1x22a2 + y22b2 =1??????? 作差， 就可以得到弦中点与直线斜率的关系式 kAB?kOM=-b2a2 ．(2)对于弦长问题， 我们常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式： (已知直线上的两点距离 )设直线 l:y=kx+m， l上两点 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，所以 AB? ? =1+k2 x1-x2? ? 或 AB? ? = 1+ 1k? ? 2 y1-y2? ? ，斜率不存在时 AB? ? = y1-y2? ? ，解决相关问题 .6． (1)x24 + y23 =1； (2)247 .【分析 】 (1)设出 P点的坐标，根据 P点在椭圆上以及 PA1， PA2的斜率之积为 - 34 ，列出方程 ，即可求得椭圆第 327页 共 377页
C的标准方程；(2)设出直线 l的方程以及 M， N点的坐标，与椭圆方程联立，消去 x，利用韦达定理得出 y1+y2与 y1y2的值，再根据 kA1M+kA1N=-kMN列出方程，即可解出直线的斜率，从而利用弦长公式求得 MN? ?.【解析 】 (1)设 P x0,y0? ? ，由题意知： A1 -a,0? ? ， A2 a,0? ? ，∵kPA1?kPA2= y0x0+a ? y0x0-a = y20x20-a2 = 3 1- x20a2? ?x20-a2 =- 3a2 ，∴- 3a2 =- 34 ，解得： a2=4，∴椭圆 C的标准方程为 x24 + y23 =1；(2)根据题意， 设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，直线 MN:x=my+1 m≠0? ? ，由 x24 + y23 =1,x=my+1,??? ，消去 x并整理得： 3m2+4? ?y2+6my-9=0，则 Δ=36m2+36 3m2+4? ? >0，即 y1+y2=- 6m3m2+4 ， y1y2=- 93m2+4 ，∵kA1M= y1x1+2 ， kA1N= y2x2+2 ，∴kA1M+kA1N= y1 x2+2? ? +y2 x1+2? ?x1+2? ? x2+2 ?= y1 my2+3? ? +y2 my1+3? ?my2+3? ? my1+3 ?= 2my1y2+3 y1+y2? ?m2y1y2+3m y1+y2? ? +9= 2m× - 93m2+4? ? +3× - 6m3m2+4? ?m2× - 93m2+4? ? +3m× - 6m3m2+4? ? +9= -36m36=-m，又 ∵kMN= 1m，由 kA
1M+kA1N=-kMN， 得： 1m -m=0，解得： m2=1，∴ y1+y2? ? = 67 ， y1y2=- 97 ，故 MN? ? = 1+m2 ? y1-y2? ? = 2? y1+y2? ? 2-4y1y2 = 247 .【点评 】方法点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x (或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； (2)涉及到直线方程的设法第 328页 共 377页
时， 务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．7． (1)y2=4x； (2)证明见解析； (3)4.【分析】 (1)由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；(2)可设 M的坐标，设过点 M(-1,t)的直线方程为 y=k(x+1)+t，与抛物线方程 y2=4x联立，消去 x得：ky2-4y+4k+4t=0，利用判别式等于零可得结论；(3)设 A， B的坐标，由 (2)可得参数 t， k的关系，代入过 M的切线方程与抛物线的方程中，可得 A， B用参数 k1， k2表示的坐标，代入弦长公式中求 |AB|的表达式，由参数的范围求出 |AB|的最小值．【解析】 (1)由椭圆方程得，椭圆的右焦点为 (1,0)∴抛物线的焦点为 F(1,0)， ∴p=2，所以抛物线的标准方程： y2=4x．(2)抛物线 C的准线方程为 x=-1．设 M(-1,t)，设过点 M(-1,t)的直线方程为 y=k(x+1)+t，与抛物线方程 y2=4x联立，消去 x得： ky2-4y+4k+4t=0．其判别式 △=16-16k(k+t)，令 △=0，得： k2+kt-1=0．由韦达定理知 k1+k2=-t， k1k2=-1，故 k1k2=-1(定值 )．(3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 k2+kt-1=0，得 t= 1-k2k ，故 ky2-4y+4k+4t=ky2-4y+4k+4× 1-k2k =ky2-4y+ 4k =k y- 2k? ? 2=0，所以 y= 2k，代入抛物线方程得 x= 1k2 ，所以 A 1k12 ， 2k1? ? ， B 1k22 ， 2k2? ? ，|AB|= 1k12 - 1k22? ? 2+ 2k2 - 2k1? ? 2= k22-k12k22k12? ? 2+4 k1-k2k1k2? ? 2因为 k1k2=-1， k1+k2=-t，所以 |AB|= (k12-k22)2+4(k1-k2)2 = 4+t2|k1-k2|= 4+t2 (k1+k2)2-4k1k2= 4+t2 t2+4=4+t2≥4，当且仅当 t=0时取等号．当且仅时取等号．故 |AB|的最小值为 4． 第 329页 共 377页
【点评 】求曲线弦长的方法： (1)利用弦长公式 l= 1+k2 x1-x2? ? ； (2)利用 l= 1+ 1k2 y1-y2? ? ； (3)如果交点坐标可以求出， 利用两点间距离公式求解即可 .8． (1)x28 + y24 =1； (2)存在， x2+y2= 83 ， 4 63 ,2 3??? ? ? ? ? .【分析 】 (1)根据椭圆 E： x2a2 + y2b2 =1(a， b>0)过 M(2， 2) ， N( 6， 1)两点， 直接代入方程解方程组即可 .(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A， B，且 OA?? ⊥OB?? ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为 y=kx+m，联立 y=kx+mx28 + y24 =1??? ，根据 OA?? ⊥OB?? ，结合韦达定理运算x1x2+y1y2=0，同时满足 Δ>0，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到 AB? ? = (1+k2)(x1-x2)2 = 323 1+ k24k4+4k2+1??? ? ? ? ? 求解 .【解析 】 (1)因为椭圆 E： x2a2 + y2b2 =1(a， b>0)过 M(2， 2) ， N( 6， 1)两点，所以 4a2 + 2b2 =16a2 + 1b2 =1????? ，解得 1a2 = 181b2 = 14????? ，所以 a2=8b2=4??? ，所以椭圆 E的方程为 x28 + y24 =1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A， B，且 OA?? ⊥OB?? ，设该圆的切线方程为 y=kx+m，联立 y=kx+mx28 + y24 =1??? 得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，则 △=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即 8k2-m2+4>0x1+x2=- 4km1+2k2x1x2= 2m2-81+2k2????? ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ， = k2(2m2-8)1+2k2 - 4k2m21+2k2 +m2= m2-8k21+2k2 ，要使 OA?? ⊥OB?? ，需使 x1x2+y1y2=0，即 2m2-81+2k2 + m2-8k21+2k2 =0，所以 3m2-8k2-8=0，所以 k2= 3m2-88 ≥0，又 8k2-m2+4>0， 第 330页 共 377页
所以 m2>23m2≥8??? ，所以 m2≥ 83 ，即 m≥ 2 63 或 m≤-2 63 ，因为直线 y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线 ，所以圆的半径为 r= m? ?1+k2 ， r2= m21+k2 = m21+ 3m2-88 = 83 ，所以 r= 2 63 ，则所求的圆为 x2+y2= 83 ，此时圆的切线 y=kx+m都满足 m≥ 2 63 或 m≤-2 63 ，而当切线的斜率不存在时切线为 x=±2 63 与椭圆 x28 + y24 =1的两个交点为 2 63 ,±2 63? ? 或-2 63 ,±2 63? ? 满足 OA?? ⊥OB?? ，综上，存在圆心在原点的圆 x2+y2= 83 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A， B， 且 OA?? ⊥OB?? .因为 x1+x2=- 4km1+2k2x1x2= 2m2-81+2k2????? ，所以 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= - 4km1+2k2? ? 2-4× 2m2-81+2k2 = 8(8k2-m2+4)(1+2k2)2 ，AB? ? = (x1-x2)2+ y1-y2? ? 2 = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+k2)8(8k2-m2+4)(1+2k2)2= 323 ? 4k4+5k2+14k4+4k2+1 = 323 1+ k24k4+4k2+1??? ? ? ? ? ，①当 k≠0时， AB? ? = 323 1+ 14k2+ 1k2 +4???? ? ? ? ? ，因为 4k2+ 1k2 +4≥8，所以 0< 14k2+ 1k2 +4 ≤ 18 ，所以 323 < 323 1+ 14k2+ 1k2 +4???? ? ? ? ? ≤12，所以 43 6< AB? ? ≤2 3，当且仅当 k=± 22 时取” =” .② 当 k=0时， |AB|= 4 63 .③ 当 AB的斜率不存在时 ，两个交点为 2 63 ,±2 63? ? 或 -2 63 ,±2 63? ? ，所以此时 |AB|= 4 63 ，综上， |AB |的取值范围为 43 6≤ AB? ? ≤2 3，即 ： AB? ? ∈ 43 6,2 3??? ? ? ?【点评 】思路点睛： 1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决， 往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB? ? = (x1-x2)2+ y1-y2? ? 2 = (1+k2) x1+x2? ? 2-4x1?x2? ? = 1+ 1k2? ? y1+y2? ? 2-4y1?y2? ? (k为直线斜率 )．注意： 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．9． (1)x24 + y23 =1； (2)7．【分析 】 (1)由已知条件，结合基本量的关系求得 a,b的值，即可写出椭圆的标准方程； (2)在两直线的斜率有第 331页 共 377页
一条不存在时， 直接求得弦长并求得两弦长的和；在斜率都存在时，设 l1:x=my+1(m≠0)，与椭圆的方程联立，判定直线与椭圆相交，并利用根据系数的关系和弦长公式求得 |AB|关于 m的表达式 ,同样得到 |DE|的函数表达式，得到 |AB|+|DE|关于 m的函数表达式，化简整理，并作换元令 m2+1=t∈(1,+∞)，转化成关于 t的函数表达式，适当变形，配方，转化为 1t ∈(0,1)的二次函数型问题，利用二次函数的性质并结合不等式的基本性质得到所求弦长和的取值范围，再与两直线的斜率有一条不存在时求得的弦长和综合，得到 最后的结论 .【解析】 (1)由题意知 c=1， -bc =- 3，则 b= 3，又 a2=b2+c2，可得 a=2，所以椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1．(2)当 l1， l2其中一条的斜率不存在， 其中一条的斜率为 0时，两条弦长分别为 2a， 2b2a ，则 |AB|+|DE|=2a+ 2b2a =7．当 l1， l2的斜率都存在时， 设 l1:x=my+1(m≠0)，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，联立 x=my+1x24 + y23 =1??? ，化简可得 3m2+4? ?y2+6my-9=0， Δ>0，所以 y1+y2= -6m3m2+4 ， y1y2= -93m2+4 ，所以 |AB|= 1+m2 y1-y2? ? = 1+m2 -6m3m2+4? ? 2+ 363m2+4 = 12 m2+1? ?3m2+4 ．同理可得 DE ?? = 12 m2+1? ?4m2+3 ，所以 |AB|+|DE|= 12 m2+1? ?3m2+4 + 12 m2+1? ?4m2+3=12 m2+1? ? 13m2+4 + 14m2+3? ?=84 m2+1? ? 23m2+4? ? 4m2+3 ????? ? ? ? ? ．令 m2+1=t∈(1,+∞)，则 |AB|+|DE|=84 m2+1? ? 23m2+4? ? 4m2+3 ????? ? ? ? ?=84 t2(3t+1)(4t-1)???? ? ? ? ? =84 t212t2+t-1? ?=84 1- 1t - 12? ? 2+ 494???? ? ? ? ? ，根据 1t ∈(0,1)，得 |AB|+|DE|∈ 487 ,7??? ? ．综上可知， |AB|+|DE|的最大值为 7．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，弦长，最值问题，属中高档题，难度较大 .其中利用换元思想转化求取值范围是关键点 .10． (1)x29 + y23 =1； (2)3 62 .【分析 】 (1)由题意可得 a= 3b，再根据边长为 2 3 得出 a,b的值便可解出椭圆的标准方程；第 332页 共 377页
(2)设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，先根据直线 y=kx+m与圆 x2+y2= 2b23 相切， 利用点到线距离公式得到 m2=2 1+k2? ? ，然后联立直线与椭圆方程 ，利用弦长公式得到 MN? ? 关于 k与 m的表达式， 将 m2=2 1+k2? ? 代入得到关于 k的表达式， 然后设法求最值 .【解析】 (1)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，∴a= 3b， b= 3， ∴ a=3， b= 3，椭圆 E： x29 + y23 =1(2)设 M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，因为圆 O： x2+y2=2，因为直线 y=kx+m与圆 O： x2+y2=2相切，所以点 O到直线 y=kx+m的距离等于圆的半径，即 m? ?1+k2 = 2，即 m2=2 1+k2? ? .联立方程 x29 + y23 =1y=kx+m??? 得 1+3k2? ?x2+6kmx+3 m2-3? ? =0，设 ，则 x1+x2=- 6km1+3k2 ， x1?x2= 3 m2-3? ?1+3k2 ，故 MN? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+k2 ? 12 9k2+3-2k2-2? ?1+3k2= 6? 2+2k2? ? 7k2+1 ?1+3k2 ≤ 6? 12 2+2k2? ? + 7k2+1? ?? ?1+3k2 = 3 62 .当且仅当 2+2k2=7k2+1即 k2= 15 时等号成立 .所以弦长 MN? ? 的最大值是 3 62 .【点评 】本题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆相交时弦长的最值问题，难度较大 .解答时，利用韦达定理表示弦长的表达式是关键，然后利用基本不等式、函数等方法求其最值 .11． (1)x+y-1=0或 x-y-1=0； (2)15 68 .【分析 】 (1)本题首先可以设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，然后对直线 l斜率为 0这种情况进行讨论 ，易知这种情况不满足题意，再然后对直线 l斜率不为 0这种情况进行讨论，可设直线 l的方程为 x=my+1，通过联立直线方程与椭圆方程并借助韦达定理得出 y1+y2= -10m5m2+6 、 y1y2= -255m2+6 ，最后通过 S△F1AB= 12 F1F2? ? ? y1-y2? ? =20 311 求出 m的值， 即可得出结果；(2)本题首先可根据 BF2?? =2F2A?? 得出 y2=-2y1，然后结合题 (1)得出 y1= 10m5m2+6 、 2y21 = 255m2+6 ，再然后两者联立 ，计算出 m的值，最后通过 AB? ? = 1+m2 y1-y2? ? 即可得出结果 .【解析 】 (1)设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，因为椭圆方程为 x26 + y25 =1，所以 F1 -1,0? ? ， F2 1,0? ? ，当直线 l斜率为 0时， 直线 l的方程为 x=1，联立 x=1x26 + y25 =1??? ，解得 y=±5 66 ，则 y1-y2? ? = 5 63 ，S△F
