x2 x2
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2020考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一 、 选 择 题 ： 1~8 小 题 ， 第 小 题 4 分 ， 共 32 分 .下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项是 符 合 题 目 要 求 的 ， 请 将 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .1.x?0?时 ， 下 列 无 穷 小 阶 数 最 高 的 是A. ?x?e
t2 ?1?dtB.?xln?1+t3?dtC. sinxsint2dt01?cosxD. 01.答 案 ： Dsin3tdt2.设 函 数 f(x)在 区 间 （ -1， 1） 内 有 定 义 ， 且 limf(x)?0,则 （ ）
A.当 limx 0B.当 limx?0 f(x)?0, f ( x)在 x ?0 处 可 导 .| x |f(x)?0, f ( x)在 x ?0 处 可 导 .C.当 f(x)在 x?0处 可 导 时 ,limx0D.当 f(x)在 x?0处 可 导 时 ,lim
x?0 f (x)?0.| x |f(x)?0.
x2
x2?y2x2?y2x2?y2x
2?y2 x2 ?y2x
2 ?y2
2.答 案 ： B解 析 :?lim f(x) ?0?lim f(x)?0?lim f (x) ?0,lim f(x)?0x?0 x?0 | x| x?0? x x?0? x?lim f(x)?0,limf ( x)?0x?0 x x?0?lim f(x)?f (0)?lim f (x)?0? f ?(0)x?0 x ?0 x?0 x?f (x)在 x ?0 处可 导 ?选 B
lim(x, y)?(0,0)lim(x, y)?(0,0)lim(x, y)?(0,0)lim
(x, y)?(0,0)
| n ?(x, y, f (x, y))|?0存 在| n?(x,y, f (x,y))|?0存 在| d ?(x, y, f (x, y))|?0存 在| d ?(x, y, f (x, y))|?0
3.答 案 ： A解 析 ：?f(x, y)在 (0,0)处 可 微 .f(0,0)=0?limx?0y?0 f(x, y)?f(0,0)?f x?(0,0)?x ?f y?(0,0)?y ?0即 lim
x?0y?0 f(x, y)?f x?(0,0)?x ?f y?(0,0)?y ?0?n ??x, y, f (x, y)??f x?(0,0)x ?f y?(0,0) y ?f (x, y)n??x,y,f(x,y)?
A.B.C.D.
4.设 R为 幂 级 数 ?ar 的 收 敛 半 径 ， r是 实 数 ， 则 （ ）A.?a r 发 散 时 ， | r |?RB.?a r 发 散 时 ， | r |?RC.| r |?R 时 ， ?a r 发 散D.| r|?R 时 ， ?a r 发 散
∵ R 为 幂 级 数 ?a x 的 收 敛 半 径 .∴ ?a x 在 (?R,R)内 必 收 敛 .∴ ?a r 发 散 时 ， | r |?R .
1 1
? lim(x,y )?(0,0)?0 存 在?选 A. ? nnn?1
? nnn?1? nnn?1 ? nn
n?1? nnn?14. 答 案 ： A解 析 ： ? nn
n?1? nnn?1? nnn?1∴ 选 A.5.若 矩 阵 A经 初 等 列 变 换 化 成 B， 则 （ ）A.存 在 矩 阵 P， 使 得 PA=BB.存 在 矩 阵 P， 使 得 BP=A
C.存 在 矩 阵 P， 使 得 PB=AD.方 程 组 Ax=0与 Bx=0同 解5.答 案 ： B解 析 ：?A经 初 等 列 变 换 化 成 B.?存 在 可 逆 矩 阵 P1 使 得 AP1?B?A ?BP
?1令 P ?P?1
?A ?BP.?选 B.6.已 知 直 线 L: x?a2?y?b2?2?c2与 直 线 L: x?a3?y?b3?2?c3相 交 于 一 点 ， 法1?ai? a1 b1 c1 a2 b2 c2向 量 a??b ?,i ?1,2,3. 则i ?i???ci??A.a
1可 由 a2,a3线 性 表 示B.a2可 由 a1,a3线 性 表 示C.a3可 由 a1,a2线 性 表 示D.a1,a2,a3线 性 无 关6. 答 案 ： C解 析 ：令 L 的 方 程 x ?a
2= y ?b2 ?z ?c2?t1?x? a1 b1 c1?a2? ?a1?即 有 ?y???b ??t?b ?=??t??? ? 2? ?1? 2 1?z? ?c ? ?c??? ?2? ?1??x? ?a3? ?a2?由 L 的 方 程 得 ?y ???b ??t ?b ?=??t?
