2020 年 高 考 文 科 数 学 试 题 及 答 案(全 国 三 卷 )注 意 事 项 ：1． 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 。2． 回 答 选 择 题 时 ， 选 出 每 小 题 答 案 后 ， 用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。 如 需 改 动 ， 用 橡 皮擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 回 答 非 选 择 题 时 ， 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 。 写 在 本 试 卷 上 无 效 。3． 考 试 结 束 后 ， 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目
要 求 的 。1． 已 知 集 合 ? ?1235711A? ， ， ， ， ， ， ? ?3 15|B x x? ? ? ， 则 A∩ B 中 元 素 的 个 数 为A． 2 B． 3 C． 4 D． 52． 若 )(1 i 1 iz ? ? ? ， 则 z=A． 1– i B． 1+i C． – i D． i3． 设 一 组 样 本 数 据 x
1， x2， … ， xn的 方 差 为 0.01， 则 数 据 10x1， 10x2， … ， 10xn的 方 差 为A． 0.01 B． 0.1 C． 1 D． 104． Logistic模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一 ， 可 应 用 于 流 行 病 学 领 城 ． 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了 某 地 区 新 冠 肺炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t的 单 位 ： 天 )的 Logistic模 型 ： 0.23( 53)( )=1 e tI Kt ? ?? ， 其 中 K为 最 大 确 诊 病 例 数 ． 当I( t )=0.95K 时 ， 标 志 着 已 初 步 遏 制 疫 情 ， 则 t 约 为 （ ln19≈ 3）A． 60 B． 63 C． 66 D． 695． 已 知 πsin sin =3? ?? ?（ ） 1， 则 πsin =6? ?（ ）A． 12 B． 33 C． 23 D． 22
6． 在 平 面 内 ， A， B是 两 个 定 点 ， C 是 动 点 ， 若 =1AC BC????? ???? ， 则 点 C 的 轨 迹 为A． 圆 B． 椭 圆 C． 抛 物 线 D． 直 线7． 设 O 为 坐 标 原 点 ， 直 线 x=2 与 抛 物 线 C： ? ?2 2 0y px p? ? 交 于 D， E 两 点 ， 若 OD⊥ OE， 则 C 的 焦 点 坐 标为 A． （ 14 ， 0） B． （ 12 ， 0） C． （ 1， 0） D． （ 2， 0）
8． 点 (0 )1?， 到 直 线 ? ?1y k x? ? 距 离 的 最 大 值 为A． 1 B． 2 C． 3 D． 29． 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是
A． 6+4 2 B． 4+4 2 C． 6+2 3 D． 4+2 310． 设 a=log32， b=log53， c= 23 ， 则A． a
C． f(x)的 图 像 关 于 直 线 x ? ?对 称 D． f(x)的 图 像 关 于 直 线 2x ?? 对 称二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 。13． 若 x， y 满 足 约 束 条 件 0,2 01,x yx yx??? ?? ????? ， ,则 z=3x+2y 的 最 大 值 为 _________．14． 设 双 曲 线 C: 2 22 2 1x ya b? ? (a>0,b>0)的 一 条 渐 近 线 为 y= 2 x， 则 C的 离 心 率 为 _________．15． 设 函 数 e( ) xf x x a? ? ． 若 e(1) 4f? ? ， 则 a=_________．16． 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1， 母 线 长 为 3， 则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 _________．
三 、 解 答 题 ： 共 70分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17~21 题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生都 必 须 作 答 。 第 22、 23题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。
（ 一 ） 必 考 题 ： 共 60 分 。17． （ 12 分 ）设 等 比 数 列 {an}满 足 1 2 4a a? ? ， 13 8a a? ? ．（ 1） 求 {an}的 通 项 公 式 ；（ 2） 记 nS 为 数 列 {log
3an}的 前 n 项 和 ． 若 1 3m m mS S S? ?? ? ， 求 m．18． （ 12 分 ）某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 100 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的 人 次 ， 整 理 数 据得 到 下 表 （ 单 位 ： 天 ） ： 锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 [0,200] (200,400] (400,600]1（ 优 ） 2 16 252（ 良 ） 5 10 12
