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| 数学绝杀系列之：不等式中最值问题全梳理 |
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重 难点突 破：不 等式中 最值问 题全梳 理
模 块 一、题 型 梳理
题型一 基 本 不等式 与 函数相 结 合的最 值 问题
22
x x
例题1 若方程 lnxm ? 有两个不等的实根 和 ，则xx ? 的取值范围是（ ）
1 2 12
1, ?? 2, ??
A ． ? ? B ． C ． 2, ?? D ． 0,1
? ? ? ?
? ?
【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
lnxm ? x x xx ? 0,1 , ? 1, ? ? Inx ? ?m,Inx ?m
【解析】因为 两个不等的实根是 和 ，不妨令 ? ? ? ? ，
1 2 12
12
1
11
22
22
x ?
In xx ? 0 xx ? =xx ? ?22 ? ? C.
故可得 ? ? ，解得 ，则 ， 故选：
2
12 1211
22
x
xx
1
11
【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
91
例题2 ? 的最小值为（ ）
22
sin?? cos
A ．2 B ．16 C ．8 D ．12
91
22
? .
【分析】利用 将 变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值
sin?? ?? cos 1
22
sin?? cos
9 1 9 1
??
22
22
【解析】 ∵ ，∴ ? ? sin?? ? cos ?
? ?
sin?? ?? cos 1
??
2 2 2 2
sin ? cos ? sin ? cos ?
??
22
3 1 91
sin?? 9cos
2 2
， 当且仅当sin ? ? ，cos ? ? 时“=” 成立， 故 ?
?10 ? ? … 10 ? 6 ?16
22
22
4 4 sin?? cos
cos?? sin
的最小值为 16.
【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最
.
值，属于基础题
x y
例题3 已知函数 y ＝log x ＋1( a>0 且 a≠1) 图 象恒过定点 A ，若点 A 在 直线 ＋ －4 ＝0( m>0 ，n>0) 上，则
a
m n
m ＋n 的最小值为________．
x y 1 1
【解析】 由题意可知函数 y ＝log x ＋1 的图象恒 过定点 A(1,1) ，∵点 A 在 直线 ＋ －4 ＝0 上，∴ ＋ ＝4 ，
a
m n m n
1 1 1 1 n m 1 1
n m
? ?
? ? ? ?
∵ m>0 ， n>0 ， ∴m ＋n ＝ ( m ＋n) ＋ ＝ 2 ＋ ＋ ≥ ＝1 ， 当且仅当 m ＝n ＝ 时等号成立 ，
2 ＋2 ·
m n m n
4 ? ? 4 ? ? 4 m n 2
? ?
∴ m ＋ n 的最小值为 1.
题型二 基 本 不等式 与 线性规 划 相结合 的 最值问 题
?xy ? 2 ? 3 ? 0
?
xy ,
2xy ? 3 ? 4 ? 0 z ?mx ?ny ?2 1
例题4 已知 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 （ 其中
?
?
y ? 0
?
11
mn ?? 0, 0 ） ，则 ? 的最小值为（ ）
2mn
3
A ．3 B ．1 C ．2 D ．
2
11
mn ,
z
【分析】画出可行域，根据目标函数 最大值求 关系式mn ?? 23 ，再利用不等式求得 ? 最小
2mn
.
值
mn ?? 0, 0 mx?? ny 0
【解析】画出可行域如下图所示，由于 ，所以基准直线 的斜率为负数，故目标函
数在点A 1,2 处取得最大值，即 ，所以 .
? ? mn ? 2 ? 2 ?1 mn ?? 23
??
1 1 1 1 1 1 5 n m 1 5 n m 1 9 3
? ? ? ?
? ? ? ? ?mn ?22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ，当且仅当
??
? ? ? ?
??
2m n 3 2m n 3 2 m n 3 2 m n 3 2 2
? ? ? ?
??
nm 11 3
?,1 mn ? ? 时等号成立，所以 ? 的最小值为 . 故选：D
mn 2mn 2
【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
题型三 基 本 不等式 与 数列相 结 合的最 值 问题
{} a aa ??2 a
例题5 已知递增等差数列 中， ，则 的（ ）
n 12 3
A B 4 C D 4
．最大值为 ?4 ．最小值为 ．最小值为 ?4 ．最大值为 或 ?4
【分析】 根据等差数列的通项公式可用a 表示出 . 由数列单调递增可得a ? 0 . 用a 表示出a , 结合基本不
d
1 1 1 3
等式即可求得最值.
