数学新课标2024届高三数学TOP名校考卷集-名模

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2023-11-02 | 阅：转： | 分享

新高考
2024届高三
复习试卷集
TOP名校卷
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·1·目录
1. 【8月假期返校卷】 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5
1.1. 湖南省长沙一中2023届高三上学期入学摸底考试数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5
1.2. 湖北省襄阳五中2022 -2023学年高三上学期暑期返校数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
1.3. 河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13
1.4. 江苏省南京市六校联合体2023届高三8月联合调研数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????17
1.5. 浙江省镇海中学、学军中学、温州中学等 2022-2023学年高三上学期适应性联合考试数学试题 ????????????????????????????????????????????????????21
2. 【9月期初卷】 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????25
2.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (一)数学 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????25
2.2. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (一)数学 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????29
2.3. 江苏省南京师大附中2022 -2023学年高三上学期期初阶段考试数学试卷 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????33
2.4. 浙江省杭州二中2022学年第一学期高三年级第一次月考数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????37
3. 【10月诊断卷】 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????41
3.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (二)数学 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????41
3.2. 湖南省长郡中学2022 -2023学年高三上学期月考 (二)数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????45
3.3. 湖南省雅礼中学高三年级第一次月考数学试卷 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????49
3.4. 湖南师大附中2023届高三月考试卷 (二)数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????53
3.5. 湖北省武汉一中2022 -2023学年高三上学期10月月考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????57
3.6. 湖北省沙市中学2022 -2023学年高三上学期第二次月考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????61
3.7. 河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????65
3.8. 河北衡水中学2023年高考数学模拟试卷 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????69
3.9. 山东省山东师范大学附属中学2020级2022 -2023学年10月学情诊断考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ??73
3.10. 山东省青岛一中2022 -2023学年度第一学期第一次模块考试高三数学 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????77
3.11. 山东省实验中学2023届高三第一次诊断考试数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????81
3.12. 江苏省金陵中学、海安中学2023届高三10月第二次联考数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????85
3.13. 江苏省南京师范大学附属中学2022 -2023学年度高三第一学期10月检测数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????89
3.14. 江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????93
3.15. 浙江省杭州二中2022 -2023学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????97
3.16. 浙江省温州中学2022 -2023学年高三上学期第一次联考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????101
3.17. [2022 ]八省八校 (T8联考 )2022届高三下学期第二次联考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????105
4. 【11月期中卷】 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
4.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (三)数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????109
4.2. 湖南省长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????113
4.3. 湖南长沙一中2023届高三月考试卷 (三)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????117
4.4. 湖南师大附中2023届高三月考试卷 (三)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????121
4.5. 湖北省华师一附中2022 -2023学年高三上学期期中数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????125
4.6. 河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????129
4.7. 河北省衡水中学2022 -2023学年度高三年级上学期第三次综合素养评价数学学科 ??????????????????????????????????????????????????????????????????133
4.8. 河北省唐山一中2022 -2023学年度高三第一学期期中考试数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????137
4.9. 河北省石家庄二中2022 -2023学年度高三年级期中考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????141
4.10. 河北省精英中学2023届高三上学期第四次调研数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????145
4.11. 山东省实验中学2022 -2023学年高三第二次诊断考试数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????149
4.12. 江苏省海安高级中学2023届高三上学期期中质量监测数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????153
4.13. 江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期11月联考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????157
4.14. 浙江省杭州学军中学2022 -2023学年第一学期期中考试高三数学试卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????161
4.15. 浙江省春晖中学、嵊州中学2022 -2023学年高三上学期11月联考数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????165
4.16. 浙江省宁波市九校联考2022 -2023学年第一学期期末高三数学试题卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????169
4.17. 浙江省宁波市九校联考2022-2023学年高三上学期1月高考适应性考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????173
5. 【12月诊断卷】 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????177
5.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (四) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????177
5.2. 湖南省长郡中学2022 -2023学年高三上学期月考 (四)数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????181
5.3. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (四)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????185
5.4. 湖南省湖南师大附中2023届高三月考 (四)数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????189
5.5. 湖北省襄阳五中2022 -2023学年高三上学期12月月考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????193
5.6. 河北省唐山一中2022 -2023学年度第一学期12月月考高三年级数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????197
·2·5.7. 湖北省十一校2023届高三第一次联考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????201
5.8. 山东省实验中学2023届高三第三次诊断考试数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????205
5.9. 山东省青岛二中2022 -2023学年高三上学期12月月考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????209
5.10. 八省八校 (T8联考 )2022届高三上学期第一次联考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????213
5.11. 八省八校 (T8联考 )2023届高三第一次学业质量评价 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????217
6. 【1月期末卷】 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????221
6.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (五)数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????221
6.2. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (五)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????225
6.3. 湖南省湖南师大附中2022-2023学年高三上学期月考(五)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????229
6.4. 河北省衡水中学2022 -2023学年度上学期高三年级六调考试数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????233
6.5. 河北省衡水中学2022 -2023高三上学期期末考试数学学科 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????237
6.6. 山东省青岛二中2022 -2023学年高三上学期期末数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????241
6.7. 江苏省南师大附中等五校2022 -2023学年高三上学期期末联考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????245
6.8. 江苏省南师大附中、金陵中学等六校2022-2023学年高三下学期1月联考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???249
7. 【开学调研卷】 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????253
7.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (六)数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????253
7.2. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (六)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????257
7.3. 湖南省长郡中学2023届高三下学期月考 (六)数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????261
7.4. 湖南省湖南师大附中2023届高三月考试卷 (六)数学 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????265
7.5. [2022 ]湖南省长沙市雅礼中学等十六校 2022届高三下学期第一次联考数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????269
7.6. 湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷 (一) ???????????????????????????????????????????????????????????????????273
7.7. 湖北省华师一附中2023届高三下学期2月月考数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????277
7.8. 湖北省沙市中学2022 -2023学年高三下学期2月月考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????281
7.9. 河北省衡水中学2022 -2023学年下学期高三年级一调考试数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????285
7.10. 河北省衡水中学2023届高三下学期检测数学试题数学学科 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????289
7.11. 河北省石家庄二中2020级高三下学期开学考试数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????293
7.12. 山东省实验中学2023届高三下学期开学适应性训练数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????297
7.13. 江苏省南京师大附中2022 -2023学年高三下学期开学测试 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????301
7.14. 浙江省镇海中学、学军中学、温州中学等 2022-2023学年高三下学期开学联考适应性考试 ???????????????????????????????????????????????????????305
7.15. 浙江省杭州二中2022 -2023学年第二学期高三年级统测模拟考（开学考试）数学试卷 ?????????????????????????????????????????????????????????????309
8. 【3月一模卷】 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????313
8.1. [2022 ]湖南省雅礼中学2022届高三下学期一模数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????313
8.2. [2022]湖南省雅礼中学2022届高三模拟考试 (一)数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????317
8.3. [2022]湖南省湖南师大附中2022届模拟试卷 (三)数学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321
8.4. [2022]湖南省长郡中学2022届高三下学期高考前保温卷数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????325
8.5. [2022]湖南省长郡中学2022届高三下学期高考前冲刺 (一)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????329
8.6. [2022]湖南省长郡中学2022届高三下学期押题卷1数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????333
8.7. [2022]湖北省襄阳五中2022届高三下学期适应性考试 (四)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????337
8.8. [2022]湖北省黄冈中学2022届高三下学期5月适应性考试数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????341
8.9. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (七)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????345
8.10. 湖南省长郡中学2023届高三下学期月考 (七)数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????349
8.11. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (八)数学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????353
8.12. 湖南师大附中2023届高三月考试卷 (七)数学 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????357
8.13. 湖南省湖南师大附中2023届高三一模数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????361
8.14. 湖南省长郡中学2023届高三一模数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????365
8.15. 湖南省长沙一中2023届高三一模数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????369
8.16. 湖南省雅礼中学2023届高三一模数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????373
8.17. 湖北省华师一附中2023届高三下学期第二次学业质量评价检测数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????377
8.18. 湖北省襄阳四中、襄阳五中、黄冈中学等十一校 2023届高三下学期第二次联考数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????381
8.19. 河北省石家庄二中2020级高三下学期3月月考数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????385
8.20. 河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校 2023届高三模拟 (一)数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????389
8.21. 山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????393
8.22. 山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????397
8.23. 江苏省南京师大附中2022 -2023学年高三一模适应性考试数学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????401
8.24. 江苏省海安高级中学2022 -2023学年高三下学期一模卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????405
·3·8.25. 江苏省海安高级中学2023届高三下学期3月阶段测试(四)数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????409
8.26. 浙江省杭州二中2022 -2023学年第二学期高三年级3月考试数学试卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????413
8.27. 浙江省镇海中学2023届高三3月联考数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????417
9. 【4月二模卷】 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????421
9.1. [2022]湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期二模数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????421
9.2. [2022]湖北省襄阳五中2022届高三下学期适应性考试 (二)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????425
9.3. [2022]湖北省黄冈中学2022届高三下学期二模数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????429
9.4. [2022]湖北省襄阳五中2022届高三下学期适应性考试 (三)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????433
9.5. [2022]湖北省黄冈中学2022届高三下学期三模数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????437
9.6. [2022]湖北省黄冈中学2022届高三下学期三模数学试题 (B卷) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????441
9.7. [2022]湖北省华中师大一附中2022届高三下学期高考前测试数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????445
9.8. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (八)数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????449
9.9. 湖南省湖南师大附中2023届高三二模数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????453
9.10. 湖南省长沙一中2023届高三二模数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????457
9.11. 湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????461
9.12. 湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期仿真卷 (一)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????465
9.13. 湖南省长沙市雅礼中学2023届高三高考前适应性训练数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????469
9.14. [2022]湖南省长沙市雅礼中学等十六校 2022届高三下学期第二次联考数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????473
9.15. 湖南省长郡中学、河南省郑州外国语、浙江省杭州二中 2023届高三二模联考数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????477
9.16. 天域全国名校联盟2023届第一次联考适应性数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????481
9.17. 天域全国名校协作体2023届高三4月阶段性联考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????485
9.18. 河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价数学试卷 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????489
9.19. 河北省衡水中学2022 -2023学年度下学期高三年级第四次综合素养测评数学试卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ?493
9.20. 河北省衡水中学2023届高三下学期第五次综合素养测评数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????497
9.21. 山东省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????501
9.22. 江苏省海安高级中学2023届高三下学期阶段检测 (五)数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????505
9.23. 浙江省宁波镇海中学2022 -2023学年第二学期高三4月统一测试数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????509
9.24. 浙江省缙云中学、春晖中学、嵊州中学2023届高三下学期4月联考数学试题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????513
10. 【5月三模卷】 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????517
10.1. 湖北省襄阳四中2023届高三下学期5月适应性考试(一)数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????517
10.2. 湖北省襄阳四中高三5月适应性考试 (二) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????521
10.3. 湖北省襄阳四中高三5月适应性考试 (三) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????525
10.4. 湖北省黄冈中学2023届高三5月第二次模拟考试数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????529
10.5. 湖北省黄冈中学2023届高三第三次模拟考试数学试卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????533
10.6. 湖北省华师一附中2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(一) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????537
10.7. 湖南省长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中 2023届高三下5月“一起考”数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????541
10.8. 湖南省湖南师大附中2023届模拟试卷 (三)数学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????545
10.9. ?河北省石家庄二中2020级高三年级月考数学试题 (10) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????549
10.10. 2023年衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等高三模拟 (一) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????553
10.11. 河北省衡水中学2022 -2023下学期高三年级五调考试数学 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????557
10.12. 江苏省南京师大附中2023届高三年级模拟考试数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????561
10.13. 江苏省南京市金陵中学、江苏省海安中学、南京外国语学校 2023届高三年级第三次模拟考试 ??????????????????????????????????????????????????565
10.14. 浙江省镇海中学2023届高三下学期5月模拟考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????569
10.15. 浙江省杭州二中2022 -2023学年第二学期高三年级5月月考数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????573
10.16. 浙江省杭州二中、温州中学等四校联盟2023届高三下学期5月高考模拟数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????577
10.17. ?浙江省乐清市知临中学2023届高三下学期5月模拟数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????581
10.18. 浙江省乐清市知临中学2023届高三第二次仿真数学试题卷 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????585
10.19. [?]C9中学联盟2023届新高考模拟数学试题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????589
11. 【6月回顾卷】 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????593
11.1. 山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????593
11.2. 湖北省沙市中学2023届高三6月适应性考试数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????597
11.3. 浙江省重点中学拔尖学生培养联盟 2023届高三下学期6月适应性考试数学试题 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ??????601
·4·1.【8月假期返校卷】
1.1. 湖南省长沙一中2023届高三上学期入学摸底考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
2
?
1. 若集合 A = x ∈ Z x -4x ≤0 ， B = { -1 ,0,1,2,3} ，则 A ∩ B = ( )
? ?
A. {0,1,2,3} B. {0,1,2,3,4} C. { -1,0,1,2,3} D. { -1,0,1,2,3,4}
?
2. 若复数 z 满足 ? z ? 2 +i = 10 ，其中i 是虚数单位，则 z ? z 的值为 ( )
?
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
2
2
y
x
3. 已知双曲线 C ： - =1(a >0 ， b >0) 的一条渐近线为 y =2x ，则 C 的离心率为 ( )
2 2
a b
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
4. 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数， f x -1 为偶函数，且当0 < x ≤1 时， f x =log 2x ，则 f 21 = ( )
? ? ? ?
2
A. -1 B. 0 C. log 3 D. 1
2
5. 每年的 6 月 6 日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有 45 % 的学生
近视，而该校大约有 20 % 的学生每天操作电子产品超过 1 h ，这些人的近视率约为 50 %. 现从每天操作电子产品不
超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 ( )
7 3 5 1
A. B. C. D.
16 8 16 4
6. 已知点 A 为圆台 O O 下底面圆 O 的圆周上一点， S 为上底面圆 O 的圆周上一点，且 S O = 1 ， O O = 3 ， O A
1 2 2 1 1 1 2 2
=2 ，记直线 S A 与直线 O O 所成角为 θ ，则 ( )
1 2
π π π π π π
? ?
A. θ ∈ 0, B. θ ∈ 0, C. θ ∈ , D. θ ∈ ,
? ?
? ?
? ?
6 3 6 3 4 2
π 2
7. 已知函数 f x =2sin 2x - ，若方程 f x = 在 (0 ，π) 的解为 x ， x (x < x ) ，则sin x - x = ( )
? ? ?
1 2 1 2 1 2
?
3 3
2 2 2 2 1 1
A. - B. C. D. -
3 3 3 3
8. 2022 年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全
民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场. 该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点 A ，
B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为 20 m. 两点之间为滑雪弯
道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分. 综合滑行的安全性与趣味性，
在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为 44 °. 若还要兼顾滑道的美观
性与滑雪者的滑雪体验，则 A ， B 两点在水平方向的距离约为 ( )
A. 23 m B. 25 m C. 27 m D. 29 m
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质 ( 普通卫生纱布或无纺
布 ) ，中层为隔离过滤层 ( 超细聚丙烯纤维熔喷材料层 ) ，外层为特殊材料抑菌层 ( 无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料
层 ). 根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常
2
情况下生产的医用口罩的过滤率 X ～ N (0.9372 ，0.0139 ). 则下列结论正确的是 ( )
2
(参考数据：若 X ～ N μ,σ (σ >0) ，则 P μ -2σ < X ≤ μ +2 σ =0.9545 ， P μ -3σ < X ≤ μ +3 σ =0.9973 ，
? ? ?
50
0.97725 ≈0.3164. )
A. P X ≤0.9 <0.5
?
B. P X >0.9789 =0.00135
?
·5·
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?C. P ? X <0.4 < P ? X >1.5
D. 假设生产状态正常，记 Y 表示一天内抽取的50 只口罩中过滤率大于 μ +2σ 的数量，则 P Y ≥1 ≈0.6836
?
2 2
10. 已知 A ( x ,y ) ， B (x ,y ) 是圆 O ： x + y =1 上两点，则下列结论正确的是 ( )
1 1 2 2
π
A. 若 A B =1 ，则 ∠A O B =
?
3
1 3
B. 若点 O 到直线 A B 的距离为，则 ? A B =
2 2
π
C. 若 ∠A O B = ，则 ? x + y -1 + ? x + y -1 的最大值为2 2
1 1 2 2
2
π
D. 若 ∠A O B = ，则 x + y -1 + x + y -1 的最大值为4
? ?
1 1 2 2
2
11. 已知定义在 R 上的偶函数 f x ，其导函数为 f '' x ，当 x ≥0 时， f '' x +sin2 x <0. 则 ( )
? ? ?
2
A. 函数 g x = f x -cos x 的图象关于 y 轴对称
? ?
2
B. 函数 g x = f x -cos x 在区间 0, +∞ 上单调递减
? ? ?
π π
C. 不等式 f x - f x + ?
? ?
2 4
π π
D. 不等式 f x - f x + ?
? ?
2 4
2
2
? ? ?
y
x 3
12. 已知椭圆 C ： + = 1 ( a > 2 ) 的离心率为，过点 P (1 ，1 ) 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且满足 A P =
a 2 3
? ?? ? ? ? ? ? ?
λP B. 动点 Q 满足 A Q =-λQB ，则下列结论正确的是 ( )
A. a =3 B. 动点 Q 的轨迹方程为2x +3y -6 =0
3 13 6 13
C. 线段 O Q ( O 为坐标原点 ) 长度的最小值为 D. 线段 O Q ( O 为坐标原点 ) 长度最小值为
13 13
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 已知函数 f ( x ) 满足： f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ，且当 x > y 时， f ( x ) > f ( y ) ，请你写出符合上述条件的一个函数 f ( x ) =
.
