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认为代数学将继续存在的观点基于这样一种想法：代数学的思维方式是独特的。 人们常说，一个国家的书面语与人们日常使用的口语时近时远。英语书面语在乔叟时代比较接近于口语，到了 18 世纪早期的拉丁文学全盛时期，则与口语相去甚远，而到了现代又与口语更加相近。类似地，代数与科学的现实世界也时近时远。 正如我们所看到的，最早的代数起源于度量、计时和土地测量等实际问题。丢番图和中世纪阿拉伯数学家们有时为了他们自己的内在兴趣而脱离实际问题去研究代数问题，从而增加了抽象层次。这种研究态度延续到文艺复兴时期和近世，那时人们对三次方程和四次方程的纯代数研究产生了极大的兴趣，并最终得到了一般解。 从 1600 年前后几十年间现代字符体系的发明开始，到 18 世纪晚期攻克一般五次方程，新的字母符号体系被广泛用于解决各个领域中的实际问题：土木和军事工程、天文学和航海学、会计学以及统计学的初级阶段。自起源于美索不达米亚以来，代数在这段时期可能更贴近现实世界。 然而，19 世纪纯代数的发展如此丰富多彩，以至于这门学科超越了任何实际应用，几乎独处于一个完全无用的领域。即使实用主义者从代数学中获得灵感，他们也表现得漫不经心、囫囵吞枣。到 19世纪末，代数学已经把科学远远抛到后面。如果你在 1893 年向年轻的希尔伯特请教零点定理的实际应用，他一定会大笑起来。 在 20 世纪，尽管代数学的抽象化层次呈现出越来越高的趋势，但是代数与现实应用之间的差距在某种程度上开始缩小。19 世纪发现的所有新的数学对象都有了一些科学应用，可能某些数学对象仅在纯理论研究中得到应用。尤金·维格纳（1902—1995）在他1960 年的里程碑式的论文《数学在自然科学中不可思议的有效性》中说，这是一种“奇迹”。不知怎么地，这些纯粹思考的产物、这些群和矩阵、这些域和流形，确实可以描述现实世界中的真实事物或真实过程。 代数学的“不可思议的有效性”随处可见。例如，群在编码和密码理论中非常重要，矩阵现在是经济分析的基础，代数拓扑中的一些概念出现在从发电系统到计算机芯片设计的各个领域。根据范畴论的宣传者所述，甚至连范畴论也在计算机语言设计中创造着奇迹，尽管我自己无法判断这个断言的价值。 然而，毫无疑问，就代数学而言，维格纳所说的“不可思议的有效性”的最引人注目的例证出现在现代物理学中。20 世纪物理学发生的两次重大的革命当然是相对论和量子理论。两者都建立在 19 世纪的纯代数概念的基础之上。 现在，在 21 世纪初，更奇怪、更大胆的物理学理论正在流行。如果没有哈密顿、格拉斯曼、凯莱、西尔维斯特、希尔伯特和诺特的工作，人们就不可能构想出这些理论。其中最大胆的一些理论源自试图统一 20 世纪两个伟大发现——相对论和量子力学，这些理论包括：弦理论、超对称弦理论、M 理论和圈量子引力论，等等。所有这些理论都至少从 20 世纪的代数或代数几何中汲取了一些灵感。 以卡拉比 – 丘流形为例，它提供了弦理论所需要的“缺失”维度。根据弦理论，这些维度是潜伏在时空中以普朗克尺度观测的极小区域中的六维空间。它们最早是由德国数学家埃里克·凯勒（1906—2000）首先想到的。凯勒和扎里斯基一样，在罗马跟随意大利的代数几何学家学习，不过他比扎里斯基晚去了几年（1932 年到 1933 年）。 基于黎曼的某些思想，凯勒定义了一族具有某些一般性和有趣的性质的流形。例如，每个黎曼曲面都是一个凯勒流形。下一代的美国数学家欧金尼奥·卡拉比（1923— ）确定了凯勒流形的一个子类，并猜想它们的曲率应该具有一种有趣的简单性。 1977 年，来自中国的年轻数学家丘成桐（1949— ）证明了卡拉比猜想，这种类型的空间今天被称为卡拉比 – 丘流形。其曲率的简单性，即某种“光滑性”，使得它们成为弦运动的理想选择，根据弦理论，这种运动在我们的仪器中看起来就像是各种各样的亚原子粒子和包括引力在内的各种力。这种空间是六维的这个事实有点儿令人惊讶，但是这些“额外”的维度被“折叠起来”，在以我们为主导的宏观世界中是看不见的，就像从足够远的地方看一根粗粗的三维缆索时，它看起来像是一维的一样。 因此，我们似乎有理由认为，20 世纪以抽象程度越来越高为特征的代数学的抽象程度可能不会再提高，或者至少暂时停止提高。同时，代数学家则忙于回答物理学家提出的难题，而且也明确了像范畴论这样的超抽象方法的适当地位。 还有这样的可能，代数学无法作为一门独立的数学学科继续存在。20 世纪是一个统一的时代，代数学扩张到数学的其他领域，这些领域也反过来影响它。如果我从事高维流形上的函数族的研究，这些族具有群结构，那么我从事的是分析学（函数）、拓扑学（流形）还是代数学（群）研究呢？ 认为代数学将继续存在的观点（这也是我所支持的观点）基于这样一种想法：代数学的思维方式是独特的。2000 年 6 月，伟大的代数学家阿蒂亚爵士在加拿大多伦多的一场讲座中说，几何和代数是“数学的两个形式支柱”，并认为它们分属我们的大脑的不同区域。 几何学讲的是空间……如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息……在另一方面，代数本质上涉及的是时间。无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念。在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的。 如今的数学在最高层次上得到了完美的统一，一个传统领域（几何学、数论）的概念可以轻易地融入另一个领域（代数学、分析学）。尽管如此，仍然存在不同的思维方式、不同的处理问题和获得新见解的方法。几年前，我们曾听到许多关于历史的终结是否已经到来的讨论。我不记得权威专家或哲学家是否就这个大问题得出过什么结论，但是我可以确信的是，至少代数学的历史还没有终结。 |
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