2
da ? ? ?
aa ??2
【解析】因为 ，由等差数列通项公式, 设公差为 , 可得a ?a ?d ? ? ?2 ，变形可得
d
12 1
11
a
1
2
da ? ? ? ? 0
{} a , a ? 0 a?? a 2d
因为数列 为递增数列 所以 ，即 ，而由等差数列通项公式可知
1
n 1 31
a
1
? ? ? ? 4
24
? 0
?a ? 2 ?a ? ? ?a ? ? ，由?? a 0 , 结合基本不等式可得
? ?
1 ? 1 ? 1 ? ? 1
?a
aa
1
?11 ? ? ?
?44 ? ? ?
a ??2 a
a ? ?a ? ? ?24 ?a ? ? ? ，当且仅当 时取得等号， 所以 的最小值为 4 。
? ? ? ?
1 3
? ? ? ?
3 1 1
aa
?11 ? ? ?
【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用, 基本不等式在求最值中的用法, 属于中档题.
1
a b 2 2 a b ________
例题6 已知 ， 均 为正数，且 是 ， 的 等差中项，则 的最小值为 ．
ab
2 a ＋ b
? ?
2
【 解析 】由于 2 是 2 a ， b 的等差中项 ，故 2 a ＋ b ＝4 ，又 a ， b 均为正数，故 2 ab≤ ＝4 ，
? 2 ?
1 1
当且仅当 2 a ＝b ＝2 ，即 a ＝1 ，b ＝2 时 取等号，所以 的最小值为 .
ab 2
题型四 基 本 不等式 与 向量相 结 合的最 值 问题
例题7 如图所示, 已知点G 是 ABC 的重心, 过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于 ，N 两点，且
M
uuur uuur uuur uuur
3xy ? ______.
， ，则 的最小值为
AN ? yAC
AM ? xAB
uuur uuur uuur
1 1
【分析】根据重心的性质有AG?? AB AC , 再表达成AM ,AN 的关系式, 再根据 ,G ,N 三点共线可
M
33
1, .
得系数和为 再利用基本不等式求解即可
uuur uuur uuur uuuur uuur
uuur uuuur uuur uuur uuur
1 11
1 1 1
AC ? AN ?AG ? AM ? AN
【解析】根据条件： ,AB ? AM , 又AG?? AB AC , .
y 33 xy
x 33
11
? ? ? 1 y ? 0
又 , , 三点共线, . , ,
G N x> 0
M
33 yx
?? 1 1 4 x y 4 x y 4+2 3
?3x ?y ? ?3x ?y ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? .
??
33 x y 3 yx 3 3 yx33
??
xy
4+2 3 4+2 3
?? 3xy ?
的最小值为 , 当且仅当 时“ ?” 成立. 故答案 为 ： .
yx 3
3 3
【小结】 本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用, 同时也考查了基本不等式应用, 属于中等题型.
题型五 基 本 不等式 与 圆锥曲 线 相结合 的 最值问 题
例题8 在平面直角坐标系 中， 已知点 ，B 点在直线 上，M 点满足MB//OA ，
xoy A(0, ?1) y ??3
MA AB ?MB BA ，M 点的轨迹为曲线 C ．
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ ） 为 C 上动 点，l 为 C 在点 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
P P
uuur uuur
【 解析】 （Ⅰ ） 设 ， 由已知 得 ， ． 所以MA = ， MB =(0 ， ) ，
M(x,y) Bx ( , ?3) A(0, ?1) ( ?xy , ?1 ? ) ?? 3 y
uuur uuur uuur uuur
AB =(x ，-2). 再由题意可知（MA +MB ）? AB =0 ， 即（ ?x ，?? 42 y ）? (x ，－2)=0 ．
1
2
所以曲线 C 的方程式为 ．
yx ?? 2
4
1 1 1
2
（Ⅱ） 设P(x ,y ) 为曲线 C ：yx ?? 2 上一点，因为yx ? ? ，所以l 的斜率为 x ，
00 0
4 2 2
1
2
因此直线l 的方程为y ?y ? x() x ?x ，即x x ? 2y ? 2y ?x ? 0 ．
0 0 0 0 0 0
2
1
2
x ? 4
2
0
| 2yx ? |
1 14
00 2 2
2
则O 点到l 的距离d ? ．又yx ?? 2 ，所以dx ? ? ( ? 4 ? ) ? 2,
00 0
2
22
4 2
x ? 4 xx ?? 44
0 00
2
当x =0 时取等 号，所以O 点到l 距离的最小值为 2 ．
0
22
2
xy