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
μ
3
14. 已知在 △ A BC 中，点 D 满足 BD = BC ，点 E 在线段 A D ( 不含端点 A ， D ) 上移动，若 A E = λ A B + μ A C ，则 =
4 λ
.
15. 在四棱锥 P - A BC D 中，已知底面 A BC D 是边长为4 3 的正方形，其顶点 P 到底面 A BC D 的距离为3 ，该四棱锥
的外接球 O 的半径为5 ，若球心 O 在四棱锥 P - A BC D 内，则顶点 P 的轨迹长度为 .
x 2
16. 若直线 l ： y = k x + b 为曲线 f x = e 与曲线 g x = e ? ln x 的公切线 ( 其中 e 为自然对数的底数，e ≈ 2.71828 ?
? ?
) ，则实数 b = .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3
17. △A BC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 a - bcos C = csin B.
3
(1) 求内角 B 的大小；
3
(2 ) 已知 △A BC 的面积为， a =2c ，请判定 △A BC 的形状，并说明理由.
2
·6·
? ?
? ?
?
? ?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
? ?18. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务. 某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校
期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3 次，先在 M 处投一次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，以
后均在 N 处投两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分. 测试者累计得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮. 甲、
乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投 10 次，根据他们每轮两分球和三分
球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1) 已知该校有300 名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300 名学生通过测试人数的数学期望；
(2) 在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
19. 如图，在直三棱柱 A BC - A B C 中， O ， M ， N 分别为线段 BC ， A A ， BB 的中点， P 为线段 A C 上的动点， A O
1 1 1 1 1 1
1
= BC ， A B =3 ， A C =4 ， A A =8.
1
2
C B
1 1
(1) 求点 C 到平面 C M N 的距离；
1
A
1
(2) 试确定动点 P 的位置，使线段 M P 与平面 BB C C 所成角的正弦值最大.
1 1
N
P
M
O
C
B
A
·7·?
20. 已知数列 a 的前 n 项和为 S ，且满足 q -1 S = q a -1( q >0) ， n ∈N .
? ?
n n n n
(1) 求数列 ? a 的通项公式；
n
n +2 3
(2 ) 当 q =2 时，数列 ? b 满足 b = ，求证： ≤ b + b +? ? ? + b <2 ；
n n 1 2 n
2
n n +1 a
?
n
(3) 若对任意正整数 n 都有 a ≥ n 成立，求正实数 q 的取值范围.
n+1
2
21. 已知抛物线 C ： y =2 p x ( p >0 ) ，直线 x = 2 y +1 交抛物线 C 于 A ， B 两点，且三角形 O A B 的面积为2 3 ( O 为坐
标原点 ).
(1) 求实数 p 的值；
(2) 过点 D (2 ，0) 作直线 L 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P ''. 证明：直线 P ''Q 经过定点，并求
出定点坐标.
22. 已知函数 f ? x = aln x - x ? a >e (e 是自然对数的底数 ).
x
1
(1) 若 x ,x (0 < x < x ) 是函数 y = f x 的两个零点，证明： <2x - x ；
?
1 2 1 2 2 1
ln x
1
2
(2) 当 a =2 时，若对于 ? k >0 ，曲线 C ： y = m - k x 与曲线 y = f ? x 都有唯一的公共点，求实数 m 的取值范围.
·8·
?
?
? ?
?
?
?
? ?1.2. 湖北省襄阳五中2022 -2023学年高三上学期暑期返校数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
? ?
1. 设集合 A = y y =lg ? x ， B = x y = 1 - x ，则 A ∩ B = ( )
? ? ? ?
A. [0.+∞ ) B. ( - ∞ ,1] C. [0,1] D. (0,1]
1 +sin2 θ +cos2 θ sin θ -cos θ
? ?
π
2. 若 < θ <π ，tan θ =-3 ，则 = ( )
2
2 +2cos2 θ
3 5 4 4
A. - B. - C. - D.
5 4 5 5
3. 给出下列三个命题：
x x
0
①命题 “ ? x >0 ，有e ≥1 ” 的否定为： “ ? x ≤0,e <1 ” ；
0
?
?
②已知向量 a = (6,2 ) 与 b = ( -3 , k ) 的夹角是钝角，则实数 k 的取值范围是 k <9 ；
2
③函数 f (x) = x -2 x -8 的单调递增区间是 [1, +∞ ) ；
其中错误命题的个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 如图为2022 年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 P 距地面的距离，小明同学在场馆内的 A
点测得 P 的仰角为30 ° ， ∠ A BO =120 ° ， ∠ BA O =30 ° ， A B =60 ( 单位： m ) ， ( 点 A , B , O 在同一水平地面上 ) ，则大跳
台最高高度 O P = ( )
A. 45 m B. 45 2 m C. 60 m D. 60 3 m
3
x
5. 函数 y = 的图像大致是 ( )
3
4
x -1
A. B. C. D.
x
6. 已知函数 f ? x = ? x +1 e ，过点 M (1 ， t ) 可作3 条与曲线 y = f ? x 相切的直线，则实数 t 的取值范围是 ( )
4 4 2 6 6
A. - ,0 B. - , C. - ,2e D. - ,0
2 2 3 3
? ? ? ?
e
e e e e
? ? x 2
7. 设 f x 是定义在 R 上的连续的函数 f x 的导函数， f x - f x + 2e < 0 (e 为自然对数的底数 ) ，且 f 2 = 4e ，
? ? ? ? ?
x
则不等式 f ? x >2x e 的解集为 ( )
A. -2,0 ∪ 2, +∞ B. e, +∞ C. 2, +∞ D. - ∞ , -2 ∪ 2, +∞
? ? ? ? ? ?
α-3 4
8. 已知实数 α ， β 满足 αe =1 ， β ln β -1 =e ，其中e 是自然对数的底数，则 α β 的值为 ( )
?
3 3 4 4
A. e B. 2e C. 2e D. e
·9·
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ?二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 在 △A BC 中，下列说法正确的有 ( )
2 2 2 2 2 2
A. 若 a < b + c ，则为锐角三角形 B. 若 a > b + c ，则为钝角三角形
C. 若 A > B. 则sin A >sin B D. a = bcos C + ccos B
10. 已知 x >0,y >0 ，且 x + y =3 ，则下列结论中正确的是 ( )
2
9 x
2
A. ln x +ln y 有最大值 B. + y 有最小值3
4 2
4 1 4
2
C. + 有最小值 D. x y 有最大值4
x y 3
11. 函数 f ( x) =cos (ωx + φ) (ω >0, -π < φ <0) 的部分图像如图所示，下列说法正确的是 ( )
4π π
A. f ( x) 图像的一条对称轴可能为直线 x = B. 函数 f (x) 的解折式可以为 f (x) =sin x -
?
3 3
4π 17π 23π
?
C. f ( x) 的图像关于点 ,0 对称 D. f (x ) 在区间 , 上单调递增
?
? ?
3 6 6
x
?
, x <1
?
?
x -1
12. 已知函数 f x = ，下列选项正确的是 ( )
?
?
5ln x
?
? , x ≥1
?
x
A. 函数 f ? x 的单调减区间为 ? - ∞ ,1 、 ?e, +∞
B. 函数 f x 的值域为 - ∞ ,1
? ?
5
2
C. 若关于 x 的方程 f x - a f x =0 有3 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 , +∞
? ? ?
?
e
5
2
?
D. 若关于 x 的方程 f x - a ? f x =0 有5 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 1 ,
? ? ?
?
e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
a b
13. 若正数 a ， b 满足2a + b =1 ，则 + 的最小值是 _ _.
2 -2a 2 - b
x
2 -1
x x
14. 已知函数 f x = , g x =9 - t ?3 ，若存在实数 a , b 同时满足 f a + f b =0 和 g a + g b =0 ，则实数 t 的
? ? ? ? ? ?
x
2 +1
取值范围为 .
tan ? α + β
π kπ
15. 已知sin β =2sin 2α + β ，且 α + β ≠ + kπ k ∈Z ,α ≠ k ∈Z ，则 = .
? ? ?
2 2 tan α
π π
16. 如图，正方形 A BC D 的边长为 10 米，以点 A 为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中 ∠ E A B = x ， ≤
6 12
π
x ≤ ，记 A E ， A F 的长度之和为 f x .则 f x 的最大值为 .
? ?
4
·10·
? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
? ?
?
?
?四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3 3sin A -cos A
17. 在锐角 △ A BC 中，角 A ， B ， C ，的对边分别为 a ， b ， c ，从条件 ① ：sin Acos Atan A = ，条件 ② ：
4
3sin A +cos A
1
= ，条件③ ：2acos A - bcos C = ccos B 这三个条件中选择一个作为已知条件.
2
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a =2 ，求 △A BC 周长的取值范围.
18. 已知数列 a 的首项为3 ，且 a - a = a -2 a -2 .
? ? ?
n n n+1 n+1 n
1
?
(1) 证明数列是等差数列，并求 a 的通项公式；
?
n
? ?
a -2
n
a
n
n
(2 ) 若 b = ? -1 ，求数列 ? b 的前 n 项和 S .
n n n
n +1
π
19. 如图，在四棱锥 P - A BC D 中，底面 A BC D 为菱形， ∠ BA D = ， Q 为 A D
3
的中点， P A = P D = A D =2.
1
(1) 点 M 在线段 P C 上， P M = P C ，求证： P A ∥ 平面 M QB ；
3
(2) 在 (1) 的条件下，若 P B =3 ，求直线 P D 和平面 M QB 所成角的余弦值.
·11·
? ?
? ?
?
?
? ? ?20. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务. 某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期
末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3 次，先在 M 处投一次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，以后
均在 N 处投两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分. 测试者累计得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮. 甲、乙
两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投 10 次，根据他们每轮两分球和三分球
的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1) 已知该校有300 名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300 名学生通过测试人数的数学期望；
(2) 在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
2
2
y
x
21. 已知椭圆 C ： + =1 ? a > b >0 的左、右焦点分别为 F ， F ，点 M ?0,2 是椭圆 C 的一个顶点， △ F M F 是等腰
1 2 1 2
2 2
a b
直角三角形.
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 过点 M 分别作直线 M A ，MB 交椭圆于 A ， B 两点，设两直线 M A ，MB 的斜率分别为 k ， k ，且 k + k =8 ，证
1 2 1 2
明：直线 A B 过定点.
x 2
22. 已知函数 f (x) =2a(x -1)e - x (其中 a ∈ R ,e 为自然对数的底数 ).
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
2
(2) 当 x >0 时， f (x +1) >ln x - x - x -3 ，求 a 的取值范围.
·12·
? ?1.3. 河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学试题
第 I卷 (选择题共60分 )
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
2 x
?
1. 已知集合 A = x x -3 x <0 ， B = x|3 ≥ 3 ，则 A ∩ B = ( )
?
? ?
1 1
?
A. 0, B. ,3 C. 0, 2 D. 1,3
? ? ?
? ?
2 2
1
0.1
2. 若 a =5 ， b = log 3 ， c =log 0.8 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( )
2 3
2
A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
3. 设 a,b ∈ R ，则使 a > b 成立的一个充分不必要条件是 ( )
1 1
3 3 2 2
A. a > b B. log ( a - b ) >0 C. a > b D. >
2
a
b
5
4. 我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表. 他通过 “ 对数积 ” 求得 ln2 ≈ 0.693 ，ln
4
≈0.223 ，由此可知ln0.2 的近似值为 ( )
A. -1.519 B. -1.726 C. -1.609 D. -1.316
5. 已知 y 关于 x 的函数图象如图所示，则实数 x ， y 满足的关系式可以为 ( )
3
1 x
x ? x -1
A. x -1 -log =0 B. 2 -1 = C. 2 - y =0 D. ln x = y -1
? ?
3
y y
x
6. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调函数. 若对任意 x ∈ R ，都有 f [ f (x ) -2 ] =3 ，则 f (4) = ( )
A. 9 B. 15 C. 17 D. 33
6 mx
7. 函数 f (x) = + 的最大值为 M ，最小值为 N ，则 M + N = ( )
x
| x| +1
e +1
A. 3 B. 4 C. 6 D. 与 m 值有关
2 2
8. 已知正实数 x ， y 满足 2 x + 4 x +1 y +1 -1 = y ，则 x +2y 的最小值为 ( )
? ?
3
A. 1 B. 2 C. 4 D.
2
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知集合 U 为全集，集合 A, B , C 均为 U 的子集.若 A ∩ B = ? ， A ∩ C ≠ ? ， B ∩ C ≠ ? ，则 ( )
A. A ? ? (B ∩ C ) B. C ? ? ( A ∪ B ) C. A ∪ B ∪ C = U D. A ∩ B ∩ C = ?
U U
10. 已知定义域为 I 的偶函数 f ( x ) 在区间 (0 , + ∞ ) 上单调递增，且 ? x ∈ I ，使 f ( x ) <0 ，则下列函数中符合上述条件的
是 ( )
1
2 x - x
A. f (x) = x -3 B. f ( x) =2 +2 C. f x =log ? x D. f (x ) = x -
?
2
x
·13·
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?11. 在 △A BC 中，三边长分别为 a ， b ， c ，且 a b c =2 ，则下列结论正确的是 ( )
2 2 2 2
A. a b <2 + a b B. a b + a + b >2 2 C. a + b + c ≥4 D. a + b + c ≤2 2
12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率 E 与工作年限 r ? r >0 ，劳累程度 T ?0 < T <1 ，劳动动机 b ?1 < b <5
-0.14 r
相关，并建立了数学模型 E =10 -10 T ? b ，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是 ( )
A. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱
D. 甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
第Ⅱ卷 (非选择题共90分 )
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
2
13. 若命题 “ ? x ∈ ?1,3 ,x + a x +1 >0 ” 是假命题，则实数 a 的最大值为 .
14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “ 数学王子 ” 的美誉，用其名字命名的 “ 高斯函数 ” ：设 x ∈ R ，
用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y = x 称为高斯函数，也称取整函数，例如： -1.3 =-2 ，3.4 = 3 ，已知
? ? ? ?
1 1
f x = - ，则函数 y = f x 的值域为 .
? ? ?
x
3
3 +1
15. 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (x -1) 为偶函数，且当0 < x ≤1 时， f (x) =log (2x) ，则 f (21) = .
2
2
x -4,x ≥ a,
?
16. 已知函数 f x = a ∈ R ，若函数 g( x) = f ( f (x) +1) 有三个零点，则实数 a 的取值范围是 .
? ?
-x
? ?
e -1,x < a
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
17. 已知函数 f (x) = | x - x|.
(1) 求不等式 f (x) <2 的解集；
(2) 若对任意 x ≥0 ，不等式 f ? x -2x + m >0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
18. 已知函数 f (x) =log (2 + x) -log (2 - x).
2 2
(1) 判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
(2) 若关于 x 的方程 f (x) =log (a + x) 有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围.
2
·14·
?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?19. 设 a ， b ， c 为正实数，且 a + b + c =1. 证明：
1 1 1 9
(1) + + ≥ ；
c + a 2
a + b b + c
a b + b c + c a -3a b c
3 3 3
(2)a + b + c ≥ .
2
1
20. 已知函数 f (x) = (x ∈ R ).
x
2 +1
(1) 已知 f x 的图象存在对称中心 (a,b) 的充要条件是 g(x) = f (x + a ) - b 的图象关于原点中心对称，证明： f x
? ?
的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；
3
?
(2) 若对任意 x ∈ [1,n] ，都存在 x ∈ 1, 及实数 m ，使得 f (1 - mx ) + f (x x ) =1 ，求实数 n 的最大值.
?
1 2 1 1 2
?
2
·15·
?
?
?
? ?21. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月 (30 天 ) 内的日销售量 m t ( 百件 ) 与时间第 t 天的
?
关系如下表所示：
第 t天 1 3 10 ? 30
日销售量 m t (百件 ) 2 3 6.5 ? 16.5
?
未来30 天内，受市场因素影响，前15 天此商品每天每件的利润 f t (元 ) 与时间第 t 天的函数关系式为 f t =-3t
? ?
1 1
+88 (1 ≤ t ≤15 ，且 t 为整数 ) ，而后15 天此商品每天每件的利润 f t (元 ) 与时间第 t 天的函数关系式为 f t =
2 ? 2 ?
600
+2(16 ≤ t ≤30 ，且 t 为整数 ).
t
t
(1) 现给出以下两类函数模型： ① m t = k t + b( k 、 b 为常数 ) ； ② m t = b ? a (a 、 b 为常数， a >0 且 a ≠1. 分析表格
? ?
中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2) 若这30 天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过 4 万元，则考虑转型. 请判断该公司是否需要转型？并说
明理由.
1
-1, 0 < x <1
x
22. 已知函数 f ? x = ? .
2
? ?
x -1 , x ≥1
?
2
1
2
(1) 当0 < a < b ，且 f a = f b 时，求 + b -1 的取值范围；
? ? ?
?
a
(2 ) 是否存在正实数 a ， b ? a < b ，使得函数 y = f ? x 在 ? a,b 上的取值范围是 ? a -1,b -1 . 若存在，则求出 a ， b 的
值；若不存在，请说明理由.
·16·
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?1.4. 江苏省南京市六校联合体2023届高三8月联合调研数学
?南京外国语学校、南师大附中、金陵中学、南外仙林分校、南师附中江宁分校、金陵中学河西分校
一、单项选择题 (本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )
1
x+1
?
1. 已知集合 M = -1 ，1 ， N = x <2 <4 ， x ∈ Z ，则 M ∩ N = ( )
?
? ?
?
2
A. 1 B. -1 C. -1 ,1 D. ( -2 ,1)
? ? ?
2. 复数 z 满足 1 +2i z =3 -i ，则 z = ( )
? ?
A 2 B. 3 C. 2 D. 5
? ? ? ?
