 数学的世界一方面独立于现实世界，另一方面又与现实世界有千丝万缕的联系。当我们游历完数学世界，再重新回到现实世界中时，对现实世界就会有很多新的认识。事实上，有些数学语言已经完全融入到我们的生活中了；数学素养越高的人，越会自然地使用更多的数学语言来描述事物和表达观点。从这个意义上说，数学为我们观察和理解现实世界提供了一个独特的窗口。 不过，大众对数学作为一种素养仍然缺乏认知，而只是把她看作一类知识、学校的一门必修课程。数学在学校的课程体系中的重要地位，不仅没有提高大众对数学的认知水平，反倒引发了“唯分数论”的逆潮，给数学教育的推行制造了更大的障碍。 大众对数学教育的认知主要来源于数学教学活动，特别是学校的教学活动。在他们看来，数学教学就是具体化的数学教育，所以数学教学是什么样子，数学教育就是什么样子。 确实，数学教育在大多数时候都是通过各种形式的数学教学活动来实现的。然而，并非所有的教学活动都具备教育功能，有些教学活动甚至是反教育的。譬如治病要吃药，但不等于吃药就是治病，乱吃药甚至还会送命。 事实上，当下有太多的数学教学就是在“乱吃药”，不仅没有实现数学教育的目的，反而增加了学生对数学的误解和反感。 “乱吃药”的一个典型例子就是发明大量的解题口诀，让学生通过背口诀拿（高）分，硬生生把一个注重思考问题的学科教成了“背多分”的科目。
错误的教学活动极大地误导了大众对数学教育的认知。大多数学生学的其实都是“伪数学”，可谓“李逵不见了，李鬼满地跑”。我下面要讨论的就是两个流毒甚广的认识误区。 误区一：计算要算得又快又准。 不得不说，这是很有中国特色的认识误区。“算得又快又准”常常作为我们的早期数学教育优于其他国家的一个重要证据被反复提及，真是贴金贴到屁股上了。“人肉计算机”或许可以作为实用技术或是表演项目拿出来炫耀，却不属于数学教育的范畴。 四则运算是小学阶段数学课程的一个重要学习内容，学习目标是掌握这四种基本运算的操作方法和应用。计算的准确率和计算速度是检验前一个学习目标的便利手段，因为如果没有掌握正确的操作方法，就不可能达到很高的准确率，而计算速度快则说明对操作流程的运用得心应手。 “算得又快又准”确实是很完美的结果，完美得让人挑不出一点毛病。然而正因为完美，它必定是不适合作为普遍标准的——完美的要求从来都只是口号的素材，譬如“五讲四美三热爱”，“毫不利己专门利人”，等等。 事实上，这个要求远远超出了四则运算的学习目标，因为即便准确地理解了操作方法，也不等于在具体的场景下能够达到很高的准确率，至于速度要求更是凭空给学生增加了好几级的难度。 当然，我反对的是明显超出学习目标的准确度和速度标准，而不是彻底否定这两个标准。如果不太复杂的计算题也达不到一半的准确率，或者一个运算要做好几分钟，这样的表现足以说明学生对操作方法的理解存在问题。 为什么小学们都热衷于追求很高的准确率和计算速度？因为几乎所有的数学题都涉及计算，一道原本懂得做的题目，如果其中一个计算步骤出错，就会导致最后的答案错误。从某种程度上来说，计算是解题链条中最不能短的那块“板”，所以只要可以加得长一点，老师们就总希望它更长。 为了降低数学解题对计算能力的依赖性，英美等很多国家的学校允许在限定范围的题目中使用计算器。我认为这是一个很好的解决方案，只是需要防范走向另一个极端，即计算器的滥用。 “算得又快又准”这个认识误区，从根本上是源于不了解素养和技能的区别。简单地说，素养就是对事物的认知和理解，而技能则是实际操作的能力。