第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)微分中值定理 与导数的应
用 一、罗尔( Rolle )定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 第一节 微分中值定理 第三章 观察几
何现象一、罗尔( Rolle )定理 1. 问题的引入与费马引理(a, f(a))(b, f(b))费马( Fermat )引理:
存在,(导数为零的点称为函数的驻点)则证:(局部最值)2. 罗尔( Rolle)定理(1) 在区间 [a , b] 上连续;(2)
在区间 (a , b) 内可导;(3) f ( a ) = f ( b ).使则至少存在一点几何解释:由费马引理得证:f (x
) 不是常函数.注意:定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,罗尔定理:满足:(1) 在区间 [a , b] 上连续;(2
) 在区间 (a , b) 内可导;(3) f ( a ) = f ( b )使例1.证:∴ 由罗尔定理知,事实上,令例2.证
:根据零点定理,x0 即为方程的小于1的正实根.存在性得证.下面证明唯一性.1) 存在性.故假设错误,只有唯一实根.2) 唯一性.
反证法证明.二、拉格朗日中值定理(1) 在区间 [ a , b ] 上连续;满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导.则至
少存在一点使几何解释:若令证:(1) 在[a, b] 连续;(2) 在(a, b) 可导;证毕.作辅助函数另一证法:说明: 拉格朗
日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.则有有限增量公式拉格朗日中值定理又称有限增量定
理.即推论:证:证毕.例4.证:例5.证:故由拉哥朗日中值定理知,例6.证:设则 f (x)在[a, b](或[b, a])上满足
拉格朗日定理的条件,故例7.证:则 f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,所以例8.证:不妨设三、柯西(Cauchy)
中值定理(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续;(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导;(3)在开区间 ( a , b
) 内则至少存在一点使得几何解释:XY拉格朗日中值公式说明:分析 类似拉格朗日中值定理的证明,证:作辅助函数证毕例9.
证:分析:结论可变形为内容小结微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理思考与练习1. 填空题1)
函数在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理条件, 则中值2) 设有个根 , 它们分别在区间上.方程且在内可导, 证明至少存在一
点使提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设2. 设提示:分析:结论可变形为证:根据柯西中值定理知,分析:证:根据
介值定理知,由已知条件有6.证法一设证法二分析:即等式成立.6.分析只需证证根据罗尔定理知7.在直线运动中拉格朗日中值定理的意义.
物体在该时刻的瞬时速度恰好等于整段时间上的平均速度.费马(1601 – 1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.
他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微
积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日 (1736 – 1813)法国数学家.他在方程
论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全
面影响的数学家之一.柯西(1789 – 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯 西全集》共有 27 卷.其
中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积分在几何上的应用》 等,有思想有创建, 响广泛而深
远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800
余篇, 著书 7 本 , 作业P134: 1, 4, 6, 7, 9, 10, 11(1). |
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