2 0 2 1 年 山 东 省 济 南 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案
满 分 1 5 0 分 ， 考 试 时 间 1 2 0 分 钟
一 、 选 择 题 （ 本 题 有 1 2 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 8 分 ）
1 . 9 的 算 术 平 方 根 是
A . 3 B . - 3 C . ± 3 D . 3
2 . 下 列 几 何 体 中 ， 其 俯 视 图 与 主 视 图 完 全 相 同 的 是
3 . 2 0 2 1 年 5 月 1 5 日 ， 我 国 “ 天 问 一 号 ” 探 测 器 在 火 星 成 功 着 陆 。 火 星 具 有 和 地 球 相 近 的 环
境 ， 与 地 球 最 近 的 时 候 的 距 离 约 5 5 0 0 0 0 0 0 k m ， 将 数 字 5 5 0 0 0 0 0 0 用 科 学 计 数 法 表 示 为
8 7 6 6
A . 0 . 5 5 × 1 0 B . 5 . 5 × 1 0 C . 5 . 5 × 1 0 D . 5 5 × 1 0
4 . 如 图 ， A B ∥ C D ， ∠ A = 3 0 ° ， D A 平 分 ∠ C D E ， 则 ∠ D E B 的 度 数 为
A . 4 5 ° B . 6 0 ° C . 7 5 ° D . 8 0 °
5 . 以 下 是 我 国 部 分 博 物 馆 标 志 的 图 案 ， 其 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图
形 的 是
6 . 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
A . a ? b ? 0 B . ? a ? b C . a ? b ? 0 D . ? b ? a
2
m 2 m ? 1
7 . 计 算 的 结 果 是
?
m ? 1 m ? 1
A . m ? 1 B . m ? 1 C . m ? 2 D . ? m ? 2
8 . 某 学 校 组 织 学 生 到 社 区 开 展 公 益 宣 传 活 动 ， 成 立 了 “ 垃 圾 分 类 ” ， “ 文 明 出 行 ” ， “ 低 碳
环 保 ” 三 个 宣 传 队 ， 如 果 小 华 和 小 丽 每 人 随 机 选 择 参 加 其 中 一 个 宣 传 队 ， 则 她 们 恰 好 选 在同 一 个 宣 传 队 的 概 率 是
1 1 1 2
A . B . C . D .
9 6 3 3
k
9 . 反 比 例 函 数 y ? ( k ? 0 ) 图 象 的 两 个 分 支 分 别 位 于 第 一 、 三 象 限 ， 则 一 次 函 数 y ? k x ? k
x
的 图 象 大 致 是
1 0 . 无 人 机 低 空 遥 感 技 术 已 经 广 泛 应 用 于 农 作 物 检 测 ， 如 图 ， 某 农 业 特 色 品 牌 示 范 基 地 用 无 人
机 对 一 块 试 验 田 进 行 检 测 作 业 时 ， 在 距 地 面 高 度 为 1 3 5 m 的 A 处 测 得 试 验 田 右 侧 边 界 N 处 俯
角 为 4 3 ° ， 无 人 机 垂 直 下 降 4 0 m 至 B 处 ， 又 测 得 试 验 田 左 侧 边 界 M 处 俯 角 为 3 5 ° ， 则 M ，
N 之 间 的 距 离 为
（ 参 考 数 据 ： t a n 4 3 ° ≈ 0 . 9 ， s i n 4 3 ° ≈ 0 . 7 ， c o s 3 5 ° ≈ 0 . 8 ， t a n 3 5 ° ≈ 0 . 7 ， 结 果 保 留 整
数 ）
A . 1 8 8 m B . 2 6 9 m C . 2 8 6 m D . 3 1 2 m
1 1 . 如 图 ， 在 △ A B C 中 ， ∠ A B C = 9 0 ° ， ∠ C = 3 0 ° ， 以 点 A 为 圆 心 ， 以 A B 的 长 为 半 径 作 弧 ， 交 A C
1
于 点 D ， 连 结 B D ， 再 分 别 以 点 B ， D 为 圆 心 ， 大 于 B D 的 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 交 于 点 P ，
2
作 射 线 A P ， 交 B C 于 点 E ， 连 结 D E ， 则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是
． ． ．
A . B E = D E B . D E 垂 直 平 分 线 段 A C
S 3
2
? E D C
C . ? D . B D = B C · B E
S 3
? A B C
?
