2023年中考数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在下列六个数中：0，
A．2个B．3个
，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（
C．4个
）
D．5个
）
2．（4分）如图所示几何体的左视图正确的是（
A．
3．（4分）已知函数y＝
为（
A．0
）
B．C．D．
，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值
B．1
）
C．2 D．3
4．（4分）下面命题正确的是（
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
5．（4分）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待
救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立
即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时
间为（）
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A．小时
（
B．小时
+
C．小时
）
D．小时
6．（4分）估计
A．5和6
）的值在哪两个连续整数之间（
C．7和8B．6和7 D．8和9
7．（4分）一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，
在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为
（）
B．10x≥120
D．10x﹣3（30﹣x）≥120
）
A．10x﹣（30﹣x）≤120
C．10x＞120
8．（4分）根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（4分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”
的个数为a3，…，以此类推，则+ + +…+的值为（）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与
AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为
（）
第2页（共32页）
A．1 B．C．D．
11．（4分）“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利
用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，
坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，
则大金鹰AB的高度约为（
≈2.05，结果保留一位小数）
）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°
A．37.3 B．37.2
+
C．39.3 D．39.2
12．（4分）关于x的分式方程＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组
有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（
A．﹣16 B．﹣12 C．﹣10
）
D．﹣6
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公
里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为元．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分
别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分
的面积为．（结果保留π）
15．（4分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有
第3页（共32页）
红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球只．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连
接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值
为．
17．（4分）上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次
在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，
小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑
速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步
时间x（单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比
赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．
18．（4分）某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单
价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，
其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C
饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增
加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按
某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一
个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收
入是元．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）计算：
第4页（共32页）
（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）
（2）（﹣x+2）÷
20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC
于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．
21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，
决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班
48名学生．请按要求回答下列问题：
收集数据
（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的
有．（只要填写序号即可）
①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级
12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．
整理数据
（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不
完整）如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为
②估计全年级A、B类学生大约一共有
成绩（单位：分）频数
A类（80～100）
频率
0.5
、；
名．
第5页（共32页）
B类（60～79）
C类（40～59）
D类（0～39）
分析数据
16
8
0.25
（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对
比，得下表：
学校
第一中学
第二中学
平均数（分）
71
71
极差（分）
52
80
方差
432
497
A、B类的频率和
0.75
0.82
你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．
22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家
人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购
进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子
装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完
毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，
（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？
（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销
期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批
售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销
售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活
动共获利5200元，求a的值．
23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|
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为点P到坐标原点O的“折线距离”．
（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝；
（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，
