第一章集合与常用逻辑用语章 末 梳 理知识结构·理脉络要点梳理·晰精华要点梳理·晰精华本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分
条件、必要条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及它们的否定．这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步
学习的重要基础．为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述方式．为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元
素的确定性、无序性和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性
质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数
的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系，从中我们可以
体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，这对提升我们的数学运算素养是很有意义的．在学习中，要注意“集合的含义与表示—集合的关系—集
合的运算”这个研究路径．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几
何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进
行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养．本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是
要为整个高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们能更好地适应高中数学学习．3．用联系的观点看问题，可以
使我们更深刻地理解数学知识．本章中，我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算．你认为这样的类比对发现和提出集合的问题
有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗？集合的减法运算：?UA＝{x|x∈U，且x?A}，或A－B＝{x|x∈A且x
?B}．4．对给定的p和q，如何判定p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？熟记判
断充分、必要条件的2种方法5.如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？否定含有一个量词的命题分两步：(1
)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．素养突破·
提技能数学抽象 考查方向 集合的基本概念 (1)集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是____
_______.(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.例 1 [归纳提升] 解决集合的概
念问题的关注点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是
什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．数学运算考查方向 集合基本运算 (1)设全集
U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( )A．{1,4} B．{1,5
}C．{2,5} D．{2,4}D 例 2 (2)设集合A＝{－1,2,7}，B＝{x|x2－7x＋m＝0}，若A∩B＝{2}，则
B＝( )A．{2，－10} B．{2,0}C．{2,5} D．{2,10}[解析] (1)因为U＝{1,2,3,4,5}，A∪
B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}．(2)由题意知2是方程x2－7x＋m＝0的解，把x＝2代入方程得m＝10，因为
x2－7x＋10＝0的解为x＝2或x＝5，所以B＝{2,5}．故选C．C [归纳提升] 集合基本运算的方法一般来讲，集合中的元素若
是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．例 3 B B [归纳提升] 利用集
合的运算求参数的范围的注意点(1)要弄清楚集合运算的结果或可能的结果，再根据其中的结果判定参数的值或范围．(2)当集合的运算较为复
杂时，要借助于数轴或韦恩图解决问题．(3)注意参数的值或范围应该满足集合中元素的互异性．直观想象考查方向 集合运算的综合应用 已知
集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；(2)是否存在a，使(?RA)
∪B＝R且A∩B＝?？[解析] (1)因为A＝{x|0≤x≤2}，所以?RA＝{x|x<0或x>2}．因为(?RA)∪B＝R.(如
图)例 4 [归纳提升] 集合运算的综合应用的注意点(1)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．(2)涉及含字
母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．考查方向 充分必要条件的判断 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”
是“S?T”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] T＝{x
∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以
“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．充分不必要 例 5 [归纳提升] 充分(必要)条件是学习中的一个难点．要解决这个难点，将抽
象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本章使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践
证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A?B．(4)A是B的即不充分也不必要条件，即A∩B＝?或A，B既有公共
元素也有非公共元素．逻辑推理考查方向 充分必要条件的判断 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“
x∈(P∩M)”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分 例
6 [归纳提升] 利用定义判断充分必要条件的方法如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条
件与结论．考查方向 利用充分必要条件求参数的取值范围 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分不必
要条件，则m的取值范围是_______________.{m|m≥9} 例 7 高考链接·悟考情1．(2019·全国Ⅱ高考)已知集
合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝( )A．{x|x>－1} B．{x|x<2}C．{x|－1 2} D．?[解析] ∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，∴A∩B＝{x|－1 |x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8 C．5 D．4[解析] 将满足
x2＋y2≤3的整数数对(x，y)全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)
，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个，故选A．A 3．设集合A＝{－1,2,6}，B＝{x|x2－5x＋m＝0}，若3
∈(A∪B)，则B＝( )A．{3，－6} B．{3，－2}C．{3,2} D．{3,6}[解析] 因为3∈(A∪B)，所以3∈
B，于是32－5×3＋m＝0，解得m＝6.故B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．故选C．C 4．命题“?x∈R，?n∈N＋
，使得n≥x2”的否定形式是( )A．?x∈R，?n∈N＋，使得n ∈N＋，使得n 的否定为“?x∈R，?n∈N＋，使得n }，则A∩B＝____________.[解析] ∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,5,6}，∴A∩B＝{3,5}．6．
某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种
，后两天都售出的商品有4种．则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有______种；(2)这三天售出的商品最少有______
种．{3,5} 16 29 [解析] (1)设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素，如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．(2)由(1)知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29(种)，当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种． |
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