2021 年 北 京 中 考 数 学 试 题 及 答 案 全 市 统 考一 、 选 择 题 (共 16分 ， 每 题 2 分 )第 1-8 题 均 有 四 个 选 项 ， 符 合 题 意 的 选 项 只 有 一 个 。1． 如 图 是 某 几 何 体 的 展 开 图 ， 该 几 何 体 是 （ ）
A． 长 方 体 B． 圆 柱 C． 圆 锥 D． 三 棱 柱2． 党 的 十 八 大 以 来 ， 坚 持 把 教 育 扶 贫 作 为 脱 贫 攻 坚 的 优 先 任 务 ． 2014﹣ 2018年 ， 中 央 财 政累 计 投 入 “ 全 面 改 善 贫 困 地 区 义 务 教 育 薄 弱 学 校 基 本 办 学 条 件 ” 专 项 补 助 资 金 1692亿 元 ，将 169200000000用 科 学 记 数 法 表 示 应 为 （ ）A． 0.1692× 1012 B． 1.692× 1012C． 1.692× 10
11 D． 16.92× 10103． 如 图 ， 点 O 在 直 线 AB上 ， OC⊥ OD． 若 ∠ AOC＝ 120° ， 则 ∠ BOD的 大 小 为 （ ）A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°4． 下 列 多 边 形 中 ， 内 角 和 最 大 的 是 （ ）
A． B．C． D．5． 实 数 a， b 在 数 轴 上 的 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ）
A． a＞ ﹣ 2 B． |a|＞ b C． a+b＞ 0 D． b﹣ a＜ 06． 同 时 抛 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 则 一 枚 硬 币 正 面 向 上 、 一 枚 硬 币 反 面 向 上 的 概 率 是 （ ）A． B． C． D．7． 已 知 432＝ 1849， 442＝ 1936， 452＝ 2025， 462＝ 2116． 若 n 为 整 数 且 n＜ ＜ n+1，则 n 的 值 为 （ ）A． 43 B． 44 C． 45 D． 468． 如 图 ， 用 绳 子 围 成 周 长 为 10m 的 矩 形 ， 记 矩 形 的 一 边 长 为 xm， 它 的 邻 边 长 为 ym， 矩 形 的面 积 为 Sm
2． 当 x 在 一 定 范 围 内 变 化 时 ， y 和 S 都 随 x 的 变 化 而 变 化 ， 则 y 与 x， S 与 x满 足 的 函 数 关 系 分 别 是 （ ）A． 一 次 函 数 关 系 ， 二 次 函 数 关 系B． 反 比 例 函 数 关 系 ， 二 次 函 数 关 系C． 一 次 函 数 关 系 ， 反 比 例 函 数 关 系
D． 反 比 例 函 数 关 系 ， 一 次 函 数 关 系二 、 填 空 题 (共 16分 ， 每 题 2 分 )9． 若 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ．10． 分 解 因 式 ： 5x2﹣ 5y2＝ ．11． 方 程 ＝ 的 解 为 ．12． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 若 反 比 例 函 数 y＝ （ k≠ 0） 的 图 象 经 过 点 A（ 1， 2） 和 点B（ ﹣ 1， m） ， 则 m 的 值 为 ．13． 如 图 ， PA， PB 是 ⊙ O的 切 线 ， A， B是 切 点 ． 若 ∠ P＝ 50° ， 则 ∠ AOB＝ ．
14． 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， 点 E， F 分 别 在 BC， AD上 ， AF＝ EC． 只 需 添 加 一 个 条 件 即 可 证明 四 边 形 AECF是 菱 形 ， 这 个 条 件 可 以 是 （ 写 出 一 个 即 可 ） ．15． 有 甲 、 乙 两 组 数 据 ， 如 下 表 所 示 ：甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14甲 、 乙 两 组 数 据 的 方 差 分 别 为 s 甲 2， s 乙 2， 则 s 甲 2 s 乙 2（ 填 “ ＞ ” ， “ ＜ ” 或 “ ＝ ” ） ．16． 某 企 业 有 A， B 两 条 加 工 相 同 原 材 料 的 生 产 线 ． 