2021 年 湖 北 省 武 汉 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案一 、 选 择 题 （ 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 ） 下 列 各 题 中 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 请 在 答 题 卡 上 将 正确 答 案 的 标 号 涂 黑 .1． 实 数 3 的 相 反 数 是 （ ）A． 3 B． ﹣ 3 C． D． ﹣【 分 析 】 直 接 利 用 相 反 数 的 定 义 分 析 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： 实 数 3 的 相 反 数 是 ： ﹣ 3．故 选 ： B．
2． 下 列 事 件 中 是 必 然 事 件 的 是 （ ）A． 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 正 面 朝 上B． 随 意 翻 到 一 本 书 的 某 页 ， 这 一 页 的 页 码 是 偶 数C． 打 开 电 视 机 ， 正 在 播 放 广 告D． 从 两 个 班 级 中 任 选 三 名 学 生 ， 至 少 有 两 名 学 生 来 自 同 一 个 班 级【 分 析 】 根 据 事 件 发 生 的 可 能 性 大 小 判 断 即 可 ．【 解 答 】 解 ： A、 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 是 随 机 事 件 ；B、 随 意 翻 到 一 本 书 的 某 页 ， 是 随 机 事 件 ；C、 打 开 电 视 机 ， 是 随 机 事 件 ；
D、 从 两 个 班 级 中 任 选 三 名 学 生 ， 是 必 然 事 件 ；故 选 ： D．3． 下 列 图 形 都 是 由 一 个 圆 和 两 个 相 等 的 半 圆 组 合 而 成 的 ， 其 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是（ ）A． B． C． D．【 分 析 】 根 据 把 一 个 图 形 绕 某 一 点 旋 转 180° ， 如 果 旋 转 后 的 图 形 能 够 与 原 来 的 图 形 重 合 ， 那 么 这 个 图形 就 叫 做 中 心 对 称 图 形 ， 这 个 点 叫 做 对 称 中 心 ； 如 果 一 个 图 形 沿 一 条 直 线 折 叠 ， 直 线 两 旁 的 部 分 能 够 互
相 重 合 ， 这 个 图 形 叫 做 轴 对 称 图 形 ， 这 条 直 线 叫 做 对 称 轴 进 行 分 析 即 可 ．【 解 答 】 解 ： A． 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ；B． 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；
C． 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；D． 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；故 选 ： A．4． 计 算 （ ﹣ a2） 3的 结 果 是 （ ）A． ﹣ a6 B． a6 C． ﹣ a5 D． a5【 分 析 】 根 据 幂 的 乘 方 的 运 算 法 则 计 算 可 得 ．【 解 答 】 解 ： （ ﹣ a
2） 3＝ ﹣ a4，故 选 ： A．5． 如 图 是 由 4 个 相 同 的 小 正 方 体 组 成 的 几 何 体 ， 它 的 主 视 图 是 （ ）
A． B．C． D．【 分 析 】 找 到 从 正 面 看 所 得 到 的 图 形 即 可 ， 注 意 所 有 的 看 到 的 棱 都 应 表 现 在 主 视 图 中 ．【 解 答 】 解 ： 从 正 面 看 易 得 有 两 层 ， 底 层 三 个 正 方 形 ．故 选 ： C．6． 学 校 招 募 运 动 会 广 播 员 ， 从 两 名 男 生 和 两 名 女 生 共 四 名 候 选 人 中 随 机 选 取 两 人 ， 则 两 人 恰 好 是 一 男 一 女的 概 率 是 （ ）
A． B． C． D．【 分 析 】 画 树 状 图 ， 共 有 12种 等 可 能 的 结 果 ， 抽 取 的 两 人 恰 好 是 一 男 一 女 的 结 果 有 8种 ， 再 由 概 率 公 式求 解 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 画 树 状 图 如 图 ：