例题9 在平面直角坐标系 中， 已知椭圆C ： ? ? 1(ab ? ? 0) 的离心率e ? ， 且椭圆C 上
xOy
22
ab
3
的点到Q(0,2) 的距离的最大值为 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
22
（ Ⅱ ） 在 椭圆C 上 ， 是 否存 在 点M(m,n) 使得直线l ：mx?? ny 1 与圆 O ：xy ?? 1 相 交 于不 同
的两点 ，且 ?OAB 面积最大？若存在， 求出点M 坐标及相对应的 ?OAB 面积； 若不存在， 请说明理
AB ,
由．
c 22
1
22
2 2 2 2
【解析】 （Ⅰ ） 由e ? ? ?c ? a ，所以 ，设 是椭圆C 上任意一点，
b ?a ?c ? a P(x,y)
a33
3
22 2
xy y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
则 ?? 1，∴ x ?a (1 ? ) ?a ? 3y ， |PQ | ? x ? (y ? 2) ? a ? 3y ? (y ? 2) ? ?2(y ?1) ?a ? 6
22 2
ab b
2
所以，当y ??1 时，|| PQ 有最大值 a ?? 63 ，可得a ? 3 ，所以bc ?? 1, 2
2
x
2
故椭圆C 的方程为： ?? y 1
3
22
（Ⅱ）存在点M 满足要求，使 ?OAB 得面积最大．假设直线 与圆O:1 x?? y
l:1 mx?? ny
1
22
相交于不同两点 , 则圆心O 到l 的距离 ，∴ ①
AB , d?? 1 mn ?? 1
22
mn ?
2
m
2 2
因为M(m,n) 在椭圆C 上，所以 ?? n 1 ②，由①②得：03 ?m ?
3
22
1 1 1
mn ?? 1
2
∵| AB | ? 2 1 ?d ? 2 所以S ? |AB | ?d ? (1 ? ) ，
OAB
22 2 2 2 2
mn ? 2 m?? n m n
22
mm
2
m 1
2 33
由②得n ?? 1 代入上式得S?? ? ，
?OAB
2
3 2
2 2
2
1 ? m
21 ? m
3
3
23 31 62
22 22
当且仅当1 ?mm ? ? ?(0,3] ，∴mn ?? , ，此时满足要求的点M (?? , ) 有四个．
32 22
221
此时对应的 ?OAB 的面积为 ．
2
题型六 基 本 不等式 与 圆相结 合 的最值 问 题
22
m
例题10 设 ，nR ? ， 若直线(m ?1)x+(n ?1)y ?2=0 与圆 (x?? 1) +(y 1) =1 相切， 则mn + 取值范围是
（ ）
A ． B ． ( ? ?,1 ? 3] [1+ 3,+ ?)
[1 ? 3,1+ 3]
C ．[2 ? 2 2,2+2 2] D ． ( ? ?,2 ? 2 2] [2+2 2,+ ?)
22
【 解 析 】 ∵ 直 线 与圆 (x?? 1) +(y 1) =1 相 切 ， ∴ 圆 心 到直线的距离
(m ?1)x+(n ?1)y ?2=0 (1,1)
|(mn ?1)+( ?1) ? 2| mn ? 1
2 2
d= =1 ，所以mn ?m ?n ?1 ? ( ) ，设t=m ?n ，则tt ? +1 ， 解 得
22
2 4
(mn ?? 1) +( 1)
t ?( ??,2 ? 2 2] [2+2 2,+ ?) .
题型七 基 本 不等式 与 不等式 恒 成立结 合 的最值 问 题
2
x ?(1,2) m
例题11 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 （ ）
x ?mx ?20 ?
A ( ?2, ? ?) B C (0, ??) D
． ． (2 2, ??) ． ． ( ?2 2, ? ?)
【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
2
??
2
x ?(1,2) mx ? ? ? x ?(1,2)
【解析】当 时，不等式 恒成立 ， 等价于 在 时 恒 成 立
x ?mx ?20 ?
??
x
??
?? 2
?? 22 2
??
mx ? ? ? x ?(1,2)
即等价于 ；而因为 ，故 ?xx ? ? ?2 ? ? ?2 2 , 当且仅当x ? 时取
?? ??
??
x
?? xx x
??
??
max
.
得最大值 故： 。
m ??22
【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还
涉及利用均值不等式求最值. 属综合题.
31 n
ab ?? 0, 0 ?? n
例题12 已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
a b 3a ?b
A ．9 B ．12 C ．16 D ．20
【分析】可左右同乘 ，再结合基本不等式求解即可
3ab ?
3 1 n 3 1
??
ab ?? 0, 0 ? ? ? ? 3a ?b ?n
【解析】 ， ? ? ，
??
a b 3a ?b a b
??
