2017山东省德州市中考数学一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案选出来，每小题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列．477万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.77105 B．47.7105 C．4.77106 D．0.477106
4．（3分）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3?a﹣5=a﹣15 D．a3a﹣5=a﹣2
6．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
7．（3分）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1x2时，满足y1y2的是（ ）
A．y=﹣3x2 B．y=2x1 C．y=2x21 D．y=﹣
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x﹣3 B．﹣3x＜4 C．﹣3x＜2 D．x4
9．（3分）公式L=L0KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=100.5P B．L=105P C．L=800.5P D．L=805P
10．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4
11．（3分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将ABM绕点A旋转至ADN，将MEF绕点F旋转至NGF，给出以下五个结论：MAD=∠AND；CP=b﹣；ABM≌△NGF；S四边形AMFN=a2b2；A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题（本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）计算：﹣= ．
14．（4分）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 ．
15．（4分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为 ．
16．（4分）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
17．（4分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）先化简，再求值：﹣3，其中a=．
19．（8分）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到图表（部分信息未给出）：
选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
20．（8分）如图，已知RtABC，C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E．
（1）求证：DE是O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
21．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知B=30°，C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：1.7，1.4）
22．（10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
23．（10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
24．（12分）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=（k0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为 ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下：设P（m，），直线PA的解析式为y=axb（a0）．
则，
解得
直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
当P点坐标为（1，k）（k1）时，判断PAB的形状，并用k表示出PAB的面积．
2017年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案选出来，每小题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列．477万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.77105 B．47.7105 C．4.77106 D．0.477106
【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是非负数；当原数的绝对值1时，n是负数．
【解答】解：477万用科学记数法表示4.77106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，
故选：B．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3?a﹣5=a﹣15 D．a3a﹣5=a﹣2
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式=8a3，故B不正确；
（C）原式=a﹣2，故C不正确；
（D）原式=a8，故D不正确；
故选（A）
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1x2时，满足y1y2的是（ ）
A．y=﹣3x2 B．y=2x1 C．y=2x21 D．y=﹣
【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增大而增大；C、由a=2可得知：当x0时，y随x值的增大而减小，当x0时，y随x值的增大而增大；D、由k=﹣1可得知：当x0时，y随x值的增大而增大，当x0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
【解答】解：A、y=﹣3x2中k=﹣3，
y随x值的增大而减小，
A选项符合题意；
B、y=2x1中k=2，
y随x值的增大而增大，
B选项不符合题意；
C、y=2x21中a=2，
当x0时，y随x值的增大而减小，当x0时，y随x值的增大而增大，
C选项不符合题意；
D、y=﹣中k=﹣1，
当x0时，y随x值的增大而增大，当x0时，y随x值的增大而增大，
D选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键．
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x﹣3 B．﹣3x＜4 C．﹣3x＜2 D．x4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x9≥3，得：x﹣3，
解不等式x﹣1，得：x4，
不等式组的解集为﹣3x＜4，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）公式L=L0KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=100.5P B．L=105P C．L=800.5P D．L=805P
【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
【解答】解：10＜80，0.55，
A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，
A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，比较L0和K的值，找出短而硬的弹簧是解题的关键．
10．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4
【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x20）本，
根据题意得：﹣=4．
故选D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．（3分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将ABM绕点A旋转至ADN，将MEF绕点F旋转至NGF，给出以下五个结论：MAD=∠AND；CP=b﹣；ABM≌△NGF；S四边形AMFN=a2b2；A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据正方形的性质得到BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到NAD=∠BAM，AND=∠AMB，根据余角的性质得到DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到DAM=∠AND，故正确；
根据正方形的性质得到PCEF，根据相似三角形的性质得到CP=b﹣；故正确；
根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到ABM≌△NGF；故正确；
由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2b2；故正确；
根据正方形的性质得到AMP=90°，ADP=90°，得到ABP+∠ADP=180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故正确．
【解答】解：四边形ABCD是正方形，
BAD=∠ADC=∠B=90°，
BAM+∠DAM=90°，
将ABM绕点A旋转至ADN，
NAD=∠BAM，AND=∠AMB，
DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
DAM=∠AND，故正确；
四边形CEFG是正方形，
PC∥EF，
MPC∽△EMF，
，
大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），BM=b，
EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）b=a，
，
CP=b﹣；故正确；
将MEF绕点F旋转至NGF，
GN=ME，
AB=a，ME=a，
AB=ME=NG，
在ABM与NGF中，，
ABM≌△NGF；故正确；
将ABM绕点A旋转至ADN，
AM=AN，
将MEF绕点F旋转至NGF，
NF=MF，
ABM≌△NGF，
AM=NF，
四边形AMFN是矩形，
BAM=∠NAD，
BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
NAM=90°，
