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微专题 97 不等式选讲
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式：
1、不等式的基本性质：
（ 1）
（ 2） （不等式的传递性）
注： ， 等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
2、绝对值不等式：
（ 1） 等号成立条件当且仅当
（ 2） 等号成立条件当且仅当
（ 3） ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且
仅当
3、均值不等式
（ 1）涉及的几个平均数：
ab???,ca??c?ab?,0;,0cabacb?????2nN??,abn?abab?????0??abca?????0
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① 调和平均数：
② 几何平均数：
③ 代数平均数：
④ 平方平均数：
（ 2）均值不等式： ，等号成立的条件均为：
（ 3）三项均值不等式：
①
②
③
4、柯西不等式：
等号成立条件当且仅当 或
（ 1）二元柯西不等式： ，等号成立当且仅当
（ 2）柯西不等式的几个常用变形
① 柯西不等式的三角公式：
②
②式体现的是当各项 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系 ，
刚好是均值不等式的一个补充。
121nnHaa???nG?12nnA?? 212nnaaQ??nnHG?12naa??3abca??223bca?????????
223abcabc????????222221112nn nabbaba???? ? ?21nb?? 120n??????22acdacb???adbc???????
2222222111nn naabbabab???????? ? ??2211nnb??? ? ???2 222121 nnaabaa???????????? ? ?21,n?
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③
5、 排序不等式 ： 设 为两组实数， 是
的任一排列，则有：
即“反序和 乱序和 顺序和”
（二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式 ） 求表达式的最值，要注意求最值的思路与利
用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证
等号成立条件”
3、解不等式（特别是含绝对值的不等式 ——可参见“不等式的解法”一节）
二、典型例题：
例 1：若不等式 恒成立，则 的取值范围为 ________．
思路：本题为恒成立问题，可知 ，所以只需求出
的最小值即可，一种思路可以构造函数 ，通过对绝对值里的符号进行
分类讨论得到分段函数 ： ， 进而得到 ， 另一种思路
可以想到绝对值不等式： ，进而直接得到最小值，所
以 ，从而
答案：
例 2：若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围
思路：本题可从方程有根出发，得到关于 的不等式，从而解出 的范围
解：依题意可知二次方程 有解
??21212 nnaaabbb????? ?1212,nn??? ? 12,nc? 12,nb?1211212nn n nababcaba?????? ? ??131xm?????
min3x??13x??1fx???24,3,xf??????????min2fx???112xx??1m??3m?x2410xa???a
2??16410a???????
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即
当 时，
当 时， 恒成立
当 时，
综上所述，可得
例 3：已知函数
（ 1）当 时，解不等式
（ 2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围
（ 1）思路：所解不等式为 ，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式
解：（ 1）当 时，
当 时，
当 时，
综上所述：不等式的解集为
（ 2） 思路：若不等式 恒成立，可知只需 即可， 含绝对值，从而
可通过分类讨论将其变为分段函数 ，通过分析函数性质即可得
到 ，所以
解： 恒成立
214a????732a?72,a????????12a??14?????1,2a??,2a???????17,2????????????0fxa???a4f???fx?xR?a21??x??42xx????1,2x??
0??1??0x??243x???,3x??????,2????????4fx???min4fx???fx?????32,,0,,afxx???????????
minfxfa?4a?4????minfx?
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考虑
在 单调递减，在 单调递增
例 4： 已知 都是正数 ,且 ,求 的最大值
思路一：已知 为常数，从所求入手，发现被开方数的和为 也为
常数，所以想到均值不等式中“代数平均数 平方平均数 ”，进而求得最大值
解：
等号成立当且仅当
思 路 二 ： 由 所 求 可 联 想 到 柯 西 不 等 式 （ 活 用 1 ） ：
， 从 而 可 得 ：
即 ， 所 以 可 知
小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等
式 ） ，但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数 平方平均数 ”。证明的过程如下：
?????32,,20,,xafx???????????f?,a???a??minxf??,abc236abc??1231abc??23? ??23ab???
22213113abcabc??3c???21231ababc?????213623abcb???????????????
2 21231=121abcabc???????????23abc? ????? ?? ?? ?23327cc??? ?1231abc???