2 ?? ?3? ?2? 3 2?z? ?c ? ?c??? ?3? ?2?由 直 线 L1与 L2相 交 得 存 在 t使 ?2?t?1??3?t?2即 ?3?t?1?(1?t)?2， ?3可 由 ?1,?2线 性 表 示 ， 故 应 选 C.7. 设 A,B,C为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?04P( AC)?P(BC)?1123A.42
B.31C.2 ， 则 A,B,C 中 恰 有 一 个 事 件 发 生 的 概 率 为
2
5D.127.答 案 ： D解 析 ： P( ABC )?P( ABUC)?P( A)?P[ A(BUC)]?P( A)?P( AB ?AC)?P( A)?P( AB)?P( AC)?P( ABC)?1?0?1?0?14 12 6P(BAC )?P(BAUC)?P(B)?P[B( AUC)]?P(B)?P(BA)?P(BC)?P( ABC)?1?0?1?0?1
4 12 6P(CBA)?P(CBUA)?P(C)?P[CU (BUA)]?P(C)?P(CB)?P(CA)?P( ABC)?1?1?1?0?14 12 12 12P( ABC ?ABC ?ABC)?P( ABC )?P( ABC )?P( ABC)?1?1?1?56 6 12 12选 择 D
8.设 X1,X2 ,… ,Xn 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 ， 其 中 P(X ?0)?P(X ?1)?1,?(x) 表2?100 ?示 标 准 正 态 分 布 函 数 ， 则 利 用 中 心 极 限 定 理 可 得 P ??Xi ?55?的 近 似 值 为?i?1 ?A.1??(1)B.?(1)C.1??(2)D.?(2)
8.答 案 ： B解 析 ： 由 题 意 EX ?1, DX ?12 4
?? ?
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?100 ? ?100 ?E??Xi?X ?100EX ?50. D??Xi??100DX ?25?i?1 ? ?i?1 ?100由 中 心 极 限 定 理 Xi ~ N (50,25)i?1 ?100 ??100 ? ??Xi?55 55?50?∴ P??X
i ?55??P?i?1 ?5 5 ???(1)?i?1 ? ? ??? ??故 选 择 B二 、 填 空 题 ： 9—14 小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共 24 分 。 请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .9.lim? 1 ? 1 ??
x?0?ex?1 ln(1?x)?9. 解 析 ：lim? 1 ? 1 ?x?0?ex?1 ln(1?x)??lim ln(1?x)?e x?1xx?0(e ?1)ln(1?x)?lim
x?0 ln(1?x)?ex?1x21 ?ex?lim1?xx?0 2x??1 ?? x?10.设 ? d 2y， 则
2|t?1???y?ln(t?10.解 析 ： t2?1) dxdy 1 ?1? t ?dy t ?t 2?1? t 2?1? 1?dt?? ? ??dx dx t tdt t 2?1 t
2?1
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0? ??
?dy2 ?dy??dt? d?dy ?? ? 12? ? dt t ??? ? ? 3dx2得 dx??t ?1 dx t tdt11. 若 函 数 f (x)满 足 f ?(x)?af ?(x)?f(x)?0(a ?0),且 f (0)?m, f ?(0)?n ， 则
?? f(x)dx011.解 析 ：特 征 方 程 为 ?2?a??1?0?1?0,?2?0 特 征 根 为 ?1,?2 ， 则 ?1??2??a,?1??2?1， 特 征 根??f (x)dx ????[ f ?(x)?af ?(x)]dx
0 0??[ f ?(x)?af (x)]|???n ?am xy xt 212.设 函 数 f(x,y)??e dt， 则 ?012.解 析 ：
(1,1)?f?ex(xy)2 ?x?xex3y2?y ??f?2 ? ??f? ??y?=ex
3y?3x3y2ex3y2?x?y ?x=e+3e?4e.(1,1) a 0 ?1 1013.行 列 式 a 1 ?1??1 1 a 01 ?1 0 a
t 2?1 t 2?1dy2 2
?2f
d? ?
??
00 ?2 xsinx dx? 2 2?
13.解 析 ：a 0 ?1 1 a 0 ?1 10 a 1 ?1?0 a 1 ?1?1 1 a 0 ?1 1 a 01 ?1 0 a 0 0 a a0 a ?1?a2 1 a ?1?a2 1?0 a 1 ?1??a 1 ?1?1 1 a 0 0 a a0 0 a aa a
2?2 1??a 2 ?1?a4?4a2.0 0 a14.设 X服 从 区 间 ???,??上 的 均 匀 分 布 ， Y?sinX， 则 Cov(X,Y)?? ?14.解 析 ： ?1 ? ?解 f(x)????0 ? ?x?2 2其 他cov( X ,Y)?EXY ?EXEY
?E( X sin X )?EXE(sin X )? 1 ?1 ?1??? ? ???? ????2 2 21 ??2??2x sin xdx ?02 ????