求出P的坐标；
（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条
件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．
24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我
们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，
b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如
计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）下列等式或命题中，错误的是
A．i4＝1
B．复数（1+i）2的实部为0
C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i
D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1
（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；
②（1+2）3（1﹣2i）3．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．
（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；
（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．
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26．（8分）综合与探究：
如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴
上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x
轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于
点H．
（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F
（点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．
①点G的纵坐标用含m的代数式表示为
论；
；
②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结
③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与
△FHC全等，请直接写出点N的坐标．
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2023年中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在下列六个数中：0，
A．2个B．3个
，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（
C．4个D．5个
）
【分析】根据分数的定义解答即可．
【解答】解：在下列六个数中：0，
0.101001，﹣10%共3个．
故选：B．
2．（4分）如图所示几何体的左视图正确的是（）
，，0.101001，﹣10%，5213中，分数有，
A．B．C．D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左
视图中．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：
故选：A．
3．（4分）已知函数y＝
为（
A．0
）
B．1 C．2 D．3
，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值
【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y
＝3与两抛物线有三个交点，则得到k＝3．
【解答】解：如图，
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当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，
而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），
所以k＝3．
故选：D．
4．（4分）下面命题正确的是（
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
）
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选：D．
5．（4分）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待
救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立
即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时
间为（）
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A．小时B．小时C．小时D．小时
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．设CD＝x海里．解Rt△CAD，得
出AD＝
＝20（
求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．
由题意，得∠CAD＝30°，设CD＝x海里．
在Rt△CAD中，∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2x海里，AD＝CD＝x海里．
x海里．解Rt△CBD得出BD＝x海里．根据AD﹣BD＝AB列出方程
﹣1），求出x＝20，那么BC＝CD＝20
x﹣x
海里，再利用时间＝路程÷速度
在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x海里．
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝20（﹣1），
解得x＝20，
∴BC＝CD＝20海里，
∵救援艇的速度为30海里/小时，
∴救援艇到达C处所用的时间为
故选：C．
＝（小时）．
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6．（4分）估计
A．5和6
（+）的值在哪两个连续整数之间（
C．7和8
）
D．8和9
的范围即可求解．
B．6和7
【分析】先根据二次根式的运算性质把原式化简，再估算
【解答】解：
∵
∴
故（+
（
，
，
）的值在7和8两个整数之间．
+）＝+3，
故选：C．
7．（4分）一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，
在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为
（）
B．10x≥120
D．10x﹣3（30﹣x）≥120
A．10x﹣（30﹣x）≤120
C．10x＞120
【分析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小亮答题所得
的分数大于等于120分，列出不等式即可．
【解答】解：设他答对了x道题，根据题意可得：
10x﹣3（30﹣x）≥120．
故选：D．
8．（4分）根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数
即可求得y的值．
【解答】解：∵x＝﹣2，不满足x≥1
∴对应y＝﹣x+5，
故输出的值y＝﹣x+5＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6．
故选：B．
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9．（4分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”
的个数为a3，…，以此类推，则+ + +…+的值为（）
A．B．C．D．
【分析】观察图形，根据各图形中“●”个数的变化可找出变化规律“an＝n（n+2）”，
再将其代入（+ + +…+）中即可求出结论．
【解答】解：观察图形，可知：a1＝2+1＝3＝1×3，a2＝2+3+2+1＝8＝2×4，a3＝
2+3+4+3+2+1＝15＝3×5，a4＝2+3+4+5+4+3+2+1＝24＝4×6，…，
∴an＝n（n+2），
∴+ + +…+＝+ +
），
+…+，
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝×（1+﹣﹣
＝×
＝．
，
），
故选：A．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与
AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为
（）
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A．1 B．C．D．
【分析】连结OE，OF，则四边形OFCE为正方形，可证明△AFG∽△ACB，可求出OG
长，证明△OGP∽△ABC可求出OP的长．
【解答】解：连结OE，OF，
∵⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∵OE＝OF，
∴四边形OFCE为正方形，
设FG＝x，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴OG＝，
∵∠OGP＝∠AGF＝∠ABC，
∴△OGP∽△ABC，
∴，
∴
∴
，
．
故选：B．
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11． （ 4 分） “大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山 671 米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利