共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 抽 取 的 两 人 恰 好 是 一 男 一 女 的 结 果 有 8种 ，∴ 两 人 恰 好 是 一 男 一 女 的 概 率 为 ＝ ，故 选 ： C．7． 我 国 古 代 数 学 名 著 《 九 章 算 术 》 中 记 载 “ 今 有 共 买 物 ， 人 出 八 ， 盈 三 ， 不 足 四 ． 问 人 数 、 物 价 各 几 何 ？ ”意 思 是 ： 现 有 几 个 人 共 买 一 件 物 品 ， 每 人 出 8 钱 ； 每 人 出 7 钱 ， 还 差 4 钱 ． 问 人 数 ， 物 价 是 y 钱 ， 则 下列 方 程 正 确 的 是 （ ）A． 8（ x﹣ 3） ＝ 7（ x+4） B． 8x+3＝ 7x﹣ 4C． ＝ D． ＝
【 分 析 】 根 据 人 数 ＝ 总 钱 数 ÷ 每 人 所 出 钱 数 ， 得 出 等 式 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 设 物 价 是 y 钱 ， 根 据 题 意 可 得 ：＝ ．故 选 ： D．8． 一 辆 快 车 和 一 辆 慢 车 将 一 批 物 资 从 甲 地 运 往 乙 地 ， 其 中 快 车 送 达 后 立 即 沿 原 路 返 回 ， 且 往 返 速 度 的 大 小不 变 （ 单 位 ： km） 与 慢 车 行 驶 时 间 t（ 单 位 ： h） 的 函 数 关 系 如 图 （ ）
A． h B． h C． h D． h【 分 析 】 根 据 图 象 得 出 ， 慢 车 的 速 度 为 ， 快 车 的 速 度 为 ． 从 而 得 出 快 车 和 慢 车 对 应 的y与 t的 函 数 关 系 式 ． 联 立 两 个 函 数 关 系 式 ， 求 解 出 图 象 对 应 两 个 交 点 的 坐 标 ， 即 可 得 出 间 隔 时 间 ．【 解 答 】 解 ： 根 据 图 象 可 知 ， 慢 车 的 速 度 为 ．
对 于 快 车 ， 由 于 往 返 速 度 大 小 不 变 ，因 此 单 程 所 花 时 间 为 2 h， 故 其 速 度 为 ．所 以 对 于 慢 车 ， y 与 t 的 函 数 表 达 式 为 ．对 于 快 车 ， y 与 t 的 函 数 表 达 式 为联 立 ① ② ， 可 解 得 交 点 横 坐 标 为 t＝ 3，联 立 ① ③ ， 可 解 得 交 点 横 坐 标 为 t＝ 4.5，
因 此 ， 两 车 先 后 两 次 相 遇 的 间 隔 时 间 是 7.5，故 选 ： B．9． 如 图 ， AB是 ⊙ O 的 直 径 ， BC 是 ⊙ O的 弦 沿 BC 翻 折 交 AB于 点 D， 再 将 ＝ ， 设 ∠ ABC＝ α ， 则 α所 在 的 范 围 是 （ ）
A． 21.9° ＜ α ＜ 22.3° B． 22.3° ＜ α ＜ 22.7°C． 22.7° ＜ α ＜ 23.1° D． 23.1° ＜ α ＜ 23.5°【 分 析 】 如 图 ， 连 接 AC,CD,DE． 证 明 ∠ CAB＝ 3α ,利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 α ， 可 得 结 论 ．【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 连 接 AC,DE．
∵ ＝ ,∴ ED＝ EB,∴ ∠ EDB＝ ∠ EBD＝ α ,∵ ＝ ＝ ,∴ AD＝ CD＝ DE,∴ ∠ DCE＝ ∠ DEC＝ ∠ EDB+∠ EBD＝ 2α ,∴ ∠ CAD＝ ∠ CDA＝ ∠ DCE+∠ EBD＝ 3α ,∵ AB是 直 径 ，
∴ ∠ ACB＝ 90° ,∴ ∠ CAB+∠ ABC＝ 90° ,∴ 2α ＝ 90° ,∴ α ＝ 22.5° ,故 选 ： B．10． 已 知 a， b 是 方 程 x
2﹣ 3x﹣ 5＝ 0 的 两 根 ， 则 代 数 式 2a3﹣ 6a2+b2+7b+1的 值 是 （ ）A． ﹣ 25 B． ﹣ 24 C． 35 D． 36【 分 析 】 根 据 一 元 二 次 方 程 解 的 定 义 得 到 a2﹣ 3a﹣ 5＝ 0， b2﹣ 3b﹣ 5＝ 0， 即 a2＝ 3a+5， b2＝ 3b+5， 根 据 根与 系 数 的 关 系 得 到 a+b＝ 3,然 后 整 体 代 入 变 形 后 的 代 数 式 即 可 求 得 ．【 解 答 】 解 ： ∵ a， b 是 方 程 x2﹣ 3x﹣ 7＝ 0的 两 根 ，∴ a
2﹣ 4a﹣ 5＝ 0， b2﹣ 3b﹣ 5＝ 3， a+b＝ 3,∴ a2﹣ 4a＝ 5， b2＝ 7b+5，∴ 2a2﹣ 6a2+b8+7b+1＝ 6a（ a2﹣ 3a)+2b+5+7b+3＝ 10a+10b+6＝ 10(a+b)+6＝ 10× 3+6＝ 36．
故 选 ： D．二 、 填 空 题 （ 共 6 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 18 分 ） 下 列 各 题 不 需 要 写 出 解 答 过 程 ， 请 将 结 果 直 接 填 写 在 答 题卡 指 定 的 位 置 .
