2024届高考数学复习专题 ★★数学新情境训练题一、单项选择题1.“总把新桃换旧符” （王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族
的传统节日， 在宋代人们用写 “桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某
商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额0 元， 则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若名顾客都领取一件
礼品，则他们中有且仅人领取的礼品种类相同的概率是（ ）59497 169 162.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142
857，因为142857 2 285714 ，142857 3 428571 ，所以这组数字又叫走马灯数． 该组数字还有如下
规律： 142 857 999 ，571 428 999 ， 若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出3 个数
字构成一个三位数x ，则999 x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( )4535253 103. 如图，
摩天轮的半径为 40 米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为 45 米， 摩天轮匀速逆时针旋转，每 6分钟转一圈，摩天轮上点 P
的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）A．经过 3 分钟， 点 P 首次到达最低点B．第 4 分钟和第 8 分钟点
P 距离地面一样高C．从第 7 分钟至第 10 分钟摩天轮上的点 P 距离地面的高度一直在降低D．摩天轮在旋转一周的过程中点 P
有 2 分钟距离地面不低于 65 米4. 蹴鞠， 又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实
米糠的 球. 因而蹴鞠就是指古人以脚蹴， 蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006 年 5 月 20 日， 蹴鞠已作为非物 质文
化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一 种以数字模型文件为基础，运用粉末状
金属或塑料等可粘合材料， 通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的 技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造
模型，现正用于一些产品的直接 制造， 特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等） . 已知某鞠的表面上有四个点 A
、 B 、 C 、D，满足任意两点间的直线距离为2 6cm，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成
的几何体后剩余的部分， 打印所用原料密度为1g/cm3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（参考数据：取 3.
14 ， 1.41 ， 3 1.73，精确到 0.1）A ．113.0g B ．267.9gC ．99.2gD ．13.8g
5.四边形ABCD 满足∠ = ∠ = 90°，沿AC 将△ 翻折成△ ′，设直线′与直线BC 所成的角为1， 直线′与平面′所成
的角为2 ，直线′与平面′所成的角为3 ，则( )．A. 2 ≤ 1 ≤ 3 B. 2 ≤ 3 ≤ 1 C. 1 ≤
2 ≤ 3 D. 3 ≤ 2 ≤ 16.在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子.现有一边长为 5 米的正方形遮
阳布，要用它搭建一个简 易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行.设正南方向射出的太阳光线与地面成 60° 角，若
要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为（ ）.A.30° B.45° C.60° D.75°CD7.
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同， 则积不容异.”意思是： 两个等高 的几何体若在所有等高处的水
平截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等. 已知曲线: = 2 ，直线为 曲线在点(1,1)处的切线.如图所示， 阴影部分为
曲线、直线以及轴所围成的平面图形， 记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为 .给出以下四个几何体：①②③④图①是底面直径和高均为1
的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将
上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几 何体.根据祖暅原理， 以上四个几何体中
与的体积相等的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8.数学家黎曼曾用黎曼球面来扩充复平面，如图，复平面上有一半径为 2 的黎曼
球面，球与复平面切于点 O ， 球的最高点为 P，在复平面上任取一点 M，连接 PM ，PM 交该球面于一点 Q.这样就建立起了球
面上的点与 复平面上的点之间的一一对应。若 M 是一个动点， 且线段|PM|=8，连接 OQ，当 M 在运动时， 线段 OQ 围成
的曲面 V，以及 Q 点轨迹上方的曲面 W 所构成的几何体的内切球体积为( )16 364 932 327A．．B．．256819
