PINN求解偏微分方程最新研究进展

文一：

元表面设计和量子光学应用的最新进展，包括机器学习、基于物理的神经网络和拓扑优化方法

摘要：

作为一种低深度剖面的二维平面材料，准表面能够在其界面处产生非经典的电磁波相位分布。因此，它提供了更多的灵活性，以控制波阵面。传统的元曲面设计过程主要采用前向预测算法，如差分时域算法，结合手动参数优化。然而，这种方法是耗时的，并且很难保持实际的元原子光谱与理想的一致。此外，由于元原子设计过程中使用周期边界条件，而阵列模拟中使用非周期条件，相邻元原子之间的耦合必然导致不准确性。本文介绍和讨论了具有代表性的表面设计智能方法，包括机器学习、物理信息神经网络和拓扑优化方法。详细阐述了各种方法的原理，分析了它们的优缺点，并讨论了它们的潜在应用。我们还总结了最近在量子光学应用中使能元表面的进展。总之，本文为未来的量子光学研究提供了一个有希望的智能化超表面设计和应用方向，为超表面和超材料领域的研究者提供了最新的参考。

图：典型元表面研究过程概述

图：面向元曲面设计的机器学习案例与方法

图：物理信息神经网络用于表面设计的基本原理

图：基于物理的神经网络用于元表面设计的案例和方法

文二：

基于物理信息神经网络的线弹性求解深度学习加速计算框架

摘要：

本文提出了一种针对线性连续体弹性问题开发的高效、稳健的数据驱动深度学习（DL）计算框架。该方法基于物理知情神经网络（PINN）的基本原理。为了准确地表示场变量，提出了一个多目标损失函数。它由对应于控制偏微分方程（PDE）残差的项、从控制物理导出的本构关系、各种边界条件以及问题域中随机选择的配置点之间的数据驱动的物理知识拟合项组成。为此，训练多个密集连接的独立人工神经网络（Ann），每个网络都近似于一个场变量，以获得精确的解。解决了几个基准问题，包括弹性的Airy解和Kirchhoff–Love板问题。准确性和稳健性方面的性能表明了当前框架的优越性，与分析解决方案非常一致。目前的工作结合了经典方法的优点，这些方法依赖于分析关系中可用的物理信息，以及DL技术在数据驱动构建轻量级、准确和稳健的神经网络方面的卓越能力。本文开发的模型可以使用最小网络参数显著提高计算速度，并且在不同的计算平台中具有容易的适应性。

图：由多个人工神经网络组成的用于求解线性弹性问题的PINNs网络结构

图：（a） 长度为L、高度为2a、平面外厚度为b的端部加载悬臂梁的弹性平面应力问题，该悬臂梁已被夹紧在x=L处；（b） 在PINN训练期间，问题域和各种边界上的总搭配点Nc=5000的分布。

图：Kirchhoff–Love板的基准问题设置：（a，b）a=200 cm和b=300 cm的简支矩形板，厚度t=1 cm，承受强度为q0=9.806×10−4 MPa的横向正弦载荷；（b） 在PINN训练期间，问题域和各种边界上的总搭配点Nc=10000的分布。

图：(a)位移的Airy解；(b)相应的 PINN 解决方案；(c)Airy解和与端部加载悬臂梁的每个场变量相关联的PINN预测之间的绝对误差。

图：数据驱动增强的智能初始化对(a)总损失的影响（b） 本构损耗（c） 解析解与PINNs结果之间的场变量绝对误差

文三：

物理信息神经网络近似偏微分方程的泛化误差估计

摘要：

物理知情神经网络（PINN）最近被广泛用于偏微分方程（PDE）的鲁棒和精确逼近。我们给出了偏微分方程正演问题的PINN近似解的推广误差的上界。引入了一种抽象形式，并利用基础PDE的稳定性特性，根据训练误差和训练样本数推导出泛化误差的估计值。这个抽象框架用几个非线性偏微分方程的例子来说明。数值实验也验证了所提出的理论。

图：（完全连接的）DNN的图示。红色神经元表示网络的输入，蓝色神经元表示输出层。它们通过黄色神经元的隐藏层连接。每个隐藏单元（神经元）通过不同层中单元之间的仿射线性映射连接，然后通过单元内的非线性（标量）激活函数连接。

