扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合

Extended Kalman Filter（扩展卡尔曼滤波）是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下，EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF，并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。

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KF与EKF

本文假定读者已熟悉KF，若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。

KF与EKF的区别如下：

1. 预测未来：x′=Fx+u用x′=f(x,u)代替；其余F用Fj代替。
2. 修正当下：将状态映射到测量的Hx′用h(x′)代替；其余H用Hj代替。

其中，非线性函数f(x,u)，h(x′)用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值；线性变换Fj，，Hj通过线性变换使得变换后的x，z仍满足高斯分布的假设。

Fj，Hj计算方式如下：

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为什么要用EKF

KF的假设之一就是高斯分布的x预测后仍服从高斯分布，高斯分布的x变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是，假如F、H是非线性变换，那么上述条件则不成立。

将非线性系统线性化

既然非线性系统不行，那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。

对于一维系统，采用泰勒一阶展开即可得到：

对于多维系统，仍旧采用泰勒一阶展开即可得到：

其中，Df(a)是Jacobian矩阵。

多传感器融合

lidar与radar

本文将以汽车跟踪为例，目标是知道汽车时刻的状态

。已知的传感器有lidar、radar。

• lidar：笛卡尔坐标系。可检测到位置，没有速度信息。其测量值

。

• radar：极坐标系。可检测到距离，角度，速度信息，但是精度较低。其测量值

，图示如下。

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传感器融合步骤

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步骤图如上所示，包括：

1. 收到第一个测量值，对状态xx进行初始化。
2. 预测未来
3. 修正当下

初始化

初始化，指在收到第一个测量值后，对状态x进行初始化。初始化如下，同时加上对时间的更新。

对于radar来说，

对于radar来说，

预测未来

预测主要涉及的公式是：

需要求解的有三个变量：F、P、Q。

F表明了系统的状态如何改变，这里仅考虑线性系统，F易得：

P表明了系统状态的不确定性程度，用x的协方差表示，这里自己指定为：

Q表明了x′=Fx未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型，因此加速度变成了干扰项。x′=Fx中未衡量的额外项目v为：

v服从高斯分布N(0,Q)。

修正当下

lidar

lidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

需要求解的有两个变量：H、R。

H表示了状态空间到测量空间的映射。

R表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里lidar参考如下：

radar

radar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

区别与上面lidar的主要有：

1. 状态空间到测量空间的非线性映射f(x)
2. 非线性映射线性化后的Jacob矩阵
3. radar的

状态空间到测量空间的非线性映射f(x)如下

非线性映射线性化后的Jacob矩阵Hj

R表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里radar参考如下：

传感器融合实例

多传感器融合的示例如下，需要注意的有：

1. lidar和radar的预测部分是完全相同的
2. lidar和radar的参数更新部分是不同的，不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的
3. 当收到lidar或radar的测量值，依次执行预测、更新步骤
4. 当同时收到lidar和radar的测量值，依次执行预测、更新1、更新2步骤

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多传感器融合的效果如下图所示，红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置，绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置，取得了较低的RMSE。

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