2022年中考数学湖南省怀化市卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题给的四个选项中只有一项是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B.2
C. D.
2.代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A.2 个 B.3 个
C.4 个 D.5 个
3.2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器
最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（ ）
A.10.909×10 2 B.1.0909×10 3
C.0.10909×10 4 D.1.0909×10 4
4. 下列说法正确的是（ ）
A.相等的角是对顶角 B.对角线相等的四边形是矩形
C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
5. 下列计算正确的是（ ）
A.（ 2 a 2 ） 3 ＝ 6 a 6 B.a 8 ÷ a 2 ＝ a 4
C. ＝ 2 D.（ x ﹣ y ） 2 ＝ x 2 ﹣ y 2
6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A.2 x 2 ﹣ x +1 ＝ 0 B.x 2 ﹣ 2 x +2 ＝ 0
C.x 2 +3 x ﹣ 2 ＝ 0 D.x 2 +2 ＝ 0
7.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
8.如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
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A.1 B.2
C.3 D.4
9.从下列一组数﹣ 2， π ，﹣ ，﹣ 0.12， 0，﹣ 中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（
）
A. B.
C. D.
10.如图，直线 AB交 x轴于点 C，交反比例函数 y＝ （ a＞ 1）的图像于 A、 B两点，过点 B作 BD⊥ y轴
，垂足为点 D，若 S△ BCD＝ 5，则 a的值为（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.计算 ﹣ ＝ _______________．
12.因式分解： _______________．
13.已知点 A（﹣ 2， b）与点 B（ a， 3）关于原点对称，则 a﹣ b =_______________．
14.如图，△ ABC中，点 D、 E分别是 AB、 AC的中点，若 S△ ADE＝ 2，则 S△ ABC＝ _______________．
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15.如图， AB与⊙ O相切于点 C， AO=3，⊙ O的半径为 2，则 AC的长为 _______________．
16.正偶数 2， 4， 6， 8， 10，…，按如下规律排列，
则第 27行的第 21个数是 _______________．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17.计算：（ 3.14﹣ π ） 0+| ﹣ 1|+（ ） ﹣ 1﹣ ．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19.某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为 800米的圆形纪念园．如图
，纪念园中心点 A位于 C村西南方向和 B村南偏东 60°方向上， C村在 B村的正东方向且两村相距 2.4千
米 ．有关部门计划在 B、 C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通
过计算加以说明． （参考数据： ≈ 1.73， ≈ 1.41）
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20.如图，点 A， B， C， D在 ⊙ O上， ＝ ．求证：
20.1.AC ＝ BD ；
20.2.△ ABE ∽△ DCE ．
21.电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全
面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了 100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的
频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程
度
频数
（人）
频率
非常满
意
50 0.5
满意 30 0.3
一般 a c
不满意 b 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
21.1.a ＝ ????? ， b ＝ ????? ， c ＝ ????? ；
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21.2.求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 α 的度数；
21.3.根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．
22.如图，在等边三角形 ABC中，点 M为 AB边上任意一点，延长 BC至点 N，使 CN=AM，连接 MN交 AC于点 P
， MH⊥ AC于点 H．
22.1.求证： MP = NP ；
22.2.若 AB ＝ a ，求线段 PH 的长（结果用含 a 的代数式表示）．
23.去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其
中购买雨衣用了 400元，购买雨鞋用了 350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵 5元．
23.1.求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
23.2.为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了 20% ，并按套
（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过 5 套，则每套打九
折：若一次购买超过 5 套，则前 5 套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了 a 套
，购买费用为 W 元，请写出 W 关于 a 的函数关系式．
23.3.在（ 2 ）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320 元时最多可购买多少套？
24.如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线 y＝ ax2+2x+c经过点 A(﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0），与 y轴交
于点 C，顶点为点 D．在线段 CB上方的抛物线上有一动点 P，过点 P作 PE⊥ BC于点 E，作 PF AB交 BC于点 F
．
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24.1.求抛物线和直线 BC 的函数表达式，
24.2.当△ PEF 的周长为最大值时，求点 P 的坐标和△ PEF 的周长．
24.3.若点 G 是抛物线上的一个动点，点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以 C 、 B 、
G 、 M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D????解析： 因为 - + ＝0 ，所以 - 的相反数是 .
