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矩阵的秩的性质和
矩阵秩与矩阵运算之间的关系
要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之
就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方
程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件
是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”
那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩
阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们
就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零
行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积
等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，
综合所学，我们得到如下性质：
1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。
2、秩为r的n级矩阵（n ? r），任意r+1阶行列式为0，并且至
少有一个r阶子式不为0.
3、rank(AB) ? min{rank(A),rank(B)}
rank(A) ? rank(A'')
，
rank(A? B) ? rank(A)?rank(B)
rank(kA) ? rank(A)
4、设A是s?n矩阵，B为n?s矩阵，则
rank(A)?
rank(B)?n ? rank(AB) ? min{rank(A),rank(B)}
5、设A是s?n矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则
..
rank(PA) ? rank(AQ) ? rank(A)
.
6、设A是s?n矩阵，B为n?s矩阵，且AB=0，则
rank(A)?rank(B) ? n
7、设A是s?n矩阵，则rank(AA'') ? rank(A''A) ? rank(A)
其中，也涉及到线性方程组解得问题：
8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A，rank(A) ? n
则方程组有惟一非零解，rank(A) ? n则有无穷多解，换言之，即为
克莱姆法则，
非齐次线性方程组有解时，rank(A) ? n惟一解，rank(A) ? n
有无穷多解。
还有满秩矩阵：
9、可逆?满秩
10、行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非
零行数目为n。
扩展到矩阵的分块后：
? A
1?rank
??
0?
11、
0 ?
?
? ? rank(A1)?
A
n
??
?rank(A
n
)
? A C?rank
? ? ? rank(A)?rank(B)0 B? ?
12、
..
.
证明：
1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。
设矩阵A的行向量组是?1，?2L ?s，设A经过1?初等变换j+ik变成
?
1
,L ,?
i
,L ,k?
i
??
j
,L ,?
s矩阵B，则B的行向量组是
?
1
,L ,?
i
,L ,k?
i
??
j
,L ,?
s
?
j
?1?(k?
i
??
j
)? k?
i
，显然，
可由
?
1
，?
2
L ?
s线性表出，由于
，因此?1，?2L ?s也可由?1,L ,?i,L ,k?i ?? j,L ,?s线性
表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的行秩等
于B的列秩。
容易证明，2?型和3?型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等
价，从而不改变矩阵的行秩。
进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那
么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质
便得证。
2、设s?n矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个线性无关的向
量，设A的第i1,L ,ir行向量线性无关，它们组成一个矩阵A1（称
A1是A的子矩阵），由于A1的行向量组线性无关，因此A1的行秩为
r，列秩也为r。于是A1又r列线性无关。设A1的第j1,L , jr列线性无
关，它们组成A1的一个子矩阵A2的列向量组线性无关，因此
即
| A
2
|? 0
。
..
|
|