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例 5：已知 是实数，且 ，则 的最大值是 __________
思 路 ： 考 虑 将 向 进 行 靠 拢 ， 由 柯 西 不 等 式 可 知
， 对照条件可知令 即可 ， 所
以 ，则
答案：
小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等
式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
例 6： 已知实数 满足 ，则 的取值范围是
____________
思路 ： 本题的核心元素为 ，若要求 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即
关于 的不等关系 ， 考虑到 ， 联想到柯西不等
式 ， 则 有
， 代入可得 ： 解得 ： ，
验证等号成立条件： 在 时均有解。
答案：
????222221 121 1n nnaaaa??????????????? ? ?????个??2212n n??? ? 212aaa??? ?12 nn???? 22121nnaaa??? ?,bc221bc?2bc?a?a?????
2222axyczcxyz?? ,12xbz??19bb??23ac??3,abcd223,65bcdabcd????a,bcd
2223,65bcdabcda??????????2211212nnnaa????????? ? ???223635bcdbcd???2253a????1,2a?61123?,a???,a?
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例 7：已知 均为正数，求证： ，并确定 为何
值时，等号成立
思路 ： 观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系 ， 右侧为常数 ， 所以可想到基本不等式中
互 为 倒 数 时 ， ， 右 侧 为 一 个 常 数 。
，从而将左侧的项均转化为与 相关的项，然后再利用基本不等式即
可得到最小值 ，即不等式得证
解：由均值不等式可得：
等号成立条件：
例 8：已知
（ 1）若 ，求 的最小值
（ 2）求证：
（ 1） 思路 ： 从所求出发可发现其分母若作和，则可与 找到联系，从而想到柯西不等
式的变式： ，从而
解：
由柯西不等式可得：
,abc 222163abcabc?????????,abc,2ab?? 3222abcabc??3119abc??abc63222abcabc??
311abc????32119???????2322 232abcabc??????32321963abc???abc?0,?2?14???
21abab?2ab????222121 nnbb???? ? ??21143ba???24aa???221141baba????2ab???3a??
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（ 2） 所证不等式等价于 ： ，观察左右的项可发现对左边任意
两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成证
明
证明：由均值不等式可得：
三式相加：
即
小炼有话说：对于求倒数和（即 为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供
使 用 ： 和
，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第
一个式子的变形为“分母作和 ”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和 ”，在解题时
要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。
例 9：设 ，求证：
思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变
形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证
不 等 式 等 价 于 ， 化 简 后 可 得 ：
① ，所证不等式为轮
换对称式，则不妨给 定序，即 ，则 ，由①的特点想到排
序不等式，则 为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必
然较小，所以有 ，两式相加即可完成证明。
证明：
将所证不等式两边同取对数可得：
222abab???22ab?????222ab???????????22abab
2 21ab?????12,n? ??222121 nnaaabbb????? ???21212 nnaabb????? ?,abcR
????3abcabc?????3lnl3lnlnlabcabcbc????2ln2abc a??, 0?ll?llnabc?llnlnlabca?????,abcR
????
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所证不等式为轮换对称式
不妨设
可得：
即证明不等式
小炼有话说 ： 使用排序不等式的关键在于首先要有一个 “顺序 ”， 本题已知条件虽然没有
的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即
，从而能够使用排序不等式。
例 10：设正数 满足
（ 1）求 的最大值
（ 2）证明：
（ 1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由 得
， 则 ， 下面考虑将 进行
转 化 ， 向 靠 拢 ， 利 用 基 本 不 等 式 进 行 放 缩 ， 可 得 ：
，再求关于 的表达式的最大
值即可。
解：
?????3lnlnlnl3abcabc abcbcbc? ??????l3llllna3lnlnnlnlnabcabacbcabc?????22llll???0abc??lnlnlnlllabcaabc????? ①②① ② 2l2lllnlnlnbcabca?????
3abcabc?? ,bc0abc??,xyz21xyz??3?1256xyzx??21xyz????2xyz?????1333zxyzxyzxy???????
24?????22133344zzzxyzxy????????z21xyz??