3 1 3b 3a 3b 3a
??
? 3ab ? ? 9 ? ? ?1 ?10 ? 2 ? ? 16 ， 当且仅当ab ?? 1 时， 等号成立， 故n ?16 。
? ?
??
a b a b a b
??
【小结】本题考查基本不等式求最值，属于基础题
题型八 基 本 不等式 与 立体几 何 相结合 的 最值问 题
例题13 如图， 三棱锥 的四个顶点恰是长、 宽、 高分别是 m ，2 ， n 的长方体的顶点， 此三棱锥的
P ?ABC
体积为 2 ，则 该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
256 ? 32 ?
82 ?
A ． B ． C ． D ．
36 ?
3 3
3
【分析】 根据三棱锥的体积关系可得 , 根据三棱锥与长方体共外接球, 长方体的对角线就是外接球的直
mn ? 6
22
径可得 , 根据基本不等式可得半径的最小值, 进一步可得体积的最小值.
24 R ? m ?n ?
11
n
, , ,
【解析】 根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为 所以 ?nm ? ? ?22 ? 所以mn ? 6 又该三棱锥的外接
32
22
球就是长方体的外接球, 该外接球的直径是长方体的对角线, 设外接球的半径为 , 所以 ,
R
24 R ? m ?n ?
所以 , 当且仅当 时, 等号成立, ，所以 , 所 以该三棱锥外接球
2R ? 2mn ? 4 ? 12 ? 4 ? 4 mn ??6 R ? 24 4 32 ?
3 3
体积为 ?R ? ? ? 2 ? . 故选:C
3
33
【小结】本题考查了三棱锥的体积公式, 球的体积公式, 长方体的对角线长定理, 基本不等式, 属于中档题.
题型九 基 本 不等式 与 解三角 形 相结合 的 最值问 题
2 2 2
A,, B C abc ,,
例题14 在 中， 内角 的对边另别是 ， 已知 ，
?ABC
2sin A ?sin B ? 2 sinAsinB ? 3sin C
则 的最大值为（ ）
sinC
34 34 2 3
A B C D
． ． ． ．
6 3 6 6
2 2 2
ab ,
【分析】由已知可得 ，结合余弦定理，求出 cosC 用 表示，用基本不等式求出
2a ?b ? 2ab ? 3c
的最小值，即可求解.
cosC
2 2 2 2 2 2
【解析】 , 由正弦定理得 ，
2sin A ?sin B ? 2 sinAsinB ? 3sin C 2a ?b ? 2ab ? 3c
2 2 2 22
由余弦定理得 ， ，
3c ? 3a ?3b ?6abcosC
6abcosC ?a ? 2b ? 2ab
ab22 34
2
， 当且仅当 时， 等号成立， ，
6cosCC ? ? ? 2 ? 2,cos ? ?sinCC ? 1 ? cos ?
ab ? 2
ba 6 6
34
所以 的最大值为 .
sinC
6
【小结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解 三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.
?ABC
例题15 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．
（I ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ?sinC ? 2sin ?A ?C ? ；
（II）若 成等比数列，求 cosB 的最小值．
a ，b ，c
【 解析】 （1 ） a ，b ，c 成等差数列， ?a ?c ? 2b ，由正弦定理得sinA?? sinC 2sinB
?sinA ?sinC ? 2sin ?A ?C ?
sinB ? sin[ ? ?(A ?C)] ? sin(A ?C) ， 2 2 2 2 2
a ?c ?b a ?c ?ac21 ac ?ac
2
（2 ） a ，b ，c 成等比数列，?? b 2ac ，由余弦定理得 cosB ? ? ? ?
2ac 2ac 2ac 2
22
ac ?
22
（当且仅当ac ? 时等号成立） ，?? 1 （当且仅当ac ? 时等号成立）
a?? c 2ac
2ac
22
ac ? 1 1 1
1 1
? ? ? 1 ? ? （当且仅当ac ? 时等号成立） ，即 ，所以 cosB 的最小值为
cosB ?
2ac 2 2 2
2 2模 块 二、真 题 赏析
(xy ?? 1)(2 1)
x ? 0, y ? 0, x ? 2y ? 4
1. 【2019 年高 考天津卷 文数】设 ，则 的最小值为__________.
xy
(x ?1)(2y ?1) 2xy ? 2y ?x ?1 2xy ? 5 5
? ? ? 2 ?
