我们先证明一个引理： 引理：设是一个赋范空间，是一个序列，则按范数收敛于当且仅当对于任意的，存在，使得当时，有 证明：若按范数收敛于，则对于任意的，存在，使得当时，有。 反之，若对于任意的，存在，使得当时，有，则对于任意的，取使得当时，有，则当时，有 因此，是一个柯西序列，由于是一个完备的赋范空间，所以按范数收敛于某个。 现在我们来证明题目所述的结论： 设是一个函数序列，按范数收敛于，即，则对于任意的，存在，使得当时，有 由于，所以对于任意的，存在，使得当时，有 这说明函数序列在上一致收敛于。 反之，若函数序列在上一致收敛于，即对于任意的，存在，使得当时，有 则，因此按范数收敛于。 综上所述，中序列按范数收敛等价于函数列的一致收敛。
根据定义，我们需要证明中的任意收敛序列都收敛于一个中的函数。 设是中的一个收敛序列，即且一致收敛于，其中。 由于一致收敛的极限函数唯一，因此。 因此，我们只需要证明即可说明是闭集。 对于任意的，由于，因此。 又由于一致收敛于，因此。 因此，，即。 综上所述，是中的闭集。 为了证明是中的闭集，我们需要证明是中的开集。 假设存在，即存在使得。由于在上连续，因此存在，使得当时，。因此，对于任意，有。 因此，我们得到了一个开球，它包含在中，因此是中的开集。因此，是中的闭集。 假设函数均为定义在上的连续函数，并且对， 都有, 证明： 假设存在，使得。由于和都是连续函数，因此存在，使得对于任意的，都有和。 由于有理数在实数中是稠密的，因此存在一个有理数。根据题目条件，，因此有： 利用三角不等式，可以得到： 这与相矛盾，因此假设不成立，即对于任意的，都有。 在赋范线性空间中，如果一个子集在该空间中稠密，就意味着任何在该空间中的元素都可以通过中的元素的线性组合来无限逼近。具体来说，对于任意的和，都存在中的元素，使得。 常见的例子包括：
要证明为可分的空间，需要构造一个可数的稠密子集。 我们可以考虑定义如下的集合： 即， 是所有分量都是有理数的 中的元素构成的集合。显然， 是可数集合。 接下来，我们需要证明 是 的稠密子集。 对于任意的 ，我们需要证明存在一个 ，满足 ，其中 是任意给定的正实数。 由于 ，因此有 。由于有理数在实数中是稠密的，因此对于任意的 ，存在有理数 ，使得 。 我们定义 ，并计算： 由于 是任意给定的正实数，因此我们可以取 ，从而得到 。 因此，我们证明了 是 的稠密子集，即 是可分的空间。 |
|
|
