2022 年 湖 南 衡 阳 中 考 数 学 试 题 及 答 案一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .）1.－ 2的 绝 对 值 是 （ ）A.－ 2 B. 2 C. 12 D. 12?2.石 鼓 广 场 供 游 客 休 息 的 石 板 凳 如 下 图 所 示 ， 它 的 主 视 图 是 （ ）
3.下 列 选 项 中 的 垃 圾 分 类 图 标 ， 既 是 中 心 对 称 图 形 ， 又 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ）A.可 回 收 物 B.其 他 垃 圾 C.有 害 垃 圾 D.厨 余 垃 圾4.为 有 效 防 控 新 冠 疫 情 ， 国 家 大 力 倡 导 全 国 人 民 免 费 接 种 疫 苗 .截 止 至 2022年 5 月 底 ， 我 国疫 苗 接 种 高 达 339000万 剂 次 ， 数 据 339000 万 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 910a? 的 形 式 ， 则 a的值 是 （ ）
A. 0.339 B. 3.39 C. 33.9 D. 3395.下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A. 2 3 5a a a? ? B. 3 4 12a a a? ? C. ? ?43 7a a? D.3 2a a a? ?6.下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A.“ 任 意 画 一 个 三 角 形 ， 其 内 角 和 为 180?” 是 必 然 事 件B.调 查 全 国 中 学 生 的 视 力 情 况 ， 适 合 采 用 普 查 的 方 式C.抽 样 调 查 的 样 本 容 量 越 小 ， 对 总 体 的 估 计 就 越 准 确D.十 字 路 口 的 交 通 信 号 灯 有 红 、 黄 、 绿 三 种 颜 色 ， 所 以 开 车 经 过 十 字 路 口 时 ， 恰 好 遇 到 黄 灯
的 概 率 是 137.如 果 二 次 根 式 1a? 有 意 义 ， 那 么 实 数 a的 取 值 范 围 是 （ ）A. 1a? B. 1a? C. 1a? D. 1a?
8.为 贯 彻 落 实 教 育 部 《 关 于 全 面 加 强 新 时 代 大 中 小 学 劳 动 教 育 的 意 见 》 精 神 ， 把 劳 动 教 育 纳入 人 才 培 养 全 过 程 ， 某 校 组 织 学 生 周 末 赴 劳 动 教 育 实 践 基 地 开 展 锄 地 、 除 草 、 剪 枝 、 捉 鱼 、采 摘 五 项 实 践 活 动 ， 已 知 五 个 项 目 参 与 人 数 （ 单 位 ： 人 ） 分 别 是 ： 35， 38， 39， 42， 42， 则这 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 （ ）A.38， 39 B.35， 38 C.42， 39 D.42， 359.不 等 式 组 2 12 3xx x? ??? ? ?? 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 （ ）A.
B.C. D.10.下 列 命 题 为 假 命 题． ． ． 的 是 （ ）A.对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 B.对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形C.有 一 个 内 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 正 方 形 D.有 一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形
11.在 设 计 人 体 雕 像 时 ， 使 雕 像 上 部 （ 腰 部 以 上 ） 与 下 部 （ 腰 部 以 下 ） 的 高 度 比 ， 等 于 下 部与 全 部 的 高 度 比 ， 可 以 增 加 视 觉 美 感 .如 图 ， 按 此 比 例 设 计 一 座 高 度 为 2m的 雷 锋 雕 像 ， 那么 该 雕 像 的 下 部 设 计 高 度 约 是 （ ）（ 结 果 精 确 到 0.01m.参 考 数 据 ： 2 1.414? ， 3 1.732? ，5 2.236? ）
A.0.73m B. 1.24m C. 1.37m D. 1.42m12.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 90B? ? ?， 6AC ? ， AB CD∥ ， AC 平 分 DAB? .设
AB x? ， AD y? ， 则 y 关 于 x的 函 数 关 系 用 图 象 大 致 可 以 表 示 为 （ ）
A. B. C.D.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 满 分 18 分 .）13.因 式 分 解 ： 2 2 1x x? ? ?_________.14.计 算 ： 2 8? ?_________.
15.计 算 ： 2 42 2aa a? ?? ? _________.16.如 图 ， 在 ABC△ 中 ， 分 别 以 点 A和 点 B为 圆 心 ， 大 于 12 AB的 长 为 半 径 作 圆 弧 ， 两 弧相 交 于 点 M 和 点 N ， 作 直 线 MN 交 CB于 点 D， 连 接 AD.若 8AC ? ， 15BC ? ， 则ACD△ 的 周 长 为 _________.