1AB= 12 F1F2? ? ? y1-y2? ? = 12 ×2× 5 63 = 5 63 ≠ 20 311 ，不满足题意 ；当直线 l斜率不为 0时，设直线 l的方程为 x=my+1，联立 x=my+1x26 + y25 =1??? ，得 5m2+6? ?y2+10my-25=0，第 333页 共 377页
由韦达定理得 y1+y2= -10m5m2+6 、 y1y2= -255m2+6 ，则 S△F1AB= 12 F1F2? ? ? y1-y2? ? = 12 ×2 (y1+y2)-4y1y2= 100m2(5m2+6)2 -4× (-25)5m2+6 = 20 311 ，整理得 50m4-m2-49=0，解得 m2=1， 或 m2=-4950(舍去 )，故 m=±1， 直线 l的方程为 x+y-1=0或 x-y-1=0.(2)设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，因为 BF2?? =2F2A?? ，所以 1-x2,-y2? ? =2 x1-1,y1? ? ， y2=-2y1，由 (1)可知 y1+y2= -10m5m2+6 ， y1y2= -255m2+6 ，故 y1= 10m5m2+6 ， 2y21 = 255m2+6 ，联立 y1= 10m5m2+62y21 = 255m2+6????? ，得 2 10m5m2+6? ? 2= 255m2+6 ，解得 m=± 2，所以 AB? ? = 1+m2 y1-y2? ? = 3y1-y2? ? =3 3y1? ? =3 3× 10 25×2+6 = 15 68 .12． (1)x22 +y2=1； (2) 24 .【解析 】 (1)因为抛物线 C2:y2=4x的焦点坐标为 (1,0)，所以椭圆的一个焦点坐标为 F(1,0)，即 c=1 ，又椭圆离心率为 22 ，所以 ca = 22 ，故可求得 a= 2，所以 b2=a2-c2=1，所以椭圆 C1的标准方程为 x22 +y2=1(2)当直线 l的斜率不存在时， 直线 l:x=1，此时易求得 |AB|=4， CD= 2，所以 |CD||AB| = 24 ，当直线 l的斜率存在时， 设直线 l:y=k(x-1)，联立椭圆方程得： 1+2k2? ?x2-4k2x+2k2-2=0设 C x1,y1? ? ， D x2,y2? ? ，则 x1+x2= 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2所以 |CD|= 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+k2 ? 4k21+2k2? ? 2-4× 2k2-21+2k2所以 |CD|= 2 2 1+k2? ?1+2k2同理， 将直线方程与曲线 C2联立得： k2x2- 2k2+4? ?x+k2=0设 A x3,y3? ? ， B x4,y4? ? ，则 x3+x4= 2k2+4k2 ， x3x4=1所以 |AB|=x3+x4+2= 2k2+4k2 +2= 4 k2+1? ?k2所以 |CD||AB| = 2 2 1+k2? ?1+2k24 k2+1? ?k2 = 2k22 1+2k2? ? = 22 1k2 +2? ? < 24所以 |CD||AB| ≤ 24 ，即 |CD||AB| 的最大值为 24 ．第 334页 共 377页
专题 36：圆锥曲线的面积问题参考答案1． (1)x24 +y2=1； (2)1.【 分析】 (1)由条件可得 2a=4,ca = 32 ，解出即可 ；(2)分直线 l的斜率不存在、直线 l的斜率存在两种情况，当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为 y=kx+m,A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，联立直线与椭圆的方程消元 ，然后韦达定理表示出 x1+x2、 x1x2，然后表示出点 M的坐标，然后由 OM???? ? =1可得 m2 16k2+1? ? = 4k2+1? ? 2，然后表示出 S△AOB= 2 m2 4k2-m2+1? ?4k2+1 ，然后利用基本不等式可求出其最值 .【 解析】 (1)因为椭圆 C: x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? 的长轴长为 4，离心率为 32所以 2a=4,ca = 32 ，解得 a=2,c= 3，所以 b=1所以椭圆 C的方程为 x24 +y2=1(2)当直线 l的斜率不存在时， 可得 l的方程为 x=±1，易得 AB? ? = 3△AOB的面积为 12 × 3×1= 3当直线 l的斜率存在时， 设 l的方程为 y=kx+m,A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?联立 x24 +y2=1y=kx+m??? 可得 4k2+1? ?x2+8kmx+4m2-4=0所以 x1+x2= -8km4k2+1,x1x2= 4m2-44k2+1 ,y1+y2=k x1+x2? ? +2m= 2m4k2+1所以 M -4km4k2+1, m4k2+1? ? ，因为 OM???? ? =1，所以 -4km4k2+1? ? 2+ m4k2+1? ? 2 =1化简可得 m2 16k2+1? ? = 4k2+1? ? 2因为原点到直线 l的距离为 m? ?1+k2AB? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 1+k2 ? -8km4k2+1? ? 2- 16m2-164k2+1= 1+k2 ? 64k2-16m2+164k2+1所以 S△AOB= 12 × 1+k2 ? 64k2-16m2+164k2+1 × m? ?1+k2= 2 m2 4k2-m2+1? ?4k2+1因为 m2 4k2-m2+1? ? ≤ m2+4k2-m2+12 = 4k2+12 ，当且仅当 m2=4k2-m2+1时，等号成立，此时由 m2=4k2-m2+1m2 16k2+1? ? = 4k2+1? ? 2??? 可解得 k=± 24 ,m=± 32 ，此时也满足 Δ>0所以 S△AOB≤1综上可得： △AOB面积的最大值为 1【点评】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入” 等解法 .2． (1)x220 + y24 =1； (2)最大值为 2 5. 第 335页 共 377页
【分析 】 (1)由题得 754a2 + 14b2 =12c=8a2=b2+c2??????? ，求出 a,b即可得出方程；(2)利用点差法可得 kAB= 3，设出直线方程 ，与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线距离公式即可表示出三角形面积，根据 m的取值范围可求最值 .【解析】解： (1)依题意可知 754a2 + 14b2 =12c=8a2=b2+c2??????? ，解得 a2=20b2=4??? ，故 C的方程为 x220 + y24 =1.(2)易得直线 OM的方程为 y=- 15 3x，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ， R x0,y0? ? 为 AB的中点 ，其中 y0=- 15 3x0，因为 A， B在椭圆上， 所以 x2120 + y214 =1x2220 + y224 =1??????? ，两式相减可得 kAB= y1-y2x1-x2 =- 420 × x1+x2y1+y2 =- 15 × 2x02y0 = 3.可设直线 l的方程为 y= 3x+m，联立 y= 3x+mx220 + y24 =1??? ，整理得 16x2+10 3mx+5m2-20=0，则 Δ=300m2-64 5m2-20? ? >0，解得 -8
表示可求得 R,N点坐标， 由直线 PR求得 B，根据点 B在点 A右侧确定 t的范围；利用 S1S2 = 12 NA? ? ? yP? ?12 NB? ? ? yR? ? 可将 S1S2 表示为关于 t的函数的形式， 利用换元法和基本不等式可求得最小值 .【解析】 (1)由已知可得：焦点 F p2 ,0? ? ，将 x= p2 代入抛物线的方程， 可得： y2=p2，则 DE? ? =2p=4，解得 ： p=2，∴抛物线 C的方程为 y2=4x；(2)设 P xP,yP? ? ， Q xQ,yQ? ? ， R xR,yR? ? ， N xN,0? ? ，令 yP=2t t≠0? ? ，则 xP=t2，∵直线 l过点 A 2,0? ? ， ∴直线 l的方程为 x= t2-22t y+2，将其与 y2=4x联立并消去 x得： y2- 2 t2-2? ?t y-8=0，由根与系数的关系得： 2tyQ=-8，即 yQ=- 4t ， ∴Q 4t2 ， - 4t? ? ，∵NP?? +NQ?? +NR?? =0?， ∴N为 △PQR的重心，∴xN= xP+xQ+xR3 ， 0= yP+yQ+yR3 ，∴yR=-yP-yQ=-2t+ 4t ，则 xR= -t+ 2t? ? 2，∴xN= xP+xQ+xR3 = 2t4-4t2+83t2 ，∴R -t+ 2t? ? 2,-2t+ 4t? ? ， N 2t4-4t2+83t2 ,0? ? ，则直线 PR的方程为 y-2t=t x-t2? ? ，令 y=0得 ： x=t2-2，即 B t2-2,0? ? ，∵点 B在点 A的右侧， ∴t2-2>2， 即 t2>4，∴ S1S2 = 12 NA? ? ? yP? ?12 NB? ? ? yR? ? = 2t4-10t2+8? ?t4-2t2-8? ? ? t2t2-2 = 2 t4-t2? ?t4-4 =2- 2 t2-4? ?t4-4 ，令 m=t2-4，则 m>0， 第 337页 共 377页
∴ S1S2 =2- 2mm2+8m+12 =2- 2m+ 12m +8 ≥2- 22 m? 12m +8 =2- 12 3+4 = 2+ 32 ， (当且仅当m= 12m，即 m=2 3 时取等号 )，∴ S1S2 的最小值为 2+ 32 .【点评 】求解直线与抛物线综合应用中的与三角形面积有关的最值 (取值范围 )问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 x或 y的一元二次方程的形式；②利用 Δ>0或其他限制条件求得变量的取值范围；③利用变量表示出所求三角形的面积；④通过换元法将所求内容转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值 (范围 ).4． (1)x25 + y24 =1； (2)最大值为 2 15.【分析 】 (1)当 ∠F1PF2最大时，点 P与椭圆 C的上顶点或下顶点重合，设 P(0， b)，由余弦定理得 a,c关系式，再由 PF2?? ?F1F2?? =2得 c值，从而求得 a,b得椭圆方程；(2)当直线 PQ的斜率不存在时，直接求出四边形面积，当直线 PQ的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 y=k(x-1)， P(x1， y1)?Q(x2， y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 x1+x2,x1x2，由弦长公式求得弦长PQ? ? ，再求得 O到直线 l的距离 ，由圆中弦长公式求得弦长 AB? ? ，求得四边形面积表示为 k的函数 ，由函数知识求得其取值范围．【解析】 (1)当 ∠F1PF2最大时，点 P与椭圆 C的上顶点或下顶点重合，设 P(0， b)，则 cos∠F1PF2= a2+a2-(2c)22a?a = 35 ①，PF2?? ?F1F2?? =(c， -b)?(2c， 0)=2c2=2②，由①②得 c2=1， a2=5，于是 b2=a2-c2=4，∴椭圆 C的标准方程是 x25 + y24 =1；(2)当直线 PQ的斜率不存在时 ， |AB|=4， PQ? ? = 8 55 ，则四边形 APBQ的面积是 16 55 ，当直线 PQ的斜率存在时 ，设直线 PQ的方程为 y=k(x-1)， P(x1， y1)?Q(x2， y2)，将 y=k(x-1)与 x25 + y24 =1联立并消去 y，整理得 (5k2+4)x2-10k2x+5k2-20=0，Δ>0恒成立，则 x1+x2= 10k25k2+4 ， x1?x2= 5k2-205k2+4 ，则 PQ? ? = 1+k2 ? (x1+x2)2-4x1x2 = 8 5(k2+1)5k2+4 ，由于直线 l与直线 PQ垂直 ，且经过点 F1， ∴直线 l的方程为 x+ky+1=0，∴点 O到直线 l的距离为 1k2+1 ， ∴ AB? ? =2 b2- 1k2+1? ? 2 =2? 4k2+3k2+1 ，则四边形 APBQ的面积：S= 12 × AB? ? × PQ? ? = 8 5 k2+1? 4k2+35k2+4 = 8 54k2+3k2+1 + k2+14k2+3 ，第 338页 共 377页
由于 4k2+3k2+1 = 4- 1k2+1 ∈[ 3， 2)， ∴ 4k2+3k2+1 + k2+14k2+3 ∈ 4 33 ， 52??? ? ，于是 S∈ 16 55 ， 2 15? ? ? ? ? (当 k=0时取得最大值 )，综上可知， 四边形 APBQ面积的最大值为 2 15.【点评 】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的面积范围问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为 (x1,y1),(x2,y2)，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得 x1+x2,x1x2(需要根据方便性，可能得 y1+y2,y1y2)，由弦长公式求得弦长，同样由圆中弦长公式求得圆中弦长，目的是把四边形面积表示为参数 k的函数求得取值范围，同时需要求得斜率不存在时的面积，才能得出正确结论．5． (1)x22 +y2=1； (2)2 35 .【分析 】 (1)利用垂直平分线的性质可得 EQ? ? + FQ? ? = EQ? ? + PQ? ? =2 2> EF? ? ，符合椭圆定义 ，则可根据定义确定 a,c，进而求得轨迹方程；(2)利用直线与圆相切可得 k,t之间关系；将直线方程与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用弦长公式可表示出 AB? ? ，结合 k,t关系可将 AB? ? 表示为关于 k的函数， 由 OA?? ?OB?? =μ可求得 k的范围，利用换元法可求得 AB? ? 的最大值， 代入三角形面积公式可求得结果 .【解析】 (1)由圆 E的方程可知：圆心 E -1,0? ? ，半径 r=2 2，由题意可知： EQ? ? + FQ? ? = EQ? ? + PQ? ? =r=2 2> EF? ? =2，∴动点 Q的轨迹 Γ为焦点在 x轴上的椭圆，设 Γ： x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ? ，则 2a=2 2， 2c=2，即 a= 2， c=1，∴b2=a2-c2=1，∴动点 Q的轨迹 Γ的方程为： x22 +y2=1.(2)l:kx-y+t=0，则圆 O的圆心到 l的距离 d= t? ?1+k2 =1，则 1+k2=t2联立 x22 +y2=1与 kx-y+t=0得 ： 1+2k2? ?x2+4ktx+2t2-2=0，∴Δ= 4kt? ? 2-4 1+2k2? ? 2t2-2 ? =8k2>0，则 k≠0，设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，则 x1+x2= -4kt1+2k2 ， x1x2= 2t2-21+2k2 ，∴y1y2= kx1+t? ? kx2+t ? =k2x1x2+kt x1+x2? ? = t2-2k21+2k2 ，又 1+k2=t2， ∴x1x2= 2k21+2k2 ， y1y2= 1-k21+2k2 ，又 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2= 1+k21+2k2 =μ， 35 ≤μ≤1，∴ 35 ≤ 1+k21+2k2 ≤1，解得 ： 0