故选 D.
2.B
解析： 看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判
断即可．
分母中含有字母的是 ， ， ，
∴分式有 3个，
故选： B．
本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
3.D
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解析： 科学记数法的表示形式为 a×10 n的形式，其中 1≤| a|＜ 10， n为整数．确定 n的值时，要看把
原数变成 a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解： 10909用科学记数法可以表示： 1.0909×10 4．
故选： D．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10 n的形式，其中 1≤| a|＜ 10， n为整
数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值．
4.D
解析： 根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出
结论．
解： A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不
符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选： D．
本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义
和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．
5.C
解析： 根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；
解： A.（ 2a2） 3=8a6≠ 6a6，故错误；
B.a8÷ a2=a6≠ a4，故错误；
C. =2，故正确；
D.（ x﹣ y） 2=x2﹣ 2xy+y2≠ x2﹣ y2，故错误；
故选： C．
本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握相关运算
法则是解题的关键．
6.C
解析： 判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
A选项中， ，故方程无实数根；
B选项中， ，故方程无实数根；
C选项中， ，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中， ，故方程无实数根；
故选 C．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键
．
7.A????解析：
根据 n边形的内角和是（ n﹣ 2） ?180° ，列出方程即可求解．
解：根据 n边形的内角和公式，得
（ n﹣ 2） ?180° =900°，
解得 n=7，
∴这个多边形的边数是 7，
故选： A．
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
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8.C
解析： 根据题意判断 BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出 BE即可．
因为 沿 BC方向平移，点 E是点 B移动后的对应点，
所以 BE的长等于平移的距离，
由图可知，点 B、 E、 C在同一直线上， BC=5， EC=2，
所以 BE=BC-ED=5-2=3,
故选 C．
本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．
9.B????解析：
找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可．
∵数﹣ 2， π ，﹣ ，﹣ 0.12， 0，﹣ 中，一共有 6个数，
其中﹣ 2，﹣ ，﹣ 0.12，﹣ 为负数，有 4个，
∴这个数是负数的概率为 ，
故答案选： B．
本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键．
10.D
解析： 设 ，由 S△ BCD= 即可求解.
解：设 ，
∵ BD⊥ y轴
∴ S△ BCD= =5，
解得：
故选： D．
本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
11.1
解析： 根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
解： ﹣ =
故答案为： 1．
本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相
加减时，先通分变为同分母分式，再加减．
12. ????解析：
根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．
解： ，
故答案为：
本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．
13.5
解析： 根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出 a， b的值即可．
∵点 A（﹣ 2， b）与点 B（ a， 3）关于原点对称，
∴ ， ，
∴
故答案为： 5．
本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化
是解答本题的关键．
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14.8
解析： 根据三角形中位线定理求得 DE∥ BC， ，从而求得△ ADE∽△ ABC，然后利用相似三角形
的性质求解．
解：∵ D、 E分别是 AB、 AC的中点，则 DE为中位线，
所以 DE∥ BC，
所以△ ADE∽△ ABC
∴
∵ S△ ADE=2，
∴ S△ ABC=8
故答案为： 8．
本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识
点的掌握．
15.
