2023年江苏省南京师大附中新城分校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1．（2分）﹣3的倒数为（ ）A．
﹣B．C．3D．﹣32．（2分）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根
D．8的立方根3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）A．
9cmB．12cmC．15cmD．18cm4．（2分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图
形中，是该几何体的表面展开图的是（ ）A．B．C．D．5．（2分）如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，则
cos∠ACB的值等于（ ）A．B．C．D．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与
y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D
顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y＝k
x+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）A．12B．3C．4D．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）7．
（2分）人体最小的细胞是血小板，5000000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为 m．8．（2
分）使有意义的x的取值范围是 ．9．（2分）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 ．10．（2分）若一组数据1，3，5，a
，8的方差是2，则另一组数3，9，15，3a，24的方差是 ．11．（2分）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则
代数式的值为 ．12．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的
两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n＝ ．13．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B
，P是网格线交点）．14．（2分）在锐角△ABC中已知∠A＝60°，BC＝1，则锐角△ABC面积S的取值范围为 ．15．（2分）
如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是 ．?16．（2分）如图，在
直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为
．三、解答题（本大题共11小题，共88分.）17．（8分）（1）计算：﹣14+（3﹣π）0﹣2cos30°+2﹣1；（2）解不等式
组：．18．（6分）先化简，再求值（1+）÷（a﹣），其中a＝+1．19．（8分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地
的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16 14
13 17 15 14 16 17 14 1415 14 15 15 14 16 12 13 13 16（1）根据上述样本数据，
补全条形统计图；（2）上述样本数据的众数是 ，中位数是 ；（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．20．（
6分）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny．据此（
1）判断下列等式成立的是 （填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx?cosx；③sin（x﹣y）＝sinx?
cosy﹣cosx?siny．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三
种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的
个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；22．
（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上发现有
一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26m，在距山脚点A水平距离16m的E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°，
（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（参考数据：sin48°≈0.73，co
s48°≈0.67，tan48°≈1.1）23．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B．（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作
图（不写作法，保留作图痕迹）：①过点D作AB的平行线交BC于点F；②P为AB边上的点，且△DAF∽△PBC，请找出所有满足条件的点
；（2）在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ ．24．（9分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲
出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如
下问题：（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速立即返回．①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）
与时间t（h）的函数图象；②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、
E分别在AC、BC上，且CD?BC＝AC?CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求
证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．26．（9分）定义
：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等
值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由
；（2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b
的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2
个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．27．（10分）【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴m、n，我们把三个顶点分别在圆、m