【点评 】求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值 (取值范围 )问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于 x或 y的一元二次方程的形式；②利用 Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；④通过换元法将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性求解出最值 (范围 ).6． (1)|AB|= 2 2 k2+1? ?2k2+1 ； (2) 2, 32 2? ? ? ? .【分析 】 (1)求出焦点坐标，写出直线 AB的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出 x1+x2、 x1x2，利用弦长公式即可求解；(2)设 C x3,y3? ? ， D x3,y3? ? ，直线 CD的方程为 y=- 12k(x-1)，利用点到直线的距离公式分别求 C,D到直线AB的距离 d1， d2，利用 SACBD=S△CAB+S△DAB= 12 AB? ? d1+d2? ? ，再利用换元法和二次函数的性质即可求解.【 解析】 (1)由 x22 +y2=1可得： a2=2， b2=1， 所以 c=1，所以 F1 -1,0? ? ， F2 1,0? ?设 A x1,y1? ? ， B x1,y1? ? ．由已知得： 直线 AB的方程为 y=k(x+1)，由 y=k(x+1)x22 +y2=1??? 得 x2+2k2(x+1)2-2=0，即 1+2k2? ?x2+4k2x+2k2-2=0，所以 x1+x2=- 4k21+2k2 ， x1x2= 2k2-21+2k2 ．故 |AB|= 1+k2 x1-x2? ? = 1+k2 x1+x2? ? 2-4x1x2 = 2 2 k2+1? ?2k2+1 ．(2)设 C x3,y3? ? ， D x3,y3? ? ．由已知得， kCD=- 12k，故直线 CD的方程为 y=- 12k(x-1)，即 x=-2ky+1．设 d1,d2分别为点 C,D到直线 AB的距离，则 SACBD=S△CAB+S△DAB= 12 AB? ? d1+d2? ? ．又 C,D到直线 AB在异侧 ，则d1+d2= k x3+1? ? -y3? ?1+k2 + k x4+1? ? -y4? ?1+k2 = k x3-x4? ? - y3-y4? ?? ?1+k2 = 1+2k2? ? y3-y4? ?1+k2由 x=-2ky+1x22 +y2=1??? 得， (1-2ky)2+2y2-2=0，即 4k2+2? ?y2-4ky-1=0，故 y3+y4= 4k4k2+2,y3y4=- 14k2+2．所以 d1+d2= 1+2k2? ? y3+y4? ? 2-4y3y41+k2 = 2 4k2+11+k2 ，从而 SACBD= 12 ? 2 2 k2+1? ?2k2+1 ? 2 4k2+11+k2 = 2 k2+1 4k2+12k2+1 ，因为 kAB?kCD=- 12 ，不妨令 k>0， 令 2k2+1=t>1，可得 k2= 12 t-1? ? ，SACBD=2 4k4+5k2+12k2+1? ? 2 =2 4× 14 t-1? ? 2+5× 12 t-1? ? +1t2 =2 t2+ 12t- 12t2 =2 - 12t2 + 12t +1第 340页 共 377页
令 m= 12t，因为 t∈ 1,+∞? ? ，所以 m∈ 0, 12? ? ，所以 SACBD=2 - 12t2 + 12t +1=2 -2m2+m+1，二次函数 y=-2m2+m+1对称轴为 m=- 12× -2? ? = 14 ，开口向下 ，当 m∈ 0, 14? ? 时， y=-2m2+m+1单调递增， m∈ 14 , 12? ? 时， y=-2m2+m+1单调递减，所以 m=0时， y=1；当 m= 14 时， y=-2 14? ? 2+ 14 +1= 98 ；当 m= 12 时， y=-2 12? ? 2+ 12 +1=1，所以 y=-2m2+m+1∈ 1, 98? ? ? ? ，所以 -2m2+m+1∈ 1,3 24? ? ? ? ? ， 2 -2m2+m+1∈ 2,3 22? ? ? ? ? ，因此， SACBD∈ 2, 32 2? ? ? ? ．【点评 】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 7． (1)标准方程为 y2=4x，焦点 (1， 0)； (2)存在，面积最大为 2 2， p= 6451.【分析 】 (1)由抛物线的准线方程 x=-p2 ,根据条件可得 -p2 =-1,可求出 p的值，从而得到答案 .(2) 设 B x1,y1? ? ,C x2,y2? ? ,P x3,y3? ? ,Q x4,y4? ? ，由 AC?? = 12CB?? ，即得到 y2= 13y1,设点 A到 l2的距离 d，则四边形 APBQ的面积 S=3S△APQ= 32 PQ? ?d，然后方程联立求出弦长 PQ? ? ，由点到直线的距离公式求出 d， 从而求出答案 .【解析】解： (1)抛物线的准线方程 x=-p2 ,焦点坐标 p2 ,0? ? ，则 -p2 =-1,p=2,抛物线的标准方程为 y2=4x,焦点 (1， 0)(2)设 B x1,y1? ? ,C x2,y2? ? ,P x3,y3? ? ,Q x4,y4? ?由 AC?? = 12CB?? ,得点 A -1,0? ? 在直线 l1上， 且 y2= 12y11+ 12 = 13y1,设点 A到 l2的距离 d，四边形 APBQ的面积 S=3S△APQ= 32 PQ? ?d.l1:y=k x+1? ? ,l2:y=-k2 x-x3? ? +y3 第 341页 共 377页
由 y=k x+1? ?y2=2px??? ,得 y2- 2pk y+2p=0则 Δ= 4p2k2 -8p>0,k2< p2 ,则 y1+y2= 2pk ,y1y2=2p因为 y1=3y2,所以 y22 = 23p,x2= y222p = 13 ,所以 C 13 ,y2? ? , k2= 3p8 ,p= y222x2 = 3y222由 l1,l2的斜率分别为 k、 - 12k, 可设 l2:y=-k2 x- 13? ? +y2,有 k=kAC= y213 +1 = 3y24故直线 l2:y=-3y28 x+ 9y28 ，令 t=- 83y2则直线 l2:x=ty+3代入椭圆方程 y22 +x2=1，得 1+2t2? ?y2+12ty+16=0Δ=16 t2-4? ? >0,y3+y4=- 12t1+2t2 ,y3y4= 161+2t2PQ? ? = 1+t2 ? y3-y4? ? = 1+t2 ? 16 t2-4? ?1+2t2点 A到 l2的距离 d= 41+t2 ，四边形的面积 S=24 t2-41+2t2 =12 2× 2t2-82t2-8? ? +9 ≤12 2× 2t2-86 2t2-8 =2 2当且仅当 t2= 172 ,p= 6451 时面积最大为 2 2【点评 】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和求四边形面积的最值问题，解答本题的关键是用点的坐标表示出故直线 l2:y=-3y28 x+ 9y28 ，令 t=- 83y2 ，进一步表示出 PQ? ? = 1+t2 ? y3-y4? ? = 1+t2 ?16 t2-4? ?1+2t2 ，再求出点 A到 l2的距离 d= 41+t2 ，得到 S=24 t2-41+2t2 ，属于难题 .8． (1)x28 + y24 =1； (2)①证明见解析； ②最大值为 4 2.【分析 】 (1)由 O为 F1， F2中点，得 F1， F2两点到直线 l的距离之和为 O点到直线 l的距离的 2倍，这样可得 P点轨迹是椭圆，根据 a,b,c求得椭圆方程；(2)①设 G(4,t)， M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，写出切线方程代入 G点坐标 ，得直线 MN方程，由方程可得定点坐标；②直线 MN方程为 2x+ty=4与椭圆方程联立消元后得 y1+y2,y1y2，变形得 y1-y2? ? ，然后计算三角形面积S= 12 ×4y1-y2? ? ，利用换元 、基本不等式可得最大值．【解析】 (1)依题意有 O为 F1， F2中点， F1， F2两点到直线 l的距离之和为 O点到直线 l的距离的 2倍，又 l与第 342页 共 377页
圆 O:x2+y2=8相切， d=r=2 2，即动点 P到 F1(-2,0)与 F2(2,0)两点距离之和等于为 4 2，动点 P的轨迹方程为 x28 + y24 =1.(2)① .设 G(4,t)， M x1,y1? ? ， N x2,y2? ? ，过 M， N的椭圆切线方程为 xx18 + yy14 =1,xx28 + yy24 =1，则 4x18 +ty14 =1， 4x28 + ty24 =1，直线 MN方程为 4x8 + ty4 =1，即 2x+ty=4，显然过定点 2,0? ? .② .直线 MN方程为 2x+ty=4，联立椭圆方程 x2+2y2=8得 2+ t24? ? y2-2ty-4=0显然 Δ>0， y1+y2= 8t8+t2 ， y1y2=- 168+t2 ， y1-y2? ? = 8 2t2+88+t2△F1MN面积 S= 12 ×4y1-y2? ? =2y1-y2? ? = 16 2t2+88+t2 .令 m= t2+4(m≥2)， 8+t2=m2+4，则 S= 16 2mm2+4 = 16 2m+ 4m ≤ 16 24 =4 2.当且仅当 m=2， t=0时等号成立 .故 △F1MN面积的最大值为 4 2.【点评 】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题及三角形面积最大问题．解题方法是根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；设动点的坐标，写出直线方程，由直线方程得定点；设而不求的 思想方法结合韦达定理求得三角形面积，用基本不等式得最大值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维 能力．9． (1)x24 +y2=1； (2)x=± 52 y+2.【分析 】 (1)由已知求得 a=2，再由椭圆的离心率求得 c,继而求得 b ，得椭圆的标准方程；(2)过点 F(2, 0)的直线 l的方程设为 :x=my+2，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,联立 x=my+2y2=8x??? ，整理得 y2-8my-16=0，求得 |AB|= 1+m2 y1+y2? ? 2-4y1y2 =8 1+m2? ? ，同理求得 |CF|= 1+m2 xc-xF? ? =44m2+1 ? 1+m2，表示 △ABC的面积为： S= 12 |AB|?|CF|= 16 1+m2? ?4m2+1 ? 1+m2，令 1+m2 =t，所以s=f(t)= 16t34t2-3 ，利用导函数可求得最值 .【解析 】解： (1)椭圆 C1: x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)长轴的右端点与抛物线 C2:y2=8x的焦点 F重合， ∴a=2，又椭圆 C1的离心率是 32 ， ∴c= 3,?b=1，椭圆 C1的标准方程为 x24 +y2=1；(2)过点 F(2, 0)的直线 l的方程设为 :x=my+2，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,联立 x=my+2y2=8x??? ，整理得 y2-8my-16=0，所以 y1+y2=8m,y1y2=-16， ∴|AB|= 1+m2 y1+y2? ? 2-4y1y2 =8 1+m2? ? ，过 F且与直线 l垂直的直线设为： y=-m(x-2)，联立 y=-m(x-2)x24 +y2=1??? ，整理得 ： 1+4m2? ?x2-16m2x+16m2-4=0，设点 C xc,yc? ? ， xC+2= 16m21+4m2 ,?xC= 2 4m2-1? ?4m2+1 ， ∴|CF|= 1+m2 xc-xF? ? = 44m2+1 ? 1+m2，第 343页 共 377页
所以 △ABC的面积为 ： S= 12 |AB|?|CF|= 16 1+m2? ?4m2+1 ? 1+m2，令 1+m2 =t，所以 s=f(t)= 16t34t2-3 ，则 f?(t)= 16t2 4t2-9? ?4t2-3? ? 2 ，令 f?(t)=0，得 t2= 94 ，当 0 94 时， f?(t)>0， f t? ? 单调递增， 所以当 t2= 94 时， f t? ? 有最小值，此时 1+m2= 94 ， △ABC的面积最小 ，即当 m=± 52 时， △ABC的面积最小值为 9，此时直线 l的方程为： x=± 52 y+2.【点评 】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中三角形面积的最值问题，关键在于设出直线方程，用一个变化的量表示三角形的面积 .10． (1)x22 +y2=1； (2)2 2.【分析 】 (1)根据已知条件可得出关于 a、 b、 c的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆 E的方程；(2)求出 AC? ? 以及点 B到直线 AC的距离 d， 可得出四边形 ABCD的面积关于 k1、 k2的表达式，将 k2=- 12k1 代入四边形 ABCD的面积的表达式，化简即可得解 .【解析】 (1)由已知得 ca = 222a=2 2b= a2-c2??????? ，解得 a= 2b=1c=1??? ，因此， 椭圆 E的方程为 x22 +y2=1；(2)设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? ，则 C -x1,-y1? ? 、 D -x2,-y2? ? ，联立 y=k1xx2+2y2=2??? ?x2+2k12x2=2，则 x21= 21+2k21 ，∴ AC? ? = 1+k21 x1- -x1? ?? ? =2 1+k21 ? x1? ? = 2 2 1+k211+2k21 ，同理可得 x22= 21+2k22 ，且 B到直线 l1的距离 d= k1x2-y2? ?1+k21 = x2? ? ? k1-k2? ?1+k21 = 2k1-k2? ?1+k21 ? 1+2k22 ，所以 S四边形 ABCD=2S△ABC= AC? ? ?d= 4k1-k2? ?1+2k21 1+2k22 = 4k1-k2? ?1+2k21+2k22+4k21k22 ，又 k1k2=- 12 ?k2=- 12k1所以 S四边形 ABCD= 4k1+ 12k1? ?2k21+2+ 12k21 = 4k1+ 12k1? ?2k1+ 12k1? ? = 4k1+ 12k1? ?2 k1+ 12k1? ? = 42 =2 2.【点评 】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．11． (Ⅰ )x2=4y； (Ⅱ )4.【分析】 (Ⅰ )设点 P的坐标为 P(x,y)，故根据题意得 |y-3|= x2+(y-5)2-16，进而整理即可得答案 ；(Ⅱ )设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，由导数的几何意义得曲线 P在点 A,B处的切线方程分别为 x1x=2(y+y1)， x2x=2(y+y2)，设直线 m上一点 R(t,t-2)，进一步得直线 AB的方程为 tx-2y+4-2t=0，进而与 (I)中的方第 344页 共 377页