用周末去测量大金鹰的大致高度． 大金鹰是雄踞在一人造石台上， 石台侧面 BC 长 15 米，
坡度 i＝ 1： 0.75，小星站在距离 C 点 16 米的 D 点，测得大金鹰顶部 A 的仰角为 64°，
则大金鹰 AB 的高度约为 （
≈ 2.05，结果保留一位小数）
） 米． （参考数据： sin64°≈ 0.90， cos64°≈ 0.44， tan64°
A． 37.3 B． 37.2 C． 39.3 D． 39.2
【分析】延长 AB 交 DC 的延长线于 H，根据坡度的概念分别求出 CH、 BH，根据正切的
定义求出 AH，结合图形计算得到答案．
【解答】解：延长 AB 交 DC 的延长线于 H，
则 AH⊥ DC，
设 CH＝ 3x 米，
∵石台侧面 BC 的坡度 i＝ 1： 0.75，
∴ BH＝ 4x 米，
在 Rt△ BCH 中， BC2＝ CH2+BH2，即 152＝（ 3x） 2+（ 4x） 2，
解得， x＝ 3，
则 CH＝ 3x＝ 9， BH＝ 4x＝ 12，
∴ DH＝ DC+CH＝ 25，
在 Rt△ ADH 中， tan∠ ADH＝ ，
∴ AH＝ DH?tan∠ ADH≈ 25× 2.05＝ 51.25，
∴ AB＝ AH﹣ BH＝ 39.25≈ 39.3，
故选： C．
第15页（共32页）
12．（4分）关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组
有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（
A．﹣16 B．﹣12 C．﹣10
）
D．﹣6
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出
a＞﹣5，找出﹣5＜a＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：解分式方程得x＝
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且≠4，
，
解得：a＜2且a≠1，
解不等式
∵不等式组有解，
∴a+5＞0，
解得：a＞﹣5，
综上，﹣5＜a＜2，且a≠1，
则满足上述要求的所有整数a的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣10，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公
里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为7.2×1010元．
，得：x≤a+5，
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，
据此判断即可．
第16页（共32页）
【解答】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010．
故答案为：7.2×1010．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分
别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分
的面积为2﹣π．（结果保留π）
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝
120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即
可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝AB＝1，
由勾股定理得，OB＝
∴AC＝2，BD＝2，
﹣×2＝2﹣π，
＝，
∴阴影部分的面积＝×2×2
故答案为：2﹣π．
15．（4分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有
红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：设袋中共有小球只，
根据题意得＝，解得x＝10，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连
第17页（共32页）
10只．
接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值
为．
【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠
GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE
＝FG，得出四边形AFGE是平行四边形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，
则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝
果．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠GFE，
由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AE＝FG，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，
∴∠EGF＝∠AFB，
设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，
在Rt△ABF中，cos∠AFB＝
∴cos∠EGF＝，
故答案为：．
＝＝，
＝，即可得出结
第18页（共32页）
17．（4分）上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次
在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，
小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑
速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步
时间x（单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比
赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．
【分析】小飞全程匀速，速度为10200÷34＝300米/分，经过2分小飞追上小林，因此
速度差为200÷2＝100米/分，小林的速度为300﹣100＝200米/分，小林15分钟行15×
200＝3000米，15分钟以后的速度为200+40＝240米/分，以后行至C地所用时间为（10000
﹣3000）÷240＝分，因此行完全程的时间为15+＝分．
【解答】解：小飞的速度：10200÷34＝300米/分，
速度差为：200÷2＝100米/分，
小林的原速度为300﹣100＝200米/分，
小林后速度为：200+40＝240米/分，
小林前15分钟行驶的路程200×15＝3000米，
小林行完剩下路程需要时间（10000﹣3000）÷240＝
因此小林从出发到完成比赛，共用时15+
故答案为：．
＝分，
分，
18．（4分）某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单
第19页（共32页）
价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，
其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C
饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增
加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按
某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一
个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收
入是760元．
【分析】设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x
瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：6x（瓶），3.2x（瓶），1.5x（瓶），
设变化了y元，得10.1x+y＝403，其中x为整数，即可求得y的值，进而求得工作日销
售额．
【解答】解：设C饮料数量工作日时有x瓶，
根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x瓶、2x瓶，
A、B、C三种饮料周六数量分别为：
4x（1+50%）＝6x（瓶），
2x（1+60%）＝3.2x（瓶），
x（1+50%）＝1.5x（瓶），
∴工作日钱数：2×4x+3×2x+5x＝19x（元），
周六钱数：2×6x+3×3.2x+5×1.5x＝29.1x（元），
当不发生任何故障时，多出29.1x﹣19x＝10.1x（元），
其中x为整数，
由于发生了故障，周六的销售额发生了变化，
设变化了y元，
则10.1x+y＝403，
其中x为整数，
y＝1、2、3、﹣1、﹣2、﹣3，
得y＝﹣1时，x＝40，
所以工作日销售额为：19×40＝760（元）．
故答案为760．
三．解答题（共8小题，满分78分）
第20页（共32页）
19． （ 10 分）计算：
（ 1） （ x+2y） 2﹣（ x﹣ y） （ x﹣ 4y）
（ 2） （ ﹣ x+2）÷
【分析】 （ 1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项
即可得；
（ 2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解： （ 1）原式＝ x2+4xy+4y2﹣（ x2﹣ 4xy﹣ xy+4y2）
＝ x2+4xy+4y2﹣ x2+4xy+xy﹣ 4y2
＝ 9xy；
（ 2）原式＝
＝
＝﹣ ．
?