11． 计 算 的 结 果 是 5 ．【 分 析 】 根 据 二 次 根 式 的 性 质 解 答 ．【 解 答 】 解 ： ＝ |﹣ 4|＝ 5．12． 我 国 是 一 个 人 口 资 源 大 国 ． 第 七 次 全 国 人 口 普 查 结 果 显 示 ， 北 京 等 五 大 城 市 的 常 住 人 口 数 如 下 表 ， 这组 数 据 的 中 位 数 是 2189 ．城 市 北 京 上 海 广 州 重 庆 成 都常 住 人 口数 万 2189 2487 1868 3205 2094
【 分 析 】 将 这 组 数 据 从 小 到 大 重 新 排 列 ， 再 根 据 中 位 数 的 定 义 求 解 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 将 这 组 数 据 重 新 排 列 为 1868， 2094， 2487，所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 为 2189，故 答 案 为 ： 2189．13． 已 知 点 A（ a， y
1） ， B（ a+1， y2） 在 反 比 例 函 数 y＝ （ m 是 常 数 ） 的 图 象 上 ， 且 y1＜ y2， 则 a的 取值 范 围 是 ﹣ 1＜ a＜ 0 ．【 分 析 】 根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ， ① 当 点 A（ a， y1） ， B（ a+1， y2） 在 同 一 象 限 时 ，② 当 点 A（ a， y1） ， B（ a+1， y2） 在 不 同 象 限 时 ．【 解 答 】 解 ： ∵ k＝ m2+1＞ 5，∴ 反 比 例 函 数 y＝ （ m是 常 数 ） 的 图 象 在 一 ， 在 每 个 象 限 ，① 当 A（ a， y
4） ， B（ a+1， y2） 在 同 一 象 限 ，∵ y3＜ y2，∴ a＞ a+1，此 不 等 式 无 解 ；② 当 点 A（ a， y8） 、 B（ a+1， y2） 在 不 同 象 限 ，∵ y
2＜ y2，∴ a＜ 0， a+5＞ 0，解 得 ： ﹣ 1＜ a＜ 6，故 答 案 为 ﹣ 1＜ a＜ 0．14． 如 图 ， 海 中 有 一 个 小 岛 A． 一 艘 轮 船 由 西 向 东 航 行 ， 在 B 点 测 得 小 岛 A 在 北 偏 东 60° 方 向 上 ， 这 时 测
得 小 岛 A 在 北 偏 东 30° 方 向 上 ． 小 岛 A 到 航 线 BC 的 距 离 是 10.4 nmile（ ≈ 1.73， 结 果 用 四 舍 五入 法 精 确 到 0.1） ．【 分 析 】 过 点 A 作 AE⊥ BD 交 BD 的 延 长 线 于 点 E， 根 据 三 角 形 的 外 角 性 质 得 到 ∠ BAD＝ ∠ ABD， 根 据 等 腰三 角 形 的 判 定 定 理 得 到 AD＝ AB， 根 据 正 弦 的 定 义 求 出 AE即 可 ．【 解 答 】 解 ： 过 点 A 作 AE⊥ BD 交 BD 的 延 长 线 于 点 E，
由 题 意 得 ， ∠ CBA＝ 60° ，∴ ∠ ABD＝ 30° ， ∠ ADE＝ 60° ，∴ ∠ BAD＝ ∠ ADE﹣ ∠ ABD＝ 30° ，∴ ∠ BAD＝ ∠ ABD，∴ AD＝ AB＝ 12nmile，在 Rt△ ADE中 ， sin∠ ADE＝ ，∴ AE＝ AD?sin∠ ADE＝ 6 ≈ 10.5（ nmile） ，故 小 岛 A 到 航 线 BC的 距 离 是 10.4nmile，
故 答 案 为 10.4．15． 已 知 抛 物 线 y＝ ax
2+bx+c（ a， b， c是 常 数 ） ， a+b+c＝ 0． 下 列 四 个 结 论 ：① 若 抛 物 线 经 过 点 （ ﹣ 3， 0） ， 则 b＝ 2a；② 若 b＝ c， 则 方 程 cx2+bx+a＝ 0 一 定 有 根 x＝ ﹣ 2；③ 抛 物 线 与 x 轴 一 定 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ；④ 点 A（ x
1， y1） ， B（ x2， y2） 在 抛 物 线 上 ， 若 0＜ a＜ c， 则 当 x1＜ x2＜ 1 时 ， y1＞ y2．其 中 正 确 的 是 ① ② ④ （ 填 写 序 号 ） ．【 分 析 】 ① 由 题 意 可 得 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x＝ ＝ ＝ ﹣ 1， 即 b＝ 2a， 即 ① 正 确 ；