1 2 . 新 定 义 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 对 于 点 P （ m ， n ） 和 点 P '' （ m ， n ） ， 若 满 足 m ≥ 0
时 ， n ? ? n ? 4 ； m ? 0 时 ， n ? ? ? n ， 则 称 点 P '' （ ， n ? ） 是 点 P （ ， ） 的 限 变 点 。
m m n
例 如 ： 点 P （ 2 ， 5 ） 的 限 变 点 是 P '' （ 2 ， 1 ） ， 点 P （ - 2 ， 3 ） 的 限 变 点 是 P '' （ - 2 ， - 3 ） 。
1 1 2 2
2
若 点 P （ m ， n ） 在 二 次 函 数 y ? ? x ? 4 x ? 2 的 图 象 上 ， 则 当 - 1 ≤ m ≤ 3 时 ， 其 限 变 点P '' 的 纵 坐 标 n ? 的 取 值 范 围 是
? ? ? ?
A . - 2 ≤ n ≤ 2 B . 1 ≤ n ≤ 3 C . 1 ≤ n ≤ 2 D . - 2 ≤ n ≤ 3
二 、 填 空 题 （ 本 题 有 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 4 分 ）
2
1 3 . 因 式 分 解 ： a ? 9 = _ _ _ _ _ _ _ _
1 4 . 如 图 ， 在 两 个 同 心 圆 中 ， 四 条 直 径 把 大 圆 分 成 八 等 份 ， 若 飞 镖 随 机 投
掷 到 圆 面 上 ， 则 飞 镖 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _
1 5 . 如 图 ， 正 方 形 A M N P 的 边 A M 在 正 五 边 形 A B C D E 的 边 A B 上 ，
则 ∠ P A E = _ _ _ _ _ _ _ _
2
1 6 . 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? x ? a ? 0 的 一 个 根 是 2 ， 则 另 一 个 根 是
_ _ _ _ _ _ _ _
1 7 . 漏 刻 是 我 国 古 代 的 一 种 计 时 工 具 ， 据 史 书 记 载 ， 西 周 时 期 就 已 经 出 现 了 漏 刻 ， 这 是 中 国 古
代 人 民 对 函 数 思 想 的 创 造 性 应 用 。 小 明 同 学 依 据 漏 刻 的 原 理 制 作 了 一 个 简 单 的 漏 刻 计 时 工
具 模 型 ， 研 究 中 发 现 水 位 h （ c m ） 是 时 间 t （ m i n ） 的 一 次 函 数 。 下 表 是 小 明 记 录 的 部 分 数
据 ， 其 中 有 一 个 h 的 值 记 录 错 误 ， 请 排 除 后 利 用 正 确 的 数 据 确 定 当 h 为 8 c m 时 ， 对 应 的 时
． ． ． ． ． ． ． ．
间 t 为 _ _ _ _ _ _ _ _ m i n
t （ m i n ） … 1 2 3 5 …
h （ c m ） … 2 . 4 2 . 8 3 . 4 4 …
1 8 . 如 图 ， 一 个 由 8 个 正 方 形 组 成 的 “ C ” 型 模 板 恰 好 完 全 放 入 一 个 矩 形 框 内 ， 模 板 四 周 的 直 角
顶 点 M ， N ， O ， P ， Q 都 在 矩 形 A B C D 的 边 上 ， 若 8 个 小 正 方 形 的 面 积 均 为 1 ， 则 边 A B 的 长
为 _ _ _ _ _ _ _ _
三 、 解 答 题 （ 本 题 有 9 小 题 ， 共 7 8 分 ）
1 9 . （ 本 题 6 分 ）1
? 1 0
计 算 ： ( ) ? ( ? ? 1 ) ? ? 3 ? 2 t a n 45 ?
