【原】【2020浙江杭州中考试卷21】【知二推一+全等三角形+相似三角形】

1.试题内容

【2020浙江杭州中考试卷21】(10分)

如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CE/EB=λ(λ＞0)．

(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

(2)连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

2.解法分析

第一问

【知二推一】角平分线+平行线⇒等腰三角形

∵AG是∠DAE的平分线，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BF，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴EA=EF，

∵λ＝1，CE/EB=λ，

∴CE=EB，

∵AB＝2，

∴CE=EB=1，

在直角三角形ABE中，

由勾股定理得：EA=√5，

∴EF=EA=√5，

∴CF=EF-CE=√5-1.

第二问①

全等三角形

由(1)得：EF=EA，

∵EG⊥AF，

∴GA=GF，

在△ADG和△FCG中，

∠D=∠GCF=90°，

∠AGD=∠FGC，

GA=GF，

∴△ADG≅△FCG，

∴GD=GC，

即：点G为CD边的中点.

第二问②

相似三角形/锐角三角函数

①一线三直角

【简要分析】

易证△ADG∼△GCE，

设正方形边长为4a，则GD=GC=2a，

根据相似三角形的对应边成比例，可以求得：CE=a，

∴EB=3a，

∴λ=CE/EB=1:3.

同学们也可以利用锐角三角函数求解.

②直角三角形中的多重相似

【简要分析】

易证△ECG∼△GCF，

设正方形边长为4a，则GD=GC=2a，CF=AD=4a，

根据相似三角形的对应边成比例，可以求得：CE=a，

∴EB=3a，

∴λ=CE/EB=1:3.

同学们也可以利用锐角三角函数求解.

————  e n d ————