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| 高中数学 基本不等式 课件 |
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2.2 基本不等式学习目标1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“≥”取等号的条件；2.掌握基本不等式
；会应 用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题3.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.问题 试比较a2+b2与2ab的大小关系？解：当且仅当a=b时，等号成立PART 重要不等
式当且仅当a=b时，等号成立文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍当且仅当a=b时，等号成立。当且仅当a=b时,等号成立
.定理 基本不等式均值不等式定理 基本不等式均值不等式a,b的算术平均数a,b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.公式定理 基本不等式均值不等式 ， 当且仅当时，等号成立 ， 当且仅当时，等号成立变形式证明:例 已知a,b,c都是整
数，求证：当且仅当a=b时，等号成立；当且仅当b=c时，等号成立；当且仅当c=a时，等号成立；当且仅当a=b=c时，等号成立；即证
原不等式成立.定理 基本不等式均值不等式a=ba=ba,b∈Ra>0,b>0两实数的平方和不小于它们积的2倍 两正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数基本不等式基本不等式的证明法一：用分析法证明：显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.?
?基本不等式基本不等式的证明法二：作差法 基本不等式≤ (a>0, b>0) 的几何解释：如图,AB是圆的直径，C是AB上任一
点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD= , 半径为 .思考：图中什么
时候 = ？ 基本不等式的简单变形 ≥ (a>0, b>0) ≤()2 (a>0, b>0)
≤ (a>0, b>0) 和积基本不等式的功能：和积转化题型一 直接应用型题型二 凑配型题型三
“1”的妙用题型四 换元法题型五 恒成立问题例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所
用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为(1)由已知得由，可得∴当且仅当时，上式等号成立
.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为例1 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为(2)由已知得矩形菜园的面积为由可得
当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水
池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少
？解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.根据题意，有由容积为,可得因此 所以当时，上式等号成立，此时所以，将贮
水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.例.(1)已知，求的最小值.解：(1)∵，∴∴当且仅当，即
时，“=”成立.∴的最小值为0.例.(2)已知，求的最大值.解：(2)∵，∴，∴当且仅当，即时，“”成立.∴的最大值为.例.(3)
已知，且求的最小值.解：(3)∵，且∴ 当且仅当即时，“”成立.∴的最小值为.变.(1)已知，求的最大值.解：(1)∵，∴<0，0
.∴ 当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立.∴的最大值为.变.(2)已知，且求的最小值.解：(3)∵，且∴∴ 当且仅当即时，“”成
立.∴的最小值为.方法技巧：通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利
用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(
2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.(4)注意“1”的妙用.小结3.求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”2. 利用基本不等式求最值1. 基本不等式如果，则，当且仅当，等号成立。本讲结束 |
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