1.3 微分方程作为数学模型介绍
数学模型 通常，我们希望用数学术语来描述一些现实生活中的系统或现象的行为，无论是物理、社会学还是经济学方面的。对系统或现象的数学描述被称为数学模型，并是有特定目标构建的。例如，我们可能希望通过研究该系统中动物种群的增长来理解某个生态系统的机制，或者我们可能希望通过分析化石的放射性物质衰变来对化石进行定年，无论是在化石中还是在发现它的地层中。 建立系统的数学模型始于以下步骤：
对于某些目的而言，对低分辨率模型感到满意可能是完全合理的。例如，您可能已经了解，在初级物理课程中，有时会忽略空气摩擦的减速力，以模拟地球表面附近下落物体的运动，但如果您是一名科学家，负责准确预测远程抛射物的飞行轨迹，您必须考虑空气阻力以及诸如地球曲率等其他因素。 由于关于系统的假设通常涉及一个或多个变量的变化率，所有这些假设的数学描述可能是一个或多个涉及导数的方程。换句话说，数学模型可以是一个微分方程或一组微分方程. 一旦我们构建了一个数学模型，无论是微分方程还是一组微分方程，我们就面临着解决它的不小问题。如果我们能够解决它，那么我们会认为该模型是合理的，如果其解与实验数据或已知有关系统行为的事实一致。但如果解产生的预测不准确，我们可以对系统中的变化机制进行替代假设。然后，建模过程的步骤将被重复，如图中所示。  一个物理系统的数学模型通常会涉及时间变量。模型的解描述了系统的状态；换句话说，对于适当的时间值，依赖变量（或变量）的值描述了过去、现在和未来的系统。 人口动态早期尝试通过数学来模拟人口增长的一次尝试是由英国的牧师和经济学家托马斯·马尔萨斯（1766-1834）于1798年进行的。基本上，马尔萨斯模型的背后思想是假设一个国家在某一时刻的人口增长速率与该时刻国家的总人口成比例。换句话说，如果在时刻有更多的人口，那么未来将会有更多的人口。在数学上，如果表示时刻的总人口，那么这个假设可以表示为 其中是比例常数。这个简单的模型没有考虑到许多可能影响人口增长或下降的因素（例如移民和移居），然而它在预测美国在1790年至1860年期间的人口方面表现出相当高的准确性。按照方程描述的增长率的人口是罕见的；尽管如此，方程仍然被用来模拟小人口在短时间间隔内的增长（例如，培养皿中的细菌增长）。 放射性衰变原子核由质子和中子的组合构成。其中许多质子和中子的组合是不稳定的，也就是说，这些原子会衰变或变成另一种物质的原子。这样的原子核被称为放射性核。例如，随着时间的推移，高度放射性的镭（Ra-226）会变成放射性气体氡（）。为了模拟放射性衰变现象，假设物质的原子核衰变速率与在时刻剩余的该物质的数量（更准确地说是原子核的数量）成正比： 当然，方程（1）和（2）完全相同；唯一的区别在于符号和比例常数的解释。对于增长，如我们在（1）中所期望的，，而对于衰变，如（2）中所示，。 增长的模型（1）也可以看作是方程，描述了资本在年利率连续复利时的增长。衰变的模型（2）也出现在生物应用中，例如确定药物的半衰期——药物被排泄或代谢从体内排除的时间，使其减少到初始数量的50％。在化学中，衰变模型（2）出现在描述一阶化学反应的数学描述中。要点在于：
数学模型通常伴随着特定的边界条件。例如，在（1）和（2）中，我们通常需要知道初始人口和初始手头的放射性物质。如果初始时间点取为，那么我们知道和。换句话说，数学模型可以包括初始值问题或者，正如我们将在5.2节中看到的，边值问题。 牛顿的冷却/加热定律根据牛顿的经验冷却/加热定律，物体温度变化的速率与物体温度与周围介质温度（称为环境温度）之间的差异成正比。如果表示物体在时刻的温度，表示周围介质的温度，表示物体温度变化的速率，那么牛顿的冷却/加热定律可以用数学语言表示为 其中是比例常数。