. 将一条均匀柔软的链条两端固定， 在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线， 例如悬索桥等.建立适当的 直角坐标系，可以写出悬链线
的函数解析式为f x acosh ，其中a 为悬链线系数，cosh x称为双曲余 弦函数，其函数表达式为coshx ，相应地
双曲正弦函数的函数表达式为sinhx .若直线x m 与双曲余弦函数C1 和双曲正弦函数C2 分别相交于点A ，B ，曲线C
1 在点A处的切线与曲线C2 在点B 处的切线相交于点P ，则（ ）A ．y sinh xcosh x 是偶函B ．cosh x
y cosh xcosh y sinh xsinh yC ． BP 随m 的增大而减小D ． △PAB的面积随m 的增大而
减小10．英国数学家泰勒(B. Taylor，1685- 1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世? 由泰勒公式，我们能得到1
1 1 1 e e 1 (其中e 为自然对数的底数，1! 2! 3! n! (n1)!0 1,
n! n n 1 n 2 ...21)，其拉格朗日余项是Rn . 可以看出，右边的项用得越 多，计算得到的 e 的近似
值也就越精确?若 近似地表示 e 的泰勒公式的拉格朗日余项Rn , Rn 不超过时，正整数 n 的最小值是（ ）A ． 5 B
． 6 C ． 7
D ． 8A．B．．．CD11．双曲线的光学性质为①：如图， 从双曲线右焦点F2 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向
延 长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，
如图②，其方程为 2 2 1, F1 , F2 为其左?右焦点，若从右焦点F2 发出的光x2 y2a b线经双曲线上的点A
和点B 反射后，满足BAD 90, tanABC ，则该双曲线的离心率为（ ） 5251021012．九连环是我国从古至
今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎 《丹铅总录》记载： “两环互相贯为一，得其关捩， 解之为二
， 又合面为一“．在某种玩法中， 用 an 表示解2a 1, n为偶数下 n（n≤9 ，n∈N）个圆环所需的移动最少次数，
若 a1＝1．且 an n为奇数 ，则解下 5 个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7 B ．13
C ．16 D ．22B．．．CD13．写算，
是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算， 它由明代数学家吴敬在其撰写 的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元
式的乘法演变而来．例如计算8965，将被乘数 89 计入 上行， 乘数 65 计入右行．然后以乘数 65 的每位数字乘被乘数 89
的每位数字，将结果计入相应的格子中， 最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图， 即得 5785．类比此法画出 64
8345的表格， 若从表内（表周边数据不算在内）任取一数， 则恰取到奇数的概率是（ ）A ． 二、填空题1313182314．费马
点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于 120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角
，即该点所对的三角形三边的张角相等均为 120°，根据以上 性质， 已知A( 1,0), B(1,0),C(0, 2) ，P 为△
ABC 内一点，记f (P) | PA| | PB| | PC |，则 f (P) 的最 小值为_________，此时s
in PBC _________.15．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于 1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉
及到很多领 域的应用， 有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为： “各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则 1 1 1n 1
1s 2s 3s潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数(s) n s ，我们经常从无穷级数的部分和
入手. 已知正项数列 an 的前n 项和为Sn ，且满足Sn an ，则 1 1 1 （其中
x 表示不超过xS1 S2 S 100 ______ 的最大整数）.三、解答题1. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工
作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会 议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例
核酸检测呈阳性的 概率为p 0 p 1 .现有4 例疑似病例，分别对其取样?检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合 在一起
化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再 逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各
个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一： 4 个样本逐个化验；方案二：4 个样本混合在一起化验；方案三： 4 个样本
均分为两组， 分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若 p
