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本文来回顾《电动力学》中的电势的两种多级展开以及电势的球谐函数展开的相关内容 , 就当复习一波了 . 1. 多元函数的Taylor展开多极展开的理论基础其实就是性质充分良好的函数的Taylor展开, 一维的Taylor展开是我们熟知的: 不过在电动力学当中, 我们遇到的主要是标量值多元函数或者矢量值多元函数甚至于张量值多元函数. 这里我们处理的是电势的多极展开, 因此只需要考虑第一种情况即可. 我们熟知的还是一元函数的Talor级数, 因此最自然的想法还是用一元函数去研究多元函数. 所以我们希望找到一个一元函数, 使得在某种条件下给出的结果就是, 并且我们希望得到的是函数在点的一个邻域内任意点处的值, 当然我们已知的是函数在处的性质. 这就要用到一个标准的技巧了: 考察和的凸组合, 这个组合恰好在处给出, 而在处给出, 表征的其实是和这两点所连直线, 如果, 则就是这两点所成线段(如果我们选取的是一个球形邻域, 则球内任意一点与球心的连线上的点必然在邻域内). 我们构造辅助函数如下: 于是 注意我们已知的是在处的性质, 因此我们应该将在处进行展开, 即 然后按照上面提到的, , 于是 于是我们只消计算的各阶导数即可. 现在注意到我们有分量展开式 其中是方向的单位矢量. 令, 则 现在, 进而 注意到依旧是的函数, 于是我们接下来得到 以此类推, 最终得到 将上面的式子重新改写一下, 令, 然后引入记号 则有 接下来在上式两边我们令, 此时 这是因为偏微分是对函数形式求的微分, 因此我们可以变更偏微分的求导对象, 然后保证变更前后的点一致即可, 变更前是, 即, 这就是. 综上所述, 我们可以得到多元函数的Taylor展开式为 另外, 我们还可以注意到下面这个恒等式: 这是因为左边对的所有组合形式求和的时候必然会出现重复项, 比如说且函数为元函数时就有, , 和四种可能, 而中间两种因为函数性质良好(至少连续), 因此相等, 这就给出一个系数, 它其实就是二项式展开的结果. 其他情况以此类推. 接下来注意到 因此我们还可以将多元函数的Taylor展开写成 2. 电势的多极展开众所周知, 单个电荷在空间中处的电势为 其中是电荷所在的空间位置, 即源点, 而称作场点. 现在假设空间中电荷分布不是集中在一点, 而是弥散分布, 呈一定的电荷密度, 则我们总是可以在源点附近选取一小块区域, 这块区域的电荷量为, 它产生的电势为 然后根据电势叠加原理, 总的电势就是上式的积分: 这里的积分遍历有定义的地方, 或者说. 现在考察函数 令, 然后对 进行展开, 我们得到 现在取, 于是, 最终我们就有 现在将这个表达式代入到前面电势的积分表达式当中, 就有 其中 现在注意积分是对进行的, 因此可以将所有关于的项提出到积分外边去, 这就可以在级展开式 这个表达式中提取出这样的一项: 考虑到数学中将形如 称作在处的阶矩, 上面提取出的表达式就表示一种电矩. 比如说电零阶距就是 表示系统的总电荷, 由此可以看到电势的零级展开即为 这表明零级展开的物理意义是将弥散在空间的电荷聚集到原点, 考察其作为点电荷产生的电势. 电二阶矩根据上面的写法就应该是 为了看出其物理含义, 我们简化一下问题, 假设体系是电中性的, 换言之, 但是我们总是可以考察 这三个区域各自的积分结果(当然, 我们希望这三个区域都是可测的, 这要求的性质足够良好, 比如说是可测函数), 根据定义, 上的积分恒等于零. 而利用积分中值定理, 存在使得 因为总电荷, 因此上面对的积分大小相等, 只是符号相反. 