17.如 图 ， 用 一 个 半 径 为 6cm的 定 滑 轮 拉 动 重 物 上 升 ， 滑 轮 旋 转 了 120?， 假 设 绳 索 粗 细 不计 ， 且 与 轮 滑 之 间 没 有 滑 动 ， 则 重 物 上 升 了 _________cm.（ 结 果 保 留 ? ）
18.回 雁 峰 座 落 于 衡 阳 雁 峰 公 园 ， 为 衡 山 七 十 二 峰 之 首 .王 安 石 曾 赋 诗 联 “ 万 里 衡 阳 雁 ， 寻 常到 此 回 ” .峰 前 开 辟 的 雁 峰 广 场 中 心 建 有 大 雁 雕 塑 ， 为 衡 阳 市 城 徽 .某 课 外 实 践 小 组 为 测 量 大雁 雕 塑 的 高 度 ， 利 用 测 角 仪 及 皮 尺 测 得 以 下 数 据 ： 如 图 ， 10mAE? ， 30BDG? ? ?，60BFG? ? ?.已 知 测 角 仪 DA的 高 度 为 1.5m， 则 大 雁 雕 塑 BC的 高 度 约 为 _________m.（ 结 果 精 确 到 0.1m.参 考 数 据 ： 3 1.732? ）
三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 8个 小 题 ， 19~20 题 每 题 6 分 ， 21~24 题 每 题 8 分 ， 25题 10 分 ， 26题 12 分 ， 满 分 66 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .）19.（ 本 小 题 满 分 6 分 ）先 化 简 ， 再 求 值 .? ?? ? ? ?2a b a b b a b? ? ? ? ， 其 中 1a? ， 2b?? .20.（ 本 小 题 满 分 6 分 ）如 图 ， 在 ABC△ 中 ， AB AC? ， D、 E是 BC边 上 的 点 ， 且 BD CE? ， 求 证 ： AD AE? .
21.（ 本 小 题 满 分 8 分 ）为 落 实 “ 双 减 提 质 ” ， 进 一 步 深 化 “ 数 学 提 升 工 程 ” ， 提 升 学 生 数 学 核 心 素 养 ， 某 学 校 拟 开 展“ 双 减 ” 背 景 下 的 初 中 数 学 活 动 型 作 业 成 果 展 示 现 场 会 ， 为 了 解 学 生 最 喜 爱 的 项 目 ， 现 随 机抽 取 若 干 名 学 生 进 行 调 查 ， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ：
根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） 参 与 此 次 抽 样 调 查 的 学 生 人 数 是 _________人 ， 补 全 统 计 图 ① （ 要 求 在 条 形 图 上 方 注 明人 数 ） ；（ 2） 图 ② 中 扇 形 C的 圆 心 角 度 数 为 _________度 ；（ 3） 若 参 加 成 果 展 示 活 动 的 学 生 共 有 1200人 ， 估 计 其 中 最 喜 爱 “ 测 量 ” 项 目 的 学 生 人 数 是多 少 ；（ 4） 计 划 在 A， B， C， D， E五 项 活 动 中 随 机 选 取 两 项 作 为 直 播 项 目 ， 请 用 列 表 或 画树 状 图 的 方 法 ， 求 恰 好 选 中 B， E这 两 项 活 动 的 概 率 .22.（ 本 题 满 分 8 分 ）冰 墩 墩 （ BingDwenDwen） 、 雪 容 融 （ ShueyRhonRhon） 分 别 是 2022 年 北 京 冬 奥 会 、 冬 残 奥 会的 吉 样 物 .冬 奥 会 来 临 之 际 ， 冰 墩 墩 、 雪 容 融 玩 偶 畅 销 全 国 .小 雅 在 某 网 店 选 中 两 种 玩 偶 ， 决
定 从 该 网 店 进 货 并 销 售 ， 第 一 次 小 雅 用 1400元 购 进 了 冰 墩 墩 玩 偶 15 个 和 雪 容 融 玩 偶 5 个 ，已 知 购 进 1个 冰 墩 墩 玩 偶 和 1个 雪 容 融 玩 偶 共 需 136元 ， 销 售 时 每 个 冰 墩 墩 玩 偶 可 获 利 28元 ， 每 个 雪 容 融 玩 偶 可 获 利 20元 .（ 1） 求 两 种 玩 偶 的 进 货 价 分 别 是 多 少 ？（ 2） 第 二 次 小 雅 进 货 时 ， 网 店 规 定 冰 墩 墩 玩 偶 进 货 数 量 不 得 超 过 雪 容 融 玩 偶 进 货 数 量 的 1.5倍 .小 雅 计 划 购 进 两 种 玩 偶 共 40 个 ， 应 如 何 设 计 进 货 方 案 才 能 获 得 最 大 利 润 ， 最 大 利 润 是 多
少 元 ？23.（ 本 小 题 满 分 8 分 ）如 图 ， 反 比 例 函 数 my x? 的 图 象 与 一 次 函 数 y kx b? ? 的 图 象 相 交 于 ? ?3,1A ， ? ?1,B n? 两点 .
