5.3 垂径定理③AM=BM,做一做AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂
足为M.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有: 由 ① CD是直径② CD⊥AB垂径定理如图,小明的理由
是:连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM ⊥ AB，∴AM=BM.∴点A和点B关于CD
对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所
的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现
图中有: 由 ① CD是直径③ AM=BM┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.讨论（1）过圆心 （
2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4
）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧命题（1）
：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD
，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，求证：C
D是直径， AD＝BD，AC＝BC命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知
：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB 垂直于弦的直径平分
这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧（2）弦的垂直平分线经过
圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理记忆你可以写出相应的命题吗
?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中:只要
具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB,注意垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两
条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平
分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.垂
径定理及逆定理（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )（2）弦
所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )（3）圆的不与直径垂直的弦
必不被这条直径平分…………………………………………...( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧………………………………………( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）×√××√挑战自
我（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （ ） （7）平分弦的直线，必定过圆心 （
）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦
（ ）???（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）（10）平分
弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）???挑战自我 垂径定理的推
论2 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.例题解析例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离； ⑵∠AOB的度数。反思：在⊙ O中，若
⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据 定理求出
第三个量.例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长
。垂径例3：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=
9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。例4 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝B
D。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE
－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BDE挑战自我 画一画 1.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦
AB,使AB过点M.并且AM=BM.挑战自我 找一找2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为
E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 : .图中相
等的劣弧有: .挑战自我 算一算3、已知：如图
，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.⌒
挑战自我 试一试4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.1.本节课我们主要学
习了垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的证明，是通过“实验—观
察—猜想—证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法． 3.有关
弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题． 课堂小结E小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。思考题已知：AB是⊙O直径， CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD求证：EC＝DF |
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