程联立并结合韦达定理得 AB= t2+4? t2-4t+8，点 R(t,t-2)到直线 AB的距离 d= t2-4t+84+t2 ，进而求得 △ABR面积并根据二次函数性质求最值即可 .【解析】解： (Ⅰ )设点 P的坐标为 P(x,y)， C(0,5)，则点 P到直线 y=3的距离 d=|y-3|，经过点 P作圆 x2+(y-5)2=16的切线，切线长为 PQ= CP2-CQ2 = x2+(y-5)2-16，因此 |y-3|= x2+(y-5)2-16，整理可得 x2=4y，即点 P的轨迹方程为： x2=4y；(Ⅱ )对抛物线 x2=4y，求导可得 y′= x2 ，故在 A x1,y1? ? 处的切线方程为： y-y1= x12 (x-x1)，整理可得 ： x1x=2(y+y1)，同理在 B x2,y2? ? 处的切线方程为： x2x=2(y+y2)，设直线 m上一点 R(t,t-2)，∴ tx1=2(t-2+y1)tx2=2(t-2+y2)??? ，故 A， B在直线 tx=2(y+t-2)上，即直线 AB的方程为 tx-2y+4-2t=0．联立 x2=4ytx-2y+4-2t=0??? 可得 x2-2tx+4t-8=0．∴x1+x2=2t， x1x2=4t-8，∴ AB? ? = 1+ t24 ? 4t2-16t+32= t2+4? t2-4t+8点 R(t,t-2)到直线 AB的距离 d= t2-4t+84+t2 ，∴△ABR面积 S= 12AB?d= 12 (t2-4t+8)3 = 12 [(t-2)2+4]3 ≥ 12 43 =4，当且仅当 t=2时取等号， 故 △ABR面积的最小值为 4．【点评】关键点点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．12． (1)5 23 ； (2)最小值为 163 ，直线 l的方程为 x=2．【分析】 (1)根据题意可得直线 AB的方程为 y=x-2，再由 PO⊥AB可知直线 PO的方程为 y=-x，进而求出 P - 23 ， 23? ? ，利用点到直线的距离公式即可求解 .(2)①当直线 l的斜率不存在时，求出 S△ABP= 12 ×4× 83 = 163 ；当直线 l的斜率存在时 ，可设直线 l的方程为y=k(x-2)(k≠0)以及直线 PO的方程为 y=- 1kx，将直线 l与抛物线联立 ，利用弦长公式求出 AB? ? ，再求出 P - 23 ， 23k? ? ，利用点到直线的距离公式求出点 P到直线 l的距离 ，将 △ABP面积表示 S△ABP= 12 |AB|?d== 23 4+ 1k2? ? 32 即可求解 .【解析 】解： (1)因为直线 AB的倾斜角为 π4 ，且过点 (2,0)，所以直线 AB的方程为 y=x-2， 第 345页 共 377页
又 PO⊥AB，所以直线 PO的方程为 y=-x，因为 P是直线 x=- 23 上的动点， 所以 P - 23 ， 23? ? ，所以 P到直线 AB的距离为 d= - 23 - 23 -2? ?2 = 5 23 ；(2)①当直线 l的斜率不存在时， 直线 l的方程为 x=2，此时 |AB|=4， |PM|= 83 ，所以 △ABP的面积为 S△ABP= 12 ×4× 83 = 163 ；②当直线 l的斜率存在时， 易得直线 l的斜率不为 0，可设直线 l的方程为 y=k(x-2)(k≠0)，与抛物线的方程 y2=2x联立，可得 k2x2-(4k2+2)x+4k2=0，则 Δ=(4k2+2)2-4k2?4k2=4+16k2>0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1+x2=4+ 2k2 ， x1x2=4，所以 |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 ? (x1+x2)2-4x1x2= 1+k2 ? 4+ 2k2? ? 2-16 = 1+k2 ? 4+16k2k2 ，因为 PO⊥AB，所以直线 PO的方程为 y=- 1kx，因为 P是直线 x=- 23 上的动点， 所以 P - 23 ， 23k? ? ，所以 P到直线 l的距离 d= - 23k- 23k -2k? ?1+k2 = 23 ? |1+4k2||k| 1+k2 ，所以 S△ABP= 12 |AB|?d= 12 1+k2 ? 4+16k2k2 ? 23 ? |1+4k2||k| 1+k2 = 23 4+ 1k2? ? 32 > 163 ，综上可得， S△ABP≥ 163 ，故 △ABP的面积的最小值为 163 ，此时直线 l的方程为 x=2．【点评】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用弦长公式求出 AB? ? 以及点 P到直线 l的距离， 根据三角形的面积公式得出 S△ABP= 12 |AB|?d== 23 4+ 1k2? ? 32，考查了计算能力 ，分类讨论的思想 .13． (1)x23 +y2=1； (2) 0, 3? ? .【分析 】 (1)由已知条件可得出 b=1，利用斜率公式结合直线 GA与 GB的斜率之积为 - 13 可求得 a的值， 进而可得出椭圆 C的方程；(2)由题意可知，直线 MF1不与 x轴重合，可设直线 MF1:x=ty- 2， M x1,y1? ? ，延长 MF1交椭圆于另一点T x2,y2? ? ，将直线 MF1的方程与椭圆 E的方程联立，列出韦达定理，可得出 S四边形 F
1MNF2=S△MTF2关于 t的表达式，利用基本不等式以及不等式的基本性质可求得四边形 F1MNF2面积的取值范围．【解析】 (1)由已知可得： b=1， A -a,0? ? 、 B(a,0)，即可得 kAC?kBC= 1a ? - 1a? ? =- 13 ，解得 ： a2=3，所以椭圆 C的方程为 x23 +y2=1；(2)由 (1)知： F1 - 2,0? ? 、 F2 2,0? ? ，若直线 MF1与 x轴重合 ，此时 NF2也与 x轴重合，不合乎题意 .第 346页 共 377页
设直线 MF1:x=ty- 2， M x1,y1? ? ，延长 MF1交椭圆于另一点 T x2,y2? ? ，由 x23 +y2=1x=ty- 2??? 得 t2+3? ?y2-2 2ty-1=0， Δ=8t2+4 t2+3? ? =12 t2+1? ? >0，则 y1+y2= 2 2t3+t2y1?y2=- 10????? 得 y1-y2? ? = y1+y2? ? 2-4y1?y2 = 2 3 t2+1t2+3 ，由点 T与 N关于原点对称知 TF1? ? = NF2? ? ，所以， S四边形 F1MNF2=S△MTF2= 12 F1F2? ? ? y1-y2? ? = 2? 2 3 t2+1t2+3=2 6? t2+1t2+3 =2 6? 1t2+1+ 2t2+1 ，因为 t2+1+ 2t2+1 ≥2 t2+1? 2t2+1 =2 2(当 t=±1时 ，等号成立 )．所以 0< 1t2+1+ 2t2+1 ≤ 12 2 ．所以 0<2 6? 1t2+1+ 2t2+1 ≤ 3，即 S四边形 F1MNF2∈ 0, 3? ? ．【点评 】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1? ? 、 x2,y2? ? ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程， 得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算 Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、 x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解 .14． (1)x22 +y2=1； (2)2 2.【分析 】 (1)根据题意得到方程组 ca = 222a2c =4????? ，由此求解出 a,c的值，根据 b2=a2-c2求解出 b2的值，则椭圆的方程可知；(2)根据条件分类讨论：两条直线是否都有斜率；当其中一条直线的斜率不存在时，直接计算出面积并求最大值，当直线的斜率都存在时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理的形式表示弦长，根据面积公式表示出 面积，结合取值特点以及不等式求解出面积范围，从而得到四边形 ABCD的面积的最大值 .第 347页 共 377页
【解析 】 (1)因为 ca = 222a2c =4????? ，所以 a= 2c=1??? ，所以 a2=2b2=a2-c2=1??? ，所以 E的标准方程为 x22 +y2=1；(2)当两条直线的斜率一个不存在另一个为 0时， 不妨设 AC:x=t,BD:y=0，所以 AC? ? =2 1- t22 0≤t2<2? ? ， BD? ? =2a=2 2，所以 S四边形 ABCD= 12 AB? ? CD? ? = 12 ×2 2×2 1- t22 =2 2 1- t22 ，当 t=0时有最大值 2 2；当两条直线的斜率都存在时， 设 AC:y=k x-t? ? ,BD:y=- 1k x-t? ? ， A x1,y1? ? ,C x2,y2? ? ,B x3,y3? ?,D x4,y4? ? ，因为 y=k x-t? ?x2+2y2=2??? ，所以 1+2k2? ?x2-4tk2x+2t2k2-2=0，所以 x1+x2= 4tk21+2k2 ,x1x2= 2t2k2-21+2k2 ，所以 AC? ? = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 = 2 2 1+k2 ? 2-t2? ?k2+11+2k2 ，同理可得： BD? ? = 1+ 1k? ? 2 ? x3+x4? ? 2-4x3x4 = 2 2 1+ 1k? ? 2 ? 2-t2? ? 1k ? 2+11+2 1k? ? 2 =2 2 1+k2 ? 2-t2? ? +k2k2+2 ，所以 S四边形 ABCD= 12 AB? ? CD? ? =4 1+k2? ? 2-t2? ?k4+ 2-t2? ? 2+1? ?k2+ 2-t2? ?1+2k2? ? k2+2 ?因为 2-t2∈ 0,2? ? ，所以 4 1+k2? ? 2-t2? ?k4+ 2-t2? ? 2+1? ?k2+ 2-t2? ?1+2k2? ? k2+2 ? ≤4 1+k2? ? 2k4+5k2+21+2k2? ? k2+2 ? ，所以 S四边形 ABCD≤4 1+k2? ? 2k4+5k2+21+2k2? ? k2+2 ? = 4 1+k2? ?2k4+5k2+2 =2 2 2k4+4k2+22k4+5k2+2 <2 2，综上可知四边形 ABCD的面积的最大值为 2 2.【点评 】求解椭圆中过定点的两条互相垂直的弦所围成四边形面积的最值的思路：(1)先分析直线的斜率有不存在的情况，此时计算线段长度直接求解出面积；(2)再分析直线的斜率均存在的情况，此时设出其中一条直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式表示出对应的弦长，同理可求解出另外一条弦长，根据面积公式表示出对应的面积，再根据基本不等式或二次函数性 质或构造函数求解出面积的范围；(3)两种情况统一分析得到最终四边形面积的最值 .15． (1)x22 +y2=1； (2)3 64 .【分析 】 (1)根据已知条件可得出关于 a、 b、 c的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆 E的方程；(2)设点 A x1,y1? ? x1>0,y1>0 ? ，可得出点 B -x1,-y1? ? 、 C x1,-y1? ? ，设点 D x2,y2? ? ，写出直线 CD的方程 y=y1x1x-2y1，将直线 CD与椭圆 E的方程联立，列出韦达定理，可求得四边形 ABCD面积为 S=4x1y31，可得出S2=32 1-y21? ?y61，令 t=y21 ∈ 0,1? ? ，设 g t? ? =32 1-t? ?t3，利用导数求出 g t? ? 的最大值， 进而可得出四边形ABCD面积的最大值 . 第 348页 共 377页
【解析 】 (1)由已知条件可得 1a2 + 12b2 =1ca = 22c= a2-b2a>b>0????????? ，解得 a= 2b=1c=1??? ，因此 ，椭圆 E的方程为 x22 +y2=1；(2)设点 A x1,y1? ? x1>0,y1>0 ? ，则点 B -x1,-y1? ? 、 C x1,-y1? ? ，设点 D x2,y2? ? ，直线 AB的斜率为 k= y1x1 ，因为 AB?CD，则直线 CD的方程为 y+y1= y1x1 x-x1? ? ，联立 y+y1= y1x1 x-x1? ?x22 +y2=1????? ，消去 y并整理可得 1x21x2- 4y21x1 x+4y21 -1=0，由韦达定理可得 x1+x2= 4y21x11x21 =4x1y21，因为 AC? ? =2y1，所以四边形 ABCD的面积为 S=S△ABC+S△ACD= 12 AC? ? ? 2x1+x2-x1? ? = 12 ×2y1×x1+x2? ? =4x1y31，S2=16x21y61 =16 2-2y21? ?y61 =32 1-y21? ?y61，令 y21 =t∈ 0,1? ? ， g t? ? =32 1-t? ?t3，则 g? t? ? =96t2-128t3=32t2 3-4t? ? ，当 00，此时函数 g t? ? 单调递增；当 34
专题 37：圆锥曲线的统一定义参考答案1． A【分析】根据题设条件，化简得到 (x-1)2+(y-2)2 = |3x+4y+2|32+42 × 12 ，结合椭圆的定义 ，即可求解 .【解析】由 10 (x-1)2+(y-2)2 =|3x+4y+2|，即 (x-1)2+(y-2)2 = |3x+4y+2|32+42 × 12 ，其几何意义为点 P(x,y)到定点 (1,2)的距离等于到定直线 3x+4y+2=0的距离的 12 ，根据椭圆的定义， 可得点 P是以 (1,2)为焦点，以直线 3x+4y+2=0为准线的椭圆 .故选： A.2． B【分析】设双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1的右准线为 l，过 A、 B分别作 AM⊥l于 M， BN⊥l于 N， BD⊥AM于D，根据直线 AB的斜率为 3，得到 AD? ? = 12 AB? ? ，再利用双曲线的第二定义得到 AD? ? =1e AF??? ? - FB??? ?? ? ，又 AB? ? = AF??? ? + FB??? ? ，结合 AF?? =4FB??求解 .【解析 】设双曲线 C: x2a2 - y2b2 =1的右准线为 l，过 A、 B分别作 AM⊥l于 M， BN⊥l于 N， BD⊥AM于 D，如图所示：因为直线 AB的斜率为 3，所以直线 AB的倾斜角为 60°，∴∠BAD=60°， AD? ? = 12 AB? ? ，由双曲线的第二定义得： AM? ? - BN? ? = AD? ? = 1e AF??? ? - FB??? ?? ? = 12 AB? ? = 12 AF??? ? + FB??? ?? ? ，又 ∵AF?? =4FB??，∴ 3e FB??? ? = 52 FB??? ? ，∴e= 65故选： B【 点评】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的 第 350页 共 377页