解析： 根据切线的性质得到∠ OCA=90° ，再利用勾股定理求解即可．
解：连接 OC，
∵ AB与⊙ O相切于点 C，
∴ OC⊥ AB，即∠ OCA=90° ，
在 Rt△ OCA中， AO=3 ， OC=2，
∴ AC= ，
故答案为： ．
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直
于经过切点的半径．
16.744????解析：
由题意知，第 n行有 n个数，第 n行的最后一个偶数为 n（ n+1），计算出第 27行最后一个偶数，再减去
与第 21位之差即可得到答案．
由题意知，第 n行有 n个数，第 n行的最后一个偶数为 n（ n+1），
∴第 27行的最后一个数，即第 27个数为 ，
∴第 27行的第 21个数与第 27个数差 6位数，即 ，
故答案为： 744．
本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含 n的代数式表示出来由此解决
问题是解题的关键．
17.2-
解析： 分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混
合运算的法则进行计算即可．
解：（ 3.14﹣ π ） 0+|
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﹣ 1|+（ ） ﹣ 1﹣
=1+ -1+2-2
=2- ．
本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题
的关键．
18. ，数轴见解析
解析： 根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
解：
由 ① 得 ，
由 ② 得 ，
该不等式组的解集为 ，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是解
决问题的关键．
19.不穿过，理由见解析
解析： 先作 AD⊥ BC，再根据题意可知∠ ACD=45°，∠ ABD=30°，设 CD=x，可表示 AD和 BD，然后根据
特殊角三角函数值列出方程，求出 AD，与 800米比较得出答案即可．
不穿过，理由如下：
过点 A作 AD⊥ BC，交 BC于点 D，根据题意可知∠ ACD=45°，∠ ABD=30° .
设 CD=x，则 BD=2.4-x，
在 Rt△ ACD中，∠ ACD=45°，
∴∠ CAD=45°，
∴ AD=CD=x．
在 Rt△ ABD中， ，
即 ，
解得 x=0.88，
可知 AD=0.88千米 =880米，
因为 880米＞ 800米，所以公路不穿过纪念园．
本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
20.1.见解析 ????解析：
∵ ＝
∴ ＝
∴
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∴ BD=AC
20.2.见解析 ????解析：
∵∠ B=∠C ； ∠ AEB=∠ DEC
∴ △ ABE∽△ DCE
21.1.15； 5； 0.15????解析：
解： （人）；
（人）；
21.2.54° ????解析：
答：扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 α 的度数为 54°．
21.3.有理即可；见详解 ????解析：
根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一
块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验．
22.1.见详解； ????解析：
如下图所示，过点 M作 MQ CN，
∵ 为等边三角形， MQ CN，
∴ ，
则 AM=AQ，且 ∠ A=60° ，
∴ 为等边三角形，则 MQ=AM=CN，
又 ∵ MQ CN，
∴∠ QMP=∠ CNP，
在 ，
∴ ， ???
则 MP=NP；
22.2.0.5a． ????解析：
∵ 为等边三角形，且 MH⊥ AC，
∴ AH=HQ， ???
又由（ 1）得， ，
则 PQ=PC，
∴ PH=HQ+PQ=0.5（ AQ+CQ） =0.5AC=0.5a．
23.1.每件雨衣 元，每双雨鞋 元 ????解析：
解：设每件雨衣 元，每双雨鞋 元，则
，解得 ，
经检验， 是原分式方程的根，
，
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答：每件雨衣 元，每双雨鞋 元；
23.2. ????解析：略
23.3.最多可购买 套 ????解析：
解： ，
购买的套数在 范围内，
即 ，解得 ，
答：在（ 2）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320元时最多可购买 套．
24.1.抛物线函数表达式为 ，直线 BC的函数表达式为 ????解析：
解：将点 A(-1,0)， B(3,0)代入 ，得：
，解得 ，
所以抛物线解析式为 ， C(0， 3)
设直线 BC的函数表达式 ，将 B(3， 0)， C(0， 3)代入得：
，解得 ，
所以直线 BC的函数表达式为
24.2.点 P的坐标为 ( , )，△ PEF的周长为 ????解析：
解：如图，设将直线 BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将 代入 ，解得 ，
将 代入 得 ，
即△ PEF的周长为最大值时，点 P的坐标为 ( , )
将 代入 得 ，
则此时 ，
因为△ PEF为等腰直角三角形，
则△ PEF的周长最大为
24.3.存在， (2， 3)或 (-2， -5)或 (4， -5)????解析：
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答：存在．
已知 B(3， 0)， C(0， 3)，设点 Ｇ ( ， )， N(1， n)，
当 BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ， ，则 G点坐标为 (2， 3)；
当 BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或 ，解得
或 则 G点坐标为 (-2， -5)或 (4， -5)
故点 G坐标为 (2， 3)或 (-2， -5)或 (4， -5)
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