② 若 b＝ c， 则 二 次 函 数 y＝ cx2+bx+a 的 对 称 轴 为 直 线 ： x＝ ﹣ ＝ ﹣ ， 则 ＝ ﹣ ， 解 得 m＝ ﹣ 2，即 方 程 cx2+bx+a＝ 0一 定 有 根 x＝ ﹣ 2； 故 ② 正 确 ；③ △ ＝ b2﹣ 4ac＝ （ a+c） 2﹣ 4ac＝ （ a﹣ c） 2≥ 0， 则 当 a≠ c时 ， 抛 物 线 与 x 轴 一 定 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ． 故③ 不 正 确 ；④ 由 题 意 可 知 ， 抛 物 线 开 口 向 上 ， 且 ＞ 1， 则 当 x＜ 1 时 ， y随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x
1＜ x2＜ 1 时 ， y1＞ y2． 故 ④ 正 确 ．【 解 答 】 解 ： ∵ 抛 物 线 y＝ ax2+bx+c（ a， b， c是 常 数 ） ，∴ （ 1， 3） 是 抛 物 线 与 x 轴 的 一 个 交 点 ．① ∵ 抛 物 线 经 过 点 （ ﹣ 3， 0） ，∴ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x＝ ＝ ﹣ 8，∴ ﹣ ＝ ﹣ 1， 即 ① 正 确 ；② 若 b＝ c， 则 二 次 函 数 y＝ cx
7+bx+a 的 对 称 轴 为 直 线 ： x＝ ﹣ ＝ ﹣ ，且 二 次 函 数 y＝ cx2+bx+a过 点 （ 1， 2） ，∴ ＝ ﹣ ，∴ y＝ cx2+bx+a与 x轴 的 另 一 个 交 点 为 （ ﹣ 6， 0） 2+bx+a＝ 2 一 定 有 根 x＝ ﹣ 2； 故 ② 正 确 ；③ △ ＝ b
2﹣ 6ac＝ （ a+c） 2﹣ 4ac＝ （ a﹣ c） 2≥ 0，∴ 抛 物 线 与 x 轴 一 定 有 两 个 公 共 点 ，且 当 a≠ c时 ， 抛 物 线 与 x 轴 一 定 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ；④ 由 题 意 可 知 ， 抛 物 线 开 口 向 上 ， 且 ，∴ （ 1， 7） 在 对 称 轴 的 左 侧 ，∴ 当 x＜ 1时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ，∴ 当 x
1＜ x4＜ 1时 ， y1＞ y8． 故 ④ 正 确 ．故 答 案 为 ： ① ② ④ ．16． 如 图 （ 1） ， 在 △ ABC中 ， AB＝ AC， 边 AB 上 的 点 D 从 顶 点 A 出 发 ， 向 顶 点 B 运 动 ， 边 BC上 的 点 E 从 顶 点B出 发 ， 向 顶 点 C 运 动 ， D， 设 x＝ AD， y＝ AE+CD（ 2） ， 图 象 过 点 （ 0， 2） ， 则 图 象 最 低 点 的 横 坐 标 是﹣ 1 ．
【 分 析 】 观 察 函 数 图 象 ， 根 据 图 象 经 过 点 （ 0， 2） 即 可 推 出 AB 和 AC的 长 ， 构 造 △ NBE≌ △ CAD， 当 A、 E、N三 点 共 线 时 ， y 取 得 最 小 值 ， 利 用 三 角 形 相 似 求 出 此 时 的 x值 即 可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ 图 象 过 点 （ 0， 2） ，即 当 x＝ AD＝ 7时 ,点 D 与 A 重 合 ，此 时 y＝ AE+CD＝ AB+AC＝ 2,∵ △ ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ，∴ AB＝ AC＝ 1，过 点 A 作 AF⊥ BC 于 点 F， 过 点 B作 NB⊥ BC， 如 图 所 示 ：
∵ AD＝ BE,∠ NBE＝ ∠ CAD，∴ △ NBE≌ △ CAD(SAS)，∴ NE＝ CD，又 ∵ y＝ AE+CD,∴ y＝ AE+CD＝ AE+NE,当 A、 E、 N 三 点 共 线 时 ， 如 图 所 示
AD＝ BE＝ x,AC＝ BN＝ 6，∴ AF＝ AC?sin45° ＝ ,\又 ∵ ∠ BEN＝ ∠ FEA， ∠ NBE＝ ∠ AFE∴ △ NBE∽ △ AFE∴ ， 即 ，解 得 ： x＝ ，∴ 图 象 最 低 点 的 横 坐 标 为 ： ﹣ 1．
