合肥市琥珀中学教育集团2023届九年级第二次质量调研检测数学试题卷时间：120分钟 分值：150分一、选择题（每题4分，共计40分.每题给出
四个选项A、B、C、D，其中只有一个符合题目要求.）1. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则sinB等于（ ）A
. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】先求出∠A的度数，从而得到∠B的度数，即可得到结论．【详解】解：∵，∴∠A=45
°，∴∠B=90°－45°=45°，∴sinB=sin45°=．故选B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数
值是解题的关键．2. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，在处进行；上加下减，在函数值处进行．【详解】解：根据抛物线的平移规律，抛物线向右平移1个单位
，得：，再向下平移2个单位后，得：整理得：，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线平移问题，解题的关键是：掌握平移的规律，左加右减，在
处进行；上加下减，在函数值处进行．3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则
△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】【分析】根据题意可证
明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB
，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选
：B．4. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】A. B. C. 且D. x＜－1或x＞5【答案】D【解析】【
详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（
5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．由图象可知：的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5．故选D．5. 如图，
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤
∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )A. 1个B. 2C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据相
似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠
C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为，此
时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△
ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．6.
若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，随的增大而减小
，推出，可知二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，由此即可判断．【详解】解：，随的增大而减小，，二次函数的图象的开口向下，与
则交于负半轴上，故选：A．【点睛】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质
，属于中考常考题型．7. 如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米
，则铁塔的高BC为（ ）A. 16.5米B. （10＋1.5）米C. （15＋1.5）米D. （15＋1.5）米【答案】B【
解析】【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，在中，，求出的值
，根据，计算求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5
米，在中，，∴（米），∴米，故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形．8. 如图，正方
形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上，B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值
为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设B（a，），由A点和中点坐标公式可得a的值，从而得出B点坐标；过B作
BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，由△DAN≌△ABM可得DN、AN的长度，便可求得D点坐标，再代入反比例函数y=求m即可；【
详解】解：B点在反比例函数y=的图象上，设B（a，），∵AB的中点E在y轴上，A的坐标为（-1，0），∴（-1+a）=0，解得：a
=1，即B（1，2），如图，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，ABCD是正方形，则AD=BA，∠BAD=90°，∵∠DA
N+∠ADN=90°，∠DAN+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM，又∵∠AND=∠BMA=90°，AD=BA，∴△DAN≌△
ABM（AAS），∴DN=AM=2，NA=MB=2，∵A（-1，0），∴D（-3，2），代入比例函数y=得：m=-6，故选： C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识；由全等的性质求得D点坐标是解题关键．9. （201
9·周口二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C
时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数
关系图象如图2，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】从图2可以看出，t=8时，P与E重合，Q与C重合；
t=10时，P与D点重合，据此可得DE=4，BE=BC=16，然后再根据S△BCD=BC?CD=列式求出CD即可.【详解】解：从图
2可以看出，t=8时，P与E重合，Q与C重合；t=10时，P与D点重合，∵P点的运动速度为2cm/s，∴DE=4，BE=BC=16
，∵S△BCD=BC?CD=，∴CD=，∴，故答案为：D.【点睛】本题考查的是动点函数图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此
类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点
，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】
C【解析】【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4?x，由对称的性质得出DE
＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答
案．【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴∠FME＝90°，∵tan∠ABF
＝2，∴＝2，设BN＝x，则FN＝2x，∴AN＝4﹣x，∵点F是点D关于直线AE对称的点，∴DE＝EF，DA＝AF＝4，∵AE＝A
E，∴△ADE≌△AFE（SSS），∴∠D＝∠AFE＝90°，∵AN2＋NF2＝AF2，∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，∴x1＝
