第三章函数的概念与性质章 末 梳 理知识结构·理脉络要点梳理·晰精华1．函数的传统定义与近代定义辨析初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义
之间的异同点如下：[不同点] 传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空
数集间的对应关系．[相同点] 两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与
之对应．2．函数三种表示方法的优缺点三种表示法的特点(优缺点)比较如下：3．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义
域为不等式a≤g(x) ≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，
b])的值域．4．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．(
2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点
对称；f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，
奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函
数f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0?f(x)为偶函数．素养突破·提技能数学
运算 已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式．例 1 方
法三：因为二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2，所以二次函数与x轴另一交点为(－1,0)，设二次函数为f(x)＝a(x－5)(
x＋1)(a≠0)，将(0，－5)代入得a＝1，所以f(x)＝x2－4x－5.[归纳提升] 二次函数解析式的求解主要方法是待定系数
法．主要设法有一般式、顶点式、两根式三种，若条件中已知函数图象经过三点，常设二次函数的一般式；若条件中出现顶点坐标、最大值、对称轴
等信息，可考虑设成二次函数的顶点式；若条件中给出函数图象与x轴的交点或相应二次方程的根，可考虑设成二次函数的两根式．直观想象例 2
直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________.[解析] y＝x2－|x|＋a是偶函数，其图
象如图所示：例 3 [归纳提升] 已知函数交点个数求参数取值范围一般借助函数图象，通过图象可以很直观找到变量关系．逻辑推理例 4
[归纳提升] 已知函数的奇偶性求参数值，可利用定义域或特殊值来求解，本题也可用f(－1)＝－f(1)求出m的值，再进行检验．另外，
分段函数各段的单调性可分别判断，但对于跨段的单调性问题要注意在分段端点处的衔接．数学建模 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利
润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位为辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(
)A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元C 例 5 [解析] 设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15
－x)辆，总利润：y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30(0≤x≤15且x∈N)，当x＝9或10时，ymax＝1
20万元．[归纳提升] 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)阅读、理解题意，认真审题．(2)引进数学符号，建立数学模型．(3)利用
数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果．(4)转译成具体问题作出解答．高考链接·悟考情1．(2017·全国Ⅰ高考)
函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－
2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递
减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D．D 2．(2018·全国Ⅱ高考)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f
(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0C．2 D．5
0[解析] 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.又f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故f(2)＝f[1－(
－1)]＝f[1＋(－1)]＝f(0)＝0.f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.f(4)＝f(1＋
3)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0.C f(5)＝f(1＋4)＝f(1－4)＝f(－3)＝－f(3)＝2.f(6)＝f
(1＋5)＝f(1－5)＝f(－4)＝－f(4)＝0.∴f(2)＝f(4)＝…＝f(50)＝0，f(1)＝f(5)＝…＝f(49)
＝2，f(3)＝f(7)＝…＝f(47)＝－2.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝25×0＋13×2＋12×(－2)
＝2，故选C．3．(2018·北京高考)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈[0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是______________________________________. |
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