2021浙江湖州23
已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连结BC,AP.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=,求BC的长;
(2)过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,如图2所示,若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2AP;
(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数,当BD=AC时,BC=2AP?若存在,请直接写出的值;若不存在,请说明理由.
解法分析(1)
方法一:特殊三角形
根据“30°所对的直角边是斜边的一半”得:
AB=2AC=2BD,
∴点D是AB的中点,
易证三角形ACD是等边三角形,
∴AC==2,
∴BC=AC=2.
第一问条件特殊,解法多样.但过于特殊的解法一般不具备延续性,可能无法帮助我们解决后续问题.
方法二:类比法
过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,连接BE,
∴∠EDB=∠CAD=60°,
根据ASA/AAS证明△ACP≅△EDP,
∴ED=AC=BD,AE=2AP,
∴△EDB是等边三角形,
∴BE=ED=AC,∠EBD=60°=∠CAD,
根据SAS证明△ACB≅△BEA,
∴BC=AE=2AP=2.
同学们不难发现,方法二并未用到“∠ACB=90°”这个条件,此时,解法的一般性会加强.
类比迁移类问题,一般是由第一问(特殊)指导第二问(一般),特殊情况下,第二问也可以反指导第一问,比如参考第二问的条件添加平行线,或参考第二问的结论倍长中线,这样都能使题目的延续性和整体性得以展现.
解法分析(2)
第一问的类比迁移
连接BE,
∵DE∥AC,
∴∠EDB=∠CAD=60°,
根据ASA/AAS证明△ACP≅△EDP,
∴ED=AC=BD,AE=2AP,
∴△EDB是等边三角形,
∴BE=ED=AC,∠EBD=60°=∠CAD,
根据SAS证明△ACB≅△BEA,
∴BC=AE=2AP.
解法分析(3)
猜想
按照(1)(2)的思路作图,在双全等的存在下,△DEB应为等腰三角形,
因此猜想BD=AC,即=.
求证:当BD=AC时,BC=2AP.
过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,连接BE.
易得:∠EDB=45°,BD=DE.
已知:在△DEB中,∠EDB=45°,BD=DE,
求证:△DEB是等腰直角三角形.
证明:作EF⊥DE交直线DB于点F,
∴FD=DE,
∵BD=DE,
∴点B、F重合,
∴∠DEB=∠DEF=90°,
∴△DEB是等腰直角三角形.
根据SAS证明△ACB≅△BEA,
∴BC=AE=2AP.
求证:当BC=2AP时,BD=AC.
过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,连接BE、CE.
易得:∠EDB=45°,四边形ADEC是平行四边形,BC=AE.
“HL”可以帮助我们摆脱“SSA”的困境.
作CM⊥AB于点M,作EN⊥AB于点N,
∴CM=EN,
根据HL证明Rt△AEN≅Rt△BCM.
根据SAS证明△ACB≅△BEA,
进而证明△DEB是等腰直角三角形,
∴BD=DE=AC.