4
2 0 . （ 本 题 6 分 ）
解 不 等 式 组 ： 并 写 出 它 的 所 有 整 数 解 。
2 1 . （ 本 题 6 分 ）
如 图 ， 在 菱 形 A B C D 中 ， E ， F 分 别 是 边 A D 和 C D 上 的 点 ，
且 ∠ A B E = ∠ C B F ，
求 证 ： D E = D F 。2 2 . （ 本 题 8 分 ）
为 倡 导 绿 色 将 康 节 约 的 生 活 方 式 ， 某 社 区 开 展 “ 减 少 方 便 筷 使 用 ， 共 建 节 约 型 社 区 ” 活 动 。
志 愿 者 随 机 抽 取 了 社 区 5 0 名 居 民 ， 对 其 5 月 份 方 便 筷 使 用 数 量 进 行 了 调 查 ， 并 对 数 据 进
行 了 统 计 整 理 ， 以 下 是 部 分 数 据 和 不 完 整 的 统 计 图 表 ：
方 便 筷 使 用 数 量 在 5 ≤ x < 1 5 范 围 内 的 数 据 ：
5 ， 7 ， 1 2 ， 9 ， 1 0 ， 1 2 ， 8 ， 8 ， 1 0 ， 1 1 ， 6 ， 9 ， 1 3 ， 6 ， 1 2 ， 8 ， 7 。
不 完 整 的 统 计 图 表 ：
请 结 合 以 上 信 息 回 答 下 列 问 题 ：
（ 1 ） 统 计 表 中 的 a = _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（ 2 ） 统 计 图 中 E 组 对 应 扇 形 的 圆 心 角 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 度 ；
（ 3 ） C 组 数 据 的 众 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ； 调 查 的 5 0 名 居 民 5 月 份 使 用 方 便 筷 数 量 的 中 位 数 是
_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（ 4 ） 根 据 调 查 结 果 ， 请 你 估 计 该 社 区 2 0 0 0 名 居 民 使 用 方 便 筷 数 量 不 少 于 1 5 双 的 人 数 。
2 3 . （ 本 题 8 分 ）
如 图 ， 已 知 A B 是 ⊙ O 的 直 径 ， C ， D 是 ⊙ O 上 两 点 ， 过 点 C 的 切
线 交 D A 的 延 长 线 于 点 E ， D E ⊥ C E ， 连 结 C D ， B C 。
（ 1 ） 求 证 ： ∠ D A B = 2 ∠ A B C ；
1
（ 2 ） 若 t a n ∠ A D C = ， B C = 4 ， 求 ⊙ O 的 半 径 。
22 4 . （ 本 题 1 0 分 ）
端 午 节 吃 粽 子 是 中 华 民 族 的 传 统 习 俗 ， 某 超 市 节 前 购 进 了 甲 ， 乙 两 种 畅 销 口 味 的 粽 子 。 已
知 购 进 甲 种 粽 子 的 金 额 是 1 2 0 0 元 ， 购 进 乙 种 粽 子 的 金 额 是 8 0 0 元 ， 购 进 甲 种 粽 子 的 数 量
比 乙 种 粽 子 的 数 量 少 5 0 个 ， 甲 种 粽 子 的 单 价 是 乙 种 粽 子 单 价 的 2 倍 。
（ 1 ） 求 甲 ， 乙 两 种 粽 子 的 单 价 分 别 是 多 少 元 ？
（ 2 ） 为 满 足 消 费 者 需 求 ， 该 超 市 准 备 再 次 购 进 甲 ， 乙 两 种 粽 子 共 2 0 0 个 ， 若 总 金 额 不 超 过
1 1 2 0 元 ， 问 ： 最 多 购 进 多 少 个 甲 种 粽 子 ？
2 5 . （ 本 题 1 0 分 ）
3 k
如 图 ， 直 线 y ? x 与 双 曲 线 y ? （ k ? 0 ） 交 于 A ， B 两 点 ， 点 A 的 坐 标 为 （ m ， - 3 ） ，
2 x
点 C 是 双 曲 线 第 一 象 限 分 支 上 的 一 点 ， 连 结 B C 并 延 长 交 x 轴 于 点 D ， 且 B C = 2 C D 。
（ 1 ） 求 k 的 值 ， 并 直 接 写 出 点 B 的 坐 标 ；
（ 2 ） 点 G 是 y 轴 上 的 动 点 ， 连 结 G B ， G C ， 求 G B + G C 的 最 小 值 ；
（ 3 ） P 是 坐 标 轴 上 的 点 ， Q 是 平 面 内 一 点 ， 是 否 存 在 点 P ， Q ， 使 得 四 边 形 A B P Q 是 矩 形 ？ 若
存 在 ， 请 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。2 6 . （ 本 题 1 2 分 ）