、n上的等腰直角三角形叫作这个圆的”友好三角形”．如图①、图②，△ABC都是⊙O的“友好三角形”．?【数学理解】若△ABC都是⊙O
的“友好三角形”，且直角顶点C在⊙O上，⊙O的半径为2．（1）⊙O上满足条件的直角顶点C的个数是 个；（2）△ABC的面积的最小
值为 ；（3）若⊙O与△ABC的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的△ABC的面积；【深入研究】若△ABC都是⊙O的“友好
三角形”，且直角顶点C在m或n上．⊙O的半径为2．（4）△ABC的面积的最小值为 ，最大值为 ．2023年江苏省南京师大附中新
城分校中考数学二模试卷（参考答案）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1．（2分）﹣3的倒数为（ ）A．﹣B．C
．3D．﹣3【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．2．（2分）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（
）A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根【解答】解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3，而
＝2，＜2，2＜＝2＜3，＝2，只有8的算术平方根符合题意．故选：C．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上
，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥
BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．4．（2分）如图，一个几
何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（ ）A．B．C．D．【解答】解
：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D无法折叠成几何体．故选：B．5．（
2分）如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，则cos∠ACB的值等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：作直
径BD，连接AD，则BD＝2×5＝10，则∠ACB＝∠D，∠DAB＝90°，在Rt△DAB中由勾股定理得：AD＝＝＝6，∵⊙O的半
径为5，AB＝8，∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝＝＝，故选：C．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为
圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是
矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”，若点A（
3，4），则直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）A．12B．3C．4D．3【解答】解：过点A作AF⊥y轴于点F
，连接AO、AC，如图．∵点A的坐标为（3，4），∴AC＝AO＝＝5，AF＝3，OF＝4．∵点A（3，4）在直线y＝kx+1上，∴
3k+1＝4，解得k＝1．设直线y＝x+1与y轴相交于点G，当x＝0时，y＝1，点G（0，1），OG＝1，∴FG＝4﹣1＝3＝AF
，∴∠FGA＝45°，AG＝＝3．在Rt△GAB中，AB＝AG?tan45°＝3．在Rt△ABC中，BC＝＝＝．∴所求“理想矩形”
ABCD面积为AB?BC＝3×＝3；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）7．（2分）人体最小的细胞是血
小板，5000000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为 2×10﹣7 m．【解答】解：1÷50
00000＝2×10﹣7．故答案为：2×10﹣7．8．（2分）使有意义的x的取值范围是 x≤1 ．【解答】解：∵有意义，∴1﹣x≥
0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．9．（2分）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 （a﹣2b）2 ．【解答】解：（a﹣
b）（a﹣4b）+ab＝a2﹣5ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．故答案为：（a﹣2b）2．10．（2分）
若一组数据1，3，5，a，8的方差是2，则另一组数3，9，15，3a，24的方差是 18 ．【解答】解：∵一组数据1，3，5，a
，8的方差是2，∴另一组数据3，9，15，3a，24的方差是2×32＝18．故答案为：18．11．（2分）当a＝1，b＝m，c＝﹣
15时，若代数式的值为3，则代数式的值为 ﹣5 ．【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝，x2＝，∴x
1x2＝?＝＝＝﹣15，∵代数式的值为3，∴代数式的值为﹣5，故答案为：﹣5．12．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象的
顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n＝ 1 ．【解答】解：∵
二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3，∵坐标分
别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，∴n＝m2﹣2m﹣3①，m＝n2﹣2n﹣3②，①
﹣②，得n﹣m＝（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n＝0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）＝0，∵m≠n，
∴m﹣n≠0，∴m+n＝1；故答案为：1．13．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P
是网格线交点）．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB
2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．14．（2分）在锐角△ABC中已知∠A＝6
0°，BC＝1，则锐角△ABC面积S的取值范围为 S≤ ．【解答】解：由正弦定理可得，，b＝sinB，c＝sinC．∵△ABC
为锐角三角形，∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90° 且 B+C＝120°，∴30°＜B＜90°∴bc＝sinB?sin（120°﹣
∠B）＝sinB＝＝＝，∴30°＜B＜90°，∴30°＜2B﹣30°＜150°，∴＜sin（2B﹣30°）≤1，∴＜，即＜bc≤4
，∵＜bcsin60°≤2，∴bcsin60°≤，∵面积S＝，∴S≤，故答案为：S≤．15．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C