? ? ? ? ?
3. 若非零向量 a ， b 满足 a = b ， a +2b ⊥ a ，则向量 a 与 b 夹角为 ( )
? ? ?
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
4. 如图，用 4 种不同的颜色把图中 A 、 B 、 C 、 D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 (
) 种 ( )
A. 144 B. 73 C. 48 D. 32
π π
5. 将函数 f ( x ) = 2sin ωx - ( ω > 0 ) 的图象向左平移个单位得到函数 y = g ( x ) 的图象，若 y = g ( x ) 在
?
3 3ω
π π
?
? - , 上为增函数，则 ω 最大值为 ( )
?
6 4
3
A. B. 2 C. 3 D. 5
2
0.5 0.4
6. 若 a =0.4 ,b =0.5 ,c =log 4 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
32
A. a < b < c B. b < c < a C. c < b < a D. c < a < b
2
y
2
7. 设双曲线 C : x - =1 的左 ? 右焦点分别为 F ， F ， P 是 C 上一点，且 F P ⊥ F P ，若 △ P F F 的面积为4 ，则双曲线
1 2 1 2 1 2
2
b
C 的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
2
8. 定义在 R 上的偶函数 f x 满足对任意的 x ∈ R ，都有 f 1 + x = f 3 - x ，当 x ∈ 0,2 时， f x = 4 - x ，若函
? ? ? ? ?
数 y = f x - k x 在 x ∈ (0 , +∞ ) 上恰有3 个零点，则实数 k 的取值范围为 ( )
?
15 3 14 3 35 15 35 14
?
A. ， B. ， C. ， D. ，
? ?
? ? ?
?
15 3 14 3 35 15 35 14
二、多项选择题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得 5分，
部分选对的得2分，有选错的得0分 )
9. 为研究混凝土的抗震强度 y 与抗压强度 x 的关系，某研究部门得到下表的样本数据：
x 140 150 170 180 195
y 23 24 26 28 28
? ?
若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 y =0.1 x + a ，则下列说法正确的是 ( )
?
A. a =9.1 B. 当 x 增加1 个单位时， y 增加约0.1 个单位
C. y 与 x 正相关 D. 若抗压强度为220 时，抗震强度一定是33.1
·17·
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?2 2
10. 已知圆 C : x - a + y - b =1 ，则下列命题正确的是 ( )
? ?
A. 若 a = b ，则圆 C 不可能过点 0,2
?
B. 若圆 C 与两坐标轴均相切，则 a = b
C. 若点 3,4 在圆 C 上，则圆心 C 到原点的距离的最小值为4
?
2 2
D. 若圆 C 上有两点到原点的距离为1 ，则 a + b <4
2 5 2 10
11. 若 x - x +2 = a + a x + a x +?+a x ，则下列选项正确的是 ( )
?
0 1 2 10
A. a =32 B. a =80 C. a + a +?+a =32 D. ? a + ? a +?+ ? a =992
0 2 1 2 10 1 2 10
x
12. 已知函数 f (x) = ，过点 (a,b) 作曲线 f (x) 的切线，下列说法正确的是 ( )
x
e
A. 当 a =0 ， b =0 时，有且仅有一条切线
4
B. 当 a =0 时，可作三条切线，则0 < b <
2
e
C. 当 a =2 ， b >0 时，可作两条切线
4 - a a
D. 当0 < a <2 时，可作两条切线，则 b 的取值范围为或
2 a
e e
三、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分 )
13. 已知数列 a 的前 n 项和为 S ，且满足2a + S =3 ，则 a 的值为．
?
n n n n 5
π π 7 7
14. 已知 α ∈ 0, ， β ∈ ,π ，cos2 β =- ，sin (α + β) = ，则sin α 的值为．
? ?
2 2 9 9
2 2 2
15. P 是抛物线 y = 8 x 上的动点， P 到 y 轴的距离为 d ，到圆 C : ( x + 3 ) + ( y - 3 ) = 4 上动点 Q 的距离为 d ，则 d +
1 2 1
d 的最小值为．
2
16. 在三棱锥 A - BC D 中， △ BC D 是边长为 3 的正三角形，且 A D = 3 ， A B = 2 3 ，二面角 A - BD - C 的大小为
π
，则此三棱锥外接球的体积为．
3
四、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )
17. 已知 △A BC 的三个内角 A,B ,C 所对的边分别为 a ， b ， c ，tan Btan C - 3 tan B +tan C =1.
?
(1) 求角 A 的大小；
(2 ) 若 a =1 ，2c - ( 3 +1)b =0 ，求 △A BC 的面积.
·18·
?
? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ?18. 已知数列 {a } 满足 a =1 ， a =3 ，数列 {b } 为等比数列，且满足 b (a - a ) = b .
n 1 2 n n n+1 n n+1
(1) 求数列 {a } 的通项公式；
n
a ,n 为奇数,
n
?
(2) 数列 {b } 的前 n 项和为 S ，若，记数列 {c } 满足 c = 求数列 {c } 的前2n 项和 T ．
n n n n n 2 n
?
?
b ,n 为偶数,
n
在①2S = S -2 ， ② b ，2a ， b 成等差数列， ③ S =126 这三个条件中任选一个补充在第 (2) 问中，并对其求解．
2 3 2 3 4 6
2
19. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为
3
1
．比赛采用 “ 三局两胜 ” 制，先胜二局者获胜．商定每局比赛 ( 决胜局第三局除外 ) 胜者得3 分，败者得1 分；决胜
3
局胜者得2 分，败者得0 分．已知各局比赛相互独立．
(1) 求比赛结束，甲得6 分的概率；
(2) 设比赛结束，乙得 X 分，求随机变量 X 的概率分布列与数学期望．
20. 如图，在四棱锥 S - A BC D 中，四边形 A BC D 是矩形， △ S A D 是正三角形，且平面 S A D ⊥ 平面 A BC D ， A B =1 ，
2 3
P 为棱 A D 的中点，四棱锥 S - A BC D 的体积为．
3
(1) 若 E 为棱 S B 的中点，求证： P E ? 平面 S C D ；
(2) 在棱 S A 上是否存在点 M ，使得平面 P M B 与平面 S A D 所成锐二面角的余
2 3
弦值为？若存在，指出点 M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
5
·19·2
2
y
x
21. 已知椭圆 C : + = 1 的上下顶点分别为 A ， B ，过点 P 0 ，3 且斜率为 k ( k < 0 ) 的直线与椭圆 C 自上而下交
?
5 4
于 M ， N 两点，直线 BM 与 A N 交于点 G.
(1) 设 A N ， BN 的斜率分别为 k ， k ，求 k ? k 的值 ;
1 2 1 2
(2) 求证：点 G 在定直线上.
2
22. 已知函数 f x = x +2 ln x +2 ， g x = x + (3 - a)x +2 1 - a (a ∈ R ).
? ? ? ? ?
(1) 求函数 f x 的极值；
?
(2 ) 若不等式 f x ≤ g(x) 在 x ∈ ( -2 , +∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范围；
?
1
1 1 1 1

3
(3) 证明不等式：1 + 1 + 1 + ? ? ? 1 + ? 2 3 n
? ? ?
4
4 4 4
·20·
? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
?1.5. 浙江省镇海中学、学军中学、温州中学等2022-2023学年高三上学期适应性联合考试数学试题
浙江省名校协作体：镇海中学、学军中学、舟山中学、桐乡高级中学、嘉兴一中、金华一中、衢州二中、
?
温州中学、湖州中学、长兴中学、温岭中学、缙云中学、瑞安中学、绍兴一中、丽水中学、春晖中学
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
?
1. 已知集合 A = { x||x| <2} ， B = x <1 ， a ∈ A ∩ B ，则 a 的值可以是 ( )
? ? ?
x
1 1
A. 3 B. -3 C. D. -
3 3
? ? ? ?
? ? ? ?
2. 已知向量 a ,b 满足 |a | =2 ， |b | =3 ， |a -2b | =2 13 则 a 与 b 的夹角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
3. 如图是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为 “ 潮涌 ” ，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展. 如
l
1
图是会徽的几何图形，设弧 A D 长度是 l ，弧 BC 长度是 l ，几何图形 A BC D 面积为 S ，扇形 BO C 面积为 S ，若
1 2 1 2
l
2
S
1
=2 ，则 = ( )
S
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
? ?
4. 已知复数 z 满足 z ? z +4i z =5 + a i ，则实数 a 的取值范围为 ( )
A. [-4,4] B. [-6,6] C. [-8,8] D. [-12 ,12 ]
5. 若 A B =2,A C = 2 BC ，则 S 的最大值是 ( )
△A BC
A. 6 B. 2 2 C. 3 D. 2 3
6. 用 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 组成六位数 ( 没有重复数字 ) ，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和 2 相邻的概率
是 ( )
5 4 5 13
A. B. C. D.
18 9 9 18
2
2
y
x
7. 已知椭圆 + =1 a > b >0 的左、右焦点分别为 F 、 F ，经过 F 的直线交椭圆于 A ， B ， △ A BF 的内切圆的圆
?
1 2 1 2
2 2
a b
? ? ? ? ? ?
? ?
心为 I ，若3IB +4IA +5IF =0 ，则该椭圆的离心率是 ( )
2
5 2 3 1
A. B. C. D.
5 3 4 2
a a
n n+1
8. 已知数列 a 满足递推关系e -1 = a e ，且 a >0 ，若存在等比数列 b 满足 b ≤ a ≤ b ，则 b 公比 q 为
? ? ?
n n 1 n n+1 n n n
( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 e 3 π
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5
分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．
9. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有 1 ，2 ，3 ，4 的正四面体一次，记事件 A 表示 “ 第一个四面体向下的一面出
现偶数 ” ，事件 B 表示 “ 第二个四面体向下的一面出现奇数 ” ，事件 C 表示 “ 两个四面体向下的一面同时出现奇数或
·21·
? ? ?
?
? ?
?
?者同时出现偶数 ” ，则 ( )
1
A. P A B = P A C = P BC B. P A| B = P A|C =
? ? ? ? ?
2
1 1
C. P A BC = D. P A P B P C =
? ? ? ?
8 4
π
? ?
10. 定义在 0, 上的函数 f (x) ， f (x) 是它的导函数，且恒有 f ( x) > f (x)tan x 成立，则下列正确的是 ( )
?
2
π π π π π π π
A. 3 f > 2 f B. f (1 ) >2 f sin1 C. 2 f > f D. 3 f > f
? ? ? ? ? ? ?
4 3 6 6 4 6 3
2
2 2
11. 已知抛物线 y = 2 p x 上的四点 A 2,2 ， B ， C ， P ，直线 A B ， A C 是圆 M : x -2 + y = 1 的两条切线，直线 P Q 、
? ?
P R 与圆 M 分别切于点 Q 、 R ，则下列说法正确的有 ( )
1 1
A. 当劣弧 QR 的弧长最短时，cos ∠QP R =- B. 当劣弧 QR 的弧长最短时，cos ∠QP R =
3 3
C. 直线 BC 的方程为 x +2y +1 =0 D. 直线 BC 的方程为3x +6y +4 =0
?
12. 如图，在 △ A BC 中， A B = A C ， ∠ BA C = θ ， A B ? α ，设点 C 在 α 上的射影为 C ，将
△A BC 绕边 A B 任意转动，则有 ( )
?
A. 若 θ 为锐角，则在转动过程中存在位置使 ∠BC A =2∠BC A
1
?
B. 若 θ 为直角，则在转动过程中存在位置使 ∠BC A = ∠BC A
2
?
C. 若 θ =105 ° ，则在转动过程中存在位置使 ∠BC A > ∠ BC A
?
D. 若 θ =120 ° ，则在转动过程中存在位置使 ∠BC A > ∠ BC A
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
8
2
13. x - 的展开式中的常数项为．
?
x
2
2
y
x
14. 已知双曲线 C : - =1 ( a >0 , b >0 ) 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，以坐标原点 O 为圆心，过点 A 的圆与双曲线
2 2
a b
C 的一条渐近线交于位于第一象限的点 P ，若直线 P F 的斜率为 -3 ，则双曲线 C 的渐近线方程为．
15. 以 A BC 为底的两个正三棱锥 P - A BC 和 Q - A BC 内接于同一个球，并且正三棱锥 P - A BC 的侧面与底面
V
1
A BC 所成的角为45 ° ，记正三棱锥 P - A BC 和正三棱锥 Q - A BC 的体积分别为 V 和 V ，则 =
1 2
V
2
3
16. 设函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的偶函数，且 f x = f 2 - x ，当 x ∈ [0 ,1 ] 时， f ( x ) = x ，则函数 g ( x ) = |cosπ x |
? ?
1 5
?
- f (x) 在 - , 上所有零点之和为 .
?
?
2 2
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
2
17. 已知函数 f ? x =cos x + 3sin x ?cos x - .
2
(1) 求函数 f (x) 的单调递增区间；
π
?
(2 ) 求 f ( x) 在区间 0 ，上的最值.
?
?
2
·22·
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?n n
3 - ( -1) 1 + ( -1 )
18. 已知数列 a 满足 a =1,a = a + .
?
n 1 n+1 n
2 2
(1) 设 b = a ，求数列 ? b 的通项公式；
n 2n-1 n
(2 ) 求数列 a 的前2n 项和 S .
?
n 2n
19. 为应对气候变化，我国计划在 2030 年前实现碳排放量到达峰值，2060 年前实现 “ 碳中和 ”. 某市为了解本市企业
碳排放情况，从本市320 家年碳排放量超过2 万吨的企业中随机抽取50 家企业进行了调查，得到如下频数分布表，
并将年碳排放量大于18 万吨的企业确定为 “ 超标 ” 企业：
硫排放量 X [2.55.5 ) [5.5，8.5) [8.5，115) [115，14.5 ) [14.5.175 ) [175，20.5 ) [20.523.5 )
频数 5 6 9 12 8 6 4
?
2 2
(1) 假设该市这320 家企业的年碳排放量大致服从正态分布 N ? μ,σ ，其中 μ 近似为样本平均值 x ， σ 近似为样本方
?
2
差 s ，经计算得 x ≈12.8 ， s ≈5.2. 试估计这320 家企业中 “ 超标 ” 企业的家数；
(2) 通过研究样本原始数据发现，抽取的50 家企业中共有8 家 “ 超标 ” 企业，市政府决定对这8 家 “ 超标 ” 企业进行
跟踪调查，现计划在这8 家 “ 超标 ” 企业中任取5 家先进行跟踪调查，设 Y 为抽到的年碳排放量至少为20.5 万吨的
企业家数，求 Y 的分布列与数学期望.
2
(参考数据：若 X ~ X ～ N μ,σ ，则 P μ - σ ≤ X ≤ μ + σ =0.6827 ， P μ -2σ ≤ X ≤ μ +2σ =0.9545 ，
? ? ?
P μ -3σ ≤ X ≤ μ +3 σ =0.9973. )
?
·23·
?
? ? ?
?
?
?
?20. 如图，在四棱锥 P - A BC D 中，底面 A BC D 是等腰梯形， C D = 2 A B = 2 BC = 2 A D = 4 ，平面 A D P ⊥ 平面
A BC D , E 是 P C 的中点，且 △A D P 为等边三角形，平面 A D P ∩ 平面 P BC = m.
(1) 设 m ∩ 直线 BC = M ，求点 M 到平面 P D C 的距离；
(2) 求二面角 P - BE - D 的正弦值.
2
21. 抛物线 C : x =2 p y ( p >0 ) 的焦点为 F ，准线为 l , A 为 C 上的一点，已知以 F 为圆心， F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D
两点，
(1) 若 ∠ BF D =90 °, △ A BD 的面积为4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方程
(2 ) 若直线 y = k x + b 与抛物线 C 交于 P ， Q 两点，且 O P ⊥ O Q ，准线 l 与 y 轴
交于点 S ，点 S 关于直线 P Q 的对称点为 T ，求 |F T | 的取值范围.
x
22. 已知函数 f (x) =e - aln x．
(1) 当 a =1 时，证明 f (x) >2 ；
(2) 若 f (x) 存在极值点 x ，且对任意满足 f x = f x 的 x ,x ，都有 x + x >2x ，求 a 的取值范围．
? ?
0 1 2 1 2 1 2 0
·24·
? ?2.【9月期初卷】
2.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (一 )数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
2
?
1. 已知集合 A = -2,0 ,B = x x -2x =0 ，则以下结论正确的是 ( )
?
? ?
A. A = B B. A ∩ B = ?0 C. A ∪ B = A D. A ? B
2. 已知等比数列 ? a 满足 a =1,a ? a =4 a -1 ，则 a 的值为 ( )
n 1 3 5 ? 4 7
9
A. 2 B. 4 C. D. 6
2
3. 已知复数 z = a +1 - a i a ∈ R ，则 a =-1 是 z =1 的 ( )
? ? ?
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
? ?
? ? 1
2
4. 已知向量 a = cos θ,sin θ ， b = 2, -1 ，若 a ⊥ b ，则cos θ + sin2 θ 的值为 ( )
? ?
2
1 3 4 2
A. B. C. D.
3 5 5 3
5. 如图，在棱长为 2 的正方体 A BC D - A B C D 中， E ， F 分别是棱 A A ， C C 的中点，过 BE 的平面 α 与直线 A F
1 1 1 1 1 1 1
平行，则平面 α 截该正方体所得截面的面积为 ( )
A. 5 B. 2 5 C. 4 D. 5
6. 某工厂有 A , B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是 99 % 和98 % ，已知某批产品的 60 % 和40 % 分别
是 A,B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由 A 车间生产的概率为 ( )
3 4 1 3
A. B. C. D.
4 7 2 7
2
2
y
x π
7. 已知椭圆 C ： + = 1 ( a > b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F , F ， P 为椭圆上一点，且 ∠ F P F = ，若 F 关于
1 2 1 2 1
2 2
3
a b
∠ F P F 平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离心率为 ( )
1 2
2 3 1 1
A. B. C. D.
2 3 2 3
8. △A BC 中，角 A,B ,C 所对的三边分别为 a,b,c,c =2b ，若 △A BC 的面积为1 ，则 BC 的最小值是 ( )
3
A. 2 B. 3 C. 3 D.
3
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 某人工智能公司近5 年的利润情况如下表所示：
第 x年 1 2 3 4 5
利润 y/亿元 2 3 4 5 7
? ?