我们令上的积分结果为, 则上式最终给出的结果就是, 从而该体系的电二阶矩为 记, 这表示一个由负电荷指向正电荷的方向矢量. 此时, 这正是电磁学中接触到的电偶极矩, 换言之, 上面定义的电二阶矩其实就是电偶极矩. 如果将等量异号的一对电荷称作电偶极子, 则上面的计算表明一级展开的物理意义是将带电体系分解出一个正电中心和一个负电中心, 考察这对电偶极子产生的电势. 但是值得指出的是, 只有体系为电中性的时候这个诠释才是对的, 当体系不具备电中性的时候, 我们令, 其中被定义为在上的积分, 然后 这里是电荷量绝对值大的那方相较于多出来部分(带符号), 的正负号取决于对应的符号. 这个结果表明如果带电体系不是电中性的时候电二阶矩就会多出一项, 这项会和坐标原点的选取有关. 但是习惯上我们还是将此时的称作电偶极矩, 尽管它没法完全匹配电偶极子的这个图像, 因为总是有些电荷没法匹配上. 电二阶距从定义来看是一个型张量, 它的分量为 它的物理意义我们可以这样进行理解, 将上式改写为 这个改写在数学上有很大问题, 但是具备启发性, 因为括号里面的那一项可以理解为这个方向的某个偶极子的电偶极矩, 然后我们将一对电偶极子绑定在一起, 考察了不同的电偶极子之间的偶极作用, 于是我们就将其称作电四极矩, 即偶极子的偶极矩. 两对偶极子需要四个电荷, 这四个电荷就构成了电四极子. 以此类推, 电三阶矩就是一对电四极子的偶极矩, 需要八个电荷, 构成电八极子, 对应电八极矩. 更一般的, 电阶矩就是一对电极子产生的偶极矩, 即电极距. 电极距是一个型张量. 综上所述, 我们得到下述结论:
一般而言, 物理上电四极子就已经可以给出充分好的近似了, 因此很少会用到更高级的近似(至少教科书上不会). 容易看到, 当体系内电荷分布关于原点是对称的时候, 正电中心和负电中心都会集中于原点, 从而不产生电偶极矩, 因此电偶极矩是电荷分布偏离原点对称性的结果. 类似地, 如果体系内电荷分布是球对称的, 那么在的表达式中我们只需注意到被积函数对各自指标是奇函数, 于是积分是零. 这表明电四极矩是电荷分布偏离球对称性的结果. 除此以外, 还有一点需要指出的是在计算积分 的时候, 我们或许应该对整个被积函数进行展开, 但是上面我们却只是对进行了展开, 这或许是因为并不是一个实验上容易测量的东西, 所以它的各阶导数也很不好处理. 如果只是对展开, 从上面就能看到, 我们会将电荷分布封装到一个系数当中, 于是可以通过实验得到的电势关于进行拟合, 从而得到这些系数, 这不会涉及不好测量的细节. 3. 电四极矩的性质以及重定义首先从定义出发, 可以得到电四极矩张量是一个对称张量, 即. 接下来我们对其进行重定义来让其性质更好看一点. 考虑问题的出发点在于我们不希望发生变化, 换言之, 我们希望 是不变的, 其中 我们考察问题的出发点是一个恒等变换: 给一个式子加上零结果不变. 而零在哪里呢? 首先注意到恒等式 这里是一个标量值函数而是一个矢量值函数. 另外是另一个结论: 这是因为 于是. 然后我们用上面的恒等式来考察这个式子: 现在代入, 并注意到 于是我们最终看到 或者写成 这样一来我们可以在中加入这样一个恒为零的项. 这个式子和的表达式已经很是相似了, 我们给加上上式的倍数不会改变原本的电势的结果. 现在注意一下, 上面这个式子其实最终得到的就是这个张量算子的迹, 这提醒我们考察的迹, 而 我们不难注意到, 如果给上面的展开式乘以一个加到原本的表达式中, 就能得到. 不过考虑到的迹为, 更好的做法是将其归一化一下变成, 即 这就引入了电四极矩的标准定义: 在这个定义下, 我们天然地得到 即是一个对称无迹张量, 这也意味着只有5个独立分量(因为对称性有六个独立分量, 无迹条件又消除一个自由度, 最终剩下五个). 