 追及相遇用物理语言表述就是两物体在同一时刻处于同一位置，或者说某个时刻它们的距离为零。 因此，我们首先得到沿某直线运动的两个物体之间的“距离”公式。沿直线建立坐标系，将B的坐标与A的坐标之差定义为A到B的“距离”，则 其中，表示A到B的初始“距离”，和分别为A、B各自的位移。 之所以选择保留“距离”的符号，而不是直接取绝对值，是因为我们可以根据“距离”的正负判断谁在前谁在后。 令距离为零可得追及相遇条件 “距离”公式(1)与追及相遇条件(2)是处理追及相遇问题的两个核心公式。 上述两个公式(1),(2)中，都会出现两物位移之差；而这其实就是AB之间的相对位移。 除了直接用两个位移相减以外，我们还可以将其中一个物体视为参考系，根据另一个物体相对前者的运动求相对位移；或者画出两个物体的图，根据它们所夹的面积求相对位移；这给我们处理追及相遇问题提供了更多的灵活性。 四类基本问题高考中，追及相遇问题主要涉及如下四类基本问题。 求距离极值第一类问题是求两个物体距离的极值，有两种方法。 临界法找到所有共速的时刻，根据“距离”公式求各个共速时刻及全过程的初末时刻两物的“距离”(以出发时的前物仍在前为正，在后为负)，从中找出距离的最大值和最小值。 函数法将两物的关系代入“距离”公式，得到“距离”作为时刻的一元二次函数，配方求极值。 一般而言，临界法比函数法更为简单。 判断能否追击相遇第二类问题是判断两物会否发生追击相遇，也有两种方法。 临界法首先，找到所有共速的时刻，求出初始时刻、各共速时刻、末时刻两物的“距离”。 由于物体的位置不突变，故两物的“距离”也不突变。因此，若相邻两次共速，或初始时刻与第一次共速，或末时刻与最后一次共速，对应的两物“距离”一正一负，则它们之间必有某个时刻发生追及相遇。 若所有这些时刻对应的“距离”都为正，则说明任意时刻原来的前物仍在前，追及相遇不会发生。临界情形是某次共速时正好发生追及相遇。 方程法将两物的关系代入追及相遇条件，得到时刻的一元二次方程；根据方程是否有解及解的数目判断能否追及相遇及追及相遇的次数。 对于多过程追及相遇问题，用临界法判断会否发生追及相遇比方程法更为简单。如果采用方程法，需要逐段过程进行判断。 追及相遇的条件第三类问题是求两物发生追击相遇的条件或不发生追击相遇的条件；方法与前一个问题基本一样。 区别在于此类问题两物各自的运动情况存在未知，一般是某物的初速度或加速度未知。 对于多过程追及相遇的问题，两物若会达到共速，则共速发生在哪个阶段未必是确定的，需要分情况讨论。  设两物沿同一直线运动的图像如图所示。当B的加速度取不同值时，两物体共速可能发生在A加速运动的阶段，也可能在A匀速运动的阶段。 求发生追及相遇或避免发生追及相遇的条件时，需要分两种情况讨论；或者先分析虚线所示的临界情形会否发生追及相遇，再据此进一步分析追及相遇条件。 临界法考虑某次共速时恰好追及相遇的临界情况，据此分析发生追及相遇的条件或避免追及相遇的条件。 方程法将两物的关系代入追及相遇条件，得到时刻的一元二次方程；发生追及相遇的条件就是方程有符合要求的解；避免追及相遇的条件就是方程在给定范围内无解。 求追及相遇的时刻或位置第四类问题是求两物发生追击相遇的时刻或位置；这需要解方程。 方程法将两物的关系代入追及相遇条件，得到时刻的一元二次方程；此方程的解就是追及相遇发生的时刻。之后，求出车的位移即可知道追及相遇发生的位置。 例题【例1】 A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为，B车的速度大小为，如图所示。  (1) 若，当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动)，加速度大小为，从此时开始计时。求：  ① A车追上B车之前，两者的最大距离。（求距离极值） 解析：设B车停下的时刻为，则 解得 . (函数法) B车停下前()，A,B各自位移作为的函数为 A,B距离作为的函数为 因此，当时，距离有最大值，最大距离为. 因，最值可达。 在B车停后()，A,B距离作为的函数为 于是，随递减，不可能取全程最大值。 (临界法)两车共速时，A,B的距离取极值。 设时刻共速，则，故. 共速前，两车位移分别为 于是，A,B的最大距离为 ② A车追上B车所用的时间。(求追及时刻) 解析：(方程法)若追及发生在之前，则追及时 解得 (负根不符合题意，已舍去)。 若此根不大于，即 也即，则追及时刻即为此根。 若，则方程在内无解，不发生追及；追及发生在之后。 追击时 解得. 当然，也可以事先判断碰撞发生在哪个阶段。 考虑B车停下时正好追及的临界情形，两车初始距离应等于B停下之前，A相对B的位移 因此，若，则时，正好追击。 若，则之后追击。 若，则之前追击。 显然，若，则，必有；因而，追及必然发生在之后。 ③ 从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度。(避免追及相遇的条件)  解析：(临界法)若A车比B车先停(如图中蓝线所示)，则A车始终比B车慢，不会相撞。 若A车比B车后停(如图中紫线所示)，则两车第一次共速时相距最远，第二次共速(两车均停下)时，它们的“距离”若仍非负，则不会相撞。 因此，不相撞的条件是两车均停下时的“距离” 即. (2) 若，当A、B两车相距时，A车以加速度紧急刹车，并向前车鸣笛示意；经时间后（这段时间内未相撞），车开始加速。为避免相撞，B车的加速度至少为多大？(避免追及相遇的条件)  解析：(方程法)题中已经指出之前未相撞。显然，若A车停下后也不可能相撞；故，相撞只可能发生在之后，A车停下之前。 因此，两车相撞的条件是 合并同类项整理可得 若判别式 则方程无解，不相撞。 因前不相撞，故，有 因此，解不等式可得. 为方便表示，记为. 若，则当时，有. 而时刻，(题中指出时间内未相撞)，故内必有方程的解，必然发生一次撞击。 综上，不相撞条件为；若，即便 仍不相撞。 (临界法)避免相撞的临界情形是共速时正好相遇。 设共速时刻为，共速时的速度为，则 解得. 若此时正好相撞，则 解得. 因此，不相撞的条件是. 【例2】 沿同一平直公路的两个不同车道运动的甲、乙两车的图如图所示；开始时甲车在乙车前方处，则：  在时，两车第一次共速，而此时两车距离 设时刻第二次共速，共速时的速度为，则 解得，. 同时，时，乙的速度为 因此，第二次共速时，两车距离为 在时第三次共速，此时两车距离 因此，出发时两车相距最远，甲在乙前方处。 两车在,,三段时间内各发生一次追及。 第一次追击的时刻满足方程 解得第一次追及发生在时。 时，有 因此，第二次追及发生在之间。第二次追击发生的时刻满足方程 解得. 时，有 因此，第三次追及发生在之间。 第三次追及的时刻满足方程 解得. |
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