3（ 轻 度 污 染 ） 6 7 84（ 中 度 污 染 ） 7 2 0（ 1） 分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1， 2， 3， 4的 概 率 ；（ 2） 求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表 ） ；（ 3） 若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2， 则 称 这 天 “ 空 气 质 量 好 ” ； 若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 3 或 4，则 称 这 天 “ 空 气 质 量 不 好 ” ． 根 据 所 给 数 据 ， 完 成 下 面 的 2× 2 列 联 表 ， 并 根 据 列 联 表 ， 判 断 是 否 有 95%的把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 ？人 次 ≤ 400 人 次 >400
空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附 ： 22 ( )( )( )( )( )n ad bcK a b c d a c b d?? ? ? ? ? ，P(K2≥ k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819． （ 12 分 ）如 图 ， 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 ， 点 E ， F 分 别 在 棱 1DD ， 1BB 上 ， 且 12DE ED? ， 12BF FB? ． 证
明 ：（ 1） 当 AB BC? 时 ， EF AC? ；
（ 2） 点 1C 在 平 面 AEF 内 ．20． （ 12 分 ）已 知 函 数 3 2( )f x x kx k? ? ? ．（ 1） 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ；（ 2） 若 ( )f x 有 三 个 零 点 ， 求 k 的 取 值 范 围 ．21． （ 12 分 ）已 知 椭 圆 2 22: 1(0 5)25x yC mm? ? ? ? 的 离 心 率 为 154 ， A， B 分 别 为 C 的 左 、 右 顶 点 ．（ 1） 求 C 的 方 程 ；
（ 2） 若 点 P 在 C 上 ， 点 Q在 直 线 6x ? 上 ， 且 | | | |BP BQ? ， BP BQ? ， 求 APQ△ 的 面 积 ．（ 二 ） 选 考 题 ： 共 10 分 。 请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 。 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22． [选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 ] (10 分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 C的 参 数 方 程 为 2 222 3x t ty t t?? ? ??? ?? ? ?? ， (t 为 参 数 且 t≠ 1)， C 与 坐 标 轴 交 于 A， B两点 .（ 1） 求 | |AB ；（ 2） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 求 直 线 AB的 极 坐 标 方 程 .23． [选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 ] (10分 )
设 a， b， c R， a+b+c=0， abc=1．（ 1） 证 明 ： ab+bc+ca<0；（ 2） 用 max{a， b， c}表 示 a， b， c中 的 最 大 值 ， 证 明 ： max{a， b， c}≥ 3 4 ．
参 考 答 案选 择 题 答 案一 、 选 择 题1． B 2． D 3． C 4． C5． B 6． A 7． B 8． B9． C 10． A 11． C 12． D非 选 择 题 答 案二 、 填 空 题
13． 7 14． 3 15． 1 16． 23 ?三 、 解 答 题17． 解 ： （ 1） 设 { }na 的 公 比 为 q， 则 11 nna a q ?? .由 已 知 得1 121 1 48a a qa q a? ???? ? ??? ，解 得 1 1, 3a q? ? .所 以 { }na 的 通 项 公 式 为 1=3nna ? .
（ 2） 由 （ 1） 知 3log 1.na n? ? 故 ( 1).2n n nS ??由 1 3m m mS S S? ?? ? 得 ( 1) ( 1) ( 3)( 2)m m m m m m? ? ? ? ? ? ， 即 2 5 6 0m m? ? ? .解 得 1m ?? （ 舍 去 ） ， 6m ? .18． 解 ： （ 1） 由 所 给 数 据 ， 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1， 2， 3， 4 的 概 率 的 估 计 值 如 下 表 ：空 气 质 量 等 级 1 2 3 4概 率 的 估 计 值 0.43 0.27 0.21 0.09（ 2） 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 为1 (100 20 300 35 500 45) 350100 ? ? ? ? ? ? ．
（ 3） 根 据 所 给 数 据 ， 可 得 2 2? 列 联 表 ： 人 次 ≤ 400 人 次 >400空 气 质 量 好 33 37