，按方案一，求 4 例疑似病例中恰有2 例呈阳性的概率；（2）若 p ，现将该4 例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中
哪个最“优”，并说明理由.2. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pa
scal)提请了一 个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全
欧洲 乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下： 设两名赌徒约定谁先赢k k 1, k N 局，谁便赢得全部赌注
a 元. 每局甲赢的概率为p 0 p 1 ，乙赢的概率为1 p ，且每局赌博相互独立.在甲 赢了mm k 局，乙赢了nn
k 局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案 是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况， 甲、乙便按照
赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注 的概率之比P甲 : P乙 分配赌注.（1）规定如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况， 甲
、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲 : P乙 分配赌注.若 a 243 ，k 4 ，m 2 ，n
1 ，p ，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当k 4 ，m 2 ，n 1
时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率f p ，并判断当p 时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定： 若随机事件发生的概
率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.3. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一
项课题.某市号 召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号 召，准备每天从骑自
行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下： 第一天选择骑自行车方式上班， 随后每天用“一次性抛掷
4 枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面 朝上的枚数小于 3 ，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．(1
)求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；(2)由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式— —全概率公式.其特殊情况如下
：如果事件1， 2 相互对立并且( ) > 0( = 1,2)，则对任一事件 B 有() = (|1)(1) + (|2) · (
2) = (1 ) + (2 ).设 ( ∈ ?)表示事件“第 n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①用 ? 1
表示 ( ≥ 2)；②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？ 请说明理由．4. 某网络购物平台每年
11 月 11 日举行“双十一”购物节， 当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱?(1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节
当天成交额如下表：年份20152016201720182019成交额(百亿元)912172127求成交额(百亿元)与时间变量(记
2015 年为 = 1 ，2016 年为 = 2 ，…依次类推)的线性回归方程， 并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的
成交额(百亿元)；(2)在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台． 上分别参加 A 、B 两店
各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 A、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该 同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总
数量为X．()求X 的分布列及()；()已知每个订单由( ≥ 2, ∈ ? )件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总
数量为Y，假设 = ? ， = ，求()取最大值时正整数 k 的值．附：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为： xi x yi y b i 1 xi x 2， a y bx ．5.某商场共有三层楼，在其圆柱形
空间内安装两部等长的扶梯 Ⅰ 、 Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘 Ⅰ到达二楼的点 B 处后，沿着二楼面上的圆弧 BM
逆时针步行至点 C 处，且 C 为弧 BM 的中点， 再乘 Ⅱ到达三楼的点 D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为 O 、
1 、 2 ，半径为 8 米，相邻楼层的间距 = 4米，两部电梯与楼面所成角正弦值为．(1)求此顾客在二楼面上步行的路程；(2)
