课题：1.1 集合的含义及表示
内容分析：
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的
初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中
用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学
习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、
工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习
本章的意义，也是本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中
数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语
言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的
概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，
包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习
兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要
还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象
集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？
（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在
一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
1
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
N ??0,1,2,??
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N或N+
N ??1,2,3,??
（3）整数集：全体整数的集合记作Z , Z ??0，?1，?2，??
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
Q ??整数与分数?
（5）实数集：全体实数的集合记作R
R ?数轴上所有点所对应的数
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N或N+ Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a? A
4、集合中元素的特性
? ?
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
2
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程x ?1? 0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
有一个元素
2
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式x?3 ? 2的解集可以表示为：{x?R | x?3 ? 2}或
{x | x ?3 ? 2}
所有直角三角形的集合可以表示为：{x| x是直角三角形}
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分
如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能
用列举法如：集合{x ,3x ? 2,5y ? x,x ? y }2 3 2 2
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要
一一列举出来，常用描述法
如：集合{(x, y) | y ? x ?1}；集合{1000以内的质数}2
3
例集合{(x, y) | y ? x ?1}与集合{y | y ? x ?1}是同一个集合吗？
答：不是因为集合{(x, y) | y ? x ?1}是抛物线y ? x ?1上所有的
2 2
2 2
点构成的集合，集合{y| y?x ?1}={y | y ?1}是函数y ? x ?1的所有函
数值构成的数集
（三）有限集与无限集
2 2
1、有限集：含有有限个元素的集合
2、无限集：含有无限个元素的集合
3、空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：{x?R | x ?1? 0}2
课题：1.2 子集 全集 补集
内容分析
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）
关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集
的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集
与真子集的有关性质本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属
于与包含之间的区别
教学过程：
一、复习引入：
（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、
文氏图
（2）用列举法表示下列集合：
①{x | x ? 2x ? x ? 2 ? 0} {-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
（3）用描述法表示集合：{1,
3 2
1 1 1 1 1, , , } {x | x ? ,n?N且n ? 5}
2 3 4 5 n
（4）集合中元素的特性是什么？
（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的
集合”{x?Z || x?2 |? 3} {-1，5}
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
4
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，B ?{x | x ?2x?8 ? 0}
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
二、讲解新课：
（一）子集
1定义：
（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一．．
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合A
2
记作: A? B或B ? A，A?B或B? A
读作：A包含于B或B包含A
若任意x? A? x?B，则A? B
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作A?? B或B?? A
注：A? B有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一．．
个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集．．
合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果A? B，并且A? B，我们
就说集合A是集合B的真子集，记作：A B或B
包含于B或B真包含A
A,读作A真
（4）子集与真子集符号的方向
如A? B与B ? A同义；A? B与A? B不同
（5）空集是任何集合的子集Φ? A
空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A≠Φ，则ΦA
任何一个集合是它本身的子集A? A
（6）易混符号
5
①“?”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是
包含关系如1?N,?1?N,N ? R,Φ?R，{1}?{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如Φ?{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
全集与补集
1补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子
R集（即A? S），
由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S
中子集A
Q
Z
N
的补集（或余集），记作CSA，即
CSA={x| x?S,且x? A}
2、性质：CS（CSA）=A，CSS=?，CS?=S
3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集
合就可以看作一个全集，全集通常用U表示
S
A
课题：1.3 交集、交集
内容分析
这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的
概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系
教学过程：
一、复习引入：
1．说出CSA的意义
2．填空：若全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么
C
U
A ? {0，2，4} C
U
B ?{0，2，3，5}
3．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，
5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .（答：C={1，2}）
4．观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
6
A B A B
如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部
分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴
影部分）．
观察问题3中A、B、C三个集合的元素关系易知，集合C={1，2}是由所
有属于集合A且属于集合B的元素所组成的，即集合C的元素是集合A、B的
公共元素，此时，我们就把集合C叫做集合A与B的交集，这是今天我们要学
习的一个重要概念.
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，B ?{x| x ?2x?8 ? 0}
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
二、讲解新课：
1．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A?B（读作‘A交B’），
即A?B=｛x|x?A，且x?B｝．
如：｛1,2,3,6｝?｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A?B={c,d,e}．
2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B
的并集．
记作：A?B（读作‘A并B’），
即A?B ={x|x?A，或x?B})．
如：｛1,2,3,6｝?｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
3、交集、并集的性质
2
图1图2
A B
7
用文图表示
(1)若 A?B,则 A?B=B, A?B=B
(2)若 A?B 则 A?B=A A?B=A
(3)若 A=B, 则 A?A=A A?A=A
(4)若 A,B 相交，有公共元素，但不包含
则 A?B
A?B
A,A?B B
B A, A?B
B A
A (B) B A
A
B
(5) )若 A,B 无公共元素，则 A?B=Φ
(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？ )：
从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：
1．交集的性质
(1)A?A=A A?Φ =Φ， A?B=B?A (2)A?B?A, A?B?B．
2．并集的性质
(1)A?A=A (2)A?Φ =A (3)A?B=B?A (4)A?B?Ａ ,A?B?B
联系交集的性质有结论：Φ ?A?B?A?A?B．
3.德摩根律： (CuA) ? (CuB)= Cu (A?B),
(CuA) ? (CuB)= Cu(A?B)(可以用韦恩图来理解 )．
结合补集，还有① A? (CuA)=U, ② A? (CuA)= Φ．
容斥原理
一般地把有限集 A 的元素个数记作 card(A).对于两个有限集 A， B，有
card(A∪ B)= card(A)+card(B)- card(A∩ B)．
三、讲解范例：
例 1 设 A=｛ x|x>-2｝ ,B=｛ x|x<3｝ ，求 A?B.
解： A?B=｛ x|x>-2｝ ?｛ x|x<3｝ =｛ x|-2
例 2 设 A=｛ x|x 是等腰三角形｝ ， B=｛ x|x 是直角三角形｝ ，求 A?B.