已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为 y =1.2 x + a ，则下列说法正确的
是 ( )
·25·
? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
??
A. a =0.6 B. 变量 y 与 x 之间的线性相关系数 r <0
C. 预测该人工智能公司第6 年的利润约为7.8 亿元 D. 该人工智能公司这5 年的利润的方差小于2
2
10. 已知抛物线 y = 4 x 的焦点为 F ，过原点 O 的动直线 l 交抛物线于另一点 P ，交抛物线的准线于点 Q ，下列说法正
确的是 ( )
A. 若 O 为线段 P Q 中点，则 ? P F =2 B. 若 ? P F =4 ，则 ? O P =2 5
C. 存在直线 l ，使得 P F ⊥ QF D. △P F Q 面积的最小值为2
11. 对于函数 f x = sin x +cos2 x ，下列结论正确得是 ( )
? ?
9 π
? ?
A. f x 的值域为 0, B. f x 在 0, 单调递增
? ? ? ?
? ?
8 2
π
C. f x 的图象关于直线 x = 对称 D. f x 的最小正周期为π
? ?
4
12. 已知正四棱台 A BC D - A B C D ( 上下底面都是正方形的四棱台 ). 下底面 A BC D 边长为2 ，上底面边长为1 ，侧棱
1 1 1 1
长为 2 ，则 ( )
8 2
A. 它的表面积为5 +3 7 B. 它的外接球的表面积为 π
3
C. 侧棱与下底面所成的角为60 ° D. 它的体积比棱长为 2 的正方体的体积大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
2
13. 设随机变量 X 服从正态分布 N 2,σ . 若 P X >0 =0.9 ，则 P 2 < X <4 = .
? ? ?
a a a
1 2 2022
2022 2 2022
14. 若 (1 -2 x) = a + a x + a x +?+a x ，则 + +?+ 的值 .
0 1 2 2022
2 2022
2
2 2
2 2
15. 对圆 ( x -1 ) + ( y -1 ) =1 上任意一点 P ( x , y ) ，若点 P 到直线 l :3 x -4 y -9 =0 和 l :3 x -4 y + a =0 的距离和都
1 2
与 x ， y 无关，则 a 的取值区间为 .
x y
16. 若e -e =e, x,y ∈ R ，则2x - y 的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 在平面直角坐标系 x O y 中，已知角 α 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点
3 4
P - , - .
?
5 5
π
(1) 求sin α + 的值；
?
3
5
(2 ) 若角 β 满足sin α + β = ，求cos β 的值.
?
13
·26·
?
?
?
? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ?2
18. 设正项数列 a 的前 n 项和为 S ，已知2S = a + a .
?
n n n n n
(1) 求 ? a 的通项公式；
n
2a π
n
2
(2 ) 记 b = a cos ， T 是数列 b 的前 n 项和，求 T .
?
n n n n 3n
3
19. 如图，在四棱锥 P - A BC D 中，底面 A BC D 为正方形， P D ⊥ 底面 A BC D ， M 为线段
P C 的中点， P D = A D ， N 为线段 BC 上的动点.
(1) 证明：平面 M N D ⊥ 平面 P BC
(2) 当点 N 在线段 BC 的何位置时，平面 M N D 与平面 P A B 所成锐二面角的大小为30 °？
指出点 N 的位置，并说明理由.
20. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏. 班主任把除颜色不同外其余均相同的
8 个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各 3 个，红色球与绿色球各1 个. 现甲、乙两位同学进行摸球得分比
赛，摸到白球每个记1 分，黄球每个记2 分，红球每个记3 分，绿球每个记4 分，规定摸球人得分不低于 8 分获胜. 比
赛规则如下： ① 只能一个人摸球； ② 摸出的球不放回； ③ 摸球的人先从袋中摸出 1 球；若摸出的是绿色球，则再从袋
子里摸出 2 个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出 3 个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和； ④ 剩下
的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
(1) 若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
(2) 如果乙先摸出了红色球，求乙得分 ξ 的分布列和数学期望 E ξ ；
?
(3) 第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
·27·
?
?
?
?21. 设0 < x <1.
2
x sin x
(1) 证明：1 - < <1 ；
6 x
3
x
(2) 若 a x - 6
2 2
22. 已知双曲线 C :x - y =1 和点 B 0 ,1 .
?
(1) 斜率为 k 且过原点的直线与双曲线 C 交于 E ,F 两点，求 ∠ E BF 最小时 k 的值.
(2) 过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P ,Q 两点，若曲线 C 上存在定点 A ，使 k + k 为定值 λ ，求点 A 的坐标及实
A P A Q
数 λ 的值.
·28·
?2.2. 湖南省长沙一中2023届高三月考试卷 (一 )数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
x -3
? ?
1. 已知集合 P = x log x >1 ,Q = x ≤0 ，则 ? P ∩ Q = ( )
?
2 R
? ?
? ?
x +2
A. [-2 ,2] B. ( -2,2] C. [0,2] D. (0,2]
2. 已知复数 z ,z 满足 z ≠0, ? z ? z =2 ? z ，则 ? z = ( )
1 2 2 1 2 2 1
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
3. 若e ,e 是夹角为60 ° 的两个单位向量，则 a =2e +e 与 b =-3e +2e 的夹角为 ( )
1 2 1 2 1 2
A. 30 ° B. 60 ° C. 120 ° D. 150 °
4. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14 含量 P 会按确定的比率衰减 ( 称为衰减率 ) ， P 与死亡年数 t 之间的函数关系
t
1
a
式为 P = ( 其中 a 为常数 ) ，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为 “ 半衰期 ” . 若2021 年某遗址
?
2
文物出土时碳14 的残余量约占原始含量的75 % ，则可推断该文物属于 ( )
参考数据：log 0.75 ≈ -0.4 , 参考时间轴：
2
A. 宋 B. 唐 C. 汉 D. 战国
5. 《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军 “ 蛟龙突击队 ” 奉命执行撤侨任务的故事. 撤侨过程
中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务 A 必须排在前三位，且任
务 E 、 F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A. 240 种 B. 188 种 C. 156 种 D. 120 种
6. 函数 f x =2sin ωx + φ ( ω >0 且0 < φ <π ) 在一个周期内的图象如图所示，将函数 y = f x 图象上的点的横坐
? ? ?
π π
标伸长为原来的2 倍，再向右平移个单位长度，得到函数 y = g x 的图象，则 g = ( )
?
?
4 3
A. 3 B. 1 C. -1 D. - 3
7. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部
?
是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109 °28 ，这样的设计含有深刻的数学原理. 我著名数学家华罗庚曾
专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书. 用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱
? ? ? ? ? ?
柱 A BC D E F - A B C D E F 的三个顶点 A , C , E 处分别用平面 BF M ，平面 BD O ，平面 D F N 截掉三个相等的三棱
锥 M - A BF , O - BC D , N - D E F ，平面 BF M ，平面 BD O ，平面 D F N 交于点 P ，就形成了蜂巢的结构. 如图，设平
面 P BO D 与正六边形底面所成的二面角的大小为 θ ，则 ( )
3 3 3 3
? ? ?
A. tan θ = tan54 °44 B. sin θ = tan54 °44 C. cos θ = tan54 °44 D. tan θ =
?
3 3 3
tan54 °44
·29·
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
? ?8. 在三棱锥 P - A BC 中， P A ⊥ 平面 A BC ， A B = 2 ， △ A BC 与 △ P A B 的外接圆圆心分别为 O ， O ，若三棱锥 P -
1 2
A BC 的外接球的表面积为16π ，设 O A = a ， O A = b ，则 a + b 的最大值是 ( )
1 2
A. 5 B. 10 C. 2 3 D. 2 5
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2
2
y
x
9. 已知椭圆 C ： + =1 ， F 、 F 是椭圆 C 的两个焦点， M 、 N 是椭圆 C 上两点，且 M 、 N 分别在 x 轴两侧，则
1 2
25 16
( )
A. 若直线 M N 经过原点，则四边形 M F N F 为矩形 B. 四边形 M F N F 的周长为20
1 2 1 2
C. △M F F 的面积的最大值为12 D. 若直线 M N 经过 F ，则 F 到直线 M N 的最大距离为8
1 2 2 1
10. 已知正方体 A BC D - A B C D 的棱长为 2 ，点 O 为 A D 的中点，若以 O 为球心， 6 为半径的球面与正方体
1 1 1 1 1 1
A BC D - A B C D 的棱有四个交点 E ， F ， G ， H ，则下列结论正确的是 ( )
1 1 1 1
A. A D ? 平面 E F G H B. A B 与 E H 所成的角的大小为45 °
1 1 1 1
10
C. A C ⊥ 平面 E F G H D. 平面 E F G H 与平面 O E F 所成角夹角的余弦值为
1
10
11. 已知函数 f ( x) = xln (1 + x) ，则 ( )
A. f (x) 在 (0, +∞ ) 单调递增 B. f (x) 有两个零点
1 1
C. 曲线 y = f (x) 在点 - , f - 处切线的斜率为 -1 -ln2 D. f (x) 是偶函数
? ?
2 2
xln x, x >0
?
?
?
0, x =0
12. 已知函数 f x = ，则下列说法正确的有 ( )
?
?
1
?
f x +1 , x <0
? ?
?
2
1
A. 当 x ∈ ? -3, -2 时， f ? x = ? x +3 ln ? x +3
8
B. 若不等式 f x - mx - m <0 至少有3 个正整数解，则 m >ln3
?
-2
C. 过点 A ? -e ,0 作函数 y = f ? x ? x >0 图象的切线有且只有一条
a
a
x
D. 设实数 a >0 ，若对任意的 x ≥e ，不等式 f x ≥ e 恒成立，则 a 的最大值是e
?
x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
8 3 3 2
13. ? x -2y + z 的展开式中 x y z 的系数是 (用数字作答 ).
2 2
14. 过点 P (2 ,2) 作圆 x + y =4 的两条切线，切点分别为 A 、 B ，则直线 A B 的方程为 .
2
15. 已知函数 f x = x + aln 2x +1 有两个不同的极值点 x 、 x ，且 x < x ，则实数 a 的取值范围是 .
? ?
1 2 1 2
2
2
y
5 -1 x
16. 定义离心率是的椭圆为 “ 黄金椭圆 ”. 已知椭圆 E : + = 1 (10 > m > 0 ) 是 “ 黄金椭圆 ” ，则 m =
2 10 m
2
2
y
x
，若 “ 黄金椭圆 ” C : + =1( a > b >0 ) 两个焦点分别为 F -c,0 、 F ( c ,0 ) ( c >0 ) ， P 为椭圆 C 上的异于
?
1 2
2 2
a b
|P M |
顶点的任意一点，点 M 是 △P F F 的内心，连接 P M 并延长交 F F 于点 N ，则 = .
1 2 1 2
|M N |
·30·
?
? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
? ?四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a ,n 为奇数
n
17. 已知数列 a 满足 a =1,a = ?
?
n 1 n+1
? ?
2a , n 为偶数
n
(1) 记 b = a ，写出 b ,b ，并求出数列 ? b 的通项公式；
n 2n 1 2 n
(2 ) 求数列 a 的前2022 项和 S .
?
n 2022
18. 如图， A D = BC =6 , A B =20 , O 为 A B 中点，曲线 C M D 上任一点到 O 点的距离
相等， ∠D A B = ∠ A BC =120 °,P ,Q 在曲线 C M D 上且关于 O M 对称.
(1) 若点 P 与点 C 重合，求sin ∠P O B 的值；
(2) 求五边形 M QA BP 面积 S 的最大值.
19. 如图，圆台下底面圆 O 的直径为 A B ， C 是圆 O 上异于 A , B 的点，且 ∠ BA C =30 ° ，
?
M N 为上底面圆 O 的一条直径， △M A C 是边长为2 3 的等边三角形，MB =4.
(1 ) 证明： BC ⊥ 平面 M A C ；
(2) 求平面 M A C 和平面 N A B 夹角的余弦值.
·31·
?
?
?20. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有 X 个孩子的概率模型为：
X 1 2 3 0
α
2
概率 α α 1 - p α(1 - p)
?
p
1
其中 α >0,0 < p <1. 每个孩子性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件 A 表示一个家庭有i 个孩
i
2
子 i =0 ,1,2,3 ，事件 B 表示一个家庭的男孩比女孩多 (例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多 ).
?
1
(1) 若 p = ，求 α 和 P B ；
?
2
(2) 为了调控未来人口结构，其中参数 p 受到各种因素的影响 ( 例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等 ).
①若希望 P ? X =2 增大，如何调控 p 的值？
5
②是否存在 p 的值使得 E X = ，请说明理由.
?
3
2
2
y
x
21. 设 A , B 为双曲线 C : - = 1 ( a >0 , b >0 ) 的左、右顶点，直线 l 过右焦点 F 且与双曲线 C 的右支交于 M , N 两
2 2
a b
点，当直线 l 垂直于 x 轴时， △A M N 为等腰直角三角形.
(1) 求双曲线 C 的离心率；
a
(2) 已知 A B =4 ，若直线 A M ,A N 分别交直线 x = 于 P ,Q 两点，当直线 l 的倾斜角变化时，以 P Q 为直径的圆是
2
否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
2
a x 1
22. 已知e 是自然对数的底数，函数 f x = ，直线 y = x 为曲线 y = f x 的切线， g x = x +1 ln x.
? ? ? ?
x
e
e
(1) 求 a 的值；
(2) ①判断 F x = f x - g x 的零点个数；
? ? ?
m ,m ≤ n,
2
?
②定义min m , n = 函数 m x =min f x , g x .h x = m x - t x 在 0, +∞ 上单调递增. 求实数
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
n,m > n,
t 的取值范围.
·32·
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?2.3. 江苏省南京师大附中2022 -2023学年高三上学期期初阶段考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1. 已知集合 A = { x|x -2x -3 <0} ， B = { x|log x <2} ，则 A ∩ B = ( )
2
A. ( -1,4) B. ( -1,3) C. (0,3) D. (0,4)
? 2 + i
2. 已知复数 z 的共轭复数 z = ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )
3 - i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2
x -2x +2, x >0
?
3. 已知函数 f x = 的值域为 1, +∞ ，则 a 的最小值为 ( )
? ?
?
?
- x + a, x ≤0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
π
4. 函数 f x =cos ωx + φ ω >0, φ < 的部分图象如图所示，则 f x 图象的一个对称中心是 ( )
? ? ? ?
?
2
π π
A. ,0 B. - ,0
? ?
3 3
5π 5π
C. ,0 D. - ,0
? ?
6 6
2
2
y
x
5. 已知过椭圆 + = 1 a > b >0 的左焦点 F -1,0 的直线与椭圆交于不同的两点 A ， B ，与 y 轴交于点 C ，点
? ?
2 2
a b
C ， F 是线段 A B 的三等分点，则该椭圆的标准方程是 ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
y y y y
x x x x
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
6 5 5 4 3 2 4 3
6. 如图，已知正四棱锥 P - A BC D 的底面边长和高的比值为 t ，若点 E 是棱 P D 的中点，则异面直线 P B 与 C E 所成
角的正切值为 ( )
t 1
A. B.
2 2
t +2 2t +1
2t 2
C. D.
2 2
t +2 2t +1
2 ? a -1
7. 已知函数 f x = ln ex + x ， g x = 3 - ，若直线 y = 2 x + b 与曲线 y = f x ， y =
? ? ? ?
x -1
g x 都相切，则实数 a 的值为 ( )
?
5 17 17 17e
A. B. C. D.
4 16 8 8
2
2
y
x
8. 已知双曲线 Γ ： - = 1 a >0,b >0 的右焦点为 F ，直线 y = k x 与 Γ 交于 A ， B 两点 ( 点 A 在第一象限 ) ，线
?
2 2
a b
段 A F 的中点为 P ， O 为坐标原点．若 ? O A = ? O F ，2 ? O P = 3 ? O B ，则Γ 的两条渐近线的斜率之积为 ( )
A. -4 -2 3 B. -3 -2 3 C. 3 -2 3 D. -4 +2 3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选
对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.
9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标
? ?
1
准分数 z = x - x i =1,2, ?, n ，其中 x 为原始分数， x 为原始分数的平均数， s 为原始分数的标准差．已知某
?
i ? i i
s
?
校的一次数学考试，全体考生的平均成绩 x =115 ，标准差 s =10.8 ，转化为标准分数后，记平均成绩为 m ，标准差为
σ ，则 ( )
·33·
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ?A. m =115 B. m =0 C. σ =10.8 D. σ =1
10. 已知动点 M 到点 N (2k,k -1) 的距离为 3 ，记动点 M 的运动轨迹为Γ ，则 ( )
x
A. 直线 y = -1 把Γ 分成面积相等的两部分
2
B. 直线 x -2y +3 =0 与Γ 没有公共点
x
C. 对任意的 k ∈R ，直线 y = 被Γ 截得的弦长都相等
2
D. 存在 k ∈R ，使得Γ 与 x 轴和 y 轴均相切
11. 已知等比数列 a 满足 a >0 ，公比 q >1 ，且 a a ? a <1 ,a a ? a >1 ，则 ( )
?
n 1 1 2 2021 1 2 2022
A. a >1 B. 当 n =2021 时， a a ? a 最小
2022 1 2 n
C. 当 n =1011 时， a a ? a 最小 D. 存在 n <1011 ，使得 a a = a
1 2 n n n+1 n+2
x
12. 已知函数 f ? x = x e ，则 ( )
A. 曲线 y = f x 在点 0,0 处的切线方程为 y = x
? ?