1
在 △ A B C 中 ， ∠ B A C = 9 0 ° ， A B = A C ， 点 D 在 边 B C 上 ， B D = B C ， 将 线 段 D B 绕 点 D 顺 时 针 旋
3
转 至 D E ， 记 旋 转 角 为 ? ， 连 结 D E ， C E ， 以 C E 为 斜 边 在 其 一 侧 作 等 腰 直 角 三 角 形 C E F ， 连
结 A F 。
（ 1 ） 如 图 1 ， 当 ? ? 1 8 0 ? 时 ， 请 直 接 写 出 线 段 A F 与 线 段 B E 的 数 量 关 系 ；
（ 2 ） 当 0 ? ? ? ? 1 8 0 ? 时 ，
① 如 图 2 ， （ 1 ） 中 线 段 A F 与 线 段 B E 的 数 量 关 系 是 否 仍 然 成 立 ？ 请 说 明 理 由 ；
② 如 图 3 ， 当 B ， E ， F 三 点 共 线 时 ， 连 结 A E ， 判 断 四 边 形 A E C F 的 形 状 ， 并 说 明 理 由 。2 7 . （ 本 题 1 2 分 ）
2
抛 物 线 y ? ax ? bx ? 3 过 点 A （ - 1 ， 0 ） 点 B （ 3 ， 0 ） ， 顶 点 为 C 。
（ 1 ） 求 抛 物 线 的 表 达 式 及 点 C 的 坐 标 ；
（ 2 ） 如 图 1 ， 点 P 在 抛 物 线 上 ， 连 结 C P 并 延 长 交 x 轴 于 点 D ， 连 结 A C ， 若 △ D A C 是 以 A C
为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 求 点 P 的 坐 标 ；
（ 3 ） 如 图 2 ， 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 点 E 是 线 段 A C 上 （ 与 点 A ， C 不 重 合 ） 的 动 点 ， 连 结 P E ，
作 ∠ P E F = ∠ C A B ， 边 E F 交 x 轴 于 点 F ， 设 点 F 的 横 坐 标 为 m ， 求 m 的 取 值 范 围 。答 案 解 析
一 、 选 择 题 （ 本 题 有 1 2 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 8 分 ）
1 - 5 A C B B A
6 - 1 0 B B C D C
1 1 - 1 2 C D
二 、 填 空 题 （ 本 题 有 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 4 分 ）
1 3 . ( a ? 3 ) ( a ? 3 )
1 4 .
1 5 . 1 8 °
1 6 . - 3
1 7 . 1 5
1 8 .
三 、 解 答 题 （ 本 题 有 9 小 题 ， 共 7 8 分 ）
2
1 9 . 4 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 8 ? 2
2
2 0 . 解 ： 由 ① ， 3 x ? 3 ≥ 2 x ? 5 ， x ≥ - 2 ③ ；
由 ② ： 4 x ? x ? 3 ， x ? 1 ，
∴ 原 不 等 式 组 的 解 为 - 2 ≤ x ? 1 ， 其 中 整 数 解 为 - 2 ， - 1 ， 0 。
2 1 .
【 解 答 过 程 】 证 明 ： 连 结 B D ， 则 ∠ 3 = ∠ 4 ， ∠ A B D = ∠ C B D ，
∵ ∠ A B E = ∠ C B F ， ∴ ∠ A B D - ∠ A B E = ∠ C B D - ∠ C B F ， 即 ∠ 1 = ∠ 2 ，
在 △ B E D 和 △ B F D 中 ， ∵ ∠ 1 = ∠ 2 ， B D = B D ， ∠ 3 = ∠ 4 ， ∴ △ B E D ≌ △ B F D （ A S A ） ，
∴ D E = D F 。
2 2 . （ 本 题 8 分 ）
【 解 答 过 程 】 （ 1 ） 样 本 容 量 是 5 0 人 ， 由 统 计 图 得 知 D 组 人 数 占 1 8 % ， 可 求 出 a ? 9 人 ；
（ 2 ） E 组 1 0 人 占 样 本 容 量 5 0 人 的 2 0 % ， 所 以 所 对 扇 形 圆 心 角 是 3 6 0 ° × 0 . 2 = 7 2 ° ；
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司（ 3 ） C 组 出 现 最 多 的 是 1 2 ；