如果以足球来打比方，前者近似地对应足球迷，而后者则近似地对应运动员。要求大多数人都能上场踢球，不仅难以实现而且也完全不必要；让大多数人都能欣赏和讨论足球才是正确的方向，而且是可行性很高的目标。 教育是关于素养而不是技能水平的活动，是熏陶和浸润的过程。而技能水平的提升是一个培训的过程，并且通常与选拔相关联。 不过，现代教育由于具有一定程度的强制性，因而就不再是纯粹的素养培育，而是与技能培训形成一定的交叠。但当我们把这种交叠任意扩大，乃至于把教育和培训混为一谈时，就可能完全摧毁了教育的功能，制造出一大批“工具人”。事实上，以选拔为导向的教育体系往往会导致这样的结果。 在四则运算中，多位数乘除法是复杂度最高的情形。多位数乘除法的计算过程更多地是依靠一个环环相扣的操作流程来实现，而不是对运算本身的理解。事实上，所有关于多位数乘除法的算法[注]都是以解决计算的技术性困难为目标的。因此，学生提高多位数乘除法的计算准确率和熟练度，对他们理解乘除法的意义和性质几乎没有什么帮助。另一方面，多位数乘除法的操作流程非常复杂，他们往往需要花费大量的精力去练习。最终的结果是，大多数学生都被这项“唯手熟尔”的任务折磨得精疲力尽。 【注】多位数乘除法的算法形式并不唯一，在不同国家有很多个版本。例如，在《数学的惊奇：意想不到的图形和数字》一书中，就列举了美国、德国、瑞典、俄罗斯等国的算法。这些算法的具体形式各不相同。如果加上历史上出现过的算法，形式就更多了。古代的算法流程通常更繁琐，更不容易理解。 当我们为学生的“人肉计算”能力而洋洋自得的时候，请不要忘记，如果我们已经偏离了正确的方向，越努力前进，犯的错误就越大。
误区二：学数学就是不断地解题。 我猜想，在大多数人的梦里，数学的形象很可能是如巨浪一般扑面而来的数学题。每个主科的学习都需要做题，为什么数学题就会给人一种“题海”的感觉呢？ 首先，数学的题量确实明显大于其他科目。即使在同样的时间段内（比如一个学期）作比较，数学题也比其他科目的题目多。加上数学的学习时间长，总量就更庞大了。相对而言，在“密度”上较为接近数学题的是物理题，但物理课的学习时间还不到数学课的一半，而且有相当比例的学生不读高中，物理课的学习时间就更是大大缩短了。 其次，数学题的变化非常丰富。其他科目的题目通常都是围绕特定的知识点提问，譬如对某个概念的理解，两个对象之间的关系，等等。提问的方式比较固定，而且答案也基本上是“标准”的。因此，做题只是相当于把学过的知识点重新回顾一遍。物理和化学有些题目要求解释生活现象中的物理和化学原理，表面上看需要一定的分析能力，但大多数只要多背背答案就可以应付。 数学的很多题目却不是“对知识点提问”，而是要运用知识点（例如某个对象的性质或某个计算公式）去解决问题。题目中如果有一个条件不一样，解法就可能完全不同。因此，仅仅记住知识点对解题几乎没有什么作用。 例如，平行四边形的基本性质是“对边平行且相等，对角相等，邻角互补”（最后一个性质可以利用第一个性质推出）。如果一道几何题的图形中包含平行四边形，怎样利用这些性质来解答题目？显然，把上面几句话念上一百遍也不能把题目做出来。 数学和其他科目的题目之所以有显著不同的特点，是因为科目的特性不一样。其他科目在本质上是“知识型”科目，关注的是学生是否了解在设定范围内的知识内容；数学则属于“分析型”科目，注重的是建立不同的知识点之间的关联性，并且以严谨的逻辑来理解这些关联性。 