解： A?B=｛ x|x 是等腰三角形｝ ?｛ x|x 是直角三角形｝
=｛ x|x 是等腰直角三角形｝ ．
例 3 A=｛ 4,5,6,8｝ ,B=｛ 3,5,7,8｝ ，求 A?B.
8
解： A?B=｛ 3,4,5,6,7,8｝ ．
例 4 设 A=｛ x|x 是锐角三角形｝ ， B=｛ x|x 是钝角三角形｝ ，求 A?B.
解： A?B=｛ x|x 是锐角三角形｝ ?｛ x|x 是钝角三角形｝
=｛ x|x 是斜三角形｝ ．
例 5 设 A=｛ x|-1
解： A?B=｛ x|-1
说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数
集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的
交集，有助于解题
例 6（ 课本第 12 页）设 A=｛ (x,y)|y=-4x+6｝ ,B=｛ (x,y)|y=5x-3｝ ,求 A?B.
解： A?B=｛ (x,y)|y=-4x+6｝ ?｛ (x,y)|y=5x-3｝
y ? ?4x ?6=｛ (x,y)|? ｝ =｛ (1,2)｝
?y ? 5x ?3?
注：本题中， (x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程
的一个解．
形如 2n（ n?Z）的整数叫做偶数，形如 2n+1（ n?Z）的数叫做奇数，全
体奇数的集合叫做奇数集全体偶数的集合叫做偶数集．
交集与并集性质例题
例 1（课本第 12 页）设 U=｛ 1,2,3,4,5,6,7,8｝ ,A=｛ 3,4,5｝ ,B=｛ 4,7,8｝ ,求
CuA, CuB, (CuA) ? (CuB), (CuA) ? (CuB), Cu(A?B) , Cu(A?B)．
解： CuA=｛ 1,2,6,7,8｝ CuB=｛ 1,2,3,5,6｝
(CuA) ? (CuB)= Cu(A?B)=｛ 1,2,6｝
(CuA) ? (CuB)= Cu(A?B)=｛ 1,2,3,5,6,7,8｝
例 2 已知集合 A={y|y=x -4x+5},B={x|y= 5? x }求 A∩ B,A∪ B．
解： A∩ B= {x|1≤ x≤ 5}, A∪ B=R．
2例 3 已知 A={x|x ≤ 4}, B={x|x>a},若 A∩ B=Ф ,求实数 a 的取值范围．
解： a≧ 2
例 4 集合 M=｛ (x,y) |∣ xy∣ =1,x＞ 0｝ ,N=｛ (x,y) |xy=-1｝ ,求 M∪ N．
解： M∪ N=｛ (x,y) |xy=-1,或 xy=1(x＞ 0)｝ ．
例 5 已知全集 U={x|x -3x+2≥0 }， A={x||x-2|>1}， B=?x2
2
? x ?1 ?? 0?，
? x ?2 ?
9
求 CUA， CUB， A∩ B， A∩ （ CUB） ， （ CUA） ∩ B
解：∵ U={x|x -3x+2≥0 }＝ {x|x?1 或 x?2}， 2
A={x||x-2|>1}={x|x<1或 x>3}，
B=?x? x ?1 ?? 0?={x| x?1 或 x>2}? x ? 2 ?
∴ CUA= x x ?1或 2 ? x ? 3
CUB= x x ? 2
A∩ B=A={x|x<1 或 x>3}， ={x|x<1 或 x>3}，
A∩ （ CUB） =?
（ CUA） ∩ B= 2x x ?1或 2 ? x ? 3
课题： 1.4
内容分析 ：
学生在初中数学中， 学习过简单的命题 (包括原命题与逆命题 )知识， 掌握了
简单的推理方法 (包括对反证法的了解 )．由此，这一大节首先给出含有“或” 、
“且” 、 “非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或” 、 “且” 、 “非”的复合
命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础
上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了
充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”与充要条件．学习简易逻
辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在
这方面，逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简
单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几
何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命
题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
教学过程：
一、复习引入 ：
? ?
? ?
? ?
逻辑联结词
10
命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命
题
例如：①11>5 ②3是15的约数 ③0.7是整数
①②是真命题，③是假命题
反例：④3是15的约数吗？⑤ x>8
都不是命题，不涉及真假(问题)无法判断真假
“这是一棵大树”；“x＜2”． 都不能叫命题．由于“大树”没有界定，
就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”
是否成立．
注意：①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里
的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的
②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不
能判断真假的语句，就不是命题.
③与命题相关的概念是开语句例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句
中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这
种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.
在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于
复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．
二、讲解新课：
1．逻辑连接词
例 ⑥ 10可以被2或5整除； （10可以被2整除或10可以被5整除）
⑦菱形的对角线互相垂直且平分；
（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）
⑧ 0.5非整数 .(非“0.5是整数”)
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
11
2．简单命题与复合命题：
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
其实，有些概念前面已遇到过
如：或：不等式 x ?x?6>0的解集 { x | x3 }
且：不等式x ?x?6<0的解集 { x | ?2< x<3 }即 { x | x>?2且x<3 }
3．复合命题的构成形式
如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：
即：p或q 记作 p?q p且q 记作 p?q
非p (命题的否定) 记作 ?p
释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“x?A或x?B”，是
指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A
但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x?A?B）；又如在“p真或q真”中，
可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“x?A且x?B”，是指x属于A，同时
x也属于B（即x?A B）.
“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“x?A”，则“非p”表示x
不是集合A的元素（即x? CUA）.
开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确
定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也
可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语
句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中
的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句
的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．
2
2
例1（课本第26页例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单
命题：
⑴ 24既是8的倍数，也是6的被数；
⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶平行线不相交.
12
解：⑴这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的
倍数.
⑵这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是跳
高运动员.
⑶这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交.
例2命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑联结词的情况是（ ）
A：使用了逻辑联结词“或” B：使用了逻辑联结词“且”
C：使用了逻辑联结词“非” D：没有使用逻辑联结词
判断复合命题真假的方法
1．“非 p”形式的复合命题
例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.
(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.
解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.
(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显
然为真.
小结：非p复合命题判断真假的方法
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非 p”形式的复
合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示
p
真
假
2．“p且q”形式的复合命题
例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示
“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归
纳出其规律.
