从勾股定理到四边形中若干经典问题

三点声明：

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2.考虑重在思路，可读性强，行文简洁等因素，文中选择“就图论证”。这样做，有“以偏概全”之嫌，不够严谨规范。要做到严谨规范，虽然可以分类完善，但过程将“支离破碎”，繁琐冗长，让人失去阅读兴趣。好在结论具有一致性。在解决具体问题时，往往只有一种情况，不会发生缺乏严谨的情况。

3.难免挂一漏万，欢迎批评指正。研究需要交流，促进彼此进步。

正文内容：

一、勾股差定理

“勾股定理”大名鼎鼎，内容如下：

这也告诉我们在一个三角形中，如何由三边长判断一个内角是否直角．

自然联想：三角形中，如何由三边长判断一个角是钝角或锐角呢？

如图，△ABC中，去除条件∠C=90°，固定a与b，将边CA与边CB绕点C作转动，使∠C在90°的基础上变大或变小，不难感受到：

记忆规律：角大，对边也大；角小，对边也小．

如果将a^2+b^2-c^2称为“∠C的勾股差”，那么在前面的基础上，我们产生好奇心，对于任意三角形，a^2+b^2-c^2的几何意义是什么呢？

这就涉及到要讲的“勾股差定理”了．先给出结论，再提供证明．

文字语言：一个角的“勾股差”等于夹这个角的一条边与这条边在另一条夹边上投影长乘积的2倍．注：这里的“投影”是“数量”，有正负之分．

如图，作BH⊥AC于点H，当∠C<90°时，

注：严格意义上，这里需要分类阐述．

当点H在CA边上时，CH＋AH=b，CH－AH=2CH－b；

当点H在线段CA的延长线上时，CH＋AH=2CH－b，CH－AH=b

无论哪一种情况，a^2-c^2=b(2CH-b)始终正确．

感叹：由于初中没有“有向线段”与“数量”概念，因此许多证明只能“支离破碎”，或者“以偏概全”．

因此a^2+b^2-c^2=2b·CH．

当∠C>90°时，类似地可以得到，a^2+b^2-c^2=-2b·CH．

与∠C<90°相比，这里出现“－”，是因为a^2+b^2-c^2<0．

再次感叹：在“有向线段”与“数量”下，这两个结论可以统一成a^2+b^2-c^2=2b·CH．对于CH，与CA同向时，取“＋”；与CA异向时，取“－”．

用高中的“余弦定理”理解，“勾股差定理”成立是显然的，这是由于

二、定差幂线定理

在数学竞赛的几何证明中，经常要用到以下定理证明两条直线互相垂直．

定差幂线定理：如图，P，Q是直线l上两个点，对于线段AB来说，

证明：若l⊥AB，证明过程略．

下面证明PA^2-PB^2=QA^2-QB^2→PQ⊥AB．用“同一法”．

作PH1⊥AB于点H1，由“勾股差定理”定理得，

注：这里的AH1与AB的大小是“数量”．

同理，作QH2⊥AB于点H2，由“勾股差定理”定理得，

类似地，这里的AH2与AB的大小为数量．

从而结论得证．

三、对角线互相垂直的四边形

相对来说，知道这个结论的人要广泛一些．由前向后证明，非常容易．由后向前证明，比较困难．

很少有人注意到，这个结论可以理解成是“定差幂定理”的一个推论．事实上

因此证明过程略了．

四、四边形中的余弦定理

先给出结论，再提供证明．

四边形余弦定理：如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，∠AOD=∠BOC=α，则

这个结论与三角形中的余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc·cosA高度相似．这是由于：

图中的α角的朝向而言，

AD^2+BC^2：对边平方和；AB^2+CD^2：两侧平方和．

如此理解，与“三角形中的余弦定理”超级相似！

文字语言：夹边平方和－两侧平方和＝两条对角线与方向角余弦积的2倍．

证明：由三角形中的余弦定理得

从而得证．

类比三角形中“余弦定理”与“勾股定理”之间的关系，有人将本文中“对角线互相垂直的四边形的性质”称为“四边形的勾股定理”．

五、一般四边形的面积公式

若四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，四个角分别为A，B，C，D，则面积为

这个公式于1842年由布莱特施耐德（Bretschneider）得到．

证明：由三角形余弦定理得

将前面两个等式分别平方再相加得

在这个公式的证明过程中，用到了高中的三角公式．

当四边形ABCD退化至其中一条边为0，比如d=0时，这个公式即退化为三角形的“海伦公式”

当四边形ABCD特殊至圆内接四边形时，则A＋C=180°，此时公式变为“婆罗摩笈多公式”

关于“婆罗摩笈多”，在几何中还有一个“婆罗摩笈多定理”，有兴趣的读者，可以上网查一下．

更有趣的是，如果一个四边形既内接于圆，又外切于圆，则将这样的四边形称为“双圆四边形”．双圆四边形的面积公式将更加简洁：

有兴趣的老师尝试证明一下．

六、四边形面积最大值

三角形具有稳定性，当一个三角形三边长已知时，这个三角形的大小确定，因此存在“海伦公式”．但对于四边形而言，由于不具有稳定性，因此即使已知四边形的四条边长，这个四边形形状仍然可以变化，因此其面积存在最大值的说法，那么如何求其最大值呢？

一方面，可以由前面“一般四边形的面积公式”

立即可以得到，当A＋C=180°，即四边形ABCD内接于圆时，四边形ABCD面积取得最大值为

另一方面，这个证明虽然简洁，但这是“站在巨人的肩膀上”，由“叠加”与“递进”产生的效应．如果“从无到有”地证明，过程势必非常繁琐冗长．那么有无适当较为简洁的证法呢？有．

一方面，在四边形中，有余弦定理：

2AC·BD·cosα=(a^2+c^2)-(b^2+d^2)

另一方面，由四边形面积公式得：2AC·BD·sinα=4S

注：这个过程与用高中方法推导“海伦公式”非常类同．

由“托勒密不等式”AC·BD≤ac+bd（当且仅当A，B，C，D共圆时取得号）得

因此，当且仅当A，B，C，D共圆时，四边形ABCD面积取得最大值．此时最大值为

初等数学研究博大精深，真切希望我们数学教师热爱研究，广泛涉猎，努力提高自己的专业水平．只有站到一定专业高度，你才会看到数学大花园中的美丽风景，从此让我们热爱数学，在数学教学指导中才能更加游刃有余，并且因为你的热爱，学生从中受到感染与激发，从此他们也会爱上数学．这是我们需要追求的教学境界．

常见问题：

1.关于“数学行者”与“于特专场”回放视频，至明年2月份一直可以观看，遗憾是收费的。有人希望免费，可惜我没有这样的权限。再说，果真免费，也对不起前面付费的人。

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