2022-2023学年河南省南阳市六校
高二（上）期中数学试卷
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A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
已知点 ， ，则线段 的垂直平分线所在的直线方程为（ ）1.?
若方程 表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）2.?
若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）3.?
直线 和 ， 的图形可能为（ ）4.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?相交
B.?相离
C.?相切或相交
D.?相切或相离
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
已知双曲线 的右焦点为 ，过和 两点的直线与双曲线的
一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
5.? ＞，＞ ，
直线 与圆 的位置关系为（ ）6.?
已知双曲线 的左、右焦点分别为， ，离心率为， 是双曲线上一
点， 轴，则 的值为（ ）
7.? ： ＞，＞
已知直线 与椭圆 交于， 两点，为 的右顶点，则 的面积
为（ ）
8.? ：
A.? ，
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
A.?
B.?
C.?
D.?
已知双曲线 的左、右焦点分别为、 ，若在双曲线的右支上存在一点，
使得 ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
9.?
已知， 分别是椭圆 与圆 上的动点，则 的最小值为（ ）10.?
已知椭圆 的左、右顶点分别为， ，焦距为 ， 为直线 上
一点，若 为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则的离心率为（ ）
11.? ： ＞＞
已知圆 ，直线 ，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，
.当四边形 为坐标原点）的面积最小时，
12.?
??
已知直线 与直线 相互垂直，且两条直线都不与坐标轴垂直，则实数的
值为______.
13.?
如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水
面宽度为 ，当水面再上升时，水面宽度为______.
14.?
已知圆的圆心在直线 上，点 与 都在圆上，则圆的面积为______.15.?
1解析：设线段 的垂直平分线上任意一点，
则点所在的直线方程为 ，
即 ，
故选：.
2解析： 变形为 ，
要表示椭圆需要满足 ，解得 .
已知抛物线 的焦点为，准线为.以 为圆心作圆与交于
， 两点，与交于， 两点，若 ，则到的距离为______.
16.?
已知四边形 为平行四边形， ， ， .
求点的坐标；
若点满足 ，求直线 的方程.
17.?
Ⅰ
Ⅱ
已知圆 .
若直线与 交于， 两点，线段的中点为 ，求 ；
已知点的坐标为 ，求过点的圆的切线的方程.
18.?
Ⅰ
Ⅱ
已知点到点 的距离与点到点 的距离之比为.
求 点的轨迹的方程；
过 的中点且倾斜角为的直线与 中的曲线交于， 两点，求 的面积.
19.?
Ⅰ
Ⅱ Ⅰ
已知椭圆 的离心率： ，上顶点为，右顶点为， 为坐标
原点）的面积为.
求 的方程；
过 的右焦点的直线与 交于， 两点，若 ，求的方程.
20.? ： ＞＞
Ⅰ
Ⅱ
已知抛物线 与直线 相切.
求 的方程；
过 的焦点的直线与 交于， 两点， 的中垂线与的准线交于点，若 ，
求的方程.
21.?
Ⅰ
Ⅱ
已知直线过点 ，与椭圆： 交于， 两点，且直线不与椭圆的对
称轴垂直.
若直线的斜率为 为线段 的中点，求的值；
若 ，点 ，当变化时，直线， 的斜率总是互为相反数，求的方程.
22.?
Ⅰ ， ，
Ⅱ
＞
＞
故选：.
3解析：抛物线的焦点坐标为，可得 ，则抛物线的标准方程是：.
故选：.
4解析：当 时，两直线平行，且斜率大于零，纵截距大于零，选项错误；
当 时，两直线平行，且斜率小于零，直线的纵截距小于零，直线 的纵截距大
于零，选项正确，选项错误.
故选：.
5解析：因为双曲线的右焦点为 ，所以 ，
因为双曲线 ，所以渐近线方程为 ，
又因为 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以该双曲线的方程为 .
故选：.
6解析：直线方程 可变形为 ，
令 ，
即 ，
又点 在圆 上，
又直线 不能表示倾斜角为的直线，
则直线 与圆 的位置关系为相交，
故选：.