（ 1） 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 关 系 式 ；（ 2） 设 直 线 AB 交 y 轴 于 点 C， 点 M ， N 分 别 在 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 图 象 上 ， 若 四 边形 OCNM 是 平 行 四 边 形 ， 求 点 M 的 坐 标 .24.（ 本 小 题 8 分 ）如 图 ， AB 为 O? 的 直 径 ， 过 圆 上 一 点 D作 O? 的 切 线 CD交 BA的 延 长 线 与 点 C， 过 点 O作 OE AD∥ 交 CD于 点 E， 连 接 BE.
（ 1） 直 线 BE与 O? 相 切 吗 ？ 并 说 明 理 由 ；（ 2） 若 2CA? ， 4CD? ， 求 DE 的 长 .25.（ 本 小 题 10分 ）如 图 ， 已 知 抛 物 线 2 2y x x? ? ? 交 x轴 于 A、 B两 点 ， 将 该 抛 物 线 位 于 x轴 下 方 的 部 分 沿 x轴 翻 折 ， 其 余 部 分 不 变 ， 得 到 的 新 图 象 记 为 “ 图 象 W ” ， 图 象 W 交 y 轴 于 点 C.
（ 1） 写 出 图 象 W 位 于 线 段 AB 上 方 部 分 对 应 的 函 数 关 系 式 ；
（ 2） 若 直 线 y x b?? ? 与 图 象 W 有 三 个 交 点 ， 请 结 合 图 象 ， 直 接 写 出 b的 值 ；（ 3） P为 x轴 正 半 轴 上 一 动 点 ， 过 点 P作 PM y∥ 轴 交 直 线 BC于 点 M ， 交 图 象 W 于 点N ， 是 否 存 在 这 样 的 点 P， 使 CMN△ 与 OBC△ 相 似 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .26.（ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， 4AB ? ， 60BAD? ? ?， 点 P从 点 A出 发 ， 沿 线 段 AD以 每 秒1个 单 位 长 度 的 速 度 向 终 点 D运 动 ， 过 点 P作 PQ AB? 于 点 Q， 作 PM AD? 交 直 线 AB于 点 M ， 交 直 线 BC于 点 F ， 设 PQM△ 与 菱 形 ABCD重 叠 部 分 图 形 的 面 积 为 S （ 平 方
单 位 ） ， 点 P运 动 时 间 为 t（ 秒 ） .（ 1） 当 点 M 与 点 B重 合 时 ， 求 t的 值 ；（ 2） 当 t为 何 值 时 ， APQ△ 与 BMF△ 全 等 ；
（ 3） 求 S 与 t的 函 数 关 系 式 ；（ 4） 以 线 段 PQ为 边 ， 在 PQ右 侧 作 等 边 三 角 形 PQE， 当 2 4t? ? 时 ， 求 点 E运 动 路 径的 长 . 2022年 衡 阳 市 初 中 学 业 水 平 考 试 试 卷 解 析数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A C B D A B C A C B D
12.【 解 析 】 ∵ AB CD∥ ， ∴ ACD BAC? ?? ，∵ AC平 分 DAB? ， ∴ BAC CAD? ?? ，∴ ACD CAD? ?? ， 则 CD AD y? ? ， 即 ACD△ 为 等 腰 三 角 形 ，过 D点 做 DE AC? 于 点 E.
则 DE 垂 直 平 分 AC， 1 32AE CE AC? ? ? ， 90AED? ? ?，∵ BAC CAD? ?? ， 90B AED? ?? ? ?，∴ ABC AED△ ∽ △ ，∴ AC ABAD AE? ， ∴ 6 3xy ? ，∴ 18y x? ，∵ 在 ABC△ 中 ， AB AC? ，∴ 6x? ，故 y 关 于 x的 函 数 图 像 是 D.