在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是 π ．?【解答】解：如图，作点O关于AC的对称点M，连接
OM交AC于点N，连接OC，由轴对称性质可得，ON＝MN＝OM，OM⊥AC，点M在未折叠时以AB为直径的半圆上，则OM＝OA＝OB
＝AB＝×4＝2，ON＝OA，∠ANO＝90°，∴∠OAN＝30°，∴∠BOC＝2∠OAN＝60°，那么的长为：＝π，故答案为：π
．16．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接
OC，则OC的最小值为 2 ．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，∵△ABC是等边三角形，△AMN
是等边三角形，∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，∴∠BAM＝∠CAN，∴△ANC≌△AMB
（SAS），∴∠AMB＝∠ANC＝60°，∴∠ENO＝60°，∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，∴MO＝NO＝，∵∠ENO
＝60°，∠EON＝90°，∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，∴点C在EN上移动，∴当OC''⊥EN时，OC''有最小值，此时，O''
C＝EO＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共11小题，共88分.）17．（8分）（1）计算：﹣14+（3﹣π）0﹣2cos30
°+2﹣1；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）﹣14+（3﹣π）0﹣2cos30°+2﹣1＝﹣1+1﹣2×+＝﹣1+1﹣+＝﹣
；（2），解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣19，∴原不等式组的解集为：﹣19≤x＜3．18．（6分）先化简，再求值（1+
）÷（a﹣），其中a＝+1．【解答】解：（1+）÷（a﹣）＝＝＝，当a＝+1时，原式＝．19．（8分）某合作社为帮助农民增收致富，
利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，
数据如下：16 14 13 17 15 14 16 17 14 1415 14 15 15 14 16 12 13 13 16（1
）根据上述样本数据，补全条形统计图；（2）上述样本数据的众数是 14万元 ，中位数是 14.5万元 ；（3）根据样本数据，估计这种
农副产品在该季度内平均每天的销售额．【解答】解：（1）由题目中的数据可得，销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，补全
的条形统计图如图所示；（2）由条形统计图可得，样本数据的众数是14万元，中位数是（14+15）÷2＝14.5（万元），故答案为：1
4万元，14.5万元；（3）＝14.65（万元），答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．20．（6分）规
定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny．据此（1）判断
下列等式成立的是 ②③ （填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx?cosx；③sin（x﹣y）＝sinx?c
osy﹣cosx?siny．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60
°＝，命题错误；②sin2x＝sinx?cosx+cosx?sinx＝2sinx?cosx，命题正确；③sin（x﹣y）＝sinx
?cos（﹣y）+cosx?sin（﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny，命题正确．故答案为：②③；（2）①sin75°
＝sin（30°+45°）＝sin30°?cos45°+cos30°?sin45°＝×+×＝+＝；②sin15°＝sin（45°﹣
30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝×﹣×＝．21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色
的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；【解答】解：
（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：，解得：x＝1，经检验：x＝1是原分式方程的解，∴口袋中黄球的个数为1个；（2）画树状
图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为：．22．（8分）为践行“绿水青山就是金山
银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山
脚点A的距离AC＝26m，在距山脚点A水平距离16m的E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°，（古树CD与山坡AB的剖面、点E
在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°
≈1.1）【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝5km，则AF＝12k
m，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴AC＝＝13k＝26，解得k＝2，∴AF＝24m，CF＝10m，∵E
A＝16m，∴EF＝40m，在Rt△DEF中，tanE＝，∴DF＝EF?tanE＝40×tan48°＝40×1.11＝44.4（m
），∴CD＝DF﹣CF＝44.4﹣10＝34.4（m），因此，古树CD的高度约为34.4m．23．（8分）如图，在四边形ABCD中
，∠A＝∠B．（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：①过点D作AB的平行线交BC于点F；②P为AB边上
的点，且△DAF∽△PBC，请找出所有满足条件的点；（2）在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ 3+或3﹣
．【解答】解：（1）如图所示：DF即为所求作的平行线；如图所示：符合条件的点P共有两个；（2）∵△DAP∽△PBC，，设AP＝x，
则 BP＝6﹣x，，即 x（6﹣x）＝6，﹣x2+6x﹣6＝0，解得：，，即AP＝3+或3﹣．故答案为：3+或3﹣．24．（9分）
甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km
）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速立即返回．①在
图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？【解答】解：（
1）由题意可知M（0.5，0），线段OP、MN都经过（1.5，60），甲车的速度60÷1.5＝40km/h，乙车的速度60÷（1.