一 共 5 0 个 数 据 ， 如 果 把 这 些 数 据 从 小 到 大 排 列 ， 那 么 中 位 数 是 第 2 5 和 荻 2 6
这 两 个 数 的 算 术 平 均 数 ，
由 题 中 的 数 据 ， B 组 有 9 人 ， C 组 有 7 人 ， A ， B 两 组 共 2 3 人 ， 那 么 该 样 本 的 中
位 数 出 现 在 C 组 的 第 二 小 和 荻 三 小 ， 这 两 个 数 都 是 1 0 ， 所 以 整 个 样 本 的 中 位 数
是 1 0 ；
（ 4 ） 解 ： 根 据 本 样 本 ， 不 少 于 1 5 的 有 D 组 9 人 和 E 组 1 0 人 ， 共 1 9 人 ， 占 3 8 % ，
以 此 估 计 该 社 区 2 0 0 0 人 中 使 用 方 便 筷 不 少 于 1 5 双 的 人 数 可 能 会 达 到
2 0 0 0 × 3 8 % = 7 6 0 人
答 ： 所 求 人 数 可 能 有 7 6 0 人 。
2 3 . （ 本 题 8 分 ）
【 解 答 过 程 】 （ 1 ） 连 结 C O ， 则 有 ∠ 3 = ∠ B ， ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ B = 2 ∠ B ① ；
∵ C E 是 切 线 ， 点 C 是 切 点 ， ∴ O C ⊥ C E ，
又 ∵ D E ⊥ C E ， ∴ D E ∥ O C ， ∴ ∠ 1 = ∠ 2 ， 而 ∠ 2 = 2 ∠ B ① ， ∴ ∠ 1 = 2 ∠ B ，
即 ∠ D A B = 2 ∠ A B C ；
1
（ 2 ） 在 ⊙ O 中 ， ∠ B = ∠ D （ 同 圆 中 ， 同 弧 所 对 圆 周 角 相 等 ） ， 则 t a n ∠ B = t a n ∠ D = ，
2
连 结 A C ， 因 为 A B 是 直 径 ， 所 以 ∠ A C B = 9 0 ° ，
1
则 在 R t △ A B C 中 ， A C = B C · t a n ∠ B = 4 × = 2 ，
2
R t △ A B C 中 ， A C = 2 ， B C = 4 ， ∴ A B = 2 5 ， ∴ A O = 5 。
2 4 . （ 本 题 1 0 分 ）
【 解 答 过 程 】 解 ： （ 1 ） 设 甲 、 乙 两 种 粽 子 单 价 分 别 为 2 m 元 / 个 和 m 元 / 个 ，
1200 800
根 据 题 意 ： ? 50 ? ， 解 这 个 方 程 ， 得 m ? 4 ，
2 m m
检 验 知 m ? 4 是 所 列 方 程 的 根 ， ∴ 2 m ? 8 ，
∴ 甲 乙 两 种 粽 子 单 价 分 别 是 8 元 / 个 和 4 元 / 个 ；
（ 2 ） 设 加 购 甲 种 粽 子 x 个 ， 如 下 表 ：
单 价 数 量 金 额
x
甲 8 8 x
乙 4 2 0 0 ? x ? 4 x ? 8 0 0
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司合 计 2 0 0
4 x ? 800
根 据 题 意 ： 4 x ? 800 ≤ 1 1 2 0 ， x ≤ 8 0 ，
另 一 方 面 ： 0 ≤ x ≤ 2 0 0 ， 0 ≤ 200 ? x ≤ 2 0 0 ， ? 4 x ? 800 ≥ 0 ， ∴ 0 ≤ x ≤ 8 0 ，
∴ 甲 种 粽 子 最 多 加 购 8 0 个 。
2 5 . （ 本 题 1 0 分 ）
3
【 解 答 过 程 】 解 ： （ 1 ） ∵ 点 A （ m ， - 3 ） 在 直 线 y ? x
2
上 ，
3
∴ m ? ? 3 ， m ? ? 2 ，
2
将 A （ - 2 ， - 3 ） 代 入 双 曲 线 ， 求 得 k ? 6 ，
6
∴ 所 求 反 比 例 函 数 为 y ? ；
x
点 A （ - 2 ， - 3 ） 关 于 原 点 的 对 称 点 为 B （ 2 ， 3 ） ；
（ 2 ） 分 别 作 点 B 和 点 C 到 x 轴 的 垂 线 段 B M ， C N ， 则 △ C D N ∽ △ B D M ，
1 1
∵ B C = 2 C D ， ∴ C D = B D ， 则 C N = B M ，
3 3
而 B （ 2 ， 3 ） ， ∴ B M = 3 ， ∴ C N = 1 ， 即 点 C 的 纵 坐 标 为 1 ，
6
∵ 点 C 在 双 曲 线 y ? 上 ， 且 纵 坐 标 为 1 ， ∴ 点 C 横 坐 标 为 6 ， C （ 6 ， 1 ） ；
x
作 点 C 关 于 y 轴 的 对 称 点 C ， 则 C （ - 6 ， 1 ） ，
1 1