二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 满 分 18 分 .）13 14 15 16 17 18? ?21x? 4 2 23 4? 10.218.【 解 析 】 ∵ 30BDG? ? ?且 60BFG? ? ?，∴ 30DBF BFG BDG? ?? ?? ? ?，∴ DBF BDG? ?? ，即 10mBF DF AE? ? ? .∴ sin60 5 3m 8.66mBG BF ?? ? ? ? ，∴ 8.66 1.5 10.2mBC BG GC BG DA? ? ? ? ? ? ? ，
故 答 案 为 10.2m.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 19-20 每 题 6分 ， 21-24题 每 题 8 分 ， 25题 10分 ， 26题 12分 ， 满 分 66分 .解 答 题 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .）19.解 ： 原 式 2 2 2 2 22a b ab ab ab? ? ? ? ? ? ，将 1a? ， 2b?? 代 入 式 中 得 ：原 式 ? ?21 2 1 2 1 4 3? ? ? ? ? ? ? ?? .20.证 明 ： ∵ AB AC? ， ∴ ABC△ 为 等 腰 三 角 形 ，∴ B C? ?? ，又 ∵ BD CE? ，
∴ 在 ABD△ 和 ACE△ 中 ， AB ACB CBD CE???? ???? ?? ，∴ ? ?ABD ACE SAS△ ≌ △ ，∴ AD AE? .21.答 ： （ 1） 因 为 参 与 B活 动 的 人 数 为 36人 ， 占 总 人 数 30%， 所 以 总 人 数 36 12030%? ? 人 ，则 参 与 E活 动 的 人 数 为 ： 120 30 36 30 6 18? ? ? ? ? 人 ；补 全 统 计 图 如 下 ：
（ 2） 扇 形 C的 圆 心 角 为 ： 30 360 90120? ?? ?；（ 3） 最 喜 爱 “ 测 量 ” 项 目 的 学 生 人 数 是 ： 30 1200 300120? ? 人 ；（ 4） 列 表 如 下 ：第 一项第 二 项 A B C D EA — — AB AC AD AEB BA — — BC BD BEC CA CB — — CD CED DA DB DC
— — DEE EA EB EC ED — —或 者 树 状 图 如 下 ：
所 以 ， 选 中 B、 E这 两 项 活 动 的 概 率 为 ： ? ? 2 100% 10%20BEP ? ? ?选 中 .22.（ 1） 解 ： 设 冰 墩 墩 进 价 为 x元 ， 雪 容 融 进 价 为 y 元 .得 13615 5 1400x yx y? ??? ? ?? ， 解 得 7264xy??? ?? ，∴ 冰 墩 墩 进 价 为 72 元 ， 雪 容 融 进 价 为 64 元 .（ 2） 设 冰 墩 墩 进 货 a个 ， 雪 容 融 进 货 ? ?40 a? 个 ， 设 利 润 为 w，得 关 于 利 润 解 析 式 ? ?28 20 40 8 800w a a a? ? ? ? ? ，∵ 0a? ， 所 以 利 润 随 a增 大 而 增 大 ，
又 因 为 冰 墩 墩 进 货 量 不 能 超 过 雪 容 融 进 货 量 的 1.5倍 ，得 ? ?3 402a a? ? ， 解 得 24a? .∴ 当 a取 24 时 利 润 取 得 最 大 值 为 992.23.（ 1） 解 ： 将 ? ?3,1A 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 求 得 ， 3m? ， 即 反 比 例 函 数 解 析 式 为 3y x? ，将 A代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 中 求 得 3n?? ， 即 ? ?1, 3B ? ? ， 将 A， B代 入 y kx b? ? ， 求得 1k ? ， 2b?? 得 2y x? ? ， 综 上 反 比 例 函 数 解 析 式 为 3y x? ， 一 次 函 数 解 析 式 为2y x? ? .