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的最大值为 ，此时
（ 2） 思路 ： 由 （ 1） 可知 的最大值为 ， 且所证不等式的左边分母含有
项，所以考虑向 的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：
，可得：
，进而结合第（ 1）问的结果再进行放缩即可证
明不等式
解：由柯西不等式可得：
由（ 1）知
等号成立条件：
三、历年好题精选
1、设
（ 1）求证：
??21xyz????????13332zxyx??????22146yzx????????2 21513365zz z??????????????xyz5 1521xyzxyz???????3xyz? ,xyz??
21212 nnaaabbb????? ?353xyzxyzx??23131 253xyzxyzxyzx?????5?312251=36xyzxyzx?????5y???1,fxxR???
2?
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（ 2）若不等式 对任意非零实数 恒成立，求 的取值范围
2、 （ 2014 吉林九校联考二模， 24）已知关于 的不等式
（ 1）当 时，求此不等式的解集；
（ 2）若此不等式的解集为 ，求实数 的取值范围．
3、 （ 2015，福建）已知 ，函数 的最小值为 4
（ 1）求 的值
（ 2）求 的最小值
4、 （ 2015， 新课标 II）设 均为正数，且 ，证明：
（ 1）若 ，则
（ 2） 是 的充要条件
5、 （ 2015，陕西）已知关于 的不等式 的解集为
（ 1）求实数 的值
（ 2）求 的最大值
6、已知定义在 上的函数 的最小值为
（ 1）求 的值
（ 2）若 是正实数，且满足 ，求证：
7、 （ 2014，江西）对任意的 ， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8、 （ 2014，浙江 ） （ 1）解不等式：
（ 2）设正数 满足 ，求证： ，并给出等号成
立条件
9、 （ 2016，苏州高三调研）设函数
（ 1）证明：
（ 2）若 ，求实数 的取值范围
??21bfx???bxx??110aa????a?Ra0,abc???fxaxbc???abc?229,abcdabcd??abcd????c??xab???|24x?,abtt?
R??12fxx???aa,pqrpqra223pqr??,xyR?11xy?12 43??,abcabc??496abc?????10fxxa????2fx?35?a
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习题答案：
1、 解析：（ 1）
（ 2）恒成立不等式为：
设
当 时，
当 时， 不成立
当 时，
2、 解析：（ 1） 时，不等式为
或 ，解得
（ 2）问题转化为 ，不等式 恒成立
????112fxxx???????21bb??max112xb?????????????????3,1212,,0,13,,2gbbb????????????????
max3gb?1x?1?22???,x??3x???2?3,,2x??????????????????a?11??x???2??3,,2x??????????????xR??1axa???
min1axa??
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设
或
3、 解析：（ 1）
（ 2）
，等号成立条件：
4、 解析：（ 1）
从而不等式得证
（ 2）若 ，则
即
，由（ 1）可得
若 ，则
即
综上所述： 是 的充要条件
5、 解析：（ 1）
不等式解得：
????11fxaxaax???????2???0?????fxxbcxbca????4abc?? ??2222213231169acc????? ??????????221168=947abc??? 87132427abca???????????????
2abcdbcd????2abaa?cd????22bcd????244ab??c??d??abcd??abc???
222cdcab?????????22244d??????abcd?cd??abcxabx????
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（ 2）由（ 1）可得：
由柯西不等式可得：
6、 解析：（ 1）
（ 2）由柯西不等式可得：
7、 答案： C
解析：
8、 解析：（ 1）当 时， 解得
当 时， 解得
当 时。 解得
综上所述：解集为
（ 2）由 可得：
由柯西不等式可得：
等号成立条件：
9、解析：（ 1）
（ 2） 即
34aba???????????1234tbttt?????????????2222343416t tt?????????????????1223fxxx??????3a??????????
2 222 2213pqrpqrpqrpqr???????3??2?????113xyxy????????2x3?8x????0?0???x?13??2x1???,08,??abc?bca?????
21111494936abc bcacabca? ????????????? ?????? ?2,3??? ??1112fxfxxaxa??????????35f??35??
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时，不等式转化为：
解得：
当 时，
解得：
综上所述：不等式的解集为：
3a???213510faa????????521??03a???26510faa?????152??1521,???????
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