7解析：因为双曲线的离心率为，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，
又 ， 轴，
当 时，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：.
，
8解析：由椭圆 的方程可得右顶点 ，
设 ， ， ，. ，
联立 ，整理可得： ，
可得 显然成立，且 ， ，
所以弦长 ，
到直线的距离 ，
所以 ，
故选：.
9解析：
设 点的横坐标为
， 在双曲线右支
根据双曲线的第二定义，可得
，
，
，
故选 .
10解析：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
则 的最小值为 的最小值减去圆的半径，设， ，则有 ，
，
由椭圆方程可知， ，
当 时， 有最小值 ，所以 的最小值为 .
故选：.
11解析：设椭圆的右焦点为，则有 ，
，根据题意，作出图象：
由题意可得： ，则
，
即 ，
则 ， ，
即 ，
，
：
??
解得 .
故选：.
12解析：由题意可得 ，
又 ，
又点 到直线 的距离为
，
即 ，此时 的面积最小，
此时 ，
则 ，
则 ，
故选：.
13解析：由题意，可得 ，解得 ，
故答案为：.
14解析：建立如图上式平面直角坐标系，
设高脚杯的轴截面所在抛物线方程为 ，
由题意可得 ，代入抛物线方程，可得，即 ，
则抛物线方程为 ，
由题意可设的纵坐标为，则 ，即 ，
当水面再上升时，水面宽度为 .
故答案为： .
15解析：设圆心坐标为 ，
则 ，
则 ，
即圆心坐标为 ，
则圆的半径为 ，
四边形
即圆的面积为 ，
故答案为：.
16解析：如图，
由 ，得四边形 为矩形，且 ，
代入 ，得 ，可得 ，
由抛物线定义及对称性可得：为正三角形，
则 ，解得 ，即到的距离为.
故答案为：.
17解析： 设 ，
四边形 为平行四边形，
不存在，则 ，
又 ，
，解得 ，
.
点 满足 ，
，
直线 的方程为 ，即为 .
18解析： 已知圆 ，
则圆心的坐标为 ，半径为，
又线段 的中点为 ，
则 ；
当切线斜率存在且为时，
所求切线方程为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，
解得 ，
即所求直线方程为 ，
当切线斜率不存在时，
直线 显然满足题意，
综上可得过点的圆的切线的方程为 或 .
，
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
19解析： 设 ，由题意可得： ，
，
化为： ，
点的轨迹的方程为 .
过 的中点 且倾斜角为的直线方程为： ，化为 .
圆心 到直线 的距离 ，
，
点 到直线 的距离 ，
的面积 .
20解析： 由题意可得 ，解得 ， ，
所以椭圆的方程为： ；
由 可得椭圆的右焦点 ，
当直线的斜率为时，则 ，
所以直线的斜率不为，设直线的方程为 ，设 ， ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
显然 ，且 ， ，
所以弦长
，
由题意可得 ，整理可得 ，
即 ，解得 ，
即直线的方程为： ，
即 .
21解析： 联立 ，消去，整理得 ，
由直线与抛物线相切，则 ，解得 或 ，
所以抛物线方程为： ；
设 的中点为，在 中，由 ，即 ，
所以 ，
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ Ⅰ
??
Ⅰ
舍去
Ⅱ
设直线的方程： ， ， ， ， ，
联立 ，消去，整理得 ，
则 ， ，
所以 ，所以直线的方程： ，
令 ，得 ，即 ， ，
因此 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以直线的方程： 或 .
22解析： 设 ， ， ， ，可得 ， ，
， 的坐标代入椭圆的方程： ，作差可得： ，
可得 ，
由题意可得 ，
可得 ；
由题意可得直线的斜率不为，且斜率存在，设直线的方程为： ， ，
设 ， ， ， ，
因为 ，所以椭圆的方程为： ，
联立 ，整理可得： ，
可得 ， ，
由题意 ，
即 ，
即 ，即 ，
整理可得 ，
可得 ，因为 ，
整理可得 ，可得 ，
，
所以椭圆的方程为： .
Ⅰ
Ⅱ
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