0（舍），x2＝，∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，∴∠EFM＝∠
FAN，∴cos∠EFM＝cos∠FAN，∴＝，即，∴EF＝，∴DE＝EF＝．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，
锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共计20分）11. 已知反比例函数，当，随的增大
而减小，则的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据反比例函数，当，时，y随x增大而减小列不等式求解即可．【详解】解：∵反
比例函数，当，随的增大而减小，∴，解得，故答案为：【点睛】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出不等式是解答本题的
关键．12. 如图，长度不变的“人字梯”放在水平地面上（），当梯子的一边与地面所夹的锐角为时，两梯脚之间的距离为2米；当时，则梯子
顶端距地面的高度上升了______米.（结果保留根号）【答案】##【解析】【分析】如图1，由题意可得：，，是等腰直角三角形，作于点
，米，在Rt中，米，如图2，作于点，由题意可得是等边三角形，米，在Rt中，米，即可得到答案．【详解】解：解：如图1，由题意可得：∵
，，∴，∴是等腰直角三角形，作于点，米，在Rt中，米，如图2，作于点，由题意可得：∵，，∴是等边三角形∴米，在中：米，∵米，即梯子
顶端距地面的高度上升了米，故答案为：【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值，正
确应用特殊角的三角函数值是解题关键．13. 如图，将三角形纸片按如图所示方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以、、
为顶点的三角形与相似，那么的长度是__________．【答案】或【解析】【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则
，即可求出的长，得到的长．【详解】解：沿折叠和重合，，设，则，当 △时，，，，，解得：，则；当 时，，即，解得：，则，故或．故答案
是：或．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，解此题的关键是设，根据相似三角形的性质列出比例式．14. 如
图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为_______，的长为_______．【答案】 ①. 4 ②.
【解析】【分析】证明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP为60° 角，再证△AOP相似于△BAP
，通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通过勾股定理得到等式，求出OG长，即可得到结论
．【详解】∵在△AQC和△BAP中，∴∵∴过作的垂线与OP交于点G，在△中，设OG=x，则AO=2x，在Rt△AOG中，由勾股定理
得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42
-（x-2）2，∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=，，故答案为：4，．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三
角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．三、解答题
（15，16，17，18，每题8分；19，20每题10分；21，22每题12分，23题14分）15. 计算: 【答案】3【解析】【
分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项和第三项分别代入特殊角三角函数值，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后计算即可得到
结果．详解】解：=3－1＋×＋1－ =3－1＋＋1－ =3【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16. 在
平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于轴对称的；（2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；
（3）设点为内一点，则依上述两次变换后点在内的对应点的坐标是______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】【分
析】（1）先根据关于x轴对称的点的坐标特征描出A1、B1、C1，然后再顺次连接即可；（2）先根据关于原点为位似中心的对应点的坐标之
间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都扩大2倍得到A2、B2、C2的坐标，然后描点，最后顺次连接即可；（3）利用（1）、（2）
中的坐标变换规律求解即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求图形；（2）如图，△A2B2C2即为所求图形；（3）根据（
1）（2）的变换规律可得：（2a，-2b）．【点睛】本题主要考查了轴对称变换和位似变换，掌握作轴对称图形和位似图形的步骤成为解答本
题的关键．17. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象相交于横坐标为3的点A．（1）求这个一次函数的解析式；（
2）如图，已知点在这个一次函数的图象上，点在反比例函数（）的图象上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点.如果点恰好是的中点，求点的
坐标．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上求出点A坐标为，再代入，求出，问题得
解；（2）设点，则点，根据点在反比例函数（）的图象上，求出，，根据点在第一象限内，即可求出点的坐标为．【小问1详解】解：∵横坐标为
3的点A在反比例函数（）的图象上，∴将代入得，点A的坐标为，∵点A在直线上，∴，，一次函数的解析式为；【小问2详解】解：设点，∵点
是的中点，∴点，点在反比例函数（）的图象上，，解得，，点在第一象限内，点的坐标为．【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，理解线
段中点的坐标特点与函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．18. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFG
H的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这
个正方形的边长与面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）cm， cm2．【解析】【分析】（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到
对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可．【详
解】证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC；(2)解：设AD与
EH交于点M∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，∵△AE
H∽△ABC，∴，∴，解得x＝.∴正方形EFGH的边长为cm，面积为 cm2.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两个三角