故 答 案 为 ： ．三 、 解 答 题 （ 共 8 小 题 ， 共 72 分 ） 下 列 各 题 需 要 在 答 题 卡 指 定 的 位 置 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 、 演 算 步 骤或 画 出 图 形 .17． （ 8分 ） 解 不 等 式 组 请 按 下 列 步 骤 完 成 解 答 ．（ 1） 解 不 等 式 ① ， 得 x≥ ﹣ 1 ；（ 2） 解 不 等 式 ② ， 得 x＞ ﹣ 3 ；（ 3） 把 不 等 式 ① 和 ② 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ；
（ 4） 原 不 等 式 组 的 解 集 是 x≥ ﹣ 1 ．【 分 析 】 先 解 出 两 个 不 等 式 ， 然 后 在 数 轴 上 表 示 出 它 们 的 解 集 ， 即 可 写 出 不 等 式 组 的 解 集 ．【 解 答 】 解 ：（ 1） 解 不 等 式 ① ， 得 x≥ ﹣ 1；（ 2） 解 不 等 式 ② ， 得 x＞ ﹣ 5；（ 3） 把 不 等 式 ① 和 ② 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ；
（ 4） 原 不 等 式 组 的 解 集 是 x≥ ﹣ 1．故 答 案 为 ： x≥ ﹣ 1； x＞ ﹣ 8．18． （ 8分 ） 如 图 ， AB∥ CD， ∠ B＝ ∠ D， BC 的 延 长 线 分 别 交 于 点 E， F， 求 证 ： ∠ DEF＝ ∠ F．
【 分 析 】 由 平 行 线 的 性 质 得 到 ∠ DCF＝ ∠ B， 进 而 推 出 ∠ DCF＝ ∠ D， 根 据 平 行 线 的 判 定 得 到 AD∥ BC， 根 据平 行 线 的 性 质 即 可 得 到 结 论 ．【 解 答 】 证 明 ： ∵ AB∥ CD，∴ ∠ DCF＝ ∠ B，∵ ∠ B＝ ∠ D，∴ ∠ DCF＝ ∠ D，∴ AD∥ BC，∴ ∠ DEF＝ ∠ F．19． （ 8分 ） 为 了 解 落 实 国 家 《 关 于 全 面 加 强 新 时 代 大 中 小 学 劳 动 教 育 的 意 见 》 的 实 施 情 况 ， 某 校 从 全 体 学
生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 ， 调 查 他 们 平 均 每 周 劳 动 时 间 t（ 单 位 ： h） ， B组 “ 5≤ t＜ 7” ， C组 “ 7≤ t＜ 9” ，绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ．
根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） 这 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 100 ， C组 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 大 小 是 108° ；（ 2） 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；（ 3） 该 校 共 有 1500名 学 生 ， 请 你 估 计 该 校 平 均 每 周 劳 动 时 间 不 少 于 7h 的 学 生 人 数 ．【 分 析 】 （ 1） 用 D 组 的 人 数 ÷ 所 占 百 分 比 计 算 即 可 ， 计 算 C 组 的 百 分 比 ， 用 C 组 的 百 分 数 乘 以 360° 即可 得 出 C 组 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 大 小 ；（ 2） 求 出 B 组 人 数 ， 画 出 条 形 图 即 可 ；
（ 3） 用 C， D 两 组 的 百 分 数 之 和 乘 以 1500即 可 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 这 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 10÷ 10%＝ 100，C组 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 大 小 是 360° × ＝ 108° ，故 答 案 为 ： 100， 108° ；（ 2） B 组 的 人 数 ＝ 100﹣ 15﹣ 30﹣ 10＝ 45（ 名 ） ，条 形 统 计 图 如 图 所 示 ，
