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2024届广西名校开学考试试题 数 学（考试时间： 150 分钟 满分： 150 分）注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ? ?0A x x? ? ， ? ?1, 0 ,1, 2 , 3B ? ? ，则 A B ?? （ ）A． ? ?0 ,1 B． ? ?1, 2 C． ? ?0 ,1, 2 D． ? ?1, 2 , 32．若复数 z 满足 2(1 2i)z ? ? ，则在复平面内复数 z 所对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数 13 1xy a? ?? 是奇函数，则 a ?（ ）A． 12 B． 32 C． 12? D． 24．已知数列 ? ?na 是公比为正数的等比数列， nS 是其前 n 项和， 2 2a ? ， 4 8a ? ，则 4S ?（ ）A． 15 B． 31 C． 63 D． 75．圆 ? ? ? ?2 2: 2 1 1M x y? ? ? ? ，圆 ? ? ? ?2 2: 2 1 1N x y? ? ? ? ，则两圆的一条公切线方程为（ ）A． 2 0x y? ? B． 4 3 0x y? ?
C． 2 5 0x y? ? ? D． 2 5 0x y? ? ?6．某中学体育节中，羽毛球单打 12 强中有 3 个种子选手，将这 12 人任意分成 3 个组（每组 4 个人），则 3 个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（ ）A． 210 B． 105 C． 315 D． 6307．圆锥 SO 的底面圆半径 1OA? ，侧面的平面展开图的面积为 3π ，则此圆锥的体积为（ ）A． 2 2 π3 B． 2 3 π3 C． 4 2 π3 D． 8 3 π38．设 253 e4a ? ， 25b ? ， 342 e5c ? ，则（ ）A． b a c? ? B． b c a? ?C． c b a? ? D． c a b? ?
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9．下列命题中，正确的命题是（ ）A．数据 4 ， 5， 6 ， 7， 8的第 80百分位数为 7B．若经验回归方程为 ? 1.2 0.5y x? ? 时，则变量 x与 y 负相关C．对于随机事件 A， B ，若 ? ?( | )P A B P A? ，则 A与 B 相互独立D．某学习小组调查 5名男生和 5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为 9 ，方差为 13；女生成绩的平均数为 7 ，方差为 10，则该 10 人成绩的方差为 10.5
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10．已知抛物线 C ： 2 4y x? 的焦点为 F，过 F 的直线与 C 交于 A、 B 两点，且 A 在 x 轴上方，过 A、 B 分别作 C的准线 l 的垂线，垂足分别为 A?、 B?，则（ ）A．若 A 的纵坐标为 3，则 5AF ?B． OA? OBC．准线方程为 1x ??D．以 A B? ?为直径的圆与直线 AB 相切于 F11．已知四面体 ABCD 的四个面均为直角三角形，其中 AB ?平面 ,BCD BC CD? ，且 1AB? ．若该四面体的体积为 32 ，则（ ）A． CD ?平面 ABCB．平面 BCD ?平面 ACDC． AD的最小值为 3
D．四面体 ABCD 外接球的表面积的最小值为 9π12．函数 ? ? 21 ln2f x x ax a x? ? ? 的两个极值点分别是 1 2,x x ，则下列结论正确的是（ ）A． 4a ? B． 2 21 2 8x x ??C． 1 2 1 2x x x x? ? D． ? ? ? ? ? ?2 21 2 1 21 64f x f x x x? ? ? ?三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 5(1 2 )(1 3 )x x? ? 的展开式中 3x 的系数为 .14．已知 (3, 4) ,| | 3a b? ?? ? ，则 ( ) ( )a b a b? ? ? ?? ? ? ? .15．函数 ? ? 1 3sin cos2 2f x x x? ?? ? 在 ? ?0,πx? 上恰有 2 个零点，则 ? 的取值范围是 .
16．已知椭圆 C ： 222 2 1( 0)yx a ba b? ? ? ? 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在 C 上，若 1 1| | 2PF a????? ， 1 2| | 3PF PF b? ????? ????? ，则 C 的离心率为 .四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题 10 分）已知数列 ? ?na 满足： 1 12a ?? ， 2 32a ? ，数列 ? ?1n na a? ? 是以 4 为公差的等差数列．（ 1）求数列 ? ?na 的通项公式；（ 2）记数列 1{ }na 的前 n 项和为 nS ，求 100S 的值．
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18．（本题 12 分）在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 5cos2 14cos 7B B- = ．（ 1）求 sinB 的值；（ 2）若 5a ? ， 3c ? ， D 是线段 AC 上的一点，求 BD 的最小值．19．（本题 12 分）四边形 ABCD 为菱形， ED ?平面 ABCD， //FB ED， 2AD BD ED? ? ? ， 1BF ? ．
（ 1）设 BC 中点为 G，证明： DG ?平面 ADE ；（ 2）求平面 AFE 与平面 BFC 的夹角的大小．20．（本题 12 分）某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取 100 名学生进
行调查，其中有体育锻炼习惯的有 45 人．经调查，得到这 100 名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在 600 分以上的为优秀，其余为合格．（ 1）请完成下列 2? 2 列联表．根据小概率值 0.01? ? 的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．（ 2）现采取分层抽样的方法，从这 100 人中抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 5 人进行进一步调查，记抽
到 5 人中优秀的人数为 X ，求 X 的分布列．附： ? ?? ?? ?? ?? ?22 n ad bca b c d a c b d? ?? ? ? ? ? ，其中 .n a b c d? ? ? ?经常锻炼 不经常锻炼 合计合格 25优秀 10合计 100 ? ?2P k? ≥ 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
A B CDE F G第 19 题
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21. （本题 12 分）已知双曲线 22 2: 1( 0)2 yxC bb? ? ? 一个焦点 F 到渐近线的距离为 2 ．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过点 (2 , 0) 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A， B 两点，在 x轴上是否存在点 N ，使得 NA NB????? ???? 为定值？如果存在，求出点 N 的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
22. （本题 12 分）已知函数 ( ) sin 2 ( )f x x ax a? ? ? ?R ．（ 1）当 32a ? 时，讨论 ( )f x 在区间 π[0, ]2 上的单调性；（ 2）若当 x≥ 0 时， xxf x cose ??）（ ≥ 0，求 a 的取值范围．
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