基于车辆运动学与动力学的轨迹跟踪仿真及程序

当涉及到车辆运动控制时，建立准确的数学模型是至关重要的。模型的建立越准确，对车辆运动的描述越准确，对车辆的跟踪控制的效果就越好。除了真实反映车辆特性外，建立的模型也应该尽可能的简单易用。车辆模型按不同应用场景可以分为运动学模型、动力学模型、纯几何模型、经验模型、数据驱动模型、混合模型等。

运动学模型（Kinematic Model）和动力学(Dynamical Model)模型一般用于车辆的运动控制。车辆运动学模型是一种简化的模型，旨在描述车辆的基本运动特性，如转向、速度和位置。该模型忽略了物理力和动力影响，侧重于几何关系和运动规律。车辆运动学模型通常用于路径规划、轨迹生成和简单行驶决策。动力学模型考虑了车辆的物理动力学特性和轮地耦合关系，包括惯性、载荷、摩擦、轮胎特性等，因此更能准确地模拟车辆在各种工况下的行为特性。这种模型适用于需要更高精度控制的情况，如高速行驶、急刹车、转弯时的纵向与侧向力等。

首先介绍一下车辆建模中非常重要的阿克曼转向几何（Ackermann steering geometry）问题。

在车辆转向时，内外侧转向轮路径的曲率并不相同即车辆转向的内径差特性，为使车辆能够实现平稳的过弯，车辆转向机构设计采用阿克曼转向几何原理，使内外侧车轮能够在过弯时转角保持一定关系，从而使车轮路径圆心在同一处相交，如下图所示。

图1 阿克曼转向机构

 在车速较低时，后轮侧偏角和车身侧偏角近似等于0，则：

     可以看出，内外侧轮转角差值随着转角的增大而增大。在车辆运动控制问题中，一般求解的转角输入为，而不去具体的区分，当然，带有角模块的分布式驱动车辆除外。

接下来，将对常用的车辆运动学模型和动力学模型进行介绍。

—— 运动学模型 ——

自行车模型(Bicycle Model)

对阿克曼转向模型进一步简化，得到车辆单轨模型——自行车模型，即为车辆运动学模型。

图2 自行车模型

1）横摆角速度

如上图所示，在三角形OCA中，存在以下数学关系：

则可以得到:

在三角形OBC中，存在：

同理得到：

车辆低速行驶时，车辆横摆角速度可以近似等于车辆的角速度，即则车辆横摆角速度为：

将（15）带入（14），就可以得到横摆角速度与质心侧偏角和车轮转角的关系：

由图2所示，车辆在笛卡尔坐标系下的速度与车辆的速度关系:

综上可以得到以车辆重心为中心的运动学模型（记为模型1）： 

仅前轮驱动的自行车车运动学模型

由于大部分汽车是前轮转向，因此在自行车模型基础上，当后轮转角为0，则模型可以简化如下图:

图3 仅前轮驱动的自行车模型

这时，OBC为直角三角形，那么OBC中的几何关系为：

车辆质心侧偏角的推导如上文一样：

整理可以得到前驱的自行车（运动学）模型（记为模型2）：

以后轴中心为车辆中心时的前轮驱动的自行车模型

上面介绍的两种自行车模型都是以车辆重心为中心，如果以后轴中心为车辆中心时，后轮速度方向便是车辆速度方向，也就是与车身重合，此时，质心侧偏角近似为0，模型如下图所示：

图4 以后轴中心为中心的自行车模型

这时，模型中只有直角三角形OBA，可以得到：

—— 动力学模型 ——

在运动学模型中，我们假设车轮的速度方向与车轮矢量方向一致，即车轮的侧偏角为0。但当车速很高时，两者的方向便不再一致，这时运动学模型无法准确描述车辆行驶状态，应该采用更加精确的动力学模型。

基本模型建立

构建动力学模型，首先假设车辆为质点，并做受力分析：

所以横向加速度可以表示为：

同理，纵向加速度可以表示为：

对于车辆的旋转运动的动力学关系为：

结合（28），得到动力学模型：

轮胎受力分析

对于车辆的受力关系中，轮胎的受力状态起决定作用。根据dugoff轮胎模型：

对于前轮驱动的车辆，轮胎侧偏角计算公式为：

其中，表示轮胎速度角，即轮胎速度方向与轮胎矢量方向的夹角，

图5  前轮侧偏角与速度角

由于相比于纵向速度，横向速度一般较小，所以前后轮的速度角表示为：

    纵向滑移率的计算公式为： 

      同理，轮胎纵向力简化为：

综上，整理可以得到动力学模型的速度表达式：

另外，在笛卡尔坐标系下，横纵向车速与车身坐标系下的车速的关系为：

整理得到车辆的动力学模型（记为模型4）：

注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。但是，针对自动驾驶中的车辆运动控制问题，大多数情况下都可以采用这种近似关系。

—— 四种模型的仿真比较 ——

利用以上4个模型进行循迹仿真，结果如下图，可以看到，相比之下动力学模型的控制精度更加高一些。附件：可点击链接2dofModel.rar  获取本文中的仿真模型。

图6 四种模型的循迹仿真结果