解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
小结：“p且q”形式的复合命题真假判断
当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为
假可用下表表示
非p
假
真
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p且q
真
假
假
假
13
3．“p或q”形式的复合命题：
例3．如果p表示“5是12的约数” q表示“5是15的约数”，r表示
“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，
归纳其规律.
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
小结：“p或q”形式的复合命题真假判断
当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或
q”为假.即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时
为真.可用下表表示.
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p或q
真
真
真
假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合
命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.
例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p
且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
① p：2+2=5，q：3>2；
② p：9是质数，q：8是12的约数；
③ p：1∈{1，2}，q：{1}?{1，2}；
④ p：φ?{0}，q：φ={0}.
解：①p或q：2+2=5或3>2；p且q：2+2=5且3>2；非p：2+2? 5.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12
的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2}或{1}?{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}?{1，
2}；非p：1?{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ?{0}或φ={0}；p且q：φ?{0}且φ={0}；非p：φ
?{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
4．逻辑符号
“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.
例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可
14
记作“┐p”.
注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日
常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你
我都去这种可能.
二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x?A
或x?B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也
可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x?A∩B）；又如在“p
真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中
一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可
兼有”并不意味“一定兼有”.
另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是
真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
课题：1.5
内容分析：
学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了
简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其
相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然
后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行
简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、
“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简
单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几
何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命
题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
教学过程：
一、复习引入：
复习初中学过的命题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充）
两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第
一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把
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四种命题
其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
例如，(1)同位角相等，两直线平行；
条件（题设）：同位角相等；结论：两直线平行
它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等
二、讲解新课：
1．引例
(3)同位角不相等，两直线不平行；
(4)两直线不平行，同位角不相等.
比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理补充）
在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的
否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；
在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的
否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；（让学生取名字）
思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？
（学生回答，教师整理补充）
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
2．概括：
(1)为原命题 (2)为逆命题
(3)为否命题 (4)为逆否命题
反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？
若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？
若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？
强调：“互为”的含义
3．四中命题的形式
若p为原命题条件，q为原命题结论（学生回答，教师整理补充）
16
则：原命题：若 p则 q
逆命题：若 q则 p
否命题：若 ?p则 ?q
逆否命题：若 ?q则 ?p
4．四种命题的相互关系
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一
个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.
因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：
5．四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下
三条关系：
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真
②、原命题为真，它的否命题不一定为真
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q
互逆
互
为
为
互
逆否
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
逆
否
互逆
6．反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非
A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出
矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法
7．反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
注意：可能出现矛盾四种情况：
①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推
出自相矛盾的结论
课题：1.6
内容分析：
这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
充分条件与必要条件
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这一大节的重点是充要条件． 学习简易逻辑知识， 主要是为了培养学生进行
简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或” 、 “且” 、
“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制
在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．
教学过程：
一、复习引入 ：
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你
的妈妈说： “这是我的妈妈” .那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补
充说： “你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的
妈妈就足于保证你是她的孩子 .那么， 这在数学中是一层什么样的关系呢？今天
我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件 .
二、讲解新课：
⒈符号“ ?”的含义
前面我们讨论了“若 p 则 q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题
为假 .“若 p 则 q”为真，是指由 p 经过推理可以得出 q，也就是说，如果 p 成
立，那么 q 一定成立，记作 p?q，或者 q?p；如果由 p 推不出 q，命题为假，
记作 p q.
简单地说， “若 p 则 q”为真，记作 p?q（或 q?p） ；
“若 p 则 q”为假，记作 p
符号“ ?”叫做推断符号 .
例如， “若 x>0，则 x >0”是一个真命题，可写成： x>0 ?x >0；
又如， “若两三角形全等， 则两三角形的面积相等” 是一个真命题， 可写成：
2 2
q（或 q p） .
两三角形全等 ?两三角形面积相等 .
说明：⑴“ p?q”表示“若 p 则 q”为真；也表示“ p 蕴含 q” .
⑵“ p?q”也可写为“ q?p” ，有时也用“ p→ q” .
⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知 p?q，那么我们就说， p 是 q 的 充分条件 ， q 是 p 的 必要条件 .
在上面是两个例子中， “ x>0”是“ x >0”的充分条件， “ x >0”是“ x>0”的
必要条件； “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件， “两三角形
面积相等”是“两三角形全等”的必要条件 .
⒊充分条件与必要条件的判断
2 2
18
1.直接利用定义判断：即“若 p?q 成立，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p
的必要条件” .（条件与结论是相对的）
例 1 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件， q 是 p 的什么条件：
2 2⑴ p： x=y； q： x =y .
⑵ p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等 .
分析：可根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断 .
2 2解： ⑴由 p?q， 即 x=y?x =y ， 知 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 .
⑵由 p?q，即三角形的三条边相等 ?三角形的三个角相等，知 p 是 q
的充分条件， q 是 p 的必要条件；
又由 q?p，即三角形的三个角相等 ?三角形的三条边相等，知 q 也是 p
的充分条件， p 也是 q 的必要条件 .
练习：课本 P35练习： 2⑴⑵⑶⑷ .
答案：⑴∵ p?q，∴ p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；
⑵∵ q?p，∴ p 是 q 的必要条件， q 是 p 的充分条件；
⑶∵ p?q，∴ p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；又∵ q?p，
∴ q 也是 p 的充分条件， p 也是 q 的必要条件 .
⑷∵ p?q，∴ p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；又∵ q?p，
∴ q 也是 p 的充分条件， p 也是 q 的必要条件 .
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法 .那么， 如果
由命题不是很好判断的话， 我们可以换一种方式， 根据互为逆否命题的等价性，
利用它的逆否命题来进行判断 .
4.什么是充要条件？
如果既有 p?q，又有 q?p，就记作 p?q.此时， p 既是 q 的充分条件，
p 又是 q 的必要条件，我们就说， p 是 q 的 充分必要条件 ，简称 充要条件 .（当
然此时也可以说 q 是 p 的充要条件）
2 2例如， “ x=0， y=0”是“ x +y =0”的充要条件； “三角形的三条边相等”是
“三角形的三个角相等”的充要条件 .
