不定积分习题及答案
第四章 不定积分
(A 层次 )
1． ? 2x ?1 dxdx dx； 3． ?； 2． ? ；
2 ?x ?1??x ? 2?sin xcos x 1? x
4． ?sin5xsin7xdx； 5． ?
2
arctg x
x?1? x?dx ； 6．
? dx
x ? 1? x2
；
x5 ? x4 ?8 dx ； 7． ? x arctgxdx； 8． ?cos?ln x?dx ； 9． ?
x3 ? x
10． ? x3?
1? x ?8 2
dx ； 11． ? xcos xdx； 12． ? e xdx ； 2 3
dx dx13． ? ； 14． ?
xln xlnln x 1? ex? ?2 ； 15． ?
xex?
ex ?1?2
dx ；
16． ? sin xdx ； 17． ?
19． ?
3 arcsin x ln 1? x2 dx ； dx ； 18． ?
3x1? x
? ?
x ? ln x7cos x ? 3sin x dx ； 21． ?sin
5 xcos3 xdx； dx ； 20． ?
25cos x ? 2sin x ?1? x?
lntgx 102arccosx22． ? dx ； 23． ? dx ； 24． ? x
2arctgxdx； cos xsin x
1? x2
25． ? x ?1
x2 x ?12
dx ； 26． ? 2x2 ? a2 2xdx ? ?； 27． ? e tgx ?1 dx ； x
2
3xdx dx
sin x
xcos x ? sin xdx 。28． 29． 30．
2
?e? ?x ?1??x ? 2??x ? 3?； ? ?2 ? cos x?sin x ； cos x
(B 层次 )
1．设 f ?x?的一个原函数为
2． ?
sin x ，求 ? xf ??2x?dx 。
x
x ?1 1? ln xdx dx ； 4． ? xln?x ?1?dx； ； 3．
x 2
?x 1? xe ?
x ? ln x?? ?
ln2 x lnsin x xexdx； 7． ?5． ?
3
dx ； 6． ? dx ； 2
xx sin x e ? 2
2
8． ? ln x?
1? x ?32 2
dx ； 9． ? 1? x arcsin xdx； 10． ?2 x3 arccosx
1? x2
dx；
11． ?
14． ?
17． ?
20． ?
(C 层次 )
dx
x ? 3 3x ? 2
ln x
x ?1
； 12． ? x1 1? x ； 13．arctg dx ? cos
2 xtg3x
dx ； 1? x1? x
2
dx； 15． ? arcsin x arctgxdx ； 16． ?
2
dx ； 1? x x 1? x
2? ?
1
?1? x? 1? x2 dx； 18． ?
dx 4； 19． xtgxsec xdx；
? 2 2 2
?a cos x ?b sin x
sin x dx；
1?sin x ? cos x
1．设 F?x?为 f ?x?的一个原函数， F?0??1， F?x?? 0 ，且当 x ? 0时，有
f ?x?F?x?? xex2?1? x?
2
，求 f ?x?。
x ? 0?sin 2x,
? x ? 0 ，求 f ?x?的一个原函数。 2．设 f ?x?? ? 0,
?ln?2x ?1?, x ? 0?
3．设 f ?x?为 x 的连续函数，且满足方程：
? x
0
x16 x18f ?t?dt ? ? t f ?t?dt ? ? ? C ，求 f ?x?及常数 C 。
x 8 9
1 2
4．设 f ?ln x?? ln
?1? x?
，计算 ? f ?x?dx。 x
x25．设 f x ?1 ? ln
2
，且 f ?? ?x??? ln x，求 ? ? ?x?dx。 x ? 2? 2 ?
?1, 0 ? x ?16．设 f ??ln x?? ? 且 f ?0?? 0，求 f ?x?。
?x, 1? x ? ?
7．已知 f ??sin 2 x?? cos2 x ? tg 2x ， 0 ? x ?1，求 f ?x?。
18．若 f ??sin x?? cos
2 x ，且 f ?0?? ? ，求方程 f ?x?? 0的根。 2
3
? f ?x? f 2?x?f ???x??9．求 ?
? ? dx。 ?3f ? ?x? ?? f ??x?