求异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值大小．参考答案:1. 【答案】 B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取
一件，有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m C
A 36，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是p ．故选：B． n 81 92. 【答案】 Cm
36 41+8=9 【解析】记事件 A 为： 999-x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数·由 2+7=94+
5=9可知情况共有ACC 8 ，个位数可能结果有 1,4,2,8,5,7 共 6 种，所以p 3 .668 2A 5
3. 【答案】 C【解析】设Px, y ，则 y 45 40cos t 40cos3（t 为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，
单位为分钟） .对于 A 选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每 6 分钟转一圈， 所以经过 3 分钟， 点 P 首次到达最低点，A选
项正确.4 8对于 B 选项， 当 t 4时， y 40 cos 45 25 ；当 t 8 时 y 40 cos 4
5 25 .3 3所以第 4 分钟和第 8 分钟点 P 距离地面一样高， B 选项正确.对于 C 选项， 由于摩天轮匀速逆时针
旋转，每 6 分钟转一圈， 所以第 7 分钟至第 10 分钟， 相当于第 1 分钟 至第 4 分钟，根据 A 选项可知， 经过 3
分钟， 点 P 首次到达最低点，所以第 1 分钟至第 3 分钟， 摩天轮高 度降低，第 3 分钟至第 4 分钟， 摩天轮高度上升
.所以 C 选项错误.对于 D 选项，由40cost 45 65 得cost ，其中 0 t 6 ， 5
13 3 2所以0 t 2 ，故0 t 或 t 2 ，即 0 t 1或5 t 6 ，3 3 3 3
3故摩天轮在旋转一周的过程中点 P 有11 2分钟距离地面不低于 65 米. D 选项正确. 故选：C 4. 【答案】 C【
解析】由题意可知，几何体ABCD是棱长为2 6cm的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，2 2
2 a设正四面体的棱长为 a ，则正四面体的高为 a 3 2 a 3，设正四面体外接球半径为R ，则 R2
(R a )2 (2 a)2 ，解得 R 6a ，3 3 2 44 3 1 1 2
3 3所以 3D 打印的体积为： V 3 4 a 3 2 a 2 3 a 8 a 12 a ，又
a3 (2 )3 48 ，所以 V 36 8 113.04 13.84 99.2 ，故选： C5. 【答案】 D
【解析】已知直线′与直线 BC 所成的角为1 ，直线′与平面′所成的角为2， 由于 BC 是平面′内的直线，而直线与平面所成的角小
于或等于它与平面内的所有直线所成的角(最小角定理)，∴ 2 ≤ 1 ，可以排除 C；取如图所示的特殊情况，其中 = =
= ′ = 1，且 ⊥ ，′ ⊥ ， ⊥ ′，满足∠ = ∠′ = 90°．则′ = ′ = = = ′ = √2，∵直线
⊥ ， ⊥ ′ ， ∩ ′ = ，∴ ⊥平面′ ，∠′为直线′与平面′所成的角，由于 = ′ = 1且 ⊥ ′ ，∴ ∠
′ = 45°，即3 = 45° ．在四面体 ? ′中， △ 的面积为△ = × × ′ = × 2 × 1 = 1，△
′的面积为△′ = × × ′ × = × √2 × √2 × = ，设A 到平面′的距离为 d，根据等体积法得到：
?′ = ?′，10 3BC sin(120 )3∴ △′ · = △′ × ，∴ · = 1 × 1 =
1 ，∴ = ，∴直线′与平面′所成角2 的正弦值为sin2 = = > ，又∵此时直线′与平面′所成的角为3 = 45°
，∴此时3 < 2，故排除 A ，B ，C，故选 D．6. 【答案】 AA【解析】如图， 设 AC 表示光线，AB 表示遮阳布
， BC 表示底面遮阳布所在平面与阴影面所成角为 ，则 AB=5 ， ACB 60, ABC 要使所遮阴影面的面积最大,则BC
最大.BC AB在 ABC中， 由正弦定理知， Csin BAC sin ACB B即 BC 5 解得
sin(120 ) sin 60当120 90 即 30 时， BC 最大。7. 【答案】 A【解析】∵几何体是由阴影旋
转得到， 所以横截面为环形，且等高的时候， 抛物线对应的点的横坐标为1 ，切线对应的横坐标为2() = 2, ′ () = 2
，∴ = ′ (1) = 2切线为 ? 1 = 2( ? 1)，即 = 2 ? 1 ，∴ 1 2 = , 2 = 横截
面面积 = 2 2 ? 1 2= [ ? ] = ()2图①中的圆锥高为 1，底面半径为，可以看成由直线 = 2 + 1绕轴旋
转得到横截面的面积为 = 2 = ()2 .所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选 A
项.8. 【答案】 CHP PQ cos60 1, HQ PQ sin60 3【解析】PO=4 ，PM=8，所以 M
的轨迹是以 O 为圆心， OM= 4 3 为半径的一个圆。OPQ 60, 作QH PO, PQ OP cos 60
2 ，则所以 Q 的轨迹为以 H 为圆心，HQ=3 为半径的圆。所求几何体为 OQ 与弧 PQ 旋转 360 度所形成的一个封闭几
何体。作 Q 关于 H 的对称点Q'' ，设内切球球心为 I，半径为 r，作 IJ OQ ，则 IP IJ ，IJ r
4 256因为 sin JOI sin 30 r ，故体积为V ，选 C。OI 4 r 3 819. 【答
案】 D【解析】对于选项 A：定义域为R ，y f x sinh xcosh x ，而 f x f x ，所以
f x 是奇函数， 所以 A 错误；对于选项 B ： cosh xcosh y sinh xsinh y ex e x