B. 曲线 y = f x 的极小值为 -e
?
2 1
C. 当 ≤ a < 时， f x < a x -1 仅有一个整数解
? ?
2
2e
3e
2
3e
2
D. 当2e ≤ a < 时， f x < a x -1 仅有一个整数解
? ?
2
三、填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
π
13. 若 α ∈ 0, ， 2cos α -sin α =1 ，则cos2 α = ．
?
2
14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有
人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为．
2
15. 若对任意的 x ∈ ?1,4 ，都有 x ? x - a > x -3x +4 ，则实数 a 的取值范围为 .
16. 有一张面积为 8 2 的矩形纸片 A BC D ，其中 O 为 A B 的中点， O 为 C D 的中点，将矩形
1
A BC D 绕 O O 旋转得到圆柱 O O ，如图所示，若点 M 为 BC 的中点，直线 A M 与底面圆 O 所成
1 1
2
角的正切值为， E F 为圆柱的一条母线 ( 与 A D ， BC 不重合 ) ，则当三棱锥 A - E F M 的体积
4
取最大值时，三棱锥 A - E F M 外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.
2b - c cos C
17. 在 △A BC. 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 = ， a =3.
a cos A
(1) 求角 A ；
? ?? ? ?? ? ??
1 2
(2) 若点 D 在边 A C 上，且 BD = BA + BC ，求 △BC D 面积的最大值.
3 3
·34·
? ?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?2
n + n
18. 已知数列 ? a 的前 n 项和 S = .
n n
2
(1) 求 a 的通项公式；
?
n
b b b b
1 2 3 n
2
(2 ) 若数列 b 满足对任意的正整数 n ， ? ? ? ? ? ? ? ? = ( n +1) 恒成立，求证： b ≥4.
?
n n
a a a a
1 2 3 n
19. 随着生活节奏加快、生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能. 如图是根据 2016 - 2020
年全国居民每百户家用汽车拥有量 y(单位：辆 ) 与全国居民人均可支配收入 x(单位：万元 ) 绘制的散点图.
(1) 由图可知，可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； (过程和结果保留两位小数 )
(2) 已知2020 年全国居民人均可支配收入为32189 元，若从2020 年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以
6% 的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到 50 辆.
参考数据：
5 5
? ? ? 2 ? ?
x y x - x x - x y - y
? ? i ? ? i ? i
i =1 i =1
2 82 32.56 0.46 5.27
5 6 7
1 +0.06 ≈1.34 ，1 +0.06 ≈1.42 ，1 +0.06 ≈1.50.
? ? ?
n
? ?
x - x y - y
? ? i ? i
? ? ?
? ? ? ? ?
i=1
参考公式：回归方程 y = a + b x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b = ， a = y - b x.
n
? 2
x - x
? ? i
i=1
·35·
?
? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?20. 如图 1 ，在平行四边形 A BC D 中， A B ⊥ A C , A B = 1 , BC = 2 ，将 △ A C D 沿 A C 折起，使得点 D 到点 P 的位置，如
图2 ，设经过直线 P B 且与直线 A C 平行的平面为 α ，平面 α ∩ 平面为 P A C = m ，平面 α ∩ 平面为 A BC = n.
(1) 证明： m ? n ；
(2) 若 P B = 6 ，求二面角 A - P B - C 的正弦值.
2
2
y
x 2 2
21. 已知椭圆 C : + =1 ? a > b >0 的离心率为，且点 P 1, 在 C 上.
2 2
?
2 2
a b
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
3
(2 ) 设 F ， F 为椭圆 C 的左，右焦点，过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，若 △A BF 内切圆的半径为，求
1 2 2 1
4
直线 l 的方程.
22. 已知函数 f x =sin x - xcos x．
?
(1) 证明：当 x ∈ 0,π 时， f x >0 ；
? ?
(2) 记函数 g x = f x - x ，判断 g x 在区间 -2π,2π 上零点的个数．
? ? ? ?
·36·
? ? ? ?
? ?
?
?
?2.4. 浙江省杭州二中2022学年第一学期高三年级第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知集合 A = x ∈ Z ? -2 ≤ x ≤2 ， B = x ?log (x +1) ≤1 ，则 A ∩ B = ( )
? ? 2
A. ( -1 ，1] B. [-2 ，1] C. {0 ，1} D. { -2 ， -1 ，0 ，1}
?
2. 设 f (x) 在 x 处可导，下列式子与 f x 相等的是 ( )
0 ? 0
f ? x - f ? x +Δx f ? x +Δx - f ? x -Δx
0 0 0 0
A. lim B. lim
Δ x→0 Δx Δx→0 2Δ x
f x +2Δ x - f x f x - f x -Δx
? 0 ? 0 ? 0 ? 0
C. lim D. lim
Δ x→0 Δx Δx→0 -Δx
a b c
1 1 1
2 2
3. 已知 a a b b c c ≠0 ， “ 不等式 a x + b x + c >0 与 a x + b x + c >0 的解集相同 ” 是 = = 的 ( )
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
a b c
2 2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 2018 年 9 月 24 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 89 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼
猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》
的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想. 在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于
x
数字 x 的素数个数大约可以表示为π ? x ≈ 的结论. 若根据欧拉得出的结论，估计10000 以内的素数个数为 ( 素
ln x
数即质数，1 g e ≈0.43429 ，计算结果取整数 )
A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145
ln1.2
0.1
5. 已知 a =e ， b = +1 ， c = 1.2 ，则它们的大小关系正确的是 ( )
2
A. b > a > c B. c > b > a C. a > c > b D. a > b > c
6. 如图，在正方形 A BC D 中， | A B | = 2 ，点 M 从点 A 出发，沿 A → B → C → D → A 方向，以每秒 2 个单位的速度在正
方形 A BC D 的边上运动：点 N 从点 B 出发，沿 B → C → D → A 方向，以每秒 1 个单位的速度在正方形 A BC D 的边
上运动. 点 M 与点 N 同时出发，运动时间为 t ( 单位：秒 ) ， △ A M N 的面积为 f ( t ) ( 规定 A ， M ， N 共线时其面积为零，
则点 M 第一次到达点 A 时， y = f (t) 的图象为 ( )
A. B. C. D.
x - a
7. 已知函数 f ( x ) = x (ln x - a ) ， g ( x ) = ，若对任意的 x ∈ [1 ,e ] ，均存在 x ∈ [ -1 ,1 ] ，使得 f x = g x ，则 a 的
? ?
1 2 1 2
x
e
取值可能是 ( )
A. 0 B. 2 C. -3 D. 1
2
8. 若函数 f ? x =ln x 与函数 g(x) = x + x + a(x <0) 有公切线，则实数 a 的取值范围是 ( )
1
A. ln , +∞ B. ? -1 , +∞ C. ?1, +∞ D. ?ln2 , +∞
?
2e
·37·
?
? ? ?
?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ?二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2
9. 已知集合 x x + a x + b =0,a >0 有且仅有两个子集，则下面正确的是 ( )
? ?
2 2
A. a - b ≤4
1
2
B. a + ≥4
b
2
C. 若不等式 x + a x - b <0 解集为 ? x ,x ，则 x x >0
1 2 1 2
2
D. 若不等式 x + a x + b < c 的解集为 x ,x ，且 ? x - x =4 ，则 c =4
?
1 2 1 2
10. 设 a ∈ R ，函数 f (x) = a 1 + x + 1 - x ，则 ( )
A. 当 a =±1 时， f (x) 具有奇偶性 B. 当 a ≤0 时， f (x) 在 [-1,1] 上单调
C. 当 a >0 时， f (x) 在 [-1,1] 上不单调 D. 当 a >0 时， f (x) 的最大值为max { 2 , 2 a}
11. 若正实数 x,y 满足ln y -ln x > y - x >sin y -sin x ，则下列不等式可能成立的有 ( )
A. 0 < x <1 < y B. y > x >1 C. 0 < y < x <1 D. 0 < x < y <1
x
12. 函数 f (x) =e (1 -3x) + a x - a ，其中 a <1 ，若有且只有一个整数 x ，使得 f ? x >0 ，则 a 的取值可能是 ( )
0 0
1 1 2 3
A. B. C. D.
e 2 e 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
x
2 , x ≥4
13. 已知函数 f x = ? ，则 f 2 +log 3 = .
? ?
2
? ?
f x +1 , x <4
?
1 1 2
14. 已知 a b = ， a ， b ∈ 0,1 ，那么 + 的最小值为 .
?
2 1 - a 1 - b
1
? ?
15. 若函数 f ( x ) 满足 ( x - 1 ) f ( x ) - f ( x ) = x + - 2 , f (e ) = e - 1 ，其中 f ( x ) 为 f ( x ) 的导函数，则函数 f ( x ) 在区间
x
1
?
, e 的取值范围是 .
? ?
?
e
1
kx
16. 已知对任意的 x ∈ (1, +∞ ) ，不等式 k ? e +1 - +1 ln x >0 恒成立，则 k 的取值范围是 .
?
?
x
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
17. 如图，设 △ A BC 的内角 A ， B ， C ，所对的边分别为 a ， b ， c ，若 C = ，且
3
sin A -sin B c - b
= ，点 D 是 △A BC 外一点， D C =1,D A =2.
sin C a + b
(1) 求角 B 的大小；
(2) 求四边形 A BC D 面积的最大值.
·38·
?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?2
18. 已知函数 f (x ) = x + a x - a + b(a,b ∈ R ).
(1) 若 b =2,y =ln f (x) 在 x ∈ [1,3] 上有意义且不单调，求 a 的取值范围；
(2) 若集合 A = x f x ≤0 ,B = x f f x +1 ≤0 ，且 A = B ≠ ? ，求 a 的取值范围.
? ? ? ? ? ? ?
n(n +1)
?
19. 已知各项均为正数的无穷数列 a 的前 n 项和为 S ，且满足 a =1 ， nS = ( n +1)S + n ∈ N .
? ?
n n 1 n+1 n
2
(1) 证明数列 ? a 是等差数列，并求出 ? a 的通项公式；
n n
a
n+2 1
(2 ) 设数列 b 满足 b = ，证明： b + b +?+ b < .
?
n n 1 2 n
n+2
2
2 S
n
20. 购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一. 每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作
品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性. 某礼品店2021 年
1 月到8 月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月份
月销售量/千个 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1) 求出月利润 y(万元 ) 关于月销售量 x(千个 ) 的回归方程 (精确到0.01 ) ；
(2 )2022 年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物 “ 冰墩墩 ” 和 “ 雪容融 ” 玩偶的两款盲盒，小明同学购买了 4 个装有
“ 冰墩墩 ” 玩偶的盲盒，4 个装有 “ 雪容融 ” 玩偶的盲盒，从中随机选出3 个作为元旦礼物赠送给同学. 用 X 表示3 个
中装有 “ 冰墩墩 ” 玩偶的盲盒个数，求 X 的分布列和数学期望.
n n
?
? ?
x - x y - y x y - nx y
? ?
? i ? i i i
8 8
? ?
? ? i=1 i=1
2
参考数据： x =460 ， x y =379.5 ，附：线性回归方程 y = b x + a 中， b = = ，
? i ? i i n n
? 2 ?2
i=1 i=1 22
x - x x - nx
? ?
? i i
i=1 i=1
?
? ? ?
a = y - b x.
·39·
?
? ?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?x
21. 已知函数 f (x ) =e ,x ∈ R.
f (m ) - f (n)
m + n
(1) 设 m > n ，证明： f < ；
?
2 m - n
c
(2) 已知 f (x) = g( x) + h(x) ，其中 g(x) 为偶函数， h(x) 为奇函数. 若 y = h(x) + b + (b,c ∈ R ,c ≠0) 有两个不同的
x
2
零点 x ,x ，证明： ? x - x < b -4c.
1 2 1 2
22. 已知函数 f ? x = asin x -ln ?1 + x ? a ∈ R 在区间 ( -1,0) 内存在极值点.
(1) 求 a 的取值范围；
(2) 判断关于 x 的方程 f x =0 在 -1,π 内实数解的个数，并说明理由.
? ?
·40·
? ?
? ? ?
?
?3.【10月诊断卷】
3.1. 湖南省雅礼中学2023届高三月考试卷 (二 )数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
2
1. 已知集合 M = x ∣ x - x -2 ≤0 ,N = x ∣ x <2 ，则 M ∩ N = ( )
? ?
A. ?0,2 B. ?0,2 C. ? -1,4 D. ? -1,2
2. 在平面直角坐标系 x O y 中，以点 (0 ，1) 为圆心且与直线 x - y -1 =0 相切的圆的标准方程为 ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. x + ( y -1) =2 B. (x -1) + y =1 C. x + ( y -1) = 2 D. (x -1) + y =4
3. Lo g i st i c 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确
K

诊病例数 I ( t ) ( t 的单位：天 ) 的 Lo g i st i c 模型： I ( t ) = ，其中 K 为最大确诊病例数. 当 I ( t ) =0.95 K 时，
-0.23(t -53)
1 +e

标志着已初步遏制疫情，则 t 约为 ( ) (ln19 ≈3) ( )
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
4. 在某种信息传输过程中，用 6 个数字的一个排列 ( 数字允许重复 ) 表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用
数字只有0 和1 ，例如001100 就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2 个1 的概率是 ( )
5 11 15 15
A. B. C. D.
16 32 32 64
1
5. 已知圆锥的母线长为 2 ，轴截面顶角的正弦值是，过圆锥的母线作截面，则截面面积的最大值是 ( )
2
A. 1 B. 3 C. 1 或 2 D. 2
2 x
6. 设函数 f ( x ) = a x + b x + c ( a , b , c ∈ R ) ，若 x =-1 为函数 f ( x )e 的一个极值点，则下列图像不可能为 y = f ( x ) 的图
像是
A. B. C. D.
2
2
y
x
7. 已知 F , F 分别是双曲线 C - = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 的左、右焦点，过 F 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P 、 Q
1 2 : 2
2 2
a b
两点，且 P Q ⊥ P F. 若 |P Q | = ? P F ，则双曲线 C 的离心率为 ( )
1 1
A. 6 - 3 B. 5 -2 2 C. 5 +2 2 D. 1 +2 2
8. 在棱长为6 的正方体 A BC D - A B C D 中， M 是 BC 的中点，点 P 是正方形 D C C D 面内 ( 包括边界 ) 的动点，且
1 1 1 1 1 1
满足 ∠A P D = ∠ M P C ，则三棱锥 P - BC D 的体积最大值是 ( )
A. 36 B. 24 C. 18 3 D. 12 3
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是 ( )
A. 利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合
精度较高
B. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化
C. 调查剧院中观众观后感时，从50 排 (每排人数相同 ) 中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法
·41·
?
? ? ? ?
? ?D. 样本数据9 、3 、5 、7 、12 、13 、1 、8 、10 、18 的第80 百分位数是12.5
ix
10. 1748 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式 e = cos x + isin x ( x ∈ R ,i 为虚数单
位 ) ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为 “ 数学中的天桥 ” ，据此公式，则有 ( )
2022
1 3
iπ ix -ix ix -ix
A. e +1 =0 B. + i =1 C. e +e ≤2 D. -2 ≤e -e ≤2
?
?
2 2
11. 已知函数 f ( x) =sin (cos x) +cos (sin x) ，则下列结论正确的是 ( )
π
A. f (x) 是偶函数 B. f (x) 在区间 0, 单调递减
?
2
C. f (x ) 的周期是π D. f (x) 的最大值为 2
12. 下列不等关系正确的是 ( )
e 3 π 3 e π e 3 π e 3 π
A. 3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
? ? ?
? ? ? ?
13. 已知 |b | =2 a 且 a ? (a - b ) =0 ，则 a ,b 的夹角是 .
?
x -x
14. 已知函数 f (x ) =e + a e (a 为常数 ) 为奇函数，且 g(x) = f (x) - mx 为增函数，则实数 m 的取值范围是 .
2 °
15. 已知抛物线 E :y =4x ，直线 l:y = k(x -1) 与 E 相交于 A,B 两点，若 M ( -1,1) 使得 ∠A M B =90 ，则 k = _ _ _ _ _.
16. 已知三角形数表：
1
1 2
1 2 4
1 2 4 8
??
k-1
1 2 4 8 ?2
???
现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列 a ，记此数列的前 n 项和为 S .若 S =
?
n n m
t ?
2 t ∈ Z ， m ∈ N , m >77 ，则 m 的最小值是 .
?
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
17. 已知 n ∈N ，抛物线 y =-x + n 与 x 轴正半轴相交于点 A.设 a 为该拋物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距.
n
(1) 求数列 ? a 的通项公式；
n
na
1 1 1 1
n

(2 ) 设 b = ，求证： + +?+ <2 - (n ∈N 且 n ≥2).
n
2 b b b n
1 2 n
·42·
?
?
?
?
?
?
?18. 在 △A BC 中，角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ，若 A + C ≤2B.
π
(1) 求证： B ≥ ；
3
n n n
(2) 对 n ∈N ，请你给出一个 n 的值，使不等式 a + c ≤2 b 成立或不成立，并证明你的结论.
0
19. 如图 1 ，在 ΔA BC 中， A C = 2 , ∠ A C B = 90 , ∠ A BC =
0
30 , P 是 A B 边的中点，现把 ΔA C P 沿 C P 折成如图 2 所
示的三棱锥 A - BC P ，使得 A B = 10.