10． ?max x3,x2,1dx。 ? ?
第四章 不定积分
(A 层次 )
1． ? dx sin xcos x
sec2 x d?tgx?dx ? ? ? ln?tgx?? C 解：原式 ? ?
tgx tgx
2． ? 2x ?1
1? x2
dx
解：原式 ? ??
3． ?
d 1? x2
1? x2
? ?
? ? dx
1? x2
? ?2 1? x2 ? arcsin x ? C
dx ?
x ?1??x ? 2?
1 ? 1 1 ? 1?ln?x ?1?? ln?x ? 2??? C ? dx ? ?? ?
3 ? ? x ?1 x ? 2? 3解：原式 ? ?
1 ? x ? 2? ? ln? ? ? C
3 ? x ?1?
4． ?sin5xsin7xdx
解：原式 ? ?? 1 ?cos12x ? cos2x?dx ? 1 ?cos2xdx ? 1 ?cos12xdx2 2 2
1 1? sin2x ? sin12x ? C
4 24
5． ? arctg xx?1? x?dx
arctg x
1?
解：原式 ? 2?
6． ? dx
? x?2 dx ? 2?arctg xd arctg x ? arctg x? ? ? ?2 ? C
x ? 1? x2
4
解： ? dx
x ? 1? x2
令 x ? sint? costdt 1 cost ? sint ? cost ? sint? ? dt sint ? cost 2 cost ? sint
1 1 d?sint ? cost? 1 1dt ? ? t ? ln?sint ? cost?? C ? ??
2 2 sint ? cost 2 2
? 12 arcsin x ? 12 ln
?
1? x2 ? x
?
? C
7． ?x2arctgxdx
解：原式 ? 13?arctgxd?x3?? 1?3?
?
x3arctgx ? ? x3 1 ?1? x
2
dx?
?
? 13 x3arctgx ? 13?xdx ? 13? xdx1? x
2
? 13 x3arctgx ? 16 x2 ? 16 ln?1? x2?? C
8． ?cos?ln x?dx
解：原式 ? xcos?ln x?? ?x?sin?ln x??1x dx ? xcos?ln x?? ?sin?ln x?dx
? xcos?ln x?? xsin?ln x?? ?xd?sin?ln x??
? xcosx?ln x?? xsin?ln x?? ?cos?ln x?dx
故 ?cos?ln x?dx ? 12 x?cos x?ln x?? sin?ln x??? C
9． ? x5 ? x4 ?8x
3 ? x
dx
2解：原式 ? ??x
2 ? x ?1?dx ? ?
x ? x ?8
x3 ? x dx
? 13 x3 ? 12 x2 ? x ? ? 8 4 3x dx ? ? x ?1dx ? ? x ?1dx
? 1 13 x3 ? 2 x2 ? x ? 8ln x ? 4ln?x ?1?? 3ln?x ?1?? C
10． ? x3?
1? x8?2
dx
解：原式 ? 1 d
?x4?
4
1 du 1 sec2 tdt
4 ??1? x8?2 令 x ? u 4 ??1? u2?2 令 u ? tgt 4 ? sec4 t
? 1 2 14 ?cos tdt ? 8??1? cos2t?dt
5
? 18t ? 116sin2t ? C
? 1 1 u8 arctgu ? 8
1? u2
? 1
1? u2
? C
? 1 x4 48 arctgx ? 8?1? x
8?
? C
11． ? xcos2 xdx
解：原式 ? ? x??1? cos2x ?
? 2 ??
dx
? 12??xdx ? ?xcos2xdx?? 14 x2 ? 14 ?xd?sin2x?
? 14 x2 ? 14 xsin2x ? 14 ?sin2xdx
? 1 1 14 x2 ? 4 xsin2x ? 8cos2x ? C
312． ? e xdx
解：令 3 x ? t ，则 x ? t3 ， dx ? 3t2dt
原式 ? ?et 3t2dt ? 3?t2det ? 3?t2et ? ?et 2tdt?
? 3t2et ? 6?tdet ? 3t2et ? 6?tet ? ?etdt?
? 3t2et ? 6tet ? 6et ? C
? 3e3x
?
23 x2 ? 23 x ? 2
?