. x ? 0,y ? 0,x ? 2y ? 4
【解析】 因为 ，
xy xy xy xy
所以 ，即 ，当且仅当xy ?? 22 时取等号成立.
x ? 2y ? 4 ? 2 x ?2y 2xy ? 2,0 ?xy ? 2
5 19 (xy ?? 1)(2 1)
9
2 ? ? 2 ? 5 ? = ，
又因为 所以 .
的最小值为
xy 22 xy
2
【小结】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
2
?
x ? 2ax ? 2a, x ?1,
2. 【2019 年 高 考 天 津 理 数 】 已知a ?R ，设函数fx () ? 若 关 于 x 的 不 等 式
?
x?? a lnx, x 1.
?
在 上恒成立，则a 的取值范围为
fx ( ) ? 0 R
A ． 0,1 B ． 0,2 C ． 0,e D ． 1,e
? ? ? ? ? ? ? ?
2
x
2
f (1) ?1 ?2a ?2a ?1 ? 0
【解析】 当x ?1 时， 恒成立； 当x ?1 时，f (x) ? x ? 2ax ? 2a ? 0 ? 2a ?
x ?1
2 2 2 2
x (1 ?x ?1) (1 ?x) ? 2(1 ?x) ?1
x
恒成立，令 ，则
gx () ? gx () ? ? ? ? ? ?
x ?1 1 ?x 1 ?x 1 ?x
??
11
?? 1
? ? 1 ?xx ? ? 2 ? ? 2 (1 ? ) ? ? 2 ? 0
，当1?? x ，即 时取等号，
?? x ? 0
??
??
11 ?? xx
1 ?x
??
??
x x
2a?? g(x) 0 f (x) ?x ?alnx ? 0
∴ ，则a ? 0. 当x ?1 时， ，即a ? 恒成立，令hx () ? ，
max
lnx lnx
lnx ?1
hx ?() ? ? ?
x ? e hx ( ) ? 0 hx () hx ( ) ? 0 hx ()
则 ，当 时， ， 函数 单调递增， 当0e ?? x 时， ， 函数 单
2
(lnx)
x ? e a
调递 减， 则 时，hx () 取得最小值h(e) ? e ，∴a?? h(x) e ，综上可知， 的取值范围是[0,e] .
min
【小结】本题考查分段函数的最值问题， 分别 利用基本不等式和求导的方法研究函数的 最值，然后解决恒
成立问题.
f (x)?? 2sinx sin2x fx ()
3. (2018 全国卷 Ⅰ) 已知函数 ，则 的最小值是_____ ．
【解析】 因为 f (x) ? 2sinx ?sin2x ? 2sinx(1 ?cosx) ，
2 2 2 3
所以[f (x)] ? 4sin x(1 ? cosx) ? 4(1 ? cosx)(1 ? cosx)
4 3(1 ? cosxxxx ) ? (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) 27
4
≤?? [] ，当且仅当3(1 ?cosxx ) ?1 ?cos ，
3 4 4
1 27 33
2
cosx ? 0 ≤[fx ( )] ≤ fx () ?
即 时取等号，所以 ，所以 的最小值为 ．
2 4
2
1
a
4. (2018 天津) 已知ab , ?R ，且ab ?3 ? 6 ? 0 ，则 2 ? 的最小值为 ．
b
8
1 1 1 1
a 3b ?6 3b ?6 ?3
ab ?3 ? 6 ? 0 ab ?? 36 2 ? ? 2 ? ≥ 2 2 ? ? 2 ? 2 ?
【解析】 由 ，得 ，所以 ，
b 33 b b
8 2 2 4
1
36 b ?
当且仅当 ，即b ?1 时等号成立．
2 ?
3b
2
2
F C yx ? 4 F
5. （2017 新课 标Ⅰ ） 已知 为抛物线 ： 的焦点， 过 作两条互相垂直的直线l ，l ， 直线l
1 2 1
C A B C D E |AB | ? |DE |
与 交于 、 两点，直线l 与 交于 、 两点，则 的最小值为
2
A ．16 B ．14 C ．12 D ．10
l x l k l k kk ? ? ?1
【解析】 由已知 垂直于 轴是不符合题意， 所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ， 由题意有
1 1 1 2 2 12
设A(x ,y ) ，B(x ,y ) ，D(x ,y ) ，E(x ,y ) ，此时直线l 方程为y?? k (x 1) ，
11 22 33 44 1 1
2
2 2
?
yx ? 4
?? 24 k 24 k ?
2 2 2 2
1 1
k x ? 2k x ? 4x ?k ? 0 xx ? ? ? ?
取方程 ，得 ，∴
?
1 1 1
12 2 2
y?? k (x 1) k k
? 1 1 1
2
24 k ?