在冷却或加热的情况下，是常数，因此可以理解。 疾病的传播一种具有传染性的疾病，例如流感病毒，通过人们与其他人接触而在社区中传播。让表示已经感染该疾病的人数，表示尚未接触该疾病的人数。假设疾病传播的速率与这两组人之间的相遇或交互次数成正比是合理的。如果我们假设交互次数与和的乘积成比例关系，即与乘积成正比，那么 其中是通常的比例常数。假设一个小社区有固定的人口。如果引入一个感染者进入该社区，那么可以认为和之间存在关系。使用这个最后一个方程来消除（4）中的，得到模型 伴随方程（5）的一个明显的初始条件是。 化学反应放射性物质的衰变，受到微分方程（1）的控制，被称为一级反应。在化学中，有些反应也遵循这一经验法则：如果物质的分子分解成较小的分子，那么可以合理地假设这种分解发生的速率与未经转化的第一物质的量成正比；也就是说，如果是在任何时间剩余的物质的数量，那么，其中是负常数，因为在减少。 一级化学反应的一个示例是-丁基氯化物 转化为 -丁基醇 的反应： 只有-丁基氯化物的浓度控制了反应的速率。但在反应 中，每分子甲基氯化物 消耗一分子氢氧化钠 ，从而形成一分子甲基醇 和一分子氯化钠 。在这种情况下，反应进行的速率与 和 的剩余浓度的乘积成正比。为了描述这个第二个反应，让我们假设一分子物质与一分子物质结合形成一分子物质。如果表示在时刻形成的化学品的数量，如果和分别是两种化学品 和 在时的数量（初始数量），那么未转化为化学品的瞬时数量分别是和。因此，化学品的形成速率由下式给出 其中是比例常数。一个其模型为方程（6）的反应被称为二级反应。 混合物将两种浓度不同的盐溶液混合在一起会产生混合物中所含盐量的一阶微分方程。假设一个大型混合罐最初装有300加仑盐水（即将一定重量的盐溶解在水中得到的溶液）。另一种盐水溶液以每分钟3加仑的速率泵入大罐中；这个流入溶液中盐的浓度为每加仑2磅。当罐中的溶液被充分搅拌后，以与进入溶液相同的速率抽出。参见图。  如果表示时刻罐中的盐量（以磅计），那么变化的速率是一个净速率： 盐进入罐中的输入速率是盐的流入浓度与流入流体速率的乘积。请注意，以磅每分钟为单位测量：  现在，由于溶液被以相同的速率抽出罐中，所以在时刻，罐中的盐水加仑数保持恒定，为300加仑。因此，罐中以及流出的盐水的浓度为，因此盐的输出速率为  然后，净速率（式7）变为 如果和表示盐水溶液的一般输入和输出速率，则有三种可能性： 和。在导致（8）的分析中，我们假设。在后两种情况下，罐中的盐水加仑数要么增加，要么减少，净速率为。
排水罐在流体力学中，托里切利定律 (Torricelli)规定，装满水的罐底部的一个尖锐边缘孔洞流出水的速度与一个物体（在本例中是一滴水）自由下落到高度所获得的速度相同，即，其中是由于重力引起的加速度。这个最后的表达式来自于将动能与势能相等并解出。  假设一个装满水的罐子允许在重力的作用下通过一个孔洞排水。我们想要找到在时刻罐中剩余的水深度。考虑图中所示的罐子。如果孔的面积是（以表示），水离开罐子的速度为（以表示），那么每秒离开罐子的水的体积为（以表示）。因此，如果表示时刻罐中的水体积，则 其中负号表示 正在减小。请注意，我们在这里忽略了孔洞处可能导致流动速度减小的摩擦的可能性。现在，如果罐子的水容积可以表示为，其中（以表示）是水的上表面的常数面积（见图），则。将这个最后的表达式代入（9）给出了我们所需的水在时刻的高度的微分方程： 有趣的是，即使不是常数，（10）仍然有效。在这种情况下，我们必须将水的上表面积表示为的函数，即。 串联电路 考虑图(a)中显示的单回路串联电路，其中包含电感器、电阻器和电容器。电路中开关闭合后的电流用 表示；电容器在时刻的电荷用表示。字母和分别代表电感、电阻和电容，通常是常数。