? C
13． ? dxxln xlnln x
解：原式 ? ? d ln x d
?ln?ln x?
ln xln?ln x?? ?
?
ln?ln x? ? ln
?ln?ln x??? C
14． ? dx?
1? ex ?2
解： ? dx 1? t ?t?
1? ex ?2
令 ex ? t?t?1? t?
2
? ? 1t?1? t?dt ? ? dt?1? t?
2
? ???1 1 ? d
?1? t?
? t ? 1? t ??dt ?
? ?
1? t?2 ? ln
t
1? t ?
1
1? t ? C
6
? ln ex1? e
x
? 11? e
x
? C ? x ? ln?1? ex ?? 11? e
x
? C
x15． ? xe?
ex ?1?2
dx
x解：原式 ? ? xd?e ?1? ?
ex ?1?2
? ??xd?? 1 ?
? ex ?1??
? ? xe ?1 ? ? ex x ? 1 1 ? x
x ex?ex ?1?
dx ? ? e
x ?1
? ??
? ex
? e
x ?1
??d?e ?
? ? xe
x ?1
? lnex ? ln?ex ?1?? C
? xexe
x ?1
? ln?ex ?1?? C
16． ? sin 3 xdx
解：令 3 x ? t ，则 x ? t3 ， dx ? 3t2dt
原式 ? ?sint ?3t2dt ? ?3?t2d cost
? ?3t2 cost ? 3?cost ?2tdt ? ?3t2 cost ? 6?td sint
? ?3t2 cost ? 6tsint ? 6?sintdt
? ?3t2 cost ? 6tsint ? 6cost ? C
2 ? ?3x
3 cos3 x ? 63 x sin 3 x ? 6cos 3 x ? C
17． ? arcsin x1? x dx
解：令 x ? sinu ，则 x ? sin 2 u ， dx ? 2sinucosudu
原式 ? ? ucosu 2sinucosudu
? ?2?ud cosu ? ?2?ucosu ? ?cosudu?
? ?2ucosu ? 2sinu ? C ? ?2 1? x arcsin x ? 2 x ? C
18． ? ln
?1? x2 ?
x3 dx
7
解：原式 ? ??ln?1? x2 ?d?? 1 ?
? 2
x?2 ?
?
? ? ln
?1? x2?
2x2 ? ?
1 2x
2x2 1? x2 dx
? ? ln
?1? x2?
2x2 ?
1 ?dx2
2 ? x2 1? x2?
? ? ln
?1? x2 ?
2x2 ?
1 ? 1
2 ? ?? x2 ?
1 ?
1? x2 ??dx2
ln?1? x2 ? ? ?
2x2 ?
1
2
?ln x2 ? ln?1? x2??? C
? ? ln
?1? x2?
2x2 ? ln x ?
1
2 ln
?1? x2?? C
19． ? 7cosx ?3sin x5cosx ? 2 dx
解：原式 ? ?
? sin x5cosx ? 2sin x?? ?2cosx ? 5sin x?
5cosx ? 2sin x dx
? ???
?
1? 2cos x ? 5sin x?5cos x ? 2sin x?
?
dx
? x ? ln5cosx ? 2sin x ?C
20． ? x ? ln x?1? x?2 dx
解：原式 ? ??x ? ln x?d?? 1 ??? 1? x??
1? 1
? ? x ? ln x x1? x ? ? 1? x dx
? ? x ? ln x1? x ? ? 1x dx
? ? x ? ln x1? x ? ln x ?C
21． ?sin5 xcos3 xdx
解：原式 ? ?sin5 xcos2 xcosxdx
8
? ?sin5 x?1?sin2 x?d sin x
? 1 sin6 16 x ? 8sin8 x ? C
22． ? lntgxcosxsin x dx
解：原式 ? ? lntgxcos
2 xtgx
dx ? ? lntgxtgx d?tgx?
? ?lntgxd?lntgx?? 12?lntgx?2 ? C
23． ? 102arccosx
1? x2
dx
解：原式 ? ? 12 ?102arccos x d?2arccosx?
? ? 1 12 ln10102ar cos x ? C ? ? 12ln10102arccosx ? C
24． ?x2arctgxdx
解：原式 ? 13?arctgxd?x3?