2
同理得xx ?? ，由抛物线定义可知|AB | ? |DE | ?x ?x ?x ?x ? 2p
34 1 2 3 4
2
k
2
22
2kk ?? 4 2 4 4 4 16
12
? ? ? 4 ? ? ?8 ≥ 2 ?8 ?16 ?1
，当且仅当kk ? ? ?1 （或 ）时，取得等号．
2 2 2 2 2 2 12
k k k k k k
1 2 1 2 1 2
44
ab ?? 41
6. （2017 天津 ） 若ab , ?R ，ab ? 0 ，则 的最小值为___________ ．
ab
4 4 2 2
a ? 4b ?1 4a b ?1 1
1 2
22 2
【解析】 ≥ ??44 ab ≥ ， 当 且仅当 ，且 ，即 时取等号．
ab ? 2 ab ? a ?
ab ab ab 2 2
7. （2017 江苏 ）某公司一年购买某种货物 600 吨 ，每次购买x 吨，运费为 6 万元/ 次， 一年的总存储费用
x
为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 的值是 ．
600 900 900
4xx ? ? 6 ? 4( ? ) ? 4 ? 2 900 ? 240 x ? x ? 30
【解析】 总费用为 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
xx x
4
a
8. （2017 浙江 ）已知a ?R ，函数 f (x) ?|x ? ?a | ?a 在区间[1 ，4] 上的最大值是 5 ，则 的取值范围
x
是 ．
4
【解析】 ∵ ，∴
x ?[1,4] x?? [4,5]
x
4 4 4
①当a ≥5 时， f (x) ?a ?x ? ?a ? 2a ?x ? ≤ 2a ? 2 x ? ? 2a ? 4 ，
x x x
9
所以 的最大值 2a?? 4 5 ，即a ? （舍去）
fx ()
2
44
②当a ≤ 4 时， f (x) ?x ? ?a ?a ?x ? ≤5 ，此时命题成立．
xx
45 ?? a f (x) ? max{| 4 ?a | ?a,| 5 ?a | ?a}
③当 时， ，则
max
| 4 ?a | ?a ≥| 5 ?a | ?a
? | 4 ?a | ?a ?| 5 ?a | ?a
9 9
或 ，解得 或 ，
a ? a ?
?
| 4 ?aa | ? ? 5
| 5 ?aa | ? ? 5 2 2
?
9
综上可得，实数a 的取值范围是 ( ??, ] ．
2
模 块 三、模 拟 题汇编
12
a ?? 3 ab ?? 12
1．（ 2020· 武 汉市第一中学高三）已知正实数 ，b 满足 ，则 ? ? ? ? 的最小值是（ ）
ab
50 25 25 50
A B C D
． ． ． ．
9
3 9 3
12 8
【解析】 ∵ ?? 3 ，∴ 2a ?b ? 3ab ? 2 2ab ?ab ? ，当且仅当 时，等号成立，
2ab ?
ab 9
50 50
∴ a ?1 b ? 2 ?ab ? 2a ?b ? 2 ? 4ab ? 2 ? ，即ab ?? 12 的最小值是 ．
? ? ? ? ? ? ? ?
9 9
ab ? 1
2. （2020 陕 西高三）设 ， 0?? ab ，若 p ? f() ab ， ， ，
f (x) ? lnx qf ?() r?? (f (a) f (b))
2 2
则下列关系式中正确的是
A ．q?? r p B ．q?? r p C ．p?? r q D ．p?? r q
ab + ab +
【解析】 ∵ 0<< ab ，∴ > ab ，又 f (x)=lnx 在(0,+? ) 上单调递增，故 f ( ab)< f ( ) ，
2 2
11
即qp > ，∵r = (f (a)+f (b))= (lna+lnb)= ln ab = f ( ab)= p ， ∴p=< r q ．
22
2
f x ? log x ?1 ?x ab ,
3．（ 2020· 山 西实验中学高三月考）已知函数 ? ? ，若对任意的正数 ，满足
2 ? ?
31
f a ? f 3b ?1 ? 0 ?
? ? ? ? ，则 的最小值为（ ）
ab
A ．6 B ．8 C ．12 D ．24
【分析】先确定奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得 ，最后基本不等式求最值.
ab ?? 31
1
22
fx ? log
? ?
【解析】因为 所以定义域为 ，因为 ，所以
2
x ?1 ?x ? x ?x ?x ?x ? 0, R
2
xx ?? 1
1
2
fx ? ? ? log
fx f ?x ? log x ?1 ?x f x ? ?f ?x ，f x
? ? 为减函数因为 ， ? ? , 所以 ? ? ? ? ? ?
