粘性流体动量方程（NS方程）推导

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    接着推导粘性流体的动量守恒方程，也叫NS方程。

    动量守恒定律也可以描述为：流进控制体的动量和流出控制体的动量的差值与作用在控制体的体积力（对于粘性流体，通常用体积力）之和等于控制体的动量变化率，这里动量流量为标量，规定流入控制体为正，流出控制体为负，动量变化率在数值上等于合力。

    考虑如下控制体，粘性流体和理想流体的区别是表面力除了受压力外，还受切向力的作用。我们做些约定，用τij表示表面应力，其中第一个下标i代表应力所在平面的外法线方向，第二个下标j代表应力的方向，例如τxy表示作用在与x轴垂直的平面上y方向的切应力；τxx表示作用在与x轴垂直的平面上x方向的切应力，也就是正应力，参考材料力学，通常也把这个应力标作σxx。根据切应力互等定律，互换下标的每一对应力是相等的，即τij=τji，相关的证明过程可以翻阅材料力学教程。另外，我们将应力的增量放在坐标轴的正向上。

控制体的力和应力状态如下图所示，从视图上看，立方体各对面我们命名为前-后（法向为y）；下-上（法向为z）；左-右（方向为x）；

    接下来我们根据以上的受力状态分别计算三个方向上的合力。

X方向动量方程

    所有力和应力中在x方向的分量包括下图的红色标识，所有分量之和为：

    接着，计算控制体x方向上的动量流量差值。动量流量定义为：

    对于控制体，质量通量来自于六个面，动量均指向x方向，亦即速度在x的分量方向，如下图。故动量流量差值为：

    X方向的动量变化率为：

    于是根据动量守恒定律，可以得到x方向上的动量方程：

    整理得：

Y方向动量方程

    所有力和应力中在y方向的分量包括下图的红色标识，所有分量之和为：

    接着，计算控制体y方向上的动量流量差值。动量流量定义为：

    对于控制体，质量通量来自于六个面，动量均指向y方向，亦即速度在y的分量方向，如下图。故动量流量差值为：

    y方向的动量变化率为：

    于是根据动量守恒定律，可以得到y方向上的动量方程：

    整理得：

  

  Z方向动量方程

    所有力和应力中在z方向的分量包括下图的红色标识，所有分量之和为：

    接着，计算控制体z方向上的动量流量差值。动量流量定义为：

    对于控制体，质量通量来自于六个面，动量均指向z方向，亦即速度在z的分量方向，如下图。故动量流量差值为：

    z方向的动量变化率为：

    于是根据动量守恒定律，可以得到y方向上的动量方程：

    整理得：

    综上，获得x、y、z三个方向的动量方程组：

    显然，上述方程数量小于未知数的数量，方程组不封闭，无解。需要引入其他的方程才能使方程组封闭，在上述方程组的基础上引入了以下本构方程，也就是将应力和速度建立关系。

    于是联立方程组（10）和（11），可以得到完整形式的NS方程组：

    对NS方程组（12）的左边进一步求偏导。

    根据连续性方程，红色部分实际上等于0，于是方程组左边整理为：

    于是，最终的NS方程为：

    我们再引入几个符号、算子：

    于是，NS方程组还可以表示为：

    常黏度（μ=const）条件，NS方程组（13）的右边可以整理为：

    于是，常黏度的NS方程矢量形式为：

    对于不可压缩流体，方程红色部分等于0，NS方程矢量形式为：

    至此，NS方程推导完毕。值得注意的是，将方程（12）右边的切应力相关项去掉，只留下体积力和压力项，得到的方程就是理想流体的动量守恒方程，因为理想流体只有压力，没有切应力。