? 1??x3 13
?
arctgx ? ?x3 1? x
2
dx??
?
? 1 3 1 x3 ? x ? x3 x arctgx ? 3 ? 1? x
2
dx
? 1 3 1 1 xdx3 x arctgx ? 3?xdx ? 3?1? x
2
? 1 x3arctgx ? 1 x2 ? 1 ln?1? x23 6 6 ?? C
25． ? x ?1
x2 x2 ?1
dx
解：令 x ? 1t ， dx ? ? 1t
2
dt
1 ?1
原式 ? ? t ?1 1 ??? 1 ?t
2
?dt
t2 t2 ?1
?
? ?? 1? t t
1? t2
dt ? ?? dt
1? t2
? ?
1? t2
dt
9
? ?arcsint ? 1?t2 ?C
1? ?arcsin ?
x
x2 ?1 ? C
x
26． ? x2 ? a2x
2
dx
解：令 x ? atgt ， dx ? asec2tdt
原式 ? ? asecta
2tg 2t
asec2 tdt
? ? dtsin
2 tcost
? ? sin2 t ? cos2 tsin
2 tcost
dt
? ?sectdt ? ? costsin2tdt
? lnsect ? tgt ? 1sint ? C
? ln a2 ? x2 x a2 ? x2a ? a ? x ? C
? ln x ? a2 ? x2 ? a2 ? x2 ? C
27． ? e2x?tgx ?1?2dx
解：原式 ? ?e2x?sec2 x ? 2tgx?dx
? ?e2x sec2 xdx ? 2?e2xtgxdx
? ?e2xdtgx ? 2?e2xtgxdx
? e2xtgx ? ?tgx?2e2xdx ? 2?e2xtgxdx
? e2xtgx ? C
28． ? xdx?x ?1??x ? 2??x ? 3?
解：原式 ? 1 ?2 ??? 4dxx ? 2 ? ? dxx ?1 ? ? 3dx ?x ? 3??
10
? 12?4ln?x ? 2?? 3ln?x ? 3?? ln?x ?1??? C
? 1
?x ? 2?4
2 ln ?x ?1??x ? 3?3 ? C
29． ? dx?2 ? cos x?sin x
解：令 tg x2 ? t ，则 x ? 2arctgt ， dx ? 2dt 2t1? t
2
， sin x ? 1? t
2
，
于是
原式 ? ? ?1? t2t
2 ? 3?t
dt
?
? ? ?
2
? 3
t 1 ?
3 ?
3?
t ?dt?t2 ?
?? ???
? 1 d
?t2 ? 3?
3? t2 ? 3 ?
1
3?
1
t dt
? 13ln?t3 ? 3t?? C
? 1 ? x x ?3ln??tg3 2 ? 3tg 2?? ? C
30． ?esin x xcos3 x ? sin xcos
2 x
dx。
解：原式 ? ?xesin x cosxdx ? ?esin xtgxsecxdx
? ?xesin xd?sin x?? ?esin xd?secx?
? ?xdesin x ? secxsin x ? ?secxd?esin x ?
? xesin x ? ?esin xdx ? secxesin x ? ?secxesin x cosxdx
? esin x ?x ? sec x?? C
(B 层次 )
11
? 1? t2cos x 1? t
2
，
sin x1．设 f ?x?的一个原函数为
x ，求 ?xf ?
?2x?dx
解： ?xf ??2x?dx ? 12 ?xf ??2x?d?2x?
? 1 1 12 ?xdf ?2x?? 2 xf ?2x?? 2 ? f ?2x?dx
? 12 xf ?2x?? 14 ? f ?2x?d?2x?
由题设 f ?x?? ?? sin x?
?
? x ??
? xcox ? sin xx2
∴ ?xf ??2x?dx ? 12 xf ?2x?? 1 sin2x4 2x ? C
? cos2x sin 2x4 ? 4x ? C
2． ? x ?1x?1? xe
x ?
dx
? ?
?x??1?ex ? d??xex
解：原式
?
xex 1? xex dx ? ? xex 1? xex ?
? ??? 1 1 ?