当然，“知识型”科目并不全是知识性内容，也会涉及对知识内容的解释和分析，但后者不是学习重点，而且对解析能力的要求不高；同样地，数学也有知识性内容，但它们占的比重很小，更多地是作为锻炼分析推理的基础。 “知识型”科目很容易得到大众的认可，因为它们让人感觉不断在“涨知识”，学习效果立竿见影。而学数学大部分时间都在“因为所以”，折腾半天好像也没懂多少东西，能拿得出手的大概也就只有加减乘除算得快了。 这种对比反差很像武术中的外功和内功。前者刀枪棍棒和各种拳法套路，热闹又好看；后者一天到晚好像就是在发呆，枯燥而无味。 数学练的“内功”就是分析推理能力和逻辑严谨性，它们都是底层的基本素养。不得不说，这些素养在全世界范围内都严重缺失，所以各种诡辩和谬论才得以肆意横行。 很多人误认为学数学的目的就是解题，一方面是被表象迷惑了，因为解题确实一直贯穿在数学学习的过程中；另一方面是想当然地把数学和其他科目等量齐观，按“知识型”科目来理解。这两方面的原因归根结底都是没有理解数学这个学科的特点和数学学习的意义。 如前所述，数学这个科目的学习目标是分析推理能力和严谨的逻辑。不同的数学题被设计出来，都是为了测试学生的这些能力可以经受多大的考验。因此，只有在解题过程中磨练和提高这些能力，才是有效的解题。 现实的情况是，绝大多数的解题都是无效的——题目做完了，能力却没有提高。造成这种状况的原因比较复杂，在这里暂且不展开讨论。 请注意，解题是否有效与答案的对错无关。答案正确并不意味着是有效的解题，而答案错误也可以是有效的解题——甚至效果更强。只要在解题的过程中有独立的思考和清晰的思路，就是有效的解题。错误的解答为我们提供了一个很好的机会（有时候还是可遇不可求的），审视自己的分析模式和推理过程存在什么漏洞。 为什么我们要旗帜鲜明地反对题海战术和解题套路？因为它们与有效解题的目标是完全相悖的。 题海战术的宗旨是接触尽可能多的题目，形成类似于“肌肉记忆”的效果。这很明显是一种“（考试）提分”技巧，而不是以提高能力为目标。有效解题的的核心是“重质不重量”，充分挖掘一道题的解答方法引发的思考和启发。对于已经充分理解了的性质、关联性、处理技巧等等，无需反复做相关的题目。 有效解题的最高境界是“能不解题就不解题”——读完题后如果判定没必要做就直接跳过。另一种等价的表达是，“只做能引发我思考的题目”。著名数学家华罗庚对于读书方法也表达过类似的观点，即只读作者的思路与他的猜测不一致的书。这种读书方法不仅能把有限的时间用在读最“有用”的书上，而且可以避免形成“尽信书”的习惯。 解题套路有很大的迷惑性，因为从表面看来，它们似乎是解题思路的归纳总结。大多数老师都热衷于传授解题套路，学生也乐于接受这些套路，觉得它们用起来省时省力，却不知这些省掉的“时”和“力”才是最不应该省的，因为它们正是有效解题的那个“效”。 更严重的问题是，解题套路就像毒瘾，一旦沾上了就会越来越依赖它，越来越抗拒独立思考。如果试图摆脱它，过程就像戒毒一样漫长且痛苦，非意志力强大者不能做到。戒毒还可以通过人为干预强行阻断毒品的供给，这种“思想的毒品”却无法人为阻断，只能靠戒“毒”者本人完成“阻断”的动作。 题海战术和解题套路只是错误的数学教学方式的两个典型代表。数学教学之所以走上“反数学教育”的歧途，根源还是教育体系中融合了选拔机制，对教育功能形成了很大的冲击。选拔导向越明显的教育体系，教学活动的扭曲程度就越大。协调教育和选拔的矛盾冲突，是全世界的教育体系面临的共同难题。 |
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