能力， 属于中档题 .3． A【分析】先证明：当点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0c>0)，设 d是点 M到直线 l的距离，根据题意 ，所求轨迹就是集合 P= M MF? ?d = ca???? ? ? ? ，由此得 (x-c)2+y2a2c -x? ? = ca．将上式两边平方， 并化简得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．设 a2-c2=b2，就可化成 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)，这是椭圆的标准方程．故当点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0
所以 BN? ?a2c -xB =e，即 BN? ? =a-exB由焦半径公式可得， ΔABN的周长为AN? ? + BN? ? + AB? ? =xA+ p2 +a-exB+xB-xA=2+4- 12xB+xB=6+ 12xB，由 xB∈ 43 ,4? ? ，得到 6+ 12xB∈ 203 ,8? ? ，所以 ΔABN的周长的取值范围为 203 ,8? ? .故选： C.【点评 】本题考查抛物线的定义，椭圆焦半径公式，椭圆上点的范围，属于中档题 .5． A【分析】设 P(x0,y0),由题得 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,根据 PF1? ? =4PF2? ? 得 x0= 3a5e ≤a即得解 .【解析 】设 P(x0,y0)由题得 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,因为 PF1? ? =4PF2? ?所以 a+ex0=4a-4ex0,∴x0= 3a5e ≤a,∴e≥ 35 ,所以此椭圆的离心率 e的最小值为 35 .故选： A【 点评】本题主要考查椭圆的定义和离心率的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .6． B【分析】设 P x0,y0? ? ，根据椭圆的第二定义可得 |PF|x0+ 92 = 23 ，即 |PF|= 23x0+3，由此即可确定 |PF|的取值范围，即可求出 |PF|的最大值。【解析】椭圆 x29 + y25 =1的左准线方程为 x=- 92设 P x0,y0? ? ，则根据椭圆的第二定义可得 |PF|x0+ 92 = 23∴|PF|= 23x0+3∵-3≤x0≤3 第 352页 共 377页
∴-2≤ 23x0≤2∴1≤ 23x0+3≤5∴1≤|PF|≤5∴|PF|max=5故选： B【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆的第二定义，解题的关键是表达出焦半径． 7． B【解析】 分析： AF? ?,BF? ? 是焦半径， 故可用焦半径公式把 AF? ? BF? ?AF? ? + BF? ? 转化为 x1x2+ a4 x1+x2? ? + a216x1+x2+ a2 ，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值 .详解 ：设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，直线 l:y=k x- a4? ? =kx- ka4 .由 y=kx- ka4y2=ax??? 得到 k2x2- k2a2 +a? ? x+ k2a216 =0，故 x1+x2= a2 + ak2 ,x1x2= a216 ，所以AF? ? BF? ?AF? ? + BF? ? = x1+ a2? ? x2+ a2 ?x1+x2+ a2 = x1x2+ a4 x1+x2? ? + a216x1+x2+ a2 = a24 + a24k2a+ ak2 = a4 ，故选 B.点睛： 圆锥曲线中的定值问题，需要把目标代数式转化为关于 x1,x2(或 y1,y2)的代数式 (A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? 为直线与圆锥曲线的两个交点 )，通过联立方程组消元后利用韦达定理求定值 .8． C【解析】试题分析：由题意得，设 P(x,y)，因为动点 P到点 M -2,0? ? 和到直线 x=-2的距离相等 ，即 PA? ? =d，即 (x+2)2+y2 = x+2? ? ，化简得 y=0， 所以动点 P的轨迹是一条直线，故选 C.考点：轨迹方程的求解 .9． C【解析】试题分析：设椭圆上的点 P(x0,y0)，可知 PF1? ? =a-ex0,PF2? ? =a+ex0，因为 ΡΟ? ? 2= ΡF1? ? ? ΡF2? ? ，则有a2-e2x02=x02+y02=x02+b2 1- x02a2? ? ，解得 x0=± 2a2 ，因此满足条件的有四个点 ，故选 C．考点：新定义，椭圆的焦半径公式． 10． 4【分析】根据椭圆方程 x24 + y23 =1，设 M x1,y1? ? ,N x2,y2? ? ，由椭圆的第二定义得到 MF? ? =2- 12x1,NF? ? =2- 12x2，设 P m,n? ? ，然后根据外角平分线定理 ，由 MF? ?NF? ? = MP? ?NP? ? 求解 .【解析 】如图所示： 第 353页 共 377页
因为椭圆方程为 x24 + y23 =1，所以 a=2,b= 3,c=1,所以椭圆的右焦点是 F 1,0? ? ，所以离心率为 e= ca = 12 ，设 M x1,y1? ? ,N x2,y2? ? ，由椭圆的第二定义得：e= MF? ?x1- a2c? ? = NF? ?x2- a2c? ? ，所以 MF? ? =2- 12x1,NF? ? =2- 12x2，设 P m,n? ? ，由外角平分线定理得 MF? ?NF? ? = MP? ?NP? ? ，即 x1-mx2-m = 2- 12x12- 12x2 ，化简得 2 x1-x2? ? = 12m x1-x2? ? ，解得 m=4所以 P的横坐标为 4故答案为： 4【 点评】关键点点睛：本题关键是外角平分线定理的应用 .11． x-2y+4=0【分析】由抛物线的几何性质可得 ∠EAF的角平分线即为 EF的垂直平分线，求出 E、 F的坐标后可得该垂直平分线的方程 .【解析】由抛物线的几何性质可得 AE? ? = AF? ? ，故 ΔEAF为等腰三角形，故 ∠EAF的角平分线即为 EF的垂直平分线 .又 F 1,0? ? ,E -1,4? ? ，故 EF的中点坐标为 0,2? ? ，又 kEF= -42 =-2，故 EF的垂直平分线方程为： y-2= 12 x-0? ? 即 x-2y+4=0.故答案为： x-2y+4=0. 第 354页 共 377页
【点评 】本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时常利用这个性质实现两类距离之间的转化，本题属于中档题 .12． ± 3【分析 】设 l为椭圆的右准线，过 A、 B作 AA1， BB1垂直于 l，过 B作 BE⊥AA1于 E，根据椭圆的第二定义，转化求解即可．【解析】设 l为椭圆的右准线，过 A、 B作 AA1， BB1垂直于 l， A1， B1为垂足，过 B作 BE⊥AA1于 E，根据椭圆的第二定义，得|AA1|= AF? ?e ， |BB1|= BF? ?e ，∵AF?? =2FB??， ∴cos∠BAE= AE? ?AB? ? = BF? ?e3BF? ? = 13e = 12 ，∴tan∠BAE= 3．∴k=± 3．故答案为 ± 3【点评 】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力． 第 355页 共 377页
专题 38：圆锥曲线的新定义参考答案1． C【分析】求出满足条件 PF1? ?PF2? ? = 21 时的 PF1? ? 和 PF2? ? ，再求出 F1F2? ? ，验证 PF1? ? ， PF2? ? ， F1F2? ? 能否是三角形的三边长， 即可得．【解析】 PF1? ?PF2? ? = 21 ，则 PF1? ? =2PF2? ? ，若是椭圆 ，则 PF1? ? + PF2? ? =3PF2? ? =2a， PF2? ? = 2a3 ， PF1? ? = 4a3 ，若是双曲线， 则 PF1? ? - PF2? ? = PF2? ? =2a， PF1? ? =4a，A中椭圆， a=6,c=2， PF2? ? =4， PF1? ? =8， F1F2? ? =4，不存在 △PF1F2；B中椭圆， a=4,c=1， PF1? ? = 83 ， PF1? ? = 163 ， F1F2? ? =2，不存在 △PF1F2C中双曲线， a= 5,c=3，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是 c-a=3- 5< 2a3 ，PF2? ? =2 5， PF1? ? =4 5， F1F2? ? =6，构成 △PF1F2，存在“ Ω点”，D中双曲线， a=1， c=4， PF2? ? =2， PF1? ? =4， F1F2? ? =8，不存在 △PF1F2故选： C．【点评】本题考查新定义“ Ω点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的 P点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解． 2． B【分析】设点 P x,y? ? ，由 PO? ? 2= PF1? ? ? PF2? ? 得出关于 x、 y的等式， 由 y2=1- x24 ，求出方程的解 ，即可得出结论 .【解析】设点 P x,y? ? ，则 y2=1- x24 ， F1 - 3,0? ? 、 F2 3,0? ? ，PF1? ? = x+ 3? ? 2+y2 = x2+2 3x+3+1- x24 = 3x24 +2 3x+4=2+ 32 x，PF2? ? =4- PF1? ? =4- 2+ 3x2? ? =2- 3x2 ，由 PO? ? 2= PF1? ? ? PF2? ? ，得 x2+y2= 2+ 3x2? ? 2- 3x2 ? ，即 3x24 +1=4- 3x24 ，解得 x=± 2，此时 y=± 22 ，所以， 椭圆 C上有且只有 4个点是“★”点 .故选： B.【点评】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题 .3． B【分析】根据新定义“ δ和”，通过数形结合判断 (1)正确，通过研究函数最值对选项 (2)(3)(4)逐一判断即可 .【解析】 (1)当 x? ? + y? ? =1时， 点 P(x,y)的轨迹如图，其面积为 2，正确；第 356页 共 377页
(2)∵P是直线 2x-y-4=0上的一点， ∴y=2x-4，∴ x? ? + y? ? = x? ? + 2x-4? ? = 4-3x,x≤0,4-x,00，即直线与椭圆有公共点，即为“ A型直线”，联立 y=2和 x24 + y23 =1，显然无交点 ，故不是“ A型直线”，联立 y=-x+3和 x24+y23=1，消 y整理可得 7x2-24x+24=0，故 Δ<0，故不是“ A型直线”，联立 y=-2x+3和 x24 + y23 =1消 y整理可得 19x2-48x+24=0，故 Δ>0， 即直线与椭圆有公共点，即为“ A型直线”，故选： D【点评】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与 椭圆位置关系的判断，属于中等题 . 第 357页 共 377页
5． AC【 分析】利用曲率半径公式的定义， A中有圆上任一点 R?=R4 R2R4? ? 32 =R； B、 C中由椭圆在 (±a,0)， (0,±b)处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围； D中由公式得 R= a-834 +a43 - a-234? ? 32，构造 f(a)=a-834 +a43 - a-234 ，利用导数研究其单调性即可 ，进而可确定正确选项 .【解析】 A：由题设知：圆的方程可写为 x2R2 + y2R2 =1，所以圆上任一点 P x0,y0? ? 曲率半径为 R?=R4 x20+y20R4? ? 32 =R4 R2R4? ? 32 =R，正确 ；B、 C：由 x2a2 + y2b2 =1 a>0,b>0? ? 弯曲最大处为 (±a,0)，最小处为 (0,±b)，所以在 (±a,0)处有 R=a2b2 a2a4 + 0b4? ? 32 = b2a ，在 (0,±b)处有 R=a2b2 0a4 + b2b4? ? 32 = a2b ，即 R∈ b2a,a2b??? ? ? ? ? ，故 B错误 ， C正确；D：由题意， 12 ,y0? ? 处的曲率半径 R=a2 14a4 +y20? ? 32，而 y20 =1- 14a2 ，所以 R=a2 14a4 - 14a2 +1? ? 32 = a-834 +a43 - a-234? ? 32，令 f(a)= a-834 +a43 - a-234 ，则在 a>1上有 f?(a)= a-1136 (8a4+a2-4)>0恒成立 ，故 R在 a>1上随着 a的增大而增大，错误；故选： AC.【点评】由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数 研究其单调性，判断各项的正误 .6． BCD【分析】动点坐标为 x,y? ? ，根据题意可得曲线 C的方程为 x+1? ? 2+y2? ? ? x-1? ? 2+y2? ? =a4，对各个选项逐一验证 ，即可得出结论．【解析】由题意设动点坐标为 x,y? ? ，则 (x+1)2+y2 ? (x-1)2+y2 =a2，即 (x+1)2+y2? ? (x-1)2+y2 ? =a4，若曲线 C过坐标原点 0,0? ? ，将点 0,0? ? 代入曲线 C的方程中可得 a2=1与已知 a>1矛盾，故曲线 C不过坐标原点 ，故 A错误；把方程中的 x被 -x代换， y被 -y代换，方程不变，故曲线 C关于坐标原点对称，故 B正确；因为把方程中的 x被 -x代换，方程不变，故此曲线关于 y轴对称，把方程中的 y被 -y代换，方程不变，故此曲线关于 x轴对称，故曲线 C关于坐标轴对称，故 C正确；若点 P在曲线 C上，则 PF1? ? PF2? ? =a2，S△F
1PF2= 12 PF1? ? PF2? ?sin∠F1PF2≤ 12a2，当且仅当 ∠F1PF2=90°时等号成立，故 △F1PF2的面积不大于 12a2，故 D正确 . 第 358页 共 377页
故选： BCD.【点评】本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键， 属于中档题型 .7． BCD【分析】令 y=0，求出整点的坐标，可判断选项 A；利用已知和两点距离公式可判断选项 B；由曲线 C上关于y=x对称的两点都满足方程，可判断选项 C；联立直线 y=kx与曲线 C解出方程的根，可得实数 k的取值范围．【解析】 y=0时， x4=4x2， x=0或 2或 -2，三个整点 0,0? ? ， 2,0? ? ， -2,0? ? ， y≥1无解， ∴共有 3个整点 ， A错误，x2+y2= 4(x2-y2)x2+y2 ≤4，曲线 C上往取一点 p x,y? ? 到原点的距离 d= x2+y2 ≤2﹐ B正确；曲线 C上往取一点 M关于 y=x的对称点为 N， 设 N x,y? ? ，则 M y,x? ? ， M在曲线 C上， ∴(x2+y2)2=4(y2-x2)， C正确．y=kx与曲线 C一定有公共点 0,0? ? ， ∵y=kx与曲线 C只有一个公共点 ， (x2+y2)2=4(x2-y2)y=kx???则 x4(1+k2)=4x2(1-k2)， ∴1-k2≤0， ∴k≥1或 k≤-1， D正确故选： BCD8． 8π3【分析 】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而 求出其“中心投影点”构成的曲线的长度 .【解析】曲线 y2- x23 =1的渐近线方程为： y=± 33 x ，设渐近线与圆 x2+y2=4的交点分别为 A,C,B,D,如下图则曲线 y2- x23 =1上所有点的“ 中心投影点”构成的曲线为圆弧 AB?,CD?由题意 ∠AOx= π6 ，所以 ∠AOB= 2π3所以 AB?= 2π3 ×2= 4π3 ,则 AB?+CD?= 8π3故答案为： 8π39．②③【分析 】根据“友好点”的定义，根据逐项判断即可得到结果． 第 359页 共 377页