? xex
? 1? xe
x
? ? x?d xe ?
? ln?xex ?? ln?1? xex ?? C
? x ? ln x ? ln?1? xex ?? C
3． ? 1? ln x?x ? ln x?
2
dx
解：原式 ? ? 1?xln x?
2
d?xln x?
? ? 1xln x ? C
4． ?xln?x ?1?dx
解：原式 ? ? ln?x ?1?d??? x2 ?
? 2
??
?
? x22 ln?x ?1?? 1 12 ? x2 x ?1dx
12
? x22 ln?x ?1?? 12 ????x ?1? 1 ?x ?1??dx
? x22 ln?x ?1?? 1 1 14 x2 ? 2 x ? 2 ln?x ?1?? C
． ? ln25 xx
3
dx
解：原式 ? ? ? 1 ? 1 ?2 ln2 xd?
? x2 ??
? ? 1 ln2 x2 x
2
? 1 12 ? x
2
?2ln x?1
x dx
? ? ln2 x 12x
2
? 2 ?ln xd?? 1 ?
? x2 ??
? ? ln2 x2x
2
? ln x 12x 2 ? 1 1
2
? x
2 x
dx
? ? ln2 x2x
2
? ln x2x
2
? 14x
2
? C
6． ? lnsin xsin
2 x
dx
解：原式 ? ?lnsin xd?? ctgx?
? ?ctgxlnsin x ? ? ctgx cos xsin x dx
? ?ctgxlnsin x ? ?ctg2xdx
? ?ctgxlnsin x ? ??csc2 x ?1?dx
? ?ctgxlnsin x ? ctgx ? x ? C
x7． ? xe
ex ? 2
dx
解：令 ex ? 2 ? t ，则 ex ? t2 ? 2， x ? ln?t2 ? 2?，
故原式 ? 2?ln?t2 ? 2?dt
13
dx ? 2tt
2 ? 2
dt
? 2tln t2 ? 2 ? 2? t? ? 2t dt t
2 ? 2
t2 dt ? 2tln t ? 2 ? 4?
2t ? 2
?2 ?
2 t ?? ? 2tln t
2 ? 2 ? 4?t ? arctg ? ? C
2 2 ??
? ?
e2 ? 2 ? 2x e ? 2 ? 4 e ? 2 ? 4 2arctg ? C
2x x
8． ? ln x?
1? x ?32 2
dx
dx解：令 u ? ln x ,dv ?
?1? x ?
dx
3
2 2
3
2 2
，
则 v ? ?dv ? ?
x
1? x
?1? x ?
sec2 tdt x令 x ? tgt? ? costdt ? sint ? C ? ? C ?
3 2sec t 1? x
取 v ?
2
，于是
??
??
x
? x原式 ? ? ln xd?
? 2? 1? x
? xln x
1? x2
xln x
1? x2
? ?
? ?
1 dx
2 x1? x
dx
1? x2
?
? xln x
1? x2
? ln x ? 1? x2 ? C
? ?
9． ? 1? x2 arcsin xdx
解：令 arcsinx ? t ，则 x ? sint ， 1? x2 ? cost， dx ? costdt ，于是
原式 ? ? tcos2tdt
? 1 t?1? cos2t?dt 2 ?
14
? 14t2 ? 14 ?tcos2td?2t?? 1 1
? 4
t2 ?
? 4
?td?sin2t?
? 14t2 ? 14 tsin2t ? ?sin2tdt
? 1 1 14t2 ? 2tsintcost ? 8cos2t ? C
? 1 2 1 14?arcsin x? ? 2 x 1? x2 arcsin x ? 4 x2 ? C
310． ? x arccosx
1? x2
dx
解：令 u ? arccos x ， dv ? x3dx
1? x2
，
3 则 v ? ?dv ? ? x 1
1? x2
dx ? ? 2 ?x2?1? x2??12d?1? x2?
? ? 12 ? 2x2d?1? x2?12
? ?x2?1? x2?12 ? ? ?1? x2?12 2xdx
1 ? ?x
2?1? x2?
1
2 ? ?
?1? x2?
2d
?1? x2?
1 ? ? 2 ? x2
3
?1? x2?