在 一 天 内 ， A 生 产 线 共 加 工 a 吨 原 材 料 ，加 工 时 间 为 （ 4a+1） 小 时 ； 在 一 天 内 ， B 生 产 线 共 加 工 b吨 原 材 料 ， 加 工 时 间 为 （ 2b+3）小 时 ． 第 一 天 ， 该 企 业 将 5 吨 原 材 料 分 配 到 A， B 两 条 生 产 线 ， 两 条 生 产 线 都 在 一 天 内 完成 了 加 工 ， 且 加 工 时 间 相 同 ， 则 分 配 到 A 生 产 线 的 吨 数 与 分 配 到 B 生 产 线 的 吨 数 的 比为 ． 第 二 天 开 工 前 ， 该 企 业 按 第 一 天 的 分 配 结 果 分 配 了 5 吨 原 材 料 后 ， 又 给 A 生产 线 分 配 了 m 吨 原 材 料 ， 给 B 生 产 线 分 配 了 n 吨 原 材 料 ． 若 两 条 生 产 线 都 能 在 一 天 内 加
工 完 各 自 分 配 到 的 所 有 原 材 料 ， 且 加 工 时 间 相 同 ， 则 的 值 为 ．三 、 解 答 题 （ 共 68 分 ， 第 17-20 题 ， 每 题 5 分 ， 第 21-22 题 ， 每 题 6 分 ， 第 23 题 5 分 ，第 24 题 6 分 ， 第 25题 5分 ， 第 26题 6 分 ， 第 27-28 题 ， 每 题 7 分 ） 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、演 算 步 骤 或 证 明 过 程 。17． 计 算 ： 2sin60° + +|﹣ 5|﹣ （ π + ） 0．18． 解 不 等 式 组 ： ．19． 已 知 a
2+2b2﹣ 1＝ 0， 求 代 数 式 （ a﹣ b） 2+b（ 2a+b） 的 值 ．
20． 《 淮 南 子 ?天 文 训 》 中 记 载 了 一 种 确 定 东 西 方 向 的 方 法 ， 大 意 是 ： 日 出 时 ， 在 地 面 上 点 A处 立 一 根 杆 ， 在 地 面 上 沿 着 杆 的 影 子 的 方 向 取 一 点 B， 使 B， A两 点 间 的 距 离 为 10步 （ 步是 古 代 的 一 种 长 度 单 位 ） ， 在 点 B处 立 一 根 杆 ； 日 落 时 ， 在 地 面 上 沿 着 点 B 处 的 杆 的 影 子的 方 向 取 一 点 C， 使 C， B 两 点 间 的 距 离 为 10 步 ， 在 点 C 处 立 一 根 杆 ． 取 CA 的 中 点 D，那 么 直 线 DB 表 示 的 方 向 为 东 西 方 向 ．（ 1） 上 述 方 法 中 ， 杆 在 地 面 上 的 影 子 所 在 直 线 及 点 A， B， C 的 位 置 如 图 所 示 ． 使 用 直 尺和 圆 规 ， 在 图 中 作 CA 的 中 点 D（ 保 留 作 图 痕 迹 ） ；
（ 2） 在 如 图 中 ， 确 定 了 直 线 DB 表 示 的 方 向 为 东 西 方 向 ． 根 据 南 北 方 向 与 东 西 方 向 互 相垂 直 ， 可 以 判 断 直 线 CA表 示 的 方 向 为 南 北 方 向 ， 完 成 如 下 证 明 ．证 明 ： 在 △ ABC中 ， BA＝ ， D 是 CA 的 中 点 ，∴ CA⊥ DB（ ） （ 填 推 理 的 依 据 ） ．∵ 直 线 DB表 示 的 方 向 为 东 西 方 向 ，∴ 直 线 CA表 示 的 方 向 为 南 北 方 向 ．21． 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x
2﹣ 4mx+3m2＝ 0．（ 1） 求 证 ： 该 方 程 总 有 两 个 实 数 根 ；（ 2） 若 m＞ 0， 且 该 方 程 的 两 个 实 数 根 的 差 为 2， 求 m 的 值 ．22． 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， ∠ ACB＝ ∠ CAD＝ 90° ， 点 E 在 BC上 ， AE∥ DC， EF⊥ AB， 垂 足为 F．（ 1） 求 证 ： 四 边 形 AECD是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 若 AE平 分 ∠ BAC， BE＝ 5， cosB＝ ， 求 BF 和 AD的 长 ．
23． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 一 次 函 数 y＝ kx+b（ k≠ 0） 的 图 象 由 函 数 y＝ x 的 图 象 向下 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 ．（ 1） 求 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 当 x＞ ﹣ 2 时 ， 对 于 x 的 每 一 个 值 ， 函 数 y＝ mx（ m≠ 0） 的 值 大 于 一 次 函 数 y＝ kx+b的 值 ， 直 接 写 出 m 的 取 值 范 围 ．24． 如 图 ， ⊙ O是 △ ABC 的 外 接 圆 ， AD是 ⊙ O 的 直 径 ， AD⊥ BC于 点 E．（ 1） 求 证 ： ∠ BAD＝ ∠ CAD；（ 2） 连 接 BO 并 延 长 ， 交 AC于 点 F， 交 ⊙ O于 点 G， 连 接 GC． 若 ⊙ O 的 半 径 为 5， OE＝ 3，
求 GC和 OF的 长 ．25． 为 了 解 甲 、 乙 两 座 城 市 的 邮 政 企 业 4月 份 收 入 的 情 况 ， 从 这 两 座 城 市 的 邮 政 企 业 中 ， 各随 机 抽 取 了 25家 邮 政 企 业 ， 获 得 了 它 们 4 月 份 收 入 （ 单 位 ： 百 万 元 ） 的 数 据 ， 并 对 数 据
进 行 整 理 、 描 述 和 分 析 ． 下 面 给 出 了 部 分 信 息 ．a． 甲 城 市 邮 政 企 业 4月 份 收 入 的 数 据 的 频 数 分 布 直 方 图 如 下 （ 数 据 分 成 5 组 ： 6≤ x＜ 8，8≤ x＜ 10， 10≤ x＜ 12， 12≤ x＜ 14， 14≤ x≤ 16） ：
b． 甲 城 市 邮 政 企 业 4 月 份 收 入 的 数 据 在 10≤ x＜ 12这 一 组 的 是 ：10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c． 甲 、 乙 两 座 城 市 邮 政 企 业 4 月 份 收 入 的 数 据 的 平 均 数 、 中 位 数 如 下 ：平 均 数 中 位 数甲 城 市 10.8 m乙 城 市 11.0 11.5根 据 以 上 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ：（ 1） 写 出 表 中 m 的 值 ；（ 2） 在 甲 城 市 抽 取 的 邮 政 企 业 中 ， 记 4 月 份 收 入 高 于 它 们 的 平 均 收 入 的 邮 政 企 业 的 个 数为 p
1． 在 乙 城 市 抽 取 的 邮 政 企 业 中 ， 记 4 月 份 收 入 高 于 它 们 的 平 均 收 入 的 邮 政 企 业 的 个数 为 p2． 比 较 p1， p2的 大 小 ， 并 说 明 理 由 ；（ 3） 若 乙 城 市 共 有 200家 邮 政 企 业 ， 估 计 乙 城 市 的 邮 政 企 业 4月 份 的 总 收 入 （ 直 接 写 出结 果 ） ．26． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 （ 1， m） 和 点 （ 3， n） 在 抛 物 线 y＝ ax2+bx（ a＞ 0） 上 ．（ 1） 若 m＝ 3， n＝ 15， 求 该 抛 物 线 的 对 称 轴 ；（ 2） 已 知 点 （ ﹣ 1， y
1） ， （ 2， y2） ， （ 4， y3） 在 该 抛 物 线 上 ． 若 mn＜ 0， 比 较 y1， y2， y3的 大 小 ， 并 说 明 理 由 ．27． 如 图 ， 在 △ ABC中 ， AB＝ AC， ∠ BAC＝ α ， M 为 BC 的 中 点 ， 点 D 在 MC 上 ， 以 点 A 为 中 心 ，将 线 段 AD顺 时 针 旋 转 α 得 到 线 段 AE， 连 接 BE， DE．（ 1） 比 较 ∠ BAE与 ∠ CAD的 大 小 ； 用 等 式 表 示 线 段 BE， BM， MD之 间 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 ；（ 2） 过 点 M 作 AB的 垂 线 ， 交 DE于 点 N， 用 等 式 表 示 线 段 NE 与 ND的 数 量 关 系 ， 并 证 明 ．
28． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， ⊙ O 的 半 径 为 1． 对 于 点 A 和 线 段 BC， 给 出 如 下 定 义 ： 若 将线 段 BC 绕 点 A旋 转 可 以 得 到 ⊙ O的 弦 B′ C′ （ B′ ， C′ 分 别 是 B， C的 对 应 点 ） ， 则 称 线段 BC是 ⊙ O 的 以 点 A 为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” ．（ 1） 如 图 ， 点 A， B1， C1， B2， C2， B3， C3的 横 、 纵 坐 标 都 是 整 数 ． 在 线 段 B1C1， B2C2， B3C3中 ， ⊙ O 的 以 点 A 为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” 是 ；
（ 2） △ ABC 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ， 点 A（ 0， t） ， 其 中 t≠ 0． 若 BC 是 ⊙ O 的 以 点 A为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” ， 求 t的 值 ；（ 3） 在 △ ABC 中 ， AB＝ 1， AC＝ 2． 若 BC 是 ⊙ O 的 以 点 A 为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” ， 直 接 写出 OA的 最 小 值 和 最 大 值 ， 以 及 相 应 的 BC 长 ．
参 考 答 案 ：1.【 答 案 】 B2.【 答 案 】 C3.【 答 案 】 A4.【 答 案 】 D
5.【 答 案 】 B6.【 答 案 】 C7.【 答 案 】 B
8.【 答 案 】 A9.【 答 案 】 7x?【 详 解 】 解 ： 由 题 意 得 ：7 0x? ? ，解 得 ： 7x? ；故 答 案 为 7x? ．10.
【 答 案 】 ? ?? ?5 x y x y? ?【 详 解 】 解 ： ? ? ? ?? ?2 2 2 25 5 5 5x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ；故 答 案 为 ? ?? ?5 x y x y? ? ．11.【 答 案 】 3x?【 详 解 】 解 ： 2 13x x??2 3x x? ? ，
∴ 3x? ，经 检 验 ： 3x? 是 原 方 程 的 解 ．故 答 案 为 ： x=3．12.【 答 案 】 2?【 详 解 】 解 ： 把 点 ? ?1,2A 代 入 反 比 例 函 数 ? ?0ky kx? ? 得 ： 2k ? ，∴ 1 2m? ? ? ， 解 得 ： 2m?? ，故 答 案 为 -2．
13.【 答 案 】 130°【 详 解 】 解 ： ∵ ,PA PB是 O? 的 切 线 ，∴ 90? ?? ? ?PAO PBO ，
∴ 由 四 边 形 内 角 和 可 得 ： 180AOB P? ?? ? ?，∵ 50P? ? ?，∴ 130AOB? ? ?；故 答 案 为 130° ．14.【 答 案 】 AF AE? （ 答 案 不 唯 一 ）【 详 解 】 解 ： ∵ 四 边 形 ABCD是 矩 形 ，∴ //AD BC，∵ AF EC? ，
∴ 四 边 形 AECF 是 平 行 四 边 形 ，若 要 添 加 一 个 条 件 使 其 为 菱 形 ， 则 可 添 加 AF AE? 或 AE=CE或 CE=CF或 AF=CF， 理 由 ： 一组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ；故 答 案 为 AF AE? （ 答 案 不 唯 一 ） ．15.【 答 案 】 ＞【 详 解 】 解 ： 由 题 意 得 ：11 12 13 14 15 135x ? ? ? ?? ?甲 ， 12 12 13 14 14 135x ? ? ? ?? ?乙 ，
∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 2 2 211 13 12 13 13 13 14 13 15 13 25s ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?甲 ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 22 12 13 12 13 13 13 14 13 14 13 45 5s ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?乙 ，∴ 42 5? ，∴ 2 2s s? 乙甲 ；故 答 案 为 ＞ ．16.