说明 ：⑴符号“ ?”叫做等价符号 .“ p?q”表示“ p?q 且 p?q” ；也
表示“ p 等价于 q” . “ p?q”有时也用“ p? q” ；
⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充
分” ， “仅当”表示“必要” .
5.几个相关的概念
若 p?q，但 p
若 p
q，则说 p 是 q 的充分而不必要条件；
q，但 p?q，则说 p 是 q 的必要而不充分条件；
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若 p q，且 p q，则说 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 .
例如， “ x>2”是“ x>1”的充分而不必要的条件； “ x>1”是“ x>2”的必要
而不充分的条件； “ x>0 ,y>0”是“ x+y<0”的既不充分也不必要的条件 .
6.充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判
断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；
⑵尝试从条件推出结论， 从结论推出条件 （方法有： 直接证法或间接证法） ；
⑶确定条件是结论的什么条件 .
7.怎样用集合的观点对“充分” 、 “必要” 、 “充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法：⑴若 A?B，则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件；
若 A=B，则 A 是 B 的充要条件（此时 B 也是 A 的充要条件） .
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量 x 的允许值集合，叫做此命
题的真值集合 .
⑵若 p? q，说明 p 的真值集合 ?q 的真值集合，则 p 是 q 的充分条件， q
是 p 的必要条件；若 p? q，说明 p， q 的真值集合相等，即 p， q 等价，则 p
是 q 充要条件（此时 q 也是 p 的充要条件） .
课题 ： 2.1 函数
二、讲解新课：
（一）函数的有关概念
设 A， B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A
中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称
f : A? B 为从集合 A 到集合 B 的函数，记作
y ? f (x)， x? A
其中 x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫做函数 y ? f (x)的定义域； 与 x 的值相对
应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 ?f (x) | x? A?（ ?B）叫做函数 y=f(x)
的值域 .
函数符号 y ? f (x)表示“ y 是 x 的函数” ，有时简记作函数 f (x) .
(1)函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 f : A? B
20
这里 A, B为非空的数集.
（2）A：定义域，原象的集合；?f (x) | x? A?：值域，象的集合,其中
?f (x) | x? A? ? B；f：对应法则， x ?A ， y ?B
（3）函数符号：y ? f (x) ? y是 x 的函数，简记 f (x)
已学函数的定义域和值域
1．一次函数f (x) ? ax ?b (a ? 0):定义域R,值域R;
2．反比例函f (x) ? k (k ? 0):定义域?x | x ? 0?,值域?x | x ? 0?;x
23．二次函数f (x) ? ax ?bx ? c (a ? 0):定义域R
? ?4ac ?b2 ? 4ac ?b2 ?
值域：当a ? 0时，?y | y ?当a ? 0时，?y | y ??；?4a
? 4a ?? ?
函数的值：关于函数值 f (a)
例：f (x) = x +3x+1 则 f(2)=2 +3×2+1=11
注意：1?在y ? f (x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2 2
2? f (x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3? f (x)与f (a)是不同的，前者为变数，后者为常数
函数的三要素： 对应法则f、定义域A、值域?f (x) | x? A?
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
二、区间的概念及求定义域的方法
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设 a,b? R ,且 a
①满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a
21
③满足不等式a?x
表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，
用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定义
{x|a?x?b}
名 称
闭区间
符号
[a，b]
{x|a
{x|a?x
数轴表示
{x|a
这样实数集R也可用区间表示为(-?,+?),“?”读作“无穷大”，“-?”
读作“负无穷大”，“+?”读作“正无穷大”.还可把满足x?a，x>a，x?b，x
的实数x的集合分别表示为[a，+? )，（a，+?）,(- ?,b],(- ?,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数
的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定
了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用
22
解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那
么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合 .有这个约定，我
们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义
域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，
对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数 .分段函数是一个函数，而不是几
个函数.
4．复合函数：设 f(x)=2x?3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)?3=2x2+1（或
g[f(x)] =(2x?3)2+2=4x2?12x+11）为复合函数
求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的
实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式
子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
三、映射
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
23
A
9
4
1
开平方B
3
-3
2
-2
1
-1
A求正弦B
30
450
600
900
(2)
A
1
2
3
(4)
乘以2
0
1
2 2
3 2
2
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
-3
(3)
求平方B
1
4
9
B
1
2
3
4
5
6
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，
这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫
做集合A到集合B的映射 记作：f : A?B
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a?A,b?B，如
果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫
做元素b的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往
往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此
映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素
和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的
元素和它对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映
射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
24
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都
有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集
合B的映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?
一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集
合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同
一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求
B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；
课题：2.2 函数的表示法
讲解新课：
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做
函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s=60t，A=? r，S=2?rl ,y=a x +bx+c(a? 0),y=2 2 2 x ? 2 (x? 2)等
等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出
任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表
示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
25
例如，学生的身高 单位：厘米
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时
刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人
口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数
关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这
样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
函数值域的表示方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a? 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数y ? k (k ? 0)的定义域为{x|x? 0}，值域为{y|y? 0}；x
二次函数f (x) ? ax2? bx ? c(a ? 0)的定义域为R，
2 2当a>0时，值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }；当a<0时，值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }.
4a 4a
2．二次函数比区间上的值域 (最值 )：
对于二次函数f (x) ? ax2? bx ? c(a ? 0),
⑴若定义域为R时，
2b (4ac ?b )；①当a>0时，则当x ? ?时，其最小值y
min
?2a 4a
2b (4ac ?b ) .②当a<0时，则当x ? ?时，其最大值y
max
?2a 4a
26
⑵若定义域为 x? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间 [a,b].
①若 x0 ?[a,b],则 f (x0) 是函数的最小值（ a>0）时或最大值（ a<0）时，再
比较 f (a), f (b)的大小决定函数的最大（小）值 .
②若 x0 ?[a,b],则 [a,b]是在 f (x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b)的大小
即可决定函数的最大（小）值 .
若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关
系进行讨论 .