2(?x)d cos x?2?? ? ? ???x cos x 2 ??2cos xdx?? 0 0 ??2?0?sinx???22? 0? ?三 、 解 答 题 ： 15~23 小 题 ， 共 94 分 .请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .解 答 写 出 文 字 说 明 、 证?? xdx sin xdx
? ?
明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.（ 本 题 满 分 10分 ）求 函 数 f (x, y)?x3?8 y3?xy 的 最 大 值15.解 析 ：求 一 阶 导 可 得?f ?3x2 ?y?x?f ?24 y
2?x?y??f ?0 ?x ?1??x令 ??f ?x ?0? 6?y?0? 1?? ?0 ????y求 二 阶 导 可 得 ?y ??? 12?
2f?x2 ?6x ?2f?x2y ??1 ?2f?y2 ?48 y当 x ?0, y ?0时 .A ?0.B ??1.C ?0AC ?B2?0 故 不 是 极 值 .当 x ?1 y ?1时6 12A ?1.B ??1.C ?4.AC?B
2?0.A?1?0故 ?1, 1?是 极 小 值 点?11? ?1?3 ?612??1?3 1 1极 小 值 f? , ??? ? ?8? ? ?6? ???612? ?6? ?12?16.（ 本 题 满 分 10分 ） 12 216计 算 曲 线 积 分 I ?16.解 析 ： 4x ?y
L4x2?y2 dx ?x ?y4x2?y dy ， 其 中 L 是 x2?y2?2 ， 方 向 为 逆 时 针 方 向设 P? 4x ?y4x2?y2 ,Q ? x ?y4x2?y2
可 得
?
???? ? 2???2?? 2 D?2? ? .?
n n n n
?Q ??P ??4x 2?y 2?8xy则 ?x ?y (4x 2?y 2)2取 路 径 L?:4x2?y2??2, 方 向 为 顺 时 针 方 向 .则 4x ?y dx ? x?y dy?L4x2?y2 4x2?y2? 4x ?y
L?L?4x2 ?y2 dx? x ?y4x2?y2 dy? 4x ?yL?4x2?y2 dx? x?y dy4x2?y2? ??Q??P?dxdy? 1 (4x?y)dx?(x?y)dyLD??x ?y? ? ??1 ?1?(?1)?dxdy ?1?2S ?1?2???D ?2??217.（ 本 题 满 分 10分 ） ? 1? ?a xn设 数 列 {a
n}满 足 a1?1,(n?1)an?1??n?? 2?an， 证 明 ： 当 |x|?1时 幂 级 数 nn?1 收 敛 ，并 求 其 和 函 数 .17.证 明 ： 由 (n?1)a ??n ?1?a , a ?1 知 a ?0n?1 ? 2?n 1 n? ?n ?1则 a
n?1?? 2?1， 即 an?1?anan n?1故 {a } 单 调 递 减 且 0?a ?1 ， 故 a xn?xn? ?当 | x |?1 时 ， ?xn 绝 对 收 敛 ， 故 ?a xn 收 敛 .n?1 n?1
?
1?xx
2?y2 x2?y22 x2?y2 x2?y2
n? ?n?1? 2 n? n 1?
?
y
S?(x)???? ?ax ?? na xn ?1?? (n?1)a xn? n ??n?1 ?? n?1 n n?1n?0?a1 ??(n?1)a xnn?1? ?? 1? n1? ?n? ?axn?1? ??1??na x ? ?a xn
nn?1 2 n?1?1?x?na xn?1?1S(x)nn?1 2?1?xS?(x)?1 S(x)2则 (1?x)S?(x)?1S(x)?1即 S?(x)? 1 S(x)? 12解 得 S(x)? 1 ??2 ?c? 2(1?x) 1?x1?x
又 S(0)?0故 c?2因 此 S(x)? 21?x ?2.18.（ 本 题 满 分 10分 ）设 ?为 曲 面 Z ? ??x2?y2?4? 的 下 侧 ， f (x) 是 连 续 函 数 ， 计 算I ???[xf (xy)?2xy ?y]dydz ?[ yf (xy)?2 y ?x]dzdx ?[zf (xy)?z]dxdy?18. 解 析 ： x yz? 则 z?
x? ,z??方 向 余 弦 为 cos??1 x ,cos??1? y ,cos???12 2于 是 x2?y2 x2?y2
?
x2?y2x2?y2 x ?y ?
x?(0,2)
I?1 ?? x y ?????[xf(xy)?2xy?y]????2x2y ?xy ?2 y2?xy ?[yf (xy)?2y ?x]?2 2 ?[zf (xy)?z]?d S?????? ? x ?y ?d x d y? ?Dxy? ???4??? 2y2 ? 2 2? d xd y? ?
