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指对同构解决不等式恒成立问题
1.同构式 ：具有 相同结构 的两个代数式称为同构式，
2 种常见的同构形函数 ： (1) 与 ； (2) 与 ：
3 常见的同构变形 ： (1) = 、 (2) ??ln??=??ln???ln??
(3)
4 种常用思维方法： (1)指对分离 . (2)参变分离
(3)需要对两边同时加某数 (4)或两边同乘某式
例： 对于任意实数 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 .
lnxxelnx?xel?xxxee??lln0x?2ln0xaea???a
2
练习 1.对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大
值 ．
2、已知函数 ，若 ，求 的取值范围 .
3.已知当 时不等式 ??+????????+ 1????≥????对于 ??∈(1, +∞)恒成立，则实数 ??的最
小值为 ( )
A.? ?? B.???2 C.??? D.?2??.
4、函数 ??(??) =???? ???ln(???????) +??(??> 0)若关于 ??不等式 ??(??)> 0则实 数 a 的取
值范围为 ( )
A.(0,??2] B.(0,??2) C.[1,??2] D.(1,??2)
?????,ex32ln0mxxe??m1()elnxfaa???()1fx?a0?a
3
5、 已知函数 若 恒成立 ， 则实数
的取值范围
6、已知 ，若对于任意的 ,不等式
恒成立，则 的最小值
7.已知函数 ， 若不等式 在 上恒成
立，则实数 的取值范围是 ．
??()ln20,xafe????()0fx?a0a?13x?????????4ln(3)ln
xxae??????ln13fxmx??????3
xfxme????0,???
4
8、已知函数 ??(??) = ????????, (1)求函数 ??(??)的极值 :
(2)当 ??= 1时，若 ??(??)?ln???????≥1恒成立，求实数 ??的取值
9 已知函数 ， (1)求函数 ??(??)的单调区间；
(2)若函数 ； 当 时， 恒成立， 求实数 m 的
取值范围 :
??xef???13ln2?xmege???0xg
5
例 1 解法一：（指对分离）将 变形为 ，
，
两边
同时乘 x 得 （说明：目的是凑右边的结构）
即 （说明：目的是凑左右两边的结构相同 ） （ #）
设 ，则 ， 单增 故由（ #）得 ，
再令 ，则 ，易知当
所以 ，即 .
解 法 二 ： （ 惨 变 分 离 ） 将 变 形 为 ， 即
设 ，易知 单增 故 （以下同解法一，从略）
练习 1、解：由题意得 ，即 ，
.
2、由 移项得：
即 ，两边同时加（ ）得
即
设 ，则 ，所以 单增
所以 ，即
设 ，则 ，所以 在 单减，在 单增，
所以 ，所以 .
3、 解： ??+????????+ 1????≥???????+ 1????≥?????ln x??(指对分离 )
??ln?????+?????≥?????ln x?? ???????ln?????≥?????ln x??
设 ??(??) =???ln?? ∴ ??????ln?????=??(?????)≥??(????) =?????ln????
??′(??) =1?1??= ???1?? > 0, ,∴ ??(??)在 (0,1)?,(1, +∞) +
∵ ??> 1, 1??????(0,1??)?(0,1),∵ 选项都是负的， ∴ 只考虑?? < 0的情况
2ln0xaea???2lnxae?21lnxea2lnxe?l2la?()xge??()10xge???()g2lnxa?ln2x?ln2h?2h??max1()lh??1a?ae?
2ln0xa??ln2ln0axea??ln2ln2axex? lnlxa??()xg?()g2l2x23 ln2lnlnmmmx xeee????2lnx???2minlxe?????1()l1xfaa??1elnl1xax?????
ln1elnax?? l lnlaax?????l ln1lx xae??()exg??()0xg???()gxlnl?ln1a??()hxa()hx? ()h0,1(1,)??min()l0??
6
??< 0， ∴0
∴ ?????≤????????≤????????(两边取对数 )???≥???ln?? ，
设 ?(??) = ???ln??(??> 1),?′(??) = ?ln??+1(ln??)2
∴ ?(??)在 (1,??) +， (??,+∞)?,?(??)??????=?(??) =???