3． 判别式法（△法） ：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意
二次项系数是否为 0 的讨论
4． 换元法
例 ．求函数 y ? 2x ? 4 1? x 的值域
2解：设 t ? 1? x 则 t?0 x=1?t
2 22代入得 y ? f (t) ? 2?(1?t )? 4t ? ?2t ? 4t ? 2 ? ?2(t ?1) ? 4
∵ t?0 ∴ y?4
5． 分段函数
例 ．求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域 . y
?? 2x ?1(x ? ?1)?
解法 1：将函数化为分段函数形式： y ? ?3(?1? x ? 2) ，
?2x ?1(x ? 2)?
画出它的图象（下图） ，由图象可知，函数的值域是 {y|y?3}.
3
-1O 2 x
解法 2： ∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点 -1， 2 的距离之和，
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∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+?]. 如图
x -1 O 1 2 -1 Ox 1 2 -1 O 1 2 x
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、
图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、
三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，
同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解
课题：2.3
讲解新课：
⒈增函数与减函数
定义：对于函数f (x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
函数的单调性
x
1
, x
2，⑴若当
x
1<
x
2时，都有
f (x
1
) < f (x
2
) ,则说f (x)在这个区间上是增函
数（如图3）；⑵若当x1< x2时，都有f (x1) > f (x2 ) ,则说f (x)在这个区间上是
减函数（如图4）.
y y
f (x) f (x)
f (x
1
)
x
1
f (x
2
)
x
2
f (x
1
)
x
1
f (x
2
)
x
2 x
图3 x图4
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数
在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y ? x（图1），
当x∈[0,+?)时是增函数，当x∈(-?,0)时是减函数.
⒉单调性与单调区间
2
28
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f (x)在这一区间
具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f (x)的单调区间.此时也说函数是
这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这
个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5
中，在x1, x2那样的特定位置上，虽然使得f (x1) > f (x2 )，但
显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上
y
f (x)
f (x
1
)
x
1
f (x
2
)
x
2 x
图5
述的定义，只要将上述定义中的“f (x1) < f (x2 )或f (x1) > f (x2 ) ,”改为
“f (x1) ? f (x2 )或f (x1) ? f (x2 ),”即可；
⑷定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；
外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变
量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增
函数，图象下降则为减函数.
3．函数单调性的证明
例1．判断并证明函数f (x) ? x3的单调性
证明：设x1 ? x2则
f(x
1
)? f(x
2
) ? x
1
? x
2
? (x
1
? x
2
)(x
1
? x
1
x
2
? x
2
)
29
3 2 2 2
∵x1 ? x2 ∴x
1
? x
2
? 0，x
1
? x
1
x
2
? x
2
2 2 x 3x? (x
1
? 2 )2 ? 2 ? 0 ,2 4 2
∴f(x
1
)? f(x
2
)? 0即f(x
1
)? f(x
2
)（注：关键f(x
1
)? f(x
2
)? 0的判断）
∴f (x) ? x3在R上是增函数.
4．复合函数单调性的判断
对于函数y ? f (u)和u ? g(x)，如果u ? g(x)在区间(a,b)上是具有单调
性，当x?(a,b)时，u?(m,n)，且y ? f (u)在区间(m,n)上也具有单调性，
则复合函数y ? f (g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：
y ? f (u)
u ? g(x)
y ? f (g(x))
增↗
增↗
增↗
减↘
减↘
减↘
增↗
减↘
减↘
增↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
证明：①设x1,x2 ?(a,b)，且x1 ? x2
∵u ? g(x)在(a,b)上是增函数，
∴g(x1) ? g(x2 )，且g(x1),g(x2 )?(m,n)
∵y ? f (u)在(m,n)上是增函数，∴f (g(x1)) ? g((x2 )) .
所以复合函数y ? f (g(x))在区间(a,b)上是增函数
②设x1,x2 ?(a,b)，且x1 ? x2，∵u ? g(x)在(a,b)上是增函数，
30
∴g(x1) ? g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)
∵y ? f (u)在(m,n)上是减函数，∴f (g(x1)) ? g((x2)) .
所以复合函数y ? f (g(x))在区间(a,b)上是减函数
③设x1,x2 ?(a,b)，且x1 ? x2，∵u ? g(x)在(a,b)上是减函数，
∴g(x1) ? g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)
∵y ? f (u)在(m,n)上是增函数，∴f (g(x1)) ? g((x2)) .
所以复合函数y ? f (g(x))在区间(a,b)上是减函数
④设x1,x2 ?(a,b)，且x1 ? x2，∵u ? g(x)在(a,b)上是减函数，
∴g(x1) ? g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)
∵y ? f (u)在(m,n)上是减函数，∴f (g(x1)) ? g((x2)) .
所以复合函数y ? f (g(x))在区间(a,b)上是增函数
课题：2.4
讲解新课：
反函数
反函数的定义
一般地，设函数y ? f (x)(x? A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关
系，用y把x表示出，得到x=?(y).若对于y在C中的任何一个值，通过
x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=? (y)就表示y是自变
量，x是自变量y的函数，这样的函数x=? (y) (y? C)叫做函数
y ? f (x)(x? A)的反函数，记作x ? f ?1(y),习惯上改写成y ? f ?1(x)
探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于
31
任意一个函数y ? f (x)来说，不一定有反函数，如y ? x2 ,只有“一一映射”
确定的函数才有反函数，y ? x2 , x?[0,??)有反函数是y ? x
探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数y ? f (x)是定义域A到值域C的映射，而它
的反函数y ? f ?1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y ? f (x)的定
?1义域正好是它的反函数y ? f
反函数y ? f
定义域
值域
?1
函数y ? f (x)的值域正好是它的(x)的值域；
?1(x)的定义域f [ f
函数y ? f (x)
A
C
?1
(x)] ? x, f ?1[ f (x)] ? x（如下表）：
反函数y ? f
C
A
?1(x)
探讨3：y ? f (x)的反函数是？
?1若函数y ? f (x)有反函数y ? f (x)，那么函数y ? f ?1(x)的反函数就
?1是y ? f (x)，这就是说，函数y ? f (x)与y ? f
2、探究互为反函数的函数的图像关系
(x)互为反函数
观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数y ? f (x)的图象和它
的反函数y ? f ?1(x)的图象关于直线y ? x对称.
