6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章 计数原理学习目标：1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；2. 了解分类
加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
教学重点：归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.教学难点：正确区分“分类”和“分步”.问题1 用一个大写的英文字母或
一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+
10=36种不同的号码.思考：观察上述问题的特征，总结计数过程的基本环节.1. 分类加法计数原理首先，这里要完成的事情是“给一个座
位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编
出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问
题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.分类加法计数原理：完
成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例1 在
填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有
多少种选择？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强
项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为.2. 分步乘法计数原理思考：用前6个大写英文字母和
1~9这9个阿拉伯数字，以的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或
10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到
一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用右图所示的方法可以列出所有可能的号码.由于前6个英文字母中的
任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码.上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位
编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字
母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做
第1步有 m种不同的方法，做第2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例2 某班有男生30名、女生24名，从中
任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名
女生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为.3. 两个计数原理的综合应用两个原理的区别与联系：例
3 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名
？解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053，即最多可以给1053个程序模块命名.例4 通常，我国民用汽车号牌的编
号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的
序号，如图所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最
多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位
都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为. （
2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时，分
5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相
应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类
号牌张数一共为（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1
位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1
位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法
；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.同样，其余九个子类号牌也各有
576000张.于是，这类号牌张数一共为.综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为10
0000+1200000+5760000=7060000.用两个计数原理解决计数问题时的注意点：（1）要完成的“一件事”是什么；（
2）需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“
步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总
数.1. 有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A
.8种 B.9种 C.10种 D.11种练一练B练一
练C练一练C练一练练一练5. 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?（
3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法?解：（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种
不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分类加法计数原理，知共有
种不同的选法.（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从
高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类，从高一、高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第三类，从高二、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法.故共有种不同的选法.课堂小结——你学到了那些新知识呢？1. 分类加法计数原理；2. 分步乘法计数原理；3. 两个计数原理的综合应用. |
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