【 答 案 】 ① . 2∶ 3 ② . 12【 详 解 】 解 ： 设 分 配 到 A 生 产 线 的 吨 数 为 x吨 ， 则 分 配 到 B生 产 线 的 吨 数 为 （ 5-x） 吨 ， 依题 意 可 得 ：
? ?4 1 2 5 3x x? ? ? ? ， 解 得 ： 2x? ，∴ 分 配 到 B生 产 线 的 吨 数 为 5-2=3（ 吨 ） ，∴ 分 配 到 A 生 产 线 的 吨 数 与 分 配 到 B 生 产 线 的 吨 数 的 比 为 2∶ 3；∴ 第 二 天 开 工 时 ， 给 A 生 产 线 分 配 了 ? ?2 m? 吨 原 材 料 ， 给 B 生 产 线 分 配 了 ? ?3 n? 吨 原 材料 ，∵ 加 工 时 间 相 同 ，∴ ? ? ? ?4 2 1 2 3 3m n? ? ? ? ? ，解 得 ： 12m n? ，
∴ 12mn ? ；故 答 案 为 2:3， 12 ．17.【 答 案 】 3 3 4?【 详 解 】 解 ： 原 式 = 32 2 3 5 1 3 3 42? ? ? ? ? ? ．18.【 答 案 】 2 4x? ?
【 详 解 】 解 ： 4 5 13 42x xx x? ? ???? ? ??? ①②由 ① 可 得 ： 2x? ，由 ② 可 得 ： 4x? ，∴ 原 不 等 式 组 的 解 集 为 2 4x? ? ．19.【 答 案 】 1【 详 解 】 解 ： ? ? ? ?2 2? ? ?a b b a b
= 2 2 22 2a ab b ab b? ? ? ?= 2 22a b? ，
∵ 2 22 1 0a b? ? ? ，∴ 2 22 1a b? ? ，代 入 原 式 得 ： 原 式 =1．20.【 答 案 】 （ 1） 图 见 详 解 ； （ 2） BC， 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一【 详 解 】 解 ： （ 1） 如 图 所 示 ：
（ 2） 证 明 ： 在 ABC? 中 ， BA BC? ， D是 CA的 中 点 ，CA DB? ? （ 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 ） （ 填 推 理 的 依 据 ） ．∵ 直 线 DB表 示 的 方 向 为 东 西 方 向 ，∴ 直 线 CA表 示 的 方 向 为 南 北 方 向 ；故 答 案 为 BC， 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 ．【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 垂 直 平 分 线 的 尺 规 作 图 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 垂 直 平 分 线 的尺 规 作 图 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 是 解 题 的 关 键 ．21.【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 1m?