连 结 C G ， 则 有 C G = C G ， 当 点 G 在 直 线 C B 上 时 ， C G + G B 最 短 ， 也 就 是 G C + G B
1 1 1 1
最 短 ；
分 别 作 点 C 到 B M 的 垂 线 段 C H ， 则 H （ 2 ， 1 ） ， C H = 8 ， B H = 2 ，
1 1
在 R t △ C B H 中 ， C H = 8 ， B H = 2 ， ∴ C B = 2 17 ，
1 1 1
∴ G B + G C 的 最 小 值 为 ；
2 17
（ 3 ） 如 图 2 ， 设 四 边 形 A B P Q 是 矩 形 ， 因 为 点 B 在 第 一 象 限 ， 且 B P ⊥ A B ， 所 以 点 P
只 能 在 x 轴 正 半 轴 或 y 轴 正 半 轴 上 ，
当 点 P 在 x 轴 正 半 轴 上 时 ， 如 图 ， △ O B M ∽ △ O P B ，
2
则 O B = O M · O P ，
∵ B （ 2 ， 3 ） ， ∴ O M = 2 ， B M = 3 ，
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司2
O B 13
2 2 2
O B = O M + B M = 1 3 ， ∴ O P = ，
?
O M 2
13
∴ P （ ， 0 ） ；
1
2
13
同 样 的 ， 当 点 P 在 y 轴 正 半 轴 上 时 ， 可 求 得 其 坐 标 为 （ 0 ， ） ，
3
13 13
∴ ， 所 求 点 P 为 P （ ， 0 ） ， P （ 0 ， ） 。
1 2
2 3
2 6 . （ 本 题 1 2 分 ）
【 解 答 过 程 】 （ 1 ） 将 线 段 A F 沿 线 段 F E 方 向 平 移 到 A E ， 如 图 1 ，
1
等 腰 直 角 三 角 形 A B E 中 ， B E = 2 A E ， ∴ B E = 2 A F ；
1 1
（ 2 ） 如 图 2 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 A B C 和 F E C 中 ，
B C E C
B C = 2 A C ， E C = 2 F C ， ∴ ? ，
A C F C
∵ ∠ A C B = 4 5 ° = ∠ F C E ，
∴ ∠ 1 = ∠ A C B - ∠ A C F = ∠ F C E - ∠ A C F = ∠ 2 ，
B C E C
① 在 △ B C E 和 △ A C F 中 ， ∵ ? ， ∠ 1 = ∠ 2 ，
A C F C
∴ △ B C E ∽ △ A C F ，
B E B C
∴ ? ? 2 ， ∴ B E = 2 A F ；
A F A C
② 当 B ， E ， F 共 线 时 ， 四 边 形 A E C F 是 平 行 四 边 形 。
1
如 图 3 ， 取 B C 中 点 G ， 连 结 E G ， 则 D G = D C ，
2
1
∵ B D = B C ， ∴ B D = D G ，
3
△ B G E 中 ， D E 是 B G 边 上 的 中 线 ， 且 D E = B D = D G ，
∴ ∠ B E G = 9 0 ° ，
B E B G
∵ E G ⊥ B F ， F C ⊥ B F ， E G ∥ F C ， ∴ ? ? 2 ， ∴ B E = 2 E F = 2 F C ，
E F G C
由 ① ： B E = 2 A F ， ∴ A F = 2 F C ；
直 角 等 腰 三 角 形 E F C 中 ， E C = 2 F C ， ∴ A F = E C ③ ；
∵ △ B C E ∽ △ A C F ， ∴ ∠ 3 = ∠ 4 ， 而 ∠ 1 = ∠ 2 ， ∴ ∠ 4 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 1 = ∠ 5 = 4 5 ° ，
而 ∠ A C E + ∠ 2 = ∠ F C E = 4 5 ° ， ∴ ∠ F C E = ∠ 4 ， ∴ A F ∥ E C ，
∵ A F ∥ E C ， 且 A F = E C ③ ， ∴ 四 边 形 A E C F 是 平 行 四 边 形 。
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司2 7 . （ 本 题 1 2 分 ）
【 解 答 过 程 】 （ 1 ） 因 为 抛 物 线 与 轴 交 于 点 A （ - 1 ， 0 ） 和 B （ 3 ， 0 ） ，
x
2
所 以 函 数 y ? ax ? bx ? 3 可 改 写 为 y ? a ( x ? 1 ) ( x ? 3 ) ， 则 ? 3 a ? 3 ，