3．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）
证明：设M(a,b)是y ? f (x)的图象上的任意一点，
则当x=a时，f (x)有唯一的值f (a) ? b.
∵y ? f (x)有反函数y ? f
∴当x=b时，f ?1
?1
y?f(x)
P
M
M''
(x)，
?1
y?f ?1(x)
(x)有唯一的值f (b) ? a，
32
即点M''(b,a)在反函数y ? f ?1(x)的图象上.
若a=b，则M，M''是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.
若a? b，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，PM''，MM''
由两点间的距离公式得：
PM= (a ?c)2 ?(b?c)2 ,PM''= (b?c)2 ?(a ?c)2，
∴PM=PM''. ∴直线y=x是线段MM''的垂直平分线，
∴点M, M''关于直线y=x对称.
∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，
∴y ? f (x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数
y ? f ?1(x)的图象上，由y ? f (x)与y ? f
数y ? f ?1
?1(x)互为反函数可知，函
(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函
数y ? f (x)的图象上，
∴函数y ? f (x)与y ? f ?1(x)的图象关于直线y=x对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定
是互为反函数.
4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若y ? f (x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数y ? f
图象可以由y ? f (x)的图象关于直线y=x对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域；
⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同
?1(x)的
课题：2.5
新课讲解
根式
指数函数
1、定义：
n一般地，若x ? a(n ?1,n?N) 则x叫做a的n次方根
33
n a叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
6例如，27的3次方根表示为3 27，-32的5次方根表示为5 ?32，a的3
次方根表示为3 a6；16的4次方根表示为? 4 16，即16的4次方根有
两个，一个是4 16，另一个是- 4 16，它们绝对值相等而符号相反.
2、性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
nx ? a 记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
n记作： x ? ? a
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a?0时，n a ?0，表示算术根，所以类似4 16 =2的写法是错误的.
3、常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
n 3 5①当n为任意正整数时，( n a ) =a.例如，(3 27 ) =27，(5 ?32 ) =-32.
?a(a ? 0)②当n为奇数时，a =a；当n为偶数时，a =|a|=? .
?a(a ? 0)?n n n n
5例如，3 (?2)3 =-2，2 =2；4 34 =3，(?3)2 =|-3|=3.5
⑶根式的基本性质：np（a?0）.amp ? n am，
2注意，⑶中的a?0十分重要，无此条件则公式不成立.例如6 (?8) ? 3 ?8 .
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a
34
的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值 .
⑶若一个根式 (算术根 )的被开方数是一个非负实数的幂， 那么这个根式的根
指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变 .
分指数
1.正数的正分数指数幂的意义
amn ? n am (a＞ 0,m,n∈ N,且 n＞ 1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数
指数幂可以进行互化 .
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定 .
2.规定：
(1)a?
m
n ?
1
amn
(a＞ 0， m,n∈ N ,且 n＞ 1)
(2)0 的正分数指数幂等于 0.
(3)0 的负分数指数幂无意义 .
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数 .
当 a＞ 0 时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用 .即对于任意
有理数 r,s,均有下面的运算性质 .
3.有理指数幂的运算性质:
am ?an ? am?n (m,n?Q)
(am )n ? amn (m,n?Q)
(ab)n ? an ?bn (n?Q)
说明： 若 a＞ 0， P 是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数，上述有理指
数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略 .
指数函数
1．指数函数的定义：
函数 y ? a (a ? 0且 a ?1) 叫做 指数函数 ，其中 x 是自变量，函数定义域
是 R
探究 1：为什么要规定 a>0,且 a? 1 呢？
p
x
①若 a=0，则当 x>0 时， a =0；当 x? 0 时， a 无意义 .
35
x x
②若 a<0， 则对于 x 的某些数值， 可使 a 无意义 . 如 (?2) ， 这时对于 x=
x=
x x 1 ，4
1 ，…等等，在实数范围内函数值不存在 .
2
③若 a=1，则对于任何 x?R， a =1，是一个常量，没有研究的必要性 .
为了避免上述各种情况， 所以规定 a>0 且 a?1在规定以后， 对于任何 x?R，
x
ax 都有意义，且 ax >0. 因此指数函数的定义域是 R，值域是 (0,+∞ ).
探究 2：函数 y ? 2?3x是指数函数吗？
指数函数的解析式 y=a 中， a 的系数是 1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y=a +k (a>0 且 a? 1， k?Z)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 y=a?x
x
x x
(a>0,且 a? 1)，因为
1 1? 1 ?它可以化为 y=? ? ，其中 >0，且 ? 1
a a? a ?
2.指数函数的图象和性质 ：
x
? 1 ? ? 1 ?xx在同一坐标系中分别作出函数 y=2 ， y=? ? ， y=10 ， y=? ? 的图象 .
? 2? ?10?
列表如下：
x
y=2 x
x x
… -3 -2 -1 -0.5 0
0.71 1
1.4 1
0.5
1.4
1
2
2
4
3
8
…
… … 0.13 0.25 0.5
x? 1 ?
y=? ? ? 2?
… 8 4 2 0.71 0.5 0.25 0.13 …
36
x
y=10 x
… -1.5
… 0.03
x
-1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
0.1 0.32 0.56
3.16 1.78
1 1.78 3.16 10 31.62 …
…
y=?? 1 ?? ?10?