D1? ???? 22r 2sin2? ? 2 ?4??2d?? rdr ??2d??r 2dr ??0 1 r 0 1 ??4?2???7???7??0.? ?19.设 函 数 f (x)在 区 间 [0,2]上 具 有 连 续 导 数 ， f (0)?f (2)?0, M ?max{|f (x)|},证 明 （ 1） 存 在 ??(0,2)， 使 得 | f ?(?)|?M
（ 2） 若 对 任 意 的 x ?(0,2),| f ?(x)|?M ， 则 M ?0.19.证 明 ： （ 1） 由 M?max{|f(x)|}， x?[0,2]知 存 在 c?[0,2]， 使 |f(c)|?M， 若c?[0,1]， 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 至 少 存 在 一 点 ??(0,c)， 使f ?(?)? f (c)?f (0)? f(c)c c从 而 | f ?(?)|?| f (c)|?M ?Mc c若 c ?(1,2]， 同 理 存 在 ??(c,2) 使f ?(?)? f(2)?f (c)??f (c)2?c
从 而 | f ?(?)|?| f (c)|?2?c 2?cM ?M2?c
x2?y2 x2?y22
? ?? ?
?
综 上 ， 存 在 ??(0,2) ， 使 | f ?(?)|?M .（ 2） 若 M ?0 ， 则 c ?0,2.由 f (0)?f (2)?0 及 罗 尔 定 理 知 ， 存 在 ??(0,2)， 使 f ?(?)?0,当 ??(0, c]时 ，f(c)?f (0)?cf ?(x)d x
0M ?|f(c)|?|f (c)?f (0)|?c| f ?(x)|d x ?Mc,0又 f (2)?f (c)?2f ?(x)d xcM ?|f (c)|?|f (2)?f (c)|?2| f ?(x) | dx ?M (2 ?c)c于 是 2M ?Mc ?M (2 ?c)?2M 矛 盾 .故 M ?0.20. 设 二 次 型 f (x , x )?x
2?4x x ?4x 2 经 正 交 变 换 ?x1??Q ?y1? 化 为 二 次 型1 2 1 1 2 2 ?x? ?y?g(y ,y )?ay 2?4 y y ?by 2， 其 中 a ?b . ?2? ?2?1 2 1 1 2 2（ 1） 求 a,b的 值 .（ 2） 求 正 交 矩 阵 Q.20.解 析 ：（ 1） 设 A=?1 -2?, B=?a 2??-2 4? ?2 b?? ? ? ?
由 题 意 可 知 QTAQ ?Q ?1AQ ?B.∴ A 合 同 、 相 似 于 B∴ ?1?4?a?b a ?b? ab ?4∴ a ?4. b ?1??1 2（ 2） |?E?A |? ??
2?5?2 ??4
1?2?21
0 5122 1 12
∴ A 的 特 征 值 为 0， 5当 ??0 时 ， 解 (0E ?A)x ?0.得 基 础 解 为 ???2?1 ????当 ??5 时 ， 解 (5E ?A)x ?0 得 基 础 解 为 ???1?又 B 的 特 征 值 也 为 0， 5 2 ? ?? ?当 ??0 时 ， 解 (0E ?B)x ?0 得 ???1???
1 ? ? 2? ?当 ??5时 ， 解 (5E?B)x?0得 ???2???对 ?1,?2单 位 化 2 ?? 1???2? ?1?? ?5? ? ?5??
1? 1?? ?,?2? 2?? ?|?1| ?1? |?2| ??2???5?? ??5??令 Q1?[?1,?2],Q2?[?2,?1]则 QTAQ??0 0??QTBQ1 1 ? ? 2 2? ?故 QQ
TAQQT?B可 令Q ?Q QT?2 1??1 ?2??5 5?? 5 5??? ?? ??1 ?2 ??2 1 ???5 5???? 5 5???4 ?3???5 5?? ???3 ?4???5 5??