2 ? C
取 v ? ? 2 ? x2 13 ?1? x2?2 ，于是
1原式 ? ? 2 ? x2 1? x
23 ? ?2 x ? ??
2 ? x2arccos
3
?1? x2?1
2 d arccosx
? ? 2 ? x23 ?1? x2?12 x ? ? 2 ? x2arccos ?1? x2 13 ?12
1? x2
dx
2 ? x2 1? ?
3
?1? x2?
2 arccosx ? ?
??
?
2 ? x2 ?
3 ?? 3 ??dx
? ? 13?2 ? x2? 1? x2 arccosx ? 19 x?6 ? x2?? C
11． ? dxx ?
3 3x ? 2
15
解：令 t ? 3 3x ? 2 ，则 x ?
3t2 原式 ? ?
3
t ? 3t ? 2
1
3t ? 2 ， dx ? t2dt 3? ?
? ? 4 5 dtdt ? ? dt ? ?3?t ? 2? 3?t ?1? ?t ?1?
2
12． ?
?
?
4 5 1lnt ? 2 ? ln?t ?1?? ? C
3 3 t ?1
4
3
5 1ln 3x ? 2 ? 2 ? ln
3 3x ? 2 ?1 ?
3
? C 3 3 3x ? 2 ?1
1 1? xarctg dx
1? x1? x2
?1? x ? 1?
解： ?arctg ? ?? 21? x
? 1? x?
原式 ? ??arctg 1? x ? 1? x ?d?arctg ? 1? x
? 1? x ?
21 ? 1? x ? ? ?
?arctg ? ? C 2 ? 1? x?
13． ? x dx
2 3cos xtg x
解：原式 ? ? ? 1 ?1 ? ?xd
2 ?
? ?2
?tg x?
?1 ? x 1 ? ?
? 2 ? ? 2 dx? 2 ?tg x tg x ?
?1 ? x ? ?
? 2 ? ? csc2 x ?1 dx?2 ?tg x ?? ?
?1 ? x ? ?
? 2 ? ctgx ? x? ? C 2 ?tg x ?
14． ? ln xx ?1 dx
解：令 x ?1 ? t ，则 x ? t2 ?1， dx ? 2tdt
16
原式 ? 2?ln t2 ?1 dt
? 2tln t2 ?1 ? 2? t
? ?
? ? 2t dt
2t ?1
? 1 t ?1? ? 2t ln?t2 ?1?? 4?t ? ln ? ? C
2 t ?1? ?
? 2 x ?1ln x ? 4 x ?1 ? 2ln
x dx
1? x
x ?1 ?1
x ?1 ?1 ? C
15． ? arcsin
解：令 arcsin x x 1? t ，则 ， tg 2t ? x ，于是 ? sin2t ， cos2t ?1? x 1? x 1? x
原式 ? ?tdtg 2t ? t ?tg 2t ? ?tg 2tdt
? t ?tg 2t ? ? sec2 t ?1dt
? t ?tg 2t ? tgt ? t ? c
? xarcsin x x? x ? arcsin ? C 1? x 1? x
x ? x ? C
1? x
? ?
? ?1? x?arcsin
arctgx dx
x2 1? x216． ? ? ?
1? 1 ?arctgx 解：原式 ? ??
2
arctgx ? ?dx
2x 1? x? ?
? 1 ? ? ??arctgxd? ? ? ?arctgxdarctgx
? x ?
1 1 1 1 2? ?dx ? arctgx ? ? arctgx ? ?
2x x 1? x 2
1 1 x ?? 12 dx ? ? arctgx ? ?arctgx? ? ?? ?
2
?x 2 x 1? x? ?
1 1 12 ? ? arctgx ? ?arctgx? ? ln x ? ln 1? x
2 ? C x 2 2 ? ?
17
17． ? 1?
1? x? 1? x2
dx
解：令 x ? sint ，则
原式 ? ? 1?1? sint?cost costdt
? ? 11? sint dt ? ?1? sintcos
2 t
dt ? tg ? 1cost ? C
? x
1? x2
? 1
1? x2
? C ? x ?1
1? x2
? C
18． ? dxa
? cos2 x ? b2 sin2 x
2解：原式 ? 1 x
a2 ?
sec
2
dx
1? ?? b ?
