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上一篇讲到，在《九章算术》刘徽的注中，在第八章的方程篇中，就已经非常先进地运用高斯消元法进行求解了，那么这一篇就来看看具体是怎么回事。
题目是这样的，现在假如有3捆上等水稻，2捆中等水稻，1捆下等水稻，可以打出39斗实；2捆上等水稻，3捆中等水稻，1捆下等水稻，可以打出34斗实；1捆上等水稻，2捆中等水稻，3捆下等水稻，可以打出26斗实。问：1捆上等水稻、1捆中等水稻、1捆下等水稻的实各是多少？用现在的数学方式，可以列一个三元一次方程组，可以求得解。我们假设一捆上等水稻可以打出x斗实，一捆中等水稻可以打出y斗实，一捆下等水稻可以打出z斗实，列一个方程组，如下所示，分别求出x,y,z的解，就是最终的答案。这显然非常方便，但在古代，数学家们并没有现在意义上的未知数，刘徽的解法看上去有些复杂，我们跟着他的思路，一起来解一下这道题。首先，我们可以拿几根牙签，古人一般用的都是算筹，将三捆上等水稻、二捆中等水稻、一捆下等水稻、实三十九斗竖着放在最右边，然后将二捆上等水稻、三捆中等水稻、一捆下等水稻、实三十四斗竖着放在中间，最后将一捆上等水稻、二捆中等水稻、三捆下等水稻、实二十六斗竖着放在最左边，如下图所示：我们用最右边的上等水稻，也就是数字3，分别乘入中间那一列，如图所示：接下来，我们需要对第二列进行消元，也就是将中间那列减去两倍的右边那列，如此一来，中间那列第一行就变成了“0”，如图所示：我们再来看最左边那列，同样要进行消元，先各项乘以三倍，如图所示：再用最左边那列减去最右边那列，最左边那列的第一行也就变成了“0”，如图所示：再用第一列减去中间那列的四倍，我们可以发现最左边那列的第二行也变成了“0”。如图所示：在《九章算术》中，刘徽将最左边那列第三行称为“法”，第四行称为“实”，如此可以得到一捆下等水稻可以打出99/36斗实，约分，得：11/4斗实。我们再将中间那列乘以“法”，也就是乘以36，如图所示：我们可以得到，中等水稻可以打出153/36斗实，约分，得：17/4斗实。至于上等水稻，我们可以用同样的方法，先将最右边那列乘以“实”，也就是乘以36，减去两倍的中间那列，再减去最左边那列，最后除以36，如图所示：上等水稻可以打出333/36斗实，约分，得37/4斗实。以上就是刘徽在《九章算术》中的解法，有一点需要注意，刘徽在解这道题的时候，用的都是文字，而我们通过其文字，可以用代数法等价替换，这和最基础的高斯消元法一样。如果换用高斯消元法，我们先列出方程如此一来，就方便许多了，我们可以很快就求出三个未知数的解。这个办法看上去好像非常复杂，比直接解那个方程复杂多了，这是因为方程组中的方程很少，只有3个，若方程组中的方程超过了100个，你就会感受到高斯消元法的便携之处了。当然，以上只是最基础的高斯消元法，后来也启发奠定了莱布尼茨的行列式，以及矩阵代数。回顾刘徽，虽然在《九章算术》方程篇章中，他解题的思路与高斯消元法大差不差。但是，中国古代数学的弊端在此也展现得淋漓尽致，即到此为止了，没有后续了，也没有人继续沿着刘徽的这条路，开发出新的数学分支。中国古代的数学，以实用为主。我们通过这道数学题也可以看出来，中国古代不缺聪明人，只是这种聪明只是为了解决问题，只要求出了上等水稻、中等水稻和下等水稻各能打出多少斗实，就仿佛万事大吉了。至于有没有想过将其提炼出一套抽象的数学逻辑，则是完全没有必要的。中国古人在数学上秉持的态度是“好用即可”。中国古代的大环境也是如此，没有形成一个庞大的群体，各个数学家们几乎都是孤军奋战，彼此之间没有有效的交流。对于前人的研究成果，他们会做整理，但基本都是拿来就用，没想过继续发展下去，只有当现在手上的工具已经无法解决眼前的困难时，才会去寻找新的工具，新的算法。一旦有了更好用的工具，便也就此止步了。当然，如果想提升一下自信心，将“高斯消元法”改叫“刘徽消元法”，问题也不大。只不过，到此为止了吧，再接下去，恐怕连我都要不好意思了。
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