【原】【新乡市一中九上期中22】【参数坐标与特殊三角形】

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试题内容

如图,抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C,顶点为M,直线y=x+d经过C,M两点,并且与x轴交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)平面内是否存在点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点并且与直线CD相切? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 

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解法分析

第一问

待定系数法求函数解析式

方法一：

将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式中，解关于b，c的二元一次方程组，即可求出抛物线解析式为y=-x²+2x+3.

方法二：

根据题意可直接写出抛物线的交点式解析式：y=-(x+1)(x-3)，再化为一般式即可.

第二问

特殊三角形边之间的关系+两点间距离公式

因为以点P为圆心的圆经过A、B两点，所以PA=PB，即点P在线段AB的垂直平分线(抛物线的对称轴)上.因此，设点P的坐标为：(1,m).

由抛物线的解析式可以求得顶点M的坐标为(1,4)，因为直线CD经过点M，所以求得直线CD的解析式为y=x+3，进而求得点D的坐标为(-3,0)(图示错误)，记抛物线对称轴与x轴交于点F，易证△MFD是等腰直角三角形.作PE垂直于直线CD于点E，易证△MEP为等腰直角三角形.

当圆P与直线CD相切时，点P到直线CD的距离(PE)等于半径(PA)的长，因为△MEP是等腰直角三角形，所以PM=√2PE=√2PA，即PM²=2PA².已知点A的坐标为(-1,0)，点M的坐标为(1,4)，点P的坐标为(1,m)，根据两点间距离公式可得：(m-4)²=2(4+m²)，解得m=-4±2√6，所以点P的坐标为：(1，-4+2√6)或(1，-4-2√6).

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动态演示

同学们可以直观感受一下，圆P与直线CD相切时的两种情况.