（ 3） 1500× ＝ 600（ 名 ） ．答 ： 估 计 该 校 平 均 每 周 劳 动 时 间 不 少 于 7h的 学 生 人 数 为 600．20． （ 8分 ） 如 图 是 由 小 正 方 形 组 成 的 5× 7 网 格 ， 每 个 小 正 方 形 的 顶 点 叫 做 格 点 ， 矩 形 ABCD 的 四 个 顶 点 都是 格 点 ． 仅 用 无 刻 度 的 直 尺 在 给 定 网 格 中 完 成 画 图（ 1） 在 图 （ 1） 中 ， 先 在 边 AB 上 画 点 E， 使 AE＝ 2BE， 使 EF平 分 矩 形 ABCD的 面 积 ；（ 2 ） 在 图 （ 2 ） 中 ， 先 画 △ BCD 的 高 CG ， 再 在 边 AB 上 画 点
H【 分 析 】 （ 1） 如 图 取 格 点 T,连 接 DT 交 AB于 点 E,连 接 BD,取 BD 的 中 点 F,作 直 线 EF即 可 ．
（ 2） 取 格 点 E,F,连 接 EF交 格 线 于 P,连 接 CP交 BD于 点 G,线 段 CG即 为 所 求 ． 取 格 点 M,N,T,K,连 接 MN,TK交 于 点 J,取 BD的 中 点 O,作 直 线 OJ 交 AB 于 H,连 接 DH,点 H 即 为 所 求 ．【 解 答 】 解 ： （ 1)如 图 ， 直 线 EF 即 为 所 求 ．（ 2） 如 图 ， 线 段 CG．
21． （ 8分 ） 如 图 ， AB是 ⊙ O 的 直 径 ， C， D 是 ⊙ O上 两 点 的 中 点 ， 过 点 C 作 AD的 垂 线（ 1） 求 证 ： CE是 ⊙ O 的 切 线 ；（ 2） 若 ＝ ， 求 cos∠ ABD 的 值 ．
【 分 析 】 （ 1） 连 接 OC 交 BD 于 点 G， 可 证 明 四 边 形 EDGC 是 矩 形 ， 可 求 得 ∠ ECG＝ 90° ， 进 而 可 求 CE 是⊙ O 的 切 线 ；（ 2） 连 接 BC， 设 FG＝ x,OB＝ r， 利 用 ＝ ， 设 DF＝ t,DC＝ t,利 用 Rt△ BCG∽ Rt△ BFC 的 性 质 求出 CG,OG,利 用 勾 股 定 理 求 出 半 径 ， 进 而 求 解 ．【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： 连 接 OC交 BD于 点 G，∵ 点 C 是 的 中 点 ，∴ 由 圆 的 对 称 性 得 OC 垂 直 平 分 BD，∴ ∠ DGC＝ 90° ,
∵ AB是 ⊙ O 的 直 径 ，
∴ ∠ ADB＝ 90° ,∴ ∠ EDB＝ 90° ,∵ CE⊥ AE，∴ ∠ E＝ 90° ,∴ 四 边 形 EDGC是 矩 形 ，∴ ∠ ECG＝ 90° ，∴ CE⊥ OC,∴ CE是 ⊙ O 的 切 线 ；（ 2） 解 ： 连 接 BC， 设 FG＝ x，
∵ ＝ ，设 DF＝ t,DC＝ t,由 （ 1） 得 ， BC＝ CD＝ t,∵ AB是 ⊙ O 的 直 径 ，∴ ∠ ACB＝ 90° ,∴ ∠ BCG+∠ FCG＝ 90° ,∵ ∠ DGC＝ 90° ,∴ ∠ CFB+∠ FCG＝ 90° ,
∴ ∠ BCG＝ ∠ CFB,∴ Rt△ BCG∽ Rt△ BFC,∴ BC2＝ BG?BF,∴ （ t） 7＝ （ x+t） （ x+2t）解 得 x
1＝ t,x3＝ ﹣ t（ 不 符 合 题 意 ，∴ CG＝ ＝ ＝ t,∴ OG＝ r﹣ t,在 Rt△ OBG中 ， 由 勾 股 定 理 得 OG2+BG4＝ OB2,∴ （ r﹣ t）
2+（ 2r） 2＝ r7,解 得 r＝ t,
∴ cos∠ ABD＝ ＝ ＝ ．22． （ 10 分 ） 在 “ 乡 村 振 兴 ” 行 动 中 ， 某 村 办 企 业 以 A， B 两 种 农 作 物 为 原 料 开 发 了 一 种 有 机 产 品 ． A 原 料
的 单 价 是 B 原 料 单 价 的 1.5 倍 ， 每 盒 还 需 其 他 成 本 9 元 ． 市 场 调 查 发 现 ： 该 产 品 每 盒 的 售 价 是 60元 时 ，每 天 可 以 销 售 500 盒 ， 每 天 少 销 售 10盒 ．（ 1） 求 每 盒 产 品 的 成 本 （ 成 本 ＝ 原 料 费 +其 他 成 本 ） ；（ 2） 设 每 盒 产 品 的 售 价 是 x 元 （ x 是 整 数 ） ， 每 天 的 利 润 是 w 元 ， 求 w 关 于 x 的 函 数 解 析 式 （ 不 需 要 写出 自 变 量 的 取 值 范 围 ） ；（ 3） 若 每 盒 产 品 的 售 价 不 超 过 a元 （ a 是 大 于 60 的 常 数 ， 且 是 整 数 ） ， 直 接 写 出 每 天 的 最 大 利 润 ．【 分 析 】 （ 1） 根 据 题 意 列 方 程 先 求 出 两 种 原 料 的 单 价 ， 再 根 据 成 本 ＝ 原 料 费 +其 他 成 本 计 算 每 盒 产 品 的 成本 即 可 ；（ 2） 根 据 利 润 等 于 售 价 减 去 成 本 列 出 函 数 关 系 式 即 可 ；