5﹣0.5）＝60km/h，a＝40×4.5＝180km；（2）①∵180÷60＝3（小时），∴乙车到达B地，所用时间为180÷6
0＝3，所以点N的横坐标为3.5，6.5小时返回A地，乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象为线段NQ；②
甲车离A地的距离是：40×3.5＝140（km）；设乙车返回与甲车相遇所用时间为t0，则（60+40）t0＝180﹣140，解得t
0＝0.4，60×0.4＝24（km）．答：甲车在离B地24km处与返程中的乙车相遇．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A
＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD?BC＝AC?CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点
F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
【解答】证明：（1）∵CD?BC＝AC?CE，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴∠EDC＝∠A＝90°，∴ED⊥A
C，∵点D在⊙E上，∴AC是⊙E的切线；（2）①如图1，过E作EN⊥AB于N，∴BN＝FN，∵∠A＝∠ANE＝∠ADE＝90°，∴
四边形ANED是矩形，∴ED＝AN，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC，设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BN＝FN＝AN﹣A
F＝DE﹣AF＝r﹣4，EC＝EG+CG＝r+5，在△BNE和△EDC中，∵∠B＝∠DEC，∠BNE＝∠EDC＝90°，∴△BNE
∽△EDC，∴，即，∴r＝20，∴⊙E的半径为20；②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，由①得：FH＝BH＝r﹣
4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BH＝4+2×16＝36，BC＝2r+5＝2×20+5＝45，∴AC＝＝27，∵I是Rt△ABC
的内心，∴IM＝＝＝9，∴AH＝IM＝9，∴BH＝BM＝36﹣9＝27，∴EM＝27﹣20＝7，在Rt△IME中，由勾股定理得：I
E＝＝＝，故答案为：．26．（9分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣
1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求
出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴
，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W
2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得
0＝2不成立，∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，解得：x1＝0，x2＝2，∴函数y＝x2
﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，解得：x＝，∴A（，），在函数y＝﹣x+
b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为3，∴×|b|
×|﹣b|＝3，当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，解得b＝﹣2，当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝
﹣84＜0，∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，解得：b＝4，综上所述，b的值为﹣2或4；（3）令
x＝x2﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），①当m＜﹣1时，W
1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），W1：y＝x2﹣2（x≥m），W2：y＝（x﹣2m）2﹣2
（x＜m），令x＝（x﹣2m）2﹣2，整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ＜0，∴（
4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，∴m＜﹣，②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），③当﹣1
＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2）
，⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或
﹣1＜m＜2．27．（10分）【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴m、n，我们把三个顶点分别在圆、m、n上的等腰直角三角形叫作
这个圆的”友好三角形”．如图①、图②，△ABC都是⊙O的“友好三角形”．?【数学理解】若△ABC都是⊙O的“友好三角形”，且直角顶
点C在⊙O上，⊙O的半径为2．（1）⊙O上满足条件的直角顶点C的个数是 4 个；（2）△ABC的面积的最小值为 1 ；（3）若
⊙O与△ABC的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的△ABC的面积；【深入研究】若△ABC都是⊙O的“友好三角形”，且直角顶
点C在m或n上．⊙O的半径为2．（4）△ABC的面积的最小值为 3﹣ ，最大值为 3 ．【解答】解：（1）如图1，作CE⊥n于E，作CF⊥m于F，∴∠CEB＝∠AFC＝90°，∵∠EOF＝90°，∴四边形EOFC是矩形，∴∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝∠ACB，∴∠ECF﹣∠BCF＝∠ACB﹣∠BCF，∴∠ECB＝∠ACF，∵BC＝AC，∴△CEB≌△CFA（AAS），∴CE＝CF，∴点C是第一象限角平分线与圆的交点，同理：二、三、四象限各有一个，故答案为：4；（2）∵S△ABC＝BC2，∴当BC最小时，S最小，∴当BC⊥n时，BC最小＝，∴S△ABC最小＝＝1，故答案为：1；（3）如图2，当直角边与⊙O相切时，此时A在O处，S△ABC＝＝＝2，如图3，当斜边AB与⊙O相切于G时，∴∠BGO＝∠AGO＝90°，∴∠AOG+∠BAO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠AOG，∴△AOG∽△OBG，∴，由上知：CE＝CF＝，BE＝AF，设BE＝AF＝a，则OA＝a﹣，OB＝a+，∴，∴＝6+4，＝6﹣4（舍去），∴S△ABC＝AC2＝（AF2+CF2）＝（a2+2）＝4+2，（4）解：如图4，作AD⊥m于D，连接OA，设OC＝AD＝x，OB＝CD＝y，∵AD2+OD2＝OA2，∴x2+（x+y）2＝22，设x＝2cosα，x+y＝2sinα，∴y＝2sinα﹣2cosα，∴AC2＝x2+y2＝（2cosα）2+（2sinα﹣2cosα）2＝2cos2α﹣4sin2α+6，＝2cos（2α+β）+6（其中cosβ＝），∴AC最大2＝6+2，AC最小2＝6﹣2，∴S△ABC最大＝3+，S△ABC最小＝3﹣，故答案为：3+，3﹣．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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