ey e y ex e x ey e y 2 2 2 2x y x y x y y x x y x y x y
y x x y y x cosh x y ，所以 B 错误； 对于选项 C 、D：设 Am, ，B m, ，
cosh x , sinh x ，2 2曲线C2 在点B 处的切线方程为：y em e m em e m
x m ，联立求得点P 的坐标为 m1, em ，则 BP 2 1 em em e m 2 1 em
e m 2 ，则曲线C1 在点 A处的切线方程为： y em e m em e m x m ，2 2 2
41 1S△PAB AB e m ，所以 BP 随m 的增大而先减小后增大， △PAB的面积随m 的增大而减小，所以
C 错误， D 正确.故选： D10.【答案】B【解析】依题意得 ，即 n1! 3000 ， 5 1! 654321 72
0 ，2 23 1(n1)! 1000 6 1! 7654321 5040 3000 ，所以 n 的最小值是6 .故选
： B11.【答案】C【解析】易知F1 , A, D 共线， F1 , B, C 共线，如图，设AF1 m ， AF2 n
，则 m n 2a ，由 tan ABC 得， tan ABF1 ，又F1AB F2 AD 90 ，m
3 4所以tan ABF1 AB 4 ， AB 3 m ，则BF2 AB AF2 m n ，4 13
3由 AF1 2 AB 2 BF1 2 得m2 4 m 2 ，因为m 0 ，故解得m 3a ，则n 3a 2
a a ，所以 BF1 2a BF2 2a m n 4a m ，3 3在△AF1F2 中， m2 n2
(2c)2 ，即 9a2 a2 4c2 ，所以e ．故选： C．12.【答案】C【解析】 a1 1， a
2 2a1 1 1 ，a3 2a2 2 4 ，a4 2a3 1 7 ，a5 2a4 2 16 ,所
以解下 5 个环所需的最少移动次数为 16.13.【答案】A【解析】根据题意， 结合范例画出648345的表格，从表格中可以看出，
共有 18 个数，其中奇数有 5 个，所以从表内任取一数， 恰取到奇数的概率为P ．故选： A.14.【答案】2 32 15
510【解析】设O(0,0) 为坐标原点， 由 A( 1,0), B(1,0),C(0, 2) ，知 | AC | | BC |
， 且 ABC为锐角三角形，因此， 费马点 F 在线段OC 上，设F(0, h) ，则 FAB为顶角是 120°的等腰三角形，
故h | OB | tan 30 ，所以f (P) f (F) | FA| | FB| | FC | 4h 2 h
2 ；| FC | | BC | 2 h 在 FBC中， 由正弦定理， 得 ，即 ，sin FBC
sin BFC sin FBC sin120解得sin FBC ，即此时sin PBC .故答案为： 2 3 ； 15
. 【答案】 181 1 1【解析】当 n 1时， a1 S1 a1 , a1 ，2 a1 a1a
1, an 0, a1 S1 1，当 n 2 时， an Sn Sn 1 , 2Sn Sn Sn 1 ，1
2 2Sn Sn 1 Sn Sn 1 , Sn Sn 1 1，{S}是以1为首项，公差为 1 的等差数列， S
n ，an 0,Sn 0, Sn ，2 22( ) 2Sn ，又 n 1时， 2Sn 2(
)2 21 1 1令S ，1 2 100S S S 10
1003 3 27S 2[( 101 100) ( 100 99) ( 2 1)] 2( 101
1) 18 ，S 2[( 100 99) ( 99 98) ( 2 1)] 1 2( 100 1) 1
19 ，即18 S 19 ，从而 S 18 .三、解答题 1 1. 1 用X 表示4 例疑似病例中化验呈阳性的人数
，则随机变量X ~ B 4, 3 由题意可知：P x 2 C 1 1 2 1 2 8 2 方
案一：若逐个检验，则检验次数为4方案二：混合一起检验， 记检验次数为X则X=1,5 10 10000 10000P X 1
1 1 4 8181 6561 P X 5 1 P X 1 6561 3439 2375610000
10000 10000方案三：每组的两个样本混合在一起化验，若结果呈阴性， 则检测次数为1，其概率为 1 ,E X
1 5 1 2 81 81 19若结果呈阳性， 则检测次数为3, 其概率为1 100 100设方案
三检测次数为随机变量Y, 则 Y 2, 4, 6100 100 10000 10000P Y 4 81 19
2 28119 3078 19 19 361P Y 2 81 81 8181 6561 10
0 100 10000 10000P Y 6 100100 1000010000 10000 100
00 10000则E Y 2 8181 4 28119 1919 27600由E X E Y 4 ，知
方案二最优3 92. （1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注， 则最后一局必然甲赢.由题意知， 最多再进行4 局，甲、乙必
然有人赢得全部赌注.当X 2时， 甲以4 :1赢， 所以P X 2 ；2 2 42 2 2 8
当X 3时， 甲以4 : 2 赢， 所以P X 3 C 1 ；3 3 3 272 2 2
2 4 当X 4时， 甲以4 : 3赢， 所以P X 4 C 3 1 3 4 8 4
24 8所以， 甲赢的概率为 .9 27 27 27 9所以， 甲应分得的赌注为243 216 元
；（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注， 则最后一局必然乙赢.当 Y 3时， 乙以4 : 2 赢， P Y 3 1
p3 ；当 Y 4时， 乙以4 : 3赢， P Y 4 C p 1 p3 3p 1 p3 ；所以， 乙赢得全部
赌注的概率为P A 1 p3 3p 1 p3 1 3p1 p3 . 于是甲赢得全部赌注的概率f p 1
1 3p1 p3 .求导， f p 3 1 p3 1 3p 3 1 p2 1 12p 1 p2 .因为
p 1 ，所以 f p 0 ，所以f p 在 ,1 上单调递增，于是f p min f 4 256 .3
3 4 4 3 243243 13故乙赢的最大概率为1 0.0508 0.05 ，故事件A 不一定是小概率事件.