21.设 A为 2阶 矩 阵 ， P?(?,A?)， 其 中 ?是 非 零 向 量 且 不 是 A的 特 征 向 量 .（ 1） 证 明 P为 可 逆 矩 阵
（ 2） 若 A2??A??6??0， 求 P?1AP， 并 判 断 A是 否 相 似 于 对 角 矩 阵 .21.解 析 ：(1)??0且 A????.故 ?与 A?线 性 无 关 .则 r(?, A?)?2则 P 可 逆 .AP ?A(?,A?)?(A?,A
2x) ?(?A?)?0 6??1 ?1?? ?故 P?1AP??0 6?.?1 ?1?? ?(2)由 A2??A??6??0设 (A2?A ?6E)??0,(A ?3E)(A ?2E)??0由 ??0得 ( A
2?A ?6E) x ?0有 非 零 解故 |( A ?3E)( A ?2E)|?0得 | A ?3E |?0或 | A ?2E |?0若 |( A ?3E)|?0则 有 ( A ?2E)??0,故 A??2?,与 题 意 矛 盾故 | A ?3E |?0,同 理 可 得 | A ?2E |?0.于 是 A的 特 征 值 为 ?
1??3?2?2.A 有 2个 不 同 特 征 值 ， 故 A 可 相 似 对 角 化22.设 随 机 变 量 X1， X2， X3相 互 独 立 ， 其 中 X1与 X2均 服 从 标 准 正 态 分 布 ， X3的 概 率 分 布 为P{X ?0}?P{X ?1}?1,Y ?X X ?(1?X ) X .3 3 2 3 1 3 2（ 1） 求 二 维 随 机 变 量 （ X1， Y） 的 分 布 函 数 ， 结 果 用 标 准 正 态 分 布 函 数 ?(x)表 示 .（ 2） 证 明 随 机 变 量 Y服 从 标 准 正 态 分 布 .22.解 析 ：(1)F (x, y)?P{X
1?x,Y ?y}?P{X1?x, X 3( X1?X 2)?X 2?y, X 3?0}?P{X1?x, X 3( X1?X 2)?X 2?y, X 3?1}?P{X1?x, X 2?y, X 3?0}?P{X1?x, X1?y, X 3?1}
?1 1
???? ??????
若 x ?y,则 P{X ?x, X ?y, X ?1}?1 P{X?x}?1?(x)1 1 3 2 1 2若 x ?y,则 P{X ?x, X ?y, X ?1}?1 P{X ?y}?1?( y)1 1 3 2 1 2?1?(x)?( y)?1?(x), x ?y故 F(x,y)??2 2??(x)?(y)? ?( y), x?y??2 2(2) F
Y( y)?P{Y ?y}?P{X 3( X1?X 2)?X 2?y}?1 P{X ( X ?X )?X ?y | X ?0}?1 P{X ( X ?X )?X ?y | X ?1}2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 2 3?1 P{X2 2?y | X 3 ?0}?1 P{X2 1?y | X 3 ?1}?1?( y)?1?( y)2 2??( y).23.设 某 种 元 件 的 使 用 寿 命 T的 分 布 函 数 为?
?t?m?1?e????, t ?0,其 中 ?,m 为 参 数 且 大 于 零 . F (t)?? ???? 0, 其 他 .（ 1） 求 概 率 P{T?t}与 P{T?s?t|T?s}， 其 中 s?0,t?0.（ 2） 任 取 n个 这 种 元 件 做 寿 命 试 验 ， 测 得 它 们 的 寿 命 分 别 为 t1,t2… ,tn， 若 m已 知 ， 求 ?的 最大 似 然 估 计 值 ??.23.解 析 ：
（ 1） P{T ?t ?m?t}?1?F (t)?e ?? ?t ?mP{T ?s ?t | T ?s}?P{T ?t}?e ??? ??t?m(2)f(t)?F?(t)??m??mtm?1.e???,t?0??? 0 其 他
n
i in n
??i ? ??mn??mn?t t?m?1e n???m?tim t ?0似 然 函 数 L(?)? i ?1 f t ， ??? ?? 1… n0 i?1 i其 他当 t1?0,t2?0,… ,tn?0时L(?)?mn??mn?t… t?m?1e n???m?t
imi?11 n取 对 数 ln L(?)?n ln m ?mn ln??(m ?1)?lnt ???m?t md ln(?)??mn ? n??(m?1) m i ?1 i ?1求 导 数 d? ? md ln(?) ?tii ?1令 ?0解 得 ??d?所 以 ?的 最 大 似 然 估 计 值 ???m nn t mii ?1 1
m ?n t mn i ?1 i
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