(1) 求证：平面 A C P ⊥ 平面 BC P ；
(2) 求二面角 B - A C - P 的余弦值.
20. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品
尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为
它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级.
现设 n =4 ，分别以 a ,a ,a ,a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号，并令
1 2 3 4
X = 1 - a + 2 - a + 3 - a + 4 - a ，
? ? ? ?
1 2 3 4
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(Ⅰ ) 写出 X 的可能值集合；
(Ⅱ ) 假设 a , a ,a ,a 等可能地为1,2,3,4 的各种排列，求 X 的分布列；
1 2 3 4
(Ⅲ ) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X ≤2 ，
(i) 试按 ( Ⅱ ) 中的结果，计算出现这种现象的概率 (假定各轮测试相互独立 ) ；
(i i ) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
·43·
? ? ? ?2 2
21. 已知 A( -1,0) , B 是圆 F :x -2x + y -15 =0 上的任意一点，线段 A B 的垂直平分线交 BF 于点 P.
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；
S
1
(2) 设 P A ,P F 交轨迹 C 于另两点 D , E. 记 △P A F 和 △P D E 的面积分别为 S ,S . 求的取值范围.
1 2
S
2
1 1
t +
t
t t
22. 已知函数 f (x) = x + x - x (x >0,t 为正有理数 ).
(1) 求函数 f (x) 的单调区间；
(2 ) 证明：当 x ≥2 时， f (x) ≤0.
·44·3.2. 湖南省长郡中学2022 -2023学年高三上学期月考 (二 )数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知全集 U = R ，集合 A = 2,3,4 ，集合 B = 0,2,4,5 ，则图中的阴影部分表示的集合为
? ?
( )
A. 2,4 B. 0
? ?
C. ?5 D. ?0,5
a + i
2. 若 z = (i 为虚数单位 ) 是纯虚数，则 a = ( )
1 - i
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
?
3. 已知函数 y = f x 的图像在点 P 3, f 3 处的切线方程是 y =-2x +7 ，则 f 3 - f 3 = ( )
? ? ? ? ?
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
2
4. 命题 p ： “ ? x ∈ R ,a x +2a x -4 ≥0 ” 为假命题，则 a 的取值范围是 ( )
A. -4 < a ≤0 B. -4 ≤ a <0 C. -3 ≤ a ≤0 D. -4 ≤ a ≤0
1
x
5. 当0 < x ≤ 时，4 a
2
2 2
A. 0 ， B. ，1 C. (1 ， 2 ) D. ( 2 ，2)
? ?
2 2
π π
?
6. 已知函数 f ( x) =sin ωx + (ω >0) 在 ,π 上恰有3 个零点，则 ω 的取值范围是 ( )
?
?
?
3 3
8 11 14 11 14 17 11 14 17 14 17 20
? ? ? ? ? ?
A. , ∪ 4, B. ,4 ∪ , C. , ∪ 5, D. ,5 ∪ ,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一
般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，
在杨辉之后一般称为 “ 垛积术 ” 现有高阶等差数列，其前 7 项分别为1 ，4 ，8 ，14 ，23 ，36 ，54 ，则该数列的第19 项为
( )
n ? n +1 ?2n +1
2 2 2 2
(注：1 +2 +3 +?+n = )
6
A. 1624 B. 1198 C. 1024 D. 1560
3
8. 已知函数 f ? x = x + a x + b ， a 、 b ∈ R. x 、 x ∈ ? m ,n 且满足 f ? x = f ? n ， f ? x = f ? m ，对任意的 x ∈ ? m ,n 恒
1 2 1 2
有 f m ≤ f x ≤ f n ，则当 a 、 b 取不同的值时， ( )
? ? ?
A. n +2x 与 m -2x 均为定值 B. n -2x 与 m +2x 均为定值
1 2 1 2
C. n -2x 与 m -2x 均为定值 D. n +2x 与 m +2x 均为定值
1 2 1 2
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知奇函数 f ( x ) = 3sin ( ωx + φ ) - cos ( ωx + φ ) ( ω > 0 ,0 < φ < π ) 的最小正周期为 π ，将函数 f ( x ) 的图象向右平
π
移个单位长度，可得到函数 y = g(x) 的图象，则下列结论正确的是 ( )
6
π π
A. 函数 g(x) =2sin 2x - B. 函数 g( x) 的图象关于点 - ,0 对称
? ?
3 3
π π π
? ?
C. 函数 g( x) 在区间 - , 上单调递增 D. 当 x ∈ 0, 时，函数 g(x) 的最大值是 3
? ?
? ?
6 3 2
10. 正四棱锥 P - A BC D 的所有棱长为2 ，用垂直于侧棱 P C 的平面 α 截该四棱锥，则 ( )
A. P C ⊥ BD
B. 四棱锥外接球的表面积为8π
·45·
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?°
C. P A 与底面 A BC D 所成的角为60
D. 当平面 α 经过侧棱 P C 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为 3:1
- a ,n 为偶数
n
?
11. 已知数列 a 满足 a =8 ， a =1 ， a = ， T 为数列 a 的前 n 项和，则下列说法正确的有
? ?
n 1 2 n+2 n n
? ?
a -2,n 为奇数
n
( )
n-2
2
2
A. n 为偶数时， a = -1 B. T =- n +9n
n ? 2n
C. T =-2049 D. T 的最大值为20
99 n
? ? ? ?
12. 设定义在 R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为 f x 和 g x ，若 f x +2 - g 1 - x =2 ， f x = g x +1 ，且
? ? ? ? ? ? ? ?
g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是 ( )
?
?
A. g 1 =0 B. 函数 g x 的图象关于 x =2 对称
? ?
2021 2022
C. f k g k =0 D. g k =0
? ? ? ? ?
k=1 k=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 若log a +log b =6 ，则 a + b 的最小值为 .
2 2
? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
14. 已知边长为 2 的菱形 A BC D 中，点 F 为 BD 上一动点，点 E 满足 BE = 2 E C , A E ? BD =- ，则 A F ? E F 的最小值
3
为 .
2
15. 已知等差数列 a 和正项等比数列 b 满足 a = b =2,a = b =2a ，则数列 (a -2 )b 的前 n 项和为 .
? n ? n 1 1 7 3 3 ? n n
ln x x
16. 已知函数 f ( x ) = , g(x) = ，若存在 m ,n ，使得若存在 f (m ) = g(n) <0 成立，则 mn 的最小值为
x
x
e
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 a 中， S 为 a 的前 n 项和， a = S - n +3 ， n ∈ N ， a =2.
? n n ? n n+1 n 1
(1) 求 ? a 的通项公式；
n
n 1 4

(2 ) 设 b = n ∈ N ，数列 b 的前 n 项和为 T ，求证： ≤ T < n ∈ N .
? ? ?
n n n n
S - n +2 3 3
n
2π
18. 如图，在梯形 A BC D 中， A B ? C D ， A B =2 ， C D =5 ， ∠A BC = .
B
A
3
(1) 若 A C =2 7 ，求梯形 A BC D 的面积；
(2) 若 A C ⊥ BD ，求tan ∠A BD.
D
C
·46·
? ? ?
?
? ?
? ? ?
? ? ?
? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ?19. 如图，在三棱柱 A BC - A B C 中点， E 在棱 BB 上，点 F 在棱 C C 上，且点 E , F 均
1 1 1 1 1
不是棱的端点， A B = A C , BB ⊥ 平面 A E F , 且四边形 A A B B 与四边形 A A C C
1 1 1 1 1
的面积相等.
(1) 求证：四边形 BE F C 是矩形；
3
(2) 若 A E = E F =2,BE = ，求平面 A BC 与平面 A E F 所成角的正弦值.
3
20. 统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件
发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1) 现有池塘甲，已知池塘甲里有50 条鱼，其中 A 种鱼7 条，若从池塘甲中捉了2 条鱼. 用 ξ 表示其中 A 种鱼的条
数，请写出 ξ 的分布列，并求 ξ 的数学期望 E ξ ;
?
(2) 另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了 50 条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20 条鱼，发
现有记号的有5 条.
(ⅰ ) 请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
(ⅱ ) 统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率
产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件. 请从条件概率的角度，采用最大似然估计
法估计池塘乙中的鱼数.
·47·
?2
2
y
x 3
21. 已知椭圆 C ： + =1(a > b >0) 的四个顶点构成的四边形的面积为4 3 ，点 1 ，在椭圆 C 上.
2 2
?
2
a b
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2 ) 若矩形 M N P Q 满足各边均与椭圆 C 相切. 求证：矩形 M N P Q 对角线长为定值.
2
mx
x
22. 已知函数 f (x) =e - ,m ∈ R.
2
(1) 讨论 f (x) 极值点的个数；
(2 ) 若 f ( x) 有两个极值点 x ,x ，且 x < x ，证明 : f x + f x <2e - m.
? ?
1 2 1 2 1 2
·48·
? ?
?3.3. 湖南省雅礼中学高三年级第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知集合 P = x|log (x +1) <1,x ∈ N ,Q = 1,3,5 ， M = P ∪ Q ，则集合 M 中的元素共有 ( )
? 6 ?
A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 无数个
2
2. 设函数 f x = mx - mx -1 ，命题 “ ? x ∈ ?1,3 , f x ≤-m +2 ” 是假命题，则实数 m 的取值范围为 ( )
? ?
3 3
A. - ∞ , B. ? - ∞ ,3 C. , +∞ D. ?3, +∞
? ?
7 7
3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自
1
乘，并之，二而一. 其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积 = ( 弦 × 矢 + 矢 × 矢 ). 弧田是由圆弧 ( 简称为弧
2
田弧 ) 和以圆弧的端点为端点的线段 ( 简称为弧田弦 ) 围成的平面图形，公式中 “ 弦 ” 指的是弧田弦的长， “ 矢 ” 等于
弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差. 现有一弧田，其弦长 A B 等于6 m ，其弧所在圆为圆 O ，若用上述
7
2
弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 m ，则cos ∠ A O B = ( )
2
1 7 1 7
A. B. - C. D.
25 25 5 25
π 1 π
4. 已知sin α + = ，则sin 2α + 的值为 ( )
? ?
3 2 6
1 1 3 3
A. B. - C. - D.
2 2 2 2
5. 如图，在棱长为 2 的正方体 A BC D - A B C D 中， E ， F 分别是棱 A A ， C C 的中点，过 BE 的
1 1 1 1 1 1
平面 α 与直线 A F 平行，则平面 α 截该正方体所得截面的面积为 ( )
1
A. 5 B. 2 5 C. 4 D. 5
3 2
6. 已知函数 f (x) = x + a x - x 的图象在点 A(1 ， f (1) ) 处的切线方程为 y =4x -3 ，则函数 y = f (x) 的极大值为
( )
5 25
A. 1 B. - C. - D. -1
27 27
0 1 2 2 3 3 2022 2022
7. C -2 C +2 C -2 C +? ? ? +2 C 的值是 ( )
2022 2022 2022 2022 2022
2022
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
8. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x ∈ R ，均有 f ( x + 2 ) = f ( x ) 且 f (1 ) = 0 ，当 x ∈ [0 ,1 ) 时， f ( x ) =
x
2 -1 ，则方程 f (x) -1 g|x| =0 的实根个数为 ( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
?
9. 已知由样本数据点集合 ? (x ,y ) ?i =1 ，2 ，3 ， ?,n ，求得的回归直线方程为 y =1.5 x +0.5 ，且 x =3 ，现发现两个数
i i
据点 (1.2 ,2.2 ) 和 (4.8 ,7.8 ) 误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为1.2 ，则 ( )
A. 变量 x 与 y 具有正相关关系 B. 去除后 y 的估计值增加速度变快
? ?
C. 去除后与去除前均值 x ， y 不变 D. 去除后的回归方程为 y =1.2 x +1.4
10. 如图所示，是一个 3 ×3 九宫格，现从这 9 个数字中随机挑出 3 个不同的数字，记事件 A ：恰好挑出的是1 、2 、3 ；记
1
事件 A ：恰好挑出的是1 、4 、7 ；记事件 A ：挑出的数字里含有数字1. 下列说法正确的是 ( )
2 3
1 2 3
·49·
?
? ?
?
?
? ? ?
?
? ?
?
? ?4 5 6
7 8 9
A. 事件 A ， A 是互斥事件 B. 事件 A ， A 是独立事件
1 2 1 2
C. P (A |A ) = P (A |A ) D. P (A ) = P (A ) + P (A )
1 3 2 3 3 1 2
11. 在正四面体 A BC D 中，若 A B = 2 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 该四面体外接球的表面积为3π
3
B. 直线 A B 与平面 BC D 所成角的正弦值为
3
C. 如果点 M 在 C D 上，则 A M + BM 的最小值为 6
2 6 +2 2
D. 过线段 A B 一个三等分点且与 A B 垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
3
12. 若存在实常数 k 和 b ，使得函数 F x 和 G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： F x ≥ k x + b 和 G x ≤
? ? ? ?
1
2
k x + b 恒成立，则称此直线 y = k x + b 为 F x 和 G x 的 “ 隔离直线 ” ，已知函数 f x = x ( x ∈ R ) ， g x = ( x <
? ? ? ?
x
0) ， h x =2eln x(e 为自然对数的底数 ) ，则 ( )
?
1
A. m x = f x - g x 在 x ∈ - ,0 内单调递增
? ? ?
3
?
2
B. f x 和 g x 间存在 “ 隔离直线 ” ，且 k 的取值范围是 ? -4,1
? ?
C. f ? x 和 g ? x 之间存在 “ 隔离直线 ” ，且 b 的最小值为 -1
D. f x 和 h x 之间存在唯一的 “ 隔离直线 ” y =2 e x -e
? ?
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
1 8
2
13. 已知随机变量 X 服从正态分布 X ～ N ?8,σ ， P (x ≥10 ) = m ， P (6 ≤ x ≤8) = n ，则 + 的最小值为 .
2m n
14. 某中学元旦晚会共由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚
会节目演出顺序的编排方案共有 .
3 1
2 °
15. - -64cos 20 = .
2 ° 2 °
sin 20 cos 20
2
eln x 2x
16. 已知函数 f x = ， g x = ，若函数 h x = g f x + m 有3 个不同的零点 x ， x ， x ( x < x < x ) ，则
? ? ? ? ?
1 2 3 1 2 3
2x x - m
2 f x + f x + f x 的取值范围是 .
? ? ?
1 2 3
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3 5 π π 3 π π
17. 已知sin α +cos α = ， α ∈ 0, ，sin β - = ， β ∈ ,
? ? ?
5 4 4 5 4 2
(1) 求sin2 α 和tan2 α 的值；
(2) 求cos ( α +2 β) 的值.
·50·
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?m
2 1
2
18. 已知 x + 的展开式中，第4 项的系数与倒数第4 项的系数之比为 .
?
2
x
(1) 求 m 的值；
(2 ) 求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
(3) 将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
2
19. 已知函数 f ? x = x + b x + c(b,c ∈ R ) ，且 f ? x ≤0 的解集为 ? -1,2 .
(1) 求函数 f x 的解析式；
?
(2 ) 解关于 x 的不等式 mf x >2 x - m -1 ；
? ?
f ? x +3x-1
(3) 设 g x =2 ，若对于任意的 x ， x ∈ ? -2,1 都有 g x - g x ≤ M ，求 M 的最小值.
? ? ? ?
1 2 1 2
20. 某学校共有 2000 名学生，其中女生 1200 人，为了解该校学生在学校的月
消费情况，采取分层抽样随机抽取了200 名学生进行调查，月消费金额分布
在550 ~1050 元之间. 根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分
布直方图如图所示，将月消费金额不低于850 元的学生称为 “ 高消费群 ” .
(1) 求 a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数； (同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表 )
(2) 若样本中属于 “ 高消费群 ” 的男生有10 人，完成下列2 ×2 列联表，并判
断是否有99.9 % 以上的把握认为该校学生属于 “ 高消费群 ” 与 “ 性别 ” 有关.
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
2
P (K ≥ k ) 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 5.024 6.635 7.879 10.828
0
2
n ? a d - b c
2
(K = ，其中 n = a + b + c + d)
a + b c + d a + c b + d
? ? ? ?
·51·
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
? ?
?
? ? ?
?21. 在多面体 A BC D E 中，平面 A C D E ⊥ 平面 A BC ，四边形 A C D E 为直角梯形， C D ∥ A E ，
? ?? ? ??
A C ⊥ A E ， A B ⊥ BC ， C D =1 ， A E = A C =2 ， F 为 D E 的中点，且点 E 满足 E B =4 E G.
(1) 证明： G F ∥ 平面 A BC ；
(2) 当多面体 A BC D E 的体积最大时，求二面角 A - BE - D 的余弦值.
x
22. 已知函数 f (x) =e + xcos x.
(1) 判断函数 f (x) 在 [0, +∞ ) 上的单调性，并说明理由；
x
(2) 对任意的 x ≥0 ，e + xsin x +cos x ≥ a x +2 ，求实数 a 的取值范围.
·52·3.4. 湖南师大附中2023届高三月考试卷 (二 )数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 若以集合 A 的四个元素 a,b,c,d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是 ( )
A. 矩形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 菱形
?
2. 在复平面内，复数 z 所对应的点的坐标为 (1, -1 ) ，则 z ? z = ( )
A. 2 B. -2i C. 2 D. 2i
? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3. 设点 A ， B ， C 不共线，则 “ A B 与 A C 的夹角为锐角 ” 是 “ A B + A C > BC ” 的
? ?
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
4. 函数 f ? x = -1 sin x 的图象大致是 ( )
x
?
1 +e
A. B. C. D.
? ? ? ? ? ?