四边形AMFN是正方形，
在RtABM中，a2b2=AM2，
S四边形AMFN=AM2=a2b2；故正确；
四边形AMFN是正方形，
AMP=90°，
ADP=90°，
ABP+∠ADP=180°，
A，M，P，D四点共圆，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
12．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（13）个小三角形，
图3挖去中间的（13+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（13+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）计算：﹣= ．
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣=，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
15．（4分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为 x=1或x= ．
【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），
移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
即（x﹣1）（3x﹣2）=0，
x﹣1=0，3x﹣2=0，
解方程得：x1=1，x2=．
故答案为：x=1或x=．
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（4分）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同时抽到物理的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为1，
所以他们两人都抽到物理实验的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
17．（4分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 ．
【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．
【解答】解：设O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，则M、O、E共线，
由题意得：MOG=∠EOF=45°，
FOG=90°，且OF=OG=1，
S透明区域=2××1×1=+1，
过O作ONAD于N，
ON=FG=，
AB=2ON=2×=，
S矩形=2=2，
==．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部分化分为几个熟知图形的面积是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）先化简，再求值：﹣3，其中a=．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
【解答】解：﹣3
=
=a﹣3，
当a=时，原式=．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到图表（部分信息未给出）：
选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）从C可看出50.1=50人，
答：次被调查的学生有50人；
（2）m==0.2，n=0.250=10，p=0.450=20，
，
（3）800（0.10.4）=8000.5=400人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．（8分）如图，已知RtABC，C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E．
（1）求证：DE是O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【分析】（1）求出OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
AC是O的直径，
AEC=∠BEC=90°，
D为BC的中点，
ED=DC=BD，
1=∠2，
OE=OC，
3=∠4，
1+∠3=∠2+∠4，
即OED=∠ACB，
ACB=90°，
OED=90°，
DE是O的切线；
（2）解：由（1）知：BEC=90°，
在RtBEC与RtBCA中，B=∠B，BEC=∠BCA，
BEC∽△BCA，
=，
BC2=BE?BA，
AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
BC=6，
62=2x?3x，
解得：x=，
即AE=．
【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出OED=∠BCA和BEC∽△BCA是解此题的关键．
21．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知B=30°，C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：1.7，1.4）
【分析】（1）如图作ADBC于D．则AD=10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【解答】解：（1）如图作ADBC于D．则AD=10m，
在RtACD中，C=45°，
AD=CD=10m，
在RtABD中，B=30°，
tan30°=，
BD=AD=10m，
BC=BD+DC=（1010）m．
（2）结论：这辆汽车超速．
理由：BC=10+1027m，
汽车速度==30m/s=108km/h，
108＞80，
这辆汽车超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，
（2）求出当x=1时，y=即可．
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2h，
代入（0，2）和（3，0）得：，
解得：，
抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2；
即y=﹣x2x+2（0x≤3）；
（2）y=﹣x2x+2（0x≤3），
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
23．（10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，BPF=∠EPF，由平行线的性质得出BPF=∠EFP，证出EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．
【解答】（1）证明：折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
点B与点E关于PQ对称，
PB=PE，BF=EF，BPF=∠EPF，
又EF∥AB，
BPF=∠EFP，
EPF=∠EFP，
EP=EF，
BP=BF=EF=EP，
四边形BFEP为菱形；
（2）解：四边形ABCD是矩形，
BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，A=∠D=90°，
点B与点E关于PQ对称，
CE=BC=5cm，
在RtCDE中，DE==4cm，
AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；
在RtAPE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，
EP2=12+（3﹣EP）2，
解得：EP=cm，
菱形BFEP的边长为cm；
当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．（12分）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=（k0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为 （k，1） ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下：设P（m，），直线PA的解析式为y=axb（a0）．
则，
解得
﹣1
直线PA的解析式为 y=x﹣1
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
当P点坐标为（1，k）（k1）时，判断PAB的形状，并用k表示出PAB的面积．
【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
（2）设P（m，），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PHx轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
根据结合PH、MH、NH的长度，可得出PAB为直角三角形，分k1和0k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
A点的坐标为（﹣k，﹣1），
B点的坐标为（k，1）．
故答案为：（k，1）．
（2）证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=axb（a0）．
则，
解得：，
直线PA的解析式为y=x﹣1．
当y=0时，x=m﹣k，
M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PHx轴于H，如图1所示，
P点坐标为（m，），
H点的坐标为（m，0），
MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．
同理可得：HN=k．
MH=HN，
PM=PN．
故答案为：；y=x﹣1．
由可知，在PMN中，PM=PN，
PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．
当P点坐标为（1，k）时，PH=k，
MH=HN=PH，
PMH=∠MPH=45°，PNH=∠NPH=45°，
MPN=90°，即APB=90°，
PAB为直角三角形．
当k1时，如图1，
SPAB=S△PMN﹣SOBN+S△OAM，
=MN?PH﹣ON?yBOM?|yA|，
=2k×k﹣（k1）1+（k﹣1）1，
=k2﹣1；
当0k＜1时，如图2，
SPAB=S△OBN﹣SPMN+S△OAM，
=ON?yB﹣k2OM?|yA|，
=（k1）1﹣k2（1﹣k）1，
=1﹣k2．
【点评】本题考查了正（反）比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；（2）利用等腰三角形的三线合一证出PM=PN；分k1和0k＜1两种情况求出PAB的面积．
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