÷
20． （ 10 分）如图， Rt△ ACB 中，∠ ACB＝ 90°，∠ A＝ 30°，∠ ABC 的角平分线 BE 交 AC
于点 E．点 D 为 AB 上一点，且 AD＝ AC， CD， BE 交于点 M．
（ 1）求∠ DMB 的度数；
（ 2）若 CH⊥ BE 于点 H，证明： AB＝ 4MH．
【分析】 （ 1） 根据角平分线的性质得到∠ ABE＝∠ CBE＝ 30°， 根据等腰三角形的性质得
到∠ ACD＝∠ ADC＝ 75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（ 2）根据含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．
【解答】 （ 1）解：∵∠ ACB＝ 90°，∠ A＝ 30°，
第21页（共32页）
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠A＝30°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CH，
∴AB＝4CH，
在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，
∴CH＝MH，
∴AB＝4MH．
21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，
决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班
48名学生．请按要求回答下列问题：
收集数据
（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有
②、③．（只要填写序号即可）
①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级
12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．
整理数据
（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不
完整）如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为
②估计全年级A、B类学生大约一共有
成绩（单位：分）频数
A类（80～100）
频率
0.5
第22页（共32页）
432名．
60°、30°；
B类（60～79）
C类（40～59）
D类（0～39）
分析数据
16
8
0.25
（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对
比，得下表：
学校
第一中学
第二中学
平均数（分）
71
71
极差（分）
52
80
方差
432
497
A、B类的频率和
0.75
0.82
你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．
【分析】（1）根据抽样调查的代表性和可靠性求解可得；
（2）①用360°分别乘以C、D类人数所占比例即可得；②用总人数乘以A、B的频率
和可得；
（3）根据极差、方差和A、B的频率的意义给出合理解释即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，
故答案为：②、③；
（2）①C类部分的圆心角度数为360°×
＝30°；
＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×
②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．
故答案为：60°，30°，432；
第23页（共32页）
（ 3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学
生之间的差距较第二中学好．
第二中学教学效果好， A、 B 类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一
中学学生好． （答案不唯一） ．
22． （ 10 分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家
人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购
进一批甲、乙两款亲子装，共花费了 18400 元，甲款比乙款多 20 套，其中每套甲款亲子
装进价 200 元，每套乙款亲子装进价 160 元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完
毕，已知每套乙款亲子装售价为 240 元，
（ 1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？
（ 2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销
期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（ a+10） %销售，每套乙款亲子装在第一批
售价的基础上降低 a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销
售量降低了 a%， 乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了 25%， 结果本次促销活
动共获利 5200 元，求 a 的值．
【分析】 （ 1）设购进甲、乙两款亲子装分别为 x、 y 套，根据甲、乙两款亲子装，共花费
了 18400 元， 甲款比乙款多 20 套， 可以列出相应的二元一次方程组， 从而可以解答本题；
（ 2） 根据题意先分别求出促销活动中甲、 乙两款亲子装单件利润和销售总量 （用 a 表示） ，
然后由促销活动共获利 5200 元，可以列出相应的方程，从而可以求得 a 的值．