形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比是本题的解题关键．19. 如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午9：00点一艘船
从海岸线上港口A处沿北偏东30°方向航行，上午11：00点抵达B点，然后向南偏东75°方向航行，一段时间后，抵达位于港口A的北偏东
60°方向上的C处，船在航行中的速度均为30海里/时，求此时船距海岸线的距离．【答案】此时船距海岸线的距离为（15+15）海里【解
析】【分析】过B作BE⊥AC于E，解Rt△ABE，求出BE＝AB＝30海里，AE＝BE＝30海里．再解Rt△CBE，由∠EBC＝7
5°﹣（60°﹣30°）＝45°，得出CE＝BE＝30海里，那么AC＝AE+CE＝（30+30）海里．过C作CF⊥MN于F，得出C
F＝AC＝（15+15）海里．详解】解：如图，过B作BE⊥AC于E，∵∠GAB＝30°，∠GAC＝60°，∴∠BAE＝30°．在R
t△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝30×2＝60（海里），∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝30海里，AE＝BE＝30海里．在
Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∠EBC＝75°﹣（60°﹣30°）＝45°，∴CE＝BE＝30海里，∴AC＝AE+CE＝（3
0+30）海里．过C作CF⊥MN于F，∵∠CAF＝90°﹣∠GAC＝30°，∴CF＝AC＝（15+15）海里．答：此时船距海岸线的
距离为（15+15）海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结
合，体现了数学应用于实际生活的思想．20. 如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点． （1）求边的长；（2）求的正弦值．【答
案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的长；（2）过点作于点F，证明，根据相似三角形的性质求出EF，
DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．【小问1详解】∵∴和均为直角三角形，∵∴ ∵∴ ∵ 由勾股定理得，【
小问2详解】过点作于点F，如图，∵，∴// ∴∴ ∵点是边的中点∴ ∴∵ ∴ ∴ ∴ 在中，∵ ∴ ∴【点睛】本题主要考查了勾股定
理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．21. 如图，抛物线y=ax2+bx
(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时
，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形AB
CD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1
）；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．【解析】【分析】（1）由点E的坐
标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10-2t，再由x=
t时AD=，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线G
H平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△
OBD中位线，据此可得．【详解】（1）设抛物线解析式为，当时，，点坐标为，将点坐标代入解析式得，解得：，抛物线的函数表达式为；（2
）由抛物线的对称性得，，当时，，矩形的周长，，，，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当时，点、、、的坐标分别为、、、
，矩形对角线的交点的坐标为，直线平分矩形的面积，点是和的中点，，由平移知，是的中位线，，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．【点睛
】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．22. 如图，，
，E是BC上一点，使得；（1）求证：；（2）若，，求CD的长；（3）当时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．【答
案】（1）证明见解析； （2）； （3），理由见解析．【解析】【分析】（1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC=∠BAE，利用两角
相等证明三角形相似；（2）先根据勾股定理得BE=3，再根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论；（3）做辅助线过E作于点F，先根据
△AED∽△ECD，证明∠ADE=∠EDC，由角平分线的性质可知，易证Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），则，同理可得：，相加可得
结论．【小问1详解】证明：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【小问2详解】解：中，∵，，∴，∵，∴，由（1）得：，∴，∴，∴．【小问
3详解】解：线段AD、AB、CD之间数量关系为；理由是：过E作于F（如下图），∵，∴，∵，∴ ，∴，∵，∴ （HL），∴，由（1）
可知，，又∵，∴，∴ ，又∵，，∴，∴，∵，∴（HL），∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形和全等三角形的判定与性质，理解与掌握
三角形全等、相似的判定和性质是解题关键．23. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴
，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为
标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．（1）求线段的函数表达式（写出的取值范围）．（2）当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否
达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想关
于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？（参考数据：，）【答案】（1）（8≤x≤40） （2）的横坐标为22.5，成绩未达标 （3）①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标【解析】【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；（2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果；（3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．【小问1详解】解：由图2可知：，设CE：，将代入，得：，解得，∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．【小问2详解】当时，，由题意得， 解得 ∴的横坐标为22.5．∵22.5＜32，∴成绩未达标．【小问3详解】①猜想a与成反比例函数关系． ∴设将（100，0.250）代入得解得，∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得由得，又∵，∴，∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标．【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． |
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