2
2 ? ?
2
xx ?? 1
f a ? f 3b ?1 ? 0 f a ? f 1 ?3b ，a ?1 ?3b
为奇函数，因为 ? ? ? ? ，所以 ? ? ? ? ，即ab ?? 31 ，
3 1 3 1 9ba
?? 99 b a b a 31
所以 ? ? ? ?ab ?36 ? ? ? ? ，因为 ，所以 ?? 12 （当且仅当
? ?26 ? ?
??
a b a b a b ab
??
a b a b
1 1
a ? ，b ? 时，等号成立） ，选 C.
2 6【小结】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
2 x x
4. 已知 f( x) ＝3 －( k ＋1)3 ＋2 ，当 x ∈ R 时， f( x) 恒为正值，则 k 的取值范围 是( )
A ．( －∞ ，－1) B ．( －∞ ，2 2 －1) C ．( －1,2 2 －1) D ．( －2 2 －1,2 2 －1)
2 2
2 x x x x
【解析】 由 f( x)>0 得 3 －( k ＋1)·3 ＋2>0 ，解得 k ＋1<3 ＋ ，而 3 ＋ ≥2 2
x x
3 3
2
? x ?
当且仅当3 ＝ ，即x ＝log 2 时，等号成立 ，所以 k ＋1<2 2 ，即 k<2 2 －1 。故选 B 。
x 3
3
? ?
1 2
5 ．若直线 ax ＋by －1 ＝0( a>0 ，b>0) 过 曲线 y ＝1 ＋sin π x(0< x<2) 的对称中心，则 ＋ 的最小值为( )
a b
A. 2 ＋1 B ．4 2 C ．3 ＋2 2 D ．6
【 解析 】 本题考查三角函数的性质与基本不等式 ． 注意到曲线 y ＝1 ＋sin π x(0< x<2) 的对称中心是点(1,1) ， 于
1 2 1 2 b 2 a b 2 a
? ?
是有 a ＋b ＝1 ， ＋ ＝ ＋ ·( a ＋ b) ＝3 ＋ ＋ ≥3 ＋2 2 ，当且仅当 ＝ ，即 b ＝ 2 a ＝ 2( 2 －1) 时取
a b ? a b ? a b a b
1 2
等号，因此 ＋ 的最小值是 3 ＋2 2 ，故选 C.
a b
6. 设 ＝ 1，－2 ， ＝( a，－1) ， ＝( －b,0)( a>0 ， b>0 ， O 为坐 标原点) ， 若 A ， B ， C 三点共线，
OA OB OC
2 1
则 ＋ 的最小值是( )
a b
9
A ．4 B. C ．8 D ．9
2
a 1 1 ( b 1,2) A B C
【解析】 ∵ ＝ － ＝ － ， ， ＝ － ＝ － － ， 若 ， ， 三点共线 ， 则有
AB OB OA AC OC OA
2 1
2 1 2 b 2 a
? ?
∥ ， ∴( a －1)×2 －1×( －b －1) ＝0 ， ∴2 a ＋b ＝1 ， 又 a>0 ， b>0 ， ∴ ＋ ＝ ＋ ·(2 a ＋b) ＝5 ＋ ＋
a b
a b ? ? a b
AB AC
2 b 2 a
?
?
2 b 2 a 1
＝ ，
a b
?
≥5 2 · 9 a b
＋ ＝ ， 当且仅当 即 ＝ ＝ 时等号成立．
a b 3
?
2 a b 1
? ＋ ＝ ，
xy ? ?10 ?
?
xy ,
7. （2020· 天水市第一中学高三月考） 实数 满足条件 . 当目标函数z ?ax ?by ?a,0 b ? ? 在
?
2xy ? ? 3 ? 0
?
12
该约束条件下取到最小值 4 时， ? 的最小值为（ ）
ab
A B C D
． 6 ． 4 ． 3 ． 2
az
【分析】 先将目标函数化为yx ? ? ? ， 由题中约束条件作出可行域， 结合图像， 由题意 得到 ，
24 ab ??
bb
1 2 1 1 2 1 ba 4
? ? ? ?
? ? ? (2ab ? ) ? 2 ? ? ? 2
再由 ，结合基本不等式，即可求出结果.
? ? ? ?
a b44 a b a b
? ? ? ?
az a
z?? ax by ab,0 ?
【解析】由 得yx ? ? ? ，因为 ，所以直线的斜率为?? 0 ，
bb
b
xy ? ?10 ?