【解答】解： （ 1）设购进甲、乙两款亲子装分别为 x、 y 套．依题意得
，
解得： ，
答：购进甲款亲子装 60 套，乙款亲子装 40 套．
（ 2）依题意可知：
第二批甲亲子装每件利润为： 200（ a+10） %＝（ 2a+20） （元） ，
第二批乙款亲子装售价为： 240?（ 1﹣ a%）＝ 240﹣ 1.2a（元） ，乙亲子装每件利润为：
（ 240﹣ 1.2a﹣ 160）＝（ 80﹣ 1.2a）元
第24页（共32页）
第二批甲款亲子装的销售量为： 60?（ 1﹣ a%）＝（ 60﹣ 0.6a） （件）
第二批乙款亲子装的销售量为： 40×（ 1+25%）＝ 50（件）
依题意得：
（ 2a+20） （ 60﹣ 0.6a） +50（ 80﹣ 1.2a）＝ 5200
解得： a1＝ 0（不合题意舍去） ， a2＝ 40，
∴ a 的值为 40．
答： a 的值为 40．
23． （ 10 分）在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为（ x， y） ，则定义： d（ x， y）＝ |x|+|y|
为点 P 到坐标原点 O 的“折线距离” ．
（ 1）若已知 P（﹣ 2， 3） ，则点 P 到坐标原点 O 的“折线距离” d（﹣ 2， 3）＝ 5 ；
（ 2）若点 P（ x， y）满足 2x+y＝ 0，且点 P 到坐标原点 O 的“折线距离” d（ x， y）＝ 6，
求出 P 的坐标；
（ 3）若点 P 到坐标原点 O 的“折线距离” d（ x， y）＝ 3，试在坐标系内画出所有满足条
件的点 P 构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．
【分析】 （ 1）根据新定义和绝对值的意义计算；
（ 2）利用题意得到 |x|+|y|＝ 6 和 y＝﹣ 2x，然后解方程组求出 x 和 y 即可得到 P 点坐标；
（ 3）利用题意得到所有满足条件的点 P 构成的图形为正方形 ABCD，然后计算它的面积
即可．
【解答】解： （ 1）点 P 到坐标原点 O 的“折线距离” d（﹣ 2， 3）＝ |﹣ 2|+|3|＝ 2+3＝ 5；
故答案为 5；
（ 2）根据题意得 |x|+|y|＝ 6，
而 2x+y＝ 0，即 y＝﹣ 2x，
第25页（共32页）
∴|x|+|﹣2x|＝6，
∴3|x|＝6，解得x＝2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝﹣2x＝4，
∴P点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4）；
（3）如图，所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，该图形的所围成封闭区域
的面积＝×6×6＝18．
24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我
们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，
b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如
计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）下列等式或命题中，错误的是
A．i4＝1
B．复数（1+i）2的实部为0
C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i
D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1
（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；
②（1+2）3（1﹣2i）3．
C
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）①原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算
第26页（共32页）
即可求出值；
②原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用新定义化简即可求
出值．
【解答】解： （ 1） A． i4＝ i2?i2＝（﹣ 1）×（﹣ 1）＝ 1，不符合题意；
B．复数（ 1+i） 2＝ 1+2i﹣ 1＝ 2i，实数部分为 0，不符合题意；
C． （ 1+i）×（ 3﹣ 4i）＝ 3﹣ 4i+3i+4＝ 7﹣ i，符合题意；
D． i+i2+i3+i4+… +i2019＝ i﹣ 1﹣ i+1+… +i﹣ 1﹣ i＝﹣ 1，不符合题意，
故选 C；
（ 2） ①原式＝ 2﹣ i+4i+2+4﹣ 4i﹣ 1＝ 7﹣ i；
②原式＝ 27（﹣ 3﹣ 4i） （ 1﹣ 2i）＝ 27（﹣ 3+6i﹣ 4i﹣ 8）＝ 27（﹣ 11+2i）＝﹣ 297+54i．
（ 1）如图 1，若 BF⊥ AC， AE＝ 3 ， AD＝ 6 ，求 AF 的长；
25． （ 10 分）在平行四边形 ABCD 中， BC 的垂直平分线交 AC 于 F，连线 AE、 BF．
（ 2）如图 2，若 AE， BF 交于点 G，且∠ ACD＝∠ BGE，求证： AF+2FG＝ FC．
【分析】 （ 1）过点 E 作 EG⊥ AC 于点 G，由平行四边形的性质 BC＝ AD＝ 6 ，由等腰
直角三角形的性质可得 GE＝ FC＝ 3，由勾股定理可求 AG 的长，即可求 AF 的长；
（ 2）通过证明△ DAC∽△ BGE，可得 ＝ ， AC＝ 2BG，即可得结论．
【解答】解： （ 1）如图，过点 E 作 EG⊥ AC 于点 G，
∵四边形 ABCD 是平行四边形
第27页（共32页）
∴BC＝AD＝6，
∵BC的垂直平分线交AC于F，
∴BF＝CF，且∠BFC＝90°，BC＝6
∴BF＝CF＝6，EF＝BE＝EC＝3