【 详 解 】 （ 1） 证 明 ： 由 题 意 得 ： 21, 4 , 3a b m c m? ?? ? ，∴ 2 2 2 24 16 4 1 3 4b ac m m m?? ? ? ? ? ? ? ，∵ 2 0m ? ，∴ 24 0m?? ? ，∴ 该 方 程 总 有 两 个 实 数 根 ；（ 2） 解 ： 设 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 2 24 3 0x mx m? ? ? 的 两 实 数 根 为 1 2,x x ， 则 有 ：21 2 1 24 , 3x x m x x m? ? ? ? ，
∵ 1 2 2x x? ? ，
∴ ? ? ? ?2 2 2 21 2 1 2 1 24 16 12 4x x x x x x m m? ? ? ? ? ? ? ，解 得 ： 1m?? ，∵ 0m? ，∴ 1m? ．22.【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 4BF ? ， 3AD?【 详 解 】 （ 1） 证 明 ： ∵ 90ACB CAD? ?? ? ?，∴ AD∥ CE，
∵ //AE DC ，∴ 四 边 形 AECD是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 解 ： 由 （ 1） 可 得 四 边 形 AECD是 平 行 四 边 形 ，∴ CE AD? ，∵ EF AB? ， AE 平 分 BAC? ， 90ACB? ? ?，∴ EF CE? ，∴ EF=CE=AD，∵ 45,cos 5BE B? ? ，
∴ 4cos 5 45BF BE B? ? ? ? ? ，∴ 2 2 3EF BE BF? ? ? ，∴ 3AD EF? ? ．23.【 答 案 】 （ 1） 1 12y x? ? ； （ 2） 1 12 m? ?【 详 解 】 解 ： （ 1） 由 一 次 函 数 ? ?0y kx b k? ? ? 的 图 象 由 函 数 12y x? 的 图 象 向 下 平 移 1 个单 位 长 度 得 到 可 得 ： 一 次 函 数 的 解 析 式 为 1 12y x? ? ；
（ 2） 由 题 意 可 先 假 设 函 数 ? ?0y mx m? ? 与 一 次 函 数 y kx b? ? 的 交 点 横 坐 标 为 2? ， 则 由（ 1） 可 得 ： ? ?12 2 12m? ? ? ? ? ， 解 得 ： 1m? ，函 数 图 象 如 图 所 示 ：
∴ 当 2x?? 时 ， 对 于 x的 每 一 个 值 ， 函 数 ? ?0y mx m? ? 的 值 大 于 一 次 函 数 y kx b? ? 的 值时 ， 根 据 一 次 函 数 的 k 表 示 直 线 的 倾 斜 程 度 可 得 当 12m? 时 ， 符 合 题 意 ， 当 12m? 时 ， 则函 数 ? ?0y mx m? ? 与 一 次 函 数 y kx b? ? 的 交 点 在 第 一 象 限 ， 此 时 就 不 符 合 题 意 ，综 上 所 述 ： 1 12 m? ? ．24.【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 6GC ? ， 2511OF ?【 详 解 】 （ 1） 证 明 ： ∵ AD是 O? 的 直 径 ， AD BC? ，
∴ ? ?BD CD? ，∴ BAD CAD? ?? ；（ 2） 解 ： 由 题 意 可 得 如 图 所 示 ：
由 （ 1） 可 得 点 E 为 BC 的 中 点 ，∵ 点 O是 BG的 中 点 ，
∴ 1 , //2OE CG OE CG? ，∴ AOF CGF? ?∽ ，∴ OA OFCG GF? ，∵ 3OE? ，∴ 6CG ? ，∵ O? 的 半 径 为 5，∴ 5OA OG? ? ，∴ 56 OFGF? ，
∴ 5 2511 11OF OG? ? ．25.【 答 案 】 （ 1） 10.1m? ； （ 2） 1 2p p? ， 理 由 见 详 解 ； （ 3） 乙 城 市 的 邮 政 企 业 4 月 份 的 总 收入 为 2200 百 万 元 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） 由 题 意 可 得 m 为 甲 城 市 的 中 位 数 ， 由 于 总 共 有 25家 邮 政 企 业 ， 所 以 第 13家 邮 政 企 业 的 收 入 作 为 该 数 据 的 中 位 数 ，∵ 6 8x? ? 有 3 家 ， 8 10x? ? 有 7 家 ， 10 12x? ? 有 8 家 ，∴ 中 位 数 落 在 10 12x? ? 上 ，
∴ 10.1m? ；（ 2） 由 （ 1） 可 得 ： 甲 城 市 中 位 数 低 于 平 均 数 ， 则 1p 最 大 为 12个 ； 乙 城 市 中 位 数 高 于 平 均数 ， 则 2p 至 少 为 13个 ，∴ 1 2p p? ；（ 3） 由 题 意 得 ：200 11 2200? ? （ 百 万 元 ） ；答 ： 乙 城 市 的 邮 政 企 业 4月 份 的 总 收 入 为 2200 百 万 元 ．26.