从原始定义到常规定义的过程一般教科书是略过的, 其实这里可以看到, 出现在电四极矩中的那个系数其实就是为了保证最终的结果是零迹的, 从而在不损失信息(电势)的条件下给出最多的对称性. 4. 电势的球谐函数展开在第二节中介绍的是电势通过笛卡尔坐标进行展开, 但是我们理论上的展开方式不止这一种, 球坐标系也是常用的坐标系之一. 因此, 我们还有必要研究一下球坐标系下的多极展开形式. 毋庸置疑, 这会和球谐函数有关. 众所周知, 电势满足Laplace方程: 这个方程一旦出现在球坐标系下就少不了球谐函数登场. 这里也顺带复习一下数学物理方程. 首先写出Laplace算子的表达式: 然后设, 代入上式得到 然后等式两边同时乘以, 得到 现在分理出第一个变量, 上式第一项只是的函数, 而剩下两项不含, 因此移项后相等意味着等于同一个数, 即 以及 第一个式子展开后即为 令, 则, 进而 将其代入前面的式子, 得到 这是一个二阶常系数微分方程, 它的通解为 代入, 即有 这里是特征根, 满足和. 于是可以取, 此时, , 于是 在的假设下, 原本的角向方程写成 现在两边同时乘以得到 同样的理由, 等式两边要想成立, 就必须等于同一个常数, 故有 它的解为. 最终剩下关于的方程 令, 则 于是上面的方程变成 利用恒等式, 上式变成 这是连带勒让德方程, 它的解是勒让德多项式, 于是得到的解为 最终得到原本方程的通解为 这里是展开系数. 接下来取归一化球谐函数 则上面电势的通解可以写成 这里系数进行了重新定义. 如果要求满足一定的边界条件, 比如, 那么电势就要写成 这里又一次重新设定了系数, 目的是和前面第二节的结果进行比照. 类似地, 如果, 那么电势的形式应该为 这里我们只关心第一种形式, 即无穷远处趋于零边界下的结果, 这个时候我们看到项的系数为 而在第二节中我们看到多极展开后结果是的幂级数, 且对应的就是电极子, 比如说时是电单极子, 时是电偶极子, 时是电四极子. 对应一下我们就能看到, 项对应的其实就是电极子. 并且利用球谐函数我们能很容易理解电多极子的图像:  比如的单极子就是一个电荷对称分布的球, 的偶极子是正负电荷中心不重合导致的, 的电四极子就是两个等量异号偶极子, blablabla 不过按照上述思路得到的电势多极展开的图像没有笛卡儿坐标系下的图像清晰, 二者比较我们才能比较清楚地看出展开项的物理意义. 除了这种比较方式以外, 我们依旧可以从 着手进行计算. 此时我们还是对 进行展开. 不过此时是对它按照球谐函数进行展开, 这需要用到球谐函数的一个性质:
另外需要用到的一个特殊性质, 它是轴对称的, 可以用勒让德多项式进行展开: 然后代入上面定理的结果, 得到 然后代入电势叠加表达式中并设, 得到 这里的系数称作多极矩, 对于给定的, 有种选择, 它其实就对应了第二节中给出的极子的独立分量, 不过两个独立分量之间不是直接相等的, 而是以某种组合的形式给出. 最主要的是是可以取复值的, 而电极距张量为实张量. 5. 参考资料(1) 电动力学, by 郭硕鸿 (2) 经典电动力学, by John David Jackson (3) 电动力学导论 , by David J.Grimths 您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力: |
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来自： taotao_2016 > 《物理》
