3.2 非线性模型我们结束了对单个一阶微分方程的研究，现在来研究一些非线性模型。 人口动态如果 表示时间 处的人口规模，指数增长的模型假设 对于某个 。在这个模型中，相对或特定的增长率由 定义为常数 。在长时间内真正的指数增长案例很难找到，因为环境的有限资源将在某个时候对人口的增长施加限制。因此，对于其他模型，（1）可以预期随着人口 增加而减小。 假设人口增长（或减少）的速率仅依赖于当前的数量 ，而不依赖于任何随时间变化的机制如季节性现象，可以表示为 （2）中的微分方程在动物种群模型中被广泛假设，被称为密度依赖假设。 Logistic方程 假设一个环境只能维持不超过固定数量 的个体数量。数量 被称为环境的承载能力。因此，在（2）中的函数 中，我们有 ，并且我们简单地让 。图展示了满足这两个条件的三个函数 。我们可以做出的最简单的假设是 是线性的，即 。如果我们使用条件 和 ，依次我们会得到 和 ，因此 的形式为 。方程（2）变为 通过重新标定常数，非线性方程（3）与 相同。大约在1840年，比利时数学家兼生物学家P.F. Verhulst（1804-1849）关心各个国家人口的数学模型预测。他研究的方程之一是（4），其中 且 。方程（4）后来被称为Logistic方程，它的解称为Logistic函数。Logistic函数的图形称为Logistic曲线。 线性微分方程 当人口自身非常庞大时并不提供一个非常准确的模型。拥挤的条件，以及由此产生的对环境的不利影响，如污染以及对食物和燃料的过度和竞争性需求，可能会对人口增长产生抑制作用。如我们将在接下来看到的，（4）的解在 时是有界的。如果我们将（4）重写为 ，那么非线性项 可以解释为一种“抑制”或“竞争”项。此外，在大多数应用中，正常数 远大于常数 。 在预测某些类型的细菌、原生动物、水蚤（Daphnia）和果蝇（Drosophila）在有限空间内的生长模式方面，Logistic曲线已被证明非常准确。 解Logistic方程的一种方法是分离变量法。将 的左侧分解为部分分式并进行积分，得到 从最后一个方程可得 如果 ，我们可以找到 ，因此在代入并简化后，解变为 的图形基本上可以轻松地得到Logistic函数 的基本形状。尽管变量 通常表示时间，我们很少关注 的应用，但在显示 的各种图形时，包括这个区间仍然有一些兴趣。从（5）我们可以看出  图中显示的虚线 对应于Logistic曲线的拐点的纵坐标。为了证明这一点，我们通过乘积法则对（4）进行微分： 从微积分中我们可以回忆到， 的点可能是拐点，但可以明显排除 和 。因此， 是图形凹凸性可以改变的唯一可能的纵坐标值。对于 ，我们得出 ，而 意味着 。因此，从左到右，图形在对应于 的点处从凹向上变为凹向下。当初始值满足 时， 的图形呈现出 字形，如图 所示。对于 ，图形仍然是S形，但拐点出现在负的 值处，如图. 我们已经在第1.3节中以 的形式看过方程。这个微分方程提供了一个合理的模型，用于描述最初通过将感染者引入静态人口中来引发的流行病的传播。解 代表了时间 时感染该疾病的人数。 例1：Logistic增长假设一个携带流感病毒的学生回到一个有1000名学生的大学校园。如果假设病毒传播的速率不仅与已感染学生的数量 有关，还与未感染学生的数量有关，那么在观察到 后的6天内确定感染学生的数量。 解：假设在疫情持续期间没有人离开校园，我们必须解决初值问题 通过将 和 ，我们立即得到了从中得到的 现在，使用信息 ，我们可以从以下方程确定 ： 我们发现 。因此 最后， 在图的表格中提供了 的其他计算值。注意，随着 的增加，感染学生的数量 接近1000。  Logistic方程修正存在许多Logistic方程的变种。例如，微分方程 可以分别用作渔业中的种群模型，其中鱼被以速率 捕捞或重新放养。当 是常数时，方程(6)中的微分方程可以通过分离变量进行定性分析或解析求解。方程中的方程也可以分别用作人口因移民减少或增加的模型。方程中的速率 可以是时间 的函数，也可以是人口相关的；例如，捕捞可能随时间周期性进行，或者可能以时间 时的人口 成比例地进行。在后一种情况下，模型将类似于 。社区的人口可能因移民而发生变化，移民的贡献可能在社区人口 较小时较大，但在 较大时较小；这种情况下，社区人口的合理模型可能是 。另一种形式的方程，如所示， 是Logistic方程的一种修改，被称为Gompertz微分方程，以英国数学家本杰明·戈姆佩尔茨（Benjamin Gompertz）（1779-1865年）的名字命名。这个微分方程有时用作研究人口的增长或下降、实体肿瘤的生长以及某些种类的精算预测的模型。 化学反应假设将 克化学物质 与 克化学物质 结合。如果在化合物中形成了 部分的 和 部分的 ，而 是在时间 形成的化学物质 的克数，则在时间 剩下的化学物质 和化学物质 的克数分别为 质量作用定律规定，当不涉及温度变化时，两种物质反应的速率与时间 时未转化（剩余）的 和 的量的乘积成正比： 如果我们从第一因子中提取 ，从第二因子中提取 ，并引入一个比例常数 ，那么（8）具有如下形式： 其中 ，。根据非线性微分方程（9），受控制的化学反应被称为一个二阶反应。 示例2 二阶化学反应当两种化学物质 和 结合时，会形成化合物 。两种化学物质之间的反应导致每克 使用4克 。观察到在10分钟内形成了30克的化合物 。如果反应速率与剩余的 和 的量成正比，且最初有50克 和32克 ，则确定在时间 时化合物 的量。在15分钟时化合物 的量是多少？解释当 时的解。 解决方案: 让 表示时间 时存在的化合物 的克数。显然， 和 。 例如，如果存在2克的化合物 ，我们必须使用 克的 和 克的 ，因此 且 。因此，我们必须使用 的化学物质 和 的化学物质 。一般来说，对于 克的 ，我们必须使用 时间 时剩余的 和 的量分别为 接下来，我们知道形成化合物 的速率满足 为了简化后续的代数运算，我们从第一项提取 ，从第二项提取 ，然后引入比例常数： 通过变量分离和部分分数拆分，我们可以写成： 积分得到： 当 时，，所以在这一点上可以得出 。使用 时的 ，我们发现 。有了这些信息，我们可以解出（10）中的最后一个方程，得到 的表达式： 从（11）中我们得出 克。关于时间的 的行为显示在图中。从附表和（11）可以清楚地看出，当 时，。这意味着形成40克的化合物 ，剩下  注不定积分 可以用对数、反双曲正切或反双曲余切来计算。例如，对于以下两个结果： |
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