a ? ? 1 ，
2 2
∴ 所 求 函 数 为 y ? ? x ? 2 x ? 3 ， 或 者 y ? ? ( x ? 1 ) ? 4 ， ∴ C （ 1 ， 4 ） ；
（ 2 ） 作 C H ⊥ x 轴 ， 点 H 为 垂 足 ， 则 H （ 1 ， 0 ） ， 原 点 O 恰 为 A H 的 中 点 ， 如 图 1 ，
则 A C 与 y 轴 的 交 点 G 也 恰 好 为 A C 的 中 点 ， 则 G （ 0 ， 2 ） ；
连 结 D G ， △ D A C 中 ， ∵ D C = D A ， G 是 A C 中 点 ，
2
∴ D G ⊥ A G ， ∴ 在 R t △ A D G 中 ， G O = A O · D O ，
而 A O = 1 ， G O = 2 ， ∴ D O = 4 ， 则 D （ 4 ， 0 ） ；
4 16
求 得 过 C （ 1 ， 4 ） ， D （ 4 ， 0 ） 两 点 的 直 线 为 y ? ? x ? ，
3 3
2
? y ? ? x ? 2 x ? 3
7 20
?
解 方 程 组 ， 得 点 P 坐 标 为 P （ ， ） ；
? 4 16
3 9
y ? ? x ?
?
3 3
?
（ 3 ） 过 点 P 作 x 轴 的 平 行 线 ， 交 A C 于 点 E ， 过 E 作 C D 的 平 行 线 交 x 轴 于 点 F ，
0 0 0
则 △ A E F ∽ △ A C D ， 如 图 3 ，
0 0
7 20 20
作 E 到 x 轴 的 垂 线 段 E M ， ∵ E P ∥ x 轴 ， 且 点 P （ ， ） ， ∴ E M = ，
0 0 0 0
3 9 9
A F E M
20
0 0
∵ △ A E F ∽ △ A C D ， ∴ ? ， 而 A D = 5 ， E M = ， C H = 4 ，
0 0 0
A D C H 9
25 25 16 16
∴ A F = ， 则 O F = A F - A O = ? 1 = ， ∴ F （ ， 0 ） ；
0 0 0 0
9 9 9 9
我 们 假 设 是 E 从 点 A 的 位 置 沿 A C 开 始 向 上 攀 爬 ，
当 E 在 点 A 位 置 时 ， F 与 A 重 合 ， 此 时 点 F 的 位 置 是 （ - 1 ， 0 ） ；
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司当 点 E 在 A C 上 ， 并 且 非 常 靠 近 点 A 的 位 置 的 时 候 ， 点 F 在 线 段 A F 上 非 常 靠 近
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点 A 的 位 置 ， 也 就 是 说 ： 在 F （ m ， 0 ） 中 ， 有 m ? ? 1 ；
当 点 E 继 续 往 上 攀 爬 ， 在 还 没 有 到 达 E 位 置 时 ， 点 F 始 终 在 点 A 和 点 F 之 间 ，
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直 到 点 E 到 达 E 时 ， F 也 到 达 F 位 置 ， 此 时 ， m ? ， 如 图 4 ；
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如 图 5 ， 当 点 E 越 过 E 位 置 继 续 向 上 时 ， 点 F 又 返 回 到 点 F 左 侧 ，
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直 到 点 E 从 点 C 的 下 方 非 常 靠 近 点 C 的 时 候 ， 点 F 也 从 点 A 的 右 侧 靠 近 A ，
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也 就 是 此 时 还 是 有 ? 1 ? m ? ；
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当 点 E 到 达 C 的 位 置 时 ， 点 F 又 与 点 A 重 合 ， 此 时 ， 点 F 的 位 置 是 （ - 1 ， 0 ） ；
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因 为 点 E 不 在 线 段 A C 两 端 点 的 位 置 ， 所 以 m 的 取 值 范 围 是 ? 1 ? m ≤ 。
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