256 2563. (1)设一次性抛掷 4 枚均匀的硬币，得到正面向上的枚数为 ，则～(4, ) ， ，( ≥ 3) = 1 ?
( < 3) = ．由已知随机变量X 的可能取值为 1 ，2 ，3；( = 1) = ( ≥ 3) · ( < 3) = ×
= ；( = 2) = ( < 3) · ( ≥ 3) + ( ≥ 3) · ( ≥ 3) = × + × = ； (
= 3) = ( < 3) · ( < 3) = × = ．所以随机变量X 的分布列为X123P5580 256121256
256(2)①设 ? 1 表示事件“第 ? 1天王先生选择的是骑自行车出行方式”， 表示事件“第 n 天王先生选择的是骑自行车出
行方式”，由全概率公式知 = ( ) = ( | ? 1)( ? 1) + ( | ? 1)( ? 1)= ? 1 · ( <
3) + (1 ? ? 1) · ( ≥ 3)= ? 1 + (1 ? ? 1) = ? 1 + ．所以 =
? 1 + ( ≥ 2)．②由①知 ? = ( ? 1 ? ) ， ≥ 2，又1 = 1，所以数列{ ? }是首项为，
公比为的等比数列，所以 ? = () ? 1 ， = () ? 1 + ．因为 = () ? 1 + > 恒成立，所
以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的
次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召．4. (1)由已知可得： = = 3 ， = = 17.2 = 1
× 9 + 2 × 12 + 3 × 17 + 4 × 21 + 5 × 27 = 303 =1 = 12 + 22 + 3
2 + 42 + 52 = 55 =1∑ =1 ? 52 55 ? 5×32 10所以 = ∑ =1 ? 5 ?
= 303 ? 5×3×17 4.5所以 = ? = 17.2 ? 4.5 × 3 = 3.7所以 = + = 4.
5 + 3.7当 = 6时， = 4.5 × 6 + 3.7 = 30.7(百亿元)所以估计 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元)(2)(ⅰ)由题知，X 的可能取值为：0 ，1，2( = 0) = (1 ? )(1 ? )( = 1) = (1 ? ) + (1 ? )( = 2) = 所以X 的分布列为：X012P1 ? ? + + ? 2pq() = 0 × (1 ? )(1 ? ) + ( + ? 2) + 2 = + (ⅱ)因为 = 所以 () = () = ( + ) = ( ? + ) = 2sin ? 令 = ∈ (0, ]，设() = 2sin ? ，则() = ()因为 ′ () = 2cos ? = 2(cos ? )，且 ∈ (0, ]所以， 当 ∈ (0, )时， ′ () > 0，所以()在区间(0, )上单调递增；当 ∈ ( , )时， ′() < 0，所以()在区间( , )上单调递减；所以， 当 = 即 = 3时， () ≤ () = √3 ? (百亿元)所以()取最大值时 k 的值为 3．5. (1)过点 B 作 1 楼面的垂线，垂足是′，则′落在圆柱底面圆上，连接′，则′即为 BA 在圆柱下底面上的射影，故∠′即为 BA 与楼面所成的角，sin∠′ = ，′ = = 4米，可得′ = 8√2米， △ ′中， = ′ = 8米，故△ ′是等腰直角三角形，故∠1 = ∠′ = ，∵ = ?，故弧 BC 的长为8 × = 2米，故此顾客在二楼面上步行的路程为2米；(2)由(1)可知 OA ， ′ ， 2两两互相垂直相交，于是以 O 为坐标原点，以射线′ ，OA ， 2 分别为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则(8,0 ，4) ，(0,8 ，0) ， (4√2, 4√2, 4) ， (?4√2, 4√2, 8)，故? = (8, ? 8,4) ， = ( ? 8√2,0 ，4)，设异面直线 AB 和 CD 所成角的大小为，则 cos = = > 0，故异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为．18411151731020142961311819512167 |
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