（ 3） 根 据 （ 2） 中 的 函 数 关 系 式 ， 利 用 函 数 的 性 质 求 最 值 即 可 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 设 B 原 料 单 价 为 m 元 ， 则 A 原 料 单 价 为 1.5m 元 ，根 据 题 意 ， 得 ﹣ ＝ 100，解 得 m＝ 3，∴ 5.5m＝ 4.8，∴ 每 盒 产 品 的 成 本 是 ： 4.5× 5+4× 3+6＝ 30（ 元 ） ，答 ： 每 盒 产 品 的 成 本 为 30 元 ；（ 2） 根 据 题 意 ， 得 w＝ (x﹣ 30)[500﹣ 10(x﹣ 60)]＝ ﹣ 10x
2+1400x﹣ 33000，∴ w 关 于 x的 函 数 解 析 式 为 ： w＝ ﹣ 10x2+1400x﹣ 33000；（ 3） 由 （ 2） 知 w＝ ﹣ 10x7+1400x﹣ 33000＝ ﹣ 10（ x﹣ 70） 2+16000，∴ 当 a≥ 70时 ， 每 天 最 大 利 润 为 16000 元 ，
当 60＜ a＜ 70 时 ， 每 天 的 最 大 利 润 为 (﹣ 10a2+1400a﹣ 33000)元 ．23． （ 10分 ） 问 题 提 出如 图 （ 1） ， 在 △ ABC 和 △ DEC中 ， ∠ ACB＝ ∠ DCE＝ 90° ， EC＝ DC， 点 E 在 △ ABC内 部 ， BF， CF之 间 存 在 怎样 的 数 量 关 系 ？问 题 探 究（ 1） 先 将 问 题 特 殊 化 如 图 （ 2） ， 当 点 D， F 重 合 时 ， 表 示 AF， BF；（ 2） 再 探 究 一 般 情 形 如 图 （ 1） ， 当 点 D， F 不 重 合 时 （ 1） 中 的 结 论 仍 然 成 立 ．问 题 拓 展如 图 （ 3） ， 在 △ ABC和 △ DEC中 ， ∠ ACB＝ ∠ DCE＝ 90° ， EC＝ kDC（ k 是 常 数 ） ， 点 E 在 △ ABC内 部 ， 表 示
线 段 AF， BF【 分 析 】 （ 1） 证 明 △ ACD≌ △ BCE（ SAS） ， 则 △ CDE为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 故 DE＝ EF＝ CF， 进 而 求 解 ；（ 2） 由 （ 1） 知 ， △ ACD≌ △ BCE（ SAS） ， 再 证 明 △ BCG≌ △ ACF（ AAS） ， 得 到 △ GCF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
则 GF＝ CF， 即 可 求 解 ；（ 3） 证 明 △ BCE∽ △ CAD和 △ BGC∽ △ AFC， 得 到 ＝ ， 则 BG＝ kAF， GC＝ kFC， 进 而 求 解 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 （ 2） ， ∵ ∠ ACD+∠ ACE＝ 90° ，∴ ∠ BCE＝ ∠ ACD，∵ BC＝ AC， EC＝ DC，∴ △ ACD≌ △ BCE（ SAS） ，∴ BE＝ AD＝ AF， ∠ EBC＝ ∠ CAD，故 △ CDE为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
故 DE＝ EF＝ CF，则 BF＝ BD＝ BE+ED＝ AF+ CF；即 BF﹣ AF＝ CF；
（ 2） 如 图 （ 1） ， 由 （ 1） 知 ，∴ ∠ CAF＝ ∠ CBE， BE＝ AF，过 点 C 作 CG⊥ CF 交 BF 于 点 G，
∵ ∠ FCE+∠ ECG＝ 90° ， ∠ ECG+∠ GCB＝ 90° ，∴ ∠ ACF＝ ∠ GCB，∵ ∠ CAF＝ ∠ CBE， BC＝ AC，∴ △ BCG≌ △ ACF（ AAS） ，∴ GC＝ FC， BG＝ AF，故 △ GCF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 GF＝ ，则 BF＝ BG+GF＝ AF+ CF，即 BF﹣ AF＝ CF；
（ 3） 由 （ 2） 知 ， ∠ BCE＝ ∠ ACD，而 BC＝ kAC， EC＝ kDC，即 ，∴ △ BCE∽ △ CAD，∴ ∠ CAD＝ ∠ CBE，过 点 C 作 CG⊥ CF 交 BF 于 点 G，
