2021四川乐山10
如图，直线与反比例函数=(＞0)的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作轴的垂线，垂足为点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点P(，)，满足∠APB=∠ADB，则+的值为( )
A.3- B.3或
C.5+或3- D.3
解法分析
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
同弧/等弧所对的圆周角相等
轴对称的性质
寻找直角三角形及其斜边上的中点
由图象可得：=3，=3，
∴点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(3,1)，
∴点C的坐标为(2,2)，点D的坐标为(2,0)，
∴线段AD的中点E的坐标为(,),
∴OC=2，CE=，AE=，
求出直线OC的解析式为：=，
∴点E为AD和OC的交点，BD∥CE，
求出直线AB的解析式为：=-+4，
∴OC⊥AB，
∴BD⊥AB，
即：三角形ABD是直角三角形，点E为其斜边上的中点；
画出三角形ADB的外接圆
连接BE，则BE=AE=DE，
∴点A、B、D在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，画出圆E，
圆E与直线OC交于点P，连接AP、BP；
∴∠APB=∠ADB，
OP=OC-CE-PE=-，
∵点P在直线OC上，
∴=，OP=，
∴=-，
∴m=，
∴点P的坐标为:(,)，
作点P关于直线AB的对称点P'，
则：∠AP'B=∠APB=∠ADB，
根据对称性求得点P'的坐标为：(,)，
∴+=3-或5+，
∴此题选C.