5. 圆内接四边形 A BC D 中 A D =2 ， C D =4 ， BD 是圆的直径，则 A C ? BD = ( )
A. 12 B. -12 C. 20 D. -20
6. 在三棱锥 P - A BC 中， P A ⊥ 底面 A BC ， P A = 2 ，底面 A BC 是边长为 2 3 的正三角形， M 为 A C 的中点，球 O
是三棱锥 P - A BM 的外接球.若 D 是球0 上一点，则三棱锥 D - P A C 的体积的最大值是 ( )
7 3 8 3
A. 2 B. 2 3 C. D.
3 3
π π 13π
7. 函数 f ( x) =sin ( ωx + φ) ω >0 , | φ| ≤ ，已知 - ,0 为 f ( x) 图象的一个对称中心，直线 x = 为 f (x) 图象的
? ?
2 6 12
13π 19π
?
一条对称轴，且 f (x) 在 , 上单调递减.记满足条件的所有 ω 的值的和为 S ，则 S 的值为 ( )
?
?
12 12
12 8 16 18
A. B. C. D.
5 5 5 5
8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定
义欧几里得没有给出证明. 经过了 500 年，到了 3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几
里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明. 他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 e
的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 0 < e < 1 时，轨迹为椭圆；当 e = 1 时，轨迹为抛物线；当 e > 1 时，轨迹为双曲线. 现
2 2 2
有方程 m ? x + y +2y +1 = ? x -2y +3 表示的曲线是双曲线，则 m 的取值范围为 ( )
A. 0,1 B. 1, +∞ C. 0 ,5 D. 5 , +∞
? ? ? ?
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
n
9. 已知数列 a 满足 a =1 ， a + a =2 (n ∈ N ) ，则下列结论中正确的是 ( )
?
n 1 n n+1
A. a =5 B. ? a 为等比数列
4 n
2023
2 -2
2022
C. a + a +?+a =2 -3 D. a + a +?+ a =
1 2 2021 1 2 2022
3
10. 已知 A,B 是两个随机事件，0 < P (A) <1 ，下列命题正确的是 ( )
A. 若 A,B 相互独立， P ? B ? A = P ? B B. 若事件 A ? B ，则 P ? B ? A =1
C. 若 A, B 是对立事件，则 P B A =1 D. 若 A, B 是互斥事件，则 P B A =0
? ? ? ?
n 2 n
11. 已知 (1 +2x) = a + a x + a x +?+a x ，下列结论正确的是 ( )
0 1 2 n
·53·
? ?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?n
A. a + a + a +?+a =3
0 1 2 n
n ?
B. 当 n =5,x = 3 时，设 (1 +2x) = a + b 3 , a,b ∈ N ，则 a = b
?
C. 当 n =12 时， a ,a ,a , ?, a 中最大的是 a
0 1 2 n 7
a a a a a a
1 2 3 4 11 12
D. 当 n =12 时， - + - +?+ - =1
2 3 4 11 12
2
2 2 2 2 2
? ?
12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 连续不间断，满足：当 x ≥0 时， f (1 + x ) =2 f (1 - x ) ，且当 x >0 时， f (1 + x ) + f (1
- x) <0 ，则下列说法正确的是 ( )
A. f (1) =0
B. f (x) 在 ( - ∞ ,1] 上单调递减
C. 若 x < x , f x < f x ，则 x + x <2
? ?
1 2 1 2 1 2
f x
? 2
D. 若 x ,x 是 g (x) = f (x) -cosπ x 在区间 (0 ，2) 内的两个零点，且 x < x ，则1 < <2
1 2 1 2
f ? x
1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶 3 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每
个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有种.
2
14. 已知抛物线 C :x =-8y 的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点，分别过 A,B 两点作 C 的切线 l ,l ，
1 2
且 l ,l 相交于点 P ，则 △P A B 面积的最小值为 .
1 2
? ?? ? ? ?
1
15. 已知四面体 A BC D 的各条棱长都为 2 ，其顶点都在球 O 的表面上，点 E 满足 BE = BD ，过点 E 作平面 α ，则平
3
面 α 截球 O 所得截面面积的取值范围是 .
π π
16. 已知函数 f ? x =sin ?2x + φ 的图象关于点 ,0 对称，且 f ?0 > f ，若 f ? x 在 ?0,t 上没有最大值，则实数 t
? ?
6 6
的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π 5
2
17. △A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知cos + A +cos A = .
?
2 4
(1) 求 A ；
3
(2) 若 b - c = a ，证明： △A BC 是直角三角形.
3
2
18. 已知数列 a 中， a >0 ， S 是数列 a 的前 n 项和，且 a + =2S .
? n n n ? n n n
a
n
(1) 求 S ， S ，并求数列 ? a 的通项公式 a ；
2 3 n n
1
(2) 设 b = ，数列 ? b 的前 n 项和为 T ，若2 2 T - k ≥0? 对任意的正整数 n 都成立，求实数 k 的取值范
n n n n
S + S
n n+2
围.
·54·
?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
?
?
? ?
?19. 如图，在四棱锥 P - A BC D 中，底面 A BC D 为直角梯形，其中 A D ∥ BC ， A D = 3 ，
A B = BC =2 ， P A ⊥ 平面 A BC D ，且 P A =3 ，点 M 在棱 P D 上，点 N 为 BC 中点.
(1) 证明：若 D M =2M P ，直线 M N ? 平面 P A B ；
(2) 求二面角 C - P D - N 的正弦值；
2 PM
(3) 是否存在点 M ，使 N M 与平面 P C D 所成角的正弦值为？若存在求出
6 PD
值；若不存在，说明理由.
20. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员
将疫苗注射到 200 只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
[0 ,20 ) ， [20 ,40 ) ， [40 ,60 ) ， [60 ,80 ) 分组，绘制频率分布直方图如图所示. 试验
发现小白鼠体内产生抗体的共有 160 只，其中该项指标值不小于 60 的有
110 只.假设小白鼠注射痕苗后是否产生抗体相互独立.
(1) 填写下面的2 ×2 列联表，并根据列联表及 α =0.05 的独立性检验，判断
能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于 60 有关.
单位：只
指标值
抗体合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2) 为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的 40 只小白鼠进行第二次注射疫苗，
结果又有20 只小白鼠产生抗体.
①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2 次疫苗后产生抗体的概率 p ；
②以①中确定的概率 p 作为人体注射2 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记 n 个人注射2 次疫苗后产
生抗体的数量为随机变量 X.试验后统计数据显示，当 X =99 时， P ( X ) 取最大值，求参加人体接种试验的人数 n
及 E ( X ).
2
n(a d - b c )
2
参考公式： χ = (其中 n = a + b + c + d 为样本容量 )
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
参考数据：
2
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
P χ ≥ k
? 0
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
0
·55·
?3
21. 已知 A( -2 2 ,0) , B (2 2 ,0) ，直线 P A , P B 的斜率之积为 - ，记动点 P 的轨迹为曲线 C.
4
(1 ) 求 C 的方程 ;
3
(2) 直线 l 与曲线 C 交于 M ,N 两点， O 为坐标原点，若直线 O M ,O N 的斜率之积为 - ，证明 : △M O N 的面积为定
4
值.
2
22. 已知函数 f ( x) = xln x, g(x) = x -1.
1
(1) 求证 : 当 a ≥ 时， | f (x) | ≤ a| g(x) |;
2
(2) 已知函数 h(x) = | f (x) | - b 有3 个不同的零点 x ,x ,x x < x < x ，
?
1 2 3 1 2 3
2
2 2
(i) 求证 : x + x > ;
1 2
2
e
(i i ) 求证 : 1 +2b - 1 -2b < x - x < b e (e =2.71828 ? 是自然对数的底数 ).
3 2
·56·
?3.5. 湖北省武汉一中2022 -2023学年高三上学期10月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
?
1. 若 z =i( 3 -i) ，则 z - | z| = ( )
A. 1 + 3i B. -1 - 3i C. -1 + 3i D. 1 - 3i
2. 已知 A = {1,2,3},B = {2,4} ，定义 A - B = { x ∣ x ∈ A 且 x ? B } ，则 A - B = ( )
A. {1,2,3} B. {2,4} C. {1,3} D. {2}
? ? ?
3. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f (x) ，且满足 f (x) =2x f (1) +ln x ，则 f (1) = ( )
A. -e B. -1 C. 1 D. e
1
4. 设函数 f (x) = ，则下列函数中为偶函数的是 ( )
3
x +1
2
A. f ( x +1) B. f (2x) C. f (x -1) D. f (x )
0.01
5. 已知 a =e ， b =ln1.01e ， c =2cos1.1 ，则 ( )
A. b > a > c B. a > b > c C. a > c > b D. c > a > b
? ?? ? ?? ? ?? ? ??
3
2
6. 已知点 A 、 B 在单位圆上， ∠A O B = π ，若 O C =2O A + xO B (x ∈ R ) ，则 |O C | 的最小值是 ( )
4
A. 2 B. 3 C. 5 -2 2 D. 4
π 5π π
7. 已知函数 f x = 2sin ωx - sin ωx + 0 < ω <1 的图象关于点 ,0 对称，将函数 f x 的图象向左平
? ? ?
? ? ?
12 12 3
π
移个单位长度后得到函数 g x 的图象，则 g x 的一个单调递增区间是 ( )
? ?
3
3π π π 3π
? ?
A. - , B. -π,π C. - , D. 0,2π
? ? ? ?
? ?
2 2 2 2
x-1
?
e , x >0
2
8. 已知函数 f (x) = ? ，若方程 f x + b f x +2 =0 有8 个相异实根，则实数 b 的取值范围
? ?
2
? ?
-x -2x +1 , x ≤0
( )
A. -4, -2 B. ( -4, -2 2 ) C. -3 , -2 D. ( -3 , -2 2 )
? ?
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a =1,a =2S n ∈ N ，则有 ( )
?
1 n+1 n
1, n =1
-1 -1
?
A. S n =3n B. {S n } 为等比数列 C. a n =2·3n D. a =
n
n-2
? ?
2 ?3 , n ≥2
10. 设 △ A BC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ， S 和 R 分别为 △ A BC 的面积和外接圆半径. 若 b = 2 , c = 3 ，
则选项中能使 △A BC 有两解的是 ( )
A. B =30 ° B. C =30 ° C. S =3 D. R =2
2 2
11. 函数 f ( x) = ? a x + ?4a -1 x sin x(a ∈ R ) 在区间 [-2π,2π] 上的大致图象可能为 ( )
A. B.
·57·
? ?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?C. D.
x
12. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时， f (x) =e (x +1) ，则下列命题正确的是 ( )
-x
A. 当 x >0 时， f (x) =e (x -1) B. 函数 f (x) 有2 个零点
C. f (x) <0 的解集为 ( - ∞ , -1) ∪ (0,1) D. ? x ， x ∈ R ，都有 ? f ? x - f ? x <2
1 2 1 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
α 7
13. 设sin = ， α ∈ ?0,π ，则sin α = .
2 7
? ? ? ? ? ? ? ? ?
14. 如图，在 △A BC 中， M 为 BC 的中点，若 A B =1 ， A C =3 ， A B 与 A C 的夹角为60 ° ，则 M A = .
?
1
2 2
15. 在 △ A BC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 BC 边上的高为 A D = a ，若 b + c + 2 1 - m b c ≤ 0 恒成
?
2
立，则实数 m 的取值范围是 .
3 2 2
16. 已知函数 f x = a x -1 - ln x + b a,b ∈ R 在 e,e (e 为自然对数的底 ) 内有零点，则 a + b 的最小值为
? ? ?
.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知各项均为正数的等比数列 ? a 满足 a =1,a + a =12 ,n ∈N .
n 1 2 3
(1) 求数列 a 的通项公式；
?
n
(2 ) 设 ? b - a 是首项为1 ，公差为2 的等差数列，求数列 ? b 的前 n 项和 T .
n n n n
π π
18. 如图，在平面四边形 A BC D 中， D C =2A D =2, ∠ BA D = , ∠ BD C = .
2 6
3
(1) 若cos ∠A BD = ，求 △A BD 的面积；
3
(2) 若 ∠C = ∠ A D C ，求 BC.
·58·
? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?19. 北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的 100 位同学的
相关数据 ( 假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一 ) ，如下表所示.
学生数 (人) 25 10
x y
打饭时间 (秒/人) 10 15 20 25
已知这100 位同学的打饭时间从小排到大的第65 百分位数为17.5 秒.
(1) 确定 x,y 的值；
(2) 若各学生的结算相互独立，记 X 为该窗口开始打饭至20 秒末已经打饭结束的学生人数，求 X 的分布列及数学
期望.( 注；将频率视为概率 )
20. 如图，已知 A BC D 和 C D E F 都是直角梯形， A B ? D C ， D C ? E F ， A B =5 ， D C
= 3 ， E F = 1 ， ∠ BA D = ∠ C D E = 60 ° ，二面角 F - D C - B 的平面角为 60 °. 设
M ， N 分别为 A E ,BC 的中点.
(1) 证明： F N ⊥ A D ；
(2) 求直线 BM 与平面 A D E 所成角的正弦值.
·59·3
21. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴， y 轴，且过 A( -2,0) , B 1, 两点.
?
2
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2 )F 为椭圆 C 的右焦点，直线 l 交椭圆 C 于 P ,Q(不与点 A 重合 ) 两点，记直线 A P ,A Q ,l 的斜率分别为 k ,k ,k ，若
1 2
3
k + k =- ，证明： △ F P Q 的周长为定值，并求出定值.
1 2
k
x
22. 已知函数 f (x) =e - x - a xln (x +1) -1.
(Ⅰ ) 若 a =0 ，求 f x 的最小值；
?
(Ⅱ ) 函数 f ? x 在 x =0 处有极大值，求 a 的取值范围.
·60·
?
?
?3.6. 湖北省沙市中学2022 -2023学年高三上学期第二次月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 复数 z = 2 +i 1 +2i (其中i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点的坐标是 ( )
? ?
A. 5,0 B. 0,5 C. 4,5 D. -4 ,5
? ? ? ?
? ? ?
? ? π ?
2. 已知 a =3 ， b =2 ， a 与 b 的夹角为，则 2a -3b = ( )
? ? ?
3
A. 6 B. 3 6 C. 3 6 -3 2 D. 3 2
2
2
y
x
3. 若点 P 是双曲线 C : - =1 上一点， F ， F 分别为 C 的左、右焦点，则 “ P F =5 ” 是 “ P F =9 ” 的 ( )
? ?
1 1 2 1 2 1
4 12
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的
游客参观旅游. 已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8 个开放洞窟，在这8 个洞窟中莫高窟九层楼96 号窟、莫高
窟三层楼16 号窟、藏经洞17 号窟被誉为最值得参观的洞窟. 根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客
需从套票包含的开放洞窟中随机选择4 个进行参观，所有选择中至少包含2 个最值得参观洞窟的概率是 ( )
4 1 3 1
A. B. C. D.
7 2 7 35
? ? ? ? ??
2
5. 已知抛物线 C : y =4 x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 在 C 上，直线 P F 与 y 轴交于点 M ，且 P F =2F M ，则点 P 到准线
l 的距离为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
x +sin x
6. 函数 f x = 的图象大致为 ( )
?
x -x
e +e
A. B. C. D.
7. 已知 △ A BC 是边长为3 的等边三角形，三棱锥 P - A BC 全部顶点都在表面积为 16π 的球 O 的球面上，则三棱锥 P
- A BC 的体积的最大值为 ( )
3 9 3 3
A. 3 B. 3 C. D.
2 4 2
2
2
y
x
8. 已知椭圆 C ： + = 1 a > 2 与双曲线 C 有公共的焦点 F 、 F ， A 为曲线 C 、 C 在第一象限的交点，且
?
1 2 1 2 1 2
2
2
a
2 2
△A F F 的面积为2 ，若椭圆 C 的离心率为e ，双曲线 C 的离心率为e ，则4e +e 的最小值为 ( )
1 2 1 1 2 2 1 2
9 7
A. 9 B. C. 7 D.
2 2
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知 α, β 是两个不同平面， m ,n 是两条不同直线，则下述正确的是 ( )
A. 若 m ? α,n ? α,m ∥ β ,n ∥ β ，则 α ∥ β B. 若 m ∥ α,n ⊥ α ，则 m ⊥ n
C. 若 m ? α,n ? α,m ,n 是异面直线，则 n 与 α 相交 D. 若 m ⊥ α,α ∥ β ，则 m ⊥ β
2 2
10. 已知 O 为坐标原点，圆Ω:(x -cos θ) + ( y -sin θ) =1 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 圆Ω 恒过原点 O
·61·
?
?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?2 2
B. 圆Ω 与圆 x + y =4 内切
3 2
C. 直线 x + y = 被圆Ω 所截得弦长的最大值为 3
2
D. 直线 xcos α + ysin α =0 与圆Ω 相离
11. 某旅游景点 2021 年 1 月至 9 月每月最低气温与最高气温 ( 单位： ℃ ) 的折线图如
图，则 ( )
A. 1 月到9 月中，最高气温与最低气温相差最大的是4 月
B. 1 月到9 月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系
C. 1 月到9 月的最高气温与最低气温的差逐步减小
D. 1 月到9 月的最低气温的极差比最高气温的极差大
n
12. 已知数列 a ， b 均为递增数列，它们的前 n 项和分别为 S ， T ，且满足 a + a =2 n ， b ? b =2 ，则下列结论
? ?
n n n n n n+1 n n+1
正确的是 ( )
2
A. 0 < a <1 B. S = n +3n -2 C. 1 < b < 2 D. S < T
1 2n 1 2n 2n
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
6
2
2
13. 在 (1 + x) x + 的展开式中， x 的系数是 (用数字作答 ).