… 31.62 10 1 0.56 0.32 0.1 0.03
? 1 ? ? 1 ?x我们观察 y= 2 ， y=? ? ， y=10 ， y=? ? 的图象特征，就可以得到
? 2? ?10?
x
x x
y ? ax(a ? 0且 a ? 1) 的图象和性质
图
象
a>1 0
0 0
性
质
课题 2.6
新课讲解
(1)定义域： R
（ 2）值域： （ 0， +∞）
（ 3）过点（ 0， 1） ，即 x=0 时， y=1
（ 4）在 R 上是增函数 （ 4）在 R 上是减函数
对数函数
37
对数的定义
定义 ：一般地，如果 a?a ? 0,a ?1?的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ，b
那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记作 loga N ?b， a 叫做对数的底数， N
叫做真数
2 2例如： 4 ?16 ? log416 ? 2 ; 10 ?100 ? log
10
100 ? 2
4 ? 2 ? log42 ?12 1 ?2 ; 10 ? 0.01 ? log
10
0.01? ?22
探究 ：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ loga 1? 0 ， loga a ?1
∵对任意 a ? 0且 a ?1, 都有 a ?1 ∴ loga 1? 0
同样易知： loga a ?1
⑶对数恒等式
b如果把 a ? N 中的 b 写成 log
a
N , 则有 alogaN
0
? N
⑷常用对数： 我们通常将以 10 为底的对数叫做 常用对数 为了简便 ,N 的常
用对数 log10 N 简记作 lgN
例如： log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5简记作 lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数，
以 e 为底的对数叫 自然对数 ， 为了简便， N 的自然对数 loge N 简记作 lnN
例如： loge 3简记作 ln3 ; loge 10简记作 ln10
（ 6）底数的取值范围 (0,1) (1,??)；真数的取值范围 (0,??)
对数的性质
积、商、幂的对数运算法则：
38
如果 a > 0， a ? 1， M > 0， N > 0 有：
log
a
(MN)? log
a
M?log
a
N (1)
Mlog
a
? log
a
M?log
a
N (2) N
log
a
Mn ?nlog
a
M(n?R) (3)
证明： ①设 loga M=p, loga N=q
由对数的定义可以得： M=a ， N=a p q
∴ MN= a a =ap q p?q ∴ loga MN=p+q，
即证得 loga MN=loga M + loga N
②设 loga M=p， loga N=q
由对数的定义可以得 M=a ， N=a p q
M ap M?
q
? ap?q ∴ loga∴ ? p?q N a N
即证得 loga M ? loga M ?loga N N
③设 loga M=P 由对数定义可以得 M=a ,
∴ M ＝ a ∴ loga M =np， 即证得 loga M =nloga M
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，
并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成
对数式
①简易语言表达： “积的对数 = 对数的和”……
p
n np n n
②有时逆向运用公式：如 log10 5? log10 2 ? log10 10 ?1
③真数的取值范围必须是 (0,??)：
log2 (?3)(?5) ? log2 (?3)?log2 (?5) 是不成立的
2 log
10
(?10) ? 2log
10
(?10) 是不成立的
39
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
log
a
(MN) ? log
a
M ?log
a
N ， log
a
(M ? N) ? log
a
M ? log
a
N
对数换底公式及推论
1.对数换底公式 ：
log
a
N ? logm N ( a > 0 ,a ? 1 ， m > 0 ,m ? 1,N>0) log
m
a
证明 ：设 loga N = x , 则 a = N x
x 两边取以 m 为底的对数： log
m
a ? log
m
N ? xlog
m
a ? log
m
N
从而得： x ? logm N logm N ∴ loga N ? log
m
a log
m
a
2.两个常用的推论 :
① loga b?logb a ?1， loga b?logb c?logc a ?1
② log
am
b ?n n log
a
b（ a, b > 0 且均不为 1） m
证：① loga b?logb a ? lgb lga? ?1 lga lgb
lgbn nlgb n ② log
am
b ? ? ? log
a
b lga
m mlga m
n
对数函数
1．对数函数的定义：
函 数 y ? loga x (a ? 0且 a ?1) 叫 做 对 数 函 数 ； 它 是 指 数 函 数 y ? a x
(a ? 0且 a ?1) 的反函数
对数函数 y ? loga x (a ? 0且 a ?1) 的定义域为 (0,??)，值域为 (??,??)
2．对数函数的图象
40
由于对数函数 y ? loga x与指数函数 y ? a 互为反函数，所以 y ? loga x的图
象与 y ? a 的图象关于直线 y ? x 对称 因此， 我们只要画出和 y ? a 的图象关
x
x x
于 y ? x 对称的曲线，就可以得到 y ? loga x的图象，然后根据图象特征得出
对数函数的性质
1 1
A 0 1 0 1
3．对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质 见 P87 表
a>1 0
图 1
0
1
象 1 0 1
定义域： （ 0， +∞）
值域： R
过点（ 1， 0） ，即当 x=1 时， y=0
性
质 x?(0,1) 时 y ? 0
x?(1,??)时 y ? 0
在（ 0， +∞）上是增函数
x?(0,1) 时 y ? 0
x?(1,??)时 y ? 0
在（ 0， +∞）上是减函数
41
课题 2.6 幂函数
新课讲解
引入例题
经调查，一种商品的价格和需求的关系如下表所示
价格 \元
需求量 \t
根据此表，我们可以得到价格 x 与需求量 y 之间近似地满足关系
0.6
139.6
0.65
135.4
0.7
131.6
0.75
128.2
0.8
125.1
0.85
122.2
0.9
119.5
y ?114.8746x?0.3815912.
这个关系式与函数 y ? x
问题：函数 y ? x
?0.3815192 是相关联的。
?0.3815192 是指数函数么？
定义：一般地，我们把形如
y ? xa
的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， a 是常数。
课题 3.1 数列
新课讲解
⒈ 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做 数列 .
注意 ：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相
同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以
重复出现 .
⒉ 数列的项 ： 数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个
数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，…，第 n 项，… .
⒊ 数列的一般形式 ： a1,a2,a3,?,an ,?，或简记为 ?an?，其中 an 是数列
的第 n 项
⒋ 数列的通项公式 ：如果数列 ?an?的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .
5． 数列的图像 都是一群孤立的点 .
6． 数列有三种表示形式 ：列举法，通项公式法和图象法 .
42
7． 有穷数列 ：项数有限的数列 .例如，数列①是有穷数列 .
8． 无穷数列 ：项数无限的数列 .