【 答 案 】 （ 1） 1x?? ； （ 2） 2 1 3y y y? ? ， 理 由 见 解 析【 详 解 】 解 ： （ 1） 当 3, 15m n? ? 时 ， 则 有 点 ? ?1,3 和 点 ? ?3,15 ， 代 入 二 次 函 数
? ?2 0y ax bx a? ? ? 得 ：39 3 15a ba b? ??? ? ?? ， 解 得 ： 12ab ??? ?? ，∴ 抛 物 线 解 析 式 为 2 2y x x? ? ，∴ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 12bx a?? ?? ；（ 2） 由 题 意 得 ： 抛 物 线 ? ?2 0y ax bx a? ? ? 始 终 过 定 点 ? ?0,0 ， 则 由 0mn? 可 得 ：① 当 0, 0m n? ? 时 ， 由 抛 物 线 ? ?2 0y ax bx a? ? ? 始 终 过 定 点 ? ?0,0 可 得 此 时 的 抛 物 线 开
口 向 下 ， 即 0a? ， 与 0a ? 矛 盾 ；② 当 0, 0m n? ? 时 ，∵ 抛 物 线 ? ?2 0y ax bx a? ? ? 始 终 过 定 点 ? ?0,0 ，∴ 此 时 抛 物 线 的 对 称 轴 的 范 围 为 1 32 2x? ? ，∵ 点 ? ? ? ? ? ?1 2 31, , 2, , 4,y y y? 在 该 抛 物 线 上 ，∴ 它 们 离 抛 物 线 对 称 轴 的 距 离 的 范 围 分 别 为? ?3 5 1 3 5 71 , 2 , 42 2 2 2 2 2x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
∵ 0a ? ， 开 口 向 上 ，∴ 由 抛 物 线 的 性 质 可 知 离 对 称 轴 越 近 越 小 ，∴ 2 1 3y y y? ? ．27.【 答 案 】 （ 1） BAE CAD? ?? ， BM BE MD? ? ， 理 由 见 详 解 ； （ 2） DN EN? ， 理 由见 详 解 ．【 详 解 】 （ 1） 证 明 ： ∵ BAC EAD ?? ?? ? ，∴ BAE BAD BAD CAD ?? ?? ?? ?? ? ，
∴ BAE CAD? ?? ，由 旋 转 的 性 质 可 得 AE AD? ，∵ AB AC? ，∴ ? ?ABE ACD SAS? ?≌ ，
∴ BE CD? ，∵ 点 M为 BC的 中 点 ，∴ BM CM? ，∵ CM MD CD MD BE? ? ? ? ，∴ BM BE MD? ? ；（ 2） 证 明 ： DN EN? ， 理 由 如 下 ：过 点 E作 EH⊥ AB， 垂 足 为 点 Q， 交 AB 于 点 H， 如 图 所 示 ：
∴ 90EQB HQB? ?? ? ?，由 （ 1） 可 得 ABE ACD△ ≌ △ ，∴ ABE ACD? ?? ， BE CD? ，∵ AB AC? ，∴ ABC C ABE? ?? ?? ，∵ BQ BQ? ，∴ ? ?BQE BQH ASA? ?≌ ，∴ BH BE CD? ? ，
∵ MB MC? ，∴ HM DM? ，∵ MN AB? ，∴ //MN EH ，∴ DMN DHE? ?∽ ，∴ 12DM DNDH DE? ? ，∴ DN EN? ．28.
