为什么可以用反证法证明命题？

反证法是一种常用的数学证明方法，同学们学习了反证法后会发现很多难以直接证明的命题通过反证法便可以很方便地证明.但是你有没有想过为什么可以用反证法证明命题？其逻辑基础是什么？今天就和大家来聊一聊反证法.

我国南朝文言志人小说集《世说新语》中曾记载了这样一个故事：

“

王戎七岁，尝与诸小儿游，见道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之.唯戎不动.人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必为苦李.”取之信然.

'王戎不取道旁李'的故事就蕴含了“反证法”的思想.在小王戎的脑海中一定经过了如下思考和推理：

而这一结论与“树在道旁而多子”矛盾，因此假设不成立，即得到了“树在道旁而多子，此必为苦李”的结论.

反证法的基本步骤就是通过假设命题

的结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即证明了原命题的正确性.

很多难以直接证明的命题通过反证法可以得到解决，比如：

• 证明素数有无穷多个.

• 证明是无理数.

• 证明圆内两条非直径的弦不能互相平分.

现在来回答这个问题：反证法的逻辑基础是什么？

事实上，以普通集合论为基础的经典数学服从真假二值判断，因此其遵从形式逻辑的基本规律：矛盾律（Principle of Contradiction）和排中律（Law of Excluded Middle）.

矛盾律指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是真的，至少有一个是假的.

如果违背了矛盾律，就会犯“肯定，又肯定非（即否定）”这样“自相矛盾”的逻辑错误.

举个例子，如果我们说“小明是男生”，然后又说“小明不是男生”，前后两者是自相矛盾的判断，这就违背了矛盾律.

而排中律的表述与矛盾律正好相反，它指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是假的，至少有一个是真的.

该如何理解排中律呢？如果违背了排中律，就会犯“否定，也否定非A”这样“两不可”的逻辑错误.

举个例子，“我不认为小明学习努力，我也不认为小明学习不努力”，那么这个观点就违背了排中律，因为它对两个互相矛盾的判断都进行了否定.

矛盾律和排中律一起成为了反证法的逻辑基础.两者缺一不可.

具体而言，在运用反证法证明命题“若，则”（在数理逻辑学中我们记为，并称其为与的蕴含式）的过程中，遵循以下步骤：

1. 否定待证明的命题：，得到（是“非”，是“合取”，意思是“且”），具体操作表现为肯定条件且否定结论.

2. 在此条件下，通过正确的推理，导出矛盾.

3. 在一个理论体系中，若前提真，则经过正确的推理得到的结论必真.现推出矛盾，根据矛盾律（互相矛盾的判断不能同真，必有一假），前提必假.

4. 与是两个具有矛盾关系的命题，根据排中律（互相矛盾的判断不能同假，必有一真），因此，它们不能同假，现已肯定假，则原命题必真.

由上述讨论可知，若求证命题，运用反证法证明则相当于将其表示为：

这里的是步骤2推出的结果，与已知的某一正确事实矛盾，这里的可以是下列几种情况之一：

• 待证明命题中的初始条件

• 某数学公理、定义、定理

• 临时加入的假设

无论是上述情况的哪一种，根据矛盾律只需最后导出矛盾即可.

比如说，在证明“是无理数”这一命题时，最后是与“，是互素的正整数”中的“互素”矛盾的，这就属于“临时加入的假设”.

关于反证法，法国数学家阿达玛曾对其内涵进行了非常精准的概括：

“

反证法表明了：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.

可以将阿达玛的话详述如下：

“

若肯定定理的假设而否定其结论——即作出相反判断——并运用此判断，在正确的逻辑推理下，导出矛盾，（据矛盾律）可知该相反判断为假，（再据排中律）可知原命题为真.

实际上，可以将反证法的过程简要概括为：

即从否定结论开始，经过正确的推理，从而达到新的否定（逻辑矛盾）.这即是反证法的本质思想.

你现在更加了解反证法了吗？

参考文献[1]贺贤效.漫谈反证法[J].数学通报,1980(11):12-15.[2]杨泰良.也谈反证法的实质及其它－兼评“反证法的实质是什么？”[J].数学通报,1996(07):21-22.

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