根据基尔霍夫 （Kirchhoff）第二定律，闭合回路上的激励电压必须等于回路中电压降的总和。  图(b)显示了电感器、电容器和电阻器上的电压降的符号和公式。由于电流与电容器上的电荷相关，即，将三个电压相加 并将它们叠加得到一个二阶微分方程 我们将在第5.1节中详细讨论类似于（11）的微分方程。 自由落体物体为了建立一个在力场中运动的物体的数学模型，人们通常从英国数学家艾萨克·牛顿（1643-1727）制定的运动定律开始。从基础物理学中可以回顾到，牛顿的第一运动定律规定，一个物体要么保持静止，要么保持恒定速度运动，除非受到外力的作用。在每种情况下，这等价于说当作用在物体上的力的合力. 即净或合力为零时，物体的加速度 为零。牛顿的第二运动定律表明，当作用在物体上的净力不为零时，净力与其加速度成正比，更精确地说，，其中是物体的质量。  现在假设一个岩石从建筑物的屋顶向上抛掷，如图所示。在时刻，岩石相对于地面的位置是多少？岩石的加速度是二阶导数。如果我们假设向上方向为正方向，并且除了重力作用外没有其他力作用在岩石上，那么牛顿的第二运动定律给出 换句话说，净力就是岩石在地球表面附近的重力。回想一下，重力的大小是，其中是物体的质量，是由于重力引起的加速度。式（12）中的负号是因为岩石的重力是向下的力，与正方向相反。如果建筑物的高度为，岩石的初始速度为，那么由以下二阶初值问题确定： 尽管我们一直没有强调所构建的方程的解，但注意（13）可以通过对常数关于积分两次来解决。初始条件确定了两个积分常数。从基础物理学中，您可能会认出（13）的解为公式。 自由落体物体和空气阻力在意大利数学家和物理学家伽利略·伽利莱（1564-1642）从比萨斜塔进行的著名实验之前，人们普遍认为自由落体的重物，如炮弹，比较轻的物体，如羽毛，下落的加速度更大。显然，从同一高度同时释放的炮弹和羽毛以不同的速度下落，但并不是因为炮弹更重。速度差异是由空气阻力引起的。在式（13）中给出的模型中忽略了空气的阻力。在某些情况下，质量为的自由落体物体，如密度较低且形状不规则的羽毛，遇到与其瞬时速度成正比的空气阻力。在这种情况下，如果将正方向定向向下，那么作用在物体上的净力由给出，其中物体的重力是正方向的力，而空气阻力是相反方向或向上的力，称为粘性阻尼。请参见图。  现在，由于与加速度相关，即，牛顿的第二运动定律变为。通过将净力等于这种形式的牛顿第二定律，我们得到了关于物体在时刻的速度的一阶微分方程： 这里，是比例的正常数。如果是物体从释放的初始点到时间下落的距离，那么且。根据表示，（14）是一个二阶微分方程 悬垂索悬垂索 假设有一根柔软的电缆、电线或重绳悬挂在两个垂直支撑物之间。物理上的例子可以是悬索桥路基支撑之一的两根电缆，如图(a)所示，或者是两个支柱间拉起的长电话线，如图(b)所示。我们的目标是建立一个数学模型，描述这种电缆呈现的形状。  首先，让我们同意只研究电缆在其最低点 和任意点 之间的部分或元素。如图中以蓝色绘制的，在该电缆元素中，我们选取一个矩形坐标系，其中轴通过曲线上的最低点 ，轴则选择在 下方个单位处。  电缆上有三个力作用着：分别在 和 处与电缆相切的张力 和 ，以及在点 和 之间的总垂直载荷的一部分 。设 ，以及 分别表示这些向量的大小。现在，张力 可以分解为水平和垂直分量（标量量值） 和 。由于静态平衡，我们可以写成 通过将最后一个方程除以第一个方程，我们消除了并得到。但由于，我们得到 这个简单的一阶微分方程既可以作为描述悬挂在自身重力下的电线等柔软导线的形状的模型，也可以作为支撑悬索桥路基的电缆形状的模型。 展望
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