?
作出不等式 对应的平面区域如下：
?
2xy ? ? 3 ? 0
?
az az
y z
由图像可得：当直线yx ? ? ? 经过点 时，直线yx ? ? ? 在 轴截距最小，此时 最小。
A
bb bb
xy ? ?10 ? x ? 2
? ?
A(2,1)
由 解得 ，即 ，此时目标函数z ?ax ?by a,0 b ? 的最小值为 ，
? ? ? ? 4
2xy ? ? 3 ? 0 y ? 1
? ?
1 2 1 1 2 1 ba 4 1
? ? ? ?
? ? ? (2ab ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 4 ? 2 4 ? 2
即24 ab ?? ，所以 .
? ?
? ? ? ?
a b 4 a b 4 a b 4
? ? ? ?
a ? 1
?
ba 4
? . D
当且仅当 ，即 时，等号成立 故选：
?
ab b ? 2
?
【小结】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题
即可，属于常考题型.
2
a ?1
8．（ 2020· 天津市宁河区芦台第一中学高三） 已知 a ， b 均为 正数， 且 ， 的最小值为________.
ab ?? 1 ?1
2ab
2
ab
a ?1
.
【分析】本题首先可以根据ab ?? 1 将 ?1 化简为 ? ，然后根据基本不等式即可求出最小值
2ab ba 2
2 2 2
a ?1 a ? (a ?b) a b a b
【解析】因为 ，所以 ，
ab ?? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? 2 ? ? 2
2ab 2ab b 2a b 2a
ab
当且仅当 ? ，即 、 时取等号，故答案为： .
a?? 21b?? 22 2
ba 2
2
O
9.(2020 年重 庆高三) 设 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y?? 2px(p 0) 上任意一点，M 是线段
PF 上的点，且 PM =2 MF , 则直线OM 的斜率的最大值为
3 2 2
A ． B ． C ． D ．1
3 3 2
p 1
??
2
2
P 2pt , 2pt ,M ?x , y ? t ? 0 FP?? 2pt , 2pt FM ? FP
【解析】设 ? ? （不妨设 ） ， 则 ，∵ ，
??
2 3
??
p 2p p 2pp
? ?
2 2
xt ? ? ? , xt ?? ,
? ?
2t 1 1 2
? ?
2 3 6 33
k ? ? ? ?
∴ ，∴ ∴
? ? OM
2
1
2pt 2pt 2t ?1 2
1
? ? t ?
y ? , y ? , 2
2t
? ?
? 3 ? 3 2
2
() k ?
∴ ，故选 C ．
OM max
2
22
xy
3
10. 已知点A (0, ?2) ， 椭圆E ： ? ? 1(ab ? ? 0) 的离心率为 ，F 是椭圆E 的右焦点， 直线AF
22
ab 2
23
的斜率为 ，O 为坐标原点．
3
（Ⅰ) 求 的方程；
E
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于 两点，当 的面积最大时，求l 的方程．
PQ , ?OPQ
2 2 3
【解析】 （I ） 设Fc (c,0) ， 由 条 件 知 ， = ， 得 = 3.
c 3
2
x
c 3
2
2 2 2
故Ey 的 方 程 为 ?? 1.
又 ? , 所 以a=2, b ?a ?c ?1.
a 2 4
（Ⅱ） 当l?? x 轴 时 不 合 题 意 ， 故 设l :y=kx 2,P(x ,y ),Q(x ,y ).
1 1 2 2
2
x
2
22
将y ?kx ?21 代 入 ? y ? 得 (1 ? 4k )x ?16kx ?12 ? 0.
4
2
3 8kk ?? 2 4 3
22
当 ?=16(4k ?3) ? 0, 即k ? 时 ，x ? .
1,2
2
4 4k ?1
22
4kk ?1 ? 4 ?3
2
从 而 PQ ? k ?1. x ?x ?
12
2
41 k ?
2
1 4 4k ?3
2
S=. d?? PQ
又 点O 到 直 线PQ 的 距 离d?? . 所 以 OPQ 的 面 积
?OPQ
2
2
2 4k ?1
k ?1
44 t
2
设 4k ? 3 ?t, 则t ? 0,S ? ? .
?OPQ
2
4
t ? 4
t ?
t
47
因 为t ? ? 4, 当 且 仅 当t ? 2 ， 即k ? ? 时 等 号 成 立 ， 且 满 足 ? ? 0.
t 2
77
所 以 ， 当 ?OPQ 的 面 积 最 大 时 ， ? 的 方 程 为 ．
y ? x ?22 或y ? ? x ?
22
|
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