【 答 案 】 （ 1） 2 2B C ； （ 2） 3t ?? ； （ 3） 当 min 1OA ? 时 ， 此 时 3BC ? ； 当 max 2OA ? 时 ，此 时 62BC ? ．【 详 解 】 解 ： （ 1） 由 题 意 得 ：
通 过 观 察 图 象 可 得 ： 线 段 2 2B C 能 绕 点 A 旋 转 90° 得 到 O? 的 “ 关 联 线 段 ” ， 1 1 3 3,BC B C 都不 能 绕 点 A进 行 旋 转 得 到 ；故 答 案 为 2 2B C ；（ 2） 由 题 意 可 得 ： 当 BC是 O? 的 以 点 A 为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” 时 ， 则 有 ABC? ?△ 是 等 边三 角 形 ， 且 边 长 也 为 1， 当 点 A 在 y 轴 的 正 半 轴 上 时 ， 如 图 所 示 ：
设 BC? ?与 y轴 的 交 点 为 D， 连 接 OB?， 易 得 BC y? ?? 轴 ，∴ 12BD DC? ?? ? ，∴ 2 2 32OD OB BD? ?? ? ? ， 2 2 32AD AB BD? ?? ? ? ，
∴ 3OA? ，∴ 3t ? ；当 点 A在 y轴 的 正 半 轴 上 时 ， 如 图 所 示 ：
同 理 可 得 此 时 的 3OA? ，∴ t 3? ? ；（ 3） 由 BC 是 O? 的 以 点 A 为 中 心 的 “ 关 联 线 段 ” ， 则 可 知 ,B C? ?都 在 O? 上 ， 且1, 2AB AB AC AC? ?? ? ? ? ， 则 有 当 以 B?为 圆 心 ， 1 为 半 径 作 圆 ， 然 后 以 点 A 为 圆 心 ， 2为 半 径 作 圆 ， 即 可 得 到 点 A 的 运 动 轨 迹 ， 如 图 所 示 ：
由 运 动 轨 迹 可 得 当 点 A 也 在 O? 上 时 为 最 小 ， 最 小 值 为 1， 此 时 AC?为 O? 的 直 径 ，∴ 90ABC? ?? ? ?，∴ 30ACB? ?? ? ?，
∴ cos30 3BC BC AC? ? ?? ? ? ?? ；由 以 上 情 况 可 知 当 点 , ,A B O? 三 点 共 线 时 ， OA 的 值 为 最 大 ， 最 大 值 为 2， 如 图 所 示 ：
连 接 ,OC BC? ? ?， 过 点 C?作 CP OA? ? 于 点 P，∴ 1, 2OC AC OA? ?? ? ? ，设 OP x? ， 则 有 2AP x? ? ，∴ 由 勾 股 定 理 可 得 ： 2 2 2 2 2CP AC AP OC OP? ? ?? ? ? ? ， 即 ? ?22 22 2 1x x? ? ? ? ，解 得 ： 14x? ，∴ 154CP? ? ，
∴ 34BP OB OP? ?? ? ? ，在 Rt BPC? ?? 中 ， 2 2 62BC BP CP? ? ? ?? ? ? ，∴ 62BC ? ；综 上 所 述 ： 当 min 1OA ? 时 ， 此 时 3BC ? ； 当 max 2OA ? 时 ， 此 时 62BC ? ．
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