【解析 】定义点 P x,y? ? 的“ 友好点”为： P′ xx2+y2 , yx2+y2? ? ，即 xx2+y2? ? 2+ yx2+y2? ? 2=1， x≠0且y≠0 ．对于①， 取 A x,y? ? ， x≠0且 y≠0，则点 A的 “友好点”点 A′ xx2+y2 , yx2+y2? ? ，所以A′ xx2+y2 , yx2+y2? ? 的“ 友好点”是点 A′ xx2+y2 , yx2+y2? ? ，故①错误 ；对于②，设单位圆上任意一点 A cosθ,sinθ? ? ，所以 A的 “友好点”点 A′ cosθ,sinθ? ? ，所以 A′ cosθ,sinθ? ? 仍在在单位圆上， 故②正确；对于③，取 A x,y? ? ， x≠0且 y≠0，则点 A的 “友好点”点 A′ xx2+y2 , yx2+y2? ? ，若 A的 “友好点”点为 A，则 x= xx2+y2y= yx2+y2??????? ，可知 x2+y2=1， 所以点 A一定在单位圆上，故③正确；对于④，由“友好点”点的定义可知 x≠0且 y≠0，故 OA′? ? ≠0，故④错误．故答案为 ：②③．【点评】本题考查了新定义型问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10． (1)x24 + y22 =1， x2+y2=6； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)利用椭圆 C的长轴长是短轴长的 2 倍， 且经过点 ( 2,1)，列方程求出 a,b的值，从而可得答案；(2)讨论弦 AB垂直与不垂直于 x轴两种情况，不垂直时，设直线 AB的方程为 y=kx+m，与椭圆方程联立，利用点到直线距离公式、勾股定理求出弦 AB的长，利用韦达定理，结合 OM??? ?ON?? =0化简即可得答案 .【解析】 (1)由题意 a= 2b，2a2 + 1b2 =1，??? 解得 a=2， b= 2所以椭圆的标准方程为 x24 + y22 =1椭圆 C的“ 准圆”方程为 x2+y2=6(2)证明：①当弦 AB⊥x轴时，交点 M、 N关于 x轴对称，又 OM??? ?ON?? =0，则 OM⊥ON，可设 M(t,t)、 N(t,-t)， t24 + t22 =1得 |t|= 2 33此时原点 O到弦 AB的距离 d=|t|= 2 33 ，则 ，因此 |AB|=2 6- 43 = 23 42②当弦 AB不垂直于 x轴时 ，设直线 AB的方程为 y=kx+m，且与椭圆 C的交点 M x1,y1? ? 、 N x2,y2? ? ，联列方程组 y=kx+mx24 + y22 =1??? ，代入消元得： 2+4k2? ?x2+8kmx+4m2-8=0，由 x1+x2= -8km2+4k2 ,x1x2= 4m2-82+4k2 第 360页 共 377页
可得 y1y2= kx1+m? ? kx2+m ? =k2× 4m2-82+4k2 +km× -8km2+4k2 +m2= 2m2-8k22+4k2 ，由 OM??? ?ON?? =0得 x1x2+y1y2=0，即 4m2-82+4k2 + 2m2-8k22+4k2 = 6m2-8k2-82+4k2 =0，所以 m2= 43 k2+1? ?此时 △=32 4k2-m2+2? ? =32 83k2+ 23? ? >0成立，则原点 O到弦 AB的距离 d= |m|k2+1 = m2k2+1 = 43 = 2 33 ，则 |AB|=2 6- 43 = 23 42，综上得 |AB|= 23 42，因此弦 AB的长为定值 .【点评】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出 定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 .11． (1)x2+y2= 43 ； (2)OA?? ?OB?? =0； (3)证明见解析，定圆的方程为 x2+y2= 43 .【分析 】 (1)由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆 O的方程；(2)讨论直线 l的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求 OA?? ?OB?? ；斜率存在时，设 l:y=kx+t联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求 OA?? ?OB?? ；(3)设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0，讨论 OM,ON有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求 |OM|， |ON|， |MN|，由等面积法求 |OH|，即可证结论，并写出定圆方程 .【解析】 (1)由椭圆 C: x24 + y22 =1，知 a2=4,b2=2.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 O:x2+y2= 43 .(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2.直线 l为圆 O的切线，分直线 l的斜率存在和不存在两种情况讨论：①当直线 l的斜率不存在时，直线 l:x=± 23 .若 l:x= 23 ，由 x24 + y22 =1x= 23????? ，解得 x= 23y=± 23????? ，此时 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2= 43 - 43 =0.若 l:x=- 23 ，同理得 ： OA?? ?OB?? =0.②当直线 l的斜率存在时，设 l:y=kx+t.由 x24 + y22 =1y=kx+t??? ，得 (1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0，有 Δ=16k2t2-8(1+2k2)(t2-2)=8(4k2-t2+2)，又直线 l是圆 O的切线，故 |t|1+k2 = 23 ，可得 3t2=4k2+4.∴Δ>0，则 x1+x2=- 4kt1+2k2x1x2= 2t2-41+2k2????? ，而 y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2= t2-4k21+2k2 .∴x1x2+y1y2= 2t2-41+2k2 + t2-4k21+2k2 = 3t2-4k2-41+2k2 =0，即 OA?? ?OB?? =0.综上，恒有 OA?? ?OB?? =0. 第 361页 共 377页
(3)∵M,N是椭圆 C上的两个动点且 OM⊥ON，设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0.∴直线 OM,ON：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论 .若直线 ON的斜率不存在，即点 N在 y轴上，则点 M在 x轴上，有 x21=4,y22 =2.∴|OM|=2， |ON|= 2，且 |MN|= x21+y22 = 6，由 S△OMN= 12 |OM|?|ON|= 12 |OH|?|MN|，解得 |OH|= 23 .若直线 OM,ON的斜率都存在，设 OM:y=k1x，则 ON:y=- 1k1x.由 x24 + y22 =1y=k1x??? ，得 x21= 41+2k2y21 = 4k211+2k2??????? ，有 |OM|=2 1+k211+2k21 ；同理 ，得 |ON|=2 1+k212+k21 .于是， |MN|= |OM|2+|ON|2 =2 3(1+k21)2(1+2k21)(2+k21) .由 S△OMN= 12 |OM|?|ON|= 12 |OH|?|MN|，可得 |OH|= 23 .因此， 总有 |OH|= 23 ，即点 H在圆心为坐标原点 ，半径为 23 的圆上 .∴该定圆的方程为圆 x2+y2= 43 .【点评 】研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线 .12． (1)椭圆方程为 x23 +y2=1，“ 准圆”方程为 x2+y2=4； (2)证明见解析 .【分析】 (1)由已知 c= 2,a= 3，进而可得椭圆 C的方程和其 “准圆”方程；(2)①当直线 l1， l2中有一条斜率不存在时，分别求出 l1和 l2，验证命题成立；②当 l1， l2斜率存在时，设点 P(x0， y0)，其中 x20+y20 =4，联立过点 P(x0， y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由 Δ=0化简整理，可证得l1⊥l2；进而得出线段 MN为“准圆” x2+y2=4的直径，即线段 MN的长为定值．【解析】 (1)∵椭圆 C的一个焦点为 F 2,0? ?其短轴上的一个端点到 F的距离为 3.∴c= 2,a= 3，∴b= a2-c2 =1，∴椭圆方程为 x23 +y2=1，∴“准圆 ”方程为 x2+y2=4.(2)证明：①当直线 l1， l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1斜率不存在，则 l1： x=± 3，当 l1： x= 3 时， l1与 “准圆”交于点 ( 3， 1)， ( 3， -1)，此时 l2为 y=1(或 y=-1)，显然直线 l1， l2垂直；同理可证当 l1： x=- 3 时， 直线 l1， l2垂直．②当 l1， l2斜率存在时，设点 P(x0， y0)，其中 x20+y20 =4.设经过点 P(x0， y0)与椭圆相切的直线为y=t(x-x0)+y0， 第 362页 共 377页
∴由 y=t x-x0? ? +y0x23 +y2=1???得 (1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.由 Δ=0化简整理，得 (3-x20)t2+2x0y0t+1-y20 =0，∵x20+y20 =4， ∴有 (3-x20)t2+2x0y0t+(x20-3)=0.设 l1， l2的斜率分别为 t1， t2，∵l1， l2与椭圆相切， ∴t1， t2满足上述方程 (3-x20)t2+2x0y0t+(x20-3)=0，∴t1·t2=-1，即 l1， l2垂直．综合①②知， l1⊥l2.∵l1， l2经过点 P(x0， y0)，又分别交其“准圆”于点 M， N，且 l1， l2垂直．∴线段 MN为“准圆” x2+y2=4的直径， |MN|=4，∴线段 MN的长为定值．【点评】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关 系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下： 1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式；2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证； 4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为 0，也可先猜再证；5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解．13． (1)d P,C? ? =2 2； (2)4+π.【 分析】 (1)设 A y204 ,y0? ? 是抛物线 C:y2=4x上任意一点， 则 PA? ? = 116 y20 -4? ? 2+8，可求出答案 .(2)设线段 l的端点分别为 A， B，以直线 AB为 x轴， AB的中点为原点建立直角坐标系，则 A -1,0? ? ， B 1,0? ? ,则集合 D= Pd P,l? ? ≤1?? ? 所表示的图形是一个边长为 2的正方形和两个半径是 1的半圆， 从而可求解 .【解析】解： (1)设 A y204 ,y0? ? 是抛物线 C:y2=4x上任意一点， 则PA? ? = 3- y204? ? 2+ 0-y0? ? 2 = y4016 - 12y20 +9= 116 y20 -4? ? 2+8，因为 y0∈R，所以当 y0=±2时， PA? ? min=2 2.点 P 3,0? ? 到抛物线 C:y2=4x的距离 d P,C? ? =2 2.(2)设线段 l的端点分别为 A， B，以直线 AB为 x轴， AB的中点为原点建立直角坐标系，则 A -1,0? ? ， B 1,0? ? ，点集 D由如下曲线围成 ：l1:y=1， x? ? ≤1? ? ， l2:y=-1， x? ? ≤1? ? ，C1: x+1? ? 2+y2=1， x≤-1? ? ， C2: x-1? ? 2+y2=1， x≥1? ? ，∴集合 D= Pd P,l? ? ≤1?? ? 所表示的图形是一个边长为 2的正方形和两个半径是 1的半圆， ∴其面积为 S=22+π=4+π. 第 363页 共 377页
【点评 】本题考查抛物线上的点与已知点的距离的最值，考查新定义问题，考查数形结合思想，考查逻辑分析能力，属于中档题 .14． (1)x28 + y24 =1， x2+y2=12； (2)证明见解析 .【分析】 (1)本题可根据题意得出 e= ca = 22 以及 4a2 + 2b2 =1，然后通过计算得出 a、 b的值以及椭圆方程 ，最后根据 r= a2+b2 即可求出卫星圆的方程；(2)本题可先讨论 l1、 l2中有一条无斜率的情况，通过求出 l1与 l2的方程即可求出 MN? ? 的值， 然后讨论 l1、 l2都有斜率的情况，设点 P x0,y0? ? 以及经过点 P且与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t x-x0? ? +y0，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线 l1、 l2垂直 ，判断出此时线段 MN应为“卫星圆”的直径以及 MN? ? 的值， 最后综合两种情况即可得出结果 .【解析】 (1)因为椭圆 C的离心率为 22 ，点 2, 2? ? 在 C上，所以 e= ca = 224a2 + 2b2 =1????? ，解得 a=2 2， b=2，椭圆方程为 x28 + y24 =1，因为 r= a2+b2 =2 3，圆心为原点 O，所以卫星圆的方程为 x2+y2=12.(2)①当 l1、 l2中有一条无斜率时，不妨设 l1无斜率，因为 l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为 x=2 2 或 x=-2 2，当 l1方程为 x=2 2 时， 此时 l1与“卫星圆”交于点 2 2,2? ? 和 2 2,-2? ? ，此时经过点 2 2,2? ? 或 2 2,-2? ? 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=2或 y=-2，即 l2为 y=2或 y=-2，此时 l1⊥l2，线段 MN应为“卫星圆”的直径， MN? ? =4 3，②当 l1、 l2都有斜率时， 设点 P x0,y0? ? ，其中 x02+y02=12，设经过点 P x0,y0? ? 与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t x-x0? ? +y0，联立方程 y=t x-x0? ? +y0x28 + y24 =1??? ，消去 y得到 1+2t2? ?x2+4t y0-tx0? ?x+2 y0-tx0? ? 2-8=0，则 Δ= 64-8x02? ?t2+16x0y0t+32-8y02=0，t1?t2= 32-8y0264-8x02 = 32-8 12-x02? ?64-8x02 =-1， 满足条件的两直线 l1、 l2垂直，此时线段 MN应为“卫星圆”的直径， MN? ? =4 3，综合①②可知， MN? ? 为定值， MN? ? =4 3.【点评 】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查 第 364页 共 377页