知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一： 自上而下：
第 1 层钢管数为 4；即： 1?4＝ 1+3
第 2 层钢管数为 5；即： 2?5＝ 2+3
第 3 层钢管数为 6；即： 3?6＝ 3+3
第 4 层钢管数为 7；即： 4?7＝ 4+3
第 5 层钢管数为 8；即： 5?8＝ 5+3
第 6 层钢管数为 9；即： 6?9＝ 6+3
第 7 层钢管数为 10；即： 7?10＝ 7+3
若用 an 表示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
? n ? 3(1≤ n≤ 7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用
这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来
很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二： 上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1
即 a1 ? 4 ； a2 ? 5 ? 4?1? a1 ?1； a3 ? 6 ? 5?1? a2 ?1
依此类推： an ? an?1 ?1（ 2≤ n≤ 7）
对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项，看来，这一关
系也较为重要
定义：
1． 递推公式 ：如果已知数列 ?an?的第 1 项（或前几项） ，且任一项 an 与
它的前一项 an?1（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
式就叫做这个 数列的递推公式
说明 ：递推公式也是给出数列的一种方法
如下数字排列的一个数列： 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89
递推公式为： a1 ? 3,a2 ? 5,an ? an?1 ?an?2(3? n ?8)
43
2． 数列的前 n 项和：
数列 ?an?中， a1 ? a2 ? a3 ??? an 称为数列 ?an?的前 n 项和，记为 Sn .
S
1表示前 1 项之和：
S
1=
a
1
S
2 表示前 2 项之和：
S
2 =
a
1
? a
2
……
S
n?1表示前 n-1 项之和：
S
n?1=
a
1
? a
2
? a
3
??? a
n?1
S
n 表示前 n 项之和：
S
n =
a
1
? a
2
? a
3
??? a
n .
∴当 n≥ 1 时 Sn 才有意义；当 n-1≥ 1 即 n≥ 2 时 Sn?1才有意义 .
3． Sn 与 an 之间的关系 ：
由 Sn 的定义可知，当 n=1 时， S1=a1 ；当 n≥ 2 时， an =Sn -Sn?1，
?S
1
(n ?1)
即 an =? .S ? S (n ? 2)
n?1? n
说明 ：数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法 .
课题 3.2 等差数列及前
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的 数列的 几种方法——
列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式 ..这些方法从不同的角
度反映数列的特点 下面我们看这样一些例子
1． 小明觉得自己英语成绩很差， 目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5 个 他
决定从今天起每天背记 10 个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依
次为： 5， 15， 25， 35，…
（问：多少天后他的单词量达到 3000？）
2． 小芳觉得自己英语成绩很棒， 她目前的单词量多达 3000她打算从今天起
不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉 5 个单词，那么从今天开始，她的单
词量逐日递减，依次为： 3000， 2995， 2990， 2985，…
（问：多少天后她那 3000 个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
① 5， 15， 25， 35，… 和 ② 3000， 2995， 2990， 2980，…
n 项和
44
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；
（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有
这种特征的数列一个名字——等差数列
二、新课讲解
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于
同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常
用字母“d”表示）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{an },若an－an?1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N?，
则此数列是等差数列，d为公差
2．等差数列的通项公式：an ? a1 ? (n?1)d【或an ? am? (n?m)d】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列?an?的首项
是a1，公差是d，则据其定义可得：
a
2
? a
1
? d即：a
2
? a
1
? d
a
3
?a
2
? d即：a
3
? a
2
? d ? a
1
? 2d
a
4
?a
3
? d即：a
4
? a
3
? d ? a
1
? 3d
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：an ? a1 ? (n?1)d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an
如数列①1，2，3，4，5，6； an ?1? (n?1)?1? n（1≤n≤6）
数列②10，8，6，4，2，…； an ?10 ? (n?1)?(?2) ?12 ? 2n（n≥1）
数列③; , ; ,1, ; an ?1 2 3 45 5 5 5 1 1 n? (n?1)? ?（n≥1）5 5 5
由上述关系还可得：am ? a1 ? (m ?1)d
即：a1 ? am ? (m?1)d
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则： an ? a1 ? (n ?1)d =am ? (m ?1)d ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d
即的 第二通项公式 an ? am ? (n ? m)d ∴ d=
如： a5 ? a4 ? d ? a3 ? 2d ? a2 ? 3d ? a1 ? 4d
等差中项
等差数列求和公式
a
m
?a
n m?n
设等差数列 ?a
n
?的前 n 项和为 s
n，用公式表示为
s
n
? a
1
?a
2
? ? a
n
s
n
? a
1
??a
1
?d??
再把项的次序反过来，得
??a
1
??n?1?d?
??a
n
??n?1?d?s
n
? a
n
??a
n
?d??
两式相加可得
2s
n
? n?a
1
?a
n
?
s
n
? n
?a
1
?a
n
?
2
将 a
n
? a
1
??n?1?d 代入上式，得
s
n
? na
1
?
课题 3.3 等比数列及前
新课讲解
n?n?1?d
2
n 项和
1、预备题：写出下列数列的通项，并讨论其公共特点：
1
1, 2
1
， 4
1
， 8 ，… 5，－ 25， 125，－ 625，…
2、定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的
比等于同一个常数， 该数列叫等比数列， 这个常数叫公比， 用 q 表示。
（ q 和各项均不为 0）
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3、讨论：等比数列的 a
n
与 a
1
,q 有何关系？ (试由前面几项归纳出来）
→通项公式。
a
n
? a
n?1
q
a
n?1
? a
n?2
q
a
3
? a
2
q
a
2
? a
1
q
n?1通项公式为： a
n
? a
1
q 。
4、等比中项： 如果在 a 与 b 之间插入一数 G，使得 a,G， b 成等比数列
那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
5、等比数列求和公式：
设等比数列 ?an?的前 n 项和为 s
n，用公式表示为
s
n
? a
1
? a
2
?
s
n
? a
1
? a
1
q ?
? a
n
? a
1
qn?1
等式两边同乘 q，得
qs
n
? a
1
q ? a
1
q2 ? ? a
1
qn
两式相减，得
?1?q?s
n
? a
1
?1?qn?1?
s
n
?
上式还可写为
s
n
?
a
1
?1?qn?
1?q
a
1
?a
n
q
1?q
47
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