（ 2） 由 题 2OC ? ， 且 四 边 形 OCNM 为 平 行 四 边 形 ， 且 OC固 定 ，∴ M ， N 横 坐 标 相 同 ， 设 3,M t t? ?? ?? ?， ? ?, 2N t t? ，∵ OC MN? 即 ? ?3 2 2tt ? ? ? ， 解 得 3t ?? ，∴ ? ?3, 3M 或 ? ?3, 3? ? .24.（ 1） 证 明 ： 连 接 OD.∵ CD为 O? 切 线 ， ∴ 90ODC ODE? ?? ? ?，又 ∵ OE AD∥ ， ∴ DAO EOB? ?? ， ADO EOD? ?? ，且 ADO DAO? ?? ， ∴ EOD EOB? ?? ，
在 ODE△ 与 OBE△ 中 ；∵ OD OBEOD EOBOE OE???? ???? ?? ，∴ ODE OBE△ ≌ △ ，
∴ 90OBE ODE? ?? ? ?，∴ 直 线 BE与 O? 相 切 .（ 2） 设 半 径 为 r；
则 ： 2 2 24 (2 )r r? ? ? ， 得 3r ? ；在 直 角 三 角 形 CBE中 ， 2 2 2BC BE CE? ? ，2 2 2(2 3 3) (4 )DE DE? ? ? ? ? ， 解 得 6DE ? .25.解 ： （ 1） 由 翻 折 可 知 ： ? ?0,2C .令 2 2 0x x? ? ? ， 解 得 ： 1 1x ?? ， 2 2x ? ，所 以 ， ? ?1,0A ? ， ? ?2,0B ，设 图 象 W 的 解 析 式 为 ? ?? ?1 2y a x x? ? ? ， 代 入 ? ?0,2C ， 解 得 1a?? ，
所 以 解 析 式 为 ? ?2 2 1 2y x x x?? ? ? ? ? ? .（ 2） 2b? 或 3b?（ 3） 如 图 1， 当 CN OB∥ 时 ， OBC NMC△ ∽ △ ， 此 时 ， ? ?1,0P ；如 图 2， 当 CN OB∥ 时 ， OBC NMC△ ∽ △ ，此 时 ， N 点 纵 坐 标 为 2， 2 2 2x x? ? ? ， 解 得 1 1 172x ?? ， 2 1 172x ?? （ 舍 ） ；所 以 1 17 ,02P? ??? ?? ?? ?；
如 图 3， 当 90NCM? ? ?时 ， OBC CMN△ ∽ △ ， 此 时 ， 直 线 CN 的 解 析 式 ： 2y x? ? ；联 立 方 程 组 ： 2 2 2y xy x x? ??? ? ? ?? ， 解 得 1 1 5x ? ? ， 2 1 5x ? ? （ 舍 ） ， 所 以 ? ?1 5,0P ? .
因 此 ， 综 上 所 述 ： P点 坐 标 为 ? ?1,0 或 1 17 ,02? ??? ?? ?? ?或 ? ?1 5,0? .
26. 解 ： （ 1） M 与 B重 合 时 ，∵ 60A? ? ?， ∴ 1 22PA AB? ? ， ∴ 2t ? .（ 2） ① 当 0 2t? ? 时 ，∵ 2AM t? ， ∴ 4 2BM t? ? ，∵ APQ BMF△ ≌ △ ， ∴ AP BM? ，
∴ 4 2t t? ? ， ∴ 43t ? .② 当 2 4t? ? ，∵ 2AM t? ， ∴ 2 4BM t? ? ，∵ APQ BMF△ ≌ △ ， ∴ AP BM? ，∴ 2 4t t? ? ， ∴ 4t ? .∴ 4t ? 或 43t ? .（ 3） ① 当 0 2t? ? 时 ，32PQ t? ， ∴ 32MQ t? ，
∴ 23 38PQMS S t? ?△ .
② 当 2 4t? ? 时 ，∵ 2BF t? ? ， ? ?3 2MF t? ? ，∴ 23 ( 2)2BFMS t? ?△ ，∴ 23 2 3 2 38PQM BFMS S S t t? ? ?? ? ?△ △ ，∴ 223 3 ,0 28 3 2 3 2 3,2 48 t tS t t t? ? ??????? ? ? ? ??? .
（ 4） 连 接 AE.∵ PQE△ 为 正 三 角 形 ， ∴ 32PE t? ，在 Rt APE△ 中 ， 3 32tan 2tPEPAE PA t? ? ? ? ，∴ PAE? 为 定 值 .∴ E的 运 动 轨 迹 为 直 线 ，2 2 72AE AP PE t? ? ? ，
当 2t ? 时 7AE ? ，
当 4t ? 时 2 7AE ? ，∴ E的 运 动 路 径 长 为 2 7 7 7? ? .
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