9.2.1 洛伦兹变换
9.2.2 同时的相对性
9.2.3 钟慢尺缩
9.2.4 洛伦兹速度变换
9.2.5 头灯效应
9.2.6 多普勒频移
9.2.7 练习
9.2.1 洛伦兹变换
我们所研究的是狭义相对论，其中涉及的参考系都是惯性参考系。
我们将一件事发生的时间和地点称为一个事件，不同参考系中，事件的表示形式不同。
在上图中，系为静止参考系，系沿着轴方向以相对速度匀速运动。对于同一个事件，在两个参考系中的形式满足洛伦兹变换
如果令，，则可以改写为
由相对性原理，将改为，得其逆变换，
洛伦兹变换可以由从光速不变原理和相对性原理推导而出，并且认为时空是均匀的，即所有变换均为线性方法。
在中，系的原点；在系中，该点满足，满足
而对空间任一点，设
同理可得
由相对性原理，。
一束光在两坐标系原点重合时沿轴前进，任一时刻光信号坐标
故有
解得
故有
消去得
还有很多其他方法，读者可以另行查阅。
9.2.2 同时的相对性
由洛伦兹变换可知，不同参考系中的时间和空间互不独立。在不同地点同时发生的事，换一个参考系，就不同时发生了。
例1.在惯性系中，有两个事件同时发生在轴上相距1000m的两点，而在另一惯性系（沿轴方向相对于系运动）中测得这两个系事件发生的地点相距2000m。求在系中测得这两个事件的时间间隔 .
解：由洛伦兹变换关系，有
其中，，.故有
解得
其中负号表示，坐标大的事件先发生。
因果律
在比较两地事件、发生顺序时，有
如果先发生，且二者有因果关系，则有
故
可见二者的发生次序不会颠倒。同理，如果2个事件无因果关系，次序则有可能颠倒。
9.2.3 钟慢尺缩
我们在前面得到了2个关系式
其中，当时，有
即，在系中看，系中同一地点2个事件的时间间隔会变长，也称为钟慢现象。
另外，当时，有
对应
即，在系中同时发生2个事件的位置间隔，比系中的位置间隔要短，也称为尺缩现象。尺缩效应只发生在方向。上面两个结论都可以直接使用。
例2.带正电的介子是一种不稳定的粒子，当它静止时，平均寿命为，然后衰变为介子和一个中微子。今有一束介子，在实验室中测得它从产生到衰变通过的平均距离为52m，求其速率。
解：对应系数
（1）利用钟慢效应：在实验室参考系中，其寿命延长了
故有
（2）利用尺缩效应：在介子参考系中，其通过距离变短
故有
解得
不同参考系中看到的物体，倾斜角度并不一样，利用尺缩效应可以很方便的把该角度求出来。
例3.惯性系，间相对运动关系如图所示，图中一个每边长为的正方形框架静止在系中，系测得边与轴夹角为.试求S系测得的四边形各边长、角；
解：设、在系中坐标分别为
则在系中，有
故有
且
在一些复杂问题中，适当的使用钟慢尺缩结论，可以大大简化解题过程。
例4.宇航员乘宇宙飞船以的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球。以地球为系，去时的飞船为系，返时的飞船为系。在地球和天体上各有一个钟，彼此是对准了的，起飞时地球上的钟和飞船上的钟的指示.
（1）求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数.
（2）假定飞船是2000年元旦起飞的，此后每年元旦宇航员和地面上的孪生兄弟互拍贺年电报，求以各自的钟为准他们收到每封电报的时刻.
解：（1）令地球为，天体为，飞船为。本题中
①起飞前瞬间，。
②起飞后瞬间，，天体上的时间则需要用到洛伦兹变换，而在系中，，故有
解得
③到达瞬间：在系中，距离
到达时间
此时走过的时间
由于与走过时间相同，有
④转向瞬间：
对，同的方法，有
解得
⑤返回瞬间：由对称性
⑥返回后停止，有
（2）先看飞船，令，系看到系发出2份电报的时间间隔
在这段时间地球在远离飞船，光信号传到飞船，还需要多花时间
故收到电报的时间间隔
同理，飞船返回时，收电报间隔
对地面，由对称性，飞船往返时收电报间隔
综上，飞船接收时间与地面发报时间满足
地面接收时间与f飞船发报时间满足
9.2.4 洛伦兹速度变换
由洛伦兹变换，有
故有
同理可得
例5.在地面上测得飞船、分别以的速度沿相反方向飞行，求飞船相对于飞船的飞行速度。
解：地面为系，飞船为系，速度为，飞船的速度.
代入速度变换，有
此即相对的速度。
9.2.5 头灯效应
由相对论速度变换，可以发现，在不同参考系中，不沿方向运动的光线，其运动方向会发生变化。有
特殊的，当，比如例6：
例6.一航天飞机沿方向飞行，接收到一颗恒星发出的光信号.在恒星静止的参照系中，飞机的飞行速度为，恒星发出光信号的方向与飞机的轴成角，如图所示.请问，在飞机静止的参照系中，此角多大？
解：该束光线在飞机看来
故有
习惯上写成余弦函数
由上式结果可知
故有
即在飞机上能看到更大范围的光，由光的可逆性，如果飞机静止的时候发出了顶角为的光束，那么在恒星系中看来，该角度变小，对应光强增大。该现象也称为头灯效应。
反过来，也有
9.2.6 多普勒频移
由于光的传播不需要介质，经典多普勒频移公式并不适用。我们需要重新推导，比如光源速度沿轴运动，以在发出光，观察者在时收到。
由
两边微分，有
消去，有
由于
故有
或者写成
此即光的多普勒频移公式。观测到光的频率不同时，其能量也不同。
当时，有
当，有
例7.如图所示，光源向全反射体发射一束平行光，发光功率为，设以匀速率沿其法线方向朝运动。试求接收到的反射光功率。
解：设光子频率为，单位时间发出光子数为，有
则在中的入射反射光频率
接收到的光频率
由时间膨胀，系中看到光源单位时间发射光子
由于运动，导致单位时间到达的光子
单位时间内反射到的光子
故接受到的光功率
9.2.7 练习
练1.一艘宇宙飞船以的速度于中午飞经地球，此时飞船上和地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点.
（1）按飞船上时钟于午后12点30分飞经一星际宇航站，该站相对地球固定，其时钟指示的是地球时间.试问：按宇航站的时钟飞船经过多久到达该站？
（2）试问：按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？
（3）于飞船时间午后12点30分从飞船向地球发送无线电信号，试问：地球上的观察者何时（按地球时间）接到信号，求出此刻距离12点的时间？
（4）若地球上的观察者在接收到信号后立即发出回答信号，试问：飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号，求出此刻距离12点的时间？
答案：（1）（2）（3）（4）
练2.如图所示，平面反射镜固定在系的平面内，其法线方向与轴一致，反射镜相对系以速度沿法线做平移运动。在中观察到入射角为的一束光，试求其在系中的反射角满足的关系式.
答案：
练3.当一光源以速度向地球靠近时，在相对地球静止的系中的人，看到光源发出的是波长的绿光，而相对地球以速度（与沿同一方向）运动的系中的人，看到光源发出的却是波长的红光。当该光源以相同速率远离地球时，看到的是波长为的红光.试求：
（1）速度的值；
（2）当光源以速率远离地球时，看到光的波长.
答案：（1）（2）720.1nm