∵EF＝CE，EG⊥AC
∴GE＝FC＝3
在Rt△AEG中，AG＝
∴AF＝AG﹣FG＝6﹣3＝3
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
∵BF＝CF
∴∠FBC＝∠ACB
∴∠DAC＝∠FBC，且∠ACD＝∠BGE
∴△DAC∽△BGE
∴
∵BC的垂直平分线交AC于F，
∴BE＝EC＝BC＝AD，BF＝FC
∴AC＝2BG
∵AF+2FG＝AF+2（BF﹣BG）＝AF+2BF﹣2BG＝AF+2FC﹣AC＝FC
26．（8分）综合与探究：
如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴
上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x
轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于
点H．
（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F
（点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．
第28页（共32页）
，
＝6，
①点G的纵坐标用含m的代数式表示为
论；
②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结
③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与
△FHC全等，请直接写出点N的坐标．
﹣m+4；
【分析】（1）由线段AB旋转90°得BC与CD⊥x轴可证得△BDC≌△AOB，故有BD＝
OA＝4，CD＝OB＝2，求得点C坐标，进而由点E、C坐标用待定系数法即可求抛物线
解析式．
（2）①由点A、C坐标用待定系数法求直线AC解析式，把点G横坐标m代入即得到用
m表示点G纵坐标．
②由AB＝BC与BG⊥AC可得AG＝CG，即点G为AC中点，根据中点坐标公式可求点
G坐标，进而求直线BG解析式．联立直线BG与抛物线解析式解方程组即求得点F坐
标．过点F作PF⊥y轴于点P，延长DC交PF于点Q，根据勾股定理求得AB＝BC＝CF
＝AF＝2，判断四边形ABCF是菱形．再由∠ABC＝90°即证得菱形ABCF为正方形．
③由直线AC解析式求其与x轴交点H的坐标，用两点间距离公式求CF、CH的长．设
点N坐标为（s，t），用s、t的式子表示FN2、NH2．分类讨论：若△FHC≌△FHN，则
FN＝FC，NH＝CH，列得关于s、t的方程组，求解即得到点N坐标；若△FHC≌△HFN，
则FN＝CH，NH＝FC，同理可求得点N坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝4，OB＝2
∴A（0，4），B（2，0）
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC
∴AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°
∴∠DBC＝∠OAB
∵CD⊥x轴于点D
第29页（共32页）
∴∠BDC＝∠AOB＝90°
在△BDC与△AOB中
∴△BDC≌△AOB（AAS）
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2
∴OD＝OB+BD＝6
∴C（6，2）
∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E（0，2）
∴解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2
（2）①∵A（0，4）
∴设直线AC解析式为y＝kx+4
把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣
∴直线AC：y＝﹣x+4
∵点G在直线AC上，横坐标为m
∴yG＝﹣m+4
故答案为：﹣m+4．
②∵AB＝BC，BG⊥AC
∴G（3，3）
设直线BG解析式为y＝gx+b
∴解得：
∴AG＝CG，即G为AC中点
∴直线BG：y＝3x﹣6
∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限
第30页（共32页）
∴
∴F（4，6）
解得：（舍去）
判断四边形ABCF是正方形，理由如下：
如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q
∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6
∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4
∴AF＝
∵BC＝AB＝
∴AB＝BC＝CF＝AF
∴四边形ABCF是菱形
∵∠ABC＝90°
∴菱形ABCF是正方形
③∵直线AC：y＝﹣x+4与x轴交于点H
∴﹣x+4＝0，解得：x＝12
∴H（12，0）
∴FC2＝（6﹣4）2+（2﹣6）2＝20，CH2＝（12﹣6）2+（0﹣2）2＝40
设点N坐标为（s，t）
∴FN2＝（s﹣4）2+（t﹣6）2，NH2＝（s﹣12）2+（t﹣0）2
i）如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH
，FC＝
∴解得：（即点C）
∴N（，）
ii）如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC
∴解得：
第31页（共32页）
∴N（，）或（10，4）
，）或综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为（
（，）或（10，4）．
第32页（共32页）
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