空 气 质 量 不 好 22 8根 据 列 联 表 得 22 100 (33 8 22 37) 5.82055 45 70 30K ? ? ? ?? ?? ? ? ．由 于 5.820 3.841? ， 故 有 95%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 ．19． 解 ： （ 1） 如 图 ， 连 结 BD， 1 1B D ． 因 为 AB BC? ， 所 以 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 故 AC BD? ．又 因 为 1BB ?平 面 ABCD， 于 是 1AC BB? ． 所 以 AC ?平 面 1 1BB D D．由 于 EF ?平 面 1 1BB D D， 所 以 EF AC? ．
（ 2） 如 图 ， 在 棱 1AA 上 取 点 G ， 使 得 12AG GA? ， 连 结 1GD ， 1FC ， FG ，因 为 1 123D E DD? ， 123AG AA? ， 1 1DD AA?∥ ， 所 以 1ED AG?∥ ， 于 是 四 边 形 1EDGA为 平 行 四 边 形 ，故 1AE GD∥ ．因 为 1 113B F BB? ， 1 113AG AA? ， 1 1BB AA?∥ ， 所 以 1 1FG AB?∥ ， 1 1FG C D?∥ ， 四 边 形 1 1FGDC 为 平 行四 边 形 ， 故 1 1GD FC∥ ．于 是 1AE FC∥ ． 所 以 1, , ,A E F C 四 点 共 面 ， 即 点 1C 在 平 面 AEF 内 ．20． 解 ： （ 1） 2( ) 3f x x k? ? ? ．
当 k=0时 ， 3( )f x x? ， 故 ( )f x 在 ( )?? ??， 单 调 递 增 ；当 k<0时 ， 2( ) 3 0f x x k? ? ? ? ， 故 ( )f x 在 ( )?? ??， 单 调 递 增 ．当 k>0时 ， 令 ( ) 0f x? ? ， 得 33kx ?? ． 当 3( , )3kx? ?? ? 时 ， ( ) 0f x? ? ； 当 3 3( , )3 3k kx? ? 时 ， ( ) 0f x? ? ；当 3( , )3kx? ?? 时 ， ( ) 0f x? ? ． 故 ( )f x 在 3( , )3k?? ? ， 3( , )3k ?? 单 调 递 增 ， 在 3 3( , )3 3k k? 单 调 递减 ．
（ 2） 由 （ 1） 知 ， 当 0k ? 时 ， ( )f x 在 ( )?? ??， 单 调 递 增 ， ( )f x 不 可 能 有 三 个 零 点 ．当 k>0时 ， 3= 3kx ? 为 ( )f x 的 极 大 值 点 ， 3= 3kx 为 ( )f x 的 极 小 值 点 ．此 时 ， 3 31 13 3k kk k? ? ?? ? ? ? 且 ( 1) 0f k? ? ? ， ( 1) 0f k ? ? ， 3( ) 03kf ? ? ．根 据 ( )f x 的 单 调 性 ， 当 且 仅 当 3( ) 03kf ? ， 即 2 2 3 09k kk ? ? 时 ， ( )f x 有 三 个 零 点 ， 解 得 427k ? ． 因此 k的 取 值 范 围 为 (0 )427， ．21． 解 ： （ 1） 由 题 设 可 得 225 155 4m? ? ， 得 2 2516m ? ，
所 以 C的 方 程 为 2 2 12525 16x y? ? .（ 2） 设 ( , ), (6, )P P QP x y Q y ， 根 据 对 称 性 可 设 0Qy ? ， 由 题 意 知 0Py ? ，由 已 知 可 得 (5,0)B ， 直 线 BP 的 方 程 为 1 ( 5)Qy xy?? ? ， 所 以 2| | 1P QBP y y? ? ， 2| | 1 QBQ y? ? ，因 为 | | | |BP BQ? ， 所 以 1Py ? ， 将 1Py ? 代 入 C的 方 程 ， 解 得 3Px ? 或 3? .由 直 线 BP的 方 程 得 2Qy ? 或 8.所 以 点 ,P Q的 坐 标 分 别 为 1 1 2 2(3,1), (6,2); ( 3,1), (6,8)P Q P Q? .
1 1| | 10PQ ? ， 直 线 1 1PQ 的 方 程 为 13y x? ， 点 ( 5,0)A ? 到 直 线 1 1PQ 的 距 离 为 102 ， 故 1 1APQ△ 的 面积 为 1 10 5102 2 2? ? ? .2 2| | 130PQ ? ， 直 线 2 2PQ 的 方 程 为 7 109 3y x? ? ， 点 A到 直 线 2 2PQ 的 距 离 为 13026 ， 故 2 2APQ△ 的面 积 为 1 130 51302 26 2? ? ? .综 上 ， APQ△ 的 面 积 为 52 .
22． [选 修 4— 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]解 ： （ 1） 因 为 t≠ 1， 由 22 0t t? ? ? 得 2t ?? ， 所 以 C与 y轴 的 交 点 为 （ 0， 12） ；
由 22 3 0t t? ? ? 得 t=2， 所 以 C 与 x 轴 的 交 点 为 ( 4,0)? ．故 | | 4 10AB ? ．（ 2） 由 （ 1） 可 知 ， 直 线 AB的 直 角 坐 标 方 程 为 14 12x y? ?? ， 将 cos sinx y? ? ?? ?， 代 入 ，得 直 线 AB的 极 坐 标 方 程 3 cos sin 12 0? ? ? ?? ? ? ．23． [选 修 4— 5： 不 等 式 选 讲 ]解 ： （ 1） 由 题 设 可 知 ， a， b， c均 不 为 零 ， 所 以2 2 2 21[( ) ( )]2ab bc ca a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21( )2 a b c?? ? ?0?
.（ 2） 不 妨 设 max{a， b， c}=a， 因 为 1, ( )abc a b c? ?? ? ， 所 以 a>0， b<0， c<0.由 2( )4b cbc ?? ， 可 得 34aabc? ，故 3 4a? ， 所 以 3max{ , , } 4a b c ? .
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