? a
tgx?
?
? 1 1 ? b ?ab ? 2 d? tgx?
1? ?? b ? ? a ?
? a
tgx?
?
? 1ab arctg?? b ?? a tgx?? ? C
19． ?xtgxsec4 xdx
解：原式 ? ?xsec3 xd secx
? ?x 14 d sec4 x ? x4 sec4 x ? 14 ?sec4 xdx
? x4 sec4 x ? 14 ??tg 2x ?1?dtgx
? x 1 ?1 ?4 sec4 x ? 4 ?? 3tg3x ? tgx?? ? C
20． ? sin x1? sin x ? cos x dx
解： ? sin x 令
x
2?t
1? sin x ? cosx dx 2?
sint
sint ? cost dt
? ? ?? cost ? sint ??1? sint ? cost ??dt ? t ? lnsint ? cost ? C
18
?
(C 层次 )
x x x? lnsin ? cos ? C
2 2 2
1．设 F?x?为 f ?x?的一个原函数， F?0??1， F?x?? 0 ，且当 x ? 0时，有
f ?x?F?x?? xex2?1? x?
2
，求 f ?x?。
? ?xex解：由题意 F??x ? f ?x?，从而 F??x?F?x??
21? x2?
x 于是 ?2F?x?F??x?dx ? ? xe
?1? x?2 dx
F 2?x?? ??xexd?? 1 ?? x ?1?? ? ? xexx ?1 ? ? 1x ?1d?xex ?
? ? xex x ?1 xx ?1 ? ? x ?1exdx ? ? xex ?1 ? ex ? C
由 F?0??1和 F 2?0??1? C 得 C ? 0，从而
F?x?? ex 1? x
x
故 f ?x?? xe2
2?1? x?3
2
?
2．设 f ?x?? ?
sin 2x, x ? 0
? 0, x ? 0 ，求 f ?x?的一个原函数。
??ln?2x ?1?, x ? 0
解：当 x ? 0时，有 F?x?? ? f ?x?dx ? ?sin 2xdx ? ? 12 cos2x ? C
1
当 x ? 0时，有
F?x?? ? f ?x?dx ? ?ln?2x ?1?dx
? xln?2x ?1?? ?x? 22x ?1dx
? xln?2x ?1?? x ? 12 ln?2x ?1?? C
2
19
1 lim
?
F?x?? ? ?C
1
， lim
?
F?x?? C
2
x?0 x?02
1 故 C
2
? C
1
? 2
因而，给 C1不同的值，便可得到 f ?x?不同原函数
? 1
?? 2 cos2x ?C1
? f ?x?? ? 0
? 1 1
?xln?2x ?1?? ln?2x ?1?? x ?C
1
?2 2?
3．设 f ?x?为 x 的连续函数，且满足方程：
? x
0
x16 x18f ?t?dt ? ? t f ?t?dt ? ? ?C ，求 f ?x?及常数 C 。
x 8 9
1 2
解：将等式两端对 x 求导，得
f ?x?? ?x2 f ?x?? 2x15 ? 2x17
2 x15 ? x17 ? 2x
15 有 f ?x??
21? x
? ?
将 f ?x?? 2x15 代入原式得
x16 x18? ?C 2? t dt ? ? t dt ?
0 x 8 9
x 15 1 17
x16 1 x18 x16 x18? ? ? ? ?C 即
8 9 9 8 9
1 故 C ? ?
9
4．设 f ?ln x?? ln
?1? x?
，计算 ? f ?x?dx。 x
t ln 1? et解：令 ln x ? t，则 x ? e ， f ?t?? e
t
? ?
? ln 1? exf ?x?dx ? ? dx
xe
? ?
? ??ln 1? ex de?x ? ?
20
? ?e?x ln 1? ex ? ?
?x x
? ? 1 dx
1? ex
? ex ? ? ?e ln?1? e ?? ? ?
?1?1? ex ??dx ? ?
? ?e?x ln?1? ex?? x ? ln?1? ex?? C
? x ??1? e?z ?ln?1? ex ?? C
x25．设 f x ?1 ? ln
2
，且 f ???x??? ln x，求 ? ? ?x?dx。 x ? 2? 2 ?