4、解： ???? ???ln (???????) +??> 0, ???????> 0得 ??> 1
????? +??> ??ln??(???1) =??ln??+??ln (???1)
两边同除?? (??>0)????
?? + 1 > ln??+ ln(???1)?
????
???ln??> ln (???1)?1
??????ln???ln??> ln (???1)?1
??????ln??+???ln??> ln (???1) +???1
??????ln??+???ln??>??ln(???1) + ln (???1) 设 ??(??) =????+??,
??(???ln??)=?????ln??+???ln??>??ln(???1) + ln (???1)=??(ln (???1))
∵ ??(??)在 R 上 +,∴ ???ln??> ln (???1)?ln??
设 ?(??) =???ln ( ???1),?′(??) =1? 1???1= ???2???1 (??> 1)
∴ ????(1,2),?(??)?,????(2, +∞),?(??) +
∴ ?(??)??????=?(2) = 2 ,即 ln??< 2 = ln??2 ,∴ 0
6、解析：由于 ，则有
即，
令函数 ，易得 在 递增。
从而有 恒成立 。
所以 ，易得 的最小值等于
7、 解 ： 由题意得 ： ， 右边凑 1，
得 ， 得 .
（说 明：定义域大于零，所以 ， 成立 ） .
8、解（ 1）： ??′(??) = ??????+??????????=??????(1 +????)
4ln(3)lnxxae???l3l()l)(ln)xxa??ln() lnl (l)xae?xf??)fx1,3?????????(ln3)(lnffa??llxe??????ln1331ln
xxmxmmx????????? ?ln3 1x xexee??? ?3m???ln??3?
7
1).当 ??= 0时， ??′(??) =??????>0,??(??)无极值
2).当 ??< 0时， ??′(??) =??????(1 +????) = 0,得 ：?? =?1??,
??(??)无极小值，有极大值， ??(??)极大值 =??(?1??) =?1????????(?
1??)
=?1????
3).当 ??> 0时， ??′(??) =??????(1 +????) = 0,得 ：?? =?1??,
??(??)无极大值，有极小值， ??(??)极小值 =??(?1??) =?1????????(?
1??)
=?1????
（ 2）：当 ??= 1时， ??(??)?ln???????=???????ln???????≥1 (??> 0)
?????≤???????ln???1???≤?????ln?????1?? ,
设 ??(??) =?????ln?????1??(??> 0),??′(??) = ??
?????2+ln??
??2
设 ?(??) =???????2+ ln??(??> 0),?′(??) =????(??2+2??) + 1??> 0,?(??) +
?(1) =??>0,?(1??) =??
1??
?(1??)
2
?1=??
1???2
?1< 0
∴ ???0∈(0,1??),?(??0) = 0; 当 ????(0,??0),?(??) < 0,??′(??) < 0;
当 ????(??0, +∞),?(??) > 0,??′(??) > 0;∴ ??(??)??????=??(??0)
??(??0) =????0?ln??0??0?1??0 ,
∵ ????0???02+ ln??0= 0?????0???02= ?ln??0?????0???0= 1??0?ln 1??0
???0?????0= ln 1??0???ln
1??
0 ， (指对同构 )
设 ??(??) =??????? , ??(??0) =??0?????0= ln 1??0???ln
1??
0= ??(ln 1??0)
∵ ??0∈(0,1??)， ∴ 1??0> 1,∴ln 1??0> 0;
∴ ??(??) =???????的定义域为 (0, +∞)
??′(??) = (??+ 1)????,令 ??′(??) =0,??=?1, ∴当 ????(0, +∞),??(??) + ;
∵ ??(??0) =??0?????0= ln 1??0???ln
1??
0= ??(ln 1??0)，
∴ ??0=ln 1??0= ?ln??0 ， ??0=?ln??0?????0= 1??0
∴ ??(??0) =????0?ln??0??0?1??0= 1??0????0??0?1??0= 1
二轮专题复习
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