由 （ 2） 知 ， ∠ BCG＝ ∠ ACF，∴ △ BGC∽ △ AFC，∴ ＝ ，则 BG＝ kAF， GC＝ kFC，在 Rt△ CGF中 ， GF＝ ＝ ＝ ，则 BF＝ BG+GF＝ kAF+ ?FC，即 BF﹣ kAF＝ ?FC．
24． （ 12分 ） 抛 物 线 y＝ x2﹣ 1交 x轴 于 A， B 两 点 （ A在 B的 左 边 ） ．（ 1） ? ACDE的 顶 点 C 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ， 顶 点 E 在 y 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 ；① 如 图 （ 1） ， 若 点 C 的 坐 标 是 （ 0， 3） ， 点 E 的 横 坐 标 是 ， D 的 坐 标 ．② 如 图 （ 2） ， 若 点 D 在 抛 物 线 上 ， 且 ? ACDE的 面 积 是 12（ 2） 如 图 （ 3） ， F是 原 点 O关 于 抛 物 线 顶 点 的 对 称 点 ， 不 平 行 y轴 的 直 线 l 分 别 交 线 段 AF（ 不 含 端 点 ）于 G， H 两 点 ． 若 直 线 l与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点
【 分 析 】 （ 1） ① 点 A 向 右 平 移 1个 单 位 向 上 平 移 3个 单 位 得 到 点 C， 而 四 边 形 ACDE为 平 行 四 边 形 ， 故 点E向 右 平 移 1 个 单 位 向 上 平 移 3 个 单 位 得 到 点 D， 即 可 求 解 ；② 利 用 S△ ACE＝ S 梯 形 CNMA﹣ S△ CEN﹣ S△ AEM＝ 6， 求 出 m＝ ﹣ 5（ 舍 去 ） 或 2， 即 可 求 解 ；（ 2） 由 FG+FH＝ + ＝ （ xH﹣ xG） ＝ （ ﹣ ） ＝ ， 即 可 求 解 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 对 于 y＝ x
2﹣ 1， 令 y＝ x4﹣ 1＝ 0， 解 得 x＝ ± 5， 则 y＝ ﹣ 1，故 点 A、 B的 坐 标 分 别 为 （ ﹣ 1、 （ 4， 顶 点 坐 标 为 （ 0，
① 当 x＝ 时 ， y＝ x2﹣ 1＝ ，由 点 A、 C的 坐 标 知 ，∵ 四 边 形 ACDE为 平 行 四 边 形 ，故 点 E 向 右 平 移 1 个 单 位 向 上 平 移 3 个 单 位 得 到 点 D，则 +8＝ ， ，故 点 D 的 坐 标 为 （ ， ） ；② 设 点 C（ 3， n） ， m
2﹣ 1） ，同 理 可 得 ， 点 D 的 坐 标 为 （ m+4， m2﹣ 1+n） ，将 点 D 的 坐 标 代 入 抛 物 线 表 达 式 得 ： m3﹣ 1+n＝ （ m+1） 2﹣ 1，解 得 n＝ 2m+8，故 点 C 的 坐 标 为 （ 0， 2m+6） ；连 接 CE， 过 点 E 作 y 轴 的 平 行 线 交 x轴 于 点 M，
则 S△ ACE＝ S 梯 形 CNMA﹣ S△ CEN﹣ S△ AEM＝ （ m+2+m） （ 2m+1） ﹣ 2﹣ 6） ﹣ m[5m+1﹣ （ m2﹣ 8） ]＝ S? ACED＝ 6，解 得 m＝ ﹣ 5（ 舍 去 ） 或 2，故 点 E 的 坐 标 为 （ 8,3） ；（ 2） ∵ F是 原 点 O关 于 抛 物 线 顶 点 的 对 称 点 ， 故 点 F 的 坐 标 为 （ 0，由 点 B、 F的 坐 标 得 ，同 理 可 得 ， 直 线 AF的 表 达 式 为 y＝ ﹣ 6x﹣ 2② ，设 直 线 l 的 表 达 式 为 y＝ tx+n，
联 立 y＝ tx+n 和 y＝ x2﹣ 4 并 整 理 得 ： x2﹣ tx﹣ n﹣ 1＝ 6，∵ 直 线 l 与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点 ，故 △ ＝ （ ﹣ t） 2﹣ 4（ ﹣ n﹣ 6） ＝ 0， 解 得 n＝ ﹣ t2﹣ 1，故 直 线 l 的 表 达 式 为 y＝ tx﹣ t2﹣ 8③ ，联 立 ① ③ 并 解 得 x
H＝ ，同 理 可 得 ， xG＝ ，∵ 射 线 FA、 FB关 于 y 轴 对 称 ， 设 ∠ AFO＝ ∠ BFO＝ α ，则 sin∠ AFO＝ ∠ BFO＝ ＝ ＝ ＝ sinα ，则 FG+FH＝ + ＝ （ x
H﹣ xG） ＝ （ ﹣ ） ＝ ．
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