?x
解：显然 f ?x ?1?? ln ?x2 2
2
?1 ?1
?1 ?1
??
则 f ?x?? ln x ?1 x ?1
又∵ f ???x??? ln x
∴ ln?
?x??1 x ?1
? ln x。 ? ?x?? ??x??1 x ?1
x ?1 x ?1? 2dx ? ? dx ? x ? 2ln x ?1 ? C
x ?1 x ?1 于是 ??
?x?dx ? ?
?1, 0 ? x ?16．设 f ??ln x?? ? 且 f ?0?? 0，求 f ?x?。
x, 1? x ? ??
解：当 0 ? x ?1时， f ?ln x?? ? f ??ln x?d ln x ? ?1d ln x ? ln x ? C
由 f ?x?连续及 f ?0?? 0得 f ?x?? x
当 1? x ? ?时， f ?ln x?? ? f ??ln x?d ln x ? ?xd ln x ? ?dx ? x ? C
从而 f ?x?? ex ? C
由 f ?x?连续得 f ?x?? ex ?1? e
0 ? x ?1?x,故 f ?x??
?
x
?e ?1? e, 1? x ? ?
7．已知 f ??sin 2 x?? cos2 x ? tg 2x ， 0 ? x ?1，求 f ?x?。
解： f ?x?? ? f ??x?dx令 x ? sin2 u? f ? sin2 u d sin2 u
21
? ? ? ?
? ??cos2 u ? tg 2u?d?sin2 u?
? ??? 1
?1? sin2 u
? sin2 u??
?
d?sin2 u?
? ??? 1
?1? x
? x??
?
dx
? ?ln?1? x?? 12 x2 ? C (0 ? x ?1)
8．若 f ??sin x?? cos2 x ，且 f ?0?? ? 12 ，求方程 f ?x?? 0的根。
解： f ?sin x?? ? f ??sin2 x?d?sin2 x?
? ?cos2 xd?sin2 x?? ?2sin xcos3 xdx
? ?? 2cos3 xd cos x ? ? 12 cos4 x ? C
? ? 1?1?sin2 ?22 x ? C
∴ f ?x?? ? 1 22?1? x2? ? C
又 f ?0?? ? 12 ，∴ C ? 0
于是 f ?x?? ? 1 22?1? x2?
故 x ?1,?1均为 f ?x?? 0的二重根。
9．求 ? ?? f
?x? f 2?x?f ???x
? f ??x?
?
??
f ?3?x? ??dx。
解：原式 ? ? f
?x?f ?2?x?? f 2?x?f ???x?
f ?3?x? dx
? ? f
?x? f ?2?x?? f ?x?f ???x?
f ??x? f ?2?x? dx
? ? f
?x? ? f ?x?? 1 ? f ?x??2
f ??x?d?? f ??x??? ? 2 ?? f ??x??? ? C
10． ?max?x3,x2,1?dx。
22
?x3,x ?1
解：令 f ?x?? max?x3,x2,1?? ??x2,x ? ?1
??1, x ?1
当 x ?1时， ? f ?x?dx ? ?x3dx ? 1 44 x ?C
1
当 x ? ?1时， ? f ?x?dx ? ?x2dx ? 13 x3 ?C
2
当 x ? ?1时， ? f ?x?dx ? ?1dx ? x ?C3
由于原函数的连续性，于是有
lim? 1 ?
x?1?
?? 4 x4 ? C
1
?? ? lim
x?1?
?x ? C
3
?
即 14 ?C
1
?1?C
3
又
x
lim ?1 ?
??1?
?x ? C
3
??
x
lim
??1?
??3 x3 ? C
2
??
即 ?1?C 1
3
? ? 3 ?C
2
解 (a)、 (b)，令 C 3 23 ? C ，则 C
1
? 4 ?C ， C
2
? ? 3 ?C
?
?
1
3
2
3 x ? 3 ?C, x ? ?1
故 f max?x3,x2,1?? ??x ?C, ?1? x ?1
?
?1?4 x4 ? 34 ?C, x ?1
23
(a)
(b)
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