韦达定理以及判别式的灵活应用， 考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题 .15． (1)不存在，理由详见解析； (2)4x-y-5=0； (3)证明见解析 .【分析】 (1)由题意可知，点 F为 ΔABC的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可； (2)设点 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? 、 C x3,y3? ? ，利用点差法求得 y1+y2=1， 根据重心的坐标公式，求出线段 AB的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线 AB的方程；(3)由 y1=- y2+y3? ? ，等式两边平方 ，利用基本不等式可得出 x1<2 x2+x3? ? ，结合等式 x2+x3=3-x1可求出 x1<2， 进而证明结论成立 .【解析】 (1)由题意可知，抛物线的标准方程为 y2=4x，由 FA?? +FB??+FC?? =0?，可知， F为 ΔABC重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 0,0? ? 和 1,2? ? ，另外的顶点为 x0,y0? ? ，由 0+1+x03 =10+2+y03 =0????? ，解得 ： x0=2y0=-2??? ，显然 y20 ≠4x0，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 0,0? ? 和 1,2? ? ；(2)设 A x1,y1? ? 、 B x2,y2? ? 、 C x3,y3? ? ，由 y21 =4x1y22 =4x2??? ，两式相减 ，得 y1-y2? ? y1+y2 ? =4 x1-x2? ? ，所以 y1-y2x1-x2 = 4y1+y2 =4，所以 y1+y2=1，由题意可知 ， y1+y2+y3=0，所以 y3=-1，则 x3= 14 ，由 x1+x2+x3=3，所以 x1+x2= 114 ，所以 ，线段 AB的中点 118 , 12? ? ，因此， 直线 AB的方程为 y- 12 =4 x- 118? ? ，整理得 4x-y-5=0.因此，直线 AB的方程 4x-y-5=0；(3)由 (2)可知 x1+x2+x3=3，则 x2+x3=3-x1，①由 y1+y2+y3=0， y1=- y2+y3? ? ，平方可得 y21 =y22 +2y2y3+y23 ≤2 y22 +y23? ? ，当且仅当 y2=y3时取等号 ，显然 y2≠y3，所以 y214 <2 y224 + y234? ? ，即 x1<2 x2+x3? ? ，将①代入可得 x1<2 3-x1? ? ，解得 x1<2，所以点 A的横坐标小于 2.【 点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基 本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题 .16． (1)l与椭圆 C相切．见解析 (2)逆命题：若直线 l： ax0x+by0y=1与椭圆 C相交，则点 N(x0， y0)在椭圆C的外部．是真命题．见解析 (3)为定值 0，见解析【分析】 (1) ax2+by2=1ax0x+by0y=1? aby02+a2x02? ?x2-2ax0x+1-by02=0??? ，由根的差别式能得到 l与椭圆 C相切．(2)逆命题：若直线 l： ax0x+by0y=1与椭圆 C相交，则点 N(x0， y0)在椭圆 C的外部．是真命题．联立方程得 aby02+a2x02? ?x2-2ax0x+1-by02=0．由 Δ=4a2x02-4a by02+ax02? ? 1-by02 ? >0，能求出 N(x0， y0)在椭第 365页 共 377页
圆 C的外部．(3)此时 l与椭圆相离， 设 M(x1， y1)， A(x， y)则 x= x1+λ1x01+λ1y= y1+λ1y01+λ1??????? 代入椭圆 C： ax2+by2=1，利用 M在 l上，得ax02+by02-1? ?λ12+ax12+by12-1=0．由此能求出 λ1+λ2=0．【解析】解： (1) ax2+by2=1ax0x+by0y=1? aby02+a2x02? ?x2-2ax0x+1-by02=0???即 ax2-2ax0x+ax02=0∴Δ=4a2x02-4a2x02=0∴l与椭圆 C相切．(2)逆命题：若直线 l： ax0x+by0y=1与椭圆 C相交，则点 N(x0， y0)在椭圆 C的外部．是真命题．联立方程得 aby02+a2x02? ?x2-2ax0x+1-by02=0则 Δ=4a2x02-4a by02+ax02? ? 1-by02 ? >0∴ax02-by02+b2y04-ax02+abx02y02>0∴by02+ax02>1∴N(x0， y0)在椭圆 C的外部．(3)同理可得此时 l与椭圆相离，设 M(x1， y1)， A(x， y)则 x= x1+λ1x01+λ1y= y1+λ1y01+λ1??????? 代入椭圆 C： ax2+by2=1，利用 M在 l上，即 ax0x1+by0y1=1，整理得 ax02+by02-1? ?λ12+ax12+by12-1=0同理得关于 λ2的方程，类似．即 λ1、 λ2是 ax02+by02-1? ?λ2+ax12+by12-1=0的两根∴λ1+λ2=0．【点评】本题是一道解析几何中的新定义题目，考查了四种命题以及命题真假的判断、直线与椭圆中的定值 问题，考查了学生审题、分析、解决问题的能力，综合性比较强，属于难题 .17． (1)是； (2)(2,2 2]； (3)是， 证明见解析 .【分析】 (1)直接判断即可，(2)由 (1)的方法判断，可得 y=-2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出 a的取值范围；(3)设参数方程满足以 MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点 (0， ±2 2)．【解析 】 (1)由题意得椭圆方程： x25 + y24 =1，所以 A(0， 2)，设 P(x， y)则 |PA|2=x2++(y-2)2=5? 1- y24? ? +(y-2)2=- 14y2-4y+9， y∈[-2， 2]，二次函数开口向下，对称轴 y=-8， y∈[-2， 2]上函数单调递减，所以 y=-2时，函数值最大，此时 P为椭圆的短轴的另一个端点， 第 366页 共 377页
∴椭圆是“ 圆椭圆”；(2)由 (1)的方法：椭圆方程： x2a2 + y24 =1， A(0， 2)设 P(x， y)，则 |PA|2=x2+(y-2)2=a2? 1- y24? ? +(y-2)2= -a24 +1? ? y2-4y+4+a2， y∈[-2， 2]，由题意得，当且仅当 y=-2时，函数值达到最大，讨论：①当开口向上时，满足： -a24 +1>0- -42 -a24 +1? ? >0??????? ? -2b矛盾，舍 )；②当开口向下时，满足 -a24 +1<0- -42 -a24 +1? ? ≤-2??????? ?2
专题 39：圆锥曲线的综合题参考答案1． C【解析】 设 C： x2a2 - y2a2 =1．∵抛物线 y2=16x的准线为 x=-4，联立 x2a2 - y2a2 =1和 x=-4得 A(-4， 16-a2)， B(-4， - 16-a2)，∴|AB|=2 16-a2 =4 3，∴a=2， ∴2a=4．∴C的实轴长为 4．2． A【分析 】根据双曲线的几何性质求出 a,c，再根据双曲线的定义得到 PF1? ? = PF2? ? +2，令 t= PF2? ? ∈[4,+∞)，则 PF1? ? 2PF2? ? 2+4 =1+ 4t+ 4t ，再根据单调性可求出结果 .【 解析】 (x-2)2+y2=9与 x轴交点的坐标分别为 -1,0? ? ， 5,0? ? ，故 a=1， c=5，因为 P为 C右支上任意一点， 根据双曲线的定义有 PF1? ? - PF2? ? =2a=2，即 PF1? ? = PF2? ? +2令 t= PF2? ? ∈[4,+∞)，则 PF1? ? 2PF2? ? 2+4 = (t+2)2t2+4 = t2+4t+4t2+4 =1+ 4t+ 4t ，因为 t+ 4t 在 [4,+∞)上为增函数 ，所以 t+ 4t ≥4+ 44 =5，所以 4t+ 4t ∈ 0, 45? ? ? ? ，所以 1+ 4t+ 4t ∈ 1, 95? ? ? ? ，即 PF1? ? 2PF2? ? 2+4 ∈ 1, 95? ? ? ? .故选： A3． y=± 2x【分析 】先将双曲线的方程和抛物线的方程联立得 y2a2 - x2b2 =1y2=2px??? ，消元化简得 a2x2-2pb2x+a2b2=0，设A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 x1+x2= 2pb2a2 ，再根据抛物线的定义得 AF? ? + BF? ? =x1+ p2 +x2+ p2 =x1+x2+p,代入已知条件 AF? ? + BF? ? =4OF? ? 可得 2b2a2 =1，从而可得双曲线的渐近线方程 .【 解析】由双曲线的方程 y2a2 - x2b2 =1 a>0,b>0? ? 和抛物线的方程 y2=2px联立得 y2a2 - x2b2 =1y2=2px??? ，消元化简得 a2x2-2pb2x+a2b2=0，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 x1+x2= 2pb2a2 ，由抛物线的定义得 AF? ? + BF? ? =x1+ p2 +x2+ p2 =x1+x2+p,又因为 AF? ? + BF? ? =4OF? ? ，所以 x1+x2+p=4× p2 ，所以 2pb2a2 +p=2p，化简得 2b2a2 =1，所以 a2b2 =2，所以双曲线的渐近线方程为 y=± 2x， 第 368页 共 377页
故答案为： y=± 2x.【点评 】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解与抛物线的定义的运用，关键在于联立方程得出关于交点的横坐标的韦达定理，再根据抛物线的定义转化抛物线上的点到焦点的距离，属于中档题。 4． 4 8517【分析 】由题知椭圆 M的方程为 x24 +y2=1，故设 A， B两点的坐标分别为 x1,y1? ? ， x2,y2? ? ，直线 l的方程为y=2x+m，与椭圆联立并结合弦长公式得 |AB|= 1+k2? ? x1-x2? ? = 4 517 17-m2，进而即可得答案 .【 解析】依题意，知双曲线 T的两焦点坐标为 (± 3,0)，离心率 e2= 31 = 3；从而知椭圆 M的两焦点 F1,2(± 3,0)，得半焦距 c= 3，又 e1e2= 32 ，得 e1= 32 = ca，即 a=2， 则 b= a2-c2 =1，所以椭圆 M的方程为 x24 +y2=1．设 A， B两点的坐标分别为 x1,y1? ? ， x2,y2? ? ，直线 l的方程为 y=2x+m；联立方程组 x2+4y2=4y=2x+m??? ，消去 y得 17x2+16mx+4 m2-1? ? =0，Δ=256m2-17×16 m2-1? ? >0，解得 - 17 0，则 y1+y2=- 2tt2+1y1y2=- 2t2+1?????F1A?? ???F1B?? =(x1+1)(x2+1)+y
1y2=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4= 2-2t2t2+1因为 F1A?? ?F1B?? =1，所以 2-2t2t2+1 =1，解得 t2= 13第 369页 共 377页
联立 x=ty+1x22 +y2=1??? ，得 (t2+2)y2+2ty-1=0， △=8(t2+1)>0设 C(x3,y3),B(x4,y4)，则 y3+y4= -2tt2+2y3y4=- 1t2+2?????SΔF1CD= 12 F1? F2 ? ? y3-y? 4 ? = 8(1+t2)t2+2 = 8× 4373 = 4 67【点评 】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．6． (1)y2=4x.(2)48.【分析】 (1)求得 K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得 MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=6，再由点到直线的距离公式即可求得 p=2，进而得到抛物线方程； (2)设出直线方程，运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值． 【解析】 (1)由已知得 K -p2 ,0? ? ,C 5,0? ? 设 MN与 x轴交于点 R， 由圆的对称性可知， MR? ? = 32 3.于是 CR? ? = 32 ，所以 ∠CMR=30°,∠MCR=60°，所以 CK? ? =6，所以 p=2.故抛物线 E的方程为 y2=4x.(2)设直线 AB的方程为 x=my+2，设 A= x1,y1? ? ,B= x2,y2? ? ，联立 y2=4xx=my+2??? 得 y2-4my-8=0，则 y1+y2=4m,y1y2=-8.∴ AB? ? = 1+m2 y1-y2? ? = 1+m2 ? 16m2+32=4 1+m2 ? m2+2设 G= x3,y3? ? ,D= x4,y4? ? ，同理得 GD? ? =4 1m? ? 2+1? 1m? ? 2+2，则四边形 AGBD的面积S= 12 AB? ? ? GD? ? =8 1+m2 ? 1m? ? 2+1? m2+2? 1m? ? 2+2=8 m2+ 1m2 +2? 2 m2+ 1m2? ? +5令 m2+ 1m2 =μ μ≥2? ? ，则 S=8 μ+2? ? 2μ+5 ? =8 2μ2+9μ+10S=8 2μ2+9μ+10 是关于 μ的增函数，故 Smin=48，当且仅当 m=±1时取得最小值 48.【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法，弦长公式法，因直线的方程是一 次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次 方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可 用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 7． (1)x22 +y2=1.(2)见解析【解析】 (1)∵等轴双曲线离心率为 2， ∴椭圆 C的离心率 e= 22 .∴e2= c2a2 = a2-b2a2 = 12 ， ∴a2=2b2.∵由 x-y+ 2=0与圆 x2+y2=b2相切， 得b=1， ∴a2=2. 第 370页 共 377页
∴椭圆 C的方程为 x22 +y2=1.(2)证明 ①若直线 AB的斜率不存在，设方程为 x=x0，则点 A(x0， y0)， B(x0， -y0)．由已知 y0-1x0 + -y0-1x0 =4，得 x0=- 12 .此时 AB方程为 x=- 12 ，显然过点 - 12 ,-1? ? .②若直线 AB的斜率存在 ，设 AB方程为 y=kx+m，依题意 m≠±1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 y=kx+mx22 +y2=1???得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.则 x1+x2=- 4km1+2k2 ， x1x2= 2m2-21+2k2 .由已知 k1+k2=4，可得 y1-1x1 + y2-1x2 =4，∴ kx1+m-1x1 + kx2+m-1x2 =4，即 2k+(m-1) x1+x2x1x2 =4，将 x1+x2， x1x2代入得 k- kmm+1 =2， ∴k=2(m+1)，∴m= k2 -1.故直线 AB的方程为 y=kx+ k2 -1，即 y=k x+ 12? ? -1.∴直线 AB过定点 - 12 ,-1? ? .综上， 直线 AB过定点 - 12 ,-1? ? .8． (1)见解析 (2)这样点 P存在， 其坐标为 ± 33 , 13? ? .【解析 】 (1)因为 y?=2x，设切点分别为 (x1,x21),(x2,x22)则 l1方程为 y-x21=2x1(x-x1)即 y=2x1x-x21 ①l2方程为 y=2x2x-x22②由 l1⊥l2得 2x12x2=-1即 x1x2=- 14 ，由① 、②联立得 yM=x1x2所以 yM=- 14 ，即点 M的纵坐标为定值 - 14 .(2)设 P(x0,x20)，则 C1在点 P处切线方程为： y=2x0x-x20代入 C2方程 4x2+y2-4=0得 4x2+(2x0x-x20)-4=0即 (4+4x20)x2-4x30x+x40-4=0设 A(x3,y3),B(x4,y4)则 x3+x4= x301+x20 ,x3?x4= x40-44+4x20Δ=16x60-16(1+x20)(x40-4)=16(4+4x20-x40)>0③第 371页 共 377页