图：具有随机选择的训练点的一维热方程（3.1）的训练集S的图示。Sint中的点用蓝色圆点表示，StbŞSsb中的点则用黑色十字表示

图：泛化误差对不同网络超参数的边际分布

图：泰勒涡旋的精确解和PINN解。

图：双剪切层问题在不同时间的参考（顶行）和PINN生成的（底行）涡度。

文四：

有限基物理知情神经网络（FBPINNs）：一种求解微分方程的可扩展域分解方法

摘要：

最近，基于物理的神经网络（PINN）为解决与微分方程有关的问题提供了一种强大的新范式。与经典数值方法相比，PINN具有几个优点，例如，它们能够提供微分方程的无网格解，以及在同一优化问题中进行正向和反向建模的能力。尽管前景看好，但迄今为止的一个关键限制是，PINN一直难以准确有效地解决大域和/或多尺度解决方案的问题，这对其在现实世界中的应用至关重要。多个重要且相关的因素导致了这一问题，包括随着问题规模的增长，潜在PINN优化问题的复杂性不断增加，以及神经网络的频谱偏差。在这项工作中，我们提出了一种新的、可扩展的方法来解决与微分方程有关的大型问题，称为有限基物理知情神经网络（FBPINN）。FBPINN受到经典有限元方法的启发，其中微分方程的解表示为具有紧支撑的有限基函数集的和。在FBPINN中，神经网络用于学习这些基函数，这些基函数是在小的重叠子域上定义的。FBINN旨在通过在每个子域上使用单独的输入归一化来解决神经网络的频谱偏差，并通过在并行分治方法中使用许多较小的神经网络来降低潜在优化问题的复杂性。我们的数值实验表明，FBPINN在解决小型和大型多尺度问题方面都是有效的，在精度和所需计算资源方面都优于标准PINN，有可能为PINN在大型现实世界问题上的应用铺平道路。

图：FBPINN工作流。FBPINN使用域分解和单独的子域规范化来解决将PINN扩展到大域的相关问题。

图：FBPINN 的灵活培训时间表

图：FBPINN的性能

图：用PINN求解方程

文五：

物理信息神经网络非自适应和基于残差的自适应抽样综合研究

摘要：

物理知情神经网络（PINN）已被证明是解决偏微分方程（PDE）正问题和反问题的有效工具。PINN使用自动微分将PDE嵌入到神经网络的损失中，并在一组分散的时空点（称为残差点）处评估这种PDE损失。这些残差点的位置和分布对PINN的性能非常重要。然而，在现有的PINN研究中，主要使用的是几种简单的残差点采样方法。在这里，我们对PINN的两类采样进行了全面的研究：非自适应均匀采样和自适应非均匀采样。我们考虑了六种均匀采样方法，包括（1）等距均匀网格，（2）均匀随机采样，（3）拉丁超立方体采样，（4）Halton序列，（5）Hammersley序列和（6）Sobol序列。我们还考虑了统一采样的重采样策略。为了提高PINN的采样效率和精度，我们提出了两种新的基于残差的自适应采样方法：基于残差的适应性分布（RAD）和基于残差的分布自适应细化（RAR-D），它们在训练过程中基于PDE残差动态地改进残差点的分布。因此，我们总共考虑了10种不同的采样方法，包括6种非自适应均匀采样、带重采样的均匀采样、两种提出的自适应采样和一种现有的自适应采样。我们在许多设置中对四个正向问题和两个反向问题广泛测试了这些采样方法的性能。我们在本研究中给出的数值结果是从6000多个PINN模拟中总结出来的。我们表明，所提出的RAD和RAR-D的自适应采样方法显著提高了PINN的精度，对于正问题和逆问题都具有较少的残差点。这项研究的结果也可以作为选择抽样方法的实用指南。

图：对于偏微分方程的残差 ε (x，y) ，采用不同 k 和 c 值的 RAD 抽样1000个残差点的例子

图：400点示例

图：Burgers 方程不同采样方法的 L2相对误差

图：扩散方程不同采样方法的相对误差

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