?
x
2 1
2 2
14. 若直线 mx - ny - 2 = 0 ( m > 0 ， n > 0 ) 被圆 C : x + y - 4 x + 8 y + 11 = 0 所截得的弦长为 6 ，则 + 的最小值
m n
为 .
2
2
y
x
15. 已知点 A 为椭圆 + =1 a > b >0 的左顶点， O 为坐标原点，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线 l ，若直
?
2 2
a b
线 l 上存在点 P 满足 ∠A P O =30 ° ，则椭圆离心率的最大值 .
16. 在矩形 A BC D 中， A B = 3 ， BC =1 ，现将 △ A BC 沿对角线 A C 翻折，得到四面体 D A BC ，则该四面体外接球的体
π π
?
积为；设二面角 D - A C - B 的平面角为 θ ，当 θ 在 , 内变化时， BD 的取值范围为 .
?
?
3 2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知公差不为0 的等差数列 a 的前 n 项和为 S ，且 S =36 ， a ， a ， a 成等比数列.
?
n n 6 1 3 13
(1) 求数列 ? a 的通项公式；
n
1 k
?
(2 ) 设数列的前 n 项和为 T ，若不等式 T < 对任意的 n ∈ N 都成立，求实数 k 的取值范围.
n n
? ?
a a 4
n n+1
·62·
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?2π
18. 已知在 △A BC 中， A ， B ， C 为三个内角， a ， b ， c 为三边， c =2bcos B ， C = .
3
(1) 求角 B 的大小；
(2 ) 在下列两个条件中选择一个作为已知，求出 BC 边上的中线的长度.
3 3
① △A BC 的面积为；
4
② △A BC 的周长为4 +2 3.
19. 在四棱锥 P - A BC D 中， △ P A B 为正三角形，四边形 A BC D 为等腰梯形， M 为棱 A P 的中点，且 A B = 2 A D =
2BC =2C D =4 ， D M = 3.
(1) 求证： D M ? 平面 P BC ；
(2) 求直线 A P 与平面 P BC 所成角的正弦值.
20. 我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年
的收益率为30 ％的概率为 p ，收益率为 -10 ％的概率为1 - p ；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为 30 ％的
概率为0.4 ，收益率为 -20 ％的概率为0.1 ，收益率为零的概率为0.5.
(1) 已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；
(2) 若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4 年累计投资数据如下表：
年份 x 2018 2019 2020 2021
1 2 3 4
μ
累计投资金额 y(单位：亿元 ) 2 3 5 6
?
? ?
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 μ 的线性回归方程 y = b μ + a ，并预测到哪一年年末，该公司在
? ?
? ?
芯片领域的投资收益预期能达到0.75 亿元.附：收益 = 投入的资金 × 获利的期望；线性回归 y = b x + a 中， b =
n n
? ? ? ?
x - x y - y x y - nx y
? ? i ? i ? i i
?
? ? ?
i=1 i=1
= ， a = y - b x.
n n
? 2 ?2
2
x - x x - nx
? ? i ? i
i=1 i=1
·63·
?
? ?2
2
y
x
21. 设椭圆 C : + =1 ( a > b >0 ) , F , F 为左右焦点 , B 为短轴端点 , 长轴长为4 , 焦距为2 c , 且 b > c ,ΔBF F 的面积
1 2 1 2
2 2
a b
为 3.
(Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程
(Ⅱ ) 设动直线 l:y = k x + m 椭圆 C 有且仅有一个公共点 M , 且与直线 x =4 相交于点 N. 试探究 : 在坐标平面内是
否存在定点 P , 使得以 M N 为直径的圆恒过点 P ? 若存在求出点 P 的坐标 , 若不存在. 请说明理由.
1
2
22. 已知函数 f x = x + aln x - a +1 x ，其中 a ∈ R.
? ?
2
(1 ) 讨论 f ? x 的单调性；
2
(2) 若函数 F ? x = f ? x + ? a -1 x 有两个极值点 x ， x ，且 F ? x + F ? x >- -2 恒成立 (e 为自然对数的底
1 2 1 2
e
数 ) ，求实数 a 的取值范围.
·64·
? ? ? ? ?
?
? ?3.7. 河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
x
1. 已知集合 M = { x y =ln 1 - x ，集合 N = { y |y =e ， x ∈ R } (e 为自然对数的底数 ) ，则 M ∩ N = ( )
? ?
A. {x|x <1} B. x| x >1 C. {x|0 < x <1} D. x|x >0
? ?
1 2 2
2. 已知 α 的终边与单位圆交于点 , - ，则cos2 α = ( )
?
3 3
7 7 4
A. - B. C. - D. -1
9 9 9
b
2 2
3. 若函数 f x = aln x - 在点 (1 ， f (1) ) 处的切线的斜率为1 ，则 a + b 的最小值为 ( )
?
x
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 4
π
4. 将函数 y =sin2 x 的图象向右平移 φ 个单位长度后，得到函数 y =cos 2x + 的图象，则 φ 的值可以是 ( )
?
6
π π π 2π
A. B. C. D.
12 6 3 3
5. 已知函数 f ( x) =sin (2 ωx + φ ) ( ω >0 ,0 < φ <π) 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
5π
A. f (x) 的最小正周期为
6
π
B. f ( x) 的图象关于点 - ,0 对称
?
3
π 3
?
C. f (x) 在区间 0 , 上的最小值为 -
?
?
2 2
5π
D. f (x ) 的图象关于直线 x =- 对称
6
6. 若函数 f x = tan ωx - ω ω >0 的最小正周期为4 ，则下列区间中 f x 单调递增的是 ( )
? ? ? ? ?
1 1 5 5
A. -1 , B. , C. ,3 D. 3,4
?
? ? ?
3 3 3 3
7. 圭表 ( 如图甲 ) 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推
定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿 ( 称为 “ 表 ” ) 和
一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺 ( 称为
“ 圭 ” ) ，当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭
面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短
的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的
主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角 ( 即 ∠ A BC )
大约为15 ° ，夏至正午时太阳高度角 ( 即 ∠ A D C ) 大约为60 ° ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离 ( 即 D B 的长 ) 为 a ，
6 - 2
则表高 ( 即 A C 的长 ) 为 ( 注：sin15 ° = ) ( )
4
3 + 3 3 -1 3 - 3
A. 2 - 3 a B. a C. a D. a
?
4 4 4
8. 已知不等式 f ( x ) >0 的解集为 A ，若 A 中只有唯一整数，则称 A 为 “ 和谐解集 ” ，若关于 x 的不等式sin x +cos x >
2mx + |sin x -cos x| 在区间 (0 ,π ) 上存在 “ 和谐解集 ” ，则实数 m 的可能取值为 ( )
2cos2 3 cos2
A. B. C. D. cos1
3 2 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选
对的得2分，有选错的得0分.
9. 在 △A BC 中，内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ，下列说法中正确的是 ( )
·65·
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?A. “ △A BC 为锐角三角形 ” 是 “sin A >cos B ” 的充分不必要条件
B. 若sin2 A =sin2 B ，则 △A BC 为等腰三角形
C. 命题 “ 若 A > B ，则sin A >sin B ” 是真命题
π
D. 若 a =8 ， c =10 ， B = ，则符合条件的 △A BC 有两个
3
π
10. 已知函数 f ? x =2cos 2x + ，则下列说法中正确的是 ( )
?
3
A. ? x ,x ∈R ，若 ? f ? x - f ? x ≤ M 恒成立，则 M ≥4
1 2 1 2
π
B. 若 f ( x ) = f ( x ) ，则 x + x = kπ - ， k ∈Z
1 2 1 2
3
π
C. 若 x + x = ，则 f (x ) + f (x ) =0
1 2 1 2
6
π 7π
D. 若 x ,x ∈ , ，且 f (x ) = f (x ) (x ≠ x ) ，则 f (x + x ) =1
1 2 1 2 1 2 1 2
?
12 12
11. 在数学史上，为了三角计算简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义 1 -cos θ 为角 θ 的
正矢，记作 v ersin θ ；定义1 -sin θ 为角 θ 的余矢，记作cov ersin θ ，则下列结论中正确的是 ( )
16π 1
A. v ersin =
3 2
3π
B. v ersin (π - θ) -cov ersin - θ =0
?
2
cov ersin x -1 cov ersin x - v ersin x 1
C. 若 =2 ，则 =-
v ersin x -1 3
2 - ?cov ersin x + v ersin x
π π
D. 函数 f (x ) = v ersin 2022 x - +cov ersin 2022 x + 的最大值为2 + 2
? ?
3 6
2
12. 已知函数 f x =cos α x + x (0 ≤ α <π) ， f (2) - f (1) =2 ，则 f (x) 在区间 [-2,2] 上的极值点的个数可能为 ( )
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
π
13. 已知2sin α - =cos α ，则tan α = .
?
3
14. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (4 - x) + f (x) =2 ，若 f (x) 的图像关于直线 x =4 对称，则 f ( -2) = .
4π
?
15. 已知函数 f ? x = sin ? x - 3cos x ，若关于 x 的方程 f ? x = m 在 ? -2π, 上有三个不同的实根，则实数 m 的取
?
3
值范围是．
16. 据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东 60 ° ，距离该市 400 千米的位置，台
风中心以 40 千米 / 时的速度向正北方向移动，距离台风中心 350 千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台
风影响到影响结束，持续的时间为小时．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
17. 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ 0 , +∞ 时， f x = x +4x．
? ? ?
(1) 求 f x 的解析式；
?
(2 ) 若 f t +1 + f 2t >0 ，求实数 t 的取值范围．
? ?
·66·
? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ? ?
?
?18. 已知 △A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b =4 ，在
① (b + c) (sin B -sin C ) = (sin A -sin C )a ， ②cos2 (A + C ) +3cos B =1
两个条件中任选一个完成以下问题：
(1) 求 B ；
(2) 若 D 在 A C 上，且 BD ⊥ A C ，求 BD 的最大值．
2
1 π
2
19. 已知函数 f (x) = 3sin ωxcos ωx -cos ωx + (ω >0) ，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为 4 + ．
2 4
(1) 求函数 f (x) 的解析式；
(2 ) 记 △A BC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ， a =4 ， b c =12 ， f (A) =1．若角 A 的平分线 A D 交 BC 于 D ，求
A D 的长．
3 c
20. 在 △A BC 中，内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ， btan A + btan B = ．
cos A
(1) 求角 B ；
(2)D 是 A C 边上的点，若 C D =1 ， A D = BD =3 ，求sin A 的值．
·67·21. 已知 △A BC 的外心为 O ， M ,N 为线段 A B ,A C 上的两点，且 O 恰为 M N 中点.
(1) 证明： |A M | ? |MB| = | A N | ? | N C |
S
△A MN
(2) 若 |A O | = 3 ， |O M | =1 ，求的最大值.
S
△A BC
π
x
?
22. 已知函数 f x =e sin x + a x ， x ∈ 0, .
? ?
?
2
(1) 若 a =-1 ，求 f (x ) 的最小值；
(2) 若 f (x) 有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围.
·68·
?
? ?
?3.8. 河北衡水中学2023年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知有 A 、 B 、 C 、 D 四个命题，其中 A 为 B 的必要条件， B 为 C 的充分条件， C 为 D 的必要条件， D 为 A 的必要条
件. 若增加条件使得 A 、 B 、 C 、 D 中的任意一个命题均为 A 、 B 、 C 、 D 四个命题的必要条件，则这个条件可以为
( )
A. B 为 C 的必要条件 B. B 为 A 的必要条件 C. C 为 D 的充分条件 D. B 为 D 的必要条件
1
2. 复数 z = a + b i a,b ≠0 . 若 -1 =2 ，则 ( ) 的值与 a 、 b 的值无关. ( )
?
?
z
1 1 1 1
A. z + B. z + C. z - D. z -
? ? ? ?
3 2 2 4
10
1 1
2
3. ? x ≠0 ， x + 可以写成关于 x + 的多项式，则该多项式各项系数之和为 ( )
? 2
?
x
x
A. 240 B. 241 C. 242 D. 243
?
4. 函数 f ? x 的图像如图所示，已知 f ?0 =2 ，则方程 f ? x - x f ? x =1 在 ? a, b 上有 ( ) 个非负实根. ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2
5. 函数 f ? x = 5cos x -4sin x +5 - ?3cos x 的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 3
17
0.1 10
6. a =1 +sin0.1 ， b =e ， c =1.01 ， d = ， a ， b ， c ， d 间的大小关系为 ( )
16
A. b > a > d > c B. b > c > a > d C. b > c > d > a D. b > a > c > d
? b
a
n n
+
?
7. 已知数列 a 、 b ， a = ， b = ， n ∈ N 其中 x 为不大于 x 的最大整数. 若 a = b = m ， m ≤
? ? ? ? ? ?
n n n+1 n+1 1 1
? 2 2
+
1000 ， m ∈ N ，有且仅有4 个不同的 t ，使得 a ≠ b ，则 m 一共有 ( ) 个不同的取值. ( )
t t
A. 120 B. 126 C. 210 D. 252
? ? ?
m
+ +
8. 平面上有两组互不重合的点， A 、 A ? ? ? ? ? ? A 与 B 、 B ? ? ? ? ? ? B m , n ∈ N , n ≥2 ， ? t ∈ ?1 , n ， t ∈ N ， A B
1 2 m 1 2 n ? ? ? i t
i=1
n-1
= t. 则 B B 的范围为 ( ).
?
i i+1
i=1
2 2 2
n 2n n n n n + n n -1 n -1
? ? ?
?
A. , B. , C. , D. ,
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
m m m m m 2 m m m
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，有
选错的得0分，部分选对的得2分.
2
9. 工厂生产某零件，其尺寸 D 服从正态分布 N 10 ,0.01 k ( 单位：cm ). 其中 k 由零件的材料决定，且 k >0. 当零件尺
?
寸大于 10.3cm 或小于 9.7cm 时认为该零件不合格；零件尺寸大于 9.9cm 且小于 10.1cm 时认为该零件为优质零
2
件；其余则认为是普通零件. 已知当随机变量 X ～ N μ, σ 时， P X > μ + σ ≈ 0.159 ， P X > μ +2 σ ≈ 0.023 ，
? ? ?
P X > μ +3σ ≈0.001 ，则下列说法中正确的有 ( )
?
A. k 越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小
B. k 越大，预计生产出普通零件的概率越大
·69·
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?C. 若 k =1.5 ，则生产200 个零件约有9 个零件不合格
D. 若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为 3a ，2a ， -5a ，则当 k =1 时，每生产1000 个零件预计盈
利2580 a
2
2
y
x
10. 已知椭圆 C ： + =1 ， a > b >0 上有三点 P 、 P 、 P ， F 、 F 分别为其左、右焦点. 则下列说法中正确的有
? 1 2 3 1 2
2 2
a b
( )
A. 若线段 P F 、 P F 、 P F 的长度构成等差数列，则点 P 、 P 、 P 的横坐标一定构成等差数列.
1 1 2 1 3 1 1 2 3
2
b
B. 若直线 P P 与直线 P P 斜率之积为 - ，则直线 P P 过坐标原点.
1 2 2 3 1 3
2
a
C. 若 △ P P P 的重心在 y 轴上，则 ? P F + ? P F + ? P F =3a
1 2 3 1 1 2 1 3 1
8 3
D. △P P P 面积的最大值为 a b
1 2 3
3
π π
11. 已知函数 f x = asin x - + bsin x + ，其中 a 、 b >0. 则下列说法中正确的有 ( )
?
? ? ?
4 4
2 2
A. f x 的最小值为 -a B. f x 的最大值为 a + b
? ?
3π 5π π 3π
C. 方程 f x = b 在 - , 上有三个解 D. f x 在 , 上单调递减
? ?
? ?
4 4 2 2
x x x
12. 直线 l 、 l 为曲线 y = e 与 y = ln x 的两条公切线. l 从左往右依次交 e 与 ln x 于 A 点、 B 点； l 从左往右依次交 e
1 2 1 2
与ln x 于 C 点、 D 点，且 A 点位于 C 点左侧， D 点位于 B 点左侧. 设坐标原点为 O ， l 与 l 交于点 P. 则下列说法中
1 2
正确的有 ( )
? ? ?
2
A. A D < BC B. O P <
?
2
e 1 π
C. tan ∠ BO C < + D. ∠A O C >
2 2e 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
5 -1
13. 底边和腰长之比为的等腰三角形被称为 “ 黄金三角形 ” ，四个面都为 “ 黄金三角形 ” 的四面体被称为 “ 黄金
2
四面体”. “ 黄金四面体 ” 的外接球与内切球表面积之比为 .
1
14. 已知存在实数 x 使得 ?sin x - a + ?cos x - a = ，则 a 的取值范围为 .
2
2 2
15. 已知圆 C ： x + y =4 ，点 A ?3,0 ，点 B ? -2 ,0 . 点 P 为圆 C 上一点，作线段 A P 的垂直平分线 l. 则点 B 到直线 l 距
离最小值为 .
+ 2
? ?
16. 二元数列 a 中各项的值同时由 i ， j 决定 i, j ∈N . 已知二元数列 a 满足 a = m ， a = n ，
?
? ? ?i, j ? ? ? m ,n ? m ,1 ?1 ,n
+ 2
2a = a + a m 、 n ∈N . 若 t +1 > a -2020 > t ， t ∈Z ，则 t =
?
? m +1 ,n+1 ? m ,n+1 ? m +1 ,n ?2022,2021
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 △A BC ， D 为边 A C 上一点， A D =1 ， C D =2.
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??
3
(1) 若 BA ? BD = ， BC ? BD =0 ，求 S ；
△A BC
4
(2) 若直线 BD 平分 ∠A BC ，求 △A BD 与 △C BD 内切圆半径之比的取值范围.
·70·
? ? ? ?
?
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?

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(本文系瑞风瑞雨原创)

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