由 (1)知 yM=- 14从而 y3+y42 =- 14 ，即 x0(x3+x4)-x20=-- 14进而得 x401+x20 -x20=- 14解得 x20= 13 ，且满足③所以这样点 P存在 ，其坐标为 ± 33 , 13? ? .9． (1)圆 O的方程为 x2+y2=1，曲线 Γ的方程为 x2+y2+xy=1 x,y∈ -2 33 ,2 33??? ? ? ? ?? ? ； (2)当 k=±1时 ，四边形 EMFN的面积最大值为 4 33 ； (3)证明见解析， 其焦点坐标为 F1 - 63 , 63? ? ， F2 63 ,- 63? ? .【解析 】 (1)由题意圆 O的半径 r= 212+ 3? ? 2 =1，故圆 O的方程为 x2+y2=1. 2分由 OC?? =xOA?? +yOB?? 得， OC?? 2= xOA?? +yOB??? ? 2，即 OC?? 2=x2OA?? 2+y2OB?? 2+2xyOA??? ? OB??? ?cos60°， 得x2+y2+xy=1 x,y∈ -2 33 ,2 33??? ? ? ? ?? ? 为曲线 Γ的方程 .(2)由 {y=kxx2+y2+xy=1 得 E 1k2+k+1 , kk2+k+1? ? ， F - 1k2+k+1 ,- kk2+k+1? ? ，所以 EF? ? =2 k2+1k2+k+1 ，同理 MN? ? =2 1k2 +11k2 - 1k +1 =2 k2+1k2-k+1 .由题意知 l1⊥l2，所以四边形 EMFN的面积 S= 12 EF? ? ? MN? ?.2S = k2+k+1k2+1 ? k2-k+1k2+1 = 1+ kk2+1? ? 1- kk2+1 ? = 1- k2k2+1? ? 2 = 1- 1k2+ 1k2 +2 ，∵k2+ 1k2 +2≥2 k2? 1k2 +2=4， ∴ 2S ≥ 1- 14 = 32 ,S≤ 4 33 .当且仅当 k2= 1k2 时等号成立， 此时 k=±1.∴ 当 k=±1时，四边形 EMFN的面积最大值为 4 33 .(3)曲线 Γ的方程为 x2+y2+xy=1 x,y∈ -2 33 ,2 33??? ? ? ? ?? ? ，它关于直线 y=x、 y=-x和原点对称，下面证明：设曲线 Γ上任一点的坐标为 P x0,y0? ? ，则 x02+y02+x0y0=1， 点 P关于直线 y=x的对称点为 P1 y0,x0? ? ，显然y02+x02+y0x0=1， 所以点 P1在曲线 Γ上，故曲线 Γ关于直线 y=x对称，同理曲线 Γ关于直线 y=-x和原点对称 .可以求得 x2+y2+xy=1和直线 y=x的交点坐标为 B1 - 33 ,- 33? ? ,B2 33 , 33? ?x2+y2+xy=1和直线 y=-x的交点坐标为 A1 -1,1? ? ,A2 1,-1? ? ，OA1? ? = 2， OB1? ? = 63 ， OA1? ? 2- OB1? ? 2 = 2 33 ， OA1? ? 2- OB1? ? 22 = 63 .第 372页 共 377页
在 y=-x上取点 F1 - 63 , 63? ? ,F2 63 ,- 63? ?下面证明曲线为椭圆：ⅰ )设 P x,y? ? 为曲线 Γ上任一点， 则PF1? ? + PF2? ? = x+ 63? ? 2+ y- 63? ? 2 + x- 63? ? 2+ y+ 63? ? 2= x2+y2+ 43 + 2 63 x-y? ? + x2+y2+ 43 - 2 63 x-y? ?= 1-xy+ 43 + 2 63 x-y? ? + 1-xy+ 43 - 2 63 x-y? ?= 73 -xy+ 2 63 x-y? ? + 73 -xy- 2 63 x-y? ?= 73 -xy+ 2 63 x-y? ? + 73 -xy- 2 63 x-y? ? +2 73 -xy? ? 2- 2 63 x-y? ???? ? ? ? ? 2 =143 -2xy+2 xy+ 53? ? 2= 143 -2xy+2 xy+ 53? ? (因为 xy? ? ≤ 43 ).即曲线 Γ上任一点 P到两定点 F1 - 63 , 63? ? ,F2 63 ,- 63? ? 的距离之和为定值 2 2.ⅱ )若点 P到两定点 F1 - 63 , 63? ? ,F2 63 ,- 63? ? 的距离之和为定值 2 2，可以求得点 P的轨迹方程为 x2+y2+xy=1(过程略 ).故曲线 Γ是椭圆，其焦点坐标为 F1 - 63 , 63? ? ,F2 63 ,- 63? ? .10． (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析 .【分析 】 (1)根据几何性质，得出点 M的轨迹是以 F， C为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得标准方程；(2)设直线 GH的方程为 x=my+4， G x1,y1? ? ， H x2,y2? ? ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，写出 AG方程，求得 N点坐标，再写出 NH方程，令 x=2代入方程，结合韦达定理的结论求得 y=0，完成证明．【解析】 (1)由圆 x-1? ? 2+y2=16， 可得圆心 C 1,0? ? ，半径 r=4，因为 FC? ? =2<4，所以点 F在圆 C内 ，又由点 M在线段 PF的垂直平分线上，所以 MF=MP，所以 MC+MF=MP+MC=PC=4，由椭圆的定义知，点 M的轨迹是以 F， C为焦点的椭圆，其中 a=2， c=1， b2=3，所以点 M的轨迹方程为 x24 + y23 =1.(2)设直线 GH的方程为 x=my+4， G x1,y1? ? ， H x2,y2? ? ， A -2,0? ? ， B 2,0? ? ，将 x=my+4代入 x24 + y23 =1，得 3m2+4? ?y2+24my+36=0，y1+y2= -24m3m2+4 ， y1y2= 363m2+4 ， 第 373页 共 377页
直线 AG的方程为 y= y1x1+2(x+2)，令 x=1得 y= 3y1x1+2 ，即 N 1, 3y1x1+2? ? ，NH的直线方程为 y= 3y1x1+2 -y21-x2 (x-1)+ 3y1x1+2 ，x=2代入得 y= 3y1x1+2 -y21-x2 + 3y1x1+2 = 3y1-y2 x1+2? ? +3y1 1-x2? ?1-x2? ? x1+2 ?= 3y1-y2(my1+6)+3y1(-3-my2)(1-x2)(x1+2) = 4my1y2+6(y1+y2)(x2-1)(x1+2) = 4m× 363m2+4 +6× -24m3m2+4(x2-1)(x1+2) =0，所以直线 NH过定点 B(2,0)．【点评】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中直线过定点问题，解题关键是掌握椭圆的定义，艇椭圆定义求得椭 圆方程，对定点问题，采取设而不的思想方法，即设直线方程，设交点坐标 G(x1,y1),H(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程由韦达定理得 y1+y2,y1y2，求出动直线 NH的方程，代入定点坐标结合韦达定理的结论完成证明．11． (1)x24 + y23 =1； (2)[12,+∞).【分析】 (1)先运用椭圆的定义求出 a，根据抛物线，可得 c，进一步就可求出椭圆方程；(2)先将 |AB||MN| 化简为 y1-y2? ?xM-0? ? ，然后用 m表示出来 ，再求范围即可 .【解析】 (1)由点 P在抛物线 E上知， x0= 23 ，则 P到抛物线准线的距离为 53 ，所以 |PF|= 53 ，设椭圆左焦点为 F1，则 PF1= 53? ? 2+ 2 63? ? 2 = 73 ，∴2a= 53 + 73 =4， a=2，又 c=1， ∴b= 3，椭圆 C的方程为 x24 + y23 =1；(2)设直线 l的方程为 x=my+1，与椭圆 C的方程联立得 3m2+4? ?y2+6my-9=0，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，则 y1+y2= -6m3m2+4 ， y1y2= -93m2+4 ，由 AB⊥MN知 |AB||MN| = y1-y2? ?xM-0? ? ，y1-y2? ? = y1+y2? ? 2-4y1y2 = 12 m2+13m2+4 ，设 AB中点坐标为 x0,y0? ? ，则 y0= y1+y22 = -3m3m2+4 ， x0=my0+1= 43m2+4 ，故 AB中垂线方程为 y+ 3m3m2+4 =-m x- 43m2+4? ? ，令 y=0得 xM= 13m2+4 ，∴ |AB||MN| =12 m2+1∈[12,+∞)．【点评】关键【点评】解决本题的关键，一是定义的运用，二是对 |AB||MN| 的化简与求范围 .12． (1)x+2y+1=0； (2) 510 , 12??? ? ? ? ? .【分析 】 (1)设直线 l1： y+1=k(x-1)，与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可 第 374页 共 377页
求得直线的方程．(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，求得直线 l1:y1y= x+x12 ，直线 l2:y2y= x+x22 ，得到点 M 0,y12? ? ， N 0,y22? ? ．表示出直线 AB方程 ，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示 |MN||AB| ，可求得范围．【 解析】 (1)由题意知直线 l1， l2的斜率一定存在，设直线 l1： y+1=k(x-1)，与抛物线方程联立，得 ky2-y-k-1=0．由 △=1+4k(k+1)=0，得 k=- 12 ，则 l1的方程为 y= 12x- 12 ．(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，设直线 l1： y-y1=k x-x1? ? ，与抛物线方程 y2=x联立 ，得 ky2-y+y1-y12k=0．由 Δ=1-4k y1-y12k? ? =0 ，解得 k= 12y1 ，所以直线 l1:y1y= x+x12 ，同理得直线 l2:y2y= x+x22 ，则M 0,y12? ? ， N 0,y22? ? ．设点 P(x0， y0)，代入可得 y1y0= x0+x12y2y0= x0+x22????? ，则直线 AB方程为 y0y= x0+x2 ．与抛物线方程联立， 得 y2-2y0y+x0=0，则有 y1+y2=2y0， y1y2=x0．则 |MN|= 12 |y1-y2|， |AB|= 4y20 +1|y1-y2|，所以 |MN||AB| = 12 4y20 +1 ．又点 P在圆 (x+2)2+y2=1上， 所以 -1≤y0≤1，即 0≤y02≤1，所以 |MN||AB| = 12 4y20 +1 ∈ 510 , 12??? ? ? ? ? .所以 |MN||AB| 的取值范围为 510 , 12??? ? ? ? ? .【点评 】方法【点评】 (1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x (或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．有时若直线过 x轴上的一点，可将直线设成横截式 .13． (1)x24 + y23 =1； (2)证明见解析【分析 】 (1)由已知可得 MC2? ? + MC1? ? =4，可判断点 M在以 C1,C2为交点的椭圆上，即可求出方程；(2)将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出 AG? ? = 12 1+k23+4k2 ，同理可得 AH? ? = 12k 1+k24+3k2 ，由已知可得 4k3-6k2+3k-8=0，利用导数结合零点存在性定理即可证明 .【解析】 (1)∵C2N??? =2C2P??? ， ∴P是 C2N的中点， ∵MP?? ?C2N??? =0， ∴MP⊥C2N，∴点 M在 C2N的垂直平分线上， ∴|MN|= MC2? ? ，∵|MN|+MC1? ? = MC2? ? + MC1? ? =4>2，∴点 M在以 C1,C2为交点的椭圆上， 且 a=2,c=1，则 b= 3，故点 M的轨迹方程为 x24 + y23 =1；(2)可得直线 AG的方程为 y=k(x+2)(k>0)，与椭圆方程联立可得 3+4k2? ?x2+16k2x+16k2-12=0，第 375页 共 377页
设 G x1,y1? ? ，则 x1?(-2)= 16k2-123+4k2 ，可得 x1= 2 3-4k2? ?3+4k2 ，则 AG? ? = 1+k2 x1+2? ? = 12 1+k23+4k2 ，由题可得， 直线 AH的方程为 y=- 1k(x+2)，故同理可得 AH? ? = 12k 1+k24+3k2 ，由 2AG? ? = AH? ? 可得 23+4k2 = k4+3k2 ，即 4k3-6k2+3k-8=0，设 f(t)=4t3-6t2+3t-8，则 k是 f t? ? 的零点，f?(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0，则 f t? ? 在 0,+∞? ? 单调递增，又 f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0，因此 f t? ? 在 0,+∞? ? 有唯一零点， 且零点 k在 3,2? ? 内， 即 3
整理得 3m+2=0， ∴m=- 23 ，∴直线 l恒过定点 0,- 23? ? ．【点评 】关键点【点评】本题考查双曲线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，本题以圆锥曲线为背景，解 题的关键是掌握双曲线方程的求法、椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，体现了数学运算和逻辑推 理的核心素养．15． x=-2或 x=± 3y+1【分析 】根据题意设 l的方程为 x=ky+a与双曲线方程联立，由韦达定理可得点 T的坐标，代入圆的方程得到关系 k2=a+2，由 CT⊥l可得答案 .【解析】圆 x2+y2+2x=0化为 x+1? ? 2+y2=1其圆心为 C -1,0? ? ，半径为 1.根据题意直线 l与 x轴不平行，设 l的方程为 x=ky+a由 x=ky+ax2-y2=1??? ，可得 k2-1? ?y2+2kay+a2-1=0显然 k2-1≠0，所以 yT= yA+yB2 =- akk2-1所以 xT=kyT+a=- ak2-1 ，即 T - ak2-1 ， - akk2-1? ?由点 T在圆上， - ak2-1? ? 2+ - akk2-1? ? 2+ a1-k2 =0，化简可得 k2=a+2由条件可得 CT⊥l，当直线 l的斜率不存在时， k=0，则 a=-2，此时直线 l的方程为： x=-2当直线 l的斜率存在时， k≠0 ，则 kCT?kl=-1，即 - akk2-1 -0- ak2-1 +1 × 1k =-1，化简得 k2=2a+1，又 k2=a+2，则 2a+1=a+2，所以 a=1,k=± 3此时直线 l的方程为： x=± 3y+1，【点评 】关键【点评】本题考查两直线垂直的性质和直线与双曲线的位置关系，解答本题的关键是由直线方程与双曲线方程联立得到 T - ak2-1 ， - akk2-1? ? ，由 CT⊥l可得答案，属于中档题 .第 377页 共 377页
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