用正弦定理、余弦定理及斯台沃特定理证一道有趣的几何题ΔABC中，A=900，D、E、F分别在线段BC、CA、AB上（且均非端点），一条光线从
B出发到E，再反射至D，再反射至F，再反射至C，求证：BE+ED=DF+FC，AD=BC/2。（本题即小蓝本12《面积与面积方法》
P119第26题）证明：对ΔABC进行两次翻折，显然BE+ED=DG，DF+FC=CH。分别对ΔBDG及ΔCHI运用正弦定理得DG
/sinB=2AB/sinBDG，DG=2ABsinB/sinBDG，CH/sinC=2AC/sinCHI，CH=2ACsinC/
sinCHI，而∠BDG=∠CHI，故DG=CH，BE+DE=DF+CF。分别在ΔBCH和ΔCDG中运用余弦定理得BC2+BD2-
2BCBDcos2B=BC2+CD2+2BCCDcos2B化简得BD-CD=2BCcos2B=2(AB2-AC2)/BC，又
由BD+CD=BC，解得BD=(3AB2-AC2)/(2BC)，CD=(3AC2-AB2)/(2BC)，由斯台沃特定理得AD2=(
AC2BD+AB2CD)/BC-BDCD=BC2/4， 故AD=BC/2IHGFEDCBA |
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