26. 如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=,CD=12,DA=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA',∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A^' P. (1)若点P在AB上,求证:A'P=AP; (2)如图2.连接BD.①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值;②若点P到BD的距离为 ,求tan∠ A'MP的值; (3)当0<x≤8时,请直接写出点A'到直线AB 距离.(用含x的式子表示). 2023年河北省中考数学压轴大题第26题 本题考查了全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,折叠的性质,求正切值,熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键.可多次用到一线三垂直构造相似三角形巧妙解题. 【分析】(1)根据旋转的性质和角平分线的概念得到A'M=AM,∠A'MP=∠AMP,然后证明出△A'MP≌△AMP('SAS' ),即可得到A'P=AP; (2)①首先根据勾股定理得到BD==10,然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD=90°;过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q,一线三垂直构造相似三角形,然后证明出△PQB∽△DBA,利用相似三角形的性质求出PB=5,x=AB+PB=5+8=13; 分类讨论,当P点在AB上时,PQ=2,∠A'MP=∠AMP,分别求得BP,AP,根据正切的定义即可求解;当P在BC上时,则PB=2,过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q,再一次构造一线三垂直构造相似三角形,证明△PQB∽△BAD,得出PQ=4/5 PB=8/5,BQ=3/5 PB=6/5,进而求得AQ,证明△HPQ∽△HMA,即可求解; (3)如图所示,过点A'作A'E⊥AB交AB于点E,过点M作MF⊥A'E于点F,则四边形AMFE是矩形,证明△A'PE∽△MA'F,根据相似三角形的性质即可求解. 小问1详解 ∵ 将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA', ∴A'M=AM ∵∠A'MA的平分线 所在直线交折线AB-BC于点P , ∴∠A'MP=∠AMP 又∵PM=PM ∴△A'MP≌△AMP('SAS' ) ∴A'P=AP; 小问2详解 ①∵AB=8,DA=6,∠A=90° ∴BD==10 ∵BC=2,CD=12 ∴, ∴∠CBD=90°; 如图所示,当n=180时,过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q, ∵PM平分∠A'MA ∴∠PMA=90° ∴PM∥AB ∴PQAM为矩形 ∴ PQ=MA=AD-DM=4 ∴△PQB∽△BAD ∴PQ/BA=QB/DA,即4/8=QB/6, 解得QB=3,PB=5 ∴x=AB+PB=8+5=13. ②如图所示,当P点在AB上时,PQ=2,∠A^' MP=∠AMP ∵AB=8,DA=6,∠A=90°, ∴BD==10,sin∠ DBA=, ∴BP=, ∴AP=AB-BP=8-10/3=14/3 ∴tan∠ A'MP=tan∠ AMP=; 如图所示,当 在 上时,则PB=2,过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q,延长MP交AB的延长线于点H, ∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°, ∴∠QPB=90°-∠PBQ=∠DBA, ∴△PQB∽△BAD ∴即PQ/8=QB/6=PB/10 ∴PQ=4/5 PB=8/5,BQ=3/5 PB=6/5, ∴AQ=AB+BQ=46/5 ∵PQ⊥AB,DA⊥AB ∴PQ∥AD, ∴△HPQ∽△HMA, ∴HQ/HA=PQ/AM ∴HQ/(HQ+46/5)=(8/5)/4 解得:HQ=92/15 ∴tan∠ A^' MP=tan∠ AMP=tan∠ QPH=HQ/PQ=(92/15)/(8/5)=23/6, 综上所述,tan∠ A'MP的值为7/6或23/6; 小问3详解 解:∵当0<x≤8时, ∴P在AB上, 如图所示,过点A'作A'E⊥AB交AB于点E,过点M作MF⊥A'E于点F,则四边形AMFE是矩形, ∴AE=FM,EF=AM=4, ∵△A'MP≌△AMP, ∴∠PA'M=∠A=90°, ∴∠PA'E+∠FA'M=90°, 又∠A'MF+∠FA'M=90°, ∴∠PA'E=∠A'MF, 又∵∠A'EP=∠MFA'=90°, ∴△A'PE∽△MA'F, ∴ ∵A'P=AP=x,MA'=MA=4,设FM=AE=y,A'E=h 即, ∴y=4(x-y)=x(h-